II. RÉSZ A TÖMEGTÁRSADALMAK KEMÉNY TÖRTÉNELME (A tömegtársadalmak mechanikája és termodinamikája az időben)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "II. RÉSZ A TÖMEGTÁRSADALMAK KEMÉNY TÖRTÉNELME (A tömegtársadalmak mechanikája és termodinamikája az időben)"

Átírás

1 1 II. RÉSZ A TÖMEGTÁRSADALMAK KEMÉNY TÖRTÉNELME (A tömegtársadalmak mechanikája és termodinamikája az időben) BEVEZETÉS Az alcímben hivatkozott hosszabb tanulmány 1 megalapozta a tömegtársadalmak mechanikáját és termodinamikáját. Ebben a folyamatban az idő már feltűnt, mivel az egyedek mozgása, sebessége és a társadalmi folyamatok gyorsulása feltételezte a használatát. Meg kell jegyezni azonban, hogy történelmileg jelentéktelen időtartamokról volt csak szó, olyanokról, amelyek alatt sem jelentős mennyiségi, sem jelentős minőségi változáson nem ment át a társadalom. Továbbá a tanulmányban tárgyalt társadalmi energia már immanens módon tartalmazta az időt, mert a természettudományokban az energiát a rendszerek időbeli szimmetriájaként értelmezik, és ennek megfelelően kell majd tárgyalni a társadalomtudományban is. Az idő explicit bevezetése a társadalom elemzésébe elvileg azonos a történelem fogalmának és szemléletmódjának bevezetésével, vagyis közömbös, hogy milyen időtartamokban vizsgáljuk a társadalmat. Valójában azonban a tudományos közfelfogás valamivel többet ért történelmen, mint az idő független változóként való alkalmazását. A közfelfogás történelem alatt nagybetűs TÖRTÉNELMET ért. Ez a felfogás annyiban indokolt, hogy a társadalom általában nagyon lassan változik, legalábbis ha fizikai, kémiai, vagy biológiai folyamatok mennyiségi és minőségi megváltozásával hasonlítjuk össze. Ebben a felfogásban továbbá két szempont keveredik: egy lépték szempont, és egy minőségi szempont. A léptékszempont azt jelenti, hogy a bizonyos rövid időtartamokban lezajló eseményeket (rendkívüli példáktól eltekintve, úgymint: rapid forradalmak, puccsok, vagy az atombomba ledobása) általában nem tekintik kutatásra érdemes történelmi tárgyaknak. Eszerint nem érdekes, hogy mit tett a Napkirály április 8-án éjjel fél háromkor; vagy mi történt június 15-én Nepálban, reggel ötkor a főváros vasútállomásán. Valószínűleg semmi lényeges nem történt egyik jeles időpontban sem. Vagyis a történészek általában úgy gondolják, hogy a Napkirály vagy Nepál története csak nagyobb időléptékben releváns. A másik szempont nagyon hasonló ehhez, mivel azt tartja tudatosan vagy tudattalanul, hogy a történelem kizárólag a nagy, sorsfordító eseményekhez (vagy nagy időtartamokat átfogó absztrakciókhoz, mint például a pápaság, vagy a kapitalizmus) kötődik. Ennek megfelelően az es magyar forradalom és szabadságharc, vagy az 1991-es Szovjetunióbeli történések alkotják a történelmet (akár óráról órára, percről percre vizsgálva), szemben az 1816 és 183 közötti intervallummal Magyarországon, vagy a Brezsnyev korszak közötti szakaszával a Szovjetunióban, amikor is Klio mindkét helyen szundikálni látszott. A legnagyobb esemény a Szovjetunióban ekkor az volt, ha Brezsnyev nagyon berúgott, és elbotlott a lépcsőn. Ez a felfogás azonban tarthatatlan. A történelem szakadatlan folyamat (a szó igazi értelmében kisbetűs történelem), és elvileg ugyanúgy hozzá tartoznak a másodperces történések bármilyen jelentéktelenek is különben, mint a nagy fontosságú események. Magyarország 1 I. RÉSZ

2 kb. 10 millió lakosának másodpercről másodpercre zajló egyéni élettörténetei összességükben alkotják a MAGYAR TÖRTÉNELMET. Bármilyen jelentéktelenek is legyenek egyenként. Hadd világítsam meg ezt egy csillagászati példával! Értelmetlen lenne azt gondolni, hogy a Jupiter története kétéves szakaszokból áll, és ezért megérthető akkor is, ha csupán kétévente nézünk rá. A Jupiter minden ezred-, és tízmilliomod másodpercben is mozog, és ez a kedvünkért sem hanyagolható el, mert bármilyen kis szakaszt hagynánk figyelmen kívül, érthetetlen lenne, hogy miért éppen ott van az égitest, ahol megpillantjuk. Helytelen volna, ha csak olyan alkalmakkor pillantanánk a bolygóra, mint amikor a Shoemaker-Levy üstökös darabjai becsapódtak a Jupiterbe. Bár az valóban inkább hasonlított a történelem valamely nagy megrázkódtatására (eltekintve Brezsnyev valamely orbitális részegségétől), mint Nepál június 15-i eseménytelen reggelére. Nyilvánvaló azonban, hogy ha a Jupiter nem mozgott volna évmilliókon át ilyen események nélkül a pályáján, akkor nem találkozott volna az üstökössel július 16. és -e között, és nem produkált volna forradalmi csillagászati eseményt. Ez valóban 6 olyan nap volt, amely ha nem is világot, de a Jupitert megrendítette, mivel volt olyan becsapódás, amely egy Föld méretű helyet tarolt le. A metafora arra szolgál itt, hogy rávilágítsak: a történelem nem jelent egyebet, mint valamely rendszer állapotainak időben szakadatlan, folytonos sorozatát, és csak az emberi önkény szakít ki ebből intervallumokat, akár azok hossza, akár minősége alapján. Kétségtelen azonban, hogy az idő bevezetésének a társadalom vizsgálatába igazából akkor van érdekessége, ha nemcsak fizikai formájában folyik, mint egy nem elhanyagolható, ámde szürke tényezője a folyamatoknak, hanem rávilágít azokra az eseményekre és minőségi A történelem napfényt visszaverő, tajtékos hullámai a végeláthatatlan tenger hátán zúgnak, morajlanak, de a hullámzó felszín alatt a tenger mély, mérhetetlenül mély, csendes, és aljára sohasem ér el a napfény. Mindaz, amiről az újságok nap mint nap tudósítanak, a jelen történelmi pillanat egésze nem egyéb, mint a tenger felszíne, olyan felszín, amelyik a könyvekbe, okiratokba dermed és kristályosodik Az újságok semmit sem írnak a történelem nélküli emberek millióinak csendes életéről, azokról, akik a földteke valamennyi országában és a nap minden órájában a Nap járása szerint felkelnek, és kimennek a földekre, hogy folytassák a mindennapi és örök, szürke és csendes munkát, amely mint a tenger alatti zátonyépítő korallok munkája a történelem kiemelkedő szigetecskéinek alapját képezi. A hang mondhatni a fenséges csendben nyugszik, abból él; a hatalmas, hallgatag emberiség fölött emelkednek azok, kiknek lármájától hangos a történelem. Ez a belső történelmi élet, amely csendes és végtelen, mint a tenger mélye, a haladás, az igazi, az örök tradíció lényege, nem pedig az a valótlan hagyomány, amelyet a könyvekbe és iratokba, kövekbe és műemlékekbe temetett múltban szoktak keresni. (50)

3 3 változásokra is, amit közönségesen történelminek szoktak nevezni, és amelyek az idő immanens működésének következményei. Ezzel adós maradtam az I. Rész befejezésekor. A II. Részre vár az adósság törlesztése. A termodinamikai modell kiépítése megadja néhány olyan fogalom bevezetésének lehetőségét is, amelyek a fizikai gázok és a társadalom-gáz analógiájának továbbfejlesztése következtében merülhetnek fel. Ezek kifejtésére ugyanezen rész B és C MELLÉKLETÉBEN közlök néhány további vizsgálódást, amelyek megerősítik az I. Részben bevezetett modellt, mert az ott szereplő változók létezését támasztják alá. 1. A TÁRSADALMI RÉTEGZŐDÉS TÖRTÉNELMI VÁLTOZÁSA A társadalmi energia bevezetésével megteremtődött a történelem egzakt leírásának és magyarázatának lehetősége. Az energia ugyanis a rendszerek állapotának időbeli szimmetriájaként szerepel a természettudományokban, és ilyen funkciót tölthet be a társadalomtudományokban is. Az energia megmaradásának törvénye azt állítja ugyanis, hogy egy zárt rendszer energiája időben állandó, valamint nyitott rendszerek esetén pontosan csak a leadott és felvett energiával változhat a rendszer belső energiája. A termodinamikai rendszerként felfogott magyar társadalom közötti viselkedéséhez bizonyos adatok közvetlen mérésből rendelkezésre állnak. Ilyen a rendszer elemszáma, valamint a mobilitási táblákból számítható társadalmi térfogat. Ehhez kiinduló adatokat az alábbi táblázatok adnak. 3 A rétegeket ugyanazon elvek szerint alakítottam ki minden időpontban. Az egyszerűség és az összehasonlítás érdekében mindig ugyanazzal a négy réteggel fogok dolgozni: a táblázatok soraiban és oszlopaiban ugyanazon sorrendben a következő a rétegek szerepelnek: Elit; Irodai dolgozó; Munkás; Paraszt 4. Csak a használt számítógép kapacitásától, valamint a türelemtől és pénztől függ, hogy több réteget, kifinomultabb rétegződést vizsgáljunk. 3 A különböző mobilitás vizsgálatokra vonatkozó forrásokat lásd IRODALOMJEGYZÉK (36-48) 4 A társadalom létezésének három minimális alapfeltétele vagy funkciója van: szüksége van javakra (élelmiszerekre és eszközökre: J); a javak előállításához előbb tudást (T) kell előállítania; a két előző feltétel előállítása során az emberek konfliktusokba kerülnek egymással, ezért kell valamilyen hatalmi mechanizmus (H) annak céljából, hogy a javak és a tudás előállítása nullánál nagyobb hatékonysággal menjen végbe. Ezek az alapfeltételek, illetve funkciók először és átfogóan Marx Károly műveiben fogalmazódtak meg azonban jórészt túlbeszélve és alig egzaktan vagy mérhetően. Gondolatai lényegében spekulatív és filozófiai fejtegetésekben merültek ki. Ebben a tanulmányban az embereket a JTH rendszerben elfoglalt mérhető helyük határozza meg, vagyis az, hogy a javak a tudás és a hatalom mekkora mennyiségével vesznek részt a társadalom működésében. Ezek a funkciók a történelem során nagyon változatos formákban vegyültek egymással, és nagyon változatos neveket vettek fel a funkciókat betöltő csoportok és emberek. A társadalmi rétegződés történelmi kutatójának feladata az, hogy az emberek és funkcióik időben változó szövevényes szemantikáját kibogozza, szeszélyes és személyes összebogozódásukat felfejtse, és látszólagos ideologikus helyükről elmozdítva őket, az alábbi fogalmi keretbe helyezze el annak érdekében, hogy a rétegződés tartalmi kontinuitása vizsgálható legyen. Az élelmiszertermelést modellemben a Parasztok, a többi javak termelését a Munkások, az adminisztrációt az Irodai dolgozók végzik, a döntéseket pedig az Elitet alkotó vállalkozók és értelmiségiek hozzák. Az utóbbiakra hárul a tudás előállítása, tárolása is és szétosztása is.

4

5 táblázat: A társadalmi rétegződés alapadatai között A C MELLÉKLET-ben a következő (nagyobbrészt empirikus) összefüggéseket vezettem be: A térfogat: C.1. D K V 6 ahol: C.. DM f D K K = a V térfogatban szereplő koordináták kibővített mátrixa; D K = K determinánsa M = a mobilitási mátrix; D M = M determinánsa f = léptékfüggvény ahol: μ = D M nagyságrendje; κ = D K nagyságrendje, C.3. f 10 Ezeknek az összefüggéseknek a felhasználásával kiszámíthatók a különböző időpontokhoz tartozó V t térfogatok, vagyis megkapjuk a magyar társadalom térfogatának változását között: A társadalmi térfogat között tábla A társadalmi térfogat változása

6 6 1.1.AZ ADIABATIKUS MAGYAR TÁRSADALOM Abból a számnégyesből (E, V, N, S) 5, amelyből legalább három kell egy termodinamikai rendszer egyértelmű jellemzéséhez, eddig csupán a V áll rendelkezésre. Most megmutatjuk, hogy bizonyos feltétel mellett a másik három is megkapható a meglévő adatokból. Ez a feltétel a rendszer adiabatikussága. Egy termodinamikai rendszer akkor adiabatikus ha: elemszáma változatlan; nincs energia felvétel vagy leadás: de = 0, ami helyettesíthető a ds 0 feltétellel. Idő N A változás %-a/év tábla: Magyarország létszámváltozása Amint a táblázat mutatja, a magyar lakosság száma évről évre szinte semmit sem változott a vizsgált 6 évben. Az időszak végére persze ezek a csekély változások összességükben 1%- os növekedésre rúgtak. Mégis úgy gondolom, hogy az évenkénti nulla közeli növekedéshez viszonyítva ez a változás még egyéb adataink mérési hibáján belül van. Ebben a feltételezésemben megerősít, hogy a magyar társadalom matematikai entrópiája időben túlnyomórészt úgy viselkedett, ahogyan azt a termodinamika II. főtétele alapján várhattuk. Ennek megértéséhez azonban kitérőre van szükség. Az entrópia statisztikus fizikai megközelítéséből fogunk kiindulni. Mint ismeretes, ez egy rendszer elemeinek legvalószínűbb eloszlását, vagyis makro állapotát keresi. Ez az az állapot, amely a legtöbbféleképpen állítható elő a rendszer mikro állapotaiból. Ugyanezt fogjuk mi is kiszámítani. Nevezzük az általunk kiszámítható entrópiát matematikai entrópiának, szemben a könyvben előzőleg használt fizikai entrópiával. Mindkettő alapvetően ugyanarra a gondolatra épül fel, azzal a különbséggel, hogy a fizikai entrópia felhasználja (egyéb, állandónak tekinthető fizikai mennyiségek mellett) azokat az energiaosztályokat, amelyek megszabják egy mikroelem állapotát. A matematikai entrópia ezzel szemben sokkal általánosabb, mivel csak osztályokat használ, tekintet nélkül arra, hogy mi az osztályok tartalma. Ebből következően a kétféle entrópia számértékben eltér egymástól, de az alapvető tartalom azonos. Vagyis a matematikai entrópia tisztán fogja jellemezni a szóban forgó rendszer rendezetlenségét és annak változását, de nem hozható számszerű kapcsolatba a többi fizikai állapothatározóval. Miért fogjuk mégis használni? Mert a termodinamikai rendszerek adiabatikus voltának kimutatásához elegendő annak demonstrálása, hogy az entrópia a termodinamika II. főtétele értelmében növekszik. Ilyenkor ugyanis az energia állandó, vagyis nincs szükség arra, hogy számszerű kapcsolatot létesítsünk az entrópia és az energia között. Látni kell azonban, hogy a fizikai entrópia helyettesítése a matematikaival csak adiabatikus rendszer esetén lehetséges. Más esetekben az energiát közvetlenül mérni kell, és ezután lehet kiszámolni az entrópiát. Ez esetünkben visszamenőleg természetesen megoldhatatlan, de szerencsére mint látni fogjuk a magyar társadalom a vizsgált intervallum legnagyobb részében adiabatikus volt. 5 Fényes Imre: Fizika és világnézet Kossuth Könyvkiadó, oldal

7 7 1.. A MOBILITÁS KOMBINATORIKUS MODELLJE ÉS A MATEMATIKAI ENTRÓPIA Mint a könyv előző részében szó volt róla: a mobilitás kombinatorikus modellje egy mátrix, amelynek egy konkrét megvalósulása, kitöltése a társadalmi rendszer adott időpontbeli makro állapotát tükrözi. Ekkor feltehető az a kérdés, hogy mi a valószínűsége egy ilyen makroállapotnak 6? Pontosabban megfogalmazva, ahhoz, hogy a különböző mobilitási mátrixok elméleti valószínűségeit összehasonlíthassuk, a következő kombinatorikai kérdésre kell választ adni: Hányféleképpen állítható elő egy adott súlyeloszlású és típusú mobilitási mátrix, ha a súlyok összege állandó érték? Ekkor egy konkrét mobilitási gráf előállásának elméleti valószínűségét megkaphatjuk az adott típusú mobilitási gráfok számának reciprokaként. A feltett kombinatorikai kérdés megválaszolásához vezessük be az alábbi jelöléseket. Legyen a vizsgált típusú mobilitási mátrix a 1..1 ábra szerinti. Legyen továbbá: 1..1 ábra Ekkor a fenti típusú mobilitási mátrixok S(G) száma a következőképpen adódik 7 : 1... ahol: 1 (l = 1,,...,) az m ij = 1 értékek száma a mátrixban. Így tehát egy fenti típusú mobilitási mátrix előállásának P(G) valószínűsége: 6 Babics László-Dénes Tamás: A társadalmi mobilitás volumenének eloszlásáról Szociológia 198/ oldal 7 Ioan Tomescu: Kombinatorika és alkalmazásai Műszaki Könyvkiadó, Bp , oldal. 3. tétel.

8 A (1..3) összefüggésből már könnyen látható, hogy az m ij értékek változtatásával (más típusú mobilitási mátrix esetén) a P(G) valószínűség is megváltozik, ami pontosan eredeti kérdésfeltevésünkre adja meg a választ. A (1..3) függvény szélső értékeinek kiszámítása azt mutatja, hogy a legrendezetlenebb mobilitási tábla (amelyben a mátrix nem 0 értékei az n/q érték körül mozognak) előállításának valószínűsége a legkisebb. A legnagyobb valószínűsége pedig annak a táblának van, amelyben a mátrix nem 0 értékei egy kivételével egységnyiek és a többi elem a mátrix egyetlen cellájában van. Ez a rétegződés legrendezettebb állapota. Más szóval, ha a matematikai entrópiát tartalmilag összhangba akarjuk hozni a fizikai entrópiával, akkor azt kell mondanunk, hogy az 1/P(G) érték, vagyis az S(G) érték növekedése tartalmilag azonos a fizikai entrópia növekedésével. Ennek megfelelően a modellezés céljaira használható matematikai entrópia a következő: S k ln S( G) amely formailag és a döntő tartalmi elemeket tekintve is azonos az: S k ln Y statisztikai fizikai entrópiával. A fentieknek megfelelően adatainkból a következő kép bontakozik ki az entrópia változására: Idő S mat 60,841 64,354 73,814 14, , , ,70 A változás %-a tábla: A magyar rétegződés entrópiájának változása Az entrópiát az 1058 fős mintára számoltuk. Egy ekkora mintánál az adatok megengedett fluktuációja: 1 f N vagyis esetünkben valamivel több, mint 3%. A II. fő tétel alól csak két évben volt kivétel: 1983-ban (itt a csökkenés a fluktuáción belül van), és 000-ben. Ekkor már nagyobb volt a növekedés, mint amit a fluktuáció megenged, de tudjuk, hogy ekkor a magyar társadalom már nem volt zárt, mert az 1990-es rendszerváltozás után szabadon érvényesülhettek a gazdasági és társadalmi szerkezetet alapvetően megváltoztató külföldi hatások. Összességében elmondható, hogy a magyar társadalom között jó közelítéssel adiabatikusnak tekinthető.

9 9 1.3 AZ ÁLLAPOTHATÁROZÓK VÁLTOZÁSA AZ IDŐBEN: A TÖRTÉNELEM Eddig tehát sikerült V, N (a tanulmányban 1058 fős mintával számolok), valamint S értelmezése és adatokkal való dokumentálása. Mivel az előző fejezetekben értelmeztük a társadalmi rendszer adiabatikusságát, belső energiáját, valamint rendelkezésünkre áll a térfogatnak és a mobilok arányának az időbeli alakulása is, ezért rekonstruálhatjuk a magyar társadalom E belső energiájának megoszlását és időbeli változását is. Innen már egyenes út vezet a termodinamikai rendszer többi, tartalmilag konkrétabb (társadalmi nyomás és hőmérséklet) állapothatározójának időbeli vizsgálatához is. 1.4 A MOZGÁSI ENERGIA REKONSTRUKCIÓJA A termodinamikai ekvipartíció törvénye alapján a teljes energiából időátlagban a rendszer minden eleme egyenlően résesedik. 199-ben a teljes státusmunkát úgy számoltuk ki mintha minden egyed valamekkora munka árán éppen akkorra érkezett volna a státusába. A valóságban azonban jelentős részük immobil volt az es időintervallumban. Ha tehát az aktuálisan létező mozgási energiát akarjuk meghatározni, akkor a teljes energiának csak a mobilokra eső hányadát vehetjük figyelembe: EM ET ahol η a mobilok százalékos aránya a társadalomban. Mivel az energia állandó, ezért ugyanezen típusú hányados fogja megadni a többi időponthoz tartozó mozgási energiákat is: Idő V N N* S mat ,70 E(T) E(M) E(H) P* T tábla Az állapothatározók változása A táblázat tartalmazza továbbá az összes lényeges termodinamikai állapothatározó időbeli alakulását is. Látható, hogy a térfogat majdnem monoton csökkent, ami termodinamikai társadalmi nyomás növekedését is jelenti:

10 10 A társadalmi nyomás alakulása között ábra A rendszerváltás 198-ben kezdődött a magántulajdon és a magánvállalkozás óvatos engedélyezésével, és 199-ig tartott. A rendszerváltást kiváltó belső ok (leszámítva a szovjet megszállás megszűntét: ) a társadalmi nyomás 1938 óta tartó egyenletes és meredek növekedésében mutatható ki, amely az 1990-es nagy társadalmi összeomláshoz vezetett tól a nyomás újra növekszik, sőt lényegében visszatért az 199 előtti trendhez: a meredek növekedéshez. A társadalmi hőmérséklet változása között ábra A társadalmi hőmérséklet a nyomással ellentétben nem esett vissza a rendszerváltás idején, hanem éppen ellenkezőleg: az közötti kb. húszévi stagnálás közeli állapot után meredeken nőni kezdett.

11 11. A TÁRSADALOM TERMODINAMIKAI MODELLJÉNEK MŰKÖDÉSE A modellezés eddigi folyamatában csak azt végeztük el, hogy az ismert termodinamikai változókat mintegy lefordítottuk a társadalom nyelvére, és megmutattuk hogy erőltetés és önkényesség nélkül bevezethetők a társadalmi folyamatok vizsgálatába. Kérdés azonban, hogy az így felírt modell működik-e? A modell működőképességét az dönti el, hogy a termodinamika főtételei teljesülnek-e a társadalmi adatokon. Ha igen, akkor a modell nem öncélú, hanem egy valódi termodinamikai rendszer leírásának és magyarázatának tekinthető. A főtételek a termodinamikai rendszerek legáltalánosabb tulajdonságait írják le, azokat a tulajdonságokat fogalmazzák meg, amelyek nélkül nem beszélhetünk termodinamikai rendszerről. Számunkra éppen ez a fontos, hiszen ki akarjuk mutatni, hogy a társadalom-gáz nem metafora, hanem létező rendszer, amely leírható a fizikai gázok tulajdonságaival. A nulladik és a második főtétel teljesülése a rendszer definíciójából következik. Az első és a harmadik főtétel érvényesülése ezért különösen fontos a modell helyessége szempontjából. Sem az energiaváltozás, sem hőmérséklet, sem az entrópia megkonstruálásához szükséges definíciókból nem következik semmi sem ezeknek az állapothatározónak időbeli viselkedésére és kapcsolataira. Vagyis ha ezekben az esetekben a főtételek fennállnak, akkor ez nem a modellből, hanem a valóságból következik. Fel kell figyelni arra is, hogy a termodinamika főtételei közül az I., a II. és a III-ik is a rendszert explicit módon nyíltan kimondva időbe helyezve vizsgálja! Vagyis történetileg! Tulajdonképpen a nulladik főtétel is így tesz, ugyanis csak a megfogalmazástól függ, hogy az egyensúlyt kiegyenlítődésnek, vagyis időbeli folyamatnak fogjuk-e fel, vagy csak a már bekövetkezett állapotot tekintjük. A nulladik főtétel dinamikus megfogalmazásának nagy jelentősége van akkor, ha felfigyelünk arra, hogy az intenzív mennyiségek kiegyenlítődése a társadalomban közismert tendencia: ez a társadalmi egyenlőségre való örök törekvés, amely állandó feszültség alatt tartott eddig minden társadalmat..1. A TERMODINAMIKA NULLADIK FŐTÉTELÉNEK TELJESÜLÉSE Ez a főtétel azt mondja ki, hogy: "Minden kölcsönhatáshoz - azaz bármely extenzív mennyiség áramlásához - van olyan intenzív mennyiség, amelynek a homogén eloszlása az egyensúly szükséges és elégséges feltétele."(0) Mivel a rendszerszintet országos szinten húztuk meg, ezért az extenzív mennyiségek áramlása csak országok között lehetne értelmezhető. Ennek egy speciális esete az, amikor ugyanazon ország két időbeli állapotát - mintegy két országot - hasonlítunk össze. A nulladik főtétel érvényesüléséhez az szükséges, hogy a magyar társadalom két-két időpontjához képesek legyünk extenzív és intenzív mennyiségeket rendelni. Az alábbi képlet az általános gáztörvény:.1.1 pv=nrt

12 1 ahol R az univerzális gázállandó, n a mólszám, ami a rendszer elemszáma: N és a társadalmi Avogadro szám N A hányadosa. A képlet két extenzív (n és V), valamint két intenzív (p és T) mennyiség összetartozását állapítja meg. Idő V N N p T = nrt/pv Az extenzív és az intenzív mennyiségek kapcsolata A táblán látható, hogy a vizsgált időszakban végig érvényesült az extenzív és intenzív mennyiségek kapcsolata... A TERMODINAMIKA ELSŐ FŐTÉTELÉNEK TELJESÜLÉSE "Ha egy rendszer és a környezete között egyidejűleg többféle kölcsönhatás is megvalósulhat, akkor a rendszer belső energiájának a megváltozása az egyes kölcsönhatásokhoz tartozó energiacserék összegével egyenlő." (0) Esetünkben ez azt jelenti, hogy mivel a magyar társadalmat adiabatikusnak fogtuk fel, ezért sem az N részecskeszám nem változhat, sem pedig hőhatás nem érheti a rendszert. Ezért csak arról kell számot adnunk, hogy a térfogati munka hogyan változtatta a rendszer mozgási energiáját. (A teljes belső energia állandó.) Az első főtétel megfogalmazása a következő ismert formát veszi fel: pivi p jv E..1 1 (Mivel a gáz végezi a térfogati munkát, ezért van negatív előjele a kifejezés jobb oldalának.) Idő V p E(M) ΔE (mért) ΔE (elméleti) Hiba% -0,01-0,01-0,01-0,01-0,01-0,01..1 tábla A térfogati munka mért és a..1. alapján elméletileg kiszámított értékének eltérése Látható, hogy a hiba az 1% század része. j

13 13.3. A TERMODINAMIKA MÁSODIK FŐTÉTELÉNEK TELJESÜLÉSE "A termodinamikai folyamatok kiegyenlítődési folyamatok, az extenzív mennyiségek áramlása olyan irányú, hogy az intenzív mennyiségek áramlást létrehozó szintkülönbségeit kiegyenlíteni törekszik." A második főtétellel ekvivalens megállapítás, hogy zárt rendszerben az entrópiának növekednie kell.(0) Modellünk felállításakor kimutattuk, hogy az entrópia egyetlen fluktuációnak minősülő esetet kivéve között nőtt..4. A TERMODINAMIKA HARMADIK FŐTÉTELÉNEK TELJESÜLÉSE A társadalom működését ebben a dolgozatban a gázok termodinamikájával modellezem. Az újabb szakirodalom szerint azonban 8 a tétel szokásos matematikai megfogalmazása kívánnivalókat hagy maga után: lim S T 0 Ez a kifejezés Geszti közlése szerint gázokra nem érvényes, mert: a tétel több tekintetben óvatosságra int. Az állítást azért kell kondenzált (folyékony vagy szilárd) anyagokra korlátozni, mert a gázok moláris entrópiája nem tart 0-hoz, viszont adott anyagmennyiségnek T 0 esetén exponenciálisan eltűnő része marad gáz állapotban, így erről az oldalról nem fenyeget a durva hiba veszélye. Mindezeket az eseteket azonban érteni lehet és számításba lehet venni, így a kockázatok és mellékhatások ellenére a harmadik főtétel mégiscsak alapvetően fontos tájékozódást ad az anyag alacsony hőmérsékleti viselkedéséről. Kvalitatíve azonban Geszti azt is állítja, hogy a harmadik főtétel érvényes megfogalmazása a következő: Az abszolút nullapont semmilyen termodinamikai folyamattal nem érhető el. Egy másik szerző szerint: "Az abszolút hőmérsékleti skála nulla pontja fizikailag nem értelmezhető"(0) Számomra azonban a kvalitatív tétel alkalmazhatatlan, mivel nem áll módomban a társadalom hűtésével kísérletileg foglalkozni. Rendelkezésemre állnak azonban a történelmi hőmérséklet és entrópia adatok: Idő T S mat tábla Az entrópia változása Geszti Péter: Termodinamika

14 14 Matematikailag elvégezhető a két állapothatározó közötti kapcsolat vizsgálata tábla adataiból az entrópia idő szerinti alakulására a következő függvényt kapjuk: ábra: Az entrópia alakulása a hőmérséklet függvényében A.4.1. tábla, valamint a.4.1. ábra adatait elemezve határozottan felismerhető az a tendencia, hogy a hőmérséklet csökkenésével az entrópia is monoton csökken. A Nernst tétel azonban sokkal szigorúbb ennél: ha a hőmérséklet tart a 0-hoz, akkor az entrópia határértékben nulla. Sajnos ez a fenti függvényre nem áll fenn: ennek meglepően nagy negatív határértéke van, amit nem tudok értelmezni. Közelebbről megnézve azonban a függvényt, valamint 1973 és 1983 között elvágva kedvezőbb eredményre juthatunk y = -0,0003x + 0,4468x - 6,197 R = 0, ábra Az entrópia a hőmérséklet függvényében között Ennek a függvénynek a határértéke -6,13, ami negatív lévén még mindig értelmetlen, de talán ráfogható a mérési hibára, hogy a határérték nem 0.

15 y = -0,0006x + 0,591x - 43,1 R = ábra Az entrópia a hőmérséklet függvényében között A határérték itt már -43,1. Számomra a harmadik főtétel társadalmi érvényességének bizonyításában az a csapdahelyzet alakult ki, hogy Geszti szerint a Nernst tétel akkor sem lehetne mérvadó, ha nevezetesen a határértékre 0-t kaptam volna, de ráadásul negatív értéket kaptam, ami még értelmetlen is. Kvalitatíve pedig semmilyen adatom sincsen, mert értelemszerűen a társadalommal és a történelemmel nem lehet kísérletezni. Ennek ellenére azonban azt kell mondanom, hogy az entrópia csökkenése a hőmérséklet hatására egyértelmű, és pontosan olyan, mint amilyen egy fizikai rendszerben várható lenne. Azonban anernst tételt történelmi adatokon szabatosan bizonyítani nem tudom. 3. A TÖRTÉNELEM PÁLYÁJA: A METATÖRTÉNELEM Gyanítható, hogy az adatok ilyen hosszú történelmi időszak alatti, ennyire szabályos viselkedése nem lehet a véletlen műve. Ezek a tények arra indítanak, hogy keressük a tendenciák mögötti általános törvényszerűséget. Elemzésünk alapja az energia állandósága lesz, ami azt jelenti, hogy a mozgási (E M ) és a helyzeti (E H ) energia összege állandó: 3.1. EM EH ET Kézenfekvő, hogy felhasználjunk egy nagyon ismert összefüggést: 3.. R R a 1 ahol R 1 és R egy ellipszis vezérsugarai, a pedig ugyanezen ellipszis fél nagytengelye.

16 16 Végezzük el a következő megfeleltetéseket: 3.1. ábra Az ellipszis pontjainak jelölései R R E E H 3.3. a ET Egy zárt rendszerben a mozgási és a helyzeti energia összege állandó (a) és ha a vezérsugarak változnak (bevezetjük az időt), akkor arányváltozásuk egy az ellipszis kerületén mozgó pontnak feleltethető meg. Az M pont az ellipszis kerületén mozog (jelenleg az óramutató mozgásának irányában, vagyis) ellentétesen a szögmérés sztenderd irányával. A dolgozat befejezésének időpontjában 01-ben az X tengely pozitív irányában folyik az idő. A B csúcspont elhagyása után az M pont az A csúcs felé fog mozogni, tehát a fenti ábrán az idő az X tengelyen fordítva fog múlni. A 3.1. ábra értelmezéséhez a következő sztenderd jelöléseket használjuk: 1 M ; ; F 1 M = R F M = R AO = OB = a ahol a a nagy féltengely = energiaegység; F F 1 = c ahol c a fókuszpontok ismeretlen távolsága egymástól; továbbá: OD OC b ahol b a kis féltengely ismeretlen hosszúsága. Ismeretlen továbbá az e excentricitás is: c e a A modell felállításának alapproblémája, hogy az ellipszis megadásához: az a, a b, és a c paraméterek közül valamelyik kettőre van szükség, mivel közöttük fennáll a következő összefüggés:

17 c a b Számunkra azonban csak a = van adva, vagyis a teljes belső energia fele. A történelemi pálya felírásához tehát még legalább egy paraméter hiányzik. Ismerjük azonban még az R 1, R sugarak sorozatát is: 3.1.A HIÁNYZÓ PARAMÉTER BECSLÉSE Időpont R R1 a táblázat A vezérsugarak időbeli alakulása Először ki kell jelölnünk, hogy az ellipszis melyik fókuszát tekintjük kiinduló pontnak. A 3. táblázatban, valamint a 3.1. ábrán is látható, hogy ha az idő az x tengely mentén a pozitív irányba tart, vagyis ha az M pont balról jobbra halad, akkor bárhol helyezkedjenek is el a fókuszpontok az R 1 sugarak hossza monoton csökken, az R sugaraké pedig monoton növekszik. Az F és F 1 fókuszpontok egymástól való távolsága c, azonban c nagysága ismeretlen, és ennek következtében az egész ellipszis meghatározatlan. Ennek feloldására viszont kihasználható, hogy ismerjük az R 1 sugarak időbeli alakulását. Az R 1 sugarak hosszúsága az A ponttól kezdődő mozgásuk során a B pont eléréséig monoton módon csökken, és könnyen belátható, hogy a B pontban R 1 hossza éppen: a c Ez a megfogalmazás egyenértékű azzal, hogy ha képezzük az R 1 sugarak időbeli függvényét, ρ t, akkor e függvény határértéke egy ismeretlen időpontban pontosan a-c lesz, amiből a ismeretében c közvetlenül adódik. Függvényillesztéssel azt kapjuk, hogy: ahol: a = 3,878 b = 0,30 c = 881,897 d = ,447 e = ,351 f = , E függvény determinációs együtthatója R = 99,8%, vagyis nagyon erős kapcsolat van az években mért idő és az R 1 sugarak csökkenése között. A ρ határértékének vizsgálata azt mutatja, hogy a 61,488 előtti időpontokban a határérték negatívvá válik (ami értelmetlen, mivel az energia nem vehet fel negatív értéket); a 61,488 utáni időpontokban pedig a határérték igen gyorsan empirikusan értelmezhetetlenül nagyra nő: a modell alapfeltevése

18 18 szerint ugyanis az a-c értéknek kisebbnek kell lennie, mint a, aminek a maximuma legfeljebb egység. Más szóval 1938 után 61,488 évvel, vagyis április elején érte el az R 1 sugár a legkisebb értékét: egységnyi hosszúságát. Ez azt jelenti, hogy: Innen: A fél kistengely: a-c = c = 4805; Az excentricitás: c e 0, 4818 a Ezzel a történelmi ellipszis pálya minden lényeges paramétere ismert. 3..AZ IDŐ ÉS A PÁLYA A pálya csak a történelem absztrakt geometriáját fejezi ki: az energiák konkrét arányát egy bizonyos időpontban. Azonban a történelem lényege: az idő még nem olvasható le a pályáról közvetlenül. Az idő leolvashatósága érdekében a Kepler törvényekhez kell fordulnunk. Erre az ad hipotézisszerű felhatalmazást, hogy kissé átfogalmazva eddig éppen Kepler első axiómáját építettük fel: A történelem mozgásában létezik egy ellipszis alakú pálya, amelynek F a fókuszpontja. Talán merész arra gondolni, hogy a további axiómák is érvényesek lehetnek a történelemben? Kepler második törvénye (a takarítónő tétel) lehetőséget ad arra, hogy a pálya pontjaihoz időpontokat rendeljünk: A pálya vezérsugara egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol 9. Ennek a tételnek egyik megfogalmazása: 3..1 r h állandó ahol: r = az ellipszis F fókuszából kiinduló vezérsugár hosszúsága; ω = a vezérsugár mozgásának szögsebessége. 11 A szögsebesség kiszámításához ismernünk kell az F 1 fókuszpontnál elhelyezkedő, a c egyenes és az R sugár által bezárt szöget, α-t. A takarítónő tétel ugyanis ennek a sugárnak, illetve szögnek a változására vonatkozik. Az R sugár, és az α szög ismeretében már kiszámítható a h állandó értéke is. Az α szög kiszámítása a koszinusz tétel alkalmazásával a c, valamint az R 1, R mennyiségek ismeretében csak egyszerű számolást igényel (15) oldal ben az alfa szög értelmezhetetlenné válik. Kb. 4%-os korrekció szükséges a sugarak hosszának megállapításában ahhoz, hogy a koszinusz tétellel kiszámolt szög értelmezhetővé váljon.

19 19 A h állandót a 3..1 összefüggés alapján számoljuk ki: Időpont R α h táblázat A h állandó kiszámítása A h állandóra kapott értéksorozat értelmezéséhez tudnunk kell, hogy olyan történelmi adatok elemzését végezzük, amelyeket nagyon eltérő történelmi korokban gyűjtöttek olyan emberek, akiknek az éppen érvényes ideológia előírta, hogyan kell gyűjteni, értelmezni és csoportosítani az elemi rétegződési adatokat. És akkor még nem is beszéltem az olyan hibákról, amelyek egyszerűen a különböző kutatók egyéni módszereiből erednek, mivel még azonos ideológián belül sincsenek (és soha sem voltak) szabványos rétegdefiníciók tól 000-ig a társadalmi rétegződés módszertana sok változáson ment át, ezért az adatok pontos összehasonlítása megoldhatatlan. Az közötti időszak a magyar történelem egyik legsötétebb, ideológiailag legzavarosabb korszaka, ami nyilvánvalóan megmutatkozott a szociológia elhanyagolásában, valamint a társadalmi rétegződés fogalmi keretének önkényes alakítgatásában is. Törekedtem arra, hogy utólag egységes fogalmi keretben dolgozzam fel ezeket a régi adatokat is, de ez láthatólag csak arra az időintervallumra sikerült valamennyire kielégítő módon, amikor Andorka Rudolf vezette a kutatásokat, vagyis között. Én már az általa aggregált adatokból dolgoztam, tehát a nyers alapadatok nem álltak rendelkezésemre. Csak az ismételt az alapadatokig visszamenő elemzések adhatnának megnyugtató választ a felmerülő kételyekre. Amíg ez nem kivitelezhető, addig hajlandó vagyok munkahipotézisként elfogadni Kepler második axiómájának érvényességét a történelemben. Ugyanis ha érvényes, akkor megnyílik az út a keringési idő (T) kiszámítása felé. A hibát elemezve amely az állandó fogalmát erősen megkérdőjelezheti három csoportra bonthatjuk az adatokat: az 1938 és 1949-es; az 1963, 1973, 1983-as; valamint a 199-es és a 000-res adatokra ben alapvető rendszerváltozás volt Magyarországon, olyan, amely radikálisan átértelmezte a statisztikai adatokat. Ki- és betelepítések is folytak. Az említett változások nyilván összezavarták a népszámlálások adminisztrációját, sőt utólag pontosan rekonstruálhatatlanná tették, hogy mi történt az adatokkal, vagyis kideríthetetlen, hogy van-e olyan szigorú kontinuitás, amely lehetővé tenné, hogy érzékeny matematikai modellt illesszünk rájuk. Az előzőekhez hasonlóan az 199-es és a 000-res felvétel is egy gyökeres rendszerváltozás utánra esett: 1990-ben véget ért a szocializmus között azonban nyugodt történelmei korszakban élt a magyar a társadalom, és mi több, egyetlen ember irányította és elemezte a saját belátása szerint az adatfelvételt: Andorka Rudolf. Módszereit időközben nem változtatta meg, és ez meg is látszik a h értékén: szinte hibátlanul állandó. Ezért a h állandót kizárólag az Andorka-féle adatok alapján számított értékek átlaga alapján értelmezem: 3.. h = 3,111x10 8

20 0 Ennek az értéknek a hibája 1% alatt van. Ez a mérési hiba azonban elfogadható, mivel ismeretes, hogy a társadalmi mérések hibája általában elég tekintélyes nagyságú, jóval nagyobb, mint az itt talált érték. Tapasztalatom szerint nem ritka a 0%-os mérési hiba sem A TÖTÉNELMI CIKLUS TARTAMA Az előzőekben azzal a feltevéssel éltünk, hogy a társadalmi energia összetétele egy ellipszis mentén változik. Ez Kepler I.-II. törvényének alkalmazását jelenti a magyar történelem 6 éves időszakára. Az a tény, hogy a történelem ciklikus bármennyire is ellenkezik a történetfilozófusok jelentős részének felfogásával önmagában még nem túl nagy horderejű. Konkrét történelmi elemzésre akkor lenne felhasználható, ha ismernénk a ciklus kezdetét és tartamát. Ekkor ugyanis kapcsolatot lehetne keresni bizonyos típusú történelmi minőségek, események, változások és a társadalmi mozgási energia nagysága és változási iránya között. A T keringési idő kiszámítására ismert a következő összefüggés: Ezzel számolva a T keringési idő: ab T h 3.3. T = 176 év Fel kell hívnom azonban a figyelmet arra, hogy a T értéke nagyon érzékeny a h egészen csekély megváltozására is. Ha például h csupán 1%-al kisebb lenne, akkor a keringési idő 00 év lenne. Nem a kerek szám igézete mondatja velem, hogy a ciklus valódi hossza nagyon közel lehet a 00 évhez. Számos kutató főként közgazdászok találtak hasonló hosszúságú, illetve a 00 éves tartamot egész számmal osztható ciklust. (51) 3.4. A KERINGÉSI CIKLUS KEZDETE ÉS VÉGE Mivel azt találtuk, hogy az R sugár 1999 áprilisa táján volt a legkisebb, ezért ekkor fejeződött be az előző fél ciklus. A teljes ciklus 183-ban kezdődött. Az ellipszis szimmetriája miatt a fél ciklus időtartama 88 év, vagyis az 1999-ben befejeződött fél ciklus 1911 körül kezdődött. Természetesen mindez csak akkor igaz, ha helytálló a területi sebességre adott becslésünk, vagyis a három történelmi időpontban mért területi sebesség átlaga. Itt meg kell jegyeznem, hogy ebben az okfejtésben a szociológia még a Newton előtti állapotában van. Kepler úgy dolgozta ki törvényeit, hogy semmit sem tudott a gravitációról, és ezért természetszerűen nem is használhatta fel azt. Az elliptikus bolygómozgás törvényeit pusztán a megfigyelésekre alapozta, amelyeket Tycho Brahe-tól vett át. Érdekes kérdés, hogy vajon a metatörténelmi változások, és így a mobilitás mögött van-e valamiféle általános gravitációs hatás. Ez nem annyira abszurd kérdés, mint gondolnánk, hiszen a tanulmány I. részében láttuk, hogy a társadalmi gravitáció pontosan beilleszthető a jelenkori mozgások hátterébe. Kepler harmadik törvénye átírható úgy is, hogy abból kiszámítható legyen a társadalmi gravitációs állandó, valamint a történelmi nap tömegének szorzata:

21 T a 3 = 4π m Gmm k = állandó A Kepler állandóra a harmadik törvényből 3, adódik. Meg kell jegyeznem, hogy a Naparendszerben az állandó értéke, A fenti összefüggésnek akkor lesz jelentősége, amikor meghatározzuk a társadalmi gravitációs állandó értékét, mert akkor megkaphatjuk a történelmi nap tömegét. (Lásd: 5.1. ) 3.5. TÖRTÉNELMI PÁLYA ÉRTELEMEZÉSE Az itt következő elemzés formája kicsit hasonlít a második derivált fogalmához. Ugyanis kiindulópontunk a mobilitás volt, ami önmagában változást fejez ki: az egyének elhelyezkedésének, eloszlásának megváltozásáról volt szó a rétegek között a mozgási és helyzeti energia egy adott aránya mellett. Itt tehát a rétegződés változásáról volt szó. Azonban maga az arány is változik, nő vagy csökken: a társadalmak (vagy egy társadalom különböző időpontbeli állapotai) különböznek aszerint, hogy a teljes energia hogyan oszlik meg bennük a mobilitásra és a rétegződés megtartására fordított energia szerint. Nevezhetjük ezt a szempontot metatörténeleminek is, mivel itt már nemcsak az egyének helyzetváltozásáról van szó, hanem a helyzetváltozás feltételeinek megváltozásáról a társadalom egészének a szintjén. Persze figyelemmel kell lenni arra, hogy a modell működése csak zárt rendszer esetén ad megbízható előrejelzést. Valamennyire szigorúan csak 1949 és 1990 között beszélhetünk zárt rendszerről Magyarország esetében, mivel előtte és utána olyan változások történtek háborúk, rendszerváltozások, a népesség radikális átrendeződése, amelyek kérdésessé teszik, hogy a zárt rendszer feltevése teljesül-e. Sőt: egészen szigorúan nézve a zárt rendszer sohasem állhat fenn, hiszen Európa közepén nem lehetséges tökéletesen zárt rendszer. Az azonban valószínű, hogy a rendszert érintő hatások vagy elhanyagolhatók az egyes korszakokban például 1949 és 1990 között, vagy kiegyenlítik egymást, és ezzel megközelítőleg zártnak mutatják a magyar társadalmat. Az ellipszis segítségével modellt adhatunk az adatok múltbeli és jövőbeli viselkedésére. A két energiafajta összetételének változását akkor tudjuk egyszerűen áttekinteni, ha értelmezzük az ellipszis csúcspontjait. Négy csúcspontja van: Az x = 0 koordinátához a D, C csúcspontok tartoznak. Ekkor R = R = a. Az A csúcspontban a helyzeti energia, a B csúcspontban a mozgási energia maximális (ugyanekkor a másik energiafajta minimális). Ennek következtében az ADB fél ellipszis időtartamát fűtött korszaknak nevezhetjük, mivel a mozgási energia aránya folyamatosan nő az A csúcsponttól a B-ig. Ugyanakkor az AD negyed ellipszis időtartamát még a helyzeti energia dominanciája jellemzi. A fűtött korszakokat tehát két alkorszakra kell bontani az -F korszakot még a helyzeti energia dominanciája, az +F korszakot a mozgási energia dominanciája jellemzi. Ugyanígy a hűtött korszakokat is két részre bonthatjuk: a +H korszakra a helyzeti energia dominanciája, valamint a -H korszakot a mozgási energia dominanciája mellett. A mozgási energia és a helyzeti energia közötti dominancia tehát 88 évenként váltakozik a történelmi 1 és 6 óra között.

22 A társadalmat szemi kétfázisú rendszernek tekintem, vagyis olyan rendszernek, amelyben az egyedek mozgása általános ugyan, de nagy különbség van például az immobilok és a mobilok mozgása között 1. Az immobilok kötött réteghelyzetben vannak, a rétegeken belül azonban elmozdulhatnak. A mobilok pedig két réteg között éppen mozognak, réteget váltanak. Mivel a társadalom létszámát állandónak tekintem (ez Magyarországon az elmúlt 6 évben elég pontosan teljesült is), ezért a hőmérséklet növekedése arra vezet, hogy az egyedek egy része immobil állapotból mobil állapotba kerül. Voltaképpen ez a gázfázis szemben az immobilok szemi szilárd fázisával. A lehűlés maximuma, vagyis a helyzeti energia maximuma az A csúcsban, a felmelegedés maximuma, vagyis a mozgási energia maximuma B csúcsban található. Az A csúcspont után felmelegedés, a B után lehűlés kezdődik. Értelmezni kell a rétegen belüli mozgás fogalmát, mert nem egészen nyilvánvaló. Több olyan státus is van, amelyek egy társadalom hétköznapi életében különbözőknek látszanak, valójában azonban a JTH rendszerben azonosak. Például, ha valaki egészségügyi írnok, de elhagyja ezt az állását, és segédkönyvtáros lesz, akkor nem változik a társadalmi helyzete. Hasonlóképpen: ha valaki benzinkútkezelőből élelmiszer-boltvezetői állásba lép át, akkor sem változik feltétlenül a társadalmi státusa. És nem feledkezhetünk meg arról sem, hogy magának JTH rendszernek az origója is változhat: a társadalom ilyenkor elmozdul az egyének és a rétegek alatt. Legjobb példa erre az infláció hatása a réteghelyzetre. Magyarországon ben az átlagjövedelem 000 Ft körül volt. Ma ugyanez nettó kb Ft. Egy szerény új lakás ára akkor kb Ft volt, míg ma hozzávetőleg 0 millió forint. Vagyis a társadalmi rétegződést a látszatmozgások nélkül kell mérnünk A TÖRTÉNELEM SZAKASZAI Az M aránypont mozgása valószínűleg nem egyenletes, hanem lökésszerű, mert az emberi egyedek nem készen robbannak bele a társadalomba, illetve nem egy csapásra tűnnek el belőle, hanem közelítőleg generációs adagokban. (Hasonlóan a mechanikus órák mutatói sem folytonosan mozognak, hanem ugranak.) A történelemnek van egy tagadhatatlan biológiai lüktetése, vagyis létezik a generációváltás jelensége. A generációváltás szerepe abban a késleltetésben mutatható ki, hogy a gázatomoktól eltérően az emberek nem örök életűek, és teljes élettartamuk alatt sem egyformán aktívak. Az élettartam első és utolsó harmadában az egyének társadalmilag kevésbé aktívak, mint a középső harmadban. Az első harmad a biológiai kifejlődéssel, és a társadalmi tudással való feltöltődéssel, az utolsó harmad általában a fizikai leépüléssel és a társadalomból való fokozatos kirekesztődés folyamataival telik el. A középső harmadot az ókori görögök akmé-nek vagyis tetőpontnak tekintették, és általában a 40. életév körüli időszakot értették alatta. Hipotézisszerűen megfogalmazható, hogy a társadalom adaptációja, általában: a nagy belpolitikai változások száma és kiterjedtsége jelentősen nagyobb a mozgási energia által dominált korszakokban. A társadalom hierarchiája mintegy felolvad, folyóssá, és így alakíthatóvá válik. Ezekben a korszakokban a társadalom aktivitása kifelé csökken, ezzel szemben gyakoribbak és erősebbek a polgárháborúk, forradalmak, lázadások, növekszik a bűnözés, stb., amely kísérőjelensége a belpolitikai átrendeződésnek óta ilyen fokozatosan felpuhuló, cseppfolyósodó folyamatban él Magyarország, amely az utolsó két évben (010-01) látványosan felgyorsult. 1 Kémiai rendszerekben ismeretes a félstabil állapot, amely analóg a társadalmi mobilitásban tapasztalható éles különbséggel a mobilok és inmobilok között. Élet és Tudomány, 010/51/168

23 3 A helyzeti energia által dominált időszakokban nagy belpolitikai fordulatok nem várhatók. Lehetnek kísérletek ilyen fordulatokra, de azok rendre elbuknak. Ezzel szemben a társadalomban ekkor is fellelhető feszültség (belső nyomás) külső, és általában sikertelen konfliktusokban nyilvánul meg: háborúkban, gyarmatosításokban, kivándorlásban, stb. 4.A TÁRSADALMI GRAVITÁCIÓS ÁLLANDÓ A modellezés kiindulópontja az volt, hogy a természetben léteznek univerzális törvények, amelyek felhasználhatók arra, hogy a természetről és a társadalomról azonos módon gondolkozzunk. Ezen azonosság feltételezi az állandók bizonyos fokú azonosságát is, amely azért perdöntő, mert az állandók természeti adottságok, kísérleti eredmények, amelyek nem a gondolkodó embertől függenek. Látszólag a bizonyos fokú azonosság kifejezés belsőleg ellentmondásos: két dolog vagy azonos vagy sem. Valójában értelmetlen lenne az azonosság kimondása, ha kikötnénk, hogy az azonosság csak hiánytalan lehet, mivel szorosan véve valami csak önmagával lehet azonos, egy másik dologgal nem. Ha van két csapágygolyóm, akkor csak annyit mondhatok, hogy anyaguk, méretük, súlyuk azonos, de meg kell tudnom mondani, hogy melyik az egyik és melyik a másik, ez pedig megbontja az azonosságot. Az azonosság problémája kezdettől fogva ott kísért minden modellezésben. Ebben a dolgozatban a termodinamika és a mechanika, kémia fogalomrendszerét használjuk a társadalomra. Ez az eljárás kezdettől fogva felveti az azonosság problémáját. Vannak ugyanis tényleg azonosan kezelt fogalmak a mechanikában és a jelen szociológiai modellben. Ilyen például a tömeg, amit a mechanikában és a szociológiában is ugyanúgy mérhetünk és használhatunk. Már problematikusabb a térfogat. A társadalom térfogatát ugyanúgy számítjuk ki, mint egy fizikai testét. Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy a társadaloméval azonos méretű fizikai tartálynak vannak oldalfalai, van falvastagsága, és van valamilyen beömlő, esetleg kiömlő nyílása. A társadalmat magában rejtő térfogatnak nincsenek ilyen vonásai. (Legalábbis a modellezés eddigi szakaszában nem volt rájuk szükség, és ezért elhanyagoltuk őket.) Az azonosságban való gondolkodást igazában az állandók teszik próbára. Ennek legnyilvánvalóbb példája volt az előző részben a társadalmi Avogadro szám bevezetése. A kémiai Avogadro szám 6,0*10, a társadalmi pedig 60. A különbség nyilvánvaló. Ugyanakkor kikerülhetetlenül szükség volt a társadalmi Avodagro számra, mivel nélküle a termodinamika egyenletei nem írhatók fel. Általában véve az egyik legnagyobb gondom az volt a modellezés során, hogy milyen mértékszámokat használjak, pontosabban hogyan méretezzem a társadalmi modellt. Nyilvánvaló ugyanis, hogy 10 egyedlétszámú társadalommal nem lehet semmit sem kezdeni a gyakorlatban. A 60-on kívül azonban minden más szám abszurd következményekkel járt volna a társadalmi modell gyakorlati felhasználására nézve, mivel az Avogadro számmal összefüggő, más fontos mennyiségek igen szélsőséges, értelmezhetetlen értékeket vettek volna fel. Természetesen a társadalmi és kémiai Avogadro szám nem azonos, mivel hatalmas nagyságrendi eltérés van közöttük. Azonosak viszont mennyiségtani funkciójukban, ha eltekintünk az egyének szempontjából egyelőre értelmezhetetlen 0, százados maradék elhanyagolásától, valamint nagyságrendi különbségüktől. (Nem elképzelhetetlen azonban egy olyan szociológia, amelyben az elemi egyedek nem egyének, hanem például azok szerepei. Így értelmezhetővé válna a tört személyiség, tört egyed fogalma.) Azt kell mondanom, hogy az azonosság fokozatossága termékeny gondolat volt számomra, mert lehetővé tette, hogy a már meglévő eszközöket: fogalmakat, mennyiségeket, egyenleteket felhasználhassam a szociológia egzakttá tételében. Ebben sokat segített Hans Vaihinger Als-Obja. (5) Ezt a tudományfilozófiai kitérőt azért iktattam ide, mert a követező részekben erősen

24 4 szükségessé válik az olvasó számára, hogy legalább átmenetileg elfogadja az azonosság fokozatosságát, főleg ami a nagyságrendi eltéréseket illeti. A társadalmi gravitációs állandó bevezetéséhez ki kell mutatunk, hogy a társadalmi modell adatai következnek egy már kipróbált fizikai modell E, G, M, m 0, R, adataiból, 13 vagyis a társadalomra fennáll, hogy: E E. G Γ; M M m 0 μ; R P; Ismeretes, hogy a teljes gravitációs energia felírható a következő módon 14 : Ennek társadalmi megfelelője: GMm E R N 4. E ahol: E = energia egység; = a keresett társadalmi gravitációs állandó; N = 1058; a vizsgált társadalom létszáma; = 5043 kg = az elemi tömeg; M = N* = a nagyobbik test (vagyis a társadalom tömege; P = a vonzást gyakorló testek távolsága egymástól. N, és E ismertek 15 Egyedül P átlaga, vagyis az egymásra vonzást gyakoroló egyének távolsága ismeretlen. Induljunk ki abból, hogy a gravitáció pontosan gömbszimmetrikusan hat, és a vonzási centrum a társadalmi test súlypontjában van. Adottak a rétegek koordinátái, ezért súlypont koordinátája ezek számtani átlaga 16 : s e i m 4 p ahol: s a súlypont; e, i, m, p pedig a rétegek helyvektorai. A súlypont és a rétegek koordinátáiból meghatározható a rétegek távolsága a súlyponttól, valamint e távolságoknak a réteglétszámokkal súlyozott átlaga, amely jelen esetben: δ = 38,779. Feltételezve, hogy a gravitáció gömbszimmetrikus, az egyének átlagos távolsága egymástól: δ = 77,558 = P. 13 A jelölések elve az, hogy minden ismert fizikai mennyiség helyett a társadalom modelljében lehetőleg a latin betű görög megfelelője álljon. 14 Landau-Kitajgorodszkij: Fizika mindenkinek Gondolat, Budapest oldal 15 Babics László: A tömegtársadalmak mechanikája és termodinamikája. 16 Reiman István: Geometria és határterületei Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház KFT oldal

25 5 Ezzel számolva ki et: 4.4. = 6,69*10-4 Feltéve, hogy eltekintünk a fizikában használt G karakterisztikájától, és csak a mantisszát nézzük, akkor a hiba csekély: 3%. Egyetlen lényeges probléma marad tehát: mi az oka a nagyságrendi eltérésének a fizikai G- től? Ezt a problémát nem lehet megoldani a modellezés elvének, valamint az állandók elméleti értelmezése nélkül, amelyet későbben kísérlek meg elvégezni A MODELL ALAPVETŐ PARAMÉTEREINEK ÖSSZEFÜGGÉSE A társadalmat alkotó egyedek átlagos távolsága, a gravitációs állandó, az egyén tömege, valamint a gravitációs gyorsulás alapvető paraméterek a modellben, és szorosan összefüggenek. Az egyetemes tömegvonzás törvényéből: M F P ahol: Γ= 6,67*10-4 M = a teljes társadalom tömege; μ = az egyén tömege; P = az egyének átlagos távolsága egymástól F M G P Ha kiválasztunk egy egyént a társadalomból, akkor a rá ható nehézségi gyorsulás csak a többi egyén tőle számított átlagos távolságától, az egyén tömegétől és a nehézségi állandótól függ. Ezek közül a μ, a γ és a P független mérés eredménye; P és Γ mint előbb láttuk összefüggenek. Éppen ezért a modell érvényességének lényegi megerősítését jelenti, ha alapvető és kizárólag tapasztalati mennyiségekhez tudjuk kötni őket. Behelyettesítve a mérési adatokat be: 50436, ,0005 8,0 Az P sugárra a mérésből 77,558 adódott. Ha azt keressük, hogy az általunk mért γ gyorsulás, Γ állandó, és a társadalom átmérője kielégíti-e a gravitációs törvényt, akkor a sugarat hozzávetőleg 5%-al meg kell növelnünk. Az eltérésnek számos, mérésből származó oka lehet, mivel a γ, μ és a P alapjául szolgáló nagyszámú mérés mindegyike lehet hibával terhelt. Éppen ezért inkább az a meglepő, hogy csak 5% a hiba. Az összefüggés csekély hibája megerősít abban, hogy a modell tartalmilag helyes, és a benne szereplő mennyiségek a fizikai elvárások alapján összehangoltak a vizsgálat tárgya, vagyis a társadalom által. 4

26 6 5. A MATEMATIKAI ÉS A SZOCIOLÓGIAI ELLIPSZIS PÁLYA Ismeretes, hogy az inga tárgyalásában megkülönböztetnek matematikai és fizikai ingát. A matematikai inga idealizált: eltekint a felfüggesztés anyagától, tömegétől, a felfüggesztett teher alakjától, kiterjedésétől, mivel azt pontszerűnek tekinti. A fizikai inga ezzel ellentétben a felfüggesztést merev, gyakorlatilag kivitelezhető vastagságú tengellyel gondolja el, és a lengő teher is kiterjedt test, amelynek a tömegközépponjába esik a felfüggesztés. A különbség nyilvánvaló: a matematikai inga egy absztrakció, ami gyakorlatilag kivitelezhetetlen, a fizikai inga pedig speciális ugyan, de megvalósítható. A dolog lénye azonban az, hogy a két inga együtt leng. Vagyis a matematikai inga annak ellenére, hogy megvalósíthatatlan, kifejezi a fizikai inga paraméterei közötti lényegi összefüggéseket A TÖRTÉNELMI NAP 5.1. ábra A mozgási energia változása a történelmi ellipszis mentén Eddig a társadalom energia viszonyainak változását egy kizárólag matematikailag értelmezett ellipszissel modelleztük. (Lásd: 5.1. ábra!) Most rátérek a tartalmi modellezésre. Kepler harmadik törvényéből: , , MK a történelmi Nap tömege: M K = 1,896*10 15

27 7 5.. A TÖRTÉNELEM MUNKAVÉGZÉSE: A MAGYAR TÖRTÉNELEM TELJES ENERGIÁJA Megismertük a történelmi pályát. Kimutattuk, hogy az M pont haladása közben engedelmeskedik a Kepler törvényeknek. Önkéntelenül felmerül a kérdés, hogy az M pont mozgásának van-e mélyebb oka, vagy meg kell elégednünk a fenomenológiai leírással? A helyzet hasonló a Kepler törvények Newton általi elmélyítésére. Mert mi is történik azon az absztrakt ellipszis pályán, amelyet felállítottunk? Az M pont mögött a magyar társadalom áll, amelynek a tömegét ki tudjuk számítani: N = 10 7 fő m o = 5043 tömegegység, vagy kg Innen: 5..1 m = N* m o = 5,043*10 10 kg A Kepler állandó, valamint a központi tömeg ismeretében fölállíthatjuk azt a modellt, hogy az ellipszis F fókuszpontjában egy M K = 1,896*10 15 kg tömegű test helyezkedik el, amely az m tömegű magyar társadalommal gravitációs kölcsönhatásban áll. Ellipszispálya esetén a rendszer teljes energiája: 17 Számszerűen: E 3, M Km E a 6, , , A teljes történelmi energia értékének itt most nincsen különösebb haszna, vagy jelentősége. Erre akkor tehetne szert, ha más társadalmak történelmi munkavégzésével lehetne összehasonlítani. Fel kell hívni a figyelmet arra, hogy a h és az E állandók lényegében csak egy en nagyságrendű szorzóban térnek el egymástól, és mindkettő a történelmi rendszer állandóságát fejezi ki A KEPLER MODELL TARTALMI ÉRELMEZÉSE Az alapvetően matematikai gondolatvetésű Kepler modellben nincsen okom kételkedni. (Túl a minden tudományos megállapítást megillető tartózkodáson.) A modell gravitációs, vagyis newtoni kiterjesztése azonban bennem is kis riadalmat kelt. Vajon létezik-e a történelmi Nap, és bolygója? Nem csak a matematikai formalizmus által gerjesztett délibábról van-e szó? Azt gondolom, hogy a történelmi Nap nem létezik, és a bolygója sem kering körülötte. Mégis alapvetően helytálló a modell. A megismerés néha különös gondolati konstrukciókban zajlik, mivel az ember szinte törvényszerűen nem találja meg a valóság új, ismeretlen és merőben szokatlan jelenségeihez tartozó fogalmakat. Általában egy előző gondolkodási stádium inadekvát fogalmait feszíti szét addig, amíg az új jelenség is terjedelmük alá kerül. A fizikában ilyen például a hullámfogalom kiterjesztése az elektromágneses jelenségekre, mert 17 Budó: 98.oldal

28 8 míg nyilvánvaló, hogy a hullám hordozót tételez fel: vizet, levegőt vagy szilárd testet, addig az elektromágnességnek nincsen hordozója, tehát hullám sem lehet. Ennek az ellentmondásnak a feloldására vezették be az étert, amiről később kiderült, hogy nem létezik. Ugyanakkor az elektromágnességet le lehet írni hullámfogalmakkal. Vagyis matematikailag kezelhető egy olyan hullám, ami nem létezik ugyan, mert nincsen hordozója, de mégis van valamilyen tartalma a formuláknak, hiszen könnyedén kiszámítható az a valami, ami egy rádióadó hullámhossza. Als Ob mondaná Vaihinger: mintha rezegne valamilyen közeg a Kossuth adó és a rádióvevőm között. De valójában nem rezeg semmi. Vagy vehetnénk a fizikai entrópiát, amelyet a térfogat mintájára vezettek be a fizikába, de azzal ellentétben nem mérhető, vagyis nincsen. Mégis működik. A sor folytatható lenne. A történelem gravitációs felfogású bolygómodellje szó szerint nem igaz, de izomorf valamivel, amit egyelőre nem tudok megnevezni. Gondolkodásom során abból a feltevésből indulok ki, hogy ahol nem egyenes vonalú, nem egyenletes mozgást tapasztalunk, ott a mechanika newtoni alapvetése szerint gyorsulásnak kell lennie. A társadalomban a mozgás állandó, és még senki sem látott olyan társadalmi mozgást vagy változást, amelynek a képe egy derékszögű koordinátarendszerben lineáris lett volna. Vagyis a társadalmi folyamatok nem lineárisak. Más szóval gyorsulásuk van. Eddig azért nem sikerült helyesen kezelni ezt az univerzális tulajdonságot, mert hiányzott a fizikai tömegnek megfelelő társadalmi tömeg fogalma a szociológiából. Ha viszont mindkettő megvan, akkor egyszerűen értelmezhető a newtoni erő fogalma, és felállítható a Kepler modell is. Lehet kételkedni egy ilyen modell létjogosultságában, de azt hiszem, hogy sem a társadalmi folyamatok gyorsulásában, sem a társadalmi tömegben (vagyis a társadalmi inercia mértékében) nem lehet. Vagyis van valami a társadalmi folyamatokban, ami leképezhető a newtoni erő fogalmával, de ami nem testesül meg bolygórendszerben. Ez utóbbi csak modellje valaminek, ami objektív ugyan, de nem testi jellegű. 6. A MOBILITÁSI ERŐK Bármely mobilitási táblához megadható egy olyan irányított, súlyozott gráf, amelynek szögpontjai a rétegek, élei pedig az átlépési irányokat mutatják. Az irányított élek mellé odaírhatjuk az adott irányban átlépők létszámát. Például az 199-es szerkezet a következő:

29 9 E 5 I M 11 P ábra Az 199-es mobilitási szerkezet Ha keressük az egyének áramlásának magyarázatát, akkor már első ránézésre nyilvánvaló, hogy az ellentétes mozgásokat nem lehet ugyanannak a tényezőnek tulajdonítani, bármi legyen is az, amit használni akarunk. A mobilitási szerkezetet tehát két részszerkezetre kell bontani a kétféle irányítású élek szerint, úgy hogy a részszerkezetekben az élek irányítása azonos legyen. Az irányításban a rétegek koordinátáiból kell kiindulni. Az egyik szerkezet élhalmazába a magasabb koordinátájú rétegekből az alacsonyabbak felé tartó áramlásokat reprezentáló élek kerülnek, a másik élhalmazba a fordított irányú élek. Kérdés tehát, hogy milyen a koordináták egymáshoz viszonyított nagysága. Javak Tudás Hatalom Távolság az origótól Elit - 4,3 0,1 4,7 Irodai 1,3 13, ,1 Munkás 7-15,5 50,1 59 Paraszt -48,3 3-5,8 48,7 *Az adatok kerekítettek! 6.1. tábla A státusok koordinátái Látható, hogy a konstituálás eredményeképpen kialakult koordináták és távolságok nem igazodnak ahhoz a társadalomképhez, amit tapasztalunk mindennapi életünk során, és amelyben nagyjából az elméletek is megegyeznek. A legszembetűnőbb, hogy a konstituálás után az elit koordinátái a legkisebbek. Ennek a fordítottja a természetes. A többi rétegnél lehet vitatkozni azon, hogy a munkások vagy a parasztok vannak-e kedvezőbb helyzetben, de az

30 30 elit esetében definíciószerűen kötelező az első hely, vagyis az, hogy egy adott társadalomban legalább a javak és a hatalom tekintetében az élen kell járniuk. Van olyan transzformáció, amely a rétegződés érintetlenül hagyása mellett vagyis hogy a rétegek relatív helyzete egymáshoz képest változatlan maradjon hozzáigazítja a koordinátákat a valós helyzethez. Ezt forgatásnak nevezik geometriában. Ennek a legegyszerűbb módja, ha a társadalmi testet önmaga súlypontja körül 180 fokkal elforgatjuk a rétegek koordinátájának szisztematikus felcserélésével úgy, hogy rendre felcseréljük a legmagasabb státusú réteghez tartozó koordináta hármasokat a legalacsonyabb státusú rétegével, majd a legmagasabb státus alatti rétegét felcseréljük a legalacsonyabb státus után felfelé következőével, stb. Javak Tudás Hatalom Távolság az origótól Elit Irodai Paraszt Munkás tábla A transzformált koordináták Van még azonban egy másik értelmezési anomália: hogyan értelmezzük a negatív koordinátákat? Például mi az értelme az elit -16 értékű tudás koordinátájának? Most nem szükséges megválaszolni ezt a kérdést, mert most csak az alacsony és magas státusok közötti mobilitás irányításával foglalkozunk, de később szükséges lesz a látszólagos ellentmondás feloldására. Az elemzés ezen a pontján azonban elegendő rámutatni arra, hogy a transzformáció után az átlépések irányítása és ábrázolása egyértelműen megoldható: az elit felé irányuló mobilitás elválasztható az ellenkező irányú mozgásoktól. A teljes létszám 55%-a volt mobil, vagyis a rétegződést inkább a mobilitás jellemezte, mintsem a státus állandóság, a mozdulatlanság. E 5 4 I P 11 M 6.3. ábra A társadalmi lesüllyedés szerkezete

31 31 A 6.3. ábrán a rétegek az origótól való távolságuknak megfelelően fentről lefelé egyre közelebb vannak az origóhoz. Összesen 37 egyén süllyedt egy alacsonyabb rétegbe. E I P 46 M 6.4. ábra A társadalmi felemelkedés szerkezete 11 fő emelkedett fel a rétegződésben. A teljes mobilitás (583 fő) több, mint 60 %-a tehát lesüllyedés volt. A társadalmi gravitáció csak részben magyarázza a mozgásokat: kézenfekvő, hogy csak a lesüllyedést, valamint a réteghez kapcsolódást (kaptivációt vagy befogást) tulajdonítsuk a társadalmi gravitációnak. A maradék átlépésekre azonban valami más magyarázatot kell keresni. Az a modell, amely a teljes társadalom mechanikájáért felel intuitív módon a taposó vizipólós nevet kaphatná. Ha a vízipólós nem mozog, akkor lesüllyed és megfullad. (Arra nincs mód, hogy felfeküdjön a vízre!) Ahogyan a vízipólós elsüllyed, mert állandóan hat rá a gravitáció, ugyanúgy minden egyedet az origó felé húz a társadalmi gravitáció. Ennek kiváló bizonyítéka, hogy a rétegződésben lejjebb álló rétegek létszáma általában nagyobb, mint a

32 3 feljebb állóké. Persze vannak kivételek, de például 199-ben az elit és az irodai réteg együtt 388, a paraszt és a munkás réteg együtt 671 fő volt. Más szóval a rétegződés farnehéz: a két alsó réteg 1,73-szor nehezebb, mint a felső rétegek együtt. De a lesüllyedésért nemcsak a társadalmi gravitáció felelős. A társadalmat nem lehet függetleníteni a természeti környezettől. Minden egyéb hatást állandónak véve egy magára hagyott egyén, vagy akár a társadalom is azonnal süllyedni kezd, mivel a természet általában spontán módon rombolja a javakat, a tudást és a hatalmat is. A javak rombolását a legkönnyebb belátni: a fukusimai földrengés, az aszályok, a balesetek, az épületek állagmegóvásának, a gépek karbantartásának elmulasztása automatikusan a javak pusztulásához vezetnek. A javak ugyanis fizikailag ki vannak téve a termodinamika II. tételének, vagyis annak, hogy elpusztuljanak. De ugyanígy vagyunk az ember egészségével is: az is spontán módon hanyatlik. Sok ember vesztette el státusát egészségének megromlása miatt. A tudást mivel fizikai hordozókon tárolják szintén állandóan rombolja a II. tétel érvénye. De rombolja az elavulás is: az ismeretek túlhaladottá válnak, és elvesztik társadalmi szerepüket. A hatalom talán az egyetlen, amelyet nem annyira a fizikai környezet és a fizikai hordozó pusztulása rombol, hanem alapvetően a társadalmi konfliktusok, amelyek a társadalom termodinamikájának lényegi részéhez tartoznak. Kimondható tehát a mobilitás első axiómája: I. AXIÓMA A magukra hagyott (nem cselekvő) egyének státusa a társadalmi gravitáció miatt az origó felé süllyed. A gravitációs vonzás bármely két egyed között fellép, és létrehozza az elemi kölcsönhatást, illetve annak valamilyen tört részét (ha az egyedek távolodnak egymástól, akkor vonzerő csökken): Gm0m 6.1 F e d F e 0, 0139 ahol: m 0 = az elemi tömeg; r = az egyed sugara d = r; k < kf e = az elemi hatás tört része Ez a hatás nem ad magyarázatot arra, hogy miért nem zuhan egyetlen rétegbe az összes egyed. Vagyis a ténylegesen megfigyelhető állapot: a különböző státusú rétegek léte, valamint a közöttük tapasztalható ellentétes mozgások a modell keretein belül magyarázatra szorulnak. Egy gondolatkísérlettel vezetem le a valós helyzetet. Gondoljuk el, hogy csak a társadalmi gravitáció hatna a rétegződésben. A hőmozgás ki van kapcsolva. Mivel a gravitációs kölcsönhatás végtelen távolban is hat, ezért elegendő idő után az összes egyed egyetlen kompakt csoportban egyesülne, ahol minden egyed a szomszédjától d távolságra lenne, vagyis a szomszédjaitól minimális távolságra. A nem közvetlen szomszédok távolabb lennének: minél nagyobb a csoport, annál távolabbra, mivel a térkitöltés nem teszi lehetővé, hogy 18 Lásd a C MELLÉLET A/ PONTJÁT 19 A finomszerkezeti állandó:1/137, de /137 = 0,01459 F 0, 0139 A hiba 5%. e

33 33 minden egyednek csak közvetlen szomszédjai legyenek. Mindenesetre mobilitásról szó sem lehetne. Ez egy fagyott társadalom volna. Továbbá az I. AXIÓMA miatt az egyedek kompakt csoportja közvetlenül az origó körüli térrészben helyezkedne el. Mint tudjuk, a való társadalmi helyzet nem mutat fagyott, mozdulatlan rétegződést az origó közvetlen környezetében annak ellenére, hogy állandó tendencia a deklasszálódás. Csak annyit tapasztalunk, hogy a társadalmi rétegződés farnehéz. II. AXIÓMA A társadalmi hőmozgás (felfelé irányuló mobilitás) megszüntethetetlen. Hatása ellentétes a társadalmi gravitáció hatásával. A társadalmi nyomás (a hőmozgás) feszíti ki a rétegződést, amely különben egyetlen rétegben olvadna össze. A hőmozgás szakítja ki az egyedeket (különösen azokat, amelyekre nem hat valamely közvetlen szomszéd vonzereje) a rétegükből, hogy aztán ha elég közel kerülnek véletlenszerű mozgásuk során valamelyik réteghez vagy egyedhez a gravitációs kölcsönhatás befogja őket. Összefoglalva: egy szabad egyedre háromféle erő hat: a társadalmi gravitációnak az origó felé való vonzása, ami állandóan süllyedni késztet minden egyedet: F Γ ; a társadalmi gravitációnak bármely két egyed között fellépő formája, amely létrehozza a kisebb csoportokat (párok; triádok, stb) vagy a rétegeket: Fg a társadalmi hőmozgás mozgási energiája: F T. Ha F Γ = F T, akkor stabil, vagy immobil helyzetről beszélünk. Ezek az egyedek rétegekbe csoportosulhatnak, és ők alkotják a mindenkori rétegeket, illetve a rétegződést. Az egy rétegbe tartozó egyedek egymás iránti vonzereje bonyolult módon összeadódik: F R. Ha F Γ < F T, akkor az egyed kiszakad a rétegéből, és mozogni kezd a rétegek közötti térben. Az ilyen egyedek alkotják a társadalmi mobilitás felfelé irányuló alrendszerét. Az egyed mindaddig mobil marad, amíg nem ütközik egy másik egyeddel vagy réteggel. Ha mozgási energiája kisebb, mint valamely réteg halmozott vonzereje, vagy mint az elemi vonzerő, akkor az egyedet befogja egy másik egyed, vagy egy másik réteg. Ha F Γ > F T + F R, akkor az egyed süllyedni kezd az origó felé.

34 34 B MELLÉKLET B.1. A STÁTUSSORREND MODELLEZÉSE A PATTOGÓ GOLYÓVAL B.1.1 ábra A lecsengő pattogás képe Az B.1.1. ábra egy h 0 magasságból leejtett, a talajjal rugalmasan ütköző golyó helyzetét ábrázolja az idő függvényében 0. Látható, hogy a golyó az energiaveszteség miatt egyre alacsonyabbra emelkedik, vagyis a magasságok a következő sorozattal írhatók le: B.1.1. h h h h n Az ejtési kísérletek szerint az egymás utáni magasságok q aránya állandó, vagyis mértani sorozatot alkotnak: B.1.. h h i í 1 q állandó (i = 1,,,n) Az arány nem függ a kezdeti magasságtól sem. Ezen a ponton bevezethetünk egy szociológiai analógiát. Ha a társadalmi státusokat csökkenő sorozatba rendezzük, akkor egy hasonló eloszlást kapunk. Vizsgáljunk meg egy ilyen eloszlást! 0 Baranyi Károly: A fizikai gondolkodás iskolája I. kötet, 116. oldal

35 35 Az empirikus és illesztett státusfüggvény 1,00 1,000 0,800 0,600 0,400 0,00 0, B.. ábra Az ábrán lépcsőzetes (lila) vonal jelenti az empirikus státusokat, a kék vonal pedig az előző vonalra illesztett függvényt. Az ismeretlen empirikus függvényt mérési hibákkal terheltnek tekintjük. Ha az illesztett függvény alapján számoljuk ki a q hányadost, akkor 0,997-et kapunk. A gravitáció fizikájából ismert, hogy az ugráló golyó két hatásnak van kitéve: J = a talaj által kifejtett összes impulzus; m 0 ga = a Föld vonzóereje által kifejtett összes erőlökés A idő alatt, ahol m 0 a golyó tömege, g a nehézségi gyorsulás. A két hatás közötti kapcsolat: B.1.3. J mga A fizikai modellben az A kiszámítható a következő összefüggések alapján: Az első esés időtartama: ahol: h 0 = 58,989 1 g = 0,0005 B.1.4. h g 0 t0 Az esési időtartamok sorozatának kvóciense: 1 Lásd: I. rész 13. oldal táblázatát! Lásd: I. rész 1. oldal!

36 36 B.1.5. t t i i1 q B.1.6. Mérési adatainkból A = sec. A 1 t 0 1 A A t B A golyót ért összes J impulzus nehezebben határozható meg. Az világos, hogy egyenlő a nehézkedési erő által A idő alatt kifejtett hatással, de ha nem ebből akarjuk meghatározni, akkor keresni kell a golyót ért impulzusokat, és összegezni kell őket. A lényeg az, hogy az impulzusok a nehézségi erő ellen hatnak. (Kivéve a később említendő viszkozitást.) Az egyik ilyen impulzus a hőmozgásból ered: úgy tekintem, hogy a társadalmi gravitáció minden státust 0-ra csökkentene, ha nem lenne a társadalmi rendszernek belső energiája, és ebből eredően hőmozgási impulzusa: B.1.8. v t 1,595 kt m 0 ahol: k = 0,138 T (hőmérséklet) = 530 K m 0 = 5043 B.1.9. Jt m0 v t Tudjuk továbbá, hogy minden egyed vonzza a többit, és ennek hatására szabadon esnek egymás felé. (Ha több egyed a vonzás hatására távolságminimumot ér el, akkor réteg alakul ki. Ennek vonzása miatt jön létre a mobilitás egy adott réteg irányában.) A szabadesés eredményeként elért sebesség (v s ) a golyó teljes útjából számítható ki: B S 1 h0 1 q S S h B A golyó által megtett összes út esetünkben: hosszúságegység (méter). Innen:

37 37 B.1.1. v 0, 080 s B J s m0 v s Lényeges továbbá, hogy az egyedek a társadalmi térben nem szabadon mozognak, hanem ütköznek egymással. Ez a társadalom-gáz belső súrlódása, viszkozitása (n). A viszkozitás impulzusveszteséget okoz. Ennek kiszámításakor: B n T Vagyis a viszkozitás hőmérséklet dimenziójú mennyiség. Ebből a hőmérséklet és az atomok átlagsebessége közötti kapcsolat alapján a viszkozitásból származó sebességcsökkenés 3 : A súrlódási impulzus: A teljes impulzus: B.1.15 B B v v = 0,04 m/sec. J v m0 J J J t s v v J v Átlagsebességekről van szó, ezért a fenti összefüggés az egész sokaságra, vagyis az 1058 darab státusra érvényes, vagyis a teljes impulzust a státusok számával: N-el is szorozni kell: J Nm( ) B.1.18 o vt vs vv A fenti összefüggésekből és adatokból: B J = = m 0 g A = 5043*0,0005* = Hiba% = (( )*100)/13601 = 1% A fenti levezetésből levonható az a megállapítás, hogy: létezik társadalmi szabadesés, ez viszont értelemszerűen a társadalmi tér és idő, a társadalmi tömeg, a társadalmi gravitáció meglétére utal. Vagyis újabb bizonyítékot kaptunk arra, hogy bizonyos fizikai és társadalmi jelenségek izomorfak egymással. 3 Fizikai összefoglaló: 355. oldal.

38 38 C. MELLÉKLET C.1. A TÁRSADALOM SZERKEZETI-DINAMIKAI KONSTANSÁRÓL When Ts'ao-shan left Tung-shan, Tung-shan asked him: "Where are you going?" Ts'ao-shan said: "To an unchanging place." Tung-shan retorted: "If it is an unchanging place, how can there be any going?" Ts'ao-shan replied: "The going is also unchanging." Tung-shan: "Five Houses of Zen" From "365 Buddha: Daily Meditations," edited by Jeff Schmidt. A társadalom létezésmódjának legnehezebben érthető tulajdonsága, hogy statikus és dinamikus szempontból ugyanolyan. (4) 4 Létezik ugyanis az emberi gondolkodásnak egy olyan tulajdonsága, amely szinte lehetetlenné teszi a valóság helyes felfogását. Ez a tulajdonság az, hogy rögzített fogalmakban gondolkodunk, ennélfogva gondolkodásunk sohasem lehet tökéletesen izomorf a változó valósággal. Ez annál is inkább lehetetlen, mert ellenőrizni csak azt vagyunk képesek, ami legalább az ellenőrzés tartamára állandó. Képesek vagyunk ugyan a mozgást is megfogalmazni (itt: fogalmilag megragadni), de azt is csak állandó formájában, mivel bármilyen fogalom befejezett és áll. A levés adekvát formájának megragadása fogalmilag lehetetlen. 5 Ezért szoktak a szemléltetéshez vagy szimulációhoz folyamodni, de itt is mindig marad valami állandó és merev: maga a szemléltetés eszköze és szabályai. Rendkívül nehéz még elképzelni is valami olyan entitást, amely állandóan mozog, változik, és magának a változásnak, mozgásnak a szabályai is végtelenül változhatnak. Ilyen entitás a társadalom. A tárgy nehézségére való tekintettel én is szemléltetéshez folyamodok: tekintsük bevezetésül a sakkjátékot! A tábla és a bábok alkotják a játék megfigyelhető vagy empirikus részét: bármikor képesek vagyunk megadni bármely bábu helyét a táblán. Van a játéknak egy nem megfigyelhető része is: ezek a szabályok. Ez a játék elméleti része. Ha összehasonlítjuk a sakkjátékot a társadalommal, akkor több hasonlóságot tapasztalhatunk. C.1.1. A bábuknak van élete és halála, akár az embereknek. Addig élnek, amíg a táblán vannak, utána és előtte halottak. Amikor új játszmát kezdünk, akkor egy új generáció születik. C.1.. A bábuk típusai (gyalog, futó, ló, stb.) a társadalmi osztályok, vagy rétegek, vagy 4 A szövegek végén zárójelbe tett számok az irodalomjegyzék tételeire vonatkoznak. 5 Látszólag ezek és a következő megállapítások a Zénon paradoxon mintájára kizárják a megismerést. Álláspontomat annyiban kell pontosítanom, hogy a megismerés csak befejezett folyamatokra végezhető el. A jövő örökre nyitott marad. Elvileg fennáll annak a lehetősége, hogy a termodinamikai analógia természet és társadalom között csak átmeneti érvényességű. A valóság örökre változatlan vagy változó volta filozófiai kérdés, amit itt nincsen módom kifejteni.

39 39 státusok. Ezek között a sakkban csak korlátozott mértékben van közlekedés: ismeretes, hogy ha a gyalog beérkezik az ellenkező szín alapvonalára, akkor becserélhető a királyon kívül bármelyik bábura. A társadalomban ez felel meg a mobilitásnak: valaki az egyik rétegből átlép a másikba. Ha megengednénk, hogy bizonyos feltételek mellett a többi bábú is átalakuljon, akkor a sakk menete még jobban hasonlítana a társadalmi mobilitásra. C.1.3. A sakktábla megfelel a kétdimenziós társadalmi térnek. Ha térbeli sakkjátékot játszhatnánk, akkor akár a JTH rendszernek is megfeleltethetnénk egy sakkockát. Ha megállítjuk gondolatban a játékot, akkor kapjuk a sakkban állásnak nevezett helyzetképet: minden bábúnak van valamilyen pozíciója a háromdimenziós térben. Ez megfelelhetne a társadalmi rétegződés vagy a státusrendszer fokozatainak. Beszélhetnénk például arról, hogy ebben a háromdimenziós térben minél közelebb van egy gyalog az ellenfél alapvonalához, annál magasabb státusú. C.1.4. Ha kötelezővé tennénk, hogy minden befejezett parti után kötelező újat kezdeni, akkor a sakk még nagyobb mértékben hasonlítana a társadalom mozgásához, mert gyakorlatilag ugyanolyan végtelenített és folyamatos lenne, mint a társadalom élete. De nem az a célom, hogy tökéletesen kifejtsem (vagy inkább kialakítsam) a sakknak, mint a társadalom egy modelljének az összes megfeleltetését. Csak arra törekszem, hogy megmutassam: az így felfogott sakkjáték minden egyes állása (vagyis az összes éppen játékban lévő bábu elhelyezkedése a táblán) kölcsönösen megfeleltethető az addig megtett összes lépések halmazának. Ez a sakkban triviális, hiszen csak úgy kerülhet egy mezőre bábu, ha odalép. Miért ne lenne triviális akkor ez a társadalomban? Más szóval: a státusrend vagy rétegződés szerkezete (vagy állás a sakkban) azonos a mobilitás szerkezetével (az összes lépések szerkezetével a sakkban). Más szavakkal: amíg a rétegződés a társadalom pillanatnyi állapotát fejezi ki, addig a mobilitásban a társadalom rétegződésének története jelenik meg elvont formában. Ennek a különleges viszonynak a természetes kifejeződése a konstans lenne, ha találnánk ilyent. A következőben végighaladok azon a gondolatmeneten, amely alapján egy ilyen konstans felállítható. Tekintsük a társadalom térfogatát leíró determinánst, ahogyan azt az I. Részben definiáltuk! Tudjuk, hogy az ebben szereplő koordinátákhoz minőségi megnevezések vagy jelentések tapadnak: Elit, Munkás, stb. A mobilitási táblában ugyanezek a minőségi megnevezések vannak felsorolva, és a táblázat belsejében azok az átlépések vannak feltüntetve, amelyeket úgy tekintünk, hogy vagy a térfogati tetraéder belsejében, vagy az idom élei mentén mennek végbe. Kézenfekvő, hogy a két leírás: a térfogat és a mobilitás ugyanabban az időpontban ugyanazt ábrázolja: az egyének elhelyezkedését a minőségileg felfogott rétegződésben. Ha viszont ugyanazt ábrázolják, akkor ennek mennyiségileg is meg kell jelennie egy konstans viszony formájában. Vizsgáljuk meg az 199-es térfogatot és mobilitást! Vezessük be a következő jelöléseket! K = a V térfogatban szereplő koordináták kibővített mátrixa; D K = K determinánsa = 6V = 6*3758 = 548 M = a mobilitási mátrix; D M = M determinánsa =

40 40 Az 199-es rétegződés térfogata: V j t h jth1 C.1. V j t h j t h 1 3 Elit Irodai Munkás Paraszt Elit Irodai Munkás Paraszt Determináns C. 1. táblázat Az 199-es mobilitási mátrix: M A következőképpen írhatjuk fel a konstansra vonatkozó hipotézisünket: D fd C.. M K ahol: f = léptékfüggvény. C.3. f 10 amely felhasználja, hogy kapcsolat van a mobilitási tábla determinánsának és a térfogatnak a nagyságrendje között, és ahol: μ = D M nagyságrendje; κ = D K nagyságrendje. A képletnek megfelelően, ha a térfogati determináns (548) tízezres, a mobilitási determináns ( ) pedig milliós nagyságrendű, akkor: f = 100. Próba: C * 548 A hányadost szerkezeti-dinamikai konstansnak, vagy -nak nevezzük. Ez tehát 6 Az eredeti adatfelvételben nem az apa 1938-as foglalkozása van rögzítve, hanem az apának a fia 15 éves kora idején betöltött foglalkozását jegyezték fel. Ezeket én egységesen és önkényesen 1938-ra vonatkoztattam, vagyis úgy tekintettem, hogy a mintában minden fiú 1938-ban volt 15 éves. (38)

41 41 mennyiségileg fejezi ki, hogy milyen viszony van a térfogat (JTH térbeli státusrend) és a mobilitás között ugyanabban az időintervallumban. C.. A SZABAD ÚTHOSSZ, A TÁRSADALMI MOBILITÁS ÉS A TÁRSADALOM TÉRFOGATÁNAK ÖSSZEFÜGGÉSEI A társadalom termodinamikai modelljének eszméjéről akkor derül ki, hogy nem öncélú játék, amikor kiaknázzuk a kinetikus modell belső kapcsolatait. A társadalom sajátos megközelítési korlátjai miatt ugyanis nincs mindig mód arra, hogy a kinetikai modell alapvető paramétereit megismerjük. Sőt a problémák duplázódnak, mert sok esetben, ha ismerjük a paramétereket a mintában, nem ismerjük a teljes társadalomra nézve. Például gyakori, hogy habár nem ismerjük a társadalom térfogatát, ismerjük a rá érvényes mobilitási táblát, vagy fordítva. Olyan eset is előfordulhat, hogy egyiket sem ismerjük, de ismerjük az un. szabad úthosszt, azt a távolságot, amelyet az egyén anélkül tesz meg, hogy beleütközne egy másik egyénbe vagy valamilyen természetes, de társadalmi akadályba. Ez utóbbi alatt szűkebb értelemben olyan társadalmi képződményt értek, mint például a lakás falai, a település épületei. Tágabb értelemben társadalmi akadály lehet a település nem látható határa, vagy a magánterületet jelző tábla. Ezek a gázelméletből ismert molekula és tartályfogalom társadalmi megfelelői. Ennek értelmében a molekulák kolliziójának a társadalmi konfliktus, az egyén és a tartály fala közötti ütközésnek pedig a szűkebb vagy tágabb lakóhelyek határai felelnek meg. A három említett paraméter térfogat, mobilitás, szabad úthossz közötti kapcsolatok nemcsak arra jók, hogy több irányból legyünk képesek eljutni egy ismeretlen paraméterhez, hanem arra is, hogy további párhuzamokkal erősítsük meg az analógiát, valamint a benne rejlő magyarázó erőt kiterjesszük új, eddig nem tárgyalt társadalmi jelenségekre is. Először is definiálnunk kell az átlagos szabad úthosszt. (A térfogat és mobilitás fogalmával az I. Részben foglalkoztunk.) A átlagos szabad úthossz a gázok kinetikus modelljében az a távolság, amit egy gázmolekula anélkül tesz meg, hogy ütközne egy másik molekulával vagy a tartály falával. A társadalomban annak az átlagos távolságnak felel meg, amely két egyén két egymás utáni összeütközésének helye, vagy általában az egyénnek valamilyen társadalmi akadállyal való két ütközési helye között húzódik: C..1. Nd V ahol: V = a társadalom térfogata a mintában; N = a társadalom egyedeinek száma; d = az egyén átmérője. (A definíciót lásd alább: C..1..!) A C..1. összefüggés azt mondja ki, hogy ha az egyedszám (valamint az egyed mérete) állandó, akkor az átlagos szabad úthossz és a térfogat között egyenes arányosság van. A következőkben megmutatom, hogy, V és M között tapasztalati összefüggések állak fent:

42 4 C..1 A SZABAD ÚTHOSSZ ÉS A TÉRFOGAT KAPCSOLATA A TÁRSADALOMBAN A részecske átmérőjét a státussorrend pattogó golyó modelljéből 7 származó paraméter: a státustávolságok összege alapján számítottam ki. A golyó által megtett összes út: méter. Az átmérő kiszámításához szükséges továbbá annak a tapasztalati tételnek felhasználása is, hogy a gáz a rendelkezésre álló teljes térfogatot kitölti. Tehát ha egy részecske befutja az összes státustávolságot, egyúttal befutja a teljes térfogatot is. Ennek megfelelően felírható: C..1.. V r s ahol r = az egyed sugara, amely jelen esetben: 0,174 m. (d = 0,349 m) Innen (3) 8 alapján az átlagos szabad úthossz az 199-es mintában: C ,945m C... A SZABAD ÚTHOSSZ ÉS A MOBILITÁSI TÁBLA DETERMINÁNSA KÖZÖTTI KAPCSOLAT A (C..1.1), (C..1.) és (C..1.3.) összehasonlításából kapjuk: C...1 D M 1fNd vagy: C... D M 5,640*10 6 d Az 199-es mobilitási tábla determinánsához viszonyítva a hiba kisebb, mint százalék. 7 Lásd a B Mellékletet! 8 A gázmolekulák átlagos átmérője: 1,75*10-10 m. Holics: Fizika/ II/945. old.

Hőtan I. főtétele tesztek

Hőtan I. főtétele tesztek Hőtan I. főtétele tesztek. álassza ki a hamis állítást! a) A termodinamika I. főtétele a belső energia változása, a hőmennyiség és a munka között állaít meg összefüggést. b) A termodinamika I. főtétele

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei

Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei Belső energia, hőmennyiség, munka Hőtan főtételei Ideális gázok részecske-modellje (kinetikus gázmodell) Az ideális gáz apró pontszerű részecskékből áll, amelyek állandó, rendezetlen mozgásban vannak.

Részletesebben

Fizika példák a döntőben

Fizika példák a döntőben Fizika példák a döntőben F. 1. Legyen két villamosmegálló közötti távolság 500 m, a villamos gyorsulása pedig 0,5 m/s! A villamos 0 s időtartamig gyorsuljon, majd állandó sebességgel megy, végül szintén

Részletesebben

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása

A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása Nyomaték (x 0 Nm) O k t a t á si Hivatal A II. kategória Fizika OKTV mérési feladatainak megoldása./ A mágnes-gyűrűket a feladatban meghatározott sorrendbe és helyre rögzítve az alábbi táblázatban feltüntetett

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Termodinamika. Belső energia

Termodinamika. Belső energia Termodinamika Belső energia Egy rendszer belső energiáját az alkotó részecskék mozgási energiájának és a részecskék közötti kölcsönhatásból származó potenciális energiák teljes összegeként határozhatjuk

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1

1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 1 Műszaki hőtan Termodinamika. Ellenőrző kérdések-02 1 Kérdések. 1. Mit mond ki a termodinamika nulladik főtétele? Azt mondja ki, hogy mindenegyes termodinamikai kölcsönhatáshoz tartozik a TDR-nek egyegy

Részletesebben

Statisztikai alapfogalmak

Statisztikai alapfogalmak i alapfogalmak statisztikai sokaság: a megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége 2 csoportja van: álló sokaság: mindig vmiféle állapotot, állományt fejez ki, adatai egy adott időpontban értelmezhetők

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. november 5. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól követhetően

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

2. Rugalmas állandók mérése

2. Rugalmas állandók mérése 2. Rugalmas állandók mérése Klasszikus fizika laboratórium Mérési jegyzőkönyv Mérést végezte: Vitkóczi Fanni Jegyzőkönyv leadásának időpontja: 2012. 12. 15. I. A mérés célja: Két anyag Young-modulusának

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

Ideális gáz és reális gázok

Ideális gáz és reális gázok Ideális gáz és reális gázok Fizikai kémia előadások 1. Turányi Tamás ELTE Kémiai Intézet Állaotjelzők állaotjelző: egy fizikai rendszer makroszkoikus állaotát meghatározó mennyiség egykomonensű gázok állaotjelzői:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével IgyR - 3/1 p. 1/20 Integrált Gyártórendszerek - MSc Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék IgyR - 3/1 p. 2/20

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint 0622 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. november 7. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai

Részletesebben

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél

Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,

Részletesebben

Digitális tananyag a fizika tanításához

Digitális tananyag a fizika tanításához Digitális tananyag a izika tanításához Gázok állaotjelzői Adott mennyiségű gáz állaotjelzői: Nyomás: []=Pa=N/m Térogat []=m 3 Hőmérséklet [T]=K; A gázok állaotát megadó egyéb mennyiségek: tömeg: [m]=g

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás Statisztika 3. előadás Statisztika fogalma Gyakorlati tevékenység Adatok összessége Módszertan A statisztika, mint gyakorlati tevékenység a tömegesen előforduló jelenségek egyedeire vonatkozó információk

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18.

Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18. Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 28. március 18. A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia Értékelés: A beadás dátuma: 28. március 26. A mérést végezte: 1/7 A mérés leírása:

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

1. feladat Alkalmazzuk a mólhő meghatározását egy gázra. Izoterm és adiabatikus átalakulásokra a következőt kapjuk:

1. feladat Alkalmazzuk a mólhő meghatározását egy gázra. Izoterm és adiabatikus átalakulásokra a következőt kapjuk: Válaszoljatok a következő kérdésekre: 1. feladat Alkalmazzuk a mólhő meghatározását egy gázra. Izoterm és adiabatikus átalakulásokra a következőt kapjuk: a) zéró izoterm átalakulásnál és végtelen az adiabatikusnál

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Rezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz?

Rezgés tesztek. 8. Egy rugó által létrehozott harmonikus rezgés esetén melyik állítás nem igaz? Rezgés tesztek 1. Egy rezgés kitérés-idő függvénye a következő: y = 0,42m. sin(15,7/s. t + 4,71) Mekkora a rezgés frekvenciája? a) 2,5 Hz b) 5 Hz c) 1,5 Hz d) 15,7 Hz 2. Egy rezgés sebesség-idő függvénye

Részletesebben

Mágneses mező tesztek. d) Egy mágnesrúd északi pólusához egy másik mágnesrúd déli pólusát közelítjük.

Mágneses mező tesztek. d) Egy mágnesrúd északi pólusához egy másik mágnesrúd déli pólusát közelítjük. Mágneses mező tesztek 1. Melyik esetben nem tapasztalunk vonzóerőt? a) A mágnesrúd északi pólusához vasdarabot közelítünk. b) A mágnesrúd közepéhez vasdarabot közelítünk. c) A mágnesrúd déli pólusához

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete

Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete Mérés célja: 1909-ben ezt a mérést Robert Millikan végezte el először. Mérése során meg tudta határozni az elemi részecskék töltését. Ezért a felfedezéséért Nobel-díjat

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Gáztörvények tesztek

Gáztörvények tesztek Gáztörvények tesztek. Azonos fajtájú ideális gáz különböző mennyiségei töltenek ki két hőszigetelt tartályt. Az egyik gázmennyiség jellemzői,,, a másiké,,. A két tartályt összenyitjuk. Melyik állítás igaz?

Részletesebben

Gáztörvények tesztek. 2. Azonos fajtájú ideális gáz különböző mennyiségei töltenek ki két hőszigetelt tartályt. Az egyik

Gáztörvények tesztek. 2. Azonos fajtájú ideális gáz különböző mennyiségei töltenek ki két hőszigetelt tartályt. Az egyik Gáztörvények tesztek. Azonos fajtájú ideális gáz különböző mennyiségei töltenek ki két hőszigetelt tartályt. Az egyik gázmennyiség jellemzői,,, a másiké,,. A két tartályt összenyitjuk. Melyik állítás igaz?

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Termodinamika. 1. rész

Termodinamika. 1. rész Termodinamika 1. rész 1. Alapfogalmak A fejezet tartalma FENOMENOLÓGIAI HŐTAN a) Hőmérsékleti skálák (otthoni feldolgozással) b) Hőtágulások (otthoni feldolgozással) c) A hőmérséklet mérése, hőmérők (otthoni

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

A gáz halmazállapot. A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011

A gáz halmazállapot. A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 2011 A gáz halmazállapot A bemutatót összeállította: Fogarasi József, Petrik Lajos SZKI, 0 Halmazállapotok, állapotjelzők Az anyagi rendszerek a részecskék közötti kölcsönhatásoktól és az állapotjelzőktől függően

Részletesebben

Ellenállásmérés Ohm törvénye alapján

Ellenállásmérés Ohm törvénye alapján Ellenállásmérés Ohm törvénye alapján A mérés elmélete Egy fémes vezetőn átfolyó áram I erőssége egyenesen arányos a vezető végpontjai közt mérhető U feszültséggel: ahol a G arányossági tényező az elektromos

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek

Andó Mátyás Felületi érdesség matyi.misi.eu. Felületi érdesség. 1. ábra. Felületi érdességi jelek 1. Felületi érdesség használata Felületi érdesség A műszaki rajzokon a geometria méretek tűrése mellett a felületeket is jellemzik. A felületek jellemzésére leginkább a felületi érdességet használják.

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Láthatósági kérdések

Láthatósági kérdések Láthatósági kérdések Láthatósági algoritmusok Adott térbeli objektum és adott nézőpont esetén el kell döntenünk, hogy mi látható az adott alakzatból a nézőpontból, vagy irányából nézve. Az algoritmusok

Részletesebben

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. 1 Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. Feladat Egy G gépkocsi állandó v 0 nagyságú sebességgel egyenes úton

Részletesebben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek 2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

Thomson-modell (puding-modell)

Thomson-modell (puding-modell) Atommodellek Thomson-modell (puding-modell) A XX. század elejére világossá vált, hogy az atomban található elektronok ugyanazok, mint a katódsugárzás részecskéi. Magyarázatra várt azonban, hogy mi tartja

Részletesebben

Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk

Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk Haladó mozgások A hely és a mozgás viszonylagos. A testek helyét, mozgását valamilyen vonatkoztatási ponthoz, vonatkoztatási rendszerhez képest adjuk meg, ahhoz viszonyítjuk. pl. A vonatban utazó ember

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint 1011 É RETTSÉGI VIZSGA 010. október 8. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint,

Részletesebben

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI 19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,

Részletesebben

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. osárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt. A feladat Az 1. ábrán [ 1 ] egy tornaterem hosszmetszetét

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október 7. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint,

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára

Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára Ábragyűjtemény levelező hallgatók számára Ez a bemutató a tanszéki Fizika jegyzet kiegészítése Mechanika I. félév 1 Stabilitás Az úszás stabilitása indifferens a stabil, b labilis S súlypont Sf a kiszorított

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Kisciklusú fárasztóvizsgálatok eredményei és energetikai értékelése

Kisciklusú fárasztóvizsgálatok eredményei és energetikai értékelése Kisciklusú fárasztóvizsgálatok eredményei és energetikai értékelése Tóth László, Rózsahegyi Péter Bay Zoltán Alkalmazott Kutatási Közalapítvány Logisztikai és Gyártástechnikai Intézet Bevezetés A mérnöki

Részletesebben

Hő- és füstelvezetés, elmélet-gyakorlat

Hő- és füstelvezetés, elmélet-gyakorlat Hő- és füstelvezetés, elmélet-gyakorlat Mérnöki módszerek alkalmazásának lehetőségei Szikra Csaba tudományos munkatárs BME Építészmérnöki Kar Épületenergetikai és Épületgépészeti Tanszék szikra@egt.bme.hu

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai

Hidrosztatika. Folyadékok fizikai tulajdonságai Hidrosztatika A Hidrosztatika a nyugalomban lévő folyadékoknak a szilárd testekre, felületekre gyakorolt hatásával foglalkozik. Tárgyalja a nyugalomban lévő folyadékok nyomásviszonyait, vizsgálja a folyadékba

Részletesebben

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA

EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA EGYENES VONALÚ MOZGÁSOK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSA 1. A kinematika és a dinamika tárgya. Egyenes onalú egyenletes mozgás a) Kísérlet és a belőle leont köetkeztetés b) A mozgás jellemző grafikonjai

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1 Cél:

Részletesebben

TANMENET FIZIKA. 10. osztály. Hőtan, elektromosságtan. Heti 2 óra

TANMENET FIZIKA. 10. osztály. Hőtan, elektromosságtan. Heti 2 óra TANMENET FIZIKA 10. osztály Hőtan, elektromosságtan Heti 2 óra 2012-2013 I. Hőtan 1. Bevezetés Hőtani alapjelenségek 1.1. Emlékeztető 2. 1.2. A szilárd testek hőtágulásának törvényszerűségei. A szilárd

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Pszichometria Szemináriumi dolgozat

Pszichometria Szemináriumi dolgozat Pszichometria Szemináriumi dolgozat 2007-2008. tanév szi félév Temperamentum and Personality Questionnaire pszichometriai mutatóinak vizsgálata Készítette: XXX 1 Reliabilitás és validitás A kérd ívek vizsgálatának

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek.

A test tömegének és sebességének szorzatát nevezzük impulzusnak, lendületnek, mozgásmennyiségnek. Mozgások dinamikai leírása A dinamika azzal foglalkozik, hogy mi a testek mozgásának oka, mitől mozognak úgy, ahogy mozognak? Ennek a kérdésnek a megválaszolása Isaac NEWTON (1642 1727) nevéhez fűződik.

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben