9. előadás SZLUCKIJ-TÉTEL

Átírás

1 9. előadás SZLUCKIJ-TÉTEL Kertes Gábor Varan 8. fejezete erősen átdolgozva

2 9. A probléma Hogyan változk a fogyasztó magatartás a gazdaság környezet változásának következtében, s mből adódhat ez a változás? egváltozk egy vagy több ár, változk a fogyasztó jövedelme, változnak a fogyasztás egyéb külső körülménye. A változások hatásának elemzésekor a fogyasztó kereslet függvényet használjuk. k s azok? Függvények sorozata, amelyek megadják a fogyasztó teljes jószágkosarát képező javak mndegy-kének optmáls mennységét az összes jószág árának, a fogyasztó jövedelmének és egyéb lényeges külső körülményeknek környezet változóknak a függvényében. Algebralag: 9. fóla Kétféle egyszerűsítést alkalmazunk: (a) eltekntünk a környezet hatásokat kfejező változóktól; (b) a grafkus ábrázolás kedvéért a teljes jószágteret kétdmenzósra szűkítjük (n elemű vektor helyett kételemű vektor). Vlágosan látnunk kell: soha sem egyetlen kereslet függvénnyel van dolgunk, hanem mndg a kereslet függvények rendszerével, amely pontosan anny egyenletből tevődk össze, ahány jószágból a fogyasztó jószágkosara áll. Kétdmenzós jószágtér esetében az alább egyenletrendszerrel dolgozunk: 9. fóla Jól látható, hogy három független változónk van: a két termék ára és a fogyasztó jövedelme. A múlt előadáson az tt felvetett problémát már tárgyaltuk: megvzsgáltuk, m történk az jószág optmáls fogyasztásával akkor, ha (a) valamenny (tt: mndkét) ár rögzítése mellett változk a jövedelem, lletve ha (b) az jószág ára (p ) változk, mközben a több termék (tt: a másk termék) ára és a fogyasztó jövedelme változatlan marad. Hamarosan látn fogjuk, hogy a múlt órán alkalmazott megközelítés egy sor, sok szempontból megengedhetetlen egyszerűsítést tartalmazott: (a) (b) (c) noha kétjószágos modellt alkalmaztunk, a jövedelemváltozás hatását csak az egyk jószágra nézve követtük, a másk jószág fogyasztásának esetleges változását fgyelmen kívül hagytuk; nem vettük fgyelembe azt a tényt, hogy ha egy ár változk (pl. csökken), mközben a másk ár és a fogyasztó nomnáljövedelme változatlan marad, akkor a fogyasztó reál-jövedelme (jövedelmének reálértéke) s változk (nő), melynek következtében fogyasztása valamenny általa fogyasztott jószágból változhat; ugyanebben az esetben az árváltozásnak csak az adott jószág fogyasztására gyakorolt hatását a saját ár hatását vettük számításba, és fgyelmen kívül hagytuk azt a körülményt, hogy akárha csak egyetlen ár változk s, azzal a költségvetés korlátunkhoz tartozó valamenny árarány megváltozk, s ez k lehetnek ezek? A szokások változása (például egészséges életmódra való áttérés), a dvat változása, találmányok, új termékek, termékvaránsok megjelenése, a preferencákat érő véletlen sokkok (például boterrorzmus megjelenésének hatása a gázálarcok ránt keresletre), állam szabályozás (bzonyos tevékenységek hatóság tltása vagy kötelezővé tétele).

3 reagálásra késztet bennünket a fogyasztásunk tárgyát képező mnden egyéb jószág fogyasztásával kapcsolatban. Ezeket az egyszerűsítéseket azonban csupán kfejtéstechnka okokból alkalmaztuk annak érdekében, hogy néhány fontosabb fogalom jelentését vlágosabban lássuk. Bevezettük (a) a jövedelem-ajánlat görbét és a belőle származtatható Engel-görbét, (b) az ár-ajánlat görbét és a belőle származtatható kereslet görbét (lletve az nverz kereslet görbét), (c) a helyettesítés és a komplementartás (kegészítés), végül pedg (d) a normál, az alsóbbrendű és a Gffen-javak fogalmát. ndezek a fogalmak a kereslet elemzés gen hasznos, jól bevált technka eszköze. A múlt előadáson bemutatott összefüggések azonban nem helyettesíthetk az árak és a jövedelem változására vonatkozó fogyasztó reakcók teljes körű elemzését. Ebben az előadásban erre teszünk kísérletet. ért fontos ez? Erre a kérdésre a következő előadáson kapjuk meg a választ, amkor az egyén kereslet függvények aggregálásával megkapjuk a pac kereslet függvényeket. Intutíve azonban már most s sejthetjük, hogy a pac kereslet függvények (és a lehetséges változások hatásrányanak) smerete nem lehet közömbös a szóban forgó javak termelőnek és forgalmazónak. Továbbá azt s sejthetjük, hogy a gazdaság egészében előforduló valamenny termékcsoport pac kereslet függvényének aggregálása révén keletkező makroszntű kereslet függvény smerete nem lehet közömbös a gazdaságpoltka rányító számára. 9. A jövedelem- és helyettesítés hatás bevezetése Ha valamely eogén (külső) oknál fogva a kereslet rendszer egyk eleme megváltozk (megnő a fogyasztó jövedelme, vagy megváltozk az egyk ár, vagy akár mndkét ár), akkor annak következménye a kereslet rendszer mnden elemében éreztetk hatásukat. Induljunk k abból az egyszerű esetből, hogy csak egyetlen ár változk (p csökken), mközben a másk jószág ára és a fogyasztó pénzjövedelme nem változk. ár a múlt órán s láttuk, m történk ekkor: 9.3 fóla Az új árarányoknak megfelelően áttértünk egy magasabb hasznosság szntet képvselő közömbösség görbére. Az optmáls választáshoz tt az érntőfeltételnek teljesülne kell. lenne, ha nem teljesülne? (Lásd a 7. előadás során alkalmazott arbtrázs-érvet!) De mért s kerültünk ez esetben az eredetnél magasabb hasznosság szntre? Ha egy kéttermékes vlágban az egyk jószág ára csökken, mközben a másk ár és a jövedelem változatlan marad, akkor fogyasztó elkölthető jövedelme többet ér (több jószág vásárlására alkalmas), mnt korábban. Nomnáljövedelme nem változott, de jövedelmének vásárlóértéke (reáljövedelme) megnőtt. Nylvánvalóan többet fog fogyasztan valamelyk (esetleg mndkét) termékből. Ezt a hatást nevezzük jövedelemhatásnak. vel jól lyen feltétel mellett érvényes ez a következtetés? Akkor, ha a fogyasztónak nncs megtakarítása, vagys ha az így megnövekedett reáljövedelméből nem rak félre jövőbel fogyasztása céljara. Ebben a modellben nncs dő. Jövedelmünket teljesen elköltjük. A mkroökonóma tárgy másodk félévében látunk majd olyan modellt s, amelyben szerepel megtakarítás, és így jelenbel jövedelmünk egy részét átcsoportosíthatjuk jövőbel fogyasztásra. 3

4 vselkedő preferencák esetén, a monotontás feltétele matt a több egyszersmnd jobb, magasabb hasznosság szntre (magasabb ndeű közömbösség görbére) kerülünk. ásrészt az jószág árának változása mnt említettük megváltoztatja a rendszerben előforduló összes (n ) árarányt s, jelen esetben a két termék árarányát: ( p / p) < ( p / p). jószág relatíve olcsóbb lett -höz képest. Ha az eredet döntésünk * * (p, p áraknak és m jövedelemnek megfelelő optmáls fogyasztás) (, ) pontjában egyfelől értékeljük azt, hogy számunkra szubjektíve mlyen értéket képvsel a két termék egymáshoz képest (vagys mekkora a helyettesítés határráta), másfelől mbe kerül a két termék objektíve a pacon egymáshoz képest (vagys mlyen arányban tudnánk egyket a máskra cseréln), akkor azt látjuk, hogy az új árarányok mellett nem maradhatunk meg eredet választásunknál. 9.4 fóla Az adott pontban ugyans az termék az -höz képest nagyobb értéket képvsel számunkra, mnt ambe kerül, vagy fordítva nézve: az termék az -hez képest ksebb érteket képvsel, mnt ambe kerül 3. Optmáls fogyasztó kosarunk összetételét tehát meg kell változtatnunk: több mennységet és kevesebb mennységet kell fogyasztanunk. Fogyasztás szerkezetünkben jószág egy részét -gyel helyettesítjük. Ezt a hatást nevezzük helyettesítés hatásnak. 9.3 A helyettesítés hatás és a jövedelemhatás szétválasztása grafkus eszközökkel Egy jószág árának változása (tt: csökkenése) tehát kétfajta következménnyel jár: egyrészt az árcsökkenés megnövel jövedelmünk reálértékét, ezért (legalább az egyk termékből) többet fogunk fogyasztan (jövedelemhatás), másrészt az árarány változása matt a relatíve olcsóbbá vált jószágból többet, a relatíve megdrágult jószágból pedg kevesebbet fogunk fogyasztan (helyettesítés hatás). Hogyan lehetne ezt a két hatást szétválasztan? A helyettesítés hatás mérésére két lehetőség kínálkozk: (a) az eredet döntésünknek megfelelő reáljövedelmünket (jövedelmünk vásárlóerejét) rögzítjük, és megkeressük a rögzített reáljövedelemnek és az új áraránynak megfelelő optmáls jószágkosarat (a helyettesítés hatás Szluckj-féle 4 mérése), vagy pedg (b) az eredet döntésünknek megfelelő optmáls hasznosság szntet rögzítjük, és megkeressük e rögzített hasznosság sznthez, valamnt az új árarányhoz tartozó optmáls jószágkosarat (a helyettesítés hatás Hcks-féle 5 mérése). A két esetben a jövedelemhatás mérése s más. 9.5 fóla ndkét esetben ugyanazt látjuk: a relatíve olcsóbbá vált termékből többet (nem kevesebbet), a megdrágult termékből kevesebbet (nem többet) fogyasztunk. A 3 Ambe kerül : egyk jószág alternatív költsége a másk jószág egységében mérve. 4 Jevgenyj Szluckj (88-948) orosz közgazdász és statsztkus, a modern keresletelmélet egyk úttörője. 5 John R. Hcks (94-989), Nobel-díjas angol közgazdász, a modern mkroelmélet egyk megteremtője. 4

5 továbbakban m a Hcks-féle hatás-felbontást (dekomponálást) használjuk. 6 Egy tovább technka megjegyzés. A grafkus szemléltetés során a legjellegzetesebb (emprkusan leggyakrabban előforduló) esetet fogjuk alapul venn, amkor mndkét termékünk normál jószág (vagys a fogyasztás a reáljövedelem emelkedésekor nő). Természetesen más esetek s elképzelhetők (alsóbbrendű vagy Gffen-javak), ezeket a 9.4 pontban tárgyaljuk majd. A Hcks-féle hatásfelbontás kapcsán azonban egy gen fontos dologra kell fölhívn a fgyelmet. Egy korábban tanult modellt alkalmazunk a helyettesítés hatás Hcks-féle mérése során: 9.6 fóla egkeressük azt a kadás szntet, amellyel adott árarány mellett a legksebb költséggel realzáln tudunk egy általunk előre rögzített hasznosság szntet. Ez az eljárás nem más, mnt a 7. előadáson tanult kadásmnmalzálás probléma megoldása. A helyettesítés hatás Hcks-féle mérésekor tehát a következőképpen járunk el: 9.7 fóla Az eredet árarányok ( p / p ) és jövedelemsznt (m) mellett megoldjuk a haszonmamalzálás feladatot, és meghatározzuk az optmáls megoldáshoz az A * * ponthoz (, )-höz tartozó hasznosság szntet ( ~ * * u u(, ) ). Rögzítjük ezt az u ~ hasznosság szntet, és meghatározzuk az u ~ -nak és a megváltozott árarányoknak ( p / p ) megfelelő új optmáls megoldást (B pont) és a hozzá tartozó mnmáls kadás szntet ( m ~ ). Az eredet optmum (A pont) és az újonnan meghatározott optmum (B pont) közt elmozdulás nem más, mnt a helyettesítés hatás mértéke. Vegyük észre, hogy mnt a neve s mutatja a helyettesítés hatás mndkét jószág fogyasztását érnt: a megváltozott áraránynak (és csaks annak) köszönhetően, a relatíve olcsóbbá vált jószág fogyasztása megnő, a relatíve megdrágult jószágé pedg lecsökkent, függetlenül attól, hogy csak az egyk jószág ára változott meg. Termnológa: saját-árhatás ( ~ ); kereszt-árhatás ( / u u~ ). / u u A jövedelemhatás mérése nnen már egyszerűen megoldható: a p < p árcsökkenésnek megfelelő vásárlóerő- (reáljövedelem-) növekedést egyszerűen úgy ábrázoljuk, mntha a fogyasztó jövedelme a B ponthoz tartozó mnmáls kadás szntről megnőtt volna: m > m ~ (ezzel a fogyasztó smét az eredet jövedelemszntre került). 9.8 fóla Rakjuk össze a modell két elemét: a helyettesítés hatást és a jövedelemhatást. 6 Noha a kétfajta eljárás egyaránt használatos, és bzonyos célokra az egyk, más célokra a másk tűnk jobbnak, a Szluckj-tétel kmondásához és bzonyításához a közgazdászok többnyre a Hcks-féle mérést szokták használn. 5

6 9.9 fóla A helyettesítés hatás ellentétes előjelű a két terméknél. (egjegyzés: kéttermékes modellben elkerülhetetlen, hogy ha egy jószágból nő a fogyasztás rögzített hasznosság sznt mellett, a másk jószágból csökkenjen. n > termék esetében bonyolultabb összefüggések s érvényesülhetnek.) Árváltozáskor a kegészítő (komplementer) javak fogyasztása együtt mozog a kérdéses jószág fogyasztásával, a helyettesítő javak fogyasztása pedg ellentétesen. 7 Erről a kérdésről részletesebben beszélünk majd a következő órán. a helyzet a jövedelemhatással? vel a közömbösség térképet úgy rajzoltuk meg, hogy mndkét termékünk normál jószág legyen, a jövedelemhatás előjele mndkét jószág esetében poztív: magasabb jövedelem > több fogyasztás. A helyettesítés hatás és a jövedelemhatás addtív: így a teljes hatás az ábráról könnyűszerrel leolvasható. 9.4 Ktérő az alesetekről: alsóbbrendű javak, Gffen-javak Ejtsünk néhány szót az alesetekről. Tegyük föl, hogy jószág alsóbbrendű. Egy lyen jószág fogyasztását a jövedelem növekedése bzonyos jövedelemsznt felett nverz módon befolyásolja. Lehetséges-e, hogy a fogyasztó kosarunkban levő valamenny (jelen esetben: mndkét) jószág alsóbbrendű legyen? Nem. A jövedelemnövekményt valahogy el kell költen. Legalább az egyk jószágnak normál jószágnak kell lenne. Rajzoljuk újra a preferencatérképet alsóbbrendű jószág esetén: 9. fóla Alsóbbrendű javaknál a helyettesítés hatás és a jövedelemhatás ellentétes rányú. A teljes hatás előjele nylvánvalóan a két hatás abszolút nagyságától függ. Abban az esetben, ha a helyettesítés hatás erősebb, mnt az (ebben a specáls esetben) vele ellentétes rányú jövedelemhatás, akkor a teljes hatás negatív marad, jóllehet nagyságát tekntve gyengébb lesz, mnt abban az esetben, ha a termékünk normál jószág lenne. Az alsóbbrendű javak szélsőséges esete a Gffen-jószág, amelynél a helyettesítés hatással ellentétes rányú a jövedelemhatás, s erősebb s, mnt a helyettesítés hatás. Ilyenkor a teljes hatás negatív lesz, vagys a csökkenő árú jószág fogyasztása s csökkenn fog. 9. fóla Noha ez az eset elvleg lehetséges, emprkusan annyra rtka, hogy gyakorlat szempontból teljesen érdektelennek teknthető. 7 Belátható, hogy n termék esetén, ha vannak s kegészítő javak, valamlyen mértékű helyettesítésnek lenne kell a rendszerben. 6

7 E rövd ktérő után vsszatérünk a főcsapásra. A korábban bemutatott felbontásnak algebra formát s adunk. Továbbá kmondjuk és bebzonyítjuk a keresletelmélet egyk fontos tételét, a Szluckj-tételt. 9.5 A helyettesítés hatás és a jövedelemhatás algebra szétválasztása: Szluckj-tétel A tétel kmondásának és bzonyításának lépése a következők: 9. fóla. lépés: Felelevenítjük a hasznosságmamalzálás feladatot, és levezetjük belőle származtatott (ún. marshall) kereslet függvényt. 9.3 fóla. lépés: Felelevenítjük a kadásmnmalzálás feladatot, és levezetjük a belőle származtatott (ún. hcks) kereslet függvényt. 9.4 fóla egjegyzés: a hcks kereslet függvényt kompenzált kereslet függvénynek s nevezk: H H (,, ~ p p u ). Ennek az az oka, hogy a függvény defnícójából adódóan ( u u~ ) nem teszünk egyebet, mnt folyamatosan hozzágazítjuk a fogyasztó reáljövedelmét az árváltozásokhoz annak érdekében, hogy a fogyasztót egy rögzített hasznosság sznten tartsuk. Pl. ha mnt az előzőekben kfejtett esetben tettük csökkentjük az egyk árat, akkor a fogyasztó reáljövedelmét s olyan mértékben csökkentjük, amely éppen elegendő ahhoz, hogy hasznosság szntje az eredet optmáls döntéséhez tartozó sznten maradjon. Vagy ha épp ellenkezőleg növeljük az egyk árat, akkor éppen anny pótlólagos jövedelemmel kárpótoljuk ( kompenzáljuk ), hogy új optmáls döntését azon feltétel mellett tanulmányozhassuk, mntha korább optmumának megfelelő hasznosság szntjéről nem mozdult volna el. A marshall kereslet függvényt, melyben lyen korlátozással nem élünk, analóg módon kompenzálatlan kereslet függvénynek nevezzük. 3. lépés: A hcks kereslet függvénnyel összhangban bevezetünk egy fontos új fogalmat: a kadás függvényt: 9.5 fóla A kadás függvény megadja egy rögzített hasznosság sznt eléréséhez mnmálsan szükséges pénzkadás mértékét a mndenkor árak és az elérn kívánt hasznosság sznt függvényében. A kadás függvény tehát a m kéttermékes esetünkben egy háromváltozós függvény. Függő változója az adott két árhoz és a rögzített hasznosság sznthez mnmálsan szükséges pénzkadás mértéke, amely kadás sznt a három argumentum a két ár és a bárhol rögzíthető hasznosság sznt függvényében változhat. 7

8 A Szluckj-tétel bzonyítása céljából kemelünk egyet a kadás függvény számos fontos (e helyütt nem részletezett) tulajdonsága közül. Ez a gondolat átvezet a 4. lépéshez. 4. lépés: Kmondjuk a kadás függvény egy fontos tulajdonságát a Shephard-lemmát (segédtételt). Shephard-lemma: A kadás függvény ár szernt parcáls derváltja (feltéve, hogy létezk) egyenlő a megfelelő jószág hcks kereslet függvényével. Bzonyítsuk be ezt a tételt. 9.6 fóla 9.7 és 9.8 fóla 5. lépés: A Szluckj-tétel kmondásához és bzonyításához szükséges legfontosabb gondolat a dualtás szemlélet. Intutíve gen vlágos és egyszerű dologról van szó. A fogyasztó döntés problémáját mnt azt a 7. előadás során bemutattuk kétféleképpen szemlélhetjük: (a) (b) Adottnak vesszük a jövedelmünket és az árakat, és megkeressük az lyen feltételek mellett számunkra elérhető legmagasabb hasznosság szntet. Kválasztjuk a számunkra megfzethető legjobb jószágkosarat > hasznosságmamalzálás. Fordított módon s eljárhatunk. Rögzíthetünk egy hasznosság szntet, melynél kevesebbel nem érjük be, és megkeressük azt a mnmáls kadás szntet (vagy elkölthető jövedelmet), amvel ezt a tervünket megvalósíthatjuk. Kválasztjuk az adott hasznosság szntet elérő, legksebb pénzkadás révén megvásárolható jószágkosarat > kadásmnmalzálás. A dualtás szemlélet lényege, hogy mnden haszonmamalzálás problémának megfeleltethető egy kadásmnmalzálás probléma, amely pontosan ugyanazt a megoldást (ugyanazt az optmáls jószágkosarat) adja, mnt a kndulópontnak választott haszonmamalzálás probléma. Ugyanez gaz megfordítva s. 9.9 fóla De ha ez gaz, akkor az optmáls jószágkosarak bármelykét előállíthatjuk két egymásnak kölcsönösen megfeleltethető kadásmnmalzálás, lletve haszonmamalzálás feladat eredményeképpen. Ezt a hcks és marshall kereslet függvények segítségével operaconalzálhatjuk. A kadásmnmalzálás problémánál (és ebből adódóan a hcks kereslet függvényben) épp azon a hasznosság sznten mnmalzáljuk kadásankat, ahová a haszonmamalzálás probléma megoldásakor eljutottunk. Vagy megfordítva: a haszonmamalzálás probléma költségvetés korlátjában (és ebből adódóan a marshall kereslet függvényben) épp anny jövedelmet adunk a fogyasztónak, amenny a kadásmnmalzálás feladatban elérn kívánt hasznosság sznt realzálásához mnmálsan szükségesnek bzonyult. Amennyben tehát a haszonmamalzálás problémában szereplő rögzített jövedelmet, lletve a kadásmnmalzálás problémában szereplő rögzített hasznosság szntet az 8

9 előbbek értelmében egymáshoz gazítjuk, akkor az ly módon meghatározott pontokban (jószágkosarak esetében) a marshall és hcks kereslet függvények értéke egybeesnek. 6. lépés: A Szluckj-tétel általános kmondásához írjuk föl az előző fólán látható azonosságot, és írjuk k a függvények valamenny argumentumát. Dfferencáljuk az azonosságot valamelyk (az -edk vagy j-edk) ár szernt. 9. fóla A tételt ezzel kmondtuk, és egyszersmnd be s bzonyítottuk. A fent egyenletet értelemszerűen Szluckj-egyenletnek nevezk. 9.6 A Szluckj-tétel közgazdaság értelmezése és következménye Ugyanarról van szó, mnt amről eddg s beszéltünk: a Szluckj-egyenlet pontos formulát ad annak, ahogy az árváltozás okozta keresletváltozást komponensere helyettesítés és jövedelemhatásra bontjuk. 9. fóla Szorozzuk végg az egyenletet az terméket érntő árváltozással ( dp p p ): 9. fóla < Az termék árcsökkenése természetesen hatással van a kereslet rendszer összes több termékéből (tt: a másk termékből) fogyasztott optmáls mennységre s: 9.3 fóla A saját árhatással kapcsolatban kmondunk egy gen fontos tulajdonságot. Nevezetesen: a saját helyettesítés hatás előjele mndg ellentétes az árváltozás előjelével. ásképpen: a keresett mennység változása mndg ellentétes előjelű, mnt a szóban forgó termék árának változása: 9.4 és 9.5 fóla Következmény: A hcks kereslet függvény negatív (nem-poztív) meredekségű. A fejezet lezárásaként kmondjuk a keresletelmélet egy gen fontos megállapítását, a kereslet törvényét 8 : ha egy termék normál jószág (vagys fogyasztása a jövedelem növekedésével emelkedk), akkor az árcsökkenés következtében az llető jószág fogyasztása nő, lletve árnövekedéskor a jószág fogyasztása csökken. A kereslet törvénye nylvánvalóan a Szluckj-tétel következménye, ugyans normál jószág árváltozása esetén mnd a saját árhatás (ezt az előbb láttuk be), mnd a jövedelemhatás negatív. vel a két hatás összeadódk, a teljes hatás előjele s negatív. 8 Samuelson ezt egyenesen a keresletelmélet alaptételének (fundamental theorem of consumpton theory) nevezte. 9

10 Következmény: normál javak esetén a (marshall) kereslet görbe negatív (nem poztív) meredekségű. egjegyzés: amkor jelző nélkül használjuk a kereslet görbe kfejezést, akkor mndg a helyettesítés hatást és jövedelemhatást egyaránt magában foglaló marshall kereslet görbéről beszélünk. Ház feladat: Rajzoljuk le a hcks és marshall kereslet görbét egy grafkonra, és mutassuk meg rajta az árcsökkenés okozta saját helyettesítés és jövedelemhatást. Jevgenyj Szluckj (88 948)

11 9. előadás SZLUCKIJ-TÉTEL ELLÉKLET Kertes Gábor

12 9. A kereslet rendszer n termék esetén ( p,p,...,p,...,p,m,k,...,k ) ( p,p,...,p,...,p,m,k,...,k ) n n l l ( p,p,...,p,...,p,m,k,...,k ) n l n n ( p,p,...,p,...,p,m,k,...,k ) n l

13 9. Kéttermékes kereslet rendszer (környezet változók nélkül) ( p,p,m) ( p,p,m) 3

14 9.3 Az árváltozás hatása a fogyasztó döntésre 4

15 9.4 Az új árarány mellett nem maradhatunk meg eredet döntésünknél 5

16 9.5 A helyettesítés hatás kétféle mérése 6

17 9.6 A kadásmnmalzálás probléma 7

18 9.7 Helyettesítés hatás 8

19 9.8 Jövedelemhatás 9

20 9.9 A helyettesítés hatás és a jövedelemhatás együtt

21 9. Alsóbbrendű jószág ( )

22 9. Gffen-jószág szélsőségesen alsóbbrendű jószág ( )

23 9. A Szluckj-tétel levezetésének logka lépése. lépés: hasznosságma. marshall kereslet fv.. lépés: kadásmn. hcks kereslet fv. 3. lépés: a kadás függvény defnálása 4. lépés: a kadás fv. egy tulajdonsága: Shephard-lemma 5. lépés: dualtás 6. lépés: a Szluckj-tétel kmondása és bzonyítása 3

24 9.3 Hasznosságma marshall kereslet fv. (,, λ) u(, ) λ( p + p m) ma L, ERF: u : u : λp λp u u p p λ : p + p m p + p m ~ ~ ( p,p,m) ( p,p,m) marshall kereslet fv-k ásképpen: ( p,p,m) 4

25 Kadásmn 9.4 hcks kereslet fv. ERF: ( u(, ) ) mn L(,, µ ) p + p µ, u~ : p : p u µ u µ u u p p ~ µ u(, ) u (, ) u ~ : u ~ ~ ~ ~ ( p,p,u ~ ) ( p,p,u ~ ) hcks kereslet fv-k H H ásképpen: ( p,p,u ~ ) 5

26 9.5 A kadás függvény fogalmának bevezetése Kadás függvény: (,p, ~ u) { mn p + p, ~ u u(, ) } m p { p + p u ~ u} 6

27 9.6 Shephard-lemma ( p,p,u) m kadás függvény Shephard-lemma: m p (,p,u) H ( p,p,u) A kadás függvény ár szernt parcáls derváltja - feltéve, hogy létezk - egyenlő a megfelelő jószág hcks kereslet függvényével. 7

28 9.7 A Shephard-lemma bzonyítása (p,p ) egy tetszőleges árvektor, u egy rögzített hasznosság sznt. (, ) a (p,p )-hoz és u-hoz tartozó optmáls jószágkosár. Ez a kadásmn. feladat megoldása. ( p,p ) egy másk (p,p ) (p,p ) árvektor. Defnáljunk egy f(p,p ) segédfüggvényt az alábbak szernt: f (p,p ) p + p m(p,p,u), ahol m(p,p,u): a kadásmn. feladatból származtatott kadás függvény Könnyen belátható, hogy: f(p,p ). ért? (, ) nem feltétlenül opt. ( p,p ) árak mellett, m(p,p,u) pedg ( p,p ) árak mellett a mnmáls kadás. 8

29 9.8 A Shephard-lemma bzonyítása (folytatás) Ha vszont (p,p ) (p,p ), akkor f(p,p ) felvesz a mnmumát: f(p,p ) A mnmumpontban azonban: f(p,p ) (,) szükséges feltételek fennállnak. f(p m(p,p,u) Írjuk k:,p )! Vagys: m(p,p,u) p. vel (p,p ) egy önkényesen megválasztott pont volt, ez tetszőleges ( p,p )-re gaz: m p (,p,u) H ( p,p,u) (,) 9

30 9.9 Dualtás 3

31 9. A Szluckj-tétel kmondása és bzonyítása (,u ~ p,p ) ( p,p ( p,p,u ~ )) H,m ~ Dfferencáljuk tetszőleges p j (j,) szernt! H j j + m ~ m ~ ( p,p,u ~ ) j H j (Shephard lemma) Így: H j u u ~ j + j m ~ Átrendezve, megkapjuk a Szluckj-egyenletet: j H j u u ~ m ~ j (,j,) 3

32 9. Szluckj-tétel a m specáls (dp <; p, m rögzített) esetünkben H u u ~ m ~ ( p,p,m) Saját-árhatás Jövedelemhatás H u u ~ m ~ ( p,p,m) Keresztárhatás Jövedelemhatás 3

33 9. dp < árváltozás hatása -re Szorozzuk végg a Szluckj-egyenletet dp -gyel! dp H u u ~ dp m ~ dp vagys: d m ~ <! dp H u u ~ dp m ~ dm ~ TH HH JH 33

34 9.3 dp < árváltozás hatása -re Szorozzuk végg a Szluckj-egyenletet dp -gyel! dp H u u ~ dp m ~ dp d m ~ <! vagys: dp H u u ~ dp m ~ dm ~ TH HH JH 34

35 9.4 A saját helyettesítés hatás előjele mndg ellentétes az árváltozás előjelével 35

36 9.5 A saját helyettesítés hatás előjele mndg ellentétes az árváltozás előjelével (folytatás) Vektorokkal: Összeadva és átrendezve: p qy py q ( q p)( y ) Komponensekre bontva: ( p )( y ) + ( q p )( y ) q Ha csak az egyk termék ára változk (vagys, ha q p ): ( p )( y ) q. Általánosabban: p u u ~ Átrendezve és határértékre nézve: lm p u u ~ H u u ~ H u u ~ 36