GYAKORLÓ FELADATOK BECSLÉS - HIPOTÉZISVIZSGÁLAT

Átírás

1 GYAKORLÓ FELADATOK BECSLÉS - HIPOTÉZISVIZSGÁLAT 1. feladat Egy külkereskedelmi vállalat 70 ezer üvegből álló gyümölcskonzerv szállítmányt exportál. A nettó töltősúly ellenőrzése céljából egy 900 elemű véletlen mintát vettek. A mérések eredményei: Nettó töltősúly (g) Üvegek száma (db) Összesen 900 Határozza meg 95%-os megbízhatósággal, hogy milyen határok között van: a) az átlagos nettó töltősúly; b) a 70 ezer üveg összes nettó töltősúlya; c) az 500 grammnál nagyobb töltősúlyú üvegek száma a külkereskedelmi vállalatoknál! d) az üvegek töltősúlyára vonatkozó szórás! 2. feladat Egy megyében több utazási iroda által meghirdetett főszezonbeli utazásokról reprezentatív felmérést készítettek. A felmérés során a meghirdetett utazások 5%-át vizsgálták meg. A mintába került utazások ár szerinti megoszlása a következő: Ár (Ft-ban) Utazások száma (db) Összesen 120 a) Készítsen pontbecslést az utazások átlagos árára vonatkozóan! b) Határozza meg 98%-os megbízhatósággal, hogy milyen határok között van egy utazás átlagos ára! Értelmezze a standard hibát! c) Becsülje meg a legfeljebb Ft-ba kerülő utazások arányát a sokaságban 95%-os megbízhatósággal! d) A b.) ponthoz képest mekkora minta-elemszámra van szükség ahhoz, hogy a maximális hibát a felére csökkentsük? e) A b.) ponthoz képest mekkora minta-elemszámra van szükség ahhoz, hogy a maximális hibát a 20%- kal csökkentsük? f) A b.) ponthoz képest mekkora minta-elemszámra van szükség ahhoz, hogy a maximális hibát a 20