STATISZTIKA III. Oktatási segédlet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "STATISZTIKA III. Oktatási segédlet"

Átírás

1 MISKOLCI EGYETEM Gazdaságtudomány Kar Üzlet Informácógazdálkodás és Módszertan Intézet Üzlet Statsztka és Előrejelzés Tanszék STATISZTIKA III. Oktatás segédlet 003.

2 MISKOLCI EGYETEM Gazdaságtudomány Kar Üzlet Informácógazdálkodás és Módszertan Intézet Üzlet Statsztka és Előrejelzés Tanszék STATISZTIKA III. Oktatás segédlet Készítette: Dr. Ilyésné dr. Molnár Emese egyetem adjunktus Kovács Tamás doktorandusz

3 Ez az oktatás segédlet a Mskolc Egyetem Gazdaságtudomány Karán folyó nappal és levelező közgazdász képzésben a Statsztka III. tantárgy oktatásához készült. 3

4 MINTAVÉTELES ELJÁRÁSOK I. Az nformácó szerzés módja A társadalm-gazdaság folyamatok (statsztka) elemzéséhez megbízható, pontos nformácókra van szükség. Az nformácók lehetnek számszerű jellemzők, vagy szövegesen kfejezhető tulajdonságok. Azok az nformácók, amelyeket egy szervezet saját magáról gyűjt, elemez, továbbít, belső nformácóknak nevezzük. Ugyanakkor a folyamatok megsmeréséhez szükség van a külső környezet megsmerésére, lletve előfordulhat, hogy k kell elégíten más szervezetek, vagy a környezet nformácós gényét s. A környezetre vonatkozó nformácókat külső nformácóknak nevezzük. Az adatokhoz (nformácókhoz) hozzájuthatunk úgy s, hogy saját magunk közvetlenül gyűjtünk adatokat, vagy valamlyen erre specalzált szervezetet bízunk meg az adatgyűjtéssel. Az így szerzett adat az elsődleges (prmer) adat. Ha már korábban nylvánosságra hozott, mások által egyéb célra gyűjtött és felhasznált adatokból dolgozunk, akkor másodlagos (szekunder) adatokról beszélünk. Ilyenek például a Központ Statsztka Hvatal által gyűjtött és publkált adatok. A gyakorlat munka során gyakran kerülhetünk olyan helyzetbe, hogy nem tudjuk, vagy nem akarjuk a vzsgált alapsokaság összes adatát összegyűjten és megvzsgáln, hanem megelégszünk, vagy meg kell elégednünk azzal, hogy a teljes sokaságnak csak egy részét, egy mntát vzsgálunk meg, s ez alapján vonjuk le a következtetésenket az alapsokaságra. Például, ha azt szeretnénk megtudn, hogy az egyetemsták menny dőt fordítanak a tanulásra a szorgalm dőszakban, akkor algha választhatjuk azt a megoldást, hogy az összes egyetemstát megkérdezzük, és ez alapján válaszoljuk meg a kérdést. Sokkal kézenfekvőbb néhány (száz vagy ezer) egyetemsta megkérdezése után levonn a következtetést. Elvleg (fzkalag) kvtelezhető lenne, hogy megkérdezünk mnden egyetemstát, de a befektetett munka nem lenne arányban a kapott eredménnyel, hszen néhány (száz vagy ezer) egyetemsta megkérdezésével s megbízható eredményre juthatunk. Ugyanakkor bzonyos esetekben az s előfordulhat, hogy lehetetlen a sokaság mnden elemének megfgyelése. Gondoljunk például arra, ha azt szeretnénk megtudn, hogy egy csomagoló automata mlyen selejtaránnyal dolgozk. Ekkor meg kellene számoln, hogy az automata az üzembe helyezésétől kezdve a működőképességének végég hány selejtet állított elő. Mre a számolás véget érne, a megszerzett nformácó már érdektelenné válna. Hasonlóan lehetetlen a teljes sokaság vzsgálata akkor, ha a megfgyelés, vzsgálat az egyedek károsodásával jár, például szakító próbának tesszük k a terméket (anyagot). Nylvánvalóan a próba után már nem lesz a termék ugyanolyan tulajdonságú, nem lesz ugyanakkora a szakító szlárdsága, mnt a próba előtt. Tehát el kell fogadnunk, hogy dőnként nem érdemes, vagy lehetetlen megvzsgáln a teljes sokaságot, csak egy mnta megfgyelése alapján kell levonnunk a következtetésenket. Ahhoz azonban, hogy ez a következtetés helytálló, megbízható legyen, a megfgyeln kívánt mntát megfelelően, matematka-statsztka szabályok, törvények fgyelembe vételével kell kválasztan, a mntavételt meg kell tervezn. A különböző adatszerzés módok részletes smertetése előtt smételjünk át néhány alapfogalmat, jelölést. 4

5 a.) a sokaság eleme: X 1, X, X N, ; lehet véges elemszámú (N) vagy végtelen b.) mntaelemek: x 1, x,..x n véges számú valószínűség változó, értékük mntáról mntára változhat. c.) véletlen kválasztás: mnden sokaság elem egy előre meghatározott valószínűséggel kerül a mntába, mely nem azonos a hétköznap értelemben használt véletlennel! d.) lsta: a sokaság elemenek felsorolását tartalmazza. e.) kválasztás arány: N n f.) mntavétel hba, mely abból adódk, hogy nem a teljes sokaságot fgyeltük meg. g.) a felvételhez kapcsolódó hbák, függetlenül attól, hogy a megfgyelés teljes körű volt e, vagy részleges (pld. pontatlan kérdés, hbás vagy hbásan rögzített válasz, stb.) A mntavétel célja tehát olyan adatokat nyern, amelyek segítségével megalapozott következtetéseket lehet levonn a sokaságra vonatkozóan. A mntavétel lépése: 1. a mntavétel megtervezése, a mntaelemek kjelölése. a kjelölt mntaelemek megfgyelése, azaz a felvétel végrehajtása II. Mntavétel módok A különböző adatszerzés módokat, lletve a megfgyelés, a mntavétel leggyakrabban előforduló módszeret az alább ábra mutatja be: ADATSZERZÉSI MÓDOK Részleges adatfelvétel Teljes körű adatfelvétel (cenzus) Kontrollált kísérletek Reprezentatív megfgyelés Egyéb részleges adatfelvétel Véletlenen alapuló kválasztás FAE EV R CS TL Nem véletlenen alapuló kválasztás Szsztematkus Kvótás Hólabda Koncentrált Önkényes Stb. 5

6 Teljes körű adatfelvétel (cenzus) csak véges sokaság esetén lehetséges. Mvel gen dőés költséggényes, ezért csak rtkán, vagy ks elemszámú sokaság esetén kerül rá sor. Nálunk rendszeresen a Központ Statsztka Hvatal végez teljes körű megfgyeléseket nagy méretű sokaság esetén. Ilyen például a 10 évenként sorra kerülő népszámlálás vagy az általános mezőgazdaság összeírás (ÁMÖ). A részleges adatfelvételeket három nagy csoportba sorolhatjuk, melyek tulajdonságakban alapvetően eltérnek egymástól. Kontrollált kísérletek: végtelen sokaságról való nformálódás eszköze arra ad választ, hogy a kísérlet végzője által megtervezett feltétel együttesek (kezelések) mlyen eredményre vezetnek. Reprezentatív megfgyelés: a mntavételből származó mnden eredményt a sokaság egészének jellemzésére használják fel, azaz általánosítanak a teljes sokaságra. reprezentatív a mnta, ha tükröz az alapsokaságot, annak jellemzőt, tulajdonságat, összetételét. mndg megadható a mntavétel hba, azaz, hogy a mntavétel tényéből mekkora hba fakad. Nem reprezentatív megfgyelés (egyéb részleges megfgyelés): nncs benne az általánosításra való törekvés, a következtetések kzárólag a megfgyelt egyedekre vonatkoznak. A továbbakban a reprezentatív megfgyelésen belül a véletlenen alapuló kválasztással foglalkozunk részletesebben. A véletlen kválasztást s többféleképpen lehet és érdemes végrehajtan annak függvényében, hogy mlyen smeretekkel rendelkezünk az alapsokaságról, s természetesen, hogy mennyre szeretnénk növeln a következtetésünk megbízhatóságát, pontosságát. Ha a vzsgáln kívánt sokaság a vzsgálat szempontjából homogénnek teknthető, azaz nem különíthetőek el benne a vzsgálat szempontjából eltérően vselkedő egyedek, valamnt smert, azaz rendelkezésre áll a teljes sokaság a mntavételhez, akkor egyszerűbben végrehajtható módszereket alkalmazhatunk. Azonban abban az esetben, ha tudjuk az alapsokaságról, hogy az eleme a vzsgálat szempontjából egyértelműen, jól csoportosíthatók, azaz heterogén a sokaság, akkor a megbízható következtetés érdekében nem elégedhetünk meg az előbb említett egyszerűbb módszerekkel, mert esetleg olyan mntához jutunk, mely téves következtetésekhez vezet. A mntavétel megtervezése, a mntavétel módok közül a célnak, lletve a sokaság jellemzőnek legmegfelelőbb kválasztása egyértelműen azt a célt szolgálja, hogy következtetésünk mnél nagyobb megbízhatóságú legyen. Ezt egy egyszerű, de gen szemléletes példával s gazoln lehet. Feladatunk a szórakozásra (moz, színház, különböző rendezvények valamnt könyvtár-látogatásra) fordított dő meghatározása, becslése. Nylvánvaló, hogy azok, akk nagyobb városokban élnek, lletve akknek a jövedelme az átlagostól magasabb, azoknak több a lehetőségük az lyen jellegű tevékenységre. Tehát a sokaság ebből a szempontból nem teknthető homogénnek, mert a lakóhely és a jövedelem s erősen befolyásolja a szórakozásra fordított dőt. Ha ebben az esetben a legegyszerűbben végrehajtható, un. egyszerű mntavételt alkalmazzuk, akkor előfordulhat szélsőséges esetben hogy a mntánk csak főváros, vagy kzárólag alacsonyabb jövedelmű egyéneket fog 6

7 tartalmazn. Ha ebből a mntából vonjuk le a következtetésünket, akkor vagy egyk, vagy másk rányba, de gen jelentősen el fog térn az eredmény a valóságostól. A továbbakban tekntsük át részletesebben a véletlenen alapuló kválasztás módok közül azokat, amelyek a gyakorlat életben a leggyakrabban fordulnak elő: 1.) FAE független, azonos eloszlású mnta Homogén és végtelen vagy nagyon nagy számosságú sokaságból veszünk mntát vsszatevéssel vagy vsszatevés nélkül. Hasonló eredményre vezet, ha véges sokaságból egyenlő valószínűséggel vsszatevéses mntát veszünk. Gyakorlat alkalmazása elsősorban a tömegtermelés mnőségellenőrzésénél célszerű..) EV egyszerű véletlen mnta Összehasonlítva: Homogén és véges elemszámú sokaság esetén alkalmazható. A mntát vsszatevés nélkül választjuk k. Mnden lehetséges n elemű mnta kválasztásának a valószínűsége azonos. Hasonló a FAE mntához, de véges és ksebb elemszámú sokaságok esetén nkább ez használatos. a FAE kényelmesebb elmélet tulajdonságokkal rendelkezk, az EV pedg a gyakorlatban nkább használatos (azonos elem megfgyelése felesleges, lletve ha a megfgyelés károsítja az egyedet, akkor a vsszatevés nem valósítható meg). A Statsztka II. tantárgy keretében megsmert módszerek, melyek lehetővé teszk a mntából a teljes sokaságra történő következtetést a matematka hátterüket tekntve független, azonos eloszlású mnta esetén alkalmazhatók, ennek ellenére tanulmányank során ezeket a módszereket egyszerű véletlen mntavétel esetén használtuk. Ennek oka egyrészt, hogy a gyakorlatban sokkal gyakrabban használatos az egyszerű véletlen mntavétel, mvel a vsszatevés csökkenthet a rendelkezésre álló nformácó mennységét. Másrészt vszont a megsmert matematka statsztka módszerek egyszerű véletlen mntavétel esetén s használhatók, akkor, ha a becslés n (következtetés) hbáját egy k 1- korrekcós tényezővel korrgáljuk. A korrekcó N elhagyható, ha a kválasztás arány nagyon kcs, azaz a kválasztás arány nem ér el a 10 %-ot. Az előző két mntavétel mód megbízhatóan csak homogén sokaság esetén használható, am a gyakorlatban nagyon rtka. Ha smert, hogy a sokaság a vzsgálat szempontjából jól elkülöníthető csoportokra bontható, akkor az előzőekben smertetett mntavétel módok ugyan technkalag használhatók, de megbízhatóságuk kérdéses. Ekkor célszerű az egyes csoportokat rétegeket külön-külön vzsgáln, azaz rétegezett mntavételt használn. 7

8 3.) R rétegzett mntavétel Heterogén sokaság esetén alkalmazható. Először a fősokaságot valamlyen smérv szernt átfedés-mentesen homogén rétegekre osztjuk; Ezután az egyes rétegeken belül egymástól függetlenül EV (rtkábban FAE) mntát veszünk. Jelölés: N 1, N, N M a rétegek elemszáma n 1, n,..n m a mnták elemszáma M j1 N j N és M j1 n j n Azért célszerű ennek a mntavétel módnak az alkalmazása, mert azonos mntanagyság esetén a vzsgált jellemzőkre (µ, σ) ksebb hbát kapunk, mnt az EV mntavétellel, feltéve, hogy a rétegezés jó volt. Rétegezés módok: mlyen szempontok alapján döntsük el, hogy egy-egy rétegből menny egyedet fgyeljünk meg, azaz mlyen legyen a mnta rétegenként elosztása? a.) egyenletes: - mnden rétegből ugyananny elemet választunk k függetlenül az egyes rétegek részarányától, lletve a réteg egyéb tulajdonságatól: n n j n ; előnye, hogy végrehajtása gen egyszerű. N - Grafkusan ábrázolva: N 1 N 3 N n b.) arányos: - a mntába az egyes rétegek sokaság arányanak megfelelően választjuk az elemeket n j N j n N - végrehajtása szntén egyszerű, s mvel a mntában és a sokaságban ugyanazok az arányok teljesülnek, ez megkönnyít a később számításokat. 8

9 - Grafkusan ábrázolva: N 1 n 1 n 3 N 3 n N c) Neyman-féle optmáls: - rögzített mntanagyság esetén kedvezőbb tulajdonságú mntát kapunk, ha a nagyobb szóródású rétegből nagyobb mntát veszünk: n j N j σ j N σ j j n - mnmáls mntavétel hbához jutunk, de a végrehajtása a gyakorlatban nem egyszerű, mvel szükséges hozzá a rétegek szórásának smerete. d) költség-optmáls: - az egyes rétegek szórása mellett smerjük és a kválasztásnál fgyelembe vesszük az egyes rétegek megfgyelésének költségét s. - adott költségkeret mellett mnmáls hbát eredményez. A rétegzett mntavétel specáls kérdése: a.) többcélú mnta: előfordulhat, hogy egy felméréssel több esetenként eltérő kérdésre keresk a választ, ekkor felmerül a kérdés, hogy m legyen a rétegképző smérv/szempont? Lehetséges megoldások: () kompromsszumos elosztás: a különböző szempontok szernt elvégzett elosztás átlagát tekntjük a legjobb elosztásnak. () Kombnált rétegzés: nem egy, hanem több smérv alapján bontjuk a sokaságot rétegekre. Pld. KSH ELAR lakosság adatfelvételében a lakosságot lakóhely (megye) településtípus (város, község) szernt rétegezk. foglalkozás struktúra b.) utólagos rétegzés: az adatfelvétel eredetleg egyszerű véletlen mntavétellel történt, mvel nem volt smert, hogy a vzsgáln kívánt sokaság a vzsgálat szempontjából heterogén. Ekkor a felvétel eredményet utólag soroljuk rétegekbe, és úgy számolunk vele, mntha az adatok eleve rétegzett mntából származnának. 9

10 A továbbakban smertetett mntavétel módok leggyakrabban akkor használhatók, ha smerjük ugyan a vzsgáln kívánt sokaságot, de nem áll rendelkezésre a sokaság elemenek a teljes lstája, am alapján a mntavételt megtervezhetjük, ugyanakkor smert, hogy a sokaság mlyen csoportokra bontható, s rendelkezésre áll a csoportok lajstroma. 4.) CS csoportos (egylépcsős) mntavétel Homogén, véges sokaság esetén használható, ha nem áll rendelkezésre a sokaság elemek teljes lstája, de nagyobb csoportokra rendelkezünk lstával. Akkor s alkalmazható, ha a csoportok a koncentráltságuk matt könnyebben, olcsóbban fgyelhetők meg, mnt az egyedek. Először a csoportok halmazából EV mntát veszünk, majd az így kválasztott csoportokat teljes körűen megfgyeljük (pld: skolások drogfogyasztás szokása). - elsődleges mntavétel egység amre a mntavétel közvetlenül rányul (skolák) - másodlagos/végső mntavétel egység amre a következtetést le akarjuk vonn (dákok) 5.) TL többlépcsős mntavétel hasonló esetekben használjuk, mnt a csoportos mntavételt tt több lépcsőben jutunk el a végső megfgyelés egységhez leggyakorbb a kétlépcsős - először EV mntavétellel kválasztjuk a csoportokat, majd a csoporton belül s EV mntavételt végzünk. Pld. skolák (EV) osztályok (EV) dákok (EV v teljes körűen) Grafkusan ábrázolva: EV vagy FAE R CS TL A matematka-statsztka módszerekkel történő valószínűség alapokon nyugvó következtetésnek a véletlenen alapuló mntavétel az alapja, mégs a gyakorlatban előfordulhat, hogy egyéb mntavétel módot alkalmazunk. Természetesen, ha a kválasztásban a véletlen helyett a tudatos befolyásolás érvényesül, le kell mondanunk arról, hogy a megfgyelés a következtetés megbízhatóságát, pontosságát a véletlenen alapuló matematka-statsztka módszerekkel határozzuk meg. Ugyanakkor a gyakorlat haszna ezeknek a módszereknek mégs szükségessé tesz a módszerek áttekntő smertetését különösen azért, mert bzonyos esetekben a nem véletlenen alapuló kválasztás hasonló tulajdonságokkal rendelkezhet, mnt a reprezentatív megfgyelés egyéb módszere. 10

11 Nem véletlen mntavétel eljárások 1) Szsztematkus kválasztás ha n elemű mntát akarunk venn egy N elemű sokaságból, akkor meghatározva a N k lépésközt a k 0 véletlen kezdőpontból kndulva mnden k-adk elemet fgyeljük n meg: k 0, k 0 +k, k 0 +k;. A mnta gyorsan és mechankusan kválasztható. Egybeeshet az EV megfgyeléssel, ha az elemek felsorolása független a megfgyelés tárgyától. ). Kvótás kválasztás A felvételt végző személy előre megkapja, hogy mlyen összetételűnek kell lenn a mntának. Pld. Lakosság egészség állapota korcsoportok adottak 3.) Koncentrált kválasztás Erősen koncentrált sokaság esetén használható, amkor vszonylag kevés egyed nagy befolyással/hatással rendelkezk a sokaság jellemzőre ezeknek nagyobb esélyt adunk a mntába kerülésre. Pld: fogyasztó árndex számításánál egy-egy termékcsoportot az reprezentál, amelynek a legnagyobb a forgalma. 4.) Hólabda kválasztás Rtka és nehezen számba vehető sokaságnál alkalmazható. Néhány kválasztott egyedből kndulva azok smeretség körében keressük a következő mntaelemeket, majd az új egyedek smét a saját smeretség körükben továbbadják a kérdőívet. 5.) Önkényes (szubjektív) kválasztás Ez volt a reprezentatív mntavétel történetleg elsőként alkalmazott módszere. A mntavételt tervező szakma smerete alapján választják k a mntát. Ismételt vagy másodlagos mntavétel eljárások Az alábbakban smertetett módszereket akkor alkalmazhatjuk, ha a megfgyelés eredményeképpen nem áll rendelkezésre elegendő számú adat (nformácó), nncs elég nagy mnta a következtetésenk levonásához. A másodlagos mntavétel eljárások főbb jellemző: Specáls csoport a gyakorlatban alkalmazott mntavétel módok között. Elv alapja az a felsmerés, hogy a tényleges mntavétel gen költséges, míg a számítógép használata egyre olcsóbb! A meglévő ksebb és olcsóbb mntákat számítógépes módszerekkel megtöbbszörözk. A meglévő mntából újabb mntákat képeznek azért, hogy a mntában lévő nformácókat jobban khasználják. 11

12 1) Független részmnták módszere A legegyszerűbb mntasmétlés módszer A meglévő mnta független és véletlen feldarabolásával új mntákat állít elő. ) Kegyensúlyozott smétlések: Az összes lehetséges módon felez a mntát. 3) Jackknfe módszer Úgy állít elő új mesterséges mntákat, hogy az eredet mntából mndg elhagy egy-egy elemet n db n-1 elemű mntát kap. 4.) Bootstrap módszer A meglévő n elemű mntából újabb n elemű vsszatevéses mntákat készít. III. Mntafeladat megoldása Az egyszerű véletlen mntavétel esetén már a Statsztka II. tantárgy keretében megsmerhettük a mntából való következtetés, a becslés és hpotézs-vzsgálat legegyszerűbb módszeret. A továbbakban egy mntapélda részletes smertetésén keresztül megsmerhetjük a várható érték és a szórás, mnt két legfontosabb sokaság jellemző becslésének módszerét rétegzett mntavétel esetén s, valamnt egy specáls becslés eljárás, a hányados-becslés alapjat. A mntából való következtetés másk nagy csoportjából, a hpotézs-vzsgálat módszere közül az un. nemparaméteres próbák alkalmazását mutatjuk be. Annak érdekében, hogy Magyarországot tursztka szempontból vonzóbbá tegyük a Kelet-Közép Európa tursták számára s, a jelenleg helyzet megsmerése érdekében az Országos Idegenforgalm Hvatal részletes statsztka felmérést tartott öt szomszédos, vagy környező országból Csehországból, Horvátországból, Oroszországból, Szlovákából és Ukrajnából hazánkba érkezett személyek körében. Többek között vzsgálták az 1999-ben és 000-ben tt töltött vendégéjszakák és a nevezett országokból érkezettek számának alakulását. A felmérés során 000-ben összesen főt kérdeztek meg, akk a vzsgált országok szernt egyenletes megoszlásban kerültek a mntába. A rétegzett mntavétel alapján az alább adatok állnak rendelkezésre (a sokaság szórás értéke korább felmérésből smertek): Ország Hazánkba érkezettek száma (N ) Mntába kerültek száma (n ) Vendégéjszakák átlaga ( x ) Sokaság szórás (σ ) Mntabel szórás (s ) Csehország ,7 1,7 1,6 Horvátország ,1 1,0 1,1 Oroszország ,6,3,1 Szlováka ,9 1,4 1,5 Ukrajna ,6 1,1 0,8 Összesen

13 a) Várható érték becslése rétegzett mntából Az elemzés első lépéseként becsüljük meg az 5 országból hazánkba érkezett tursták által tt töltött vendégéjszakák átlagos számát 98%-os megbízhatóság sznt mellett! A feladat elvégzéséhez meg kell határoznunk a táblázat adata alapján a vzsgált 5 országból hozzánk érkezettek megoszlás vszonyszámat mnd a teljes sokaságban, mnd a mntában. A sokaság és mntabel arányok összevetéséből megállapíthatjuk, hogy arányosan, vagy nem arányosan rétegzett mnta áll rendelkezésünkre. A megoszlás vszonyszámokkal kbővített táblázat: Ország Hazánkba érkezettek száma (N ) Sokaságbel arány N ; (%) N Mntába kerültek száma (n ) Mntabel arány n ; (%) n Vendégéjszakák átlaga ( x ) Sokaság szórás (σ ) Mntabel szórás (s ) Csehország , ,7 1,7 1,6 Horvátország , ,1 1,0 1,1 Oroszország , ,6,3,1 Szlováka , ,9 1,4 1,5 Ukrajna , ,6 1,1 0,8 Összesen , ,8645 Látható, hogy nem arányos rétegezéssel van dolgunk, hszen a sokaság arányok jelentősen eltérnek a mntabel arányoktól. Ilyen esetben a mntaátlag és a mntaátlaghoz tartozó standard hba meghatározásához a sokaság arányokat kell alkalmaznunk. A mntaátlag meghatározása: N x x N 0,1866,7 + 0,1775,1 + 0,84 3,6 + 0,1685,9 + 0,1834,6,8645 A mnta alapján tehát azt mondhatjuk, hogy a vzsgált 5 országból hazánkba érkezett tursták átlagosan,8645 éjszakát töltöttek tt. Ez a mntaátlag jelent az tt töltött vendégéjszakák átlagának becslése szempontjából a pontbecslést. A becsléshez meg kell határoznunk a mntaátlag standard hbáját. Mvel a mntába került személyeknek a sokasághoz vszonyított aránya meghaladja a 10%-ot, ezért alkalmazn kell a n k korrekcós tényezőt, ahol k 1. N s x s x N s n 1, , , , N n N ,

14 Mvel nagy mntánk van, ezért a z eloszlásfüggvény táblázatából kell kkeresnünk a 98%-os megbízhatósághoz tartozó függvényértéket: z 0,98,3 A becslő függvény alapján most már elvégezhetjük a vendégéjszakák átlagos számára vonatkozó becslést: x ± s x zπ,8645 ± 0,0114,3 [,838 ;, 891] Levonhatjuk tehát azt a következtetést, hogy a vzsgált 5 országból érkező tursták által tt töltött vendégéjszakák átlagos száma 98%-os valószínűséggel,838 és,891 közé esk. Értékösszeg becslése Állapítsuk meg 95%-os megbízhatósággal azt, hogy 000-ben a vzsgált 5 országból Magyarországra érkezett tursták összesen menny vendégéjszakát töltöttek tt! Ehhez a sokaság összes elemszámával (N) kell megszoroznunk a 95%-hoz tartozó, új konfdenca ntervallum alsó és felső határát. ( x s z ) (,8645 ± 0,0114 1,96) [ 5640 ; ] N x ± π Megállapíthatjuk, hogy a vzsgált 5 országból 000-ben hazánkba érkezett tursták által tt töltött összes vendégéjszaka száma 95%-os valószínűséggel és közé esk. b) Neyman-féle optmáls rétegezés Állapítsuk meg, hogyan kellett volna mntavételt elvégezn, ha a Neyman-féle optmáls rétegezést alkalmaztuk volna! A Neyman-féle optmáls rétegezés alapelve az, hogy az egyes rétegek sokaság elemszáma mellett azok sokaság szórásának fgyelembe vételével válasszuk meg a mntába kerülő elemek számát. Ebből tehát az s következk, hogy amennyben rendelkezésre áll a számítás során a sokaság szórás értékeket kell alkalmazn és nem a mntabel szórásokat! A Neyman-féle optmáls rétegezés általános képlete: N σ n n N σ A nevező értékét célszerű előre kszámítan: N σ , , , 8 Ez alapján az egyes országokból érkező tursták esetén az alább táblázatban szereplő nagyságú mntákat kellett volna venn az optmáls rétegezéshez (mvel személyekről van szó, ezért a táblázatbel értékek egészre kerekítettek): 14

15 Ország Optmáls mntanagyság (fő) ,7 Csehország , ,0 Horvátország , ,3 Oroszország , ,4 Szlováka , ,1 Ukrajna ,8 Összesen Felhívjuk a fgyelmet, hogy a Neyman féle módszer az eredet mntanagyságot osztja fel az egyes rétegek között, így a rétegenként optmáls mntanagyság összegének azonosnak kell lenn az eredet mntanagysággal, jelen esetben fővel! c) Hányados-becslés Ahogyan már a feladat elején említettük, egy évvel korábban, 1999-ben s elvégeztek egy ugyanlyen felmérést, ahol a mnta elemszáma és a rétegezés módja s megegyezett a 000 évvel, amből tudjuk, hogy 1999-ben a vzsgált 5 országból érkezett tursták összlétszáma nem változott, az átlagos vendégéjszakák száma esetükben 3,15 volt, a mntabel szórás pedg 1,748. Ismert továbbá, hogy a két év mntája alapján az tt töltött vendégéjszakák szorzatösszege Határozzuk meg a két mnta alapján 98 %-os megbízhatósággal, hogy 1999-ről 000-re a vzsgált 5 országból érkezők esetében a nálunk töltött vendégéjszakák száma hány százalékkal esett vssza és ez hány vendégéjszakány csökkenést jelentett! A feladatot hányados-becslés segítségével oldjuk meg. Először mnt mnden becslés esetében el kell végeznünk egy pontbecslést, am jelen esetben a két mnta átlagának hányadosa lesz. Mvel dőbel változást vzsgálunk, ezért a 000-es mnta (továbbakban x-szel jelölve) átlagát kell elosztanunk az 1999-es mnta (továbbakban y-nal jelölve) átlagával. x h y,8645 3,15 0,917 Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a két év mntá alapján a vzsgált országokból érkezett tursták által tt töltött vendégéjszakák száma 1999-ről 000-re 8,3 %-kal csökkent. 15

16 Hasonlóan a több, eddg használt becslőformulához, jelen esetben s szükségünk van a standard hba meghatározására, melynek általános képlete hányadosbecslés esetén: y ( y) x + h h xy s h 1 Melőtt magát a standard hbát meghatározhatnánk, számos segédszámítást kell elvégeznünk. Az 1999-es mnta szórását smerjük, vszont a 000-es mntáét még nem. Számítsuk k először tehát a 000-es mnta szórását, amhez szükségünk lesz a mnta külső és belső szórásnégyzetere s: n N s x K n n ( x x) 4000 (,7,8645) (,6,8645) ,447 s x B n s n , , , s x s x + s x 0,447 +,14,4587 s x K B 1,568 Az alább táblázat a standard hba meghatározásának knduló adatat tartalmazza: Adat 1999-es mnta (y) 000-es mnta (x) Átlag 3,15,8645 Szórás 1,748 1,568 Elemszám Σxy A standard hba képletében szereplő értékek meghatározása: s s x y dx x n x x n 1 n 1 dy y n y y n 1 n 1 ( n 1) s + n x , ,8645 x ( n 1) s + n y , ,15 y x 1377,64 y 56107, 1495 ( y ) ( n y) ( ,15) Itt hívnánk fel a fgyelmet arra, hogy ( ) y y! 16

17 Most már mnden adat rendelkezésünkre áll a standard hba képletébe való behelyettesítéshez: s h 1377,64 + 0, ,1495 0, , A becslőképletből hányzk még a próbafüggvény értéke, amt hányados-becslés esetén π + 1 mndg a t-próba táblázatából határozunk meg valószínűség mellett. t 0,99,33 Ez alapján a hányados-becslésünk a következő: h ± ο 99 s h t, 0,917 ± 0,00558,33 [ 0,904 ; 0, 930] Levonhatjuk tehát azt a következtetést, hogy a vzsgált 5 országból érkező tursták által tt töltött vendégéjszakák száma 1999-ről 000-re 98 %-os valószínűséggel 7 % és 9,6 % között mértékben csökkent. A feladathoz tartozott annak meghatározása s, hogy ez a 7 és 9,6% között csökkenés ténylegesen hány vendégéjszakány csökkenést jelentett. Ehhez nduljunk k abból a feladat elején olvasható nformácóból, hogy a vzsgált 5 országból érkezett tursták száma nem változott 1999 és 000 között, így a vendégéjszakák számának tényleges csökkenése csak az átlag csökkenésének és nem a tursták létszámcsökkenésének köszönhető ben így az 5 ország turstá , vendégéjszakát töltöttek nálunk, am 7 és 9,6 % között mértékben csökkent: , , %-os megbízhatósággal állíthatjuk tehát, hogy a megállapított csökkenés és között vendégéjszaka kesést jelentett. d) Varanca analízs Következő feladatként vzsgáljuk meg a 000-es mnta alapján, hogy 5%-os szgnfkanca sznten befolyásolja-e a Magyarországon töltött éjszakák számának alakulását az, hogy melyk országból érkezett a tursta. Ennek eldöntéséhez nem-paraméteres hpotézsvzsgálatra, varanca analízsre lesz szükségünk. A hpotézsek, melyek elfogadásáról vagy elvetéséről döntünk: H H 0 1 : β β... β 1 : : β 0 5 azaz függetlenség áll azaz van kapcsolat fenn 17

18 A H 0 hpotézsről való döntéshez F-próbát használunk, melyhez k kell számítanunk a külső és belső eltérés négyzetösszegeket: S K ( x ) 4000 (,7,8645) (,6,8645) 4894 n x S B n s , , F S K m 1 S B n m ,48 Ezt követően meg kell határoznunk az α 5 %-hoz tartozó felső krtkus értéket az F-eloszlás táblázatából ν 1 m-1 4 és ν n-m (gyakorlatlag ν ) szabadságfokok mellett: c f,37. H 0 A mellékelt ábra alapján könnyen leolvasható, hogy a mntánk alapján a H 0 hpotézst elvetjük, azaz van c f,37 55,48 kapcsolat a Magyarországon töltött vendégéjszakák száma és az országhoz való tartozás között. H 1 e) Illeszkedésvzsgálat Az már a knduló táblázaton látszott, hogy Oroszországból jelentősen több tursta érkezett 000-ben, mnt a másk 4 országból. A több országból azonban közelítőleg azonos számban érkeztek, ezért az elemzés során arra s adjunk választ, mszernt 5 %-os szgnfkanca sznten gaz-e, hogy az Oroszországon kívül 4 országból érkezők száma egyenletes eloszlást követ! Ennek megválaszolása szntén nem-paraméteres hpotézsvzsgálattal történk: lleszkedésvzsgálat elvégzése szükséges. Ennek alapelve az, hogy a ténylegesen megfgyelt gyakorság értékeket vszonyítjuk az egyenletes eloszlás esetére feltételezett gyakorság értékekhez. A feladat megoldása jelen esetben s a hpotézsek felállításával kezdődk: H H 0 1 : Pr( x ) P : : Pr( x ) P azaz egyenletes az eloszlás azaz nem egyenletes az eloszlás 18

19 A szükséges segédszámításokat az alább táblázat tartalmazza: Ország Tényleges gyakorság f ;(fő) Egyenletes eloszlás esetére feltételezett valószínűség P Egyenletes eloszlás esetére feltételezett gyakorság np ( f np ) Csehország , , ,75 63,85 Horvátország , ,75,41 Szlováka , ,75 1,09 Ukrajna , ,75 1,7 Összesen , ,00 09,6 Ezt követően meg kell határoznunk a felső krtkus értéket a Χ -eloszlás táblázatából, ν r 1 - b szabadságfok ( ahol b a becsült paraméterek száma) és 1 - α 0,95 valószínűség sznt mellett: c f 7,81. A mellékelt ábra alapján leolvasható, hogy a mnta alapján a H 0 hpotézst elvetjük, azaz nem egyenletes a Csehországból, Horvátországból, Szlovákából és Ukrajnából Magyarországra érkezett tursták számának eloszlása. np H 0 H 1 c f 7,81 09,6 19

20 FELHASZNÁLT IRODALOM 1. Köves Pál Párnczky Gábor: Általános statsztka Tankönyvkadó, Budapest, Hajdu Pntér Rappay Rédey: Statsztka Pécs, Korpás Attláné dr. : Általános statsztka Nemzet Tankönyvkadó, Szarvas Beatrx Sugár András: Példatár a Statsztka című tankönyvhöz Aula Kadó, B. Kröpfl. W. Peschek E. Schneder A. Schönleb: Alkalmazott statsztka Műszak Könyvkadó, Budapest, 000 0

21 Feladatok 1

22 1. feladat A háztartások hav egy főre jutó élelmszer kadásat rétegzett kválasztás alapján vzsgálták az észak-magyarország régóban. A felmérés során a húsfogyasztásra vonatkozóan az alább adatokat kapták: Háztartás Háztartások száma Átlagos kadás Szórás Mnta elemszám az alapsokaságban (Ft/fő) (Ft) (n) (ezer) a mntában Város Község Összesen: Feladat: a) Becsülje meg a város háztartás év átlagos egy főre jutó húsfogyasztás kadásanak alsó és felső határát 99,7 %-os valószínűség sznten! b) Becsülje meg 96 %-os megbízhatósággal a háztartások egy főre jutó húsfogyasztás kadásanak összegét!. feladat A STAT-III. közvélemény-kutató cég megbízást kapott, hogy állapítsa meg 98 %-os megbízhatósággal egy nagyvárosban a családok élelmszer-vásárlásanak átlagos értékét. A cég rétegzett mntavételes eljárást alkalmazva az alább számítás részeredményekhez jutatott: Terület Mnta elemszáma Átlagos vásárlás Korrgált tapasztalat (n) érték (Ft/fő/alkalom) szórás (Ft) Belváros Külváros zöldövezet Lakótelep Összesen:. Az átlagos vásárlás érték normáls eloszlást követ. A város lakosának ¼-e lakk a belvárosban és 60 %-a lakótelepen, a több a külváros zöldövezetében. Feladat: Mlyen eredményre jutott a STAT-II. cég? 3. feladat Az egyetem hallgatók kulturáls és sportkadásanak becslésére 100 elemű véletlen mntát választottak k. A mntában a következő adatokat kapták: A hallgató Megoszlás az Het kulturáls és sportkadás (Ft/fő) Fő neme alapsokaság (%) átlaga szórása Nő Férf Összesen: Feladat: a) Becsülje meg az egyetem hallgatóság het átlagos kulturáls- és sportkadását 95 %-os megbízhatóság sznten! b) Indokolja meg, hogy mkért folyamodtak a fent mntavétel tervhez!

23 4. feladat Egy pzzéra üzletlánc pac terjeszkedéséhez szeretné megbecsüln, hogy adott városban mekkora összeget költenek a fogyasztók havonta átlagosan pzzára. A felmérés során rétegzett mntavétel eljárással 400 elemű mntát vettek. A mnta ¾-e fatalokból (5 év alatt) és ¼-e dősebbekből (5 év felett) állt. Ismert, hogy a városban a pzzát fogyasztókra s ugyanlyen arányok érvényesek. A mnta alapján azt tapasztalták, hogy a fatalok átlagos hav pzzafogyasztásának értéke Ft/fő/hó, a pzza-fogyasztás értékének négyzetösszege ,0 Ft. Az dősebbek a mntában Ft-ot költöttek pzzára, a korrgált tapasztalat szórás pedg 00 Ft volt. Feladat: Becsülje meg 96 %-os megbízhatósággal a városban az átlagos pzza-fogyasztás értékét! 5. feladat Egy országban új társaság adótörvény bevezetését tervez a kormány. Szeretnék a lehető legmagasabb adót kvetn, de nem akarják elveszíten a sok külföld befektetőt, s lehetetlen helyzetbe hozn a vállalkozásokat. Ezért a törvény alkotása előtt egy előzetes felmérést végeztek arra vonatkozóan, m az a maxmáls adókulcs, amt még a vállalkozók s elfogadhatónak tartanak. Az országban vállalkozás működk. Egy 1000 elemű mntavétel eredménye: A vállalkozás tulajdonosa A vállalkozások aránya a sokaságban (%) A megkérdezett vállalkozások száma (db) Javasolt maxmáls adókulcs átlaga (%) Javasolt maxmáls adókulcs szórása (%) Belföld Külföld Vegyes tulajdonú Összesen Feladat: Becsülje meg 95,5 %-os megbízhatóság sznten, menny a vállalkozások által javasolt adókulcs átlagos nagysága! 6. feladat Egy mezőgazdaság tevékenységgel foglalkozó községben állatösszeírást tartottak háztartásban db-ot vallottak be, ellenőrzésre kválasztottak 50 háztartást, ahol tételesen megszámlálták az állatokat. Számítás részeredmények: Bevallott: x 60 x 8760 Tényleges: 744 y 965 xy 9050 Feladat: Határozza meg 95 %-os megbízhatósággal a bevallás arányt, majd a korrgált állatállományt! 3

24 7. feladat Egy adott évben 4,5 mlló fő készített adóbevallást. A bevallott adó összege 00 mllárd Ft volt. Az adóbevallások ellenőrzése 1000 elemű mntát vesznek. A mntavétel eredménye: Fő Bevallott adó (Ft) Tényleges adókötelezettség (Ft) Átlag Szórás A mntában a bevallott és tényleges adó összege közt korrelácós együttható értéke 0,8. Feladat: Becsülje meg 95,5 %-os megbízhatósággal a tényleges adó nagyságát a bevallás arány segítségével! 8. feladat Egy megyében 0 ezer háztartásban tartanak kacsát. Az év elej állatszámlálás során összesen 85 ezer kacsáról adtak számot. A bevallás ellenőrzését egy 300 elemű véletlen mnta alapján végezték el. A 300 háztartás felmérése során az alább adatok váltak smertté: Kacsák száma: Kacsák bevallott száma: Kacsák számának relatív szórása: 3 % A kacsák bevallott számának relatív szórása: 6 % A tényleges és a bevallott szám között lneárs korrelácós együttható: 0,71 Feladat: Becsülje meg 95 %-os megbízhatósággal a bevallás arányt és ennek segítségével a megye tényleges kacsaállományának nagyságát! 9. feladat Egy háztartásra kterjedő véletlen mntában egymást követő hónapban megfgyelték a háztartások megtakarításanak alakulását: Megnevezés 001. szeptember 001. október Átlag (eft) 5, 5,6 Relatív szórás (%) Lneárs korrelácós együttható 0,8 Feladat: Készítsen 98 %-os megbízhatósággal ntervallum-becslést a megtakarítások relatív növekedésére vonatkozóan! 4

25 10. feladat Egy főt foglalkoztató gyár dolgozóra vonatkozó adatok 001-ben: Foglalkoztatás Alapsokaságbel Mntabel mnőség arány (%) átlagkereset (Ft) szórás (Ft) létszám (n) Fzka Nem fzka Összesen: Feladat: a) Becsülje meg 95,5 %-os megbízhatósággal a foglalkoztatottak átlagkeresetének alsó és felső határát! b) Ellenőrzze azt a hpotézst, hogy az átlagkereset független a foglalkozástól! (α 5%) 11. feladat Egy felsőoktatás ntézményben a hallgatók nap étkezésre fordított kadásat vzsgálták, s étkezés lehetőségek szernt rétegzett mntavétellel az alább értékeket tapasztalták: Étkezés lehetőség Megkérdezettek Átlagos nap étkezés A nap étkezés száma (fő) kadás (Ft/fő) kadás szórása (Ft/fő) Menza Önkszolgáló étterem Gyorsbüfé Összesen 300 Feladat: a.) Becsülje meg 96 %-os megbízhatósággal a hallgatók nap átlagos étkezés kadását, ha smert, hogy a hallgatók fele a gyorsbüfében, 0 %-a pedg általában a menzán ebédel! b.) Ha átlagosan egy nap 5600-an étkeznek az ntézményben, akkor összesen mekkora bevételre számíthat naponta a három vendéglátópar egységet üzemeltető cég? c.) Befolyásolja-e az étkezés helye (menza, étterem, büfé) az étkezésre fordított összeg nagyságát? (α 5%) 1. feladat Az egyetemsták alkoholfogyasztás szokásanak vzsgálatára egy mnta alapján kérdőíves felmérést végeztek három egyetemen. A mnta kválasztása arányos rétegezéssel történt. A kérdőíves felmérés egyk kérdése úgy szólt, menny alkoholt fogyasztanak a megkérdezettek egy hétvég buln. A válaszokat az alkoholtartalom ( ) alapján üveg sörre számították át: Egyetem Megkérdezettek Átlagosan elfogyasztott A fogyasztott alkohol szórása száma (fő) alkohol ( üveg sör) a mntában a sokaságban SZE 80,6 1,8 ME 50,8 1,6 1 DE 70 3,4,7 3 Összesen

26 Feladat: a) Tegyük fel, hogy a három egyetem közös bult rendez. Ha a 3 egyetemre együtt en járnak, akkor becsülje meg 95 %-os bztonsággal, hány üveg sört (lletve annak megfelelő alkoholt) kell a bulra bztosítan, ha mndenkre számítanak! b) Hogyan kellett volna meghatározn a mnta összetételét, ha a Neyman-féle optmáls rétegezést alkalmazzák? c) Ellenőrzze le 5 %-os szgnfkanca - sznten, hogy van e kapcsolat az egyetem és az alkoholfogyasztás szokás között! 13. feladat Egy felsőoktatás ntézmény Statsztka Tanszékén a vzsgadőszak végén kértékelték a statsztka szgorlat eredményet. Az írásbel vzsga eredményet 50 véletlenszerűen kválasztott hallgató dolgozata alapján vzsgálták: Az írásbel dőpontja A mntába került A pontszám relatív Átlagos pontszám hallgatók száma szórása (%) Május Júnus Júnus Júnus Júnus Összesen: 50 Feladat: α 5 %-os szgnfkanca-sznten elfogadható-e az az állítás, hogy az egyes vzsganapokon azonos nehézségű dolgozatokat írtak a hallgatók? 14. feladat Egy húsboltban próbavásárlásokat végeztek a többlet-számolások ellenőrzésére. A próbavásárlások során az alább adatokat tapasztalták: Eladó neve Próbavásárlások Többlet-számolások száma átlaga (Ft) eltérés-négyzetösszege A. K. 16 5, N. T. 14 0, P. J. 0 8,5 711 K. Z , Összesen Feladat: Ellenőrzze le 5%-os szgnfkanca-sznten, hogy van-e különbség az eladók között a többlet-számolások tekntetében! 15. feladat Adott évben Magyarországon látogató vett részt hangversenyeken, akk közül településtípusonként egyszerű véletlen mntavételezéssel megállapították a látogatók átlagos életkorát. A látogatók településtípusonként megoszlását és a mntából származó adatokat a következő táblázat tartalmazza: 6

27 A Látogatók átlagos Életkor Látogatók Létszám hangverseny életkora szórása száma helye a mntában Budapest ,6 15,4 A több város ,7 16, Községek ,0 13,8 Összesen Feladat: 1. Számítsa k, hogy 95%-os megbízhatóság sznt mellett menny a látogatók átlagos életkorának alsó és felső határa!. Ha a szórások alapján szerették volna optmalzáln a rétegzett mntavételt, hogyan kellett volna összeállítan a mntát, ha a rétegek szórása az alapsokaságban 14, 17 és 1 a tábla szernt sorrendben? 3. 5%-os szgnfkanca sznten van-e kapcsolat a hangverseny helyszíne és a látogatók átlagos életkora között? 16. feladat Egy hallgatóval rendelkező egyetemen a hallgatók egy részétől megkérdezték, hogy hetente mekkora összeget költenek kulturáls és sportolás célokra. Egy 500 elemű véletlen mntát választottak, amelyről a következő adatok smertek: A rétegekben a het kulturáls- és sportkadás átlagosan a nők esetén 1800 Ft/fő, a férfak esetén 150 Ft/fő. Ezen átlagos kadásoktól való eltérések korrgált négyzetes átlaga a férfak esetén 450 Ft/fő, a nők esetén 310 Ft/fő. Az egyetemen a nők és a férfak megoszlása 60-40% és a kulturáls- és sportkadásak szórása 40, lletve 330 Ft/fő. A mntaelemek kválasztás aránya férfak esetén 7,815 %. Feladat: a.) Becsülje meg az egyetem hallgatóság het átlagos kulturáls- és sportkadását 95 %- os megbízhatóság sznten! b.) c.) A mntavételt másképpen s végrehajtották. Az új mntát 5 egymástól függetlenül választott egyenlő számosságú részmntából töltötték fel. A mntákban a het kulturáls- és sportkadások átlagos összege rendre 1400, 180, 1360, 1470 és 1390 Ft/fő volt. Becsülje meg 98 %-os megbízhatósággal e mntavétel esetén az egyetem hallgatók által kulturáls és sportcélokra elköltött het forntösszeg nagyságát! Hogyan kellett volna a mntát összeállítan, ha a Neymann-féle optmáls rétegezést alkalmazták volna? 17. feladat Egy üdülőtelepen a nyár dény alatt megfordult vendégek 60%-a volt külföld és 40 %-a haza. Megfgyelték 360 vendég megkérdezésével, hogy menny dőt töltöttek az üdülőtelepen. A mntavételt úgy hajtották végre, hogy először 10 vendéget kérdeztek meg, majd ezt még kétszer megsmételték. A mntában az átlagos tartózkodás dő rendre 9,8 és 13 nap/fő volt. 7

28 Feladat: a) Becsülje meg 90 %-os megbízhatósággal, hogy a vendégek átlagosan legalább hány napot tartózkodtak az üdülőtelepen! b) A mntavételt másképpen s végrehajtották: az üdülőtelepen megfordult mnden 100 haza és mnden 100 külföld vendég közül 18-at kérdeztek meg. A következő eredmények smertek: az dény alatt.000 vendég fordult meg az üdülőtelepen, akknek az átlagos tartózkodás dejétől való eltérések négyzetes átlaga haza vendégek esetén nap/fő, külföld vendégek esetén 4 nap/fő volt. A mntában az átlagos tartózkodás dő a külföld vendégek esetén 11, a hazaak esetén 8 nap/fő volt, amelyeknek a szórása rendre 3 és 5 nap/fő volt. Becsülje meg 98 %-os megbízhatóság sznten, hogy az üdülőben megfordult vendégek összesen hány napot töltöttek el ott a nyaralásuk alkalmával! c.) Hogyan kellett volna a mntát összeállítan, ha a Neymann-féle optmáls rétegzést alkalmazták volna? 18. feladat Egy degenforgalm felmérés során az 1988-ban hazánkba látogató olasz tursták átlagos tttartózkodás dejét kívánták becsüln. Mvel jól átteknthető mntavétel tervet nem lehetett készíten, a felvétel során úgy jártak el, hogy havonta 10 megfgyelést végeztek, majd a kapott 10 elemű mntát véletlenszerűen 6 darab, egyenként 0 elemű részmntára osztották, és ezek segítségével végeztek becslést. A 6 részmntából kapott átlagokat az alább tábla mutatja: Mnta sorszáma Átlagos tt-tartózkodás dő (vendégéjszaka) 1. 4,8. 4,3 3. 5,6 4. 4,7 5. 4,9 6. 5,7 Feladat: Becsülje meg 90 %-os megbízhatósággal az olasz tursták átlagos tt-tartózkodás dejét! 19. feladat Egy tejpar vállalat vevőnek (üzletbe) szállít tejet. A vállalat szakembere a vsszaszállított tej tovább-feldolgozására való felkészülés érdekében fel akarták mérn, hogy tejből menny a vsszáru naponta. Ennek érdekében arányos rétegzett részmntákat vettek (a rétegzés a vevők típusa szernt történt), ezek száma 6 volt, s egy-egy részmntába 50 vevő került. A részmntákból a következő becsült adatokat kapták a vsszáru mennységére vonatkozólag: Részmnta sorszáma Átlagos vsszáru mennység egy vevőtől (lter)

29 Feladat: a.) Becsülje meg, hogy egy vevőtől átlagosan menny tejet szállítanak vssza naponta! b.) Számítsa k e becslés standard hbáját! c.) Határozza meg a konfdenca ntervallumot a nap átlagos vsszáru mennységre vonatkozólag 95 %-os megbízhatóság mellett! d.) Becsülje meg, hogy az összes vevőtől menny tejet szállítanak vssza naponta! e.) Számítsa k a becsült összes vsszáru-mennység standard hbáját! f.) Határozza meg a konfdenca ntervallumot az összes vsszáru mennységre vonatkozólag 99 %-os valószínűség sznt mellett! 0. feladat Egy szocológa felmérés keretében elemezték az egyetemsták lakáshelyzetét és hav kadásakat, s 50 egyetemstát megkérdezve az alább adatokat kapták: Hol lakk Megkérdezettek száma Hav összkadásuk A hav átlagos kadás (fő) (Ft) relatív szórása (%) Szülenél Kollégumban Albérletben Összesen Feladat: 5 %-os szgnfkanca sznten elfogadná-e a fent adatok alapján, hogy van kapcsolat a hallgatók lakáshelyzete és hav átlagos kadása között? 1. feladat Egy 00 elemű véletlen mnta megoszlása a könyvtár látogatás szokások és az skola végzettség szernt: Könyvtár látogatás 8 általános Középfokú Felsőfokú szokások végzettségű (fő) Összesen Nem jár könyvtárba Néha jár Rendszeresen jár Összesen: Feladat: Vzsgálja meg, hogy van-e szgnfkáns kapcsolat a két smérv között! (α 5 %). feladat Egy megye 60 ezer személygépkocs tulajdonosa közül véletlenszerűen kválasztottak 50-et a gépkocsjavítás gények és a gépkocs típusa közt kapcsolat jellegének feltárására. A mnta megoszlását az alább táblázat mutatja: A gépkocs A gépkocs meghbásodása esetén azt nagy értékű közepes értékű szerény értékű Összesen - maga javítja smerőse javítja magánszervz javítja márkaszervz javítja Összesen:

30 Feladat: Vzsgálja meg 5 %-os szgnfkanca-sznten, hogy a gépkocsjavítás gények és a gépkocs típusa függetlennek teknthető-e? 3. feladat Közlekedésbztonság szervek 1000 személy sérüléses közút balesetet vzsgáltak meg aszernt, hogy mlyen súlyos volt a baleset és a baleset alkalmával a sérült vselt-e bztonság övet. A kapott eredmények az alábbak voltak: Baleset Bztonság övet kmenetele vselt nem vselt Összesen Könnyű Súlyos Halálos Összesen Feladat: Ellenőrzze alkalmas próbával, hogy a baleset kmenetele független-e attól, hogy az llető vselt-e bztonság övet! (α 0,1) 4. feladat Egy közvélemény kutatás során egyk gazdaság témájú TV műsorról az alább kép alakult k a dplomások körében: Nylatkozó A műsor megítélése foglalkozása Jó Megfelelő Rossz Összesen Közgazdász Jogász Egyéb dplomás Összesen Feladat: Tesztelje 5%-os szgnfkanca sznten a foglalkozás jellege és a TV műsor mnősítése között kapcsolatot! 5. feladat Egy marketnggel foglalkozó cég vezetője arra kíváncs, hogy jól kképzett munkatársanak ügynök teljesítménye független-e az életkortól. Az adatokat az alapján rendszerezték, hogy egy adott termékből egy hónap alatt hány darabot skerült az ügynöknek eladna. A véletlenszerűen kválasztott 60 ügynök adatat az alább táblázat tartalmazza: Az ügynök életkora Eladások száma 5 és 9 között 10 és 15 között 16 és 0 között Összesen 30 év alatt és 40 év között év felett Összesen: Feladat: Befolyásolja-e az életkor az ügynökök munkájának eredményességét? (α 5%) 30

31 6. feladat Az élelmszerboltokban rendszeresen végeznek ellenőrzést arra vonatkozóan, hány fornttal csapják be a vásárlókat. A vzsgált dőszakban 6 egymástól független, elemű véletlen mntát vettek, és megnézték a vásárló számláját, lletve a vásárlás tényleges értékét. A mntavétel eredménye a táblázatban látható: A mnta sorszáma A többlet-elszámolás átlagos összege (Ft) Feladat: Becsülje meg, hány Ft-tal károsították meg a vásárlókat, ha a kskereskedelm élelmszer-forgalom összege a vzsgált dőszakban 176 Mrd Ft, egy vásárlás átlagos összege 00 Ft volt! (π 95%) 7. feladat Egy közvélemény-kutató ntézet 1000 felnőtt személyt megkérdezett arról, hogy mekkora fogyasztó árndexre számít 000 és 001 között. A mntavételre öt egymástól független és azonos nagyságú részmnta kválasztása útján került sor. Az öt részmnta adata: Részmnta sorszáma Átlagos várt fogyasztó árndex, % Feladat: Készítsen 98 %-os megbízhatóság szntű konfdenca ntervallumot a várt fogyasztó árndex átlagos nagyságára vonatkozóan! 8. feladat A különböző közgazdaság egyetemekre való jelentkezés eloszlásának vzsgálata céljából 1 00 érettségzőt megkérdeztek, hogy melyk egyetemre adta be jelentkezés lapját. A különböző ntézetekbe történő jelentkezés megoszlása a következő volt: Egyetem Budapest Debrecen Pécs Mskolc Szeged Jelentkezők száma (fő) Feladat: Ellenőrzze le 5 %-os szgnfkanca-sznten, hogy egyenlő megoszlásban jelentkeztek az egyes egyetemekre! 31

32 9. feladat Egy édespar vállalat szállítás szerződése szernt egy cukorka-keverékben azonos arányúnak kell lenne az ötféle töltésű cukorkaszemeknek. Egy elemű mntában a megoszlás az alább tábla szernt alakult: Töltelékfajta Cukorkák száma (db) Málna 178 Meggy 13 Méz 4 Ctrom 194 Narancs 191 Összesen: Feladat: Ellenőrzze különböző szgnfkanca-sznteken, hogy a szállítmány eleget tesz-e az eloszlásra vonatkozó követelményeknek! 30. feladat Egy város rendőrsége szernt az éjszaka betörések száma egyenletesen oszlk meg a hét napjan. Egy het megfgyelés alapján a betörések száma az alább volt: Nap Betörések száma Hétfő 6 Kedd 8 Szerda 5 Csütörtök 7 Péntek 1 Szombat 17 Vasárnap 15 Összesen: 70 Feladat: Ellenőrzze α0,05 szgnfkanca-sznten, hogy gaz-e a rendőrség állítása! 31. feladat Egy packutatás során különböző (A, B, C, D, E) csomagolásban mutattak be egy új parfümkülönlegességet, s azt vzsgálták, hogyan befolyásolja a vásárlás szándékot a különböző csomagolás: Csomagolás A vásárlók száma (fő) A 4 B C 40 D 36 E 30 Feladat: Mlyen szgnfkanca sznten fogadhatjuk el azt a feltevést, hogy a vásárlókat a csomagolás s motválja a vásárlás során? 3

33 3. feladat A lég közlekedésben fontos fgyelemmel kísérn az utasok átlagos testsúlyát, ezért dőről dőre ellenőrzk, hogy a felnőtt utasok testsúlya nem tér-e el a feltételezettől. Ehhez szükség van a testsúly eloszlásának smeretére s, mely a feltétel szernt normáls eloszlást követ. A feltételezés ellenőrzése céljából megmérték 100 véletlenszerűen kválasztott utas súlyát, a mérés eredményét az alább táblázat tartalmazza: Testsúly (kg) Utasok száma (fő) Összesen: 100 Feladat: Ellenőrzze le, hogy az eloszlás normálsnak teknthető-e a mnta alapján! (α 1%) 33. feladat Egy ruhaüzletben véletlenszerűen kválasztott 100 vásárló vásárlás érték szernt eloszlását vzsgálták. Ismert, hogy a 100 vásárló átlagosan Ft-ért vásárolt, a vásárlás értékek korrgált tapasztalat szórása pedg 6,66 eft volt. A vásárlás értékek eloszlásáról a következő adatokat smerjük: Vásárlás érték Vásárlók száma (eft/fő) (fő) z , , ,1 0,45 0, ,63 0,7356 0, , , ,5 Összesen Feladat: Töltse k a táblázat hányzó adatat! Vzsgálja meg, hogy normálsnak teknthető-e a vásárlás értékek eloszlása! 34. feladat Egy élelmszerkereskedelm cég árbevételének alakulását vzsgálva 100 véletlenszerűen kválasztott napon megvzsgálták az árbevétel nagyság szernt megoszlását. A 100 nap adatat a következő táblázat tartalmazza: Árbevétel Napok száma (MFt) (db) z np , , ,75 0,66 0, ,5 0, , ,6.. 0, , Összesen

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet: Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján

Részletesebben

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i . konzult. LEV. 013. ápr. 5. MENNYISÉGI ISMÉRV szernt ELEMZÉS Tk. 3-8., 88-90. oldal, kmarad: 70., 74. oldal A mennység smérv (X) lehet: dszkrét és folytonos. A rangsor a mennység smérv értékenek monoton

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS. A minta és mintavétel

KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS. A minta és mintavétel KUTATÁSMÓDSZERTAN 4. ELŐADÁS A minta és mintavétel 1 1. A MINTA ÉS A POPULÁCIÓ VISZONYA Populáció: tágabb halmaz, alapsokaság a vizsgálandó csoport egésze Minta: részhalmaz, az alapsokaság azon része,

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

GYAKORLÓ FELADATOK BECSLÉS - HIPOTÉZISVIZSGÁLAT

GYAKORLÓ FELADATOK BECSLÉS - HIPOTÉZISVIZSGÁLAT GYAKORLÓ FELADATOK BECSLÉS - HIPOTÉZISVIZSGÁLAT 1. feladat Egy külkereskedelmi vállalat 70 ezer üvegből álló gyümölcskonzerv szállítmányt exportál. A nettó töltősúly ellenőrzése céljából egy 900 elemű

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege A multkrtérumos elemzés célja, alkalmazás területe, adat-transzformácós eljárások, az osztályozás eljárások lényege Cél: tervváltozatok, objektumok értékelése (helyzetértékelés), döntéshozatal segítése

Részletesebben

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Közlekedésmérnök és Járműmérnök Kar Közlekedésüzem Tanszék HÁLÓZATTERVEZÉSI MESTERISKOLA BEVEZETÉS A KÖZLEKEDÉS MODELLEZÉSI FOLYAMATÁBA Dr. Csszár Csaba egyetem

Részletesebben

Konfidencia-intervallumok

Konfidencia-intervallumok Konfdenca-ntervallumok 1./ Egy 100 elemű mntából 9%-os bztonság nten kéített konfdenca ntervallum: 177,;179,18. Határozza meg a mnta átlagát és órását, feltételezve, hogy az egé sokaság normáls elolású

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Bevezető milyen információkkal rendelkezik a magyar lakosság ezekről a termékkategóriákról Módszertan:

Bevezető milyen információkkal rendelkezik a magyar lakosság ezekről a termékkategóriákról Módszertan: Bevezető A Szinapszis Kft. a Magyar Gyógyszerészi Kamarával együttműködve piackutatást kezdeményezett, amelynek célja annak feltárása, milyen szerepe van a gyógyszernek illetve az egyéb, gyógyhatású, étrend-kiegészítő

Részletesebben

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata Mnősítéses mérőrendszerek képességvzsgálata Vágó Emese, Dr. Kemény Sándor Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Kéma és Környezet Folyamatmérnök Tanszék Az előadás vázlata 1. Mnősítéses mérőrendszerek

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom Lneárs regresszó Statsztka I., 4. alkalom Lneárs regresszó Ha két folytonos változó lneárs kapcsolatban van egymással, akkor az egyk segítségével elıre jelezhetjük a másk értékét. Szükségünk van a függı

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 11. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Összefüggés vizsgálatok A társadalmi gazdasági élet jelenségei kölcsönhatásban állnak, összefüggnek egymással. Statisztika alapvető feladata: - tényszerűségek

Részletesebben

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap Közlekedésmérnök Kar Jármőtervezés és vzsgálat alapja I. Feladatlap NÉV:..tk.:. Feladat sorsz.:.. Feladat: Egy jármő futómő alkatrész terhelésvzsgálatakor felvett, az alkatrészre ható terhelı erı csúcsértékek

Részletesebben

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 TARTALOMJEGYZÉK 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin).... 7 2. téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 3. téma Összefüggések vizsgálata, korrelációanalízis (Dr. Molnár Tamás)... 73 4. téma Összefüggések

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

STATISZTIKA. Gyakorló feladatok az első zh-ra

STATISZTIKA. Gyakorló feladatok az első zh-ra STATISZTIKA Gyakorló feladatok az első zh-ra A változás átlagos üteme év Kenyér Ft/ kg bázisindex % 2002 151 100,0 2003 156 103,3 2004 178 117,9 2005 173 114,6 2006 179 118,5 2007 215 142,4 I = n 1 l i

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató

Részletesebben

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás Statisztika 3. előadás Statisztika fogalma Gyakorlati tevékenység Adatok összessége Módszertan A statisztika, mint gyakorlati tevékenység a tömegesen előforduló jelenségek egyedeire vonatkozó információk

Részletesebben

Kísérlettervezési alapfogalmak:

Kísérlettervezési alapfogalmak: Kísérlettervezés alapfogalmak: Tényező, faktor (factor) független változó, ható tényező (kezelés, gyógyszer, takarmány, genotípus, élőhely, stb.) amnek hatását a kísérletben vzsgáln vagy összehasonlítan

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

TÁRKI ADATFELVÉTELI ÉS ADATBANK OSZTÁLYA OMNIBUSZ 98/1. SPSS állomány neve: Könyvtári dokumentum sorszáma: 287. Budapest, 1998.

TÁRKI ADATFELVÉTELI ÉS ADATBANK OSZTÁLYA OMNIBUSZ 98/1. SPSS állomány neve: Könyvtári dokumentum sorszáma: 287. Budapest, 1998. TÁRKI ADATFELVÉTELI ÉS ADATBANK OSZTÁLYA OMNIBUSZ 98/1 SPSS állomány neve: d58.sav Könyvtári dokumentum sora: 287 Budapest, 1998. Omnibusz 98/1 2 Tartalomjegyzék TARTALOMJEGYZÉK 2 BEVEZETÉS 3 A MINTA ÖSSZEHASONLÍTÁSA

Részletesebben

A TÁRKI ADATFELVÉTELEINEK DOKUMENTUMAI OMNIBUSZ 2004/05. A kutatás dokumentációja

A TÁRKI ADATFELVÉTELEINEK DOKUMENTUMAI OMNIBUSZ 2004/05. A kutatás dokumentációja A TÁRKI ADATFELVÉTELEINEK DOKUMENTUMAI OMNIBUSZ 2004/05 A kutatás dokumentációja 2004 Omnibusz 2004/05 Mellékletek Tartalom BEVEZETÉS... 3 A MINTA... 5 AZ ADATFELVÉTEL FŐBB ADATAI... 7 Bevezetés A kutatást

Részletesebben

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,

Részletesebben

A TÁRKI ADATFELVÉTELEINEK DOKUMENTUMAI. Omnibusz 2003/08. A kutatás dokumentációja. Teljes kötet

A TÁRKI ADATFELVÉTELEINEK DOKUMENTUMAI. Omnibusz 2003/08. A kutatás dokumentációja. Teljes kötet A TÁRKI ADATFELVÉTELEINEK DOKUMENTUMAI Omnibusz 2003/08 A kutatás dokumentációja Teljes kötet 2003 Tartalom BEVEZETÉS... 4 A MINTA... 6 AZ ADATFELVÉTEL FŐBB ADATAI... 8 TÁBLÁK A SÚLYVÁLTOZÓ KÉSZÍTÉSÉHEZ...

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 9. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 9. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztikai hipotézis vizsgálatok elsősorban a biometriában alkalmazzák, újabban reprezentatív jellegű ökonómiai vizsgálatoknál, üzemi szinten élelmiszeripari

Részletesebben

Adatelemzés és adatbányászat MSc

Adatelemzés és adatbányászat MSc Adatelemzés és adatbányászat MSc. téma Adatelemzés, statsztka elemek áttekntése Adatelemzés módszertana probléma felvetés módszer, adatok meghatározása nyers adatok adatforrás meghatározása adat tsztítás

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

Magyarország kerékpáros nagyhatalom és Budapest minden kétséget kizáróan elbringásodott: egyre többen és egyre gyakrabban ülnek nyeregbe a fővárosban

Magyarország kerékpáros nagyhatalom és Budapest minden kétséget kizáróan elbringásodott: egyre többen és egyre gyakrabban ülnek nyeregbe a fővárosban Magyarország kerékpáros nagyhatalom és Budapest minden kétséget kizáróan elbringásodott: egyre többen és egyre gyakrabban ülnek nyeregbe a fővárosban 2014. június 30. A Magyar Kerékpárosklub legfrissebb,

Részletesebben

Új módszertan a kerékpározás mérésében

Új módszertan a kerékpározás mérésében Új módszertan a kerékpározás mérésében Megváltoztattuk reprezentatív kutatásunk módszertanát, mely 21 márciusa óta méri rendszeresen a magyarországi kerékpárhasználati szokásokat. Ezáltal kiszűrhetővé

Részletesebben

Varianciaanalízis. Egytényezős kísérletek (Más néven: egyutas osztályozás, egyszempontos varianciaanalízis ANOVA)

Varianciaanalízis. Egytényezős kísérletek (Más néven: egyutas osztályozás, egyszempontos varianciaanalízis ANOVA) Varancaanalízs A varancaanalízs során kettőnél több sokaság középértékenek mnta alapán történő összehasonlítása történk zért nevezk a kétmntás t-próba általánosításának A nullhpotézs eldöntéséhez használuk

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

TÁRKI ADATFELVÉTELI ÉS ADATBANK OSZTÁLYA. Változás SPSS állomány neve: Budapest, 2002.

TÁRKI ADATFELVÉTELI ÉS ADATBANK OSZTÁLYA. Változás SPSS állomány neve: Budapest, 2002. TÁRKI ADATFELVÉTELI ÉS ADATBANK OSZTÁLYA Változás 2002 SPSS állomány neve: F54 Budapest, 2002. Változás 2002 2 Tartalomjegyzék BEVEZETÉS... 3 A SÚLYOZATLAN MINTA ÖSSZEHASONLÍTÁSA ISMERT DEMOGRÁFIAI ELOSZLÁSOKKAL...

Részletesebben

Koncentráció és mérése gazdasági és társadalmi területeken. Kerékgyártó Györgyné BCE Statisztika Tanszék

Koncentráció és mérése gazdasági és társadalmi területeken. Kerékgyártó Györgyné BCE Statisztika Tanszék Koncentrácó és mérése gazdaság és társadalm területeken Kerékgyártó Györgyné BCE Statsztka Tanszék Koncentrácó Fogalmát a XVIII. sz. másodk felétől egyre gyakrabban használták. Először a termelésre értelmezték,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre 1. Bevezetés A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése

Részletesebben

TÁRKI ADATFELVÉTELI ÉS ADATBANK OSZTÁLYA OMNIBUSZ 2002/10. SPSS állomány neve: Budapest, október

TÁRKI ADATFELVÉTELI ÉS ADATBANK OSZTÁLYA OMNIBUSZ 2002/10. SPSS állomány neve: Budapest, október TÁRKI ADATFELVÉTELI ÉS ADATBANK OSZTÁLYA OMNIBUSZ 2002/10 SPSS állomány neve: F56 Budapest, 2002. október OMNIBUSZ 2002/10 2 Tartalomjegyzék BEVEZETÉS...3 A SÚLYOZATLAN MINTA ÖSSZEHASONLÍTÁSA ISMERT DEMOGRÁFIAI

Részletesebben

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem

2. személyes konzultáció. Széchenyi István Egyetem Makroökonóma 2. személyes konzultácó Szécheny István Egyetem Gazdálkodás szak e-learnng képzés Összeállította: Farkas Péter 1 A tananyag felépítése (térkép) Ön tt áll : MAKROEGENSÚL Inflácó, munkanélkülség,

Részletesebben

A mintában szereplő határon túl tanuló diákok kulturális háttérre

A mintában szereplő határon túl tanuló diákok kulturális háttérre Fényes Hajnalka: A Keresztény és a beregszászi II. Rákóczi Ferenc diákjai kulturális és anyagi tőkejavakkal való ellátottsága Korábbi kutatásokból ismert, hogy a partiumi régió fiataljai kedvezőbb anyagi

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

A sokasági értékösszeg becslése a könyvvizsgálatban

A sokasági értékösszeg becslése a könyvvizsgálatban Tanulmányok A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban Lolbert Tamás, az Állam Számvevőszék számvevője, a Budapest Corvnus Egyetem PhD-hallgatója E-mal: lolbertt@asz.hu A tanulmány célja, hogy áttekntést

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet

II. Rákóczi Ferenc Kárpátaljai Magyar Fıiskola. Pataki Gábor. STATISZTIKA I. Jegyzet II. Rákócz Ferenc Kárátalja Magyar Fıskola Patak Gábor STATISZTIKA I. Jegyzet 23 Tartalomjegyzék evezetés... 3 I. Statsztka alafogalmak... 4. Statsztka kalakulása, tudománytörténet összefüggése... 4.2

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések. Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom?

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések. Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom? Index-számítás Indexszámítás során megálaszolandó kérdések Hogyan áltozott a termelés értéke, az értékesítés árbeétele, az értékesítés forgalom? Hogyan áltozott a termelés, értékesítés mennysége? Hogyan

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzseny Dánel Főskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA műszak menedzser alapszak Írta: Dr. Köves János Tóth Zsuzsanna Eszter Budapest 006 Tartalomjegyzék. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK... 4.. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Statisztika A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

BETEGJOGI, ELLÁTOTTJOGI ÉS GYERMEKJOGI KUTATÁS

BETEGJOGI, ELLÁTOTTJOGI ÉS GYERMEKJOGI KUTATÁS BETEGJOGI, ELLÁTOTTJOGI ÉS GYERMEKJOGI KUTATÁS Készült a Országos Betegjogi, Ellátottjogi, Gyermekjogi és Dokumentációs Központ megbízásából a Kutatópont műhelyében A kutatás elvégzésére a TÁMOP 5.5.7-08/1-2008-0001

Részletesebben

Közúti közlekedésüzemvitel-ellátó. Tájékoztató

Közúti közlekedésüzemvitel-ellátó. Tájékoztató 12/2013. (III. 29.) NFM rendelet szakma és vzsgakövetelménye alapján. Szakképesítés, azonosító száma és megnevezése 54 841 02 Közút közlekedésüzemvtel-ellátó Tájékoztató A vzsgázó az első lapra írja fel

Részletesebben

MINTAFELADATOK. 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti:

MINTAFELADATOK. 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti: 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti: 100% 90% 80% 70% 60% 50% 2010 2011 40% 30% 20% 10% 0% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% a) Nevezze

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kdolgozott feladatok a nemparaméteres statsztka témaköréből A táékozódást mndenféle színkódok segítk. A feladatok eredet szövege zöld, a megoldások fekete, a fgyelmeztető, magyarázó elemek pros színűek.

Részletesebben

A Balatonra utazó magyar háztartások utazási szokásai

A Balatonra utazó magyar háztartások utazási szokásai A ra utazó magyar háztartások utazási szokásai Összeállította a Magyar Turizmus Rt. a A Magyar Turizmus Rt. megbízásából a M.Á.S.T. Piac- és Közvéleménykutató Társaság 2000 októberében vizsgálta a magyar

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

Tervezett béremelés a versenyszektorban 2016-ban A októberi vállalati konjunktúra felvétel alapján február 3.

Tervezett béremelés a versenyszektorban 2016-ban A októberi vállalati konjunktúra felvétel alapján február 3. Tervezett béremelés a versenyszektorban 2016-ban A 2015. októberi vállalati konjunktúra felvétel alapján 2016. február 3. 1 / 8 Az MKIK Gazdaság- és Vállalkozáskutató Intézet olyan nonprofit kutatóműhely,

Részletesebben

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Tanulmányok Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzés módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Hajdu Tamás, az MTA Közgazdaságés Regonáls Tudomány Kutatóközpont Közgazdaságtudomány

Részletesebben

TÁRKI ADATFELVÉTELI ÉS ADATBANK OSZTÁLYA. Inflációs várakozás 2002/8. SPSS állomány neve: Budapest, augusztus

TÁRKI ADATFELVÉTELI ÉS ADATBANK OSZTÁLYA. Inflációs várakozás 2002/8. SPSS állomány neve: Budapest, augusztus TÁRKI ADATFELVÉTELI ÉS ADATBANK OSZTÁLYA Inflációs várakozás 2002/8 SPSS állomány neve: F53 Budapest, 2002. augusztus Inflációs várakozás 2002/8 2 Tartalomjegyzék BEVEZETÉS... 3 AZ INFLÁCIÓS VÁRAKOZÁS

Részletesebben

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor MISKOLCI EGYETEM Gépgyártástechnológa Tanszék Mskolc - Egyetemváros ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET Összeállította: Dr. Szabó Sándor A orgácsoló megmunkálásokhoz

Részletesebben

OKTATÁSGAZDASÁGTAN. Készítette: Varga Júlia Szakmai felelős: Varga Júlia június

OKTATÁSGAZDASÁGTAN. Készítette: Varga Júlia Szakmai felelős: Varga Júlia június OKTATÁSGAZDASÁGTAN Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázat projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudomány Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudomány Tanszék az MTA Közgazdaságtudomány

Részletesebben

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Csoportosítás

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Csoportosítás Gazdaságstatisztika 1. előadás Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Oktatók Előadó Kóczy Á. László (koczy.laszlo@kgk.bmf.hu) Fogadóóra: szerda 11:30 11:55, TA125 Gyakorlatvezető

Részletesebben

Mintavétel. Kovács István BME Menedzsment és Vállalatgazdaságtan. Tanszék

Mintavétel. Kovács István BME Menedzsment és Vállalatgazdaságtan. Tanszék Mintavétel Kovács István BME Menedzsment és Vállalatgazdaságtan Tanszék Alapfogalmaink Sokaság azon elemek összessége, amelyek valamilyen közös jellemzővel bírnak, és megfelelnek a marketingkutatási probléma

Részletesebben

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus)

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus) Valószínűségszámítás Valószínűség (probablty) 0 és 1 között valós szám, amely egy esemény bekövetkezésének esélyét fejez k: 0 - (sznte) lehetetlen, 0.5 - azonos eséllyel gen vagy nem, 1 - (sznte) bztos

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft

Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak1: b) Mo = 1857,143 eft A kocsma tipikus (leggyakoribb) havi bevétele 1.857.143 Ft. c) Q1 = 1575 eft Me = 2027,7778 eft Q3 = 2526,3158 eft Gyak2: b) X átlag = 35 Mo = 33,33 σ = 11,2909 A = 0,16 Az

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja

Részletesebben

[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika

[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 1. előadás Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Óbudai Egyetem Oktatók Előadó Kóczy Á. László (koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu)

Részletesebben

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma

Statisztikai. Statisztika Sportszervező BSc képzés (levelező tagozat) Témakörök. Statisztikai alapfogalmak. Statisztika fogalma. Statisztika fogalma Témakörök Statsztka Sortszerező BSc kézés (leelező tagozat) 2-2-es tané félé Oktató: Dr Csáfor Hajnalka főskola docens Vállalkozás-gazdaságtan Tsz E-mal: hcsafor@ektfhu Statsztka fogalmak Statsztka elemzések

Részletesebben

Forgácsolási paraméterek mûvelet szintû optimalizálása

Forgácsolási paraméterek mûvelet szintû optimalizálása Gépgyártástechnológa 2000/3, pp. 9 15. Forgácsolás paraméterek mûvelet szntû optmalzálása Mkó Balázs 1 - Szánta Mhály 2 - Dr Szegh Imre 3 1 - udományos segédmunkatárs, 2 - Egyetem hallgató, 3 Egyetem docens

Részletesebben

matematikai statisztika

matematikai statisztika Az újságokban, plakátokon, reklámkiadványokban sokszor találkozunk ilyen grafikonokkal, ezért szükséges, hogy megértsük, és jól tudjuk értelmezni őket. A második grafikon ismerős lehet, hiszen a függvények

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL. Szóbeli vizsgatevékenység

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL. Szóbeli vizsgatevékenység KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL A vizsgarészhez rendelt követelménymodul azonosító száma, megnevezése: 2144-06 Statisztikai szervezői és elemzési feladatok A vizsgarészhez rendelt vizsgafeladat megnevezése:

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok Műszak folyamatok közgazdaság elemzése Kevert stratégák és evolúcós átékok Fogalmak: Példa: 1 szta stratéga Vegyes stratéga Ha m tszta stratéga létezk és a 1 m annak valószínűsége hogy az - edk átékos

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben