α részecske = 2p + 2n = bozon, 3 He = 2p+n+2e = fermion, H 2 molekula= 2(p+e ) = bozon, pozitron = e + = fermion,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "α részecske = 2p + 2n = bozon, 3 He = 2p+n+2e = fermion, H 2 molekula= 2(p+e ) = bozon, pozitron = e + = fermion,"

Átírás

1 Osztályozzuk a következő részecskéket a Fermi Dirac- és a Bose Einsteinstatisztika alapján: α-részecske, 3 He, H 2 molekula, pozitron, 6 Li + ion és 7 Li + ion A proton p), a neutron n), az elektron e ), és a pozitron e + ) fermionok A válaszokat úgy adhatjuk meg, hogy megvizsgáljuk, az egyes részecsklék hány fermionból állnak: α részecske = 2p + 2n = bozon, 3 He = 2p+n+2e = fermion, H 2 molekula= 2p+e ) = bozon, pozitron = e + = fermion, 6 Li + ion = 3p+3n+2e = bozon, 7 Li + ion = 3p+4n+2e = fermion 2 Számítsuk ki az 2 spinű részecskékből álló 3D ideális Fermi-gáz µ Fermipotenciálját és E belső energiáját 2 rendig abban az esetben, amikor a degeneráció megfelelően nagy A V térfogatú dobozban lévő szabad részecske Dε) állapotsűrűsége Dε) = 2V h 3 Z d ε 4πp 2 d p = 2 2πV dε ) 2m 3/2 h 2 ε /2, ahol p 2 = 2mε, a 2-es faktor pedig a spindegenráció következménye K-en az energiaállapotok az ε=µ szintig teljesen be vannak töltve µ meghatározható az Z µ Dε)dε = 4πV 2m h 2 ) 3/2 Z µ összefüggés alapján, ahol N a részecskeszám, így ) µ = h2 3N 3/2 2m 8πV ) 8π 2m 3/2 εdε = 3 V h 2 µ = N

2 2 Ez alapján Dε) = 3 2 Nε 2 µ 3 2 Véges hőmérsékleten az N = R fε)dε)dε összefüggést használva fε)dε)dε = 3 2 Nµ 3 2 A Bethe Sommerfeld sorfejtést ε gε) fε)dε = Z µ ε 2 fε)dε) = N ε gε)dε+ π2 6 k)2 g µ)+o k µ )4 ahol gε) folytonos, jól viselkedő függvény) alkalmazva, és ε = -t, illetve gε) = ε /2 -et behelyettesítve elsőrendben: µ µ ) 3 ) 2 [+ π2 k 2 + ] =, 8 µ tehát [ ) µ= µ + π2 k 2 ] 2/3 + 8 µ Közelítve +x) a +ax+ ): A belső energia: E = [ ) µ= µ π2 k 2 + ] 2 µ εdε) fε)dε = 3 2 Nµ 3/2 ε 3/2 fε)dε Ismét alkalmazva a Bethe Sommerfeld sorfejtést, elsőrendben: E = 3 ) µ 3/2 ) 5 N µ [+ 5π2 k 2 + ] µ 8 µ Felhasználva a µ-re kapott kifejezést: E = 3 5 Nµ [+ 5π2 k 2 µ ) 2 + ]

3 3 3 3 Mutassuk meg, hogy az ideális Fermi-gáz C V fajhőjére elegendően alacsony hőmérsékleten fennáll a C V = 3 π2 k 2 Dµ ) összefüggés, ahol Dε) egy részecske állapotsűrűsége K-en véges hőmérsékleten Z µ Dε)dε = N, Dε) fε)dε = N Alkalmazva a Bethe Sommerfeld sorfejtést: így N = Z µ Z µ Dε)dε+ 6 π2 k) 2 D µ)+, µ Dε)dε+ 6 π2 k) 2 D µ)+ = Alacsony hőmérsékleten µ µ µ,µ, így az előző egyenletet közelíthetjük: Így Hasonlóan sorfejtés után: E = Közelítve Z µ εdε)dε µ µ )Dµ )+ 6 π2 k) 2 D µ )+ = ε fε)dε)dε = Z µ µ µ 6 π2 k) 2 [ d dε lndε) ] Z µ ε=µ εdε)dε+ 6 π2 k) 2 [ d dε εdε) ] εdε)dε+µ µ )µ Dµ ) Z µ ε=µ + εdε)dε 6 π2 k) 2 µ D µ ),

4 4 az eredmény: Innen E Z µ C V = εdε)dε+ 6 π2 k) 2 Dµ ) ) E V 3 π2 k 2 Dµ ) 4 Egy mintában N darab elektron van, az elektronok állapotsűrűsége { D, ha ε > Dε) =, ha ε < a) Számítsuk ki a kémiai potenciált és a belső energiát K-en, N függvényében! Ellenőrizzük, hogy az energia extenzív mennyiség-e! b)n és segítségével adjuk meg annak feltételét, hogy a gáz nem degenerált! c)számítsuk ki a fajhőt és a kémiai potenciált alacsony hőmérsékleten erősen degenerált határeset)! Segítség: használjuk a Bethe-Sommerfeld sorfejtést!) így a) N = Z µ Dε)dε = Dµ, µ = N D Az energia E = Z µ εddε = Dµ2 2 = N2 2D, tehát, mivel az állapotsűrűség a térfogattal arányos D V), az energia extenzív mennyiség b) Nemdegenerált határeset feltétele: e βµ

