Kvantum összefonódás véges dimenziós Hilbert terekben Ph.D. tézisfüzet. Szalay Szilárd

Átírás

1 Kvantum összefonódás véges dimenziós Hilbert terekben Ph.D. tézisfüzet Szalay Szilárd Témavezető: Dr. Lévay Péter Pál tudományos főmunkatárs Elméleti Fizika Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2013

2

3 Előzmények A kvantummechanika törvényei nagyon sikeresnek bizonyultak a mikrovilág viselkedésének leírásában és megjóslásában. Viszont ezek között az előrejelzések között volt néhány igen meglepő, méghozzá azok, amelyek az összetett rendszerek leírásával kapcsolatosak. A kvantummechanika matematikai leírásában természetes módon bukkannak fel az úgynevezett összefont (vagy szeparálhatatlan) állapotok. Ezzel szemben az ilyen állapotban lévő kvantumrendszerekben a részrendszereken mért fizikai mennyiségek korrelációinak megértése komoly kihívást jelent. Nevezetesen, ezek a korrelációk a részrendszerek közötti kvantumos kölcsönhatásokból adódnak, és nem modellezhetőek klasszikusan, hanem a természet alapvetően kvantumos viselkedésének megnyilvánulásai. Az összefonódás elmélet tehát egy mély és alapvető jelentőségű terület, ami maguknál a fizikai világ megértésére való törekvések alapjainál helyezkedik el [HHHH09]. Érdekes fordulat, hogy ezek a nemklasszikus korrelációk felhasználhatók arra, hogy nemklasszikus megoldást adjanak klasszikus, sőt nemklasszikus feladatokra is. Ez vezet el a kvantumszámítás eszméjéhez [Fey82]. Ezek a nemklasszikus számítási és információelméleti módszerek képezik tárgyát a kvantum információelmélet rohamosan fejlődő tudományának, ami a klasszikus információelmélet kiterjesztése kvantumos korrelációkra [NC00]. Ennek a viszonylag új tudományterületnek a jelentőségét fémjelzi többek között az idei Fizikai Wolf Díj is. 1

4 A kvantum információelmélet körébe tartoznak eredendően nemklasszikus információelméleti feladatok, (úgymint kvantum kommunikáció szupersűrű kódolással, kvantum teleportáció, kvantum kulcs megosztás, kvantum kriptográfia, kvantum hibajavítás) továbbá klasszikus számítási feladatok (úgymint kvantum algoritmusok számok faktorizálására, kvantum keresésre és egyéb feladatokra.) Igazán lenyűgöző, hogy a kvantumalgoritmusok sebességben jelentősen felülmúlják az ugyanarra a feladatra ismert legjobb klasszikus algoritmusokat, sőt, képesek polinom időben megoldani olyan problémákat, amik nem oldhatók meg polinom időben az ismert klasszikus algoritmusokkal. Ezek a kvantum algoritmusok futásuk során alapvető erőforrásként az összefonódást használják fel, pontosabban, összefont állapotban lévő összetett kvantumrendszereket. Kulcskérdés tehát az összefonódás tulajdonságainak tanulmányozása, ami ennek a doktori munkának is a témája. Bár a kvantum algoritmusokban használt összefonódás az esetek túlnyomó többségében maximálisan összefont Bell párokban van jelen, de az összefonódás struktúrája sokkal gazdagabb, mint ami megjelenik belőle ezekben a kétqubit tiszta állapotokban. Tekinteni fogjuk néhány vonatkozását ennek a kérdésnek a disszertációban, itt és most csak azt szeretnénk hangsúlyozni, hogy a többrészecske összefonódás gazdag szerkezete sok lehetőseget rejthet magában, amik jelenleg még messze vannak a feltárástól és a közvetlen felhasználhatóságtól. Semmi esetre sem egyszerű feladat a kétrészecske összefonódás felhasználása sem. A kvantummechanika mikrosz- 2

5 kopikus méretskálán működik, és a környezet dekoheráló hatása miatt ennek a sajátságos viselkedésnek a megnyilvánulásait nehéz tetten érni. Az összefonódás hatásait sokrészecske rendszerekben is tanulmányozzák, viszont az egyedi kvantumrendszerek kísérleti manipulálása sem elérhetetlen, amint azt a tavalyi Fizikai Nobel Díj is illusztrálja. A fő irodalmi hivatkozás az összefonódással kapcsolatban [HHHH09]. 3

6 Célkitűzések Mivel a kvantum információelmélet alapvető erőforrása a kvantum összefonódás, kulcskérdés az összefonódás kvalifikálásának és kvantifikálásának megértése: Összefont-e a kvantumállapot, illetve ha igen, akkor milyen mértékben? Ezek a kérdések vezetik be a szeparabilitási kritériumok és az összefonódási mértékek témáját, amik egy még alapvetőbb problémán, az összefonódás osztályozásán nyugszanak. Mindhárom az említett problémák közül sokkal bonyolultabb kevert állapotok esetére, mint tisztákéra. Másrészt, kétrészecskés állapotok, legyenek akár tiszták vagy kevertek, csak összefontak vagy szeparálhatók lehetnek, míg ez a helyzet sokkal komplikáltabbá válik többrészecske rendszereknél, mely esetben sok különböző fajtájú összefonódás adódik. A kvantumállapotokat tekintő vizsgálatok során egy geometriai ránézés igen hasznosnak bizonyul [B Z06]. A cél, amit a jelen disszertációban közreadott kutatásokban kiviteleztem, hármas. Először, átfogó tudásra szert tenni a kevert állapotok összefonódásának kérdéseiről, különös tekintettel az említett három alapvető kérdésre. Másodszor, tapasztalatokra szert tenni ismert módszerek alkalmazásával és az ezekkel kapcsolatos mennyiségek kiszámításával. Harmadszor, bizonyos fajta megoldásokat adni a három kérdésre. 4

7 Új tudományos eredmények A következő tézispontokban bemutatom az előző fejezetben vázolt alapkérdésekben elért tudományos eredményeimet. I. Két-qubit kevert állapotok egy 12-paraméteres családját vizsgálom, mely egy speciális, négy egy-részecske állapotú két-fermion rendszer, másként egy antiszimmetrikus mátrixszal megadott négy-qubit állapotvektor redukciójaként adódik. Meghatározom ennek lokális unitér kanonikus alakját. Ennek felhasználásával zárt alakban kiszámítok két híres összefonódási mértéket, a Wootters konkurrenciát és a negativitást. Megadom a negativitás korlátait adott Wootters konkurenciára, melyek jóval erősebbek az általános két-qubit esetben ismert korlátoknál. Megmutatom, hogy a releváns összefonódási mértékek kielégítik a megosztott összefonódás általánosított Coffman-Kundu-Wootters formulátját. Továbbá explicit formulát adok a reziduális összefonódásra. Az ehhez a tézisponthoz tartozó tudományos közlemény [1] a 12. oldalon található felsorolásból. Az ehhez a tézisponthoz tartozó fő irodalmi hivatkozások [LNP05, VADM01, CKW00, OV06]. II. Minden összefonódási mérték egyik alapvető tulajdonsága a lokális unitér invariancia. Ilyen tulajdonságú mennyiségeket vizsgálok általános többrészecske rendszerek esetére. 5

8 Konkrétan, explicit, indexmentes képleteket adok minden algebrailag független lokális unitér invariáns polinomra hatod rendig, véges dimenziós többrészecskés tiszta és kevert állapotokra. Ezt a feladatot gráf-technikai módszerekkel oldom meg, mely illusztrációul szolgál ennek az elég absztrakt témának. Az ehhez a tézisponthoz tartozó tudományos közlemény [3] a 12. oldalon található felsorolásból. Az ehhez a tézisponthoz tartozó fő irodalmi hivatkozások [HW09, HWW09, Vra11a, Vra11b]. III. A zajos GHZ-W állapotot vizsgálom, és bemutatom az összefonódás néhány szükséges de nem elégséges feltételét ennek az állapotcsaládnak a különböző szeparabilitási osztályaira. Azt találom, hogy a Peres-féle parciális transzponált kritérium, valamint Gühne és Seevinck, közvetlenül mátrixelemeken megadott kritériuma a legerősebbek ennek a kétparaméteres állapotnak a szeparabilitási osztályaira. Meghatározom pozitív parciális transzponáltú összefont állapotok egy halmazát. Korlátot adok a tiszta SLOCC-osztályokkal kapcsolatos három-qubit-összefont kevert osztályokra is, és kiszámítom két-qubit részrendszerek Wootters konkurrenciáját. Az ehhez a tézisponthoz tartozó tudományos közlemény [2] a 12. oldalon található felsorolásból. Az ehhez a tézisponthoz tartozó fő irodalmi hivatkozások [Per96, GS10]. 6

9 IV. Kidolgozom a kvantum rendszerek kevert állapainak parciális szeparabilitási osztályozását tetszőleges számú tetszőleges dimenziós Hilbert terű részrendszer összetett rendszerére. Ez a kiterjesztett osztályozás teljes a parciális szeparabilitásra nézve, és parciális szeparabilitási osztályt ad három részrendszer esetére, szemben a korábban ismert gyel. Továbbá szükséges és elégséges kritériumokat adok az osztályokra tiszta állapotokon adott függvények konvex tető kiterjesztésével. Ezek a függvények megadhatók úgy, hogy összefonódás-monotonak legyenek, mely az összefonódási mértékek egy másik, még alapvetőbb tulajdonsága. Az ehhez a tézisponthoz tartozó tudományos közlemény [4] a 12. oldalon található felsorolásból. Az ehhez a tézisponthoz tartozó fő irodalmi hivatkozások [DCT99, DC00, SU08]. V. Három-qubit rendszerek esetén a tiszta állapotok összefonódásának Freudenthal hármas rendszer alapú megközelítésének felhasználásával olyan tiszta állapotokon értelmezett függvényeket adok meg, melyek konvex tető kiterjesztése szükséges és elégséges kritériumokat ad a parciális szeparabilitási osztályozás számára. Ezeknek a függvényeknek van néhány előnyös tulajdonsága az általános konstrukció során az előző tézispontban megadottakéihoz képest. Továbbá ezek a függvények természetes módon illeszkednek egy speciális három-qubit osztályozáshoz, ami a parciális szeparabilitási és az Acín-féle három-qubit kevert 7

10 állapotú osztályozás kombinációjaként áll elő. Az ehhez a tézisponthoz tartozó tudományos közlemény [4] a 12. oldalon található felsorolásból. Az ehhez a tézisponthoz tartozó fő irodalmi hivatkozások [BDD + 09, DCT99, DC00, ABLS01, SU08]. 8

11 Irodalmi hivatkozások listája [ABLS01] A. Acín, D. Bruß, M. Lewenstein, and A. Sanpera, Classification of mixed three-qubit states, Phys. Rev. Lett. 87 (2001), [BDD + 09] L. Borsten, D. Dahanayake, M. J. Duff, W. Rubens, and H. Ebrahim, Freudenthal triple classification of three-qubit entanglement, Phys. Rev. A 80 (2009), [B Z06] [CKW00] [DC00] [DCT99] Ingemar Bengtsson and Karol Zyczkowski, Geometry of quantum states: An introduction to quantum entanglement, Cambridge University Press, New York, NY, USA, Valerie Coffman, Joydip Kundu, and William K. Wootters, Distributed entanglement, Phys. Rev. A 61 (2000), no. 5, W. Dür and J. I. Cirac, Classification of multiqubit mixed states: Separability and distillability properties, Phys. Rev. A 61 (2000), W. Dür, J. I. Cirac, and R. Tarrach, Separability and distillability of multiparticle quantum systems, Phys. Rev. Lett. 83 (1999),

12 [Fey82] [GS10] RichardP. Feynman, Simulating physics with computers, Int. J. Theor. Phys. 21 (1982), Otfried Gühne and Michael Seevinck, Separability criteria for genuine multiparticle entanglement, New J. Phys. 12 (2010), no. 5, [HHHH09] Ryszard Horodecki, Paweł Horodecki, Michał Horodecki, and Karol Horodecki, Quantum entanglement, Rev. Mod. Phys. 81 (2009), no. 2, [HW09] [HWW09] [LNP05] [NC00] Michael W. Hero and Jeb F. Willenbring, Stable hilbert series as related to the measurement of quantum entanglement, Discr. Math. 309 (2009), no , Michael W. Hero, Jeb F. Willenbring, and Lauren Kelly Williams, The measurement of quantum entanglement and enumeration of graph coverings, arxiv [math.rt] (2009), no Péter Lévay, Szilvia Nagy, and János Pipek, Elementary formula for entanglement entropies of fermionic systems, Phys. Rev. A 72 (2005), Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, Quantum computation and quantum information, 10

13 1 ed., Cambridge University Press, October [OV06] [Per96] [SU08] Tobias J. Osborne and Frank Verstraete, General monogamy inequality for bipartite qubit entanglement, Phys. Rev. Lett. 96 (2006), Asher Peres, Separability criterion for density matrices, Phys. Rev. Lett. 77 (1996), no. 8, Michael Seevinck and Jos Uffink, Partial separability and entanglement criteria for multiqubit quantum states, Phys. Rev. A 78 (2008), no. 3, [VADM01] Frank Verstraete, Koenraad Audenaert, Jeroen Dehaene, and Bart De Moor, A comparison of the entanglement measures negativity and concurrence, J. Phys. A 34 (2001), no. 47, [Vra11a] [Vra11b] Péter Vrana, Local unitary invariants for multipartite quantum systems, J. Phys. A 44 (2011), no. 11, Péter Vrana, On the algebra of local unitary invariants of pure and mixed quantum states, J. Phys. A 44 (2011), no. 22,

14 A tézispontokhoz kapcsolódó tudományos közlemények A disszertáció a következő, időrendi sorrenben feltüntetett tudományos közleményekre épül. [1] Szilárd Szalay, Péter Lévay, Szilvia Nagy, János Pipek, A study of two-qubit density matrices with fermionic purifications, J. Phys. A 41, (2008) (arxiv: [quant-ph]) [2] Szilárd Szalay, Separability criteria for mixed three-qubit states, Phys. Rev. A 83, (2011) (arxiv: [quant-ph]) [3] Szilárd Szalay, All degree 6 local unitary invariants of k qudits, J. Phys. A 45, (2012) (arxiv: [quant-ph]) [4] Szilárd Szalay, Zoltán Kökényesi Partial separability revisited: Necessary and sufficient criteria, Phys. Rev. A 86, (2012) (arxiv: [quant-ph]) 12

15 További tudományos közlemények A következő, időrendi sorrenben feltüntetett tudományos közlemények a szerző egy másik kutatási tevékenységének eredményei, melyet a fekete lyuk / qubit megfelelés kapcsolódó témakörében végzett. [5] Péter Lévay, Szilárd Szalay, Attractor mechanism as a distillation procedure, Phys. Rev. D 82, (2010) (arxiv: [hep-th]) [6] Péter Lévay, Szilárd Szalay, ST U attractors from vanishing concurrence, Phys. Rev. D 84, (2011) (arxiv: [hep-th]) 13