Hasznos korrelációk kötötten összefonódott állapotokból
|
|
- Csenge Fábián
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Hasznos korrelációk kötötten összefonódott állapotokból Vértesi Tamás Atomki, Debrecen Nicolas Brunnerrel, Pál Károllal és Tóth Gézával közös munkák alapján SZTE Elméleti Fizikai Tanszék, március 14.
2 Absztrakt A kötötten összefonódottság eg nagon genge formáját képviseli az összefonódott állapotoknak. Ezen állapotok olannira gengén összefontak, hog végtelen számú példánukból sem nerhető ki tiszta összefonódottság. Ennek ellenére hasznosnak bizonulnak a kvantumos kulcskiosztásban, vag metrológiai feladatokban. Ebben az előadásban megmutatjuk, hog a kötötten összefonódott állapotokat Bell-egenlőtlenségek sértésére is lehet használni. Ez egúttal ellenpéldát ad Asher Peres sejtésére. Az eredménünk a kvantuminformatika eszközfüggetlen alkalmazásaiban is hasznosulhatnak.
3 Tartalom 1. (Kötött) összefonódottság 2. Bell-nemlokalitás 3. Összefonódottság / nemlokalitás 4. Más nemlokalitás tesztek 5. Peres-sejtés 6. Ellenpélda 7. Nitott problémák
4 1. (Kötött) összefonódottság Eg kétrészű állapot szeparálható: ρ = ρ λ AB pλ A λ ρ λ B Az állapot összefonódott, hog ha nem írható fel a fenti formában.
5 1. (Kötött) összefonódottság A szinglet állapot eg tiszta állapot, amel két kvantumbit maximálisan összefonódott állapota: Ψ = Kísérleti körülmének között a zaj elkerülhetetlen, íg csak a tiszta állapotok keveréke valósul meg. Azonban a kvantuminformatikai protokollok jellemzően a szinglet állapotra épülnek, mint erőforrásra. Pl. kriptográfia, teleportáció. Létezik-e megoldás erre a problémára?
6 1. (Kötött) összefonódottság Alice és Bob k példánát osztja meg eg állapotnak: ρ AB kevert k Alice Bob
7 1. (Kötött) összefonódottság Ezután eg desztillációs eljárást végeznek el (LOCC = lokális műveletek és klasszikus kommunikáció): k m Alice Bob Alice Bob
8 1. (Kötött) összefonódottság k m Alice Bob Alice Bob Ennek eredméneképpen, m<k példánát kapják meg a szinglet állapotnak, amelet már felhasználhatnak kvantuminformatikai célokra.
9 1. Kötött összefonódottság ρ AB Minden két-kvantumbites (kétqubites) összefonódott állapotból desztillálható szinglet állapot a fenti desztillációs eljárással. Vajon igaz lesz-e ez magasabb dimenziós rendszerek esetén is?
10 1. Kötött összefonódottság ρ AB Minden két-kvantumbites (kétqubites) összefonódott állapotból desztillálható szinglet állapot a fenti desztillációs eljárással. Vajon igaz lesz-e ez magasabb dimenziós rendszerek esetén is? Horodeckiék 1998-ban megmutatták, hog nincs íg. Találtak olan zajos, gengén összefonódott állapotokat, amelekből nem lehet szinglet állapotot kinerni desztillációs eljárással (vagis LOCC műveletekkel). Ezen állapotokat kötötten összefonódott állapotoknak nevezzük. Erre a legegszerűbb példa eg 3x3 dimenziós állapot, amel az ún. UPB-konstrukción alapszik.
11 1. Kötött összefonódottság ρ AB Adott eg összefonódott állapot. Hogan dönthető el, hog desztillálható-e vag sem (vagis az állapot kötötten összefonódott-e)? Ez eg nehéz kérdés, mivel nem létezik eg általános recept a desztillációs eljárásra: bármilen LOCC művelet megengedett, illetve az állapot példánainak a száma is tetszőleges lehet.
12 1. Kötött összefonódottság Eg elégséges, gakorlatban können igazolható feltétel mégis adható a nem-desztillálhatóságra. Ez a feltétel a részleges transzponálás (Partial Transpose) műveleten alapszik: PT ( ρ ) = ( I )( ) AB TB ρ AB Ha eg állapoton a fenti PT-műveletet elvégezve, az állapot pozitív marad (vagis az állapot eg fizikai állapotba kerül vissza), akkor biztosan nem desztillálható. Az ilen állapotokat PPT kötötten összefonódott állapotoknak nevezzük.
13 1. Kötött összefonódottság Hasznosak-e a kötötten összefonódott állapotok?
14 1. Kötött összefonódottság Hasznosak-e a kötötten összefonódott állapotok? Igen, például: Kvantumkulcs-kiosztásban (Horodecki et al.: Secure ke from bound entanglement, PRL 2005). Adatelrejtésben: ún. private állapotokhoz tetszőlegesen közeli PPT kötötten összefonódott állapotok állíthatók elő. Ilen típusú PPT állapotokból sok kulcsot lehet gártani. (L. Lami, C. Palazuelos, and A. Winter: Ultimate data hiding in quantum mechanics and beond, 2018). Metrológiában, lineáris interferométerekben.
15 1. Kötött összefonódottság Metrológia: ρ U ( ) iaθ θ = e ρ θ M A feladat a (kicsi) θ paraméter becslése a dimanikában. Azt mondjuk, hog a ρ állapot hasznos, hog ha bármel szeparálható állapotnál pontosabb becslést tudunk vele elérni adott A mellett. (G. Tóth and T. Vértesi: Quantum states with a positive partial tranpose are useful in metrolog, PRL 18)
16 1. Kötött összefonódottság Kérdés: Az előbbi példákon túl hasznosak lehetnek-e a kötötten összefonódott állapotok a nemlokális korrelációk keltésében? Lehet-e segítségükkel olan korrelációkat előállítani, amelek klasszikusan nem szimulálhatóak? Nevezetesen, lehet-e velük Bell-egenlőtlenséget sérteni? A következő diákon ezt fogjuk megvizsgálni.
17 2. Bell-nemlokalitás Kísérleti Bell-féle elrendezés: Távoli felhasználók (Alice és Bob) m különböző mérést végezhet, és minden mérésnek r különböző kimenetele lehet. Alice x=0,,m-1 ρ AB =0,,m-1 Bob a=0,,r-1 b=0,,r-1 Kísérletből kinerhető adat: P(a,b x,) J.S. Bell: On the einstein-podols-rosen paradox, 1964
18 2. Bell-nemlokalitás Eg optikai Bell-kísérlet elrendezése (2 be, 3 kimenet, 2 qutrit): Forrás: X.M. Hu, B.H. Liu, Y. Guo, G.Y. Xiang, Y.F. Huang, C.F. Li, G.C. Guo, M. Kleinmann, T. Vértesi, A. Cabello: Observation of strongerthan-binar correlations with entangled photonic qutrits, PRL 18
19 2. Bell-nemlokalitás Kísérleti Bell-féle elrendezés: kvantumos eset. Alice x=0,,m-1 ρ AB =0,,m-1 Bob a=0,,r-1 b=0,,r-1 P(a,b x,) A lehetséges kvantumkorrelációk: ( M M ) P ( a, b x, ) tr AB a x b = ρ
20 2. Bell-nemlokalitás Kísérleti Bell-féle elrendezés: klasszikus eset eg közös véletlen változó. Λ Alice x=0,,m-1 Λ =0,,m-1 Bob a=0,,r-1 b=0,,r-1 P(a,b x,) A lehetséges lokális korrelációk: λ ( a x, λ) P( b λ) P( a, b x, ) = p λ P,
21 2. Bell-nemlokalitás A P(a,b x,) valószínűségi eloszlást nemlokálisnak nevezzük, hog ha az előbbi alakban nem írható fel. Mi ennek a jelentése? Λ eg közös véletlen változó, ami külön-külön befolásolja az A és B heli eloszlásokat. P ( a, b x, ) = tr ρ M a x M ρ AB Uganakkor, ha a AB nemlokális, akkor azt mondjuk, hog a nemlokális. ( ) b eloszlás állapot
22 2. Bell-nemlokalitás λ ( a x, λ) P( b λ) P( a, b x, ) = p λ P, Geometriailag, a lehetséges lokális eloszlások L halmaza véges számú pontnak a konvex burka. Vagis L eg politópot határoz meg. A politóp D i csúcsai az ún. determinisztikus stratégiákhoz tartoznak. Ilenkor a p λ súlok a 0/1 értékeket vehetik fel. D1 D2 L D i
23 2. Bell-nemlokalitás λ ( a x, λ) P( b λ) P( a, b x, ) = p λ P, Geometriailag, a lehetséges lokális eloszlások L halmaza véges számú pontnak a konvex burka. Vagis L eg politópot határoz meg. A politóp D i csúcsai az ún. determinisztikus stratégiákhoz tartoznak. Ilenkor a p λ súlok a 0/1 értékeket vehetik fel. A Bell-egenlőtlenségek ezen lokális korrelációk halmazát határoló félsíkok. L
24 2. Bell-nemlokalitás λ ( a x, λ) P( b λ) P( a, b x, ) = p λ P, Az ábrán a Bell-egenlőtlenség a P korrelációt nemlokálisnak detektálja. P (ab x) L
25 3. Összefonódottság / nemlokalitás Szeparálható állapot mindig felírható ilen formában:. Alice és Bob méréseket végeznek az állapot hozzájuk tartozó felén. Az ebből származó korrelációk matematikailag íg írhatóak: amel utóbbi képlet pontosan a korrelációk lokális formáját adja meg. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ ρ ρ ρ ρ ρ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ,, tr tr tr tr B A b P x a P p M M p M M p M M b x a b x a B A b x a AB = = = = λ λ λ λ ρ ρ ρ B A AB p = ),, ( x b a P
26 3. Összefonódottság / nemlokalitás Megfordítva a fenti eredmént, azt kapjuk, hog nemlokális korrelációk észlelése összefonódottság jelenlétére utal. Bell-nemlokális korrelációk Kvantumösszefonódottság
27 3. Összefonódottság / nemlokalitás Megfordítva a fenti eredmént, azt kapjuk, hog nemlokális korrelációk észlelése összefonódottság jelenlétére utal. Bell-nemlokális korrelációk Kvantumösszefonódottság Ez példa az összefonódottság ún. eszközfüggetlen észlelésére: Összefonódottság megléte igazolható anélkül, hog a két kísérletező, Alice és Bob, ismerné a mérőműszerei működésének részleteit.
28 3. Összefonódottság / nemlokalitás Megfordítható-e a fenti irán?? Bell-nemlokális korrelációk Kvantumösszefonódottság
29 3. Összefonódottság / nemlokalitás Tiszta állapotokra a válasz: Igen. Az egedüli tiszta állapot, amel nem sért Bellegenlőtlenséget (vagis lokális), a szorzatállapot: (Gisin 91, Popescu and Rohrlich 92): Ψ = ΨA Ψ B
30 3. Összefonódottság / nemlokalitás Kevert állapotokra: A válasz nem ismert.
31 3. Összefonódottság / nemlokalitás Példaként vegük a p paraméteres kétqubites Wernerállapotokat: ρ ( p) p Ψ Ψ + ( p) Szeparálható Lokális modell = Ebben a tartománban a I /3 5/12 1 ρ( p) I 2 p összefonódott, de lokális.
32 3. Összefonódottság / nemlokalitás A fenti Bell-féle elrendezésben csak egszeri méréseket feltételezünk, és ezek is csak ρ p egetlen példánán hatnak. ( ) ( ) Lehetséges-e a ρ p nemlokális tartománát kibővíteni azáltal, hog ennél általánosabb elrendezést tekintünk? A következőkben ilen általánosított Bell-féle teszteket mutatunk be.
33 4. Nemlokalitás tesztek Sok példán: Alice és Bob egüttes méréseket végezhet a állapot több példánán. ρ AB x ρ k AB Alice a Bob a P(a,b x,) b k ( ρ M ) AB M a x b = tr
34 4. Nemlokalitás tesztek Sok példán: Ha P(a,b x,) nemlokális, akkor azt mondjuk, hog k-cop nemlokális. ρ AB x ρ k AB Alice a Bob a P(a,b x,) b k ( ρ M ) AB M a x b = tr
35 4. Nemlokalitás tesztek Sok példán: Palazuelos (PRL, 2012) a Khot-Vishnoi játékon alapuló Bell-egenlőtlenség segítségével mutat ki nemlokalitás aktiválását. Palazuelos munkáját továbbfejlesztve megmutatható, hog bármel összefonódott kétqubites Werner állapot k-cop nemlokális (D. Cavalcanti, A. Acin, N. Brunner, T. Vértesi, PRA 2013): Szeparálható Lokális model A nemlokalitás itt aktiválható k-cop nemlokalitás 0 1/3 5/12 1 p
36 4. Nemlokalitás tesztek Szűrés: Rejtett nemlokalitás kimutatása (Popescu 1995, Gisin 1996). x Alice ρ AB Bob a 2 a 1 b 1 b 2 p(a,b x,, a =0,b =0) 1 1 Egetlen mérés helett most Alice és Bob mérések sorozatát végezheti az állapoton (tipikusan kettőt egmás után). Amenniben az első mérések sikeresek voltak, utána eg hagomános Bell-féle kísérletet végeznek.
37 4. Nemlokalitás tesztek Szűrés: Rejtett nemlokalitás (Popescu 95, Gisin 96). x Alice ρ AB Bob a 2 a 1 b 1 b 2 p(a,b x,,a =0,b =0) 1 1 Hirsch et al. (PRL, 2013) valódi rejtett nemlokalitásra ad példát: Eg olan kétqubites állapotot találnak, amelre lokális modell adható a hagomános Bell-féle elrendezésben, de Bell-egenlőtlenséget sért, ha előtte szűrést hajtunk végre az állapoton.
38 4. Nemlokalitás tesztek Sok példán és szűrés egütt: = Összefonódottság desztillációja.
39 4. Nemlokalitás tesztek Sok példán és szűrés egütt: = Összefonódottság desztillációja. Emiatt: Bármel desztillálhatóan összefonódott állapotból kinerhető a szinglet állapot, amel használható Bellnemlokális korrelációk keltésére. De léteznek kötötten összefonódott állapotok, amelekből nem nerhető ki desztillációval összefonódottság. Vajon mit mondhatunk ezen állapotok nemlokalitásáról? Sérthetnek-e Bell-egenlőtlenséget? Erre vonatkozik a következő dián Asher Peres sejtése.
40 5. Peres-sejtés Sejtés: Minden nem-desztillálható állapot rendelkezik lokális modellel (A. Peres, Foundations of Phsics 29, (1999)), íg ezen állapotok nem sérthetnek Bellegenlőtlenséget: Note that there exist inseparable quantum states that cannot be distilled into singlets. In particular, quantum states whose partial transpose has no negative eigenvalue have that propert. Thus, if the preceding conjectures are correct, it follows that these peculiar inseparable quantum states violate no Bell inequalit, and therefore, owing to Farkas s lemma, their statistical properties are compatible with the existence of local objective variables.
41 5. Peres-sejtés Peres mellett: o A CHSH-Bell-egenlőtlenség csakis desztillálható állapotokkal sérthető (Acin 01, Masanes 06). Uganez vonatkozik a CHSH-nak kettőnél több résztvevős általánosítására is, az ún. Mermin-féle Bellegenlőtlenségekre. Tehát ezen egenlőtlenségek nem sérthetőek PPT kötötten összefonódott állapotokkal.
42 5. Peres-sejtés Peres mellett: o Moroder et al. (PRL, 2013) eg numerikus módszert közölt, amel tetszőleges Bell-egenlőtlenségnek PPT kötötten összefonódott állapotokkal való sértésére ad felső korlátot. Ezen tanulmánban több száz Bellegenlőtlenség ilen módon való sérülését sikerült kizárni.
43 5. Peres-sejtés Peres mellett: o Puse sejtése (2013): kötötten összefonódott állapotok nem hasznosak az EPR steering (állapotok kormánozhatósága) jelenségében. Az EPR steering a Bell-féle nemlokalitás eg gengébb formájának tekinthető. Íg ezen sejtés a Peres eredeti sejtésénél még erősebb feltételt ad a kötötten összefonódott állapotokkal elérhető korrelációk erősségére.
44 5. Peres-sejtés Peres ellen: Peres sejtése nem igaz három részrendszer esetében: A A A B C B C B C Eg olan 3 qubites összefonódott állapotot találtunk, amel minden kétrészű osztásra nézve szeparálható (Vértesi & Brunner, PRL 2012). Emiatt ebből az állapotból nem desztillálható kétrészű összefonódottság.
45 5. Peres-sejtés Uganakkor megfelelő mérések mellett, ezen 3 qubites állapot sérti az egik Sliwa-féle Bell-egenlőtlenséget: [ A + A B A B A B C A B C + A B C ] 3 Sm Itt a korrelátorokat a következőképpen definiáltuk: A x B C z = a, b, c=± 1 abc P ( a, b, c x,, z) A sértés mértéke: Q = Vagis a fenti 3 qubites kötötten összefonódott állapot Bell-nemlokális.
46 5. Peres-sejtés Peres ellen: Nem sokkal Puse 2013-as sejtése után (amel a Peres sejtését erősítette), sikerült azt megcáfolni (Moroder, Gittsovich, Huber, Gühne, PRL, 2014). Eg olan PPT kötötten összefonódott állapotot találtak, amel sért eg EPR-steering egenlőtlenséget. Ebben az elrendezésben Bob mérései teljesen karakterizáltak, míg Alice mérései fekete doboznak tekinthetőek (vagis ez eg hibrid, vag félig-eszközfüggetlen elrendezés).
47 6. Ellenpélda Mit mondhatunk a teljesen eszközfüggetlen esetről, amikor mindkét fél eszközei fekete dobozok? Peres eredeti sejtése erre a kétrészű Bell-féle elrendezésre vonatkozik. A következő ellenpéldát találtuk. Konkrétan eg 3x3 dimenziós PPT kötötten összefonódott állapotot adtunk meg, amel sért eg kétrészű Bell-egenlőtlenséget. [T. Vértesi and N. Brunner: Disproving the Peres conjecture b showing Bell nonlocalit from bound entanglement, Nat. Commun. 2014]
48 6. Ellenpélda A következő ellenpéldát találtuk. Konkrétan eg 3x3 dimenziós PPT kötötten összefonódott állapotot adtunk meg, amel sért eg kétrészű Bell-egenlőtlenséget. Az állapot 4 rangú: ρ AB = i= 1 Invariáns a PT-műveletre: 4 λ i ψ i ψ i PT ( ρ AB ) = ( I TB ) ρ AB = ρ AB Ez biztosítja, hog az állapot PPT és emiatt nem desztillálható. Ezen példa minimális dimenziójú, hiszen 2x3 dimenzióban nem létezik PPT összefonódott állapot.
49 6. Ellenpélda Bell-egenlőtlenség (S. Pironio, 2014): x=0,1,2 =0 Alice ρ AB Bob a=0,1 b=0,1,2 P(a,b x,)
50 6. Ellenpélda Bell-egenlőtlenség (S. Pironio, 2014): x=0,1,2 =1 Alice ρ AB Bob a=0,1 b=0,1 P(a,b x,)
51 6. Ellenpélda Bell-egenlőtlenség (S. Pironio, 2014): x=0,1,2 =1 Alice ρ AB Bob a=0,1 P(a,b x,) b=0,1 Bellegenlőtlenség: I = p + A p ( 0 2) 2 pb ( 0 1) p( 01 00) p( 00 10) + p( 00 20) ( 01 20) + p( 00 01) + p( 00 11) + p( 00 21) I <= 0 teljesül bármel lokális P(a,b x,) eloszlásra.
52 6. Ellenpélda Bell-egenlőtlenség (S. Pironio, 2014): x=0,1,2 =1 Alice ρ AB Bob a=0,1 b=0,1 Kvantumos esetben PPT állapotokkal: P(a,b x,) = tr ρ ( M ) PPT M a x b I PPT =
53 6. Ellenpélda 4 Az előbbi konstrukciónk, amelre I PPT is analitikus (mind a PPT állapot és a mérések is zárt alakban megadhatóak). A Pironio-féle Bell-egenlőtlenségre lefuttatva a Moroder et al. SDP algoritmusát a következő felső korlátot kapjuk a PPT állapotokkal a maximális sértésre: max I PPT Vagis nincs kizárva, hog az analitikus eredménünknél eg kicsit nagobb Bell-sérülés is elérhető eg másik PPT állapottal (esetleg 3x3-nál magasabb dimenziós Hilberttéren). 4
54 6. Ellenpélda Hogan találtuk az ellenpéldát? Vegünk eg általános kétrészű Bell-kifejezést (L lokális korláttal): I = c P ( a, b x ) a, b, x,, a, b, x, L.
55 6. Ellenpélda Hogan találtuk az ellenpéldát? Vegünk eg általános kétrészű Bell-kifejezést (L lokális korláttal): I = c ( a, b x ) a, b, x,, a, b, x, A feladatunk ezen kifejezés maximalizálása: I PPT = c a b, x, a, b, x, P a (d x d) dimenziós állapotok körében, tetszőleges (ddimenziós) és mérési operátorokat megengedve. M a x ρ PPT, tr ρ M b L ( M M ) PPT a x b
56 6. Ellenpélda Iteratív eljárás: I PPT = ca, b, x, tr( ρppt M a x M b ) a, b, x,
57 6. Ellenpélda Iteratív eljárás: I PPT = ca, b, x, tr( ρppt M a x M b ) step 0: pick random ( M a x, M b ) a, b, x,
58 6. Ellenpélda step 1: ( ) PPT b x a M M ρ, step 0: pick random ( ) b x a M M, Iteratív eljárás: ( ) = x b a b x a PPT x b a PPT M M c I,,,,,, tr ρ
59 6. Ellenpélda Iteratív eljárás: I PPT = ca, b, x, tr( ρppt M a x M b ) step 0: pick random ( M a x, M b ) step 1: ( M a x, M b ) ρppt step 2: ( M a x, ρppt ) M b a, b, x,
60 6. Ellenpélda Iteratív eljárás: I PPT = ca, b, x, tr( ρppt M a x M b ) step 0: pick random ( M a x, M b ) step 1: ( M a x, M b ) ρppt step 2: ( M a x, ρppt ) M b step 3: ( M b, ρppt ) M a x a, b, x,
61 6. Ellenpélda Iteratív eljárás: I PPT = ca, b, x, tr( ρppt M a x M b ) step 0: pick random ( M a x, M b ) step 1: ( M a x, M b ) ρppt step 2: ( M a x, ρppt ) M b step 3: ( M b, ρppt ) M a x step 4: back to step 1 a, b, x,
62 6. Ellenpélda Az összefonódottság három különböző megnilvánulása közötti kapcsolat: Bell-nemlokalitás? Nem PPTtulajdonság? Desztillálhatóság
63 6. Ellenpélda Alkalmazási lehetőségek? ρ PPT A kötötten összefont állapotunkkal a Pironio-féle Bellegenlőtlenséget sértő statisztikából nullánál nagobb véletlenszerűség nerhető ki (setup: Pironio et al. 2010): Eve x e Alice a ρ PPT Bob Adott x-re Eve (akinek e a kimenetele) nem találhatja el minden esetben Alice (a) mérési kimenetelét. b
64 6. Ellenpélda Alkalmazási lehetőségek? Bármel Bell-egenlőtlenséget sértő statisztikából levezethető eg többszereplős kommunikációs probléma (Buhrman et al, PNAS 2016). Ebből a szempontból a kötötten összefont állapotok a klasszikus erőforrásokhoz képest előnösek, mivel bizonos kommunikációs protokollokban csökkenthetik a szükséges klasszikus információátvitel nagságát.
65 6. Ellenpélda Eredmének 3x3-nál magasabb dimenziós nemlokális kötötten összefonódott állapotokra: Yu és Oh, PRA 2017: Famil of nonlocal bound entangled states Yu és Oh tetszőleges d > 2 esetén előállít eg PPT kötötten összefonódott d x d dimenziós állapotot, amel Bellegenlőtlenséget sért. A d = 3 esetén, az állapot és az egenlőtlenség megegezik a mienkkel. A konstrukció az ún. Hard-féle elven alapszik.
66 6. Ellenpélda Eredmének 3x3-nál magasabb dimenziós nemlokális kötötten összefonódott állapotokra: Pál és Vértesi, PRA 2017: Famil of Bell inequalities violated b higher dimensional bound entangled states Ebben a cikkben minden véges d > 2 dimenzióra találunk eg Bell-egenlőtlenséget, amel sérthető d x d dimenziós PPT-összefonódott állapotokkal. A konstrukciónk különbözik a Yu-Oh cikkbeli eredméntől. Numerikusan d = 6 dimenzióig azt találtuk, hog ez PPT összefonódott állapotokra eg dimenziótanút határoz meg. Az a sejtésünk, hog ez az eredmén d > 6 dimenzióra is igaz marad.
67 6. Ellenpélda Eredmének 3x3-nál magasabb dimenziós nemlokális kötötten összefonódott állapotokra: A (d x d) dimenziós PPT-összefonódott állapotokhoz tartozó P(a,b x,) korrelációk halmaza adott d mellett konvex. Hagmahéjszerűen egmásba ágazottak: 3x3 4x4 5x5 6x6
68 6. Ellenpélda Eredmének 3x3-nál magasabb dimenziós nemlokális kötötten összefonódott állapotokra: A (d x d) dimenziós PPT-összefonódott állapotokhoz tartozó P(a,b x,) korrelációk halmaza. A Bell-egenlőtlenségeink olan hipersíkot határoznak meg, amel PPT-állapotok dimenzióját képes észlelni: 3x3 4x4 5x5 6x6
69 7. Nitott problémák Más lehetséges alkalmazások? Lehetséges-e PPT kötötten összefonódott állapotokkal kvantumkulcsot előállítani a kvantumkriptográfia eszközfüggetlen keretében? Eddigi példákban a sértés mértéke igen kicsi. Elképzelhetőe nagmértékű sértés esetleg magas dimenziós PPT összefonódott állapotokal? Van-e kapcsolat a metrológiában hasznos, kriptográfiában hasznos és Bell-nemlokális PPT összefonódott állapotok családjai között?
70 7. Nitott problémák Más lehetséges alkalmazások? Többrészű kiterjesztés: Létezik-e olan (N > 2)-résztvevős teljesen kötötten összefonódott állapot (vagis PPT minden kétrészű osztásra), amelre a P(a,b, x,, ) statisztika valódi N-részűen nemlokális (Svetlichn-féle értelemben, amel erősebb a Bell-féle nemlokalitásnál)? Eg lehetséges konfiguráció 3 résztvevőre: A ρppt ρppt B ρ PPT C
71 Köszönöm szépen a figelmet!
Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal
Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal Tóth Géza Max-Plank-Intitute für Quantenoptik, Garching, Németország Budapest, 2005. október 4. Motiváció Miért érdekes a kvantum-informatika? Alapvető problémák
RészletesebbenMatematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola
O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg
Részletesebben18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK
18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,
RészletesebbenAz összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály
Az összefonódás elemi tárgyalása Benedict Mihály Elméleti Fizikai Iskola Tihany 2010, augusztus 31 Kétrészű rendszerek, tiszta állapotok, Schmidt fölbontás és az összefonódási mértékek Példák a kvantumoptikából
RészletesebbenA kvantumelmélet és a tulajdonságok metafizikája
A kvantumelmélet és a tulajdonságok metafizikája Szabó Gábor MTA Bölcsészettudományi Központ email: szabo.gabor@btk.mta.hu p. 1 Kvantumelmélet Kialakulása: 1900, Planck: energiakvantum 1905, Einstein:
RészletesebbenKvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek
Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek MaFiHe TDK és Szakdolgozat Hét Szalay Szilárd MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont, Szilárdtest Fizikai és Optikai Intézet, Erősen Korrelált Rendszerek Lendület
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenMatematika szintfelmérő szeptember
Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt
RészletesebbenLineáris programozás. A mese
Lineáris programozás A mese Célok Geometriai szemlélet (nem lesz matek ) Gakorlati kérdések Már megint a szendvics Kétfajta szendvicset szeretnénk készíteni, sonkásat és szalámisat. Lehetőleg minél többet.
RészletesebbenBell-kísérlet. Máté Mihály, Fizikus MSc I. ELTE. Eötvös Loránd Tudományegyetem. Modern zikai kísérletek szemináriuma, 2016.
Bell-kísérlet Máté Mihály, Fizikus MSc I. ELTE Eötvös Loránd Tudományegyetem Modern zikai kísérletek szemináriuma, 2016. Máté Mihály (ELTE) Bell-kísérlet 1 / 15 Tartalom 1 Elmélet Összefonódás EPR Bell
RészletesebbenA Bell-egyenl tlenségek valószín ségi geometriájáról
A Bell-egyenl tlenségek valószín ségi geometriájáról Koniorczyk Mátyás Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikai és Informatikai Intézet Alkalmazott Matematika Tanszék Magyar Operációkutatási
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
RészletesebbenA Jövő Internet elméleti alapjai. Vaszil György Debreceni Egyetem, Informatikai Kar
A Jövő Internet elméleti alapjai Vaszil György Debreceni Egyetem, Informatikai Kar Kutatási témák Bizalmas adatok védelme, kriptográfiai protokollok DE IK Számítógéptudományi Tsz., MTA Atomki Informatikai
RészletesebbenElemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény
Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek
Részletesebbenaz Aharonov-Bohm effektus a vektorpotenciál problémája E = - 1/c A/ t - φ és B = x A csak egy mértéktranszformáció erejéig meghatározott nincs fizikai
az Aharonov-Bohm effektus a vektorpotenciál problémája E = - 1/c A/ t - φ és B = x A csak egy mértéktranszformáció erejéig meghatározott nincs fizikai jelentése? a kvantummechanikában ih m» a hullámfüggvény
RészletesebbenKvantum-kommunikáció komplexitása I.
LOGO Kvantum-kommunikáció komplexitása I. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Klasszikus információ n kvantumbitben Hány klasszikus bitnyi információ nyerhető ki n kvantumbitből? Egy
RészletesebbenKvantum-tömörítés II.
LOGO Kvantum-tömörítés II. Gyöngyös László BME Vllamosmérnök és Informatka Kar A kvantumcsatorna kapactása Kommunkácó kvantumbtekkel Klasszkus btek előnye Könnyű kezelhetőség Stabl kommunkácó Dszkrét értékek
Részletesebben1.1. Halmazelméleti alapfogalmak
. Halmazok, relációk, függvének.. Halmazelméleti alapfogalmak... A halmaz fogalma A halmazt a halmazelmélet alapfogalmának tekintjük és ezért nem definiáljuk. Szokás azt mondani, hog a halmaz különböző
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim
Függvének határértéke és oltonossága Deiníció: Az -hoz megadható olan üggvénnek az A. pontban van határértéke és ez A ha bármel küszöbszám hog ha A akkor. Jele: a) Függvén határértékének ogalma visszavezethető
RészletesebbenKvantum marginális probléma és összefonódási politópok
Kvantum marginális probléma és összefonódási politópok Vrana Péter Budapesti műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Geometria Tanszék 04. október. / Összetett rendszerek Jelölések k darab részrendszer H,
RészletesebbenXXVII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Nagyvárad, február I. forduló - 9. osztály
Nagvárad, 07. február 3 6.. feladat: Két játékos a következő játékot játssza: Az,,3,...,07 véges számsorozatból váltakozva kiválasztanak eg-eg számot, és azt törlik a sorozatból. Bármelikük látja, hog
Részletesebben9. évfolyam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok
Halmazok: 9. évfolam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok. Adott két halmaz. A : a ; a : páros és B : ;;8;0;;;8;0;. Add meg a következő halmazműveleteket az elemek felsorolásával és készíts Venn
RészletesebbenSzabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .
Szabadsugár Tekintsük az alábbi ábrán látható b magasságú résből kiáramló U sebességű sugarat. A résből kiáramló és a függőleges fal melletti térben lévő foladék azonos. A rajz síkjára merőleges iránban
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások
Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
RészletesebbenMEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG
Dr. Óvári Gula 1 - Dr. Urbán István 2 MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KILKÍTÁS 3 cikk(soroatban)ben a merev sárnú repülőgépek veérsík rendserinek terveését és építését követheti nomon lépésről
Részletesebben10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
Részletesebben2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s
Diszkre t matematika 10. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
RészletesebbenAnalízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.
Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................
RészletesebbenA lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
RészletesebbenKvantumkriptográfia II.
LOGO Kvantumkriptográfia II. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Titkos kommunikáció modellje k 1 k 2 k n k 1 k 2 k n A titkos kommunikáció során Alice és Bob szeretne egymással üzeneteket
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenA szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
RészletesebbenCsoportreprezentációk az
Csoportreprezentációk az összefonódottság-elméletben PhD tézisfüzet Vrana Péter Témavezető: Dr. Lévay Péter Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Elméleti Fizika Tanszék (2011) Előzmények Az összefonódottság
RészletesebbenKalkulus II., harmadik házi feladat
Név: Neptun: Web: http://mawell.sze.hu/~ungert Kalkulus II., harmadik házi feladat.,5 pont) Határozzuk meg a következ határértékeket: ahol a) A =, ), b) A =, ), c) A =, ).,) A Az egszer bb kezelhet ség
RészletesebbenMásodfokú függvények
Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú
RészletesebbenVéletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás
Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél
RészletesebbenRelációk. Vázlat. Példák direkt szorzatra
8.. 7. elácók elácó matematka fogalma zükséges fogalom: drekt szorzat Halmazok Descartes drekt szorzata: Legenek D D D n adott doman halmazok. D D D n : = { d d d n d k D k k n } A drekt szorzat tehát
RészletesebbenSzemidenit optimalizálás és az S-lemma
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok
Részletesebben3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra
SZÉCHENYI ISÁN EGYEEM AAMAZO MECHANIA ANSZÉ 6. MECHANIA-ÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szüle eronika, eg. ts.) I. előadás. okális aroimáció elve, végeselem diszkretizáció egdimenziós feladatra.. Csomóonti
RészletesebbenVázlat. Relációk. Példák direkt szorzatra
7..9. Vázlat elácók a. elácó fogalma b. Tulajdonsága: refleív szmmetrkus/antszmmetrkus tranztív c. Ekvvalenca relácók rzleges/parcáls rrendez relácók felsmere d. elácók reprezentálása elácó matematka fogalma
RészletesebbenLepárlás. 8. Lepárlás
eárlás 8. eárlás csefolós elegek szétválasztására leggakrabban használt művelet a leárlás. Míg az egszeri leárlás desztilláció néven is ismerjük az ismételt leárlás vag ismételt desztillációt rektifikálásnak
Részletesebben5. Végezd el a kijelölt műveleteket, és ahol lehet, vonj össze!
1 1. Rendezd a következő polinomokat a bennük lévő változó növekedő hatvánkitevői szerint! a) 2 + + 2 b) 2 + + 2 + 6 2. Melek egnemű algebrai kifejezések? a) a 2 b; 2ab; a 2 b; 2a b; 1,a 2 b b) 2 ; 2 ;
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenJuhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai
Juhász István Orosz Gula Parócza József Szászné dr Simon Judit MATEMATIKA 9 Az érthetõ matematika tankönv feladatainak megoldásai A megoldások olvasásához Acrobat Reader program szükséges, amel ingenesen
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenModern fejlemények a kvantumelméletben. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3.
Modern fejlemények a kvantumelméletben Bevezetés Ádám Péter, Diósi Lajos Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Iskola témája, bevezetés célja Iskola témája kvantumoptika és
Részletesebben3. Gráfok színezései
Diszkrét Matematika levelező MSc hallgatók számára 3. ráfok színezései Előadó: Hajnal Péter 2011 12. őszi félév 1. Síkgráfok és élszínezések A párosításoknál szereplő Petersen-tétel azt állította, hog
RészletesebbenProjektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria
Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.
RészletesebbenSTATISZTIKA. A maradék független a kezelés és blokk hatástól. Maradékok leíró statisztikája. 4. A modell érvényességének ellenőrzése
4. A modell érvényességének ellenőrzése STATISZTIKA 4. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek 1. Függetlenség 2. Normális eloszlás 3. Azonos varianciák A maradék független a kezelés és blokk hatástól
RészletesebbenTöbb valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció
Tartalomjegzék Előszó... 6 I. Valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapok... 8 1. A szükséges valószínűségelméleti és matematikai statisztikai alapismeretek összefoglalása... 8 1.1. Alapfogalmak...
Részletesebben7.4. A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság
H @ tj 68 7 PROGRAMKONSTRUKCIÓK 74 A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság Ebben az alfejezetben kis kitérőt teszünk a kiszámíthatóság-elmélet felé, és megmutatjuk, hog az imént bevezetett három programkonstrukció
RészletesebbenAnalízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás
RészletesebbenDiverzifikáció Markowitz-modell MAD modell CAPM modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 11. Előadás Portfólió probléma Portfólió probléma Portfólió probléma Adott részvények (kötvények,tevékenységek,
RészletesebbenKvantum mechanikával tunningolt klasszikus kommunikáció. Imre Sándor BME-HIT
Kvantum mechanikával tunningolt klasszikus kommunikáció Imre Sándor BME-HIT A kvantummechanika posztulátumai mérnöki megközelítésben 1. Posztulátum: kvantum bit Hilbert-tér 2. Posztulátum: logikai kapuk
RészletesebbenAlgebrai egész kifejezések (polinomok)
Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m
Részletesebbenaz eredő átmegy a közös ponton.
M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár g közös ponton támadó koncentrált erők (centrális erőrendszer) Két erő eredője: = +, Több erő eredője: = + ++...+ n, az eredő átmeg a közös
Részletesebben1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.
1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
Részletesebben10. elıadás: Vállalati kínálat, iparági kínálat Piaci ár. A versenyzı vállalat kínálati döntése. A vállalat korlátai
(C) htt://kgt.bme.hu/ 1 /8.1. ábra. A versenzı vállalat keresleti görbéje. A iaci árnál a vállalati kereslet vízszintes. Magasabb árakon a vállalat semmit nem ad el, a iaci ár alatt edig a teljes keresleti
Részletesebben1. Lineáris transzformáció
Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható
RészletesebbenA szimplex tábla. p. 1
A szimplex tábla Végződtetés: optimalitás és nem korlátos megoldások A szimplex algoritmus lépései A degeneráció fogalma Komplexitás (elméleti és gyakorlati) A szimplex tábla Példák megoldása a szimplex
RészletesebbenGROVER-algoritmus. Sinkovicz Péter. ELTE, MSc II dec.15.
ELTE, MSc II. 2011.dec.15. Áttekintés Feladat Algoritmus Kvantum keresési algoritmus áttekintése Input: N = 2 n elemű tömb, Ψ 1 = 0 1 kezdőállapot, f x0 (x) orákulum függvény. Output: x 0 keresett elem
Részletesebben7. Kétváltozós függvények
Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenBiomatematika 12. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 12. Regresszió- és korrelációanaĺızis Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenA.Einstein, B. Podolsky, N. Rosen (EPR) 1935, bizonyítják(?), hogy a kvantummechanika nem teljes D. Bohm Fotonpár forrás Kalcit.
EPR paradoxon, Bell egyenlőtlenség Teljesnek tekinthető-e a fizikai valóság kvantummechanikai leírása, teszik föl a kérdést híres cikkükben A. Einstein, B. Podolsky és N. Rosen 1935-ben. Egzakt definíciót
RészletesebbenSapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék.
Kriptográfia és Információbiztonság 8. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2018 Miről volt szó az elmúlt előadáson? az RSA titkosító
Részletesebben5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája
TARTALOM 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE... 7 5.. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája... 7 5.. Koordináta transzformációk... 5... Forgatás... 5... R-P-Y szögek... 5... Homogén transzformációk...
Részletesebben= és a kínálati függvény pedig p = 60
GYAKORLÓ FELADATOK 1: PIACI MECHANIZMUS 1. Adja meg a keresleti és a kínálati függvének pontos definícióját! Mikor beszélhetünk piaci egensúlról?. Eg piacon a keresletet és a kínálatot a p = 140 0, 1q
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
RészletesebbenSapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék.
Kriptográfia és Információbiztonság 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017 Miről volt szó az elmúlt előadáson? A Crypto++
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenMechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31
Mechanika II. előadás 219. március 4. Mechanika II. előadás 219. március 4. 1 / 31 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok megtámasztás: testek érintkezése útján jön létre, az érintkezés során
RészletesebbenKÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium
válaszolására iránuló, még folamatban lévô (a dekoherencia és a hullámcsomag kollapszusa tárgkörökbe esô) elméleti próbálkozások ismertetésétôl. Ehelett inkább a kísérletek elôfeltételét képezô kvantumhûtés
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 11. Előadás. Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor november 29.
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2010. november 29. 1. Gráfok metszési száma z előadás a metszési szám nevű gráfparaméterről szól. Ez
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenAlap fatranszformátorok II
Alap fatranszformátorok II Vágvölgyi Sándor Fülöp Zoltán és Vágvölgyi Sándor [2, 3] közös eredményeit ismertetjük. Fogalmak, jelölések A Σ feletti alaptermek TA = (T Σ, Σ) Σ algebráját tekintjük. Minden
RészletesebbenSokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik
Részletesebben1. Alapfogalmak Algoritmus Számítási probléma Specifikáció Algoritmusok futási ideje
1. Alapfogalmak 1.1. Algoritmus Az algoritmus olyan elemi műveletekből kompozíciós szabályok szerint felépített összetett művelet, amelyet megadott feltételt teljesítő bemeneti adatra végrehajtva, a megkívánt
RészletesebbenKvantum összefonódás véges dimenziós Hilbert terekben Ph.D. tézisfüzet. Szalay Szilárd
Kvantum összefonódás véges dimenziós Hilbert terekben Ph.D. tézisfüzet Szalay Szilárd Témavezető: Dr. Lévay Péter Pál tudományos főmunkatárs Elméleti Fizika Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi
Részletesebbeny ij = µ + α i + e ij
Elmélet STATISZTIKA 3. Előadás Variancia-analízis Lineáris modellek A magyarázat a függő változó teljes heterogenitásának két részre bontását jelenti. A teljes heterogenitás egyik része az, amelynek okai
RészletesebbenKosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012
Kosztoláni József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönv 9 Tizenharmadik, átdolgozott kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 KOMBINATORIKA, HALMAZOK. Mi mit jelent a matematika nelvén? AKÁR
RészletesebbenDiszkrét démonok A Borsuk-probléma
A Borsuk-probléma Bessenyei Mihály DE TTK Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör (megnyitó el adás) Debrecen, 2017. október 16. Bevezetés Magyarázat a címhez... Napjainkban
RészletesebbenHáromszögek fedése két körrel
SZTE Bolyai Intézet, Geometria Tanszék 2010. április 24. Motiváció Jól ismert a kerületi szögek tétele, vagy más megfogalmazásban a látókörív tétel. Motiváció A tételből a következő állítás adódik: Motiváció
RészletesebbenAhol a kvantum mechanika és az Internet találkozik
Ahol a kvantum mechanika és az Internet találkozik Imre Sándor BME Híradástechnikai Tanszék Imre Sándor "The fastest algorithm can frequently be replaced by one that is almost as fast and much easier to
Részletesebben1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!
Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg
RészletesebbenKvantumszámítógép a munkára fogott kvantummechanika
Kvantumszámítógép a munkára fogott kvantummechanika Széchenyi Gábor ELTE, Anyagfizikai Tanszék Atomoktól a csillagokig, 2019. április 25. Kvantumszámítógép a hírekben Egy új technológia 1940-es 1980-as
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenOsztott jáva programok automatikus tesztelése. Matkó Imre BBTE, Kolozsvár Informatika szak, IV. Év 2007 január
Osztott jáva programok automatikus tesztelése Matkó Imre BBTE, Kolozsvár Informatika szak, IV. Év 2007 január Osztott alkalmazások Automatikus tesztelés Tesztelés heurisztikus zaj keltés Tesztelés genetikus
RészletesebbenA Fermat-Torricelli pont
Vígh Viktor SZTE Bolyai Intézet 2014. november 26. Huhn András Díj 2014 Így kezdődött... Valamikor 1996 tavaszán, a Kalmár László Matematikaverseny megyei fordulóján, a hetedik osztályosok versenyén. [Korhű
Részletesebben