5 4 5 Ekkor tehát a nemdegeneráltság feltétele N = e βµ e βε Ddε = e βµ Dk, e βµ = Dk N, jelentése: a k intervallumban sokkal több állapot kell, hogy legyen, mint ahány részecske van a rendszerben Más alakban felírva: Így k N D c) Bethe-Sommerfeld sorfejtés: Fε) fε)dε Z µ k µ, Z µ Fε)dε+ π2 6 k)2 F µ) E ) Dεdε+ π2 6 k)2 Dε) µ = 2 Dµ2 + π2 6 k)2 D A fajhő számításához szükséges a kémiai potenciál hőmérsékletfüggésének ismerete A részecskeszám normaintegrál): így N = Dε)dε e k ε µ) +, ) µ= µ + π2 d 6 k)2 dε lndε) ε=µ Alacsony hömérsḱleten a kémiai potenciál hőmérsékletfüggésétől eltekinthetünk: C ) = E = kπ2 3 Dk, a fajhő lineárisan indul Megjegyzés: Az eredményt a Bethe Sommerfeld sorfejtés nélkül is megkaphatjuk: βµ esetén [ Z µ Z µ ) Z ] dε N = D dε e βε µ) dε+ + µ e βε µ) = + [ Z µ Z dε ] = D µ e βε µ) + + dε µ e βε µ) + [ Z dy ] D µ e βy + + dy e βy = Dµ, +

6 6 és E = [ Z εddε µ Z µ Z e βε µ) + = D εdε ] εdε e βε µ) + εdε µ e βε µ) + [ Z ] D 2 µ2 + 2k) 2 xdx e x = + Az egyenlet első tagja nem függ a hőmérséklettől, így: 5 de d 3 π2 Dk 2 Mutassuk meg, hogy az ideális Fermi-gáz állapotegyenlete pv = 2 3 U = 2 Dµ2 + 6 π2 Dk) 2 alakban írható, és vezessük le a kompresszibilitásra vonatkozó képletet erős degeneráció esetén A nagykanonikus partíciós függvényt használva pv = k lnξ = k Dε)dεln+e βµ ε) ), ahol szabad elektronok esetén Dε) = Cε /2, 2 ) 3 Cµ2/3 = N,µ = h2 3N 2/3 2m 8πV Parciálisan integrálva: = )[ 3 2 Nk 3 µ 2 2 ) 3 pv = 2 Nk 2 µ 3 ε 2 dεln+e βµ ε) ) = 3 ε 3 2 ln+e βµ ε) ) = Nµ 3 2 ] + 2 ) 3 β ε 3 2 dεe βε µ) + ) = ε 3 2 dε fε) = 2 3 εdε) fε)dε = 2 3 E

7 6 7 Felhasználva az előző feladatban kapott energia kifejezést: ν V/N jelöléssel: Az előző feladat alapján µ = h2 2m 6 κ = V ) V p pv = 2 5 Nµ + π2 6 N k2 2 µ + p = 2 µ 5 ν + π2 k µ ν + = ν ) p ν 3N 8πV ) 3/2 V 2/3, így a kompresszibilitás = [ 2 µ 3 ν + π2 k 2 2 ] 8 µ ν + = = 3 2 ν µ ) [ π2 k 2 + ] 2 µ Becsüljük meg a Fermi-energiát a) tipikus fémben lévő elektronokra b) tipikus fémben lévő nukleonokra a mag sugara R = r A 3, r = 2 5 m), A a nukleonok száma) c) He 3 folyadékban az egy atom által elfoglalt térfogat m 3 ) A Fermi energia: ahol k F = ε F = ħ2 k 2 F 2m, 6π 2 N gv ) /3, g a spindegeneráció Mivel N = g k <kf ) Így a) N V 29 m 3,ε F 5eV

8 8 b) c) N V A r 3 A = r 3 45 m 3,ε F 8 ev ε F 3 ev 7 együk fel, hogy az elektronok között nincs kölcsönhatás! Milyen sűrű legyen az elektrongáz ahhoz, hogy a Fermi-felületen levő elektronok sebessége a fénysebesség fele legyen? ρ 35 m 3 8 Hogyan aránylik egymáshoz a proton- és az elektrongáz adott sűrűségen vett Fermi-hőmérséklete? k F = ε F = ħ2 6π 2 N ) 2/3, 2m gv ez alapján: F e p = m p F m e 9 Számítsuk ki a = K hőmérsékletű ideális Fermi-gáz nyomását!

9 9 = hőmérsékleten S =, így ) E p = V A teljes energia: N ħ2k2 E = g 2m = 3 5 Nε F = 3 5 N ħ2 6π 2 N ) 2/3, 2m gv k <k F ami alapján p = 2 N ħ 2 6π 2 N ) 2/3 5 V 2m gv Számítsuk ki a betöltési szám fluktuációját Fermi Dirac statisztika esetén! A betöltési szám: Így n = z i = e βε µ) + z = z i i n max e βµ ε i)n n= P i n) = eβµ ε i)n z i n i = np i n) = z i n z i βµ) 2 z i ni n j = δi j z i βµ) 2 + δ i j) n i n j n i n j n i n j = δ i j n i n i )

10 Számítsuk ki a betöltési szám fluktuációját Bose Einstein statisztika esetén! A betöltési szám: n i = e βε i µ) Az előző feladat számolását felhasználva a fluktuáció: n i n j n i n j = δ i j n i + n i ) 2 Számítsuk ki a betöltési szám fluktuációját Boltzmann statisztika esetén! Az előző feladathoz hasonlóan A fluktuáció: n i n j n i n j = δ i j n i + n i ) Boltzmann statisztika esetén n i e βµ ), így n i n j n i n j = δ i j n i 3 Mutassuk meg, hogy kétdimenziós ideális Bose-gázban nem léphet fel Bose Einstein kondenzáció! L x L y területű tartományban lévő ideális gázmolekulák energianívóira teljesül az alábbi összefüggés: εk x,k y ) = ħ2 2m k2 x + k 2 y) k x = 2πn x,k y = 2πn y,n x,n y =,±, L x L y Bose statisztika esetén a teljes részecskeszám N = i e ε i µ)/k,

11 4 ahol az összegzést az összes energianívóra kell elvégezni Feltéve, hogy L x és L y nagyok, az összegzés k térbeli integrálásra cserélhető: ahol k 2 = k 2 x + k 2 y Így Változócserével: N = L Z xl y 2π) 2 dk x dk y ), exp β ħ2 k 2 2m µ) N = L Z xl y 2π) 2 2π kdk ) = exp β ħ2 k 2 2m µ) Z m dε = 2πL x L y h 2 e βε µ) N = 2πL x L y mk h 2 dx e x βµ Látható, hogy µ esetben az integrál divergál, azaz µ megefelelő megválasztásával a részecskeszám állandónak tartható tetszőlegesen alacsony hőmérsékleten, így nem lép fel BEC 4 Mutassuk meg, hogy egydimenziós ideális Bose-gázban nincs kondenzáció! Az előző feladathoz hasonlóan a részecskeszám változócsere után felirható: ) N 2πmk /2 V = dx h 2 e x2 βµ Látható, hogy µ esetben az integrál divergál, azaz µ megefelelő megválasztásával a részecskeszám állandónak tartható tetszőlegesen alacsony hőmérsékleten, így nem lép fel BEC 5 Állandó hőmérsékleten milyen sűrűségnél következik be a Bose-kondenzáció az ideális Bose-gázban? Hogyan függ a sűrűségtől a kondenzált részecskék

12 2 száma? Három dimezióban az állapotsűrűség: gε) = ) 2m 3/2 2π 2 ħ 2 ε /2 Mivel a BEC megjelenését a kémiai potenciál zérussá válása jelzi, így a kritikus sűrűség: x ε k változócserével: N 2m V = 2π ħ 2 Ez alapján a kritikus sűrűség ) 3/2 dεε /2 e ε ) N 2mk 3/2 V = 2π dxx /2 ħ 2 e x ρ c 3/2 ρ > c esetén a kondenzátumban lévő részecskéket N ) külön kell választanunk így 6 N = N + n k, k N N = ρ c ρ A modellt a kölcsönható gázok egy leegyszerűsített leírására használjuk A térfogatot b nagyságú cellákra osztjuk, egy részecske állapotát azzal adjuk meg, melyik cellában található A merev gömböknek megfelelő rácsgázban a kölcsönhatás u i j = {, ha i = j, ha i j

13 7 3 alakú, ahol i és j a cellák indexe a) Határozzuk meg az állapotegyenletet! b) Számítsuk ki a viriálegyütthatókat! a) Mivel V b így számú cellában van N részecske, az állapotösszeg konfigurációs része: ) V/b Q = b N, N p k = V lnq = b ln Nb ) V Ritka gáz határesetben ρ= V N b ) visszakapjuk az ideális gázra vonatkozó állapotegyenletet ρ = b esetben p, mivel több részecskét nem tudunk elhelyezni az adott térfogatban b) Az állapotegyenlet ρ szerinti sorfejtéséből tehát a viriálegyütthatók: 7 p k = b n= Nb V B n = bn n ) n n, Szilárdtestben az atomok egyensúlyi helyzetük körül kis amplitúdójú rezgést végeznekn atom esetén 3N normálmódus van Az ω és ω+dω közti frekvenciájú módusok száma gω) = 3 V 2π) 3 4πk2 dk, és k = ω c, ahol c a hangsebesség Az állapotsűrűség: gω)dω = V 3ω2 2π 2 c 3 dω, a Debye-frekvenciát az összes módus száma határozza meg: 3N = Z ωd gω)dω

14 4 6π 2 ) N 3 ω D = c V Határozzuk meg a teljes energiát és a fajhőt és elemezzük a hőmérsékletfüggést! Az energia E = 3V Z ωd 2π 2 c 3 E N = 9k)4 ħω D ) 3 A Debye-függvényt használva ) E N = 3k D D = 3k dω e βħω ħω Z βħωd 3k[ π4 5 ahol D = ħω D k, Debye-hőmérséklet Így és ω2 t 2 dt e t ) 3 D 8 +, ha D ) 3, D +], ha D C V ) 3Nk C V ) Nk 3 A fajhő alacsony hőmérsékleten köbösen indul, majd magas hőmérsékleten belesimul a Dulong Petit törvény által megadott értékbe 8 Mutassuk meg, hogy a fotongáz kémiai potenciálja A tartályba zárt elektromágneses hullámokat rezgési normál módusoknak tekinthetjük Az i-edik normál módus frekvenciája ν i, n i a módus kvantumszáma Ekkor az n,n, ) kvantumszámokkal meghatározott hullám energiája En,n, ) = n i hν i i

15 9 5 Ez alapján a fotongáz kanonikus partíciós függvénye Z,V) = n = n = [ exp En ] ),n, ) = Π i e hν i k, k és n j = n j e n j n j = [ hν j k e n j n j = ] hν j k = e hν j k Ezek az egyenletek egy µ= kémiai potenciálú ideális gáz egyenletei Megjegyzés: Az eredmény egyszerűbben is megkapható: mivel a fotonok N számára nincsen megkötés, rögzített és V mellett a szabadenergiát a ) F = N,V összefüggés minimalizálja, amely pontosan megegyezik a kémiai potenciál kifejezésével: 9 F N = µ= Számítsuk ki átlagtér tér közelítésben egy Ising-ferromágnes szabadenergáját, fajhőjét, szuszceptibilitását a mágnesezettség függvényében! Molekuláris tér közelítésben S i S j = m 2 + ms i + ms j +S i m)s j m) m 2 + ms i + ms j Az állapotösszeg [ = exp S [ )] Z = exp β J S i S j B S i = S i, j i N zk ] 2 m2 +zkm+h) S i = e N zk 2 m2 [2chzkM + h)] N, i

16 6 ahol N a rácspontok száma, z az első szomszédok száma, K = k J,h = B m = S i = zkm+h) Így a szabadenergia: [ F = k lnz = N ] 2 zjm2 k ln[2chzkm+h)], a fajhő: C B = a szuszceptibilitás pedig 2 2 ) F 2 = N ) zj m B 2 m2 Bm = NzJm B) χ = ) M k) = B ch 2 zkm+h) zk Vizsgáljuk átlagtér tér közelítés segítségével, hogyan változik egy Ising-ferromágnes mágnesezettsége és szuszceptibilitása a fázisátalakulási ponthoz közeledve! ), B k, Mint az előző feladatban láttuk, mágneses tér nélkül m = th zjβm) x esetén thx) x, így zjβ < esetén az egyenletnek csak m = a megoldása, nincs spontán mágnesezettség magashőmérsékleti fázis) zjβ > esetben három megoldás van m =,m = ±m ), mely esetben az m ± megoldás minimalizálja a szabadenergiát, így spontán mágnesezettség jelenik meg a rendszerben A fázisátalakulás k c = zj pontban következik be A kritikus hőmérséklet alatt kicsi a mágnesezettség, így th zjβm) sorfejtése: m zjβm 3 zjβ)3 m 3 Ez alapján zjβ > -re ) 3 zjβ ) /2 m = zjβ) 3 c ) /2

17 2 7 A szuszceptibilitás megkapható mágneses tér nélkül) ) m k) χ = = B ch 2 zjβm)+zjβ > c esetén m =, így χ > k c ) < c esetén ch 2 -et sorbafejtve m 2 rendig: χ, 2k c ) A fázisátalakulási pontban a szuszceptibilitás divergál analóg módon a Van der Waals gáz kompresszibilitásának kritikus pontbeli divergenciájával 2 Vizsgáljuk az Ising modellt egy dimenzióban, periodikus határfeltétellel N részecske)! A partíciós függvény és a transzfermátrix segítségével határozzuk meg a szabadenergiát Vizsgáljuk a mágnesezettség határeseteit! A partíciós függvény: A transzfermátrix: Z N = s s 2 [ β = s s N exp ahol s,s = ± Ekkor [ exp s N N i= s ˆ s ss = exp ) = s ˆ s 2 s 2 ˆ s s 2 β N i= ] Js i s i+ + Hs i ) = εs i s i+ + ] 2 Hs i + s i+ )) [ βjss + ] 2 Hs+s )), Z N = s s 2 s2 s 3 sn s N sn s = s s N ) s 3 s 3 s N ˆ s = s 3 = s s N s = r N )

18 8 Kifejtve: + ˆ + = expβj + H)) ˆ = expβj H)) + ˆ = expβ J)), sajátértékei: ] λ ± = e [chβh) βj ± sh 2 βh)+e 4βJ Így Z N = r N ) = λ N + + λ N J > ferromágnes), >, így bármely H esetén λ + > λ, N esetén λ nem fontos, Z N λ N + Ekkor a szabadenergia: = NJ Nk ln F = k lnλ N +) = Nk λ + = [ ] chβh) + sh 2 βh)+e 4βJ A határesetek: MH =, ) = [ ] MH, ) = N 2exp 2βH + 2J)) MH = f ix, ) = N H k Curie-tv) MH = f ix, = f ix,j ) = N hőmérséklet nem veri szét a teljes rendet)

19 Mutassuk meg alkalmas transzformációval, hogy a rácsgáz modell leképezhető az Ising modellre! Egy dimenzióban rácsgáz modell Hamilton függvénye: H = µ n j ε n j n k, j jk ahol az egyes cellák betöltési száma n i =,, ε pedig a szomszédos cellák közötti kölcsönhatás Hogy belássuk az ekvivalenciát, változó transzformációt végzünk: n i s j + )/2 Ezzel a cserével H = µ 2 j s j + ) ε 4 jk s j + )s k + ) = = ε 4 s j s k ε 2 + µ 2 s j µ 2 jk jk j = ε 4 Nε j s k jk s 2 + µ ) 2 s j ε 4 jk = s j Nε j 4 Ez alapján látható az izomorfia a rácsgáz és az Ising modell között, a betöltött üres) cellának felfelé lefelé) álló spin felel meg, a csatolás: J = ε/4, a mágneses tér: h = Nε 2 + µ 2 az energiában megjelenő konstans járulék természetesen nem okoz gondot) 23 Egy kölcsönható gázban a részecskék közötti párpotenciál a következő: u ha r < r u ur) = ha r r < αr, egyébként ahol u > és α > a) Írja fel a gáz állapotegyenletét a viriálsorfejtés első nemtriviális tagjáig! b) Ebben a közelítésben számítsa ki azt a hőmérsékletet, ahol a nyomás megegyezik az ugyanolyan hőmérsékletű és sűrűségű) ideális gáz nyomásával! Milyen α ra létezik ilyen hőmérséklet?

20 2 Megoldás a) A viriálegyüttható: ahol B 2 ) = 2π Az állapotegyenlet: ) e βur) r 2 dr ) = 2π e βu r 3 ) 3 2π e βu r 3 α 3 ) 3 = V e βu + α 3 ) )) e βu, 2 p = nk B + n 2 k B B 2 ) = nk B n 2 k B V 2 V = 4πr3 3 e βu + α 3 ) )) e βu b) Keressük azon hőmérsékletet, melyre B 2 ) = = e β u + α 3 ) ) e β u =, ahol β = /k B Bevezetve az x = e β u > ) jelölést, a α 3 ) x 2 α 3 x+ = másodfokú egyenlethez jutunk, melynek megoldásai x 2 = α3 ± α 6 4α 3 ) 2α 3 ) = α3 ± α 3 2 2α 3 ) = α 3, ha α 3 2 x = a triviális megoldást jelenti Figyelembevéve az x > feltételt, nemtriviális megoldás csak α < 3 2 esetén létezik: β u = ln α 3 ) = = k B lnα 3 ) α = 3 2 esetén x = x 2 = ) u

21 Egy kölcsönható gázban a molekulák között ható párpotenciált a következő függvény írja le: u >,r > r ) ur) = u lnr/r ) ha < r < r ha r r, a) Írja fel a gáz állapotegyenletét a viriálsorfejtés első nemtriviális tagjáig! b) Ebben a közelítésben és az u /k B határesetben számítsa ki azt a hőmérsékletet, ahol a nyomás megegyezik az ugyanolyan hőmérsékletű és sűrűségű ideális gáz nyomásával! Mi a feltétele létezésének? Használja a lim x ln+x) x 2 x2 azonosságot!) Megoldás a) A viriálegyüttható:) B 2 ) = 2π = 2π Z r ) e βur) r 2 dr [ ) r βu ] r 2 dr r = 2πr3 Z r 3 /r 2πr3 = 2πr3 3 2πr3 3+βu ) = 2πr3 3 Az állapotegyenlet tehát: p = nk B + n 2 k B B 2 ) = nk B + n 2 k B 2πr3 3 +βu /3 t 2+βu dt ) 3+βu r r r r +βu /3 ) βu ) r r ) βu )

22 22 b) Keressük azon hőmérsékletet, melyre B 2 ) = = r r ) β u = + β u 3, ahol β = /k B Bevezetve az x = β u x > ) jelölést, az ) x r = + x 3, r egyenlet megoldhatóságának feltételét keressük Mindkét oldali függvény x = -ban az értéket veszi fel, azaz mint mindig) triviális megoldás Ugyanakkor mindkét függvény monoton nő és könnyen belátható, hogy x > metszéspontjunk akkor van, ha az r ) x r függvény deriváltja x = -ban kisebb mint 3, d dx r r ) x = ln r r r r ) x ln r r < 3 r < e /3 r = 396r A magas hőmérsékleti megoldást x ) keresve is ugyanerre az eredményre jutunk Logaritmust vonva ugyanis: xln r r = ln+x/3) x 3 x2 8 = x = 8 ln r ) >, r 3 amiből a ln r r < 3 feltétel adódik Ekkor = u 6k B 3ln r r ) Nyilvánvaló, hogy a fenti kifejezés r e /3 r határesetben egyre jobban közelíti az egzakt megoldást

23 Egy reális gáz állapotegyenlete a következő: p = nk B Bn 2 +Cn 3, ahol B, C pozitív konstansok, és n = /v = N/V a) Számítsa ki a termodinamikai változók kritikus értékeit p c, c, n c )! b) Írja fel a redukált állapotegyenletet! c) Határozza meg az izotermikus kompresszibilitás viselkedését c körül! Segítség: Megoldás a) Kritikus paraméterek: κ ) V ) p = V = n p n p n = k B 2Bn+3Cn 2 2 p n 2 = 2B+6Cn 2 p n 2 = = n c = B nc 3C p n = = k B c = 2Bn c 3Cn 2 c = 2B B nc, c c = B2 3k B C B 3C 3C 3C ) 2 = B2 3C = Bn c p c = n c k B c Bn 2 c +Cn 3 c = Bn 2 c Bn 2 c +Cn 3 c == Cn 3 c = B3 27C 2 b) Redukált állapotegyenlet p p p c, c,n n n c

24 24 pp c = nk B n c c Bn 2 n 2 c +Cn 3 n 3 c n c k B c p c p = n n ck B c p c = B Cn c = 3 n 2 Bn2 c p c, Bn2 c p c + n 3Cn3 c p c = B Cn c = 3 p = 3n 3n 2 + n 3, Cn3 c p c = c) Izotermikus kompresszibilitás κ = ) V = κ V p A kritikus pont körül: ) p = V = n V p = 3 6n+3n2 n ) p = p c n n ) p n κ = p cn 3 6n+3n 2) = κ n= = p ) B 3 ) c 3 3 = 9C 2 κ = 9C2 B 3

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban. Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból

Részletesebben

dinamikai tulajdonságai

dinamikai tulajdonságai Szilárdtest rácsok statikus és dinamikai tulajdonságai Szilárdtestek osztályozása kötéstípusok szerint Kötések eredete: elektronszerkezet k t ionok (atomtörzsek) tö Coulomb- elektronok kölcsönhatás lokalizáltak

Részletesebben

Fermi Dirac statisztika elemei

Fermi Dirac statisztika elemei Fermi Dirac statisztika elemei A Fermi Dirac statisztika alapjai Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra érvényes klasszikus statisztika

Részletesebben

Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás

Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás Monte Carlo módszerek a statisztikus fizikában. Az Ising modell. 8. előadás Démon algoritmus az ideális gázra időátlag fizikai mennyiségek átlagértéke sokaságátlag E, V, N pl. molekuláris dinamika Monte

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Molekuláris dinamika. 10. előadás

Molekuláris dinamika. 10. előadás Molekuláris dinamika 10. előadás Mirőlis szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok, gázok, szilárdtestek makroszkópikus

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 Kérdések. 1. Mit mond ki a termodinamika nulladik főtétele? Azt mondja ki, hogy mindenegyes termodinamikai kölcsönhatáshoz tartozik a TDR-nek egyegy

Részletesebben

3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

3. (b) Kereszthatások. Utolsó módosítás: április 1. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 3. (b) Kereszthatások Utolsó módosítás: 2013. április 1. Vezetési együtthatók fémekben (1) 1 Az elektrongáz hővezetési együtthatója A levezetésben alkalmazott feltételek: 1. Minden elektron ugyanazzal

Részletesebben

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk

Részletesebben

1. előadás. Gáztörvények. Fizika Biofizika I. 2015/2016. Kapcsolódó irodalom:

1. előadás. Gáztörvények. Fizika Biofizika I. 2015/2016. Kapcsolódó irodalom: 1. előadás Gáztörvények Kapcsolódó irodalom: Fizikai-kémia I: Kémiai Termodinamika(24-26 old) Chemical principles: The quest for insight (Atkins-Jones) 6. fejezet Kapcsolódó multimédiás anyag: Youtube:

Részletesebben

Szilárdtestek sávelmélete. Sávelmélet a szabadelektron-modell alapján

Szilárdtestek sávelmélete. Sávelmélet a szabadelektron-modell alapján Szilárdtestek sávelmélete Sávelmélet a szabadelektron-modell alapján A Fermi Dirac statisztika alapjai Nagy részecskeszámú rendszerek fizikai jellemzéséhez statisztikai leírást kell alkalmazni. (Pl. gázokra

Részletesebben

Atomok. szilárd. elsődleges kölcsönhatás. kovalens ionos fémes. gázok, folyadékok, szilárd anyagok. ionos fémek vegyületek ötvözetek

Atomok. szilárd. elsődleges kölcsönhatás. kovalens ionos fémes. gázok, folyadékok, szilárd anyagok. ionos fémek vegyületek ötvözetek Atomok elsődleges kölcsönhatás kovalens ionos fémes véges számú atom térhálós szerkezet 3D ionos fémek vegyületek ötvözetek molekulák atomrácsos vegyületek szilárd gázok, folyadékok, szilárd anyagok Gázok

Részletesebben

Szilárdtestek mágnessége. Mágnesesen rendezett szilárdtestek

Szilárdtestek mágnessége. Mágnesesen rendezett szilárdtestek Szilárdtestek mágnessége Mágnesesen rendezett szilárdtestek 2 Mágneses anyagok Permanens atomi mágneses momentumok: irány A kétféle spin-beállású elektronok betöltöttsége különbözik (spin-polarizáció)

Részletesebben

Atomok és molekulák elektronszerkezete

Atomok és molekulák elektronszerkezete Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre

Részletesebben

Szilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t

Szilárdtestek el e ek e tr t o r n o s n zer e k r ez e et e e t Szilárdtestek elektronszerkezete Kvantummechanikai leírás Ismétlés: Schrödinger egyenlet, hullámfüggvény, hidrogén-atom, spin, Pauli-elv, periódusos rendszer 2 Szilárdtestek egyelektron-modellje a magok

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (e) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: december 3. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (e) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: december 3. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (e) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2014. december 3. 1 A Klein-Gordon-egyenlet (1) A relativisztikus dinamikából a tömegnövekedésre és impulzusra vonatkozó

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Termodinamikai bevezető

Termodinamikai bevezető Termodinamikai bevezető Alapfogalmak Termodinamikai rendszer: Az univerzumnak az a részhalmaza, amit egy termodinamikai vizsgálat során vizsgálunk. Termodinamikai környezet: Az univerzumnak a rendszeren

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

ω mennyiségek nem túl gyorsan változnak

ω mennyiségek nem túl gyorsan változnak Licenszvizsga példakérdések Fizika szak KVANTUMMECHANIKA Egy részecskére felírt Schrödinger egyenlet szétválasztható a három koordinátatengely irányában levő egydimenziós egyenletre ha a potenciális energiára

Részletesebben

Zaj- és rezgés. Törvényszerűségek

Zaj- és rezgés. Törvényszerűségek Zaj- és rezgés Törvényszerűségek A hang valamilyen közegben létrejövő rezgés. A vivőközeg szerint megkülönböztetünk: léghangot (a vivőközeg gáz, leggyakrabban levegő); folyadékhangot (a vivőközeg folyadék,

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

A kémiai és az elektrokémiai potenciál

A kémiai és az elektrokémiai potenciál Dr. Báder Imre A kémiai és az elektrokémiai potenciál Anyagi rendszerben a termodinamikai egyensúly akkor állhat be, ha a rendszerben a megfelelő termodinamikai függvénynek minimuma van, vagyis a megváltozása

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Elektromágneses hullámok

Elektromágneses hullámok Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses

Részletesebben

FOTOKÉMIAI REAKCIÓK, REAKCIÓKINETIKAI ALAPOK

FOTOKÉMIAI REAKCIÓK, REAKCIÓKINETIKAI ALAPOK FOTOKÉMIAI REAKCIÓK, REAKCIÓKINETIKAI ALAPOK Légköri nyomanyagok forrásai: bioszféra hiroszféra litoszféra világűr emberi tevékenység AMI BELÉP, ANNAK TÁVOZNIA IS KELL! Légköri nyomanyagok nyelői: száraz

Részletesebben

A gáz halmazállapot. A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011

A gáz halmazállapot. A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011 A gáz halmazállapot A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 0 Halmazállapotok, állapotjelzők Az anyagi rendszerek a részecskék közötti kölcsönhatásoktól és az állapotjelzőktől függően

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Reakciókinetika és katalízis

Reakciókinetika és katalízis Reakciókinetika és katalízis k 4. előadás: 1/14 Különbségek a gázfázisú és az oldatreakciók között: 1 Reaktáns molekulák által betöltött térfogat az oldatreakciónál jóval nagyobb. Nincs akadálytalan mozgás.

Részletesebben

A talajok összenyomódásának vizsgálata

A talajok összenyomódásának vizsgálata A talajok összenyomódásának vizsgálata Amit már tudni kellene Összenyomódás Konszolidáció Normálisan konszolidált talaj Túlkonszolidált talaj Túlkonszolidáltsági arányszám,ocr Konszolidáció az az időben

Részletesebben

ATOMMODELLEK, SZÍNKÉP, KVANTUMSZÁMOK. Kalocsai Angéla, Kozma Enikő

ATOMMODELLEK, SZÍNKÉP, KVANTUMSZÁMOK. Kalocsai Angéla, Kozma Enikő ATOMMODELLEK, SZÍNKÉP, KVANTUMSZÁMOK Kalocsai Angéla, Kozma Enikő RUTHERFORD-FÉLE ATOMMODELL HIBÁI Elektromágneses sugárzáselmélettel ellentmondásban van Mivel: a keringő elektronok gyorsulnak Energiamegmaradás

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

2 Wigner Fizikai Kutatóintézet augusztus / 17

2 Wigner Fizikai Kutatóintézet augusztus / 17 Táguló sqgp tűzgömb többkomponensű kéma kfagyása Kasza Gábor 1 és Csörgő Tamás 2,3 1 Eötvös Loránd Tudományegyetem 2 Wgner Fzka Kutatóntézet 3 Károly Róbert Főskola 2015. augusztus 17. Gyöngyös - KRF 1

Részletesebben

Termodinamika (Hőtan)

Termodinamika (Hőtan) Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi

Részletesebben

8. Belső energia, entalpia és entrópia ideális és nem ideális gázoknál

8. Belső energia, entalpia és entrópia ideális és nem ideális gázoknál 8. első energia, entalpia és entrópia ideális és nem ideális gázoknál első energia első energia (U): a vizsgált rendszer energiája, DE nem tartozik hozzá - a teljes rendszer együttes mozgásából adódó mozgási

Részletesebben

Anyagtudomány: hagyományos szerkezeti anyagok és polimerek

Anyagtudomány: hagyományos szerkezeti anyagok és polimerek Anyagtudomány: hagyományos szerkezeti anyagok és polimerek Anyagok termikus tulajdonságai és egyedi jellegzetességei Fizikai Kémia és Anyagtudományi Tanszék BME Műanyag- és Gumiipari Laboratórium H ép.

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

A hőmérsékleti sugárzás

A hőmérsékleti sugárzás A hőmérsékleti sugárzás Alapfogalmak 1. A hőmérsékleti sugárzás Értelmezés (hőmérsékleti sugárzás): A testek hőmérsékletével kapcsolatos, a teljes elektromágneses spektrumra kiterjedő sugárzást hőmérsékleti

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Rezgés, Hullámok. Rezgés, oszcilláció. Harmonikus rezgő mozgás jellemzői

Rezgés, Hullámok. Rezgés, oszcilláció. Harmonikus rezgő mozgás jellemzői Rezgés, oszcilláció Rezgés, Hullámok Fogorvos képzés 2016/17 Szatmári Dávid (david.szatmari@aok.pte.hu) 2016.09.26. Bármilyen azonos időközönként ismétlődő mozgást, periodikus mozgásnak nevezünk. A rezgési

Részletesebben

5. Állapotegyenletek : Az ideális gáz állapotegyenlet és a van der Waals állapotegyenlet

5. Állapotegyenletek : Az ideális gáz állapotegyenlet és a van der Waals állapotegyenlet 5. Állapotegyenletek : Az ideális gáz állapotegyenlet és a van der Waals állapotegyenlet Ideális gáz Az ideális gáz állapotegyenlete pv=nrt empírikus állapotegyenlet, a Boyle-Mariotte (pv=konstans) és

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Légköri termodinamika

Légköri termodinamika Légköri termodinamika Termodinamika: a hőegyensúllyal, valamint a hőnek, és más energiafajtáknak kölcsönös átalakulásával foglalkozó tudományág. Meteorológiai vonatkozása ( a légkör termodinamikája): a

Részletesebben

Magszerkezet modellek. Folyadékcsepp modell

Magszerkezet modellek. Folyadékcsepp modell Magszerkezet modellek Folyadékcsepp modell Az atommag összetevői (emlékeztető) atommag Z proton + (A-Z) neutron (nukleonok) szorosan kötve Állapot leírása: kvantummechanika + kölcsönhatások Nem relativisztikus

Részletesebben

Matematika A3 1. ZH+megoldás

Matematika A3 1. ZH+megoldás Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő

Részletesebben

Az α értékének változtatásakor tanulmányozzuk az y-x görbe alakját. 2 ahol K=10

Az α értékének változtatásakor tanulmányozzuk az y-x görbe alakját. 2 ahol K=10 9.4. Táblázatkezelés.. Folyadék gőz egyensúly kétkomponensű rendszerben Az illékonyabb komponens koncentrációja (móltörtje) nagyobb a gőzfázisban, mint a folyadékfázisban. Móltört a folyadékfázisban x;

Részletesebben

Anyagismeret 2016/17. Diffúzió. Dr. Mészáros István Diffúzió

Anyagismeret 2016/17. Diffúzió. Dr. Mészáros István Diffúzió Anyagismeret 6/7 Diffúzió Dr. Mészáros István meszaros@eik.bme.hu Diffúzió Különféle anyagi részecskék anyagon belüli helyváltoztatása Az anyag lehet gáznemű, folyékony vagy szilárd Diffúzió Diffúzió -

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Idegen atomok hatása a grafén vezet képességére

Idegen atomok hatása a grafén vezet képességére hatása a grafén vezet képességére Eötvös Loránd Tudományegyetem, Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék Mahe Tisk'11 Vázlat 1 Kisérleti eredmények Kémiai szennyez k hatása a Fermi-energiára A vezet képesség

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Termodinamika. Belső energia

Termodinamika. Belső energia Termodinamika Belső energia Egy rendszer belső energiáját az alkotó részecskék mozgási energiájának és a részecskék közötti kölcsönhatásból származó potenciális energiák teljes összegeként határozhatjuk

Részletesebben

Követelmények: f - részvétel az előadások 67 %-án - 3 db érvényes ZH (min. 50%) - 4 elfogadott laborjegyzőkönyv

Követelmények: f - részvétel az előadások 67 %-án - 3 db érvényes ZH (min. 50%) - 4 elfogadott laborjegyzőkönyv Fizikai kémia és radiokémia B.Sc. László Krisztina 18-93 klaszlo@mail.bme.hu F ép. I. lépcsőház 1. emelet 135 http://oktatas.ch.bme.hu/oktatas/konyvek/fizkem/kornymern Követelmények: 2+0+1 f - részvétel

Részletesebben

Mágneses momentum, mágneses szuszceptibilitás

Mágneses momentum, mágneses szuszceptibilitás Mágneses oentu, ágneses szuszceptibilitás A olekuláknak (atooknak, ionoknak) elektronszerkezetüktől függően lehet állandóan eglévő, azaz peranens ágneses oentua (ha van bennük párosítatlan elektron, azaz

Részletesebben

= Φ B(t = t) Φ B (t = 0) t

= Φ B(t = t) Φ B (t = 0) t 4. Gyakorlat 32B-3 Egy ellenállású, r sugarú köralakú huzalhurok a B homogén mágneses erőtér irányára merőleges felületen fekszik. A hurkot gyorsan, t idő alatt 180 o -kal átforditjuk. Számitsuk ki, hogy

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Fizikai kémia Részecskék mágneses térben, ESR spektroszkópia. Részecskék mágneses térben. Részecskék mágneses térben

Fizikai kémia Részecskék mágneses térben, ESR spektroszkópia. Részecskék mágneses térben. Részecskék mágneses térben 06.08.. Fizikai kémia. 3. Részecskék mágneses térben, ESR spektroszkópia Dr. Berkesi Ottó SZTE Fizikai Kémiai és Anyagtudományi Tanszéke 05 Részecskék mágneses térben A részecskék mágneses térben ugyanúgy

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

Hőtan I. főtétele tesztek

Hőtan I. főtétele tesztek Hőtan I. főtétele tesztek. álassza ki a hamis állítást! a) A termodinamika I. főtétele a belső energia változása, a hőmennyiség és a munka között állaít meg összefüggést. b) A termodinamika I. főtétele

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 28. március 18. A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia Értékelés: A beadás dátuma: 28. március 26. A mérést végezte: 1/7 A mérés leírása:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből

1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből 1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Minek kell a matematika? (bevezetés)

Minek kell a matematika? (bevezetés) Tudomány Minek kell a matematika? (bevezetés) Osváth Szabolcs a tudomány az emberiségnek a világ megismerésére és megértésére irányuló vállalkozása Semmelweis Egyetem a szőkedencsi hétszáz éves hárs Matematika...

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás.

Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás. Mérésadatgyűjtés, jelfeldolgozás. Nem villamos jelek mérésének folyamatai. Érzékelők, jelátalakítók felosztása. Passzív jelátalakítók. 1.Ellenállás változáson alapuló jelátalakítók -nyúlásmérő ellenállások

Részletesebben

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor . Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z

Részletesebben

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék 2. (b) Hővezetési problémák Utolsó módosítás: 2013. február25. A változók szétválasztásának módszere (5) 1 Az Y(t)-re vonakozó megoldás: Így: A probléma megoldása n-re összegzés után: A peremfeltételeknek

Részletesebben

Modern Fizika Labor. 12. Infravörös spektroszkópia. Fizika BSc. A mérés dátuma: okt. 04. A mérés száma és címe: Értékelés:

Modern Fizika Labor. 12. Infravörös spektroszkópia. Fizika BSc. A mérés dátuma: okt. 04. A mérés száma és címe: Értékelés: Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 011. okt. 04. A mérés száma és címe: 1. Infravörös spektroszkópia Értékelés: A beadás dátuma: 011. dec. 1. A mérést végezte: Domokos Zoltán Szőke Kálmán Benjamin

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (b) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2013. november 9. 1 A legkisebb hatás elve (1) A legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): S: a hatás L: Lagrange-függvény 2 A

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Feketetest sugárzás. E = Q + W + W sug. E = Q + W + I * dt. ELTE II. Fizikus, 2005/2006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Hıtan (XI.

Feketetest sugárzás. E = Q + W + W sug. E = Q + W + I * dt. ELTE II. Fizikus, 2005/2006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Hıtan (XI. ELTE II. Fizikus, 2005/2006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Hıtan 0-. (XI. 29-30) Feketetest sugárzás A sugárzás egy újfajta energia transzport (W sug. ), ahol I * = S da, ρ t w j w, t w A kontinuitási egyenletbıl:

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

FIZIKA. Sugárzunk az elégedettségtől! (Atomfizika) Dr. Seres István

FIZIKA. Sugárzunk az elégedettségtől! (Atomfizika) Dr. Seres István Sugárzunk az elégedettségtől! () Dr. Seres István atommagfizika Atommodellek 440 IE Democritus, Leucippus, Epicurus 1803 1897 John Dalton J.J. Thomson 1911 Ernest Rutherford 19 Niels Bohr 3 Atommodellek

Részletesebben

Mag- és neutronfizika

Mag- és neutronfizika Mag- és neutronfizika z elıadás célja: : megalapozni az atomenergetikai ismereteket félév során a következı témaköröket ismertetjük: Magfizikai alapfogalmak (atommagok, radioaktivitás) Sugárzás és anyag

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével IgyR - 3/1 p. 1/20 Integrált Gyártórendszerek - MSc Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék IgyR - 3/1 p. 2/20

Részletesebben