Steven Weinberg: Mi történik egy kvantummechanikai mérés során?

Átírás

1 QM és CP Weinberg válasz Steven Weinberg: Mi történik egy kvantummechanikai mérés során? (magyar hangja Vecsernyés Péter) Wigner FK, Budapest CICO, Szeged

2 Kivonat QM és CP Weinberg válasz A kvantumechanika méréselméleti dogmái szerint méréskor "fölfüggesztődik" a vizsgált részrendszer unitér időfejlődése, és a részrendszer a mért mennyiség sajátállapotába (szelektív mérés), avagy az általa generált abeli részalgebrájába (nem-szelektív mérés) "ugrik". Ezek az "ugrások" teljesen pozitív leképezések a részrendszeren, melyek oda-vissza kapcsolatban vannak egy nagyobb rendszer unitér "szendvicsléseinek" a vizsgált részrendszerre történő megszorításával. Ezért fölmerül a kérdés: lehet-e egy nem-szelektív mérés dinamikai folyamat "eredménye", azaz teljesen pozitív leképezések időparaméterezett félcsoportjának hatására időben aszimptotikusan előálló állapot? A szemináriumon Weinberg konstruktív igenlő válaszát és a szükséges fogalmakat, korábbi eredményeket ismertetjük.

3 Tartalom QM és CP Weinberg válasz 1 QM-keretek és teljesen pozitív leképezések QM dinamika és mérés Teljesen pozitív (CP) leképezések CP leképezések félcsoportjának generátora 2 Weinberg válasz Weinberg konstrukció

4 Tartalom QM és CP Weinberg válasz 1 QM-keretek és teljesen pozitív leképezések QM dinamika és mérés Teljesen pozitív (CP) leképezések CP leképezések félcsoportjának generátora 2 Weinberg válasz Weinberg konstrukció

5 QM és CP Weinberg válasz QM dinamika és mérés CP leképezések CP leképezések generátora Kvantummechanikai időfejlődés QM jelölések, fogalmak megfigyelhető algebra: A absztrakt nem-kommutatív C -algebra vagy ábrázoltja B(H) L(H)-ban dinamika: α: (R, +) Aut A unitéren implementált, ha A-t már ábrázoltuk π : A B(H), π(α t(a)) = U t π(a)u t, ahol U : (R, +) U(H) (kezdő)állapot: ω : A C, lineáris, pozitív, normált funkcionál ω(αa + βb) = αω(a) + βω(b), ω(a A) 0, ω(1) = 1, ábrázolásban normális állapot: ω(a) = Tr (ρπ(a)), ρ pozitív, Tr (ρ) = 1 sűrűségmátrix vektorállapot: ω(a) = (Ω, π(a)ω), egy rangú sűrűségmátrix ρ = Ω Ω Heisenberg kép időfejlődés operátorokon: L(H) A A t := U t AU t α t(a), t R pozitív, egységőrző leképezés Schrödinger kép időfejlődés állapotokon: S(A) ω ω t := ω α t, t R, speciálisan ρ t = U tρu t

6 QM és CP Weinberg válasz QM dinamika és mérés CP leképezések CP leképezések generátora Kvantummechanikai időfejlődés QM jelölések, fogalmak megfigyelhető algebra: A absztrakt nem-kommutatív C -algebra vagy ábrázoltja B(H) L(H)-ban dinamika: α: (R, +) Aut A unitéren implementált, ha A-t már ábrázoltuk π : A B(H), π(α t(a)) = U t π(a)u t, ahol U : (R, +) U(H) (kezdő)állapot: ω : A C, lineáris, pozitív, normált funkcionál ω(αa + βb) = αω(a) + βω(b), ω(a A) 0, ω(1) = 1, ábrázolásban normális állapot: ω(a) = Tr (ρπ(a)), ρ pozitív, Tr (ρ) = 1 sűrűségmátrix vektorállapot: ω(a) = (Ω, π(a)ω), egy rangú sűrűségmátrix ρ = Ω Ω Heisenberg kép időfejlődés operátorokon: L(H) A A t := U t AU t α t(a), t R pozitív, egységőrző leképezés Schrödinger kép időfejlődés állapotokon: S(A) ω ω t := ω α t, t R, speciálisan ρ t = U tρu t

7 QM és CP Weinberg válasz QM dinamika és mérés CP leképezések CP leképezések generátora Kvantummechanikai mérés A M = i m ip i spektrálfölbontású önadjungált megfigyelhető szelektív (= "M-sajátállapotba ugrasztó") és nem-szelektív (= "M által generált abeli részalgebrába ugrasztó") mérése Heisenberg kép: µ M : A A szelektív: µ M (A) := P i AP i /ω(p i ), ω(p i ) valószínűséggel (gyakorisággal) nem-szelektív: µ M (A) := i P iap i, egyfajta re-preparáció Schrödinger kép: ˆµ M : S(A) S(A) szelektív: ω i := ω Ad P i /ω(p i ), nem-szelektív: ω M := i ω Ad P i egyaránt "elrontják" az unitéren implementált dinamikát, de mindkét mérés teljesen pozitív (CP) leképezés µ: A A pozitív egységőrző leképezések pozitív, ha µ(a +) A + := {A A A A} a pozitív elemek kónusza egységőrző, ha µ(1) = 1, ahol 1 az A egységeleme állapotot állapotba visznek: ω S(A) ω µ S(A) azaz "őrzik a valószínűségi interpretáció lehetőségét" ω µ ha µ nem egységőrző, normálni kell: S(A) ω(µ(1))

11 QM és CP Weinberg válasz QM dinamika és mérés CP leképezések CP leképezések generátora Teljesen pozitív leképezések és kapcsolatuk részrendszerekkel µ: A A teljesen pozitív (egységőrző) leképezés olyan pozitív (egységőrző) leképezés, mely tetszőleges véges részrendszerrel való "triviális" kiterjesztésre is poziív leképezés marad azaz ha µ n := µ Id n : A M n A M n pozitív n N unitér szendvicselés, nem-szelektív mérés: egységőrző CP leképezés szelektív mérés: CP, de nem egységőrző Két "CP-állítás" S=system és E=environment kapcsolatáról QM-ben teljes rendszer részrendszer Ha U t U(H S H E ), t R unitér dinamika a teljes rendszeren B(H S ) A Φ t(a) := Tr E [(1 S ρ E )U t (A 1 E )U t] B(H S ) egységőrző CP leképezés B(H S )-en t R lehetne "CP-dinamikát" nézni a részrendszeren az unitér helyett

15 QM és CP Weinberg válasz QM dinamika és mérés CP leképezések CP leképezések generátora Részrendszer CP leképezései és izometrikus/unitér szendvicselés részrendszer kiterjesztett rendszer Ha Φ egységőrző, σ-gyengén folytonos CP B(H S )-en H E és V izometria H S H E -n, hogy minden ρ E S(H E ) Φ(A) = Tr E [(1 S ρ E )V (A 1 E )V ], A B(H S ) (további kiterjesztéssel V unitérré tehető, de az már ρ E -függő) részrendszer minden CP-je izometrikus/unitér szendvicselés megszorításából jön nem-szelektív mérés: nincs benne stochasztikus elem egyfajta egységőrző CP-"újrapreparálása" a részrendszernek a mérőműszer segítségével, a mérőműszerrel kiterjesztett teljes rendszerben Weinberg kérdés: eredményezheti-e ezt az egységőrző CP leképezést egy lineáris determinisztikus effektív egységőrző CP-dinamika t aszimptotikus időben?

18 QM és CP Weinberg válasz QM dinamika és mérés CP leképezések CP leképezések generátora CP leképezések félcsoportjának generátora megszorítások: CP-leképezések speciális családját nézzük a félcsoportot alkotókat: Φ t Φ s = Φ t+s; t, s R +, ezek közül is a korlátos generátorokkal rendelkezőket (B(H) = M n(c) esetén ez nem megszorítás) Két Lindblad tétel Φ t := exp(tl) CP(A) korlátos L generátoráról: L: A A korlátos lineáris -leképezés, L(1) = 0 Def. Legyen D(L; A, B) := L(A B) L(A )B A L(B) L teljesen disszipatív, L CD(A), ha n N: D(L n; A, A) 0, A M n(a) (D 0 a reverzibilitás hiányát jelzi, L nem-deriváció voltát) T 1 Legyen Φ t := exp(tl). Ekkor Φ t CP 1 (A) L CD(A) T 2 Legyen L CD(B(H)) σ ha L az alábbi alakú L(A) = i[h, A] + k ahol H = H ; V k, k V k V k B(H) V k AV k 1 2 {V k V k, A}

22 Weinberg válasz QM és CP Weinberg válasz Weinberg konstrukció Minden M n M = i m ip i önadjungálthoz létezik egységőrző ˆL Lindblad dinamika a sűrűségmátrixokon dρ(t) dt = ˆL(ρ(t)) := i[h, ρ(t)] + k V k ρ(t)v k 1 2 {V k V k, ρ(t)} (azaz alkalmas H, V k választás), hogy ρ 0 M n sűrűségmátrixra lim t exp (tˆl)(ρ 0 ) =: ρ = i P iρ 0 P i. ˆL egységőrzésének és Neumann entrópia növekedésének kapcsolata: Benatti, Narnhofer ˆL egységőrző, ˆL(1/n) = 0 k V k V k = k V kv k ds(ρ(t))/dt 0 ahol S(ρ) := Tr (ρ log ρ) a Neumann entrópia M = i m ip i nem-szelektív mérésének képe: µ M (M n) := i P im np i = M M n

25 QM és CP Weinberg válasz Weinberg konstrukció Weinberg konstrukció kiegészítésekkel Lindblad egyenlet lineáris mátrix-differenciálegyenlet M n-ben 1. "sajátmátrix-probléma" megoldása: ˆLS α = λ αs α, S α M n 2. időfejlődés exponencializált sajátértékekkel: ρ(t) = α aα exp(tλα)sα, ahol ρ(0) = α aαsα sajátmátrixok tere teljes, ha ˆL normális operátor M n-en mint Hilbert téren, de (A, B) := Tr (A B)-re nem az releváns sajátértékek t aszimptotikában: Re λ α = 0 Re λ α < 0: sajátmátixaik "elfogynak" a kifejtésből Re λ α > 0: nem szerepelhetnek ρ(0) kifejtésében mert Tr ρ(t) = Tr ρ(0) miatt a α 0 ellentmondásra vezet: 1. ha Tr S α 0, akkor Tr ρ(t) fölrobbanna, 2. ha Tr S α = 0, akkor a nempozitív S α dominálná a pozitív ρ(t)-t ˆL alakjából + kirótt egységőrzéséből (entrópianövekedésből): Re λ α 0 és Re λ α = 0 [S α, V k ] = 0, k Tr (SαS α)re λ α = Re Tr (SαˆL(S α)) = 1 Tr ([S α, Vk ] [S α, Vk ]) 2 k 1 2 Tr (SαS α (Vk V k V k Vk )) k

30 QM és CP Weinberg válasz Weinberg konstrukció Weinberg konstrukció kiegészítésekkel ˆL -leképezés: Re λ α = 0 [S α, V k ] = 0, k L(S α) = L(S α) = λ αs α: sajátmátrix* sajátmátrix konjugált sajátértékkel azaz Re λ α = 0 S α V := {V k, V k, k} M n Q V ˆL(Q) = i[h, Q] M n V [H, V ] unitális -részalgebrában Re λ α = 0 sajátértékű ˆL-sajátmátrixok lineáris bázist alkotnak hisz (A, B) := Tr (A B)-re a i[h, ] normális (antihermitikus) operátor invariáns altere M n-ben ha V k -k és H választásával M = V [H, V ] 1. ρ M = µ M (M n), de nem föltétlenül konstans 2. ρ = i P iρp i i[h, ] operátor M -beli sajátértékei zérusok i[h, ] tisztán képzetes sajátértékei additív monoidot alkotnak egyrészt: Sα-hoz λ α = λ α =: λ α 1, másrészt: i[h, S αs β ] = i[h, S α]s β is α[h, S β ] = (λ α + λ β )S αs β S αs β 0, akkor λ αβ = λ α + λ β következmény: ha M abeli, azaz M M n maximális abeli 2. Sα k 0 ha M abeli, hisz Sα k Sα k = (SαS α) k λ α k = kλ α 0, k N ellentmond M M n véges dimenziós voltának

33 QM és CP Weinberg válasz Weinberg konstrukció Weinberg konstrukció kiegészítésekkel ha M nem-abeli, akkor ρ lehet nem konstans például: M 4 2M 2 M, azaz M 2M 1, továbbá M 4 4M 1 H M 2M 1 M E1 12 mátrixegységre λ E 12 = i(h 1 h 2 ) 0 de ez nem szükségszerű, például H V választás 2. H V M = V [H, V ] = V azaz M -ben i[h, ] sajátértékei zérusok és M = V

34 Irodalom QM és CP Weinberg válasz Weinberg konstrukció G. Lindblad: On the generators of quantum dynamical semigroups Commun.Math.Phys. 48, (1976) F. Benatti, H. Narnhofer: Entropy behaviour under completely positive maps Letters in Math.Phys. 15, (1988) S. Weinberg: What happens in a measurement arxiv: v1