A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma"

Átírás

1 A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013

2 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok az egyik legfontosabb építőkövei a matematikának. Prímszámoknak nevezzük azokat az egynél nagyobb egész számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van: 1 és önmaga. Az első néhány prím tehát a 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Már időszámításunk előtt 300-ban Eukleidész elemi módszerekkel bizonyította, hogy a prímszámok végtelen sokan vannak, így a fenti sorozatnak nincsen legnagyobb eleme. A 18. században Gauss híres sejtése volt, hogy sikeres becslést adott a prímszámok számára x-ig. 1 millióig például prím található. Gauss becslésével amely az x/ ln(x) képlettel írható le prímet kapunk, amely 92%-os pontosságot jelent. Minél nagyobb számot választunk, az érték egyre jobban közelíti a tényleges értéket. Ez a híres prímszámtétel, amelyet majd 1 évszázaddal később sikerült csak bizonyítani. További sok összefüggést sikerült a prímekről bizonyítani az évszázadok során, azonban azt megérteni, hogy milyen szabályszerűséget követve bukkannak fel az egész számok között, nem sikerült tisztázni. A Riemann-zeta függvény szoros összefüggésbe hozható a prímekkel. A matematikai egyik legfontosabb máig megoldatlan sejtése a Riemann-hipotézis, amelynek egyik megfogalmazása azt állítja, hogy a Riemann-zeta függvény gyökeinek szabálytalan eloszlása megegyezik a prímszámok eloszlásával. A sejtés tehát a prímszámok teljes szabályszerű eloszlását állítja, amelynek megoldása hatalmas áttörés lenne a prímszámelméletben. A prímszámok jelen vannak az élet minden területén. Amikor t küldünk, vagy biztonságos webkapcsolatot létesítünk, vagy éppen a bankkártyás fizetés során. Az egyik legelterjedtebb titkosító algoritmus az RSA, hatalmas prímszámok szorzatát használja fel titkosításhoz. A rejtjelrendszer biztonságát az adja, hogy nem ismert hatékony algoritmus nagy egész számok prímtényezőire bontására. Milyen hatása lehet egy tisztán matematikai kutatásnak a hétköznapi életben? A Riemann-zeta függvény kiugró értékeinek lokalizálása nem csak elméleti jelentőségű, hanem közvetlen hatása lehet a prímszámelmélet fejlődésére. Olyan értékek találatakor, amelyek nagysága nagymértékben eltér a várható értéktől, ott a zeta függvény szabálytalan viselkedése kísértetiesen hasonlít a prímszámok eloszlásában található szabálytalanságra. Minél több találatot sikerül összegyűjteni, annál több adatot lehet felhasználni statisztikai elemzésre, amely végül közelebb vihet bennünket a prímszámok eloszlásának megértésében. A prímszámok eloszlásának pontos megértésével hatékonyabb algoritmusokat írhatnánk az egész számok faktorizálására, vagy éppen biztonságosabb rejtjelrendszert tervezhetnénk. A keresés matematikai háttere Ebben a fejezetben rövid áttekintést nyújtunk a kutatás matematikai hátteréről. Röviden bemutatjuk, hogy a kereső algoritmus milyen számelméleti összefüggések alapján lokalizálja a kiugró értékeket, így az érdeklődők egy átfogó képet kapnak arról, hogy mit is csinál a számítógépük a program futtatása során. 2

3 Georg Friedrich Bernhard Riemann a XIX. század közepén alkotta meg a zeta függvényt, amely a következőképpen definiálható: ζ(s) = 1/n s, s C, s = σ + it A ζ(s) függvénynek az s = 2, 4, 6,... helyeken felvett értéke zérus, azaz ζ( 2k) = 0 minden k = 1, 2, 3,... esetén. Ezeket hívjuk a ζ(s) függvény triviális gyökeinek. Vannak azonban nem 2k alakú gyökök, amelyekre nincsen egyszerű explicit formula. ζ(s)-nek a zérushoz legközelebbi ilyen nem triviális gyöke az s = 1/ i környezetében található. Riemann a zeta függvény tanulmányozása közben azt vette észre, hogy a zeta függvény nem triviális gyökei mindig egy speciális egyenesen helyezkednek el, nevezetesen az s = 1/2 + it alakú egyenesen. A szakirodalom ezt az egyenest hívja kritikus egyenesnek, ehhez kapcsolódik a matematika talán egyik legfontosabb és máig megoldatlan problémája. Ez Riemann-hipotézis, amely azt állítja, hogy a Riemann zeta függvény nem triviális gyökei az s = 1/2 + it alakú függőleges egyenesen találhatóak. Riemann a kritikus egyenesen elhelyezkedő gyökök számítására kidolgozott egy formulát, amit nem publikált, csak valamivel később, 1930-ban fedezte fel újra Carl Siegel. A képlet így most a Riemann-Siegel formula nevet viseli. A Riemann- Siegel formula O( t) műveletet használ a kritikus egyenesen elhelyezkedő gyökök kiszámítására és az alábbi módon számolható: ahol N = t/2π Z(t) = 2 N 1 n cos[θ(t) t ln n] + O(t 1/4 ), és θ(t) = t 2 log t 2π t 2 π t t 3 + Z(t) és ζ(s) között fennáll továbbá az alábbi fontos összefüggés: ( ) 1 Z(t) = ζ 2 + it Jelenleg nem ismert olyan explicit formula, amivel Z(t) kiugró értékeit gyorsan, könnyen határozhatnánk meg. A projekt keretein belül olyan t jelölteket keresünk, amelyekre Z(t) értéke várhatóan nagy. A keresés az alábbi két módszer ötvözésén alapul: Irracionális számok approximációja Az irracionális számok racionális számokkal való közelítése már régi probléma, és rengeteg eredmény található a témához kapcsolódóan. A 17. században J. Wallis és 3

4 C. Huygens kidolgozta a lánc törtek elméletét, amely ma is az egyik meghatározó matematikai apparátusa az irracionális számok approximációjának ben Dirichlet bizonyította, hogy ha α irracionális, akkor végtelen sok p racionális szám létezik, q amelyre teljesül az alábbi feltétel: α p < 1. A π szám közelítésére a 355 egy q q nagyon jó becslés, π 355 < A π lánctörtbe fejtésével számolhatóak 113 további számok, amelyek egyre pontosabban közelítik meg a π jegyeit. A kutatásaink során olyan k egész számokat keresünk, amelyeket megszorozva több (mondjuk n) különböző irracionális számmal egésztől való eltérésük kicsi, pontosabban: k log p i < ɛ, (1 i n) log 2 ahol jelöli a legközelebbi egésztől való eltérést. Ez egy n-dimenziós szimultán diofantoszi approximációs probléma. Új közelítő függvény bevezetése A kiugró értékek keresésére egy új függvényt vezetünk be, amely hasonló viselkedést mutat, mint az eredeti Z(t) függvény, azonban futási ideje O(ln(t). F (t) = ln t/2π 1 n cos[θ(t) t ln n]) Figure 0.1: Z(t) s F(t) hasonló viselkedése F(t) számításából következtetni lehet Z(t) tényleges nagyságára. A gyakorlatban kiderült, hogy egy [a,b] intervallumon belül F(t) és Z(t) lokális maximuma, vagy 4

5 minimuma nagy százalékban ugyan azon t körül található egy maximum ɛ hibával. Másképpen fogalmazva, ahol Z(t) felveszi legnagyobb értékét egy intervallumban, ott várhatóan ugyan arra a t-re F(t)-nek is lokális maximuma vagy minimuma lesz. Több ezer értéket megvizsgálva, azt tapasztaltuk, hogy kiugró értékek keresése könnyebbé válik az új F (t) függvény segítségével. Jelen kutatás célja, hogy kiugró Z(t) értékeket keressünk. Ezen értékeket felhasználva új mintázatokat találhatunk a ζ(s) függvényben, amelyet felhasználva közelebb juthatunk a prímszámok misztériumának megértésében. A kutatás során minden egyes talált érték kiértékelésre kerül, amelyeket a honlapon publikálunk. 5

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Első rész 1. Bevezetés Tekintsük az ak + b számtani sorozatot, ahol a > 0. Ha a és b nem relatív prímek, akkor (a,b) > 1 osztója

Részletesebben

Keresleti és kínálati függvény. Minden piacnak van egy keresleti és egy kínálati oldala, amelyeket a normatív közgazdaságtanban

Keresleti és kínálati függvény. Minden piacnak van egy keresleti és egy kínálati oldala, amelyeket a normatív közgazdaságtanban tehát attól függ, hogy x milyen értéket vesz fel. A függvényeket a közgazdaságtanban is a jól ismert derékszögû koordináta-rendszerben ábrázoljuk, ahol a változók nevének megfelelõen általában a vízszintes

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus

Szakdolgozat. Készítette: Csuka Anita. Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus Az szám Szakdolgozat Készítette: Csuka Anita Matematika Bsc, matematikai elemző szakirány Témavezető: Besenyei Ádám, adjunktus ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

LOGISZTIKUS REGRESSZIÓS EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE*

LOGISZTIKUS REGRESSZIÓS EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE* A LOGISZTIKUS REGRESSZIÓS EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE* BARTUS TAMÁS A tanulmány azt vizsgálja, hogy logisztikus regressziós modellek értelmezésére jobban alkalmasak-e a marginális hatások (feltételes valószínűségek

Részletesebben

Malárics Viktor A szám fraktál

Malárics Viktor A szám fraktál Malárics Viktor A szám fraktál π e Tér és idő a mozgásból származnak. Tartalomjegyzék: 1. Bevezető a hetedik részhez 4 2. Számok, és a Pi szám 6 2. 1. Az osztály szintű szám fogalom...7 2. 2. Pi hasonmások

Részletesebben

II. RÉSZ A TÖMEGTÁRSADALMAK KEMÉNY TÖRTÉNELME (A tömegtársadalmak mechanikája és termodinamikája az időben)

II. RÉSZ A TÖMEGTÁRSADALMAK KEMÉNY TÖRTÉNELME (A tömegtársadalmak mechanikája és termodinamikája az időben) 1 II. RÉSZ A TÖMEGTÁRSADALMAK KEMÉNY TÖRTÉNELME (A tömegtársadalmak mechanikája és termodinamikája az időben) BEVEZETÉS Az alcímben hivatkozott hosszabb tanulmány 1 megalapozta a tömegtársadalmak mechanikáját

Részletesebben

Változások az Országos kompetenciamérés skáláiban

Változások az Országos kompetenciamérés skáláiban Változások az Országos kompetenciamérés skáláiban A skála módosításának okai A kompetenciamérések bevezetésénél is megfogalmazott, ám akkor adatvédelmi szempontok miatt nem megvalósítható igény volt, hogy

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 1. modul Logika Készítette: Vidra Gábor Matematika A 10. évfolyam 1. modul: Logika Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés

Részletesebben

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április Hány osztója van egy adott számnak? Hány osztója van egy adott számnak? Dr. Tóth László http://www.ttk.pte.hu/matek/ltoth előadásanyag, Pécsi Tudományegyetem, TTK 2008. április. Bevezetés Lehetséges válaszok:

Részletesebben

HARDVER- ÉS SZOFTVERRENDSZEREK VERIFIKÁCIÓJA

HARDVER- ÉS SZOFTVERRENDSZEREK VERIFIKÁCIÓJA Írta: ÉSIK ZOLTÁN GOMBÁS ÉVA NÉMETH L. ZOLTÁN HARDVER- ÉS SZOFTVERRENDSZEREK VERIFIKÁCIÓJA Egyetemi tananyag 2 COPYRIGHT: 2 26, Dr. Ésik Zoltán, Dr. Gombás Éva, Dr. Németh L. Zoltán, Szegedi Tudományegyetem

Részletesebben

k=1 k=1 találhatjuk meg, hogy az adott feltétel mellett az empirikus eloszlás ennek az eloszlásnak

k=1 k=1 találhatjuk meg, hogy az adott feltétel mellett az empirikus eloszlás ennek az eloszlásnak Nagy eltérések elmélete. A Szanov tétel. Egy előző feladatsorban, a Nagy eltérések elmélete; Független valós értékű valószínűségi változók feladatsorban annak az eseménynek a valószínűségét vizsgáltuk,

Részletesebben

Kockázati modellek (VaR és cvar)

Kockázati modellek (VaR és cvar) Kockázati modellek (VaR és cvar) BSc Szakdolgozat Írta: Kutas Éva Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet Mádi-Nagy Gergely egyetemi adjunktus Operációkutatási Tanszék Eötvös Loránd

Részletesebben

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória)

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY 013/014-ES TANÉV Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) Feladatok és megoldások A verseny az NTP-TV-13-0068 azonosító számú pályázat alapján a Nemzeti Tehetség

Részletesebben

Tisztelt tudománnyal foglalkozók és tudomány iránt érdeklődők! Kedves Ünneplő Vendégeink!

Tisztelt tudománnyal foglalkozók és tudomány iránt érdeklődők! Kedves Ünneplő Vendégeink! Még soha nem volt ilyen közel hozzánk a tudomány. Reklámfilmek százaiban bukkannak fel laboratóriumok, meggyőzésre szánt tudományos szakkifejezések, kutatási adatok. Azért, hogy vegyük, szedjük és használjuk.

Részletesebben

A JÓ ÍRÓK JÓ OLVASÓK- IGAZ-E EZ A SZÁMÍTÓGÉPES PROGRAMOZÁS TERÜLETÉN IS?

A JÓ ÍRÓK JÓ OLVASÓK- IGAZ-E EZ A SZÁMÍTÓGÉPES PROGRAMOZÁS TERÜLETÉN IS? SAPIENTIA ERDÉLYI MAGYAR TUDOMÁNYEGYETEM MŰSZAKI ÉS HUMÁNTUDOMÁNYOK KAR MATEMATIKA-INFORMATIKA TANSZÉK A JÓ ÍRÓK JÓ OLVASÓK- IGAZ-E EZ A SZÁMÍTÓGÉPES PROGRAMOZÁS TERÜLETÉN IS? KÉSZÍTETTE: TÉMAVEZETŐ TANÁR:

Részletesebben

OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZAS

OPERÁCIÓKUTATÁS. No. 2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZAS OPERÁCIÓKUTATÁS No. 2. Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZAS Budapest 2002 Komáromi Éva: LINEÁRIS PROGRAMOZÁS OPERÁCIÓKUTATÁS No.2 Megjelenik az FKFP 0231 Program támogatásával a Budapesti Közgazdaságtudományi

Részletesebben

P, NP, NP-C, NP-hard, UP, RP, NC, RNC

P, NP, NP-C, NP-hard, UP, RP, NC, RNC P, NP, NP-C, NP-hard, UP, RP, NC, RNC 1 Az eddig vizsgált algoritmusok csaknem valamennyien polinomiális idejuek, azaz n méretu bemeneten futási idejük a legrosszabb esetben is O(n k ), valamely k konstanssal.

Részletesebben

Halász Gábor A pedagógiai rendszerek általános hatás- és beválás vizsgálati rendszere

Halász Gábor A pedagógiai rendszerek általános hatás- és beválás vizsgálati rendszere 1 Halász Gábor A pedagógiai rendszerek általános hatás- és beválás vizsgálati rendszere TARTALOM Bevezetés 1 A hatás és beválás értelmezése 3 Hatás 3 Beválás 4 A hatásvizsgálat és beválás-vizsgálat 5 A

Részletesebben

Berzsenyi Dániel Gimnázium. Matematika helyi tanterv Fizika tagozat 9-12. évfolyam

Berzsenyi Dániel Gimnázium. Matematika helyi tanterv Fizika tagozat 9-12. évfolyam Általános szerkezet Berzsenyi Dániel Gimnázium Matematika helyi tanterv Fizika tagozat 9-12. évfolyam Cél: az emelt szintű érettségi követelményekben szereplő tananyag megtanítása, néhány részen kiegészítve

Részletesebben

Országos kompetenciamérés 2013. Országos jelentés

Országos kompetenciamérés 2013. Országos jelentés Országos kompetenciamérés 2013 Országos jelentés Szerzők Balázsi Ildikó, Lak Ágnes Rozina, Szabó Vilmos, Szabó Lívia Dóra, Vadász Csaba Tördelő Szabó Ágnes Balázsi Ildikó, Lak Ágnes Rozina, Szabó Vilmos,

Részletesebben

A geometriák felépítése (olvasmány)

A geometriák felépítése (olvasmány) 7. modul: HÁROMSZÖGEK 13 A geometriák felépítése (olvasmány) Az általános iskolában megismertük a háromszöget, a négyzetet, a párhuzamosságot és hasonló geometriai fogalmakat, és tulajdonságokat is megfogalmaztunk

Részletesebben

MUNKAANYAG. Gábler Gergely. Befektetési lehetőségek elemzése. A követelménymodul megnevezése: Pénzügyi feladatok

MUNKAANYAG. Gábler Gergely. Befektetési lehetőségek elemzése. A követelménymodul megnevezése: Pénzügyi feladatok Gábler Gergely Befektetési lehetőségek elemzése A követelménymodul megnevezése: Pénzügyi feladatok A követelménymodul száma: 1969-06 A tartalomelem azonosító száma és célcsoportja: SzT-032-8 BEFEKTETÉSI

Részletesebben

2010-es új öregségi és öregségi jellegű nyugdíjasok vizsgálata

2010-es új öregségi és öregségi jellegű nyugdíjasok vizsgálata Országos Nyugdíjbiztosítási Főigazgatóság Közgazdasági Elemzések Főosztál ya 2010-es új öregségi és öregségi jellegű nyugdíjasok vizsgálata 2012. július Készítette: Hollósné dr. Marosi Judit Dr. Császár

Részletesebben

"Ha" - avagy a Gödel paradoxon érvényességének korlátai

Ha - avagy a Gödel paradoxon érvényességének korlátai 165 "Ha" - avagy a Gödel paradoxon érvényességének korlátai Geier János ELTE BTK Pszichológiai Intézet janos@geier.hu Bevezetés Gödel nemteljességi tétele (én paradoxonnak nevezem, ki fog derülni, miért)

Részletesebben

Euler kör/út: olyan zárt/nem feltétlenül zárt élsorozat, amely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza

Euler kör/út: olyan zárt/nem feltétlenül zárt élsorozat, amely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza 1) Euler körök és utak, ezek létezésének szükséges és elégséges feltétele. Hamilton körök és utak. Szükséges feltétel Hamilton kör/út létezésére. Elégséges feltételek: Dirac, és Ore tétele. Euler kör/út:

Részletesebben

SZÁMELMÉLET FELADATSOR

SZÁMELMÉLET FELADATSOR SZÁMELMÉLET FELADATSOR Oszthatóság 1. Az 123x4 számban milyen számjegy állhat x helyén, ha a szám osztható a) 3-mal; e) 6-tal; b) 9-cel; f) 24-gyel; c) 4-gyel; g) 36-tal; d) 8-cal; h) 72-vel? 2. Határozd

Részletesebben