Fizikus Vándorgyűlés 2016 Szeged, augusztus 26.
|
|
- Zsuzsanna Bodnárné
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Institut für Theoretische Physik, Freie Universität Berlin Fizikus Vándorgyűlés 2016 Szeged, augusztus / 30
2 Neumann-entrópia definíciója A ρ sűrűségmátrix Neumann-entrópiája S(ρ) = Trρ log ρ. Másképpen: ha p i jelöli ρ sajátértékeit, akkor S(ρ) a {p i } valószínűségeloszlás Shannon-entrópiája: S(ρ) = H Shannon ({p i }) = i p i log p i. 2 / 30
3 A Neumann-entrópia fizikában A kvantum statisztikus fizikában betölti (az egyensúlyi) entrópia szerepét. mértéke. (Kétrészű tiszta állapotok redukált sűrűségmátrixai esetén.) Az unitér termalizáció során a fenti két szerep kötődik össze. Univerzalitási osztályok és kvantumkritikusság indikátora. Egy állapot tömöríthetőségének mértéke. 3 / 30
4 A Neumann-entrópia fizikában A kvantum statisztikus fizikában betölti (az egyensúlyi) entrópia szerepét. mértéke. (Kétrészű tiszta állapotok redukált sűrűségmátrixai esetén.) Az unitér termalizáció során a fenti két szerep kötődik össze. Univerzalitási osztályok és kvantumkritikusság indikátora. Egy állapot tömöríthetőségének mértéke. 3 / 30
5 A Neumann-entrópia fizikában A kvantum statisztikus fizikában betölti (az egyensúlyi) entrópia szerepét. mértéke. (Kétrészű tiszta állapotok redukált sűrűségmátrixai esetén.) Az unitér termalizáció során a fenti két szerep kötődik össze. Univerzalitási osztályok és kvantumkritikusság indikátora. Egy állapot tömöríthetőségének mértéke. 3 / 30
6 A Neumann-entrópia fizikában A kvantum statisztikus fizikában betölti (az egyensúlyi) entrópia szerepét. mértéke. (Kétrészű tiszta állapotok redukált sűrűségmátrixai esetén.) Az unitér termalizáció során a fenti két szerep kötődik össze. Univerzalitási osztályok és kvantumkritikusság indikátora. Egy állapot tömöríthetőségének mértéke. 3 / 30
7 A Neumann-entrópia fizikában A kvantum statisztikus fizikában betölti (az egyensúlyi) entrópia szerepét. mértéke. (Kétrészű tiszta állapotok redukált sűrűségmátrixai esetén.) Az unitér termalizáció során a fenti két szerep kötődik össze. Univerzalitási osztályok és kvantumkritikusság indikátora. Egy állapot tömöríthetőségének mértéke. 3 / 30
8 A Neumann-entrópia fizikában A kvantum statisztikus fizikában betölti (az egyensúlyi) entrópia szerepét. mértéke. (Kétrészű tiszta állapotok redukált sűrűségmátrixai esetén.) Az unitér termalizáció során a fenti két szerep kötődik össze. Univerzalitási osztályok és kvantumkritikusság indikátora. Egy állapot tömöríthetőségének mértéke. 3 / 30
9 Történeti háttér 4 / 30
10 Neumann-entrópia és a véges hőmérsékletű egyensúlyi állapotok Egy H Hamilton-operátorhoz tartozó β inverz-hőmérsékletű Gibbs-állapot ρ β = e βh Tr(e βh ). Definiáljuk a következő funkcionált a sűrűség mátrixok konvex terén: F (ρ) = Tr(ρH) β 1 S(ρ). Ez a funkcionál adott β-nál a ρ β állapoton veszi fel a minimumát. Termodinamikai szabadenergia F = E TS. Így beazonosíthatjuk (Boltzmannt és Neumannt követve) a Trρ log ρ kifejezést az entrópiával. 5 / 30
11 Neumann-entrópia és összefonódás kétrészű rendszerekben Tekintsünk egy kétrészű rendszert leíró szeparábilis Hilbert-teret H = H A H B, és azon egy tiszta állapotot ψ ψ. Az A és B részrendszerhez tartozó redukált sűrűségmátrixok: Tr B ( ψ ψ ) = ρ A és Tr A ( ψ ψ ) = ρ B. Ezek teljesen leírják az állapotot az adott részrendszerekben. A A = B(H A ) 1l B ψ a ψ = Tr A (aρ A ) a A A A B = 1l A B(H B ) ψ b ψ = Tr B (bρ B ) b A B 6 / 30
12 Neumann-entrópia és összefonódás kétrészű rendszerekben Tekintsünk egy kétrészű rendszert leíró szeparábilis Hilbert-teret H = H A H B, és azon egy tiszta állapotot ψ ψ. Az A és B részrendszerhez tartozó redukált sűrűségmátrixok: Tr B ( ψ ψ ) = ρ A és Tr A ( ψ ψ ) = ρ B. Ezek teljesen leírják az állapotot az adott részrendszerekben. A A = B(H A ) 1l B ψ a ψ = Tr A (aρ A ) a A A A B = 1l A B(H B ) ψ b ψ = Tr B (bρ B ) b A B 6 / 30
13 Neumann-entrópia és összefonódás kétrészű rendszerekben Tekintsük ψ Schmidt-dekompozícióját: ψ = min{ H A, H B } n=1 λ n Φ A n Φ B n, ahol { Φ A n } H A n=1 és { ΦB n } H B n=1 ortonormált bázis H A -n ill. H B -n. A redukált sűrűségmátrixok: ρ s = n λ 2 n Φ s n Φ s n, s = A, B. Neumann- és Rényi-entrópiák S (1) B = S (1) A = Trρ A log ρ A = n λ 2 n log λ 2 n, S (α) B = S (α) A = 1 α 1 log Trρα A = 1 α 1 log n λ 2α n. Ezek jó összefonódási mértékek, ha α [0, 1]. A Neumann-entrópia rádásul visszaadja a szinglet desztillálási rátát is. 7 / 30
14 Neumann-entrópia és összefonódás kétrészű rendszerekben Tekintsük ψ Schmidt-dekompozícióját: ψ = min{ H A, H B } n=1 λ n Φ A n Φ B n, ahol { Φ A n } H A n=1 és { ΦB n } H B n=1 ortonormált bázis H A -n ill. H B -n. A redukált sűrűségmátrixok: ρ s = n λ 2 n Φ s n Φ s n, s = A, B. Neumann- és Rényi-entrópiák S (1) B = S (1) A = Trρ A log ρ A = n λ 2 n log λ 2 n, S (α) B = S (α) A = 1 α 1 log Trρα A = 1 α 1 log n λ 2α n. Ezek jó összefonódási mértékek, ha α [0, 1]. A Neumann-entrópia rádásul visszaadja a szinglet desztillálási rátát is. 7 / 30
15 i entrópia z unitér termalizáció elméletében Egy H H kvencs esetén az összefonódási entrópia (lokálisan) extenzívvé válik termális entrópia: 8 / 30
16 Alapállapot: Bekenstein-Hawking-képlet és az első felületi törvények A Bekenstein-Hawking-képlet: S BH = A 4L 2 P = c3 A 4G. Diszkretizált térelméletekben (pl. csatolt kvantumos oszcillátorrenszerekben) megvizsgálták az alapállapot megszorításainak entrópiáját (R. Sorkin, Proc 10th Int. Conf. Gen. Rel. & Grav (1983) arxiv: ; L. Bombelli, R. K. Koul, J. Lee, R. D. Sorkin, Phys. Rev. D 34, 373 (1986); M. Srednicki, Phys. Rev. Lett. 71, 666 (1993); C. Holzhey, F. Larsen, F. Wilczek, Nucl. Phys. B (1994); S. N. Solodukhin, Living Rev. Relativity 14, 8 (2011). S B = S A A 9 / 30
17 Alapállapot: Bekenstein-Hawking-képlet és az első felületi törvények A Bekenstein-Hawking-képlet: S BH = A 4L 2 P = c3 A 4G. Diszkretizált térelméletekben (pl. csatolt kvantumos oszcillátorrenszerekben) megvizsgálták az alapállapot megszorításainak entrópiáját (R. Sorkin, Proc 10th Int. Conf. Gen. Rel. & Grav (1983) arxiv: ; L. Bombelli, R. K. Koul, J. Lee, R. D. Sorkin, Phys. Rev. D 34, 373 (1986); M. Srednicki, Phys. Rev. Lett. 71, 666 (1993); C. Holzhey, F. Larsen, F. Wilczek, Nucl. Phys. B (1994); S. N. Solodukhin, Living Rev. Relativity 14, 8 (2011). S B = S A A 9 / 30
18 Kvantumkritikus alapállapotok entrópia-aszimptotikája 1+1 dimenzióban dimenziós rendszerekben a gap-telen és gap-pel rendelkező rendszerek entrópia-aszimptotikája nagyon különböző ( C. Holzhey, F. Larsen, F. Wilczek, Nucl. Phys. B (1994); Vidal et al. PRL 90, (2003); P. Calabrese and J. Cardy, JSTAT (2004); J. Eisert et al, Rev. Mod. Phys. 82, 277 (2010).) S L = c 3 log L + k 10 / 30
19 Centrális töltés kvadratikus fermion modellek esetén - entrópiából S L = R 6 log L 1 6 L S L = s(λα) = 1 L α=1 2πi Γ(ɛ) s(λ) 1 dλ α=1 λ λα = 1 2πi Γ(ɛ) s(λ) d log(d L (λ)) dλ, dλ r s r=s mod 2 log(1 e i(ks kr ) )+ 1 log(1 e i(ks kr ) )+ R 6 r s 6 B.-Q.Jin, V.E.Korepin, J. Stat. Phys (2004) J.P. Keating, F. Mezzadri, Phys.Rev. Lett. 94, (2005) V. Eisler, Z., Phys. Rev. A 71, (2005) Z. Kádár, Z., Phys. Rev. A 82, (2010) V. Eisler, Z., Phys. Rev. A.89, (2014) F. Ares, J. G. Esteve, F. Falceto, E. Sánchez-Burillo, J. Phys. A, (2014) ( ) 1+γ E 6 I 3 log / 30
20 Kvantumkritikus alapállapotok entrópia-aszimptotikája magasabb dimenzióban 2+1 dimenziós kritikus spin modellek, Dirac-fermionok, csatolt harmonikus oszcillátorok esetén S = al + b log L. (J. Eisert et al, Rev. Mod. Phys. 82, 277 (2010).) Sarok- és éljárulékok. (A. B. Kallin, et al, Phys. Rev. B 84, (2011); Kovács, F. Iglói, EPL 97, (2012).) d-dimenziós véges Fermi-felülettel rendelkező Fermi-folyadékok esetén S = σl d 1 log L. M. M. Wolf, Phys. Rev. Lett. 96, (2006). D. Gioev and I. Klich, Phys. Rev. Lett. 96, (2006). T. Barthel, M-C. Chung, and U. Schollwöck, Phys. Rev. A 74, (2006). S. Farkas, Z., J. Math. Phys. 48, (2007). B. Swingle, Phys. Rev. Lett. 105, (2010). 12 / 30
21 Kvantumkritikus fermionikus alapállapotok entrópia-aszimptotikája magasabb dimenzióban d-dimenziós véges Fermi-felülettel rendelkező Fermi-folyadékok esetén π π/2 q y 0 t y =1.0 t y =0.7 t y =0.2 -π/2 -π -π -π/2 0 π/2 π q x c σ = k int 6 1 ds (2π) d 1 q ds r n qn r. F A M. M. Wolf, Phys. Rev. Lett. 96, (2006). D. Gioev and I. Klich, Phys. Rev. Lett. 96, (2006). T. Barthel, M-C. Chung, and U. Schollwöck, Phys. Rev. A 74, (2006). S. Farkas, Z., J. Math. Phys. 48, (2007). B. Swingle, Phys. Rev. Lett. 105, (2010). 13 / 30
22 Topologikus rend Topologikus rend esetén S ent = S A + S B + S C S AB S BC S AC + S ABC > 0. A. Kitaev and J. Preskill, Phys. Rev. Lett. 96, (2006). L. Savary and L. Balents, arxiv: (2016). 14 / 30
23 Neumann-entrópia és tömörítés Quantum Shannon McMillan Theorem: Let ω be an ergodic state on the quantum spin chain algebra A = i= M d with restricted density matrices ρ L, and entropy density s. For any ɛ > 0 there exists an integer L(ɛ) such that for all L L(ɛ) there exists an (1 ɛ)-essential-subspace projection P L,ɛ in the subalgebra A L with the properties: Tr(ρ L P L,ɛ ) > 1 ɛ, Tr(P L,ɛ ) > 2 L(s+ɛ), Moreover, for all projections P A L with Tr(P) < 2 L(s ɛ) we have Tr(ρ L P) < ɛ. (Hiai and Petz ( 91); Bjelakovic and Seiler ( 02), etc.) Egyszerűen megfogalmazva: ρ L -nek ɛ-tartója egy 2 S(ρ L) -dimenziós altér. Egydimenziós gap-es rendszerek esetén ez a tartó szaturálódik (mert S L szaturálódik). Tr(A i 1 A i2 A i N ) i 1, i 2,... i N. i 15 / 30
24 Neumann-entrópia és tömörítés Quantum Shannon McMillan Theorem: Let ω be an ergodic state on the quantum spin chain algebra A = i= M d with restricted density matrices ρ L, and entropy density s. For any ɛ > 0 there exists an integer L(ɛ) such that for all L L(ɛ) there exists an (1 ɛ)-essential-subspace projection P L,ɛ in the subalgebra A L with the properties: Tr(ρ L P L,ɛ ) > 1 ɛ, Tr(P L,ɛ ) > 2 L(s+ɛ), Moreover, for all projections P A L with Tr(P) < 2 L(s ɛ) we have Tr(ρ L P) < ɛ. (Hiai and Petz ( 91); Bjelakovic and Seiler ( 02), etc.) Egyszerűen megfogalmazva: ρ L -nek ɛ-tartója egy 2 S(ρ L) -dimenziós altér. Egydimenziós gap-es rendszerek esetén ez a tartó szaturálódik (mert S L szaturálódik). Tr(A i 1 A i2 A i N ) i 1, i 2,... i N. i 15 / 30
25 Neumann-entrópia és tömörítés Quantum Shannon McMillan Theorem: Let ω be an ergodic state on the quantum spin chain algebra A = i= M d with restricted density matrices ρ L, and entropy density s. For any ɛ > 0 there exists an integer L(ɛ) such that for all L L(ɛ) there exists an (1 ɛ)-essential-subspace projection P L,ɛ in the subalgebra A L with the properties: Tr(ρ L P L,ɛ ) > 1 ɛ, Tr(P L,ɛ ) > 2 L(s+ɛ), Moreover, for all projections P A L with Tr(P) < 2 L(s ɛ) we have Tr(ρ L P) < ɛ. (Hiai and Petz ( 91); Bjelakovic and Seiler ( 02), etc.) Egyszerűen megfogalmazva: ρ L -nek ɛ-tartója egy 2 S(ρ L) -dimenziós altér. Egydimenziós gap-es rendszerek esetén ez a tartó szaturálódik (mert S L szaturálódik). Tr(A i 1 A i2 A i N ) i 1, i 2,... i N. i 15 / 30
26 Kevert állapotok kétrészű összefonódás Tekintsünk egy tiszta állapotot a H = H A1 H A2 H B Hilbert-téren. Mekkora az összefonódás az A 1 és A 2 részrendszer között? Az A = A 1 A 2 részrendszer állapota (redukált sűrűsǵmátrixa), ρ A = Tr B ( Ψ Ψ ), kevert. Az A 1 részrendszer Neumann-entrópiája, S A1 = Trρ A1 log ρ A1, az A 1 és A 2 B közötti összefonódást méri. A kölcsönös információ, I (A 1 : A2) = S A1 + S A2 S A, az A 1 és A 2 részrendszer közötti teljes korrelációt jellemzi. 16 / 30
27 Kevert állapotok kétrészű összefonódás Tekintsünk egy tiszta állapotot a H = H A1 H A2 H B Hilbert-téren. Mekkora az összefonódás az A 1 és A 2 részrendszer között? Az A = A 1 A 2 részrendszer állapota (redukált sűrűsǵmátrixa), ρ A = Tr B ( Ψ Ψ ), kevert. Az A 1 részrendszer Neumann-entrópiája, S A1 = Trρ A1 log ρ A1, az A 1 és A 2 B közötti összefonódást méri. A kölcsönös információ, I (A 1 : A2) = S A1 + S A2 S A, az A 1 és A 2 részrendszer közötti teljes korrelációt jellemzi. 16 / 30
28 Kevert állapotok kétrészű összefonódás Tekintsünk egy tiszta állapotot a H = H A1 H A2 H B Hilbert-téren. Mekkora az összefonódás az A 1 és A 2 részrendszer között? Az A = A 1 A 2 részrendszer állapota (redukált sűrűsǵmátrixa), ρ A = Tr B ( Ψ Ψ ), kevert. Az A 1 részrendszer Neumann-entrópiája, S A1 = Trρ A1 log ρ A1, az A 1 és A 2 B közötti összefonódást méri. A kölcsönös információ, I (A 1 : A2) = S A1 + S A2 S A, az A 1 és A 2 részrendszer közötti teljes korrelációt jellemzi. 16 / 30
29 Kevert állapotok kétrészű összefonódás Tekintsünk egy tiszta állapotot a H = H A1 H A2 H B Hilbert-téren. Mekkora az összefonódás az A 1 és A 2 részrendszer között? Az A = A 1 A 2 részrendszer állapota (redukált sűrűsǵmátrixa), ρ A = Tr B ( Ψ Ψ ), kevert. Az A 1 részrendszer Neumann-entrópiája, S A1 = Trρ A1 log ρ A1, az A 1 és A 2 B közötti összefonódást méri. A kölcsönös információ, I (A 1 : A2) = S A1 + S A2 S A, az A 1 és A 2 részrendszer közötti teljes korrelációt jellemzi. 16 / 30
30 Kölcsönös információ Gibbs-állapotokban A kölcsönös információ: I (A : B)=S(ρ A )+S(ρ B ) S(ρ AB ). I (A : B)-ra fennáll egy felületi törvény (Wolf, Verstraete, Hastings, Cirac, PRL 100, (2008)). A Hamilton-operátort felbontva H = H A + H B + H : F (ρ AB ) F (ρ A ρ B ) Tr(Hρ AB ) β 1 S(ρ AB ) Tr(H(ρ A ρ B )) β 1 (S(ρ A ) + S(ρ B )) I (A : B) βtr[h (ρ A ρ B ρ AB )] I (A : B) 2β h A. Léteznek-e fizikailag releváns állapotok melyek sértik a fenti felületi törvényt? 17 / 30
31 Kölcsönös információ Gibbs-állapotokban A kölcsönös információ: I (A : B)=S(ρ A )+S(ρ B ) S(ρ AB ). I (A : B)-ra fennáll egy felületi törvény (Wolf, Verstraete, Hastings, Cirac, PRL 100, (2008)). A Hamilton-operátort felbontva H = H A + H B + H : F (ρ AB ) F (ρ A ρ B ) Tr(Hρ AB ) β 1 S(ρ AB ) Tr(H(ρ A ρ B )) β 1 (S(ρ A ) + S(ρ B )) I (A : B) βtr[h (ρ A ρ B ρ AB )] I (A : B) 2β h A. Léteznek-e fizikailag releváns állapotok melyek sértik a fenti felületi törvényt? 17 / 30
32 Kölcsönös információ Gibbs-állapotokban A kölcsönös információ: I (A : B)=S(ρ A )+S(ρ B ) S(ρ AB ). I (A : B)-ra fennáll egy felületi törvény (Wolf, Verstraete, Hastings, Cirac, PRL 100, (2008)). A Hamilton-operátort felbontva H = H A + H B + H : F (ρ AB ) F (ρ A ρ B ) Tr(Hρ AB ) β 1 S(ρ AB ) Tr(H(ρ A ρ B )) β 1 (S(ρ A ) + S(ρ B )) I (A : B) βtr[h (ρ A ρ B ρ AB )] I (A : B) 2β h A. Léteznek-e fizikailag releváns állapotok melyek sértik a fenti felületi törvényt? 17 / 30
33 Az első (és eddig utolsó) ellenpélda A kezdeti állapot: ρ 0 = 1 Z L e β lh l 1 Z R e βr Hr, Az időfejlődés: ρ(t) = e ith ρ 0e ith, ahol H = 1 ) (c m+1 2 cm + c mc m+1 m= (H. Araki and T.G. Ho, Proc. Steklov Inst. Math. 228, 191 (2000); Y. Ogata, Phys. Rev. E 66, (2002); W.H. Aschbacher and C.-A. Pillet, J. Stat. Phys. 112, 1153 (2002).) 18 / 30
34 Az állandósult nem egyensúlyi állapot (NESS) szerkezete A modern terminológia szerint egy GGE-szerű állapotot kapunk: ahol β = (β l + β r )/2. ρ = 1 Z e βh eff, H eff = ( µ + n Q n + + µ n Qn ), Az effektív Hamilton-operátort H eff a páros és páratlan töltésekkel adjuk meg: Q + n = 1 2 Q n = 1 2i j= j= n=0 ( ) c j+n c j + c j c j+n, ( ) c j+n c j c j c j+n. β l β r β l +β r n n 2 1 { 4 µ + n = δ n,1, µ n páros, π n = 0 n páratlan. 19 / 30
35 Analitikus és numerikus eredmények S L = σ log L + k, σ = 1 π 2 [ a Li 2 ( a b a +b Li 2 ( b a b ) ( ) b a + (1 a)li 2 1 a ) + (1 b)li 2 ( a b 1 b )], β L =0 β L =1 β L = β R I t (A:B) I t (A:B)-I (A:B) ln(t/l) L=20 L=40 L=60 L=80 L= t V. Eisler, Z., Phys. Rev. A 89, (2014). Hasonló eredmények: S. Ajisaka, F. Barra, B. Zunkovic, New J. Phys (2014); F. Ares, J. G. Esteve, F. Falceto, E. Sánchez-Burillo, J. Phys. A: Math. Theor (2014); M. Hoogeveen, B. Doyon, arxiv: / 30
36 Analitikus és numerikus eredmények S L = σ log L + k, σ = 1 π 2 [ a Li 2 ( a b a +b Li 2 ( b a b ) ( ) b a + (1 a)li 2 1 a ) + (1 b)li 2 ( a b 1 b )], β L =0 β L =1 β L = β R I t (A:B) I t (A:B)-I (A:B) ln(t/l) L=20 L=40 L=60 L=80 L= t V. Eisler, Z., Phys. Rev. A 89, (2014). Hasonló eredmények: S. Ajisaka, F. Barra, B. Zunkovic, New J. Phys (2014); F. Ares, J. G. Esteve, F. Falceto, E. Sánchez-Burillo, J. Phys. A: Math. Theor (2014); M. Hoogeveen, B. Doyon, arxiv: / 30
37 Kevert állapotok összefonódása Egy H = H A H B Hilbert-téren megadott kevert állapot szeparálható, ha felírható szorzat állapotok keverékeként: ρ = i p i (ρ A,i ρ B,i ). Parciális transzponálás egy szeparálhatő állapoton ρ T B = i p i (ρ A,i ρ B,i ) T B = i p i ρ A,i ρ T B,i. ismét egy állapothoz vezet. Ha ρ T B -nek van negatív sajátértéke, akkor összefonódott volt. Összefonódási negativitás és a logaritmikus negativitás definíciója N (ρ A ) = ( ρ T 2 A 1 1)/2, E(ρ A) = log ρ T 2 A 1 = log Tr ρt 2. (G. Vidal and R.F. Werner, Phys. Rev. A 65, (2002); M. B. Plenio, Phys. Rev. Lett. 95, (2005).) 21 / 30
38 Kevert állapotok összefonódása Egy H = H A H B Hilbert-téren megadott kevert állapot szeparálható, ha felírható szorzat állapotok keverékeként: ρ = i p i (ρ A,i ρ B,i ). Parciális transzponálás egy szeparálhatő állapoton ρ T B = i p i (ρ A,i ρ B,i ) T B = i p i ρ A,i ρ T B,i. ismét egy állapothoz vezet. Ha ρ T B -nek van negatív sajátértéke, akkor összefonódott volt. Összefonódási negativitás és a logaritmikus negativitás definíciója N (ρ A ) = ( ρ T 2 A 1 1)/2, E(ρ A) = log ρ T 2 A 1 = log Tr ρt 2. (G. Vidal and R.F. Werner, Phys. Rev. A 65, (2002); M. B. Plenio, Phys. Rev. Lett. 95, (2005).) 21 / 30
39 Kevert állapotok összefonódása Egy H = H A H B Hilbert-téren megadott kevert állapot szeparálható, ha felírható szorzat állapotok keverékeként: ρ = i p i (ρ A,i ρ B,i ). Parciális transzponálás egy szeparálhatő állapoton ρ T B = i p i (ρ A,i ρ B,i ) T B = i p i ρ A,i ρ T B,i. ismét egy állapothoz vezet. Ha ρ T B -nek van negatív sajátértéke, akkor összefonódott volt. Összefonódási negativitás és a logaritmikus negativitás definíciója N (ρ A ) = ( ρ T 2 A 1 1)/2, E(ρ A) = log ρ T 2 A 1 = log Tr ρt 2. (G. Vidal and R.F. Werner, Phys. Rev. A 65, (2002); M. B. Plenio, Phys. Rev. Lett. 95, (2005).) 21 / 30
40 Kevert állapotok összefonódása Egy H = H A H B Hilbert-téren megadott kevert állapot szeparálható, ha felírható szorzat állapotok keverékeként: ρ = i p i (ρ A,i ρ B,i ). Parciális transzponálás egy szeparálhatő állapoton ρ T B = i p i (ρ A,i ρ B,i ) T B = i p i ρ A,i ρ T B,i. ismét egy állapothoz vezet. Ha ρ T B -nek van negatív sajátértéke, akkor összefonódott volt. Összefonódási negativitás és a logaritmikus negativitás definíciója N (ρ A ) = ( ρ T 2 A 1 1)/2, E(ρ A) = log ρ T 2 A 1 = log Tr ρt 2. (G. Vidal and R.F. Werner, Phys. Rev. A 65, (2002); M. B. Plenio, Phys. Rev. Lett. 95, (2005).) 21 / 30
41 Kevert állapotok összefonódása Egy H = H A H B Hilbert-téren megadott kevert állapot szeparálható, ha felírható szorzat állapotok keverékeként: ρ = i p i (ρ A,i ρ B,i ). Parciális transzponálás egy szeparálhatő állapoton ρ T B = i p i (ρ A,i ρ B,i ) T B = i p i ρ A,i ρ T B,i. ismét egy állapothoz vezet. Ha ρ T B -nek van negatív sajátértéke, akkor összefonódott volt. Összefonódási negativitás és a logaritmikus negativitás definíciója N (ρ A ) = ( ρ T 2 A 1 1)/2, E(ρ A) = log ρ T 2 A 1 = log Tr ρt 2. (G. Vidal and R.F. Werner, Phys. Rev. A 65, (2002); M. B. Plenio, Phys. Rev. Lett. 95, (2005).) 21 / 30
42 Negativitás a konformtérleméletben: a replika trükk A redukált sűrűségmátrix kifejezése pályaintegrállal: ρ({φ x}, {φ x })= 1 [dφ(y, τ)] δ(φ(y, 0) φ x Z ) δ(φ(y, β) φ x)e S E x x Parciális transzponálás: a vágások (beazonosításának) felcserélése: Momentumok kiszámolás replika trükkel: P. Calabrese, J. Cardy, JSTAT P06002 (2004); P. Calabrese, J. Cardy, J. Phys. A: Math. Theor (2009); P. Calabrese, J. Cardy, E. Tonni, Phys. Rev. Lett. 109, (2012); P. Calabrese, J. Cardy, E. Tonni JSTAT P02008 (2013). Ugyanezt az eljárást használják a Monte Carlo számolásoknál is: (C.-M. Chung, V. Alba, L. Bonnes, P. Chen, A. M. Läuchli, Phys. Rev. B 90, (2014).) 22 / 30
43 Negativitás a konformtérleméletben: a replika trükk A redukált sűrűségmátrix kifejezése pályaintegrállal: ρ({φ x}, {φ x })= 1 [dφ(y, τ)] δ(φ(y, 0) φ x Z ) δ(φ(y, β) φ x)e S E x x Parciális transzponálás: a vágások (beazonosításának) felcserélése: Momentumok kiszámolás replika trükkel: P. Calabrese, J. Cardy, JSTAT P06002 (2004); P. Calabrese, J. Cardy, J. Phys. A: Math. Theor (2009); P. Calabrese, J. Cardy, E. Tonni, Phys. Rev. Lett. 109, (2012); P. Calabrese, J. Cardy, E. Tonni JSTAT P02008 (2013). Ugyanezt az eljárást használják a Monte Carlo számolásoknál is: (C.-M. Chung, V. Alba, L. Bonnes, P. Chen, A. M. Läuchli, Phys. Rev. B 90, (2014).) 22 / 30
44 Negativitás a konformtérleméletben: twist-tér kifejtés Ha a részrendszer N darab diszjunkt intervallumból áll, akkor a momentumok: N Trρ n A = T n(u i )T n(v i ), i=1 Tr(ρ T 2 A )n = N [ S 2 Tn(u i )T n(v i ) ], i=1 ahol S 2 [ Tn(u i )T n(v i ) ] = { T n(u i )T n(v i ) if i I 1, T n(u i )T n(v i ) if i I / 30
45 Negativitás egyensúlyi állapotokban Két szomszédos intervallum esetén, alapállapotban: Tr(ρ T 2 ) ne (l 1l 2) c/6(ne /2 2/ne ) c/6(ne /2+1/ne ) (l 1 + l 2) Tr(ρ T 2 ) n 0 c/12(no /2 1/no ) ((l 1l 2(l 1 + l 2)) E = lim log ne 1 Tr(ρT 2 ) ne = c l1l2 log 4 l 1 + l 2 (P. Calabrese, J. Cardy, E. Tonni, Phys. Rev. Lett. 109, (2012); JSTAT P02008 (2013).) A termális állapotban: E = c 4 log β π tanh lπ β + cnst. (V. Eisler, Z., New J. Phys (2014); P. Calabrese, J. Cardy, E. Tonni, J. Phys. A 48, (2015).) 24 / 30
46 Nemegyensúlyi állapotokban β l βr t = 0 t > 0 Harmonikus lánc esetén H = 1 (pn 2 + Ω 2 0xn 2 ) + 1 k(x n+1 x n) n n Az állandósult nemegyensúlyi állapotban: Időfejődés E = E(β1) + E(β2). 2 (V. Eisler, Z., New J. Phys (2014), M. Hoogeveen and B. Doyon, Nucl. Phys. B 898, 78 (2015), X. Wen, P-Y. Chang, S. Ryu, Phys. Rev. B 92, (2015).) 25 / 30
47 Visszahatás a kvantum-információelméletre Új negativitásra vonatkozó sejtések és tételek: N 2 A BC N 2 A B + N 2 A C (H. Huan, G. Vidal, Phys. Rev. A (2015); K.M.R. Audenaert, Lin. & Multilin. Alg (2015).) Más negativitásszerű mennyiségek konstrukciója. Negativitás fermionikus gauss-i állapotok esetén. 26 / 30
48 Visszahatás a kvantum-információelméletre Új negativitásra vonatkozó sejtések és tételek: N 2 A BC N 2 A B + N 2 A C (H. Huan, G. Vidal, Phys. Rev. A (2015); K.M.R. Audenaert, Lin. & Multilin. Alg (2015).) Más negativitásszerű mennyiségek konstrukciója. Negativitás fermionikus gauss-i állapotok esetén. 26 / 30
49 Visszahatás a kvantum-információelméletre Új negativitásra vonatkozó sejtések és tételek: N 2 A BC N 2 A B + N 2 A C (H. Huan, G. Vidal, Phys. Rev. A (2015); K.M.R. Audenaert, Lin. & Multilin. Alg (2015).) Más negativitásszerű mennyiségek konstrukciója. Negativitás fermionikus gauss-i állapotok esetén. 26 / 30
50 Gauss-i állapotok fermion rendszereken: negativitás Egy speciális bázis választása esetén: ρ T B = 1 i 2 O i 2 O, ( Γ 11 Γ 12 Γ = Γ 21 Γ 22 ) ( Γ 11, Γ + = iγ 12 iγ 21 Γ 22 ) ( Γ 11 iγ 12, Γ = iγ 21 Γ 22 ). Így zárt képleteket kaphatunk a ρ T 2 A momentumaira: Tr(ρ T 2 A )3 = 1 2 det ( ) 1 + 3Γ det 4 2 ( 1 + Γ Γ +Γ 4 ). 27 / 30
51 CFT eredmények ellenőrzése rácsmodelleken L=100 L=200 L=400 L=600 CFT 6 5 R R e+13 CFTb z=l/l 2 β=50 β=100 β=200 β= l V. Eisler, Z., New J. Phys (2015). Other similar results on free fermions directly using our decomposition: A. Coser, E. Tonni, P. Calabrese, Partial transpose of two disjoint blocks in XY spin chains, J. Stat. Mech. P08005 (2015) A. Coser, E. Tonni, P. Calabrese, Towards entanglement negativity of two disjoint intervals for a one dimensional free fermion, J. Stat. Mech. (2016) (2016) A. Coser, E. Tonni, P. Calabrese, Spin structures and entanglement of two disjoint intervals in conformal field theories, arxiv: P.-Y. Chang, X. Wen, Entanglement negativity in free-fermion systems: An overlap matrix approach, Phys. Rev. B 93, (2016). C, P. Herzog, Y. Wang, Estimation for Entanglement Negativity of Free Fermions, arxiv: / 30
52 CFT eredmények ellenőrzése rácsmodelleken L=100 L=200 L=400 L=600 CFT 6 5 R R e+13 CFTb z=l/l 2 β=50 β=100 β=200 β= l V. Eisler, Z., New J. Phys (2015). Other similar results on free fermions directly using our decomposition: A. Coser, E. Tonni, P. Calabrese, Partial transpose of two disjoint blocks in XY spin chains, J. Stat. Mech. P08005 (2015) A. Coser, E. Tonni, P. Calabrese, Towards entanglement negativity of two disjoint intervals for a one dimensional free fermion, J. Stat. Mech. (2016) (2016) A. Coser, E. Tonni, P. Calabrese, Spin structures and entanglement of two disjoint intervals in conformal field theories, arxiv: P.-Y. Chang, X. Wen, Entanglement negativity in free-fermion systems: An overlap matrix approach, Phys. Rev. B 93, (2016). C, P. Herzog, Y. Wang, Estimation for Entanglement Negativity of Free Fermions, arxiv: / 30
53 Negativitás 2+1 dimenziós fermion-rendszereken 29 / 30
54 Kitekintés Termalizációval és ekvilibrációval kapcsolatos fontos kérdések (ETH, NESS, GGE). Topologikus rend véges hőmérséklet esetén. A naiv Rényi-féle kölcsönös információ jobb általánosításai. Többrészű összefonódás ben. 30 / 30
55 Kitekintés Termalizációval és ekvilibrációval kapcsolatos fontos kérdések (ETH, NESS, GGE). Topologikus rend véges hőmérséklet esetén. A naiv Rényi-féle kölcsönös információ jobb általánosításai. Többrészű összefonódás ben. 30 / 30
56 Kitekintés Termalizációval és ekvilibrációval kapcsolatos fontos kérdések (ETH, NESS, GGE). Topologikus rend véges hőmérséklet esetén. A naiv Rényi-féle kölcsönös információ jobb általánosításai. Többrészű összefonódás ben. 30 / 30
57 Kitekintés Termalizációval és ekvilibrációval kapcsolatos fontos kérdések (ETH, NESS, GGE). Topologikus rend véges hőmérséklet esetén. A naiv Rényi-féle kölcsönös információ jobb általánosításai. Többrészű összefonódás ben. 30 / 30
Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal
Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal Tóth Géza Max-Plank-Intitute für Quantenoptik, Garching, Németország Budapest, 2005. október 4. Motiváció Miért érdekes a kvantum-informatika? Alapvető problémák
RészletesebbenKevert állapoti anholonómiák vizsgálata
Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Bucz Gábor Témavezet : Dr. Fehér László Dr. Lévay Péter Szeged, 2015.04.23. Bucz Gábor Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Szeged, 2015.04.23. 1 / 27 Tartalom
RészletesebbenKvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek
Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek MaFiHe TDK és Szakdolgozat Hét Szalay Szilárd MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont, Szilárdtest Fizikai és Optikai Intézet, Erősen Korrelált Rendszerek Lendület
RészletesebbenSteven Weinberg: Mi történik egy kvantummechanikai mérés során?
QM és CP Weinberg válasz Steven Weinberg: Mi történik egy kvantummechanikai mérés során? (magyar hangja Vecsernyés Péter) Wigner FK, Budapest CICO, Szeged 2016.01.01. Kivonat QM és CP Weinberg válasz A
RészletesebbenAz összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály
Az összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály Elméleti Fizikai Iskola Tihany 2010, augusztus 31 Kétrészű rendszerek, tiszta állapotok, Schmidt fölbontás és az összefonódási mértékek Példák a kvantumoptikából
RészletesebbenUniverzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza
Univerzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza odor@mfa.kfki.hu 1. Bevezetõ, dinamikus skálázás, kritikus exponensek, térelmélet formalizmus, renormalizáció, topológius fázis diagrammok,
RészletesebbenCsoportreprezentációk az
Csoportreprezentációk az összefonódottság-elméletben PhD tézisfüzet Vrana Péter Témavezető: Dr. Lévay Péter Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Elméleti Fizika Tanszék (2011) Előzmények Az összefonódottság
RészletesebbenDiszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (
FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.
RészletesebbenFluktuáló terű transzverz Ising-lánc dinamikája
2016. szeptember 8. Phys. Rev. B 93, 134305 Modell H(t) = 1 2 L 1 σi x σi+1 x h(t) 2 i=1 h(t)-fluktuáló mágneses tér. Hogyan terjednek jelek a zajos rendszerben? L σi z, i=1 Zajok típusai 1 fehér zaj 2
RészletesebbenKvantum termodinamika
Kvantum termodinamika Diósi Lajos MTA Wigner FK Budapest 2014. febr. 4. Diósi Lajos (MTA Wigner FKBudapest) Kvantum termodinamika 2014. febr. 4. 1 / 12 1 Miért van 1 qubitnek termodinamikája? 2 QuOszcillátor/Qubit:
Részletesebben[17] L. Molnár, Linear maps on matrices preserving commutativity up to a factor, Linear Multilinear Algebra, megjelenés alatt.
Beszámoló a T46023 pályázat zárójelentéséhez A projekt során megőrzési transzformációk szerkezetének a leírásával foglalkoztunk elsősorban kvantumstruktúrákon. Megőrzési transzformációkkal kapcsolatos
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenKvantum marginális probléma és összefonódási politópok
Kvantum marginális probléma és összefonódási politópok Vrana Péter Budapesti műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Geometria Tanszék 04. október. / Összetett rendszerek Jelölések k darab részrendszer H,
Részletesebben2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH
2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH 2015. december 10. Információk 0. A ZH ideje minimum 90 perc, maximum 180 perc. 1. Az összesen elérhet pontszám 270 pont. 2. A jeles érdemjegy eléréséhez nem szükséges
Részletesebbenrendszerek kritikus viselkedése
Hosszú hatótávolságú, rendezetlen rendszerek kritikus viselkedése Juhász Róbert MTA Wigner FK, SZFI Iglói Ferenc (Wigner FK, SZTE) Kovács István (Wigner FK; Northeastern University, Boston) Hosszú hatótávolságú,
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenAnalízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
RészletesebbenKvantum összefonódás véges dimenziós Hilbert terekben Ph.D. tézisfüzet. Szalay Szilárd
Kvantum összefonódás véges dimenziós Hilbert terekben Ph.D. tézisfüzet Szalay Szilárd Témavezető: Dr. Lévay Péter Pál tudományos főmunkatárs Elméleti Fizika Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi
RészletesebbenMUNKATERV / BESZÁMOLÓ
MUNKATERV / BESZÁMOLÓ Werner Miklós Antal, Ph.D. hallgató 3. szemeszter (2014/2015 tanév őszi félév) email cím: wernermiklos@gmail.com állami ösztöndíjas* önköltséges* Témaleírás: Rendezetlen és korrelált
RészletesebbenKomplementaritás Kvantumrendszerekben
Komplementaritás Kvantumrendszerekben Szántó András Témavezet : Petz Dénes Tézisfüzet Matematika Intézet Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2014 június 20. Bevezetés A kvantum információ elmélet
RészletesebbenKlasszikus és kvantum fizika
Klasszikus és kvantum fizika valamint a Wigner függvény T.S. Biró MTA Fizikai Kutatóközpont, Budapest 2017. november 13. T.S.Biró Wigner 115, Budapest, 2017. Nov. 15. Biró Klassz kvantum 1 / 22 Abstract
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenA Dirac egyenlet pozitivitás-tartása
A Dirac egyenlet pozitivitás-tartása Barankai Norbert MTA-ELTE Theoretical Physics Research Group 1 Barankai Norbert A Dirac egyenlet pozitivitás-tartása Outline 1 Bevezetés Pályaintegrálok és szimuláció
RészletesebbenKét 1/2-es spinből álló rendszer teljes spinje (spinek összeadása)
Két /-es spinből álló rendszer teljes spinje spinek összeadása Két darab / spinű részecskéből álló rendszert írunk le. Ezek lehetnek elektronok, vagy protonok, vagy akármilyen elemi vagy nem elemi részecskék.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenWigner tétele kvantummechanikai szimmetriákról
Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet és MTA-DE "Lendület" Funkcionálanalízis Kutatócsoport, Debreceni Egyetem 2014. Október 30. Elméleti Fizika Szeminárium A tétel története Wigner tétele Tétel Legyen
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenKronecker-modulusok kombinatorikája és alkalmazások
Kronecker-modulusok kombinatorikája és alkalmazások BBTE, Magyar Matematika es Informatika Intézet Tegezek Meghatározás Egy Q tegez egy irányított multigráf (két csomópont között több irányított él is
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenAz impulzusnyomatékok általános elmélete
Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában
RészletesebbenJanuary 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,
Közelítő módszerek January 16, 27 1 A variációs módszer A variációs módszer szintén egy analitikus közelítő módszer. Olyan esetekben alkalmazzuk mikor ismert az analitikus alak amelyben keressük a sajátfüggvényt,
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenA spin. November 28, 2006
A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,
RészletesebbenSzubkonvex becslések automorf L-függvényekre
Szubkonvex becslések automorf L-függvényekre és alkalmazásaik Harcos Gergely Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet http://www.renyi.hu/ gharcos/ 2012. február 14. Magyar Tudományos Akadémia Áttekintés
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!
RészletesebbenSinkovicz Péter, Szirmai Gergely október 30
Hatszögrácson kialakuló spin-folyadék fázis véges hőmérsékletű leírása Sinkovicz Péter, Szirmai Gergely MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont Szilárdtestfizikai és Optikai Intézet 2012 október 30 Áttekintés
RészletesebbenModern fejlemények a kvantumelméletben. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3.
Modern fejlemények a kvantumelméletben Bevezetés Ádám Péter, Diósi Lajos Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Iskola témája, bevezetés célja Iskola témája kvantumoptika és
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Részletesebben2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenUltrahideg atomok topológiai fázisai
Ultrahideg atomok topológiai fázisai Szirmai Gergely MTA SZFKI 2011. június 14. Szirmai Gergely (MTA SZFKI) Ultrahideg atomok topológiai fázisai 2011. június 14. 1 / 1 Kvantum fázisátalakulások I (spontán
RészletesebbenKvantumszimmetriák. Böhm Gabriella. Szeged. Wigner Fizikai Kutatóközpont, Budapest november 16.
Kvantumszimmetriák Böhm Gabriella Wigner Fizikai Kutatóközpont, Budapest Szeged 2017. november 16. Kvantumszimmetriák I. A kvantumtérelmélet axiomatikus megközelítése II. A DHR-kategória III. Szimmetria
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenGROVER-algoritmus. Sinkovicz Péter. ELTE, MSc II dec.15.
ELTE, MSc II. 2011.dec.15. Áttekintés Feladat Algoritmus Kvantum keresési algoritmus áttekintése Input: N = 2 n elemű tömb, Ψ 1 = 0 1 kezdőállapot, f x0 (x) orákulum függvény. Output: x 0 keresett elem
RészletesebbenCsempe átíró nyelvtanok
Csempe átíró nyelvtanok Tile rewriting grammars Németh L. Zoltán Számítástudomány Alapjai Tanszék SZTE, Informatikai Tanszékcsoport 1. előadás - 2006. április 10. Képek (pictures) I. Alapdefiníciók ábécé:
RészletesebbenHatározatlansági relációk származtatása az
az állapottér BME TTK Matematikus MSc. 1. évf. 2012. november 14. Vázlat: Történeti áttekintés Nemkommutatív (kvantum) valószín ségelmélet Az állapottér geometriája: Az állapottér mint Riemann-sokaság
RészletesebbenPósfay Péter. arxiv: [hep-th] Eur. Phys. J. C (2015) 75: 2 PoS(EPS-HEP2015)369
arxiv:1604.01717 [hep-th] Eur. Phys. J. C (2015) 75: 2 PoS(EPS-HEP2015)369 Pósfay Péter ELTE, Wigner FK Témavezetők: Jakovác Antal, Barnaföldi Gergely G. Motiváció FRG módszer bemutatása Kölcsönható Fermi-gáz
RészletesebbenBevezetés a részecske fizikába
Bevezetés a részecske fizikába Kölcsönhatások és azok jellemzése Kölcsönhatás Erősség Erős 1 Elektromágnes 1 / 137 10-2 Gyenge 10-12 Gravitációs 10-44 Erős kölcsönhatás Közvetítő részecske: gluonok Hatótávolság:
RészletesebbenEgyesített funkcionális renormálási csoport egyenlet
Egyesített funkcionális renormálási csoport egyenlet Nándori István MTA-DE Részecskefizikai Kutatócsoport, MTA-Atomki, Debrecen Magyar Fizikus Vándorgyűles, Debrecen, 2013 Kvantumtérelmélet Részecskefizika
Részletesebbenalapvető tulajdonságai
A z a to m m a g o k alapvető tulajdonságai Mérhető mennyiségek Az atommagok mérete, tömege, töltése, spinje, mágneses momentuma, elektromos kvadrupól momentuma Az atommag töltés- és nukleon-eloszlása
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenEgy mozgástani feladat
1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.
RészletesebbenAZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA. H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat.
AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA Mágneses dipólmomentum: m H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat. M = m H sinϕ (Elektromos töltés, q: monopólus
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenÚJ SEJTÉS ÉS TÉTEL NEUMANN KVANTUMENTRÓPIÁRA A SÚRLÓDÁS HŐTANÁBÓL Lajos Diósi, Budapest TARTALOM:
ÚJ SEJTÉS ÉS TÉTEL NEUMANN KVANTUMENTRÓPIÁRA A SÚRLÓDÁS HŐTANÁBÓL Lajos Diósi, Budapest TARTALOM: Súrlódás, Hőtani Entrópia: XIX. sz. Súrlódás, Kvantum Entrópia: XX. sz. XIX.sz. Entrópia = XX. sz. Entrópia
RészletesebbenFizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK március 27.
Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK 2017. március 27. Az entrópia A természetben a mechanikai munka teljes egészében átalakítható hővé. Az elvont hő viszont nem alakítható át teljes egészében mechanikai
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
RészletesebbenEvans-Searles fluktuációs tétel
Az idő folyásának iránya Evans-Searles fluktuációs tétel Osváth Szabolcs Semmelweis Egyetem a folyamatok iránya a termodinamikai második főtétele alapján Nincs olyan folyamat, amelynek egyetlen eredménye,
RészletesebbenCALOGERO-RUIJSENAARS TÍPUSÚ INTEGRÁLHATÓ RENDSZEREK. I II III IV Elméleti Fizika Szeminárium Szeged, április 13.
CALOGERO-RUIJSENAARS TÍPUSÚ INTEGRÁLHATÓ RENDSZEREK Görbe Tamás Ferenc Relativisztikus I II III IV Klasszikus Kvantum Nemrelativisztikus I II III IV Klasszikus Kvantum Elméleti Fizika Szeminárium Szeged,
RészletesebbenKvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje
Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenAlternating Permutations
Alternating Permutations Richard P. Stanley M.I.T. Definitions A sequence a 1, a 2,..., a k of distinct integers is alternating if a 1 > a 2 < a 3 > a 4 a 3
RészletesebbenReciprocitás - kvantumos és hullámjelenségek egy szimmetriája
Reciprocitás - kvantumos és hullámjelenségek egy szimmetriája Fülöp Tamás + Deák László MTA Wigner FK RMI MTA Wigner FK RMI, Budapest, 2012.06.22 Mi a reciprocitás? A fénysugár útja megfordítható G. Stokes,
RészletesebbenÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK
ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK I. 5. A JELFELDOLGOZÁS ALAPJAI: JELEK Dr. Soumelidis Alexandros 2018.10.18. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG Mérések
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
RészletesebbenGeometriai fázisok és spin dinamika. Zaránd Gergely Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Geometriai fázisok és spin dinamika Zaránd Gergely Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Vázlat Hogyan manipulálnak egyetlen spint? Mitől relaxál egy spin? Magspinek (hiperfinom kölcsönhatás)
RészletesebbenKorrelációk és dinamika kölcsönható hideg atomi rendszerekben
PhD Tézisfüzet Korrelációk és dinamika kölcsönható hideg atomi rendszerekben Lovas Izabella Témavezető: Dr. Zaránd Gergely Egyetemi tanár BME Fizikai Intézet Elméleti Fizika Tanszék Budapesti Műszaki és
RészletesebbenKvantumcsatorna tulajdonságai
LOGO Kvantumcsatorna tulajdonságai Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Informáci cióelméleti leti alapok összefoglalásasa Valószínűségszámítási alapok Egy A és egy B esemény szorzatán
RészletesebbenSzilárdtestek elektronszerkezete feladatok
Szilárdtestek elektronszerkezete feladatok Csősz Gábor 8. január.. feladat A feladatban az alábbi mátriot kell diagonizálni. ε B,F,G (k) V V H = V ε B,F,G (k) V V V ε B,F,G (k) Kihasználva a rács szimmetriáját
RészletesebbenSzinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition
Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Borbély Gábor 7. április... Tétel (teljes SVD. Legyen A C m n mátrix (valósra is jó, ekkor léteznek U C m m és V C n n unitér mátrixok (valósban
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenBevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz
Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz Kvantumkapuk, áramkörök 2016. március 3. A kvantummechanika posztulátumai (1-2) 1. Állapotleírás Zárt fizikai rendszer aktuális állapota
RészletesebbenNonrelativistic, non-newtonian gravity
Nonrelativistic, non-newtonian gravity Dieter Van den Bleeken Bog azic i University based on arxiv:1512.03799 and work in progress with C ag ın Yunus IPM Tehran 27th May 2016 Nonrelativistic, non-newtonian
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenKvantum-számítógépek, univerzalitás és véges csoportok
Kvantum-számítógépek, univerzalitás és véges csoportok Ivanyos Gábor MTA SZTAKI BME Matematikai Modellalkotás szeminárium, 2013 szeptember 24. Kvantum bit Kvantum bitek Kvantum kapuk Kvantum-áramkörök
RészletesebbenLocal fluctuations of critical Mandelbrot cascades. Konrad Kolesko
Local fluctuations of critical Mandelbrot cascades Konrad Kolesko joint with D. Buraczewski and P. Dyszewski Warwick, 18-22 May, 2015 Random measures µ µ 1 µ 2 For given random variables X 1, X 2 s.t.
RészletesebbenI. posztulátum: A magukra hagyott makroszkopikus rendszerek kellően hosszú idő után a termodinamikai egyensúly állapotába kerülnek.
1 / 10 A TételWiki wikiből 1 Az egyensúlyi statisztikus fizika feltevései 2 A Gibbs féle sokaságfogalom 3 Az entrópia 4 A mikrokanonikus sokaság 5 A hőmérséklet 6 A nyomás 7 A kémiai potenciál 8 Fundamentális
RészletesebbenFluktuáló momentumok egy- és kétdimenziós Mott-szigetelőkben
Fluktuáló momentumok egy- és kétdimenziós Mott-szigetelőkben PhD tézisfüzet Lajkó Miklós PhD témavezető: Penc Karlo Fizika Tanszék, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Szilárdtestfizikai és
RészletesebbenBME Matematika Intézet Analízis Tanszék. Lovas Attila. Az információgeometria alkalmazása kvantummechanikai rendszerekre PhD értekezés tézisei
BME Matematika Intézet Analízis Tanszék Lovas Attila Az információgeometria alkalmazása kvantummechanikai rendszerekre PhD értekezés tézisei Témavezető: Dr. Andai Attila egyetemi docens 2017 1. Bevezetés
RészletesebbenAzonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.
Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból
RészletesebbenInhomogén párkeltés extrém erős terekben
Inhomogén párkeltés extrém erős terekben Berényi Dániel 1, Varró Sándor 1, Vladimir Skokov 2, Lévai Péter 1 1, MTA Wigner FK, Budapest 2, RIKEN/BNL, Upton, USA Fizikus Vándorgyűlés 2016. Augusztus 25.
RészletesebbenPáros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása
Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása Bozóki Sándor 1,2, Fülöp János 1,3 1 MTA SZTAKI; 2 Budapesti Corvinus Egyetem 3 Óbudai Egyetem XXXI. Magyar Operációkutatási Konferencia
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenForgó molekulák áthaladása apertúrán
Forgó molekulák áthaladása apertúrán Egy egyszer kvantummechanikai modell Dömötör Piroska SZTE-TTIK Elméleti Fizikai Tanszék Tanszéki szeminárium, Szeged, 215. február 26. Bevezetés A vizsgálandó kérdés
RészletesebbenHasznos korrelációk kötötten összefonódott állapotokból
Hasznos korrelációk kötötten összefonódott állapotokból Vértesi Tamás Atomki, Debrecen Nicolas Brunnerrel, Pál Károllal és Tóth Gézával közös munkák alapján SZTE Elméleti Fizikai Tanszék, 2019. március
Részletesebben