Kronecker-modulusok kombinatorikája és alkalmazások
|
|
- Gyula Dobos
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Kronecker-modulusok kombinatorikája és alkalmazások BBTE, Magyar Matematika es Informatika Intézet
2 Tegezek Meghatározás Egy Q tegez egy irányított multigráf (két csomópont között több irányított él is lehet, illetve hurkok létezése is megengedett). Példa
3 Utak a tegezben Meghatározás Legyen Q egy tegez és a, b csomópontok. Egy l 1 hosszúságú út a-ból b-be egy olyan (a α 1,α 2,...,α l b) élsorozat, ahol minden α i élre igaz, hogy az α i nyíl eleje egybeesik az α i+1 nyíl végével. Minden a csomóponthoz hozzárendelünk egy l = 0 hosszúságú utat, a triviális vagy stacionárius utat.
4 Tegez útalgebrája Meghatározás A Q tegez kq útalgebrája egy olyan k-algebra, ahol a k-vektortérnek a bázisát az (a α 1,α 2,...,α l b), l 0 utak alkotják és ahol két bázisvektor szorzata a megfelel utak összetevését jelenti. Vagyis az (a α 1,α 2,...,α l b) és (c β 1,β 2,...,β k d) utak szorzata (a α 1,α 2,...,α l b)(c β 1,β 2,...,β l d) = = δ bc (a α 1,α 2,...,α l,β 1,β 2,...,β k d) (ahol δ bc a Kronecker-delta).
5 Tegez reprezentációja Meghatározás Legyen Q egy véges tegez. A Q k-lineáris reprezentációja (vagy csak egyszer en reprezentációja) a következ t jelenti: (1) Q minden egyes a csomópontjához egy M a k-vektortért rendelünk. (2) Minden egyes α : a b élhez egy megfelel ϕ α : M a M b k-lineáris függvényt rendelünk.
6 A Kronecker-tegez és a Kronecker-algebra Meghatározás A Kronecker-tegez: Meghatározás. A Kronecker-algebra izomorf a Kronecker-tegez útalgebrájával. [ ] k 0 A Kronecker-algebrának k 2 alakú elemei vannak, vagyis k ( ) v es alakú mátrixok, ahol v,w k, (u 1, u 2 ) w (u 1, u 2 ) k 2. A szorzás a következ módon történik: ( d 0 (u 1, u 2 ) c )( f 0 (v 1, v 2 ) e ) ( = df 0 (u 1 f + v 1 c, u 2 f + v 2 c) ce ).
7 A Kronecker-tegez és a Kronecker-algebra Meghatározás A Kronecker-tegez: Meghatározás. A Kronecker-algebra izomorf a Kronecker-tegez útalgebrájával. [ ] k 0 A Kronecker-algebrának k 2 alakú elemei vannak, vagyis k ( ) v es alakú mátrixok, ahol v,w k, (u 1, u 2 ) w (u 1, u 2 ) k 2. A szorzás a következ módon történik: ( d 0 (u 1, u 2 ) c )( f 0 (v 1, v 2 ) e ) ( = df 0 (u 1 f + v 1 c, u 2 f + v 2 c) ce ).
8 A Kronecker-tegez és a Kronecker-algebra Meghatározás A Kronecker-tegez: Meghatározás. A Kronecker-algebra izomorf a Kronecker-tegez útalgebrájával. [ ] k 0 A Kronecker-algebrának k 2 alakú elemei vannak, vagyis k ( ) v es alakú mátrixok, ahol v,w k, (u 1, u 2 ) w (u 1, u 2 ) k 2. A szorzás a következ módon történik: ( d 0 (u 1, u 2 ) c )( f 0 (v 1, v 2 ) e ) ( = df 0 (u 1 f + v 1 c, u 2 f + v 2 c) ce ).
9 A Kronecker-modulus Meghatározás A Kronecker-modulus egy véges dimenziós jobboldali modulus a Kronecker-algebra fölött. Minden M Kronecker-modulust azonosíthatunk a Kronecker-tegeznek egy ( X 1 X 2 ϕ 2 ϕ 1 ) reprezentációjával. Itt X 1 és X 2 véges dimenziós k-vektorterek és ϕ 1, ϕ 2 k-lineáris függvények, amiknek felírhatjuk a mátrixszát a kanonikus bázisban. A reprezentációból a Kronecker-modulust a következ módon kapjuk vissza: a vektortér M = X 1 X 2, a jobboldali csoporthatás pedig : M A M, ahol ( (x 1, x 2 ) λ 0 (u 1, u 2 ) µ ) = (x 1 λ + ϕ 1 (x 2 )u 1 + ϕ 1 (x 2 )u 2, x 2 µ).
10 A Kronecker-modulus Meghatározás A Kronecker-modulus egy véges dimenziós jobboldali modulus a Kronecker-algebra fölött. Minden M Kronecker-modulust azonosíthatunk a Kronecker-tegeznek egy ( X 1 X 2 ϕ 2 ϕ 1 ) reprezentációjával. Itt X 1 és X 2 véges dimenziós k-vektorterek és ϕ 1, ϕ 2 k-lineáris függvények, amiknek felírhatjuk a mátrixszát a kanonikus bázisban. A reprezentációból a Kronecker-modulust a következ módon kapjuk vissza: a vektortér M = X 1 X 2, a jobboldali csoporthatás pedig : M A M, ahol ( (x 1, x 2 ) λ 0 (u 1, u 2 ) µ ) = (x 1 λ + ϕ 1 (x 2 )u 1 + ϕ 1 (x 2 )u 2, x 2 µ).
11 Felbonthatatlan Kronecker-modulusok A felbonthatatlan Kronecker-modulusok három családba sorolhatók: 1 a preprojektívek, 2 a regulárisok, 3 a preinjektívek. A Kronecker-modulusok kategóriájának jelölése: mod-kk.
12 Felbonthatatlan Kronecker-modulusok A felbonthatatlan Kronecker-modulusok három családba sorolhatók: 1 a preprojektívek, 2 a regulárisok, 3 a preinjektívek. A Kronecker-modulusok kategóriájának jelölése: mod-kk.
13 Felbonthatatlan Kronecker-modulusok A felbonthatatlan Kronecker-modulusok három családba sorolhatók: 1 a preprojektívek, 2 a regulárisok, 3 a preinjektívek. A Kronecker-modulusok kategóriájának jelölése: mod-kk.
14 Felbonthatatlan Kronecker-modulusok A felbonthatatlan Kronecker-modulusok három családba sorolhatók: 1 a preprojektívek, 2 a regulárisok, 3 a preinjektívek. A Kronecker-modulusok kategóriájának jelölése: mod-kk.
15 Felbonthatatlan Kronecker-modulusok A felbonthatatlan Kronecker-modulusok három családba sorolhatók: 1 a preprojektívek, 2 a regulárisok, 3 a preinjektívek. A Kronecker-modulusok kategóriájának jelölése: mod-kk.
16 Felbonthatatlan Kronecker-modulusok Preinjektív Preprojektív dualitás egységmátrix n-ed rendű Jordan-blokk (0 sajátértékkel) Reguláris és (ha a test algebrailag zárt)
17 Kronecker-modulusok felbontása Tétel (Krull-Schmidt) Minden in M mod-kk Kronecker-modulus a következ módon bontható fel egyedi módon (izomorzmus erejéig): ahol: M = (P c1 P cn ) ( p P 1 R p (µ (p) )) (I d1 I dm ), k 1 (c 1,...,c n ) véges, nemnegatív egész számokból álló növekv sorozat, 2 µ (p) = (µ 1,..., µ t ) partíció, ahol p P 1 k R p (µ (p) ) = R p (µ 1 ) R p (µ t ), (vagy p k { }) és 3 (d 1,...,d m ) véges, nemnegatív egész számokból álló csökken sorozat. Meghatározás Az el bbi (1), (2), (3) pontoknál felsorolt egész számokat nevezzük az M modulus Kronecker-invariánsainak. Ezek az invariánsok (izomorzmus erejéig) meghatározzák az M Kronecker-modulust.
18 Kronecker-modulusok felbontása Tétel (Krull-Schmidt) Minden in M mod-kk Kronecker-modulus a következ módon bontható fel egyedi módon (izomorzmus erejéig): ahol: M = (P c1 P cn ) ( p P 1 R p (µ (p) )) (I d1 I dm ), k 1 (c 1,...,c n ) véges, nemnegatív egész számokból álló növekv sorozat, 2 µ (p) = (µ 1,..., µ t ) partíció, ahol p P 1 k R p (µ (p) ) = R p (µ 1 ) R p (µ t ), (vagy p k { }) és 3 (d 1,...,d m ) véges, nemnegatív egész számokból álló csökken sorozat. Meghatározás Az el bbi (1), (2), (3) pontoknál felsorolt egész számokat nevezzük az M modulus Kronecker-invariánsainak. Ezek az invariánsok (izomorzmus erejéig) meghatározzák az M Kronecker-modulust.
19 Hom(X, Y ) Hom(R, P) = Hom(I, P) = Hom(I, R) = 0. P R I P R I
20 P P I I Kronecker-modulusok Tétel (Szántó Cs.) Legyen P := P d1... P dn és P := P c1... P cm, ahol 0 c 1... c m és 0 d 1... d n. Akkor P P ci 1 <d j (d j + 1) (c i + 1) (c m + 1) minden i {1,...,m}-re. (c 0 = 1 és az üres összeg értéke 0).
21 P P I I Kronecker-modulusok A következ multiplikatív jelölést használva: P = (a 0 P 0 )... (a n P n )... P = (b 0 P 0 )... (b n P n )... azt kapjuk, hogy P P akkor és csak akkor, ha a 0 + 2a (n + 1)a n b 0 + 2b (n + 1)b n 2a (n + 1)a n 2b (n + 1)b n... (n + 1)a n (n + 1)b n.
22 I I Kronecker-modulusok Tétel (Szántó Cs., Szöll si I.) Legyenek d 1... d n > 0 és c 1... c m > 0 csökken sorozatok. I d1... I dn di 0 I c1... I cm ci 0 d c és d i d n cj d i c j minden i = {1,...,n}-re (az üres összeg értéke 0).
23 I I Kronecker-modulusok A következ multiplikatív jelölést használva: I = (a 0 I 0 )... (a n I n )..., I = (b 0 I 0 )... (b n I n )... azt kapjuk, hogy I I akkor és csak akkor, ha a 0 b 0 a 1 b 1 a 1 + 2a 2 b 1 + 2b 2... a 1 + 2a na n b 1 + 2b nb n.
24 Rövid egzakt sorok [M] - az M mod-kk izomorzmusosztálya. Tétel (Szántó Cs.) Legyenek I i és I j felbonthatatlan preinjektív Kronecker-modulusok. Akkor és csak akkor létezik egy 0 I j I I i 0 rövid egzakt sor, ha { {[Ii I j ]} i j 1 [I ] {[I j I i ],[I j 1 I i+1 ],...,[I j [ j i 2 ] I. i+[ j i 2 ]]} i j < 1 Tétel (Szántó Cs.) Legyenek P i és P j felbonthatatlan preprojektív Kronecker-modulusok. Akkor és csak akkor létezik egy 0 P j P P i 0 rövid egzakt sor, ha { {[Pi P j ]} i j 1 [P] {[P j P i ],[P j+1 P i 1 ],...,[P j+[ i j 2 ] P. i [ i j 2 ]]} i j > 1
25 Rövid egzakt sorok [M] - az M mod-kk izomorzmusosztálya. Tétel (Szántó Cs.) Legyenek I i és I j felbonthatatlan preinjektív Kronecker-modulusok. Akkor és csak akkor létezik egy 0 I j I I i 0 rövid egzakt sor, ha { {[Ii I j ]} i j 1 [I ] {[I j I i ],[I j 1 I i+1 ],...,[I j [ j i 2 ] I. i+[ j i 2 ]]} i j < 1 Tétel (Szántó Cs.) Legyenek P i és P j felbonthatatlan preprojektív Kronecker-modulusok. Akkor és csak akkor létezik egy 0 P j P P i 0 rövid egzakt sor, ha { {[Pi P j ]} i j 1 [P] {[P j P i ],[P j+1 P i 1 ],...,[P j+[ i j 2 ] P. i [ i j 2 ]]} i j > 1
26 Rövid egzakt sorok [M] - az M mod-kk izomorzmusosztálya. Tétel (Szántó Cs.) Legyenek I i és I j felbonthatatlan preinjektív Kronecker-modulusok. Akkor és csak akkor létezik egy 0 I j I I i 0 rövid egzakt sor, ha { {[Ii I j ]} i j 1 [I ] {[I j I i ],[I j 1 I i+1 ],...,[I j [ j i 2 ] I. i+[ j i 2 ]]} i j < 1 Tétel (Szántó Cs.) Legyenek P i és P j felbonthatatlan preprojektív Kronecker-modulusok. Akkor és csak akkor létezik egy 0 P j P P i 0 rövid egzakt sor, ha { {[Pi P j ]} i j 1 [P] {[P j P i ],[P j+1 P i 1 ],...,[P j+[ i j 2 ] P. i [ i j 2 ]]} i j > 1
27 Rövid egzakt sorok Tétel (Szántó Cs., Szöll si I.) Legyenek a 1...a p 0, b 1 b n 0 és c 1 c r 0 csökken sorozatok. Akkor és csak akkor létezik egy 0 I b 1 I b n I c 1 I c r I a 1 I a p 0 alakú rövid egzakt sor, ha r = n + p, β : {1,...,n} {1,...,n + p}, α : {1,...,p} {1,...,n + p} szigorúan növekv függvények úgy, hogy Imα Imβ = /0 és m i j 0, 1 i n, 1 j p úgy, hogy l {1,...,n + p}-re teljesül a következ összefüggés: b i β (i)<α(j) m i, j where i = β 1 (l) l Imβ 1 j p c l = a j + β (i)<α(j) m i, j where j = α 1 (l) l Imα. 1 i n
28 Rövid egzakt sorok Példa 0 I 9 I 6 I 4 I 7 I 5 I 5 I 4 I 4 I 4 I 2 I 1 I 7 I 3 I 2 I 1 I 0 0.
29 Rövid egzakt sorok Tétel (Szöll si I.) Legyenek a 1...a p 0, b 1 b n 0, c 1 c r 0 csökken sorozatok és B j = {l {0,...,n} l k=1 b k + j k=1 a k l+j k=1 c k} minden 1 j p-re. Akkor és csak akkor létezik egy 0 I b 1 I b n I I a 1 I a p 0 alakú rövid egzakt sor, ha [I ] = [I c 1 I c r ], r = p + n, r i=1 c i = p i=1 a i + n i=1 b i, B j /0, a j c αj és b i c βi minden 1 j p és 1 i n értérke, ahol α j = { minb j = 1 max{α j 1 + 1,minB j + j} 1 < j p és β i = { min{l {1,...,r} l α j,1 j p} i = 1 min{l {β i 1 + 1,...,r} l α j,1 j p} 1 < i n.
30 Rövid egzakt sorok Megjegyzés: Lineáris idej algoritmussal eldönthet, hogy egy adott középs tag megfelel-e a tételben szerepl követelményeknek.
31 Rövid egzakt sorok
32 Rövid egzakt sorok
33 Rövid egzakt sorok
34 Rövid egzakt sorok
35 Rövid egzakt sorok
36 Rövid egzakt sorok
37 Rövid egzakt sorok
38 Rövid egzakt sorok
39 Rövid egzakt sorok
40 Rövid egzakt sorok
41 Rövid egzakt sorok
42 Rövid egzakt sorok
43 Az algoritmus Algorithm 1: IsPreinjectiveExt(I, I, I ) input output: if : Preinjective Kronecker modules I, I and I, where I = I b 1 I bn, I = I a 1 Iam I = I c 1 Icp and m,n,p > 0. { True if I is a midde term in Ext 1 (I,I ). False otherwise m+n p then return False S a,s b,s c 0; j,i 1; for t 1 to p do S c S c + c t ; if j m and a j c t and S a + S b + a j S c then S a S a + a j ; j j + 1; if else if i n and b i c t and S a + S b + b i S c then S b S b + b i ; i i + 1; else return False; S a + S b S c then return False; else return True;
44 Az összes középs tag generálása Az összes középs tag (b vítés) generálására backtracking algoritmust használhatunk. A megoldástér az s szám r hosszúságú partícióinak halmaza, vagyis a megoldást c 1 c r 0 alakú sorozatok közt keressük, ahol r = p + n és r k=1 c k = s = p j=1 a j + n i=1 b i. Az el bbi tétel (explicit verzióját) használva kisz rhet k a nem megfelel sorozatok. Legrosszabb eset: generáljuk ki az összes középs tagot a 0 mi 0 I I n 0 rövid egzakt sorban, ahol m n. Ebben az esetben a lehetséges tagok száma P(n) 1 4n 3 eπ 2n 3 (Hardy-Ramanujan-képlet).
45 Az összes középs tag generálása Az összes középs tag (b vítés) generálására backtracking algoritmust használhatunk. A megoldástér az s szám r hosszúságú partícióinak halmaza, vagyis a megoldást c 1 c r 0 alakú sorozatok közt keressük, ahol r = p + n és r k=1 c k = s = p j=1 a j + n i=1 b i. Az el bbi tétel (explicit verzióját) használva kisz rhet k a nem megfelel sorozatok. Legrosszabb eset: generáljuk ki az összes középs tagot a 0 mi 0 I I n 0 rövid egzakt sorban, ahol m n. Ebben az esetben a lehetséges tagok száma P(n) 1 4n 3 eπ 2n 3 (Hardy-Ramanujan-képlet).
46 Az összes középs tag generálása Az összes középs tag (b vítés) generálására backtracking algoritmust használhatunk. A megoldástér az s szám r hosszúságú partícióinak halmaza, vagyis a megoldást c 1 c r 0 alakú sorozatok közt keressük, ahol r = p + n és r k=1 c k = s = p j=1 a j + n i=1 b i. Az el bbi tétel (explicit verzióját) használva kisz rhet k a nem megfelel sorozatok. Legrosszabb eset: generáljuk ki az összes középs tagot a 0 mi 0 I I n 0 rövid egzakt sorban, ahol m n. Ebben az esetben a lehetséges tagok száma P(n) 1 4n 3 eπ 2n 3 (Hardy-Ramanujan-képlet).
47 Az összes középs tag generálása Az összes középs tag (b vítés) generálására backtracking algoritmust használhatunk. A megoldástér az s szám r hosszúságú partícióinak halmaza, vagyis a megoldást c 1 c r 0 alakú sorozatok közt keressük, ahol r = p + n és r k=1 c k = s = p j=1 a j + n i=1 b i. Az el bbi tétel (explicit verzióját) használva kisz rhet k a nem megfelel sorozatok. Legrosszabb eset: generáljuk ki az összes középs tagot a 0 mi 0 I I n 0 rövid egzakt sorban, ahol m n. Ebben az esetben a lehetséges tagok száma P(n) 1 4n 3 eπ 2n 3 (Hardy-Ramanujan-képlet).
48 Az összes középs tag generálása Példa Izomorzmus erejéig összesen 18 különböz Kronecker-modulus szerepelhet középs tagként egy 0 I 5 I 3 I 3 I 2 I 1 I I 4 I 3 I 1 I 0 0 alakú rövid egzakt sorban: I 5 I 4 I 3 I 3 I 3 I 2 I 1 I 1 I 0, I 5 I 4 I 3 I 3 I 3 I 1 I 1 I 1 I 1, I 5 I 4 I 3 I 3 I 2 I 2 I 2 I 1 I 0, I 5 I 4 I 3 I 3 I 2 I 2 I 1 I 1 I 1, I 5 I 4 I 3 I 2 I 2 I 2 I 2 I 1 I 1, I 4 I 4 I 4 I 3 I 3 I 2 I 1 I 1 I 0, I 4 I 4 I 4 I 3 I 3 I 1 I 1 I 1 I 1, I 4 I 4 I 4 I 3 I 2 I 2 I 2 I 1 I 0, I 4 I 4 I 4 I 3 I 2 I 2 I 1 I 1 I 1, I 4 I 4 I 4 I 2 I 2 I 2 I 2 I 1 I 1, I 4 I 4 I 3 I 3 I 3 I 2 I 2 I 1 I 0, I 4 I 4 I 3 I 3 I 3 I 2 I 1 I 1 I 1, I 4 I 4 I 3 I 3 I 2 I 2 I 2 I 1 I 1, I 4 I 4 I 3 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 1, I 4 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 2 I 1 I 0, I 4 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 1 I 1 I 1, I 4 I 3 I 3 I 3 I 3 I 2 I 2 I 1 I 1, I 4 I 3 I 3 I 3 I 2 I 2 I 2 I 2 I 1.
49 Az összes középs tag generálása Példa 1 A 0 I 26 I 12 I 10 I 8 I 4 I I 19 I 15 I 8 I 4 I 1 I 1 0 rövid egzakt sorban a lehetséges középs tagok száma (2 másodperc). 2 A 0 I 20 I 19 I 18 I 10 I 8 I 3 I 2 I 2 I I 16 I 11 I 7 I 6 I 3 I 1 I 1 I 0 0 rövid egzakt sorban a lehetséges középs tagok száma (2 perc).
50 Legáltalánosabb eset Tétel Az a 1,...,a n, c 1,...,c n N, c 1 c n 0, n 2 feltételek mellett [I c1 I cn ] {[I a1 ]} {[I an ]} akkor és csak akkor, ha σ S n permutáció és m i j 0 egészek, 1 j < i n úgy, hogy l {1,...,n} c l = a σ(l) + n i=σ(l)+1 és teljesülnek a következ k: (i) m i j > 0 = σ 1 (i) < σ 1 (j) (ii) a j a i = σ 1 (i) > σ 1 (j). σ(l) 1 mσ(l) i m σ(l) j, j=1
51 Legáltalánosabb eset (példa)
52 Legáltalánosabb eset (példa)
53 Legáltalánosabb eset (példa)
54 Legáltalánosabb eset (példa)
55 Legáltalánosabb eset (példa)
56 Legáltalánosabb eset (példa)
57 Legáltalánosabb eset (példa)
58 Legáltalánosabb eset (példa)
59 Legáltalánosabb eset (példa)
60 Rövid egzakt sorok ekvivalenciája Tétel (Szöll si I.) Legyenek q > n > 0, d 1 d q 0, c 1 c q n 0 és 0 a 1 a n sorozatok, I = I c 1 I c q n és I = I d 1 I d q. Akkor és csak akkor létezik a 0 P a 1 P a n I I 0 alakú rövid egzakt sor, ha létezik egy 0 I (+d) I (+d) I d (a 1+1) I d (an+1) 0 rövid egzakt sor, ahol a n + 1 d N és I (+d) := I c 1+d I cq n+d, I (+d) := I d 1+d I dq +d.
61 Rövid egzakt sorok ekvivalenciája Példa 0 I 12 I 9 I 8 I 6 I 6 I 5 I 5 I 5 I 4 I 4 I 3 I 2 I 1 I
62 Rövid egzakt sorok ekvivalenciája Példa Létezik a 0 P 0 P 1 P 2 P 3 I 8 I 5 I 4 I 2 I 2 I 1 I 1 I 1 I 0 I 0 0 rövid egzakt sor, mert felírható a következ : 0 I 12 I 9 I 8 I 6 I 6 I 5 I 5 I 5 I 4 I 4 I 3 I 2 I 1 I 0 0.
63 Rövid egzakt sorok ekvivalenciája Tétel (Szöll si I.) Legyen k egy algebrailag zárt test, 0 a 1 a n növekv sorozat, P,P és P = P a 1 P a n preprojektív, I,I és I = I an a1 I a n a n 1 I 0 preinjektív, illetve R,R reguláris modulusok mod- kk-ban. Akkor és csak akkor létezik egy 0 P a 1 P a n P R I P R I 0 alakú rövid egzakt sor, ha létezik a 0 P R I (+d) P R R I (+d) I an a1 I a n a n 1 I 0 0, rövid egzakt sor, ahol a n + 1 d N és R mod- kk úgy, hogy Hom(R,R ) = 0 és dimr = (( I I + n)d,( I I + n)d). Egy dimm = (a,b) dimenziójú M mod-kk Kronecker-modulus defektusa M = b a.
64 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Lineáris mátrixnyalábok Meghatározás Egy A + λ B M m,n (k[λ]) alakú mátrixot lineáris mátrixnyalábnak nevezünk (vagy csak egyszer en mátrixnyalábnak). Meghatározás Két A + λ B, A + λ B M m,n (k[λ]) mátrixnyaláb szigorúan ekvivalens, ha léteznek a konstans, nemszinguláris P M m (k) és Q M n (k) mátrixok úgy, hogy A + λ B = P(A + λ B)Q. A szigorú ekvivalenciát A + λ B A + λ B jelöli.
65 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Lineáris mátrixnyalábok Meghatározás Egy A + λ B M m,n (k[λ]) alakú mátrixot lineáris mátrixnyalábnak nevezünk (vagy csak egyszer en mátrixnyalábnak). Meghatározás Két A + λ B, A + λ B M m,n (k[λ]) mátrixnyaláb szigorúan ekvivalens, ha léteznek a konstans, nemszinguláris P M m (k) és Q M n (k) mátrixok úgy, hogy A + λ B = P(A + λ B)Q. A szigorú ekvivalenciát A + λ B A + λ B jelöli.
66 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Résznyalábok Meghatározás Egy A + λ B mátrixnyaláb akkor és csak akkor résznyalábja A + λ B-nek ha léteznek a A 12 + λ B 12, A 21 + λ B 21, A 22 + λ B 22 nyalábok úgy, hogy ( A A + λ B + λ B ) A 12 + λ B 12. A 21 + λ B 21 A 22 + λ B 22 Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a kisebbik mátrixnyaláb kiegészíthet a nagyobbikban. Sorkiegészítésr l beszélünk, ha az A 12, B 12, A 22, B 22 mátrixokat elhagyjuk, és oszlopkiegészítésr l, ha az A 21, B 21, A 22, B 22 mátrixokat hagyjuk el.
67 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Résznyalábok Meghatározás Egy A + λ B mátrixnyaláb akkor és csak akkor résznyalábja A + λ B-nek ha léteznek a A 12 + λ B 12, A 21 + λ B 21, A 22 + λ B 22 nyalábok úgy, hogy ( A A + λ B + λ B ) A 12 + λ B 12. A 21 + λ B 21 A 22 + λ B 22 Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a kisebbik mátrixnyaláb kiegészíthet a nagyobbikban. Sorkiegészítésr l beszélünk, ha az A 12, B 12, A 22, B 22 mátrixokat elhagyjuk, és oszlopkiegészítésr l, ha az A 21, B 21, A 22, B 22 mátrixokat hagyjuk el.
68 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Nyitott kérdés Nyitott kérdés Ha A + λ B, A + λ B mátrixnyalábok C felett, adjuk meg a klasszikus Kronecker-invariánsok függvényében a szükséges és elégséges numerikus feltételrendszerét annak, hogy az A + λ B résznyalábja legyen A + λ B-nek. Szerkesszük meg az A 12 + λ B 12, A 21 + λ B 21, A 22 + λ B 22 kiegészítéseket is.
69 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben kanonikus alakja Minden mátrixnyaláb szigorúan ekvivalens egy kanonikus blokkdiagonális alakkal, amit a következ klasszikus Kronecker-invariánsokkal jellemezhetünk: 1 sor-minimális indexek 2 oszlop-minimális indexek 3 véges és végtelen elemi osztók
70 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben kanonikus alakja Minden mátrixnyaláb szigorúan ekvivalens egy kanonikus blokkdiagonális alakkal, amit a következ klasszikus Kronecker-invariánsokkal jellemezhetünk: 1 sor-minimális indexek 2 oszlop-minimális indexek 3 véges és végtelen elemi osztók
71 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben kanonikus alakja Minden mátrixnyaláb szigorúan ekvivalens egy kanonikus blokkdiagonális alakkal, amit a következ klasszikus Kronecker-invariánsokkal jellemezhetünk: 1 sor-minimális indexek 2 oszlop-minimális indexek 3 véges és végtelen elemi osztók
72 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben kanonikus alakja Minden mátrixnyaláb szigorúan ekvivalens egy kanonikus blokkdiagonális alakkal, amit a következ klasszikus Kronecker-invariánsokkal jellemezhetünk: 1 sor-minimális indexek 2 oszlop-minimális indexek 3 véges és végtelen elemi osztók
73 Kronecker-modulusok A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Mátrixnyaláb Kronecker-modulus Mátrixnyaláb Mátrixpár A Kronecker-tegez reprezentációja A + λ B M m,n (k[λ]) A, B M m,n (k) k m k n A B
74 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben mint Kronecker-modulusok Sor-minimális indexek Oszlop-minimális indexek Véges és végtelen elemi osztók Felírható a mátrixnyaláb a kanonikus alakban Klasszikus Kroneckerinvariánsok Kroneckerinvariánsok A (c 1,...,c n ) növekv sorozat A (d 1,...,d n ) csökken sorozat A µ (p), p k és λ nemnulla partíciók Meghatározzák a Kronecker-modulust (izomorzmus erejéig) A modulus típusa preprojektív preinjektív reguláris
75 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa Egy mátrixnyaláb kanonikus alakban: A + λ B = A megfelel Kronecker-modulus: 0 0 λ 1 λ λ 1 λ 0 1 λ λ λ λ 1 0 λ λ λ+2 (P 0 P 0 P 2 ) (R 0 (2) R 2 (2) R (3)) (I 2 I 1 I 0 )
76 Kronecker-modulusok A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben mint Kronecker-modulusok Kronecker-modulusok A + λ B M m,n (k[λ]) M A,B : k m A B k n. A + λ B A + λ B M A,B = MA,B A + λ B résznyalábja A + λ B-nek M A,B részfaktora M A,B-nek Meghatározás M A,B részfaktora M A,B-nek, ha létezik egy N modulus úgy, hogy M A,B N M A,B vagy (ekvivalens módon) ha létezik L úgy, hogy M A,B L M A,B.
77 Kronecker-modulusok A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben mint Kronecker-modulusok Kronecker-modulusok A + λ B M m,n (k[λ]) M A,B : k m A B k n. A + λ B A + λ B M A,B = MA,B A + λ B résznyalábja A + λ B-nek M A,B részfaktora M A,B-nek Meghatározás M A,B részfaktora M A,B-nek, ha létezik egy N modulus úgy, hogy M A,B N M A,B vagy (ekvivalens módon) ha létezik L úgy, hogy M A,B L M A,B.
78 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben A résznyaláb-probléma moduláris megközelítése Ötlet: Tanulmányozzuk a Kronecker-modulusok közt felírható rövid egzakt sorokat Jellemezzük a lehetséges középs tagokat explicit numerikus feltételekkel Szerkesszük meg az összeköt modulust (egy olyan L modulust, amire teljesül: M A,B L M A,B)
79 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben A résznyaláb-probléma moduláris megközelítése Ötlet: Tanulmányozzuk a Kronecker-modulusok közt felírható rövid egzakt sorokat Jellemezzük a lehetséges középs tagokat explicit numerikus feltételekkel Szerkesszük meg az összeköt modulust (egy olyan L modulust, amire teljesül: M A,B L M A,B)
80 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben A résznyaláb-probléma moduláris megközelítése Ötlet: Tanulmányozzuk a Kronecker-modulusok közt felírható rövid egzakt sorokat Jellemezzük a lehetséges középs tagokat explicit numerikus feltételekkel Szerkesszük meg az összeköt modulust (egy olyan L modulust, amire teljesül: M A,B L M A,B)
81 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben A résznyaláb-probléma moduláris megközelítése Ötlet: Tanulmányozzuk a Kronecker-modulusok közt felírható rövid egzakt sorokat Jellemezzük a lehetséges középs tagokat explicit numerikus feltételekkel Szerkesszük meg az összeköt modulust (egy olyan L modulust, amire teljesül: M A,B L M A,B)
82 I I I Kronecker-modulusok A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Tétel (Szántó Cs., Szöll si I.) Legyenek I = a n I n a 0 I 0 és I = c n I n c 0 I 0 (n 1 1) preinjektív Kronecker-modulusok. I akkor és csak akkor részfaktora I -nek (vagyis L úgy, hogy I L I ) ha b ( n ) n (i + 1)c i (i + 1)b i i=1 i=2 és b 0 a 0, ahol n i=0 (i + 1)c i n i=1 (i + 1)b i k = 0 n i=1 ia i n i=2 ib i k = 1 b k = ( ) n. i =k min ia i n i =k+1 ib i, n i =k (i+1)c i n i =k+1 (i+1)b i k k+1 2 k < n min(a n,c n ) k = n
83 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa Példa A + λ B = λ λ λ 1 λ λ λ 1 λ λ λ 1 λ 1 M 10,14 (C[λ]) M A,B = I 3 I 3 I 3 I 1
84 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa Példa A + λ B = 0 λ λ λ λ λ 1 λ λ 1 λ 1 M 8,12(C[λ]). M A,B = I 5 I 2 I 1 I 0
85 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa Példa L 1 + λ L 2 = 0 0 λ λ λ 1 λ λ 1 λ λ 1 λ 1 M 8,14(C[λ]). L = I 3 I 2 I 2 I 1 I 0 I 0
86 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa Példa D 2 (A + λ B)C = 0 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ( A = + λ B ) A 12 + λ B 12 A 21 + λ B 21 A 22 + λ B 22 =
87 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa Példa A 12 + λ B 12 = λ , A 21 + λ B 21 = ( ) λ λ A 22 + λ B 22 = ( )
88 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa D 2 =
89 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa Példa C =
90 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Ellenpélda...
91 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Alkalmazások A résznyaláb-problémának mérnöki alkalmazásai vannak: Kontrollelméletben (lineáris dinamikai rendszerek) Fizikában (áramkörök tervezése, bizonyos folyamatok modellezése, stb.) Az A λ I sajátérték-probléma általánosítása
92 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Alkalmazások A résznyaláb-problémának mérnöki alkalmazásai vannak: Kontrollelméletben (lineáris dinamikai rendszerek) Fizikában (áramkörök tervezése, bizonyos folyamatok modellezése, stb.) Az A λ I sajátérték-probléma általánosítása
93 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Alkalmazások A résznyaláb-problémának mérnöki alkalmazásai vannak: Kontrollelméletben (lineáris dinamikai rendszerek) Fizikában (áramkörök tervezése, bizonyos folyamatok modellezése, stb.) Az A λ I sajátérték-probléma általánosítása
94 A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Alkalmazások A résznyaláb-problémának mérnöki alkalmazásai vannak: Kontrollelméletben (lineáris dinamikai rendszerek) Fizikában (áramkörök tervezése, bizonyos folyamatok modellezése, stb.) Az A λ I sajátérték-probléma általánosítása
Preinjektív Kronecker-modulusok bővítési szorzata
XX. reál- és humántudományi Erdélyi Tudományos Diákköri Konferencia (ETDK) Kolozsvár, 017. május 18 1. Preinjektív Kronecker-modulusok bővítési szorzata Szerző: Borbély Andor Babeş Bolyai Tudományegyetem,
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenVizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat
8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben2017, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 10. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a prímszámtétel prímszámok,
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenPermutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
RészletesebbenRekurzív sorozatok oszthatósága
Debreceni Egyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet Szakdolgozat Rekurzív sorozatok oszthatósága készítette: Barta Attila Matematika BSc szakos hallgató témavezet : Dr Tengely Szabolcs egyetemi
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
RészletesebbenCsoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül
1 ALAPFOGALMAK Csoporthatások 1 Alapfogalmak G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül és µ(g, µ(h, x)) = µ(gh, x) µ(1 G, x) = x minden g, h G és x X esetén. Multiplikatív
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenChomsky-féle hierarchia
http://www.cs.ubbcluj.ro/~kasa/formalis.html Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezet ), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.
RészletesebbenGráfelméleti feladatok. c f
Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,
RészletesebbenRelációk. 1. Descartes-szorzat
Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram.. Descartes-szorzat A kurzuson már megtanultuk mik a halmazok
RészletesebbenA digitális számítás elmélete
A digitális számítás elmélete 8. előadás ápr. 16. Turing gépek és nyelvtanok A nyelvosztályok áttekintése Turing gépek és a természetes számokon értelmezett függvények Áttekintés Dominó Bizonyítások: L
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenA szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenFormális nyelvek - 9.
Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenMM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )
MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend
Részletesebben2. Rekurzió. = 2P2(n,n) 2 < 2P2(n,n) 1
2. Rekurzió Egy objektum definícióját rekurzívnak nevezünk, ha a definíció tartalmazza a definiálandó objektumot. Egy P eljárást (vagy függvényt) rekurzívnak nevezünk, ha P utasításrészében előfordul magának
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
Részletesebben2018, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 3. előadás mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia 2018, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? számtartományok: természetes
RészletesebbenGy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenFelvételi vizsga mintatételsor Informatika írásbeli vizsga
BABEȘ BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR A. tételsor (30 pont) Felvételi vizsga mintatételsor Informatika írásbeli vizsga 1. (5p) Egy x biten tárolt egész adattípus (x szigorúan pozitív
Részletesebbeni=1 λ iv i = 0 előállítása, melynél valamelyik λ i
Az informatikus lineáris algebra dolgozat C részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok az állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat C részében kérdezhetünk. Azok érnek 6 pontot,
RészletesebbenDeníciók és tételek a beugró vizsgára
Deníciók és tételek a beugró vizsgára (a szóbeli viszgázás jogáért) Utolsó módosítás: 2008. december 2. 2 Bevezetés Számítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést,
Részletesebben= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
RészletesebbenDirekt limesz, inverz limesz, végtelen Galois-bővítések
Direkt esz, inverz esz, végtelen Galois-bővítések Az alábbi jegyzetben a direkt eszt, az inverz eszt, testek algebrai lezártjának létezését, ill. a végtelen Galois-csoportokat tekintjük át. Nem minden
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Részletesebben2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenAbsztrakt vektorterek
Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenMM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) 1. Ismétlés február 8.február Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük)
MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2007.05.11) 1. Ismétlés február 8.február 15. 1.1. Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük) (1) Egy csoport rendelkezhet egynél több egységelemmel. (2) Bármely két háromelem
Részletesebbenp-adikus lineáris csoportok reprezentációi
p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 1 / 18 p-adikus lineáris csoportok reprezentációi Zábrádi Gergely zger@cs.elte.hu 2013. febr. 26. Bevezetés p-adikus lineáris csoportok reprezentációi
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenMérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik
Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer
RészletesebbenRelációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk
Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenAmortizációs költségelemzés
Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük
RészletesebbenMer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40
Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált
RészletesebbenZH feladatok megoldásai
ZH feladatok megoldásai A CSOPORT 5. Írja le, hogy milyen szabályokat tartalmazhatnak az egyes Chomskynyelvosztályok (03 típusú nyelvek)! (4 pont) 3. típusú, vagy reguláris nyelvek szabályai A ab, A a
Részletesebben3. Feloldható csoportok
3. Feloldható csoportok 3.1. Kommutátor-részcsoport Egy csoport két eleme, a és b felcserélhető, ha ab = ba, vagy átrendezve az egyenlőséget, a 1 b 1 ab = 1. Ezt az [a,b] = a 1 b 1 ab elemet az a és b
Részletesebben