A DÖNTÉSELMÉLET ALAPJAI

Átírás

1 J 2 A DÖNTÉSELMÉLET ALAJAI óformán életünk mnden percében döntéseket kell hoznunk, és tesszük ezt mnden elmélet megalapozottság nélkül. Sajnos a mndennap életben felmerülő egyed döntésekre még nem skerült gazán jó, elméletleg megalapozott módszereket találn, bár az úgynevezett szakértő, vagy tudásbázsú rendszerek éppen erre törekszenek. M tt az úgynevezett statsztka döntés módszerekre korlátozzuk vzsgálódásankat. Ezeknek az jelent a lényegét, hogy nagyszámú hasonló esetben kell döntést hozn, és így nem egy-egy döntés jó vagy rossz volta a kérdés, hanem az, hogy a döntések általában (átlagosan) jók-e vagy rosszak. De mt s értsünk azon, hogy jó vagy rossz a döntésünk? Hogyan mnősítsük a döntéseket? Az egyk legáltalánosabb megközelítés az lehet, ha fgyelembe vesszük, hogy valamenny döntésünknek széles értelemben vett ára van, azaz költség rendelhető a döntésenkhez, és ezeket a költségeket kívánatos mnmalzáln. M a továbbakban szűkíten fogjuk ezt a megközelítést, és azt mondjuk, hogy a híradástechnkában felmerülő döntés helyzetekben dönthetünk helyesen, am azt jelent, hogy eltaláljuk a tényleges, az gaz helyzetet és ezért természetesen nem jár büntetés, vagy dönthetünk hbásan, amkor a ténylegestől eltérő helyzetet fogadunk el, azt tételezzük fel valóságosnak és így természetesen pórul járunk, károsodunk, kárt okozunk. Így nylvánvalóan ebben a megközelítésben a téves döntések mnmalzálására, a legksebb kárra, a legkevesebb hbára kell törekedn. Egy gen érdekes megközelítés, szemléletbel kérdés a döntéselméletben az, hogy a különböző esetekben hozott téves döntések összevontan kezelhetőek-e és a téves döntéseknek egy átlagolt kárát mnmalzálhatjuk, vagy pedg a döntés esetek olyan elkülönülő csoportokat képeznek, amelyekben az elkövetett tévedések következménye olyannyra különbözőek, hogy azok nem vonhatók össze és így nem lehet az eredményeket egy átlagolt értékkel jellemezn, egy átlagolt érték mnmalzálására törekedn. M azt a szemléletet valljuk, és fogjuk követn, amelyk szernt meg kell különböztetn kétféle döntés, más néven hpotézsvzsgálat feladatot. Az egyk csoportba soroljuk azokat a feladatokat, amelyeknél a különféle tévedések összevonhatók és átlagoltan értékelhetők, a másk csoportba pedg az ettől eltérő eseteket soroljuk. Az első csoportot - egy jeles matematkusról elnevezve - Bayes-típusú (ejtsd Bész) feladatoknak nevezzük, míg a másodk csoportot általános hpotézsvzsgálat feladatoknak hívjuk. A döntéselmélet alapokat több különböző síkon tárgyalhatjuk. Kezdjük egy általánosnak nevezhető síkkal, amelyben egy példa kapcsán (amt csupán azért említünk, hogy konkrét dolgokról lehető egyértelműen tudjunk beszéln) megadjuk az elnevezéseket, vázoljuk a tennvalókat és a lehetőségeket. A FELADATOK ÉRTELMEZÉSE, CSOORTOSÍTÁSA Legyen a példánk egy orvos rendelés (például belgyógyászat), ahol pácensek jelennek meg különböző panaszokkal. Ekkor joggal feltételezhetjük, hogy az orvos véges sok dagnózst (betegséget) smer (persze az egyk lehet az "smeretlenek" csoportja s), és a pácensen végzett megfgyelése alapján be kell, hogy sorolja a tüneteket valamelyk "skatulyába".

2 döntéselmélet alapok Kétféle módon s megfogalmazhatjuk az orvos által végzett (kétségtelenül gen nehéz) döntés tevékenységet: azt mondhatjuk, hogy () az orvos a tünetek halmazát részhalmazokra osztja (partíconálja), és az egyes részhalmazokhoz (partícókhoz) betegségeket rendel; vagy egy másk megfogalmazás szernt () az orvos a megfgyelése alapján a különféle lehetséges, smert feltételezések (hpotézsek) közül elfogadja valamelyket. ersze a döntés lényegét nem ezek az elnevezések jelentk, hanem maga az módszer, ahogy a döntés születk. De hogyan s születnek efféle döntések? Van-e valam szabálya a döntések meghozatalának, és hogyan értékelhető a döntések mnősége? Jelöljük H -vel az -edk hpotézst, lletve egyúttal annak elfogadását s. Továbbá jelöljük ζ-val a megfgyeléseket képvselő valószínűség változót. Egy elég természetes követelményként azt a kívánalmat támaszthatjuk a döntésenkkel, a döntés módszerünkkel szemben, hogy a ζ = z "értékű" megfgyelésre támaszkodva a legvalószínűbb hpotézst fogadjuk el. Azaz a ( H ζ = z)-ből válasszuk a legnagyobbat. A ( H ζ = z) valószínűséget a-posteror, vagy magyarul a megfgyelés-után valószínűségnek nevezk. Tehát amennyben elfogadjuk az a-posteror valószínűség maxmumát eredményező (vagy angolul Maxmum A-posteror robablty, rövdítve MA) hpotézsek választását döntés szabályként, akkor a megfgyelésenk partíconálását a 2.1. ábrán látható módon kell elvégezn, tehát mnden megfgyelést a legnagyobb a-posteror valószínűséget eredményező részhalmazba kell soroln. Sajnos a MA döntés szabály realzálásához alapvetően az a-posteror valószínűségek eloszlására lenne szükség, am jellegzetesen smeretlen. (Ha meggondoljuk, akkor hamar rájövünk, hogy ennek az smeretnek a megszerzése magát a döntés feladat megoldását jelent.) Valójában mlyen smeretenk és lehetőségenk vannak a fent cél megvalósítására? Az a-posteror valószínűséget átalakíthatjuk az alább módon: ( H ζ = z) = ( HI ζ = z) ( ζ = z) = (H.. ) > (H j.. ) > 2.1. ábra A megfgyelések partíconálása ( ζ = z H ) ( H ) ( ζ = z), (2.1) ahol a feltételes valószínűség és az együttes valószínűség között kapcsolatot használtuk fel. Ezek szernt, ha rendelkezésünkre áll az egyes hpotézsek valószínűsége (úgy s nevezk, hogy az a-pror = eleve adatott valószínűségek), valamnt a megfgyeléseknek az egyes hpotézsekre vonatkozó feltételes valószínűsége, akkor a (2.1.) szernt meg tudjuk valósítan a MA döntés szabályt. Az a-pror valószínűségek és feltételes valószínűségek azonban csak a döntés feladatok egy részénél állnak rendelkezésre, míg más feladatoknál nem adhatók meg, nem becsülhetők, vagy nncs értelmük. Hvatkozva az orvos dagnosztka példánkra, éppen egy olyan feladattal állunk szemben, amelynél az a-pror valószínűségek meghatározása komoly gondot jelentene, ha egyáltalán elősegítené a tényleges döntések jó elvégzését. Ugyans az adott valószínűségek, azaz egy-egy betegség előfordulása nylván nagyon függ például a földrajz elhelyezkedéstől, de nagymértékben változk az életmód hatására s, és így tovább. 2

3 döntéselmélet alapok Van azonban még egy nagyon fontos eltérés a különféle döntés feladatok között, mégpedg a döntés hbák hatása, következménye. Az nylván természetes, hogy hába választjuk az adott megfgyeléshez tartozó legvalószínűbb hpotézst, a téves döntések nem küszöbölhetők k, néha a kevésbé valószínű esemény következk be. Így elég természetesen merül fel a kérdés, hogy mennyre jó a MA döntés szabály. Illetve mlyen módon jellemezhetjük a döntés szabályunk mnőségét? Amennyben sok hasonló döntést végzünk, akkor nylván jó jellemzőnek teknthetjük, hogy átlagosan a döntésenk mekkora hányada lesz jó, lletve remélvén, hogy ez közel lesz a 100%-hoz, így kfejezőbb lehet, hogy mlyen arányban tévedünk, vagy mekkora a döntésenk hbavalószínűsége. Igen ám, de még a legegyszerűbb esetben, azaz amkor csupán két lehetséges feltételezés (hpotézs) közül kell választan, akkor s felmerül az a kérdés, hogy a lehetséges kétféle tévedés összevonhatóan jellemezhető-e. Egyáltalán nem bztos, hogy bármely döntés feladatnál a bekövetkező különböző tévedéseknek valamlyen súlyozott összege helyesen képes jellemezn a döntések elvégzésének mnőségét. Összefoglalva az eddgeket, két alapvetően különböző döntés feladatcsoportot különíthetünk el: Az egyk csoport feladatanál léteznek az a-pror valószínűségek és a megfgyelések feltételes sűrűsége, valamnt a döntés tévedések jellemezhetők egyetlen átlagos mennységgel, az átlagos döntés hbával. Ezeket a feladatokat Bayes-típusú feladatoknak nevezzük, és megoldásuknál az elsődleges célunk az átlagos döntés hba, a hbavalószínűség mnmalzálása. A másk csoportba soroljuk azokat a feladatokat, amelyeknél nem léteznek, vagy nncs értelmük az a-pror valószínűségeknek, és/vagy nem lehet a döntés tévedéseket egyetlen átlagos jellemzővel mnősíten, mert a különböző tévedéseknek más és más a hatásuk, jelentésük, következményük. Az lyen feladatokat általános hpotézsvzsgálat feladatoknak hívjuk. Ezekben a feladatokban valamelyk döntés tévedést kragadjuk és (egyéb szempontok alapján) értékét megkötjük, vagy pontosabban megengedünk rá egy maxmumot, majd a másk (vagy több) fajta tévedést mnmalzáljuk. A következőkben áttérünk a döntésekkel kapcsolatos alapkérdések tárgyalásánál egy kevésbé általános síkra. HÍRADÁSTECHNIKAI DÖNTÉSI FELADATOK Mlyen döntés feladatok merülnek fel a híradástechnkában? A teljesség génye nélkül említsük tt meg a két legfontosabbat! Az egyk a hírközlés során lép fel, amkor egy forrás üzenetet akarjuk egy csatornán keresztül eljuttatn egy nyelőhöz. Amennyben dgtáls üzenet-átvtel (modulácós) módot választunk, akkor a csatorna kmenetén mndegyk dőrésre vonatkozóan egy-egy döntést kell hozn, hogy a megérkező jel melyk szmbólumot képvselhet. A másk tpkus döntés feladat a (rádó)lokácó esetén merül fel, amkor egy adó által kbocsátott rövd dejű jel (mpulzus) után az esetleges vsszaverődésre várakozva, azt kell eldönten, hogy van-e vsszaverődés, vagy csupán a zajt lehet észleln. 3

4 A dgtáls hírközlés döntés feladata döntéselmélet alapok A dgtáls hírközlés általános modellje szernt (2.2. ábra) a C dgtáls csatorna egy forrás által kbocsátott ξ k szmbólumsorozatot továbbít a nyelőhöz. A dgtáls csatorna kmenetén megjelenő ξ ~ ~ k ξ C ξ szmbólumsorozat eltéréseket mutathat a csatorna bemenetén lévő sorozattól. Az eltérések gyakorságát a k k dgtáls csatorna megvalósítása határozza meg, az 2.2. ábra A dgtáls hírközlés elvselhető értéket pedg a felhasználó dönthet el. modellje Az adott esetre joggal feltételezhetjük, hogy a kmeneten lévő szmbólumsorozatban előforduló tévedések összevontan értékelhetők, azaz nncs különös jelentősége, hogy melyk szmbólum változott meg és mre. Továbbá könnyű belátn, hogy az egyes hpotézsek, azaz a szmbólumok előfordulás valószínűsége, tehát az a-pror valószínűségek jól becsülhetők. A következőkben pedg részletesen bemutatjuk azt s, hogy a C csatorna elektronkus megvalósítása esetén mlyen közvetlen módon adódnak a (2.1.)-ben szereplő feltételes valószínűségek. Ezek alapján természetes az a következtetés, hogy a dgtáls csatorna megvalósításakor Bayes-típusú döntés feladatot kell megoldan. A feladat megoldása - mként már leszögeztük - egy adott döntés szabály meghatározása, tehát a megfgyelések halmazának részhalmazokra osztása. Jelölje nagy A a részhalmazokra osztást, azaz: ( A, A,...,... ) A 2 : = 1 A A M, (2.2) ahol A jelent az -edk részhalmazt, az M pedg a részhalmazok, tehát a szmbólumok, azaz a hpotézsek számát. Az adott döntés szabályhoz tartozó döntés mnőségét pedg az alább jellemzővel, a hbavalószínűséggel adhatjuk meg: e M ( A) : = ( ζ A Iξ H ), (2.3) = 1 ahol tehát összeadjuk azoknak az eseményeknek az együttes valószínűségét, amkor az - edk hpotézst fogadjuk el, de a küldött szmbólum valam más volt. A legksebb hbavalószínűséget eredményező %A döntés szabályt standard döntés szabálynak hívjuk. A (2.1.) számlálójában és nevezejőben szereplő, a megfgyelések folytonos eloszlása esetén nulla értékű valószínűségeket helyettesítve a megfelelő valószínűség sűrűségfüggvényekkel, az alább kfejezést kapjuk: ( H ζ z) ( ζ = z H ) ( H ) ( ζ = z) ( z) ( H ) f ( z) f ζ H = =. (2.4) A standard döntés szabály -edk partícóját pedg az alább módon adhatjuk meg: ~ A = z f ( z) ( H ) f ( z) ( H j ), (2.5) ζ H ζ H j j azaz azokat a z megfgyeléseket soroljuk az -edk részhalmazba, amelyekre f ( z) ( ) a legnagyobb. ζ H ζ H 4

5 A híradástechnka felsmerés döntés feladata döntéselmélet alapok Híradástechnka felsmerés feladatra példaként válasszuk a klasszkus felderítő rádólokátort. Itt egy adóval nagyfrekvencás sznusz-csomagokat sugárzunk k a rádócsatornába, és a csomagok szüneteben azt fgyeljük, hogy érkezk-e vsszaverődés (echó) a csatornából, azaz van-e ott céltárgy, am vsszaverődést okoz. Az elektronkus megvalósítás következtében - alapvetően a mndg jelenlévő termkus zaj matt - az echó jelenléte vagy hánya a krtkus esetekben, tehát például nagy távolság esetén csak "feltételezhető", így tt egy bnárs döntés feladattal állunk szemben. (Lényegét tekntve teljesen hasonló a helyzet az egészségügy szűrővzsgálattal, pl. a közsmert tüdőszűréssel s.) A vsszaérkező jel megfgyelése alapján ekkor s célszerű a legvalószínűbb esetet elfogadn, jelenleg azonban a (2.1.) kfejezésben szereplő valószínűségekkel gondok vannak. Egyrészt nem nehéz elképzeln, hogy megalapozatlan egy valószínűség modellt szerkeszten arra, hogy az egyes rányokból mlyen gyakorsággal érkezk vsszaverődés. Valóságos esetekben könnyen előfordulhat, hogy a lokátor teljes élettartama során bzonyos rányokból sohasem tapasztal echót, tehát a hpotézsek a-pror valószínűsége nem léteznek, vagy ésszerűtlenek. Valójában persze az gaz cél teljesítése érdekében teljesen közömbös s, hogy léteznek-e, vagy ésszerűek-e ezek a valószínűségek, hszen a lokátor feladata az, hogy amennyben van céltárgy, akkor döntsön úgy, hogy észlelt echót, az ellenkező esetben pedg, hogy nem. Azonban még a fent problémánál s súlyosabb, hogy ennél a döntés feladatnál nem hasonló jelentésűek, jelentőségűek, lletve következményűek a lehetséges tévedések. A két lehetséges tévedés közül az egyk az, amkor valójában nncs céltárgy, de a lokátor a vevő kmenetén megfgyelhető jel alapján úgy dönt, hogy érkezett echó. Ezt a tévedést magyarul vaklármának nevezk, mvel ndokolatlan radalmat kelt. A másk tévedésnek, azaz amkor céltárgy létezése esetén az a döntés, hogy nncs echó, elmulasztott rasztás a neve. A kétféle hba következménye alapvetően eltérőek: A vaklárma típusú hba azt eredményez, hogy szükségtelenül, ndokolatlanul tovább ntézkedésekre késztet a rendszert. éldául lég célfelderítésnél ez azt jelent, hogy elfogó vadászrepülőket ndítanak a cél felkutatására, míg egy tömeges egészségügy szűrővzsgálatnál pedg tovább részletes klnka vzsgálatra rendelk a pácenst. Mndkét példa vlágosan mutatja, hogy jelentős költséget von maga után ez fajta a tévedés, valamnt drága és korlátozott erőforrások felesleges génybevétele következk be, am csökkent azok elérhetőségét az ndokolt, tehát a szükséges esetekben. Az elmulasztott rasztás következménye alapvetően különböznek az előzőtől. A légfelderítésnél, ha ellenséges és rossz szándékú céltárgy felderítésének elmulasztása következk be, akkor beláthatatlan mértékű rombolás, pusztítás - mnd anyagakban, mnd emberéletben - következhet be. Az egészségügy szűrővzsgálatnál pedg egy dejében fel nem smert fertőző betegség a pácens komoly egészségkárosodásán túl még a szűkebb-tágabb környezetében élők megfertőzését s okozhatja. Mvel a kétfajta tévedés összevonását a fentek alapján nem tartjuk ndokolhatónak, így nncs lehetőségünk azok együttes mnmalzálásra. K kell tehát választan közülük az egyket, amt elsődleges vagy elsőfajú hbának nevezünk, és meg kell adnunk rá egy korlátot. Majd ezután olyan döntés szabályt kell keresnünk, amely mnmalzálja a másk 5

6 döntéselmélet alapok tévedést, az úgynevezett másodfajú hbát. Annak kválasztása, hogy melyk legyen az első-, lletve másodfajú hba, érdekes problémát jelent, de szerencsére rövd gondolkodás után egyértelműen megoldható. Megállapíthatjuk, hogy azt a fajta hbát kell elsődlegesnek teknten, amelyre nullánál nagyobb előfordulás valószínűség s elképzelhető, lletve amelyre egy korlát - a teljes rendszerre vonatkozó megfontolásokból - megadható. Mndkét példánál ez a hba a vaklárma lesz. Ugyans egyrészt az elmulasztott rasztásra "korlátként" csak nulla előfordulás valószínűséget tudunk elfogadn, hszen nem mondhatjuk azt, hogy megfelelőnek tartjuk, ha a felderítés módszerünk úgy működk hogy a céltárgyak, vagy a tényleges betegek adott hányadát nem vesz észre. Másrészt vszont a vaklárma - am többletmunkát okoz - korlátozható egy előfordulás valószínűségre, amelynél még nem következk be az egész rendszernek a túlterheléséből fakadó működésképtelensége. Az egyes hbafajtákat külön-külön kell kezeln, számítan. A bnárs esetre korlátozódva, jelöljük az első- és másodfajú hbákat az alább módon: ( 01) e (A): = (echóra döntünk, de nncs céltárgy), ( 10) (A): = (nem rasztunk, de van céltárgy). e Az első- és másodfajú hba jelének az argumentumában szereplő jelöl a döntés szabályt. De mlyen s legyen most ez a döntés szabály? A Bayes-típusú feladatoknál a MA szabály elvezetett a standard döntés szabályhoz, amvel a legksebb hbavalószínűséget érhetjük el. Jelenleg egy olyan partconálást kell keresn, amely rögzített elsőfajú hba mellett mnmalzálja a másodfajú hbát. Ezt a szabályt, amelyet most s %A -al jelölünk, Neyman és earson találta meg, és a következő módon írható le: ~ A: = { z Λ ( z) }, (2.6) 10 K azaz azoknál a megfgyeléseknél döntünk úgy, hogy van echó, amelyek esetén az alább defnált Λ 10 () z lkelhood-hányados elér vagy túllép egy K korlátot. A lkelhood-hányados pedg nem más, mnt azoknak a valószínűség sűrűségfüggvényeknek a hányadosa, amelyek leírják a megfgyeléseket a céltárgy jelenléte, lletve a céltárgy hánya esetén: () 1 ( ) Λ 10 ( z): = f z ( 0) f ( z). (2.7) EGYMINTÁS DÖNTÉSEK Most áttérünk a híradástechnka döntés feladatok tárgyalásánál az elektromos jelek és elektronkus csatornák síkjára. A vzsgálatokat a 2.3. ábrán látható modell alapján végezzük. ξ η η ξ F JG MV DK N ν 2.3. ábra A dgtáls csatorna modellje Az F forrás szmbólumokat bocsát k, amelyeknek a JG jelgenerátor elem jeleket feleltet meg. Az elem jelek sorozata bejut a hírközlő csatornába, ahol különféle hatások érk, amelyek közül most a ν addtív zajt vesszük fgyelembe. A hírközlő csatorna kmenetén 6

7 döntéselmélet alapok megjelenő jel és zaj összegéből az MV mntákat vesz, méghozzá az dőrések közepén, de lényeges, hogy az dőrések határatól lehető távol, hogy az tt előforduló jelváltozásoktól függetlenítsük a döntéseket. A DK döntőkészülék a mnták, mnt megfgyelések alapján meghozza a döntéseket, és kadja az N nyelő számára a "legvalószínűbb" szmbólumokat. A fent modell alapján példák keretében szngulárs és regulárs feladatokat oldottunk meg mnd Bayes-, mnd általános hpotézsvzsgálat esetén. 7