Síklefedések Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa

Átírás

1 Magas szintű matematikai tehetséggondozás Síklefedések Erdősné Németh Ágnes, Nagykanizsa Kisebbeknek és nagyobbaknak a programozási versenyfeladatok között nagyon gyakran fordul elő olyan, hogy valamilyen alakzatokkal kell lefedni a síkot. Ilyenkor több kérdés merül fel: - milyen alakzat(ok)kal parkettázunk - hézagmentesen kell fedni - hogyan tudunk mozogni az egyes alakzatok közt - hogyan kapcsolódnak egymáshoz az alakzatok A megoldáskor általában megrajzolunk egy alapábrát, majd mozgással építünk belőle egy sort, és megfelelő eltolással a sorokat ismételjük. Matematikailag érdekes megvizsgálni a szabályos sokszögekkel való parkettázást. Egy típusú szabályos sokszögből az alábbi három lefedést tudjuk előállítani: Algoritmikusan a második ábra előállítása a legkönnyebb: négyzet rajzolása, majd a négyzet oldalhosszúságával vízszintesen mozogva előállítható a sor, a négyzet oldalhosszúságával függőlegesen mozogva pedig az oszlop. Az első ábra létrehozása már bonyolultabb, hiszen az alapábránk a szabályos háromszög, de az egymásba mozgatáskor már forgatni is kell. Kódoláskor a gyerekek inkább a rombuszt választják alapnak (két egymás mellé fordított háromszöget), és ebből építik fel az algoritmust. A hatszögekkel való lefedésnél már három szabályos hatszöget jó alapábrának tekinteni és ebből építeni a parkettát. A jobbakkal egy kicsit tovább lehet gondolni a fenti feladatot és megnézni, hogy szabályos és nem szabályos sokszögekkel hogyan lehet a síkot lefedni. Először nézzük a szabályos sokszögeket: Szabályos parkettázás a sík olyan egyrétegű, hézagmentes lefedése, ahol minden csúcspontban ugyanannyi szabályos sokszög találkozik és a csúcsok 136

2 Erdősné Németh Ágnes: Síklefedések egymásba mozgatásakor a parketta invariáns. Azaz minden csúcspont környezete ugyanúgy néz ki és bármely csúcsot el tudunk mozgatni egymásba, a látvány nem változik. A probléma geometriai, de algebrai úton lehet végiggondolni azt, hogy a fenti három parkettázáson kívül nincs más lefedés, ha csak egy típusú szabályos sokszöget használhatunk: A szabályos sokszögek belső szögeit az (n-2)*180 o /n képlettel számolhatjuk. Behelyettesítve n értékét a 60 o, 90 o, 108 o, 120 o, 128,57 o, 135 o, 140 o, 144 o, 147,27 o, 150 o <180 szögeket kapjuk. Egy csúcsban csak egész számú sokszög találkozhat. Ha hézagmentesen akarunk fedni, ehhez a 360 osztópárjait kell felírnunk: 360*1, 180*2, 120*3, 90*4, 72*5, 60*6, 45*8, 40*9, 36*10, 30*12, 24*15, 20*18, 18*20, 15*24, 12*30, 10*36, 9*40, 8*45, 6*60, 5*72, 4*90, 3*120, 2*180, 1*360. A két meggondolást összevetve látszik, hogy egy csúcsot vizsgálva csak hat darab háromszög, négy négyszög vagy három hatszög találkozhat. Mi történik akkor, ha nem csak egy típusú sokszöggel dolgozhatunk Egy csúcspontban minimum 3 szögtartománynak kell lennie, hisz a szabályos sokszögek belső szöge konvex. Szabályos sokszögeknél a legkisebb belső szög a szabályos háromszögé, emiatt maximum 6 szabályos sokszög találkozhat egy csúcspontban. Attól függően, hány sokszög találkozik egy-egy pontban harmad-, negyed-, ötöd- illetve hatod-fokú parkettákról beszélhetünk. Nézzük először a harmadfokú parkettákat! Az egy csúcsban találkozó sokszögek oldalszámát jelöljük a, b, c-vel. Ekkor felírhatjuk, ha a, b, c 3; a, b, c egész és feltehetjük, hogy a b c: o o o (a 2) 180 (b 2) 180 (c 2) = 360 a b c o Egyszerűsítve: = a b c 2 137

3 Magas szintű matematikai tehetséggondozás A fenti diophantoszi egyenlet megoldásai: a b c nem egész nem egész nem egész Az egyenletet algebrailag oldottuk meg, most térjünk vissza a geometriára. Kevés próbálkozással belátható, hogy invariáns lefedés a fenti tizenhárom esetből csak négyhez létezik és azok meg is rajzolhatók: {3,12,12} {4,6,12} {4,8,8} {6,6,6} 138

4 Erdősné Németh Ágnes: Síklefedések Nem részletezve tovább az algebrai levezetést, negyedfokú parkettából a 4 algebrai megoldásból háromhoz található invariáns geometriai lefedés: NINCS {3,3,4,12} {3,6,3,6} {3,4,4,6} {4,4,4,4} Az ötödfokú parkettáknál újabb érdekesség lép fel. Az algebrai levezetésből két megoldást találunk, a {3, 3, 3, 3, 6} és a {3, 3, 3, 4, 4}. Az elsőhöz két megoldás tartozik, egy jobbsodrású és egy balsodrású változat, míg a másodiknál attól függően, hogy milyen sorrendben tesszük egymás mellé a számokat-sokszögeket, két teljesen más ábrával találkozunk: {3, 3, 3, 3, 6} jobb {3, 3, 3, 3, 6} bal {3, 3, 3, 4, 4} {3, 3, 3, 4, 4} 139

5 Magas szintű matematikai tehetséggondozás Hatodfokú parkettából a már ismert szabályos háromszöges az egyetlen algebrai és egyben geometriai megoldás is. {3,3,3,3,3,3} A következő lépés az invariáns alakzat és a mozgás megtalálása az egyes parkettázásokhoz. A következő ábrákon egy-egy lehetséges invariáns alakzatot mutatok be az egyes parkettákhoz: {3,12,12} {4,6,12} {3,4,4,6} {4,8,8} {6,6,6} {3, 3, 3, 3, 6} jobb {3,6,3,6} {3, 3, 3, 3, 6} bal {4,4,4,4} {3, 3, 3, 4, 4} {3, 3, 3, 4, 4} {3, 3, 3, 3, 3,3} 140

6 Erdősné Németh Ágnes: Síklefedések A feladatokban érdekesség volt, hogy egy adott geometriai problémát algebrai úton lehetett megoldani, ezzel biztosítva a teljes megoldást. Az algebrai megoldások közül nem mindnek létezik geometriai megfelelője. Könnyen látható a megfelelő esetekben, hogy egy pontra létezik a megfelelő oldalszámú sokszögekkel való körbefedés, de ez nem biztosítja a sík teljes, hézagmentes lefedését. Volt olyan algebrai megoldás, aminek több geometriai megfelelője is van. A lefedések megtalálása után az invariáns alakzat és a mozgás megtalálása is többféle lehet. A lefedések ábráit az ingyenesen letölthető WINGEOM ( programban láttam először, a szürke ábrákat ezzel a programmal készítettem, az algebrai levezetéseket Dr. Kosztolányi József: Egy kutatási program általános iskolásoknak, POLYGON 1991, júniusában megjelent cikkében is megtaláltam, az invariáns lefedéseket és a többszínű ábrákat a gyerekek LOGO programjaival generáltam. 141