Kvantum renormálási csoport a

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kvantum renormálási csoport a"

Alfréd Dániel Fülöp
4 évvel ezelőtt
Látták:

1 Kvantum renormálási csoport a Nagy Sándor, Polonyi János, Steib Imola Debreceni Egyetem, Elméleti Fizikai Tanszék Szeged, augusztus 25. a S. Nagy, J. Polonyi, I. Steib, Quantum renormalization group, Phys. Rev. D 93 (2016)

2 Motiváció A renormálási csoport módszerrel szisztematikusan távolíthatjuk el az UV módusokat. A kvantumelméletben a módusok eliminálása kevert állapotokat generál. A szokásos in-out formalizmusban a kezdeti- és végállapot tiszta állapot, és az elimináció során csak tiszta állapotaink vannak. Az in-in vagy CTP formalizmus alkalmas a kevert állapotok figyelembe vételére. A kevert állapotok járuléka adhat új fázisokat, új fixpontokat, új releváns kölcsönhatásokat, lehetőséget nyílt rendszerek tárgyalására alapvető modelleknél is.

3 Renormálási csoport módszer A funkcionális renormálási csoport (RG) módszer segítségével kvantumtérelméleti modellek nemperturbatív vizsgálatát végezhetjük el. Az RG módszer hidat képez a modell ismert nagyenergiás (UV), és keresett, alacsony energiás (IR) leírása között A pályaintegrál elvégése során a csatolásokat felöltöztetik az ő kvantum fluktuációból származó korrekcióival. A vákum-vákuum átmeneti amplitúdó (a generáló funkcionál) alakja: Z[j] = Dφe i S k+ i jφ dφ 0...dφ k k dφ k dφ k+ k...dφ e i S k+ i jφ A pályaintegrált úgy végezzük el, hogy egyesével eltávolítjuk a szabadsági fokokat (módusokat, kvantumfluktuációkat). g k k g kgk+ k (IR) 0 k k k k k+ k k (UV)

4 A CTP formalizmus Skaláris elméletek generáló funkcionálja: Z[j +,j ] = Tr[U(t f,t i ;j + )ρ i U (t f,t i ; j )] = D[ˆφ]e i S[ˆφ]+ i dxĵx ˆφx. Bevezettük a ˆφ = (φ +,φ ) CTP dubletteket; a hatás alakja S[ˆφ] = S 0 [ˆφ]+S i [φ + ] S i [φ ]. A csupasz CTP integrál alakja e i S i[ˆφ] = D[ˆχ]e i 2 dxdyˆχx ˆKx,y ˆχ y dx[u B (φ + x +χ x) U B (φ x +χ x)], ahol aχuv módusokra integrálunnk, melyek impulzusa k < p. A ˆK jelöli a szabad inverz CTP propagátort: ˆK = Kn +ik i K f ik i, K n K f ik i K n +ik i p = p 2 m 2, Kp f = iǫsign(p 0 ), Kp i = iǫ. Az U B (φ) jelöli a csupasz potenciált, a Taylor sorfejtett alakja: U B (φ) = n=2 g B2n (2n)! φ2n.

5 CTP Feynman diagrammok Z[j +,j ] = Tr[U(t f,t i ;j + )ρ i U (t f,t i ; j )]. A Feynman gráfokban szereplő vonalak a szabad CTP propagátor diagonális vagy nem-diagonális elemeihez tartoznak. Típusok: 1. homogén gráfok: a vonalak és a vertexek ugyanahhoz a térváltozóhoz tartoznak 2. inhomogén gráfok: azok a gráfok, amelyek külső lábai vagy a φ + vagy a φ térváltozóhoz tartoznak, a vertexek vegyesek 3. valódi CTP gráfok: a külső lábak mindkét térváltozóhoz tartoznak O(φ +3 φ 5 ) rendű gráf, a szaggatott vonal ad + nem-diagonális propagátor elemhez tartozik. Az IR és az UV módusok közötti kölcsönhatás magasabb rendű gráfoknál könnyebben megvalósulhat.

6 Blokkosítás A blokkosított hatást úgy kapjuk meg, hogy ak skálát infinitezimális lépésenként csökkentjük, k k k. A blokkosítási lépés a k dk < p < k impulzushéjhoz tartozó rendszer módusokat viszi át a környezetbe. A blokkosítás után a hatás alakja: e i S k k[ˆφ] = D[ˆχ]e i S k[ˆφ+ˆχ]. rendszer módusok: φ p < k k környezet módusok: χ k k < p < k A hatást S = S 1 +S 2 alakban keressük, ahol S 1 tartalmazza a lokális potenciált: S 1 [ˆφ] = 1 2 dxdyˆφ x ˆKd x,yˆφy dx[u(φ + x ) U(φ x )], Az S 2 tagról feltesszük, hogy bilokális: S 2 [ˆφ] = dxdyv x y (ˆφ x, ˆφ y ), ahol V x y (ˆφ, ˆφ ) = σ,σ mn 3 1 m!n! φσm v σ,σ m,n,x y φ σ n.

7 Fa-szintű evolúció Ahhoz, hogy megkapjuk a nyeregpontot, meg kell oldanunk a mozgásegyenletet adott ˆφ x -nél ˆχ x -re. Elegendő a linearizált egyenletekkel dolgoznunk, mert a magasabb rendű tagok O( k n ) rendűek. A linearizált mozgásegyenlet: ˆD 1ˆχ = ˆL, ahol (D 1 ) σ,σ = (D 1 0 )σ,σ δ σ,σ σu (φ σ ), és bevezetjük a L σ x = σu (φ σ x) 2 dy φ σ x V x y (ˆφ x, ˆφ y ) kifejezést. A megoldást visszahelyettesítjük a S k [ˆφ+ ˆχ] hatásba. Felhasználva, hogy S k k = S k + S k, azt kapjuk, hogy S k S k k = k 2 dxdyˆl x ˆD(k) x yˆl y, ahol bevezettük a környezeti propagátort. ˆD (k) x y = d 4 q (2π) 4δ( q k)ˆd q e i(x y)q

8 Fa-szintű evolúció A hatás feltételezett alakja miatt használhatjuk a L σ x L σ x = σu (φ σ x) 2 dyw σ x y(ˆφ y ) közelítést. Bevezettük a W σ x y(ˆφ) = φ σ x V x y (ˆφ, ˆφ) φ =0 mennyiséget. A kapott evolúciós egyenlet alakja: ds dk = 1 dxdyˆ Lx ˆD(k) x yˆ Ly 2 = 1 [ dxdy σu (φ σ x 2 )D(k)σ,σ x y σ U (φ σ y ) σ,σ 4 dzwz x(ˆφ σ x )D (k)σ,σ z y σ U (φ σ y) ] +4 dzdz Wz x(ˆφ σ x )D (k)σ,σ z z Wz σ y (ˆφ y ).

9 Fa-szintű evolúció Impulzustérben az evolúciós egyenlet alakja vezető rendben: ds dk = 1 2 d d+1 q (2π) d+1σ[u (φ σ )] q D q (k)σ,σ σ [U (φ σ )] q A fa-szintű evolúció járulékai függetlenek különbözők értékekre. A lokális potenciál fa-szinten nem fejlődik, azaz U(φ) = UB (φ). Ak integrál elvégzése után a bilokális potenciál alakja: V x y (ˆφ x, ˆφ y ) = 1 2 σσ U (φ σ x)d (k,λ)σσ x y U (φ σ y ), σ,σ ahol ˆD (k,λ) x y = d d+1 q (2π) d+1θ( q k)θ(λ q )ˆD q e i(x y)q a propagátor, amely minden eliminált módus járulékát tartlamazza.

10 Eredmények A bilokális csatolások fa-szintű evolúciója: v σ,σ m,n,x y = g m+1g n+1 σd (k,λ)σ,σ x y σ. A bilokális csatolások evolúcióját a lokális csatolások indítják be. A kevert állapotok megjelenéséhez m,n 3 indexekkel rendelkező bilokális csatolások kellenek. Fa-szinten a bilokális csatolások q-függetlenek. Aσ = σ CTP indexszel jellemzett tagok a hagyományos egyidőtengelyes formalizmusban is megjelennek. A (σ = σ ) nem-diagonális tagok adják a kevert állapotok járulékát. A nem-diagonális elemek írják le az IR-UV módusok összefonódását. Ezek a CTP formalizmussal válnak elérhetővé.

11 Kitekintés Multiloka lis kifejte s euklideszi esetben sem vizsgálták RG módszerrel impulzusfüggo csatolások létezhetnek új releváns csatolások a lokális potenciálon alapszik több alapveto eredmény (S, Nagy, J. Polonyi, I. Steib, Renormalization of bilocal potentials, elo készületben)

12 Kitekintés CTP RG egyenletek és fluktuációk A lokális és bilokális potenciál funkcionális alakjának megválasztása. A lokális potenciál valós része off-shell, a komplex része on-shell. A Wegner-Houghton egyenlettel írjuk le, ami tartalmazza a bilokális potenciál járulékát is. A bilokális potenciál nyeregponti része fa-szintű renormálással fejődik. A bilokális potenciál fluktuációs része szintén a Wegner-Houghton egyenlettel kapható meg.

13 Köszönetnyilvánítás A kutatást az OTKA (K112233) és a Bolyai János Ösztöndíj támogatta.

Hasonló dokumentumok

BKT fázisátalakulás és a funkcionális renormálási csoport módszer

BKT fázisátalakulás és a funkcionális renormálási csoport módszer Nándori István MTA-DE Részecskefizikai Kutatócsoport, Debreceni Egyetem MTA-Atomki, Debrecen Wigner FK zilárdtestfizikai és Optikai Intézet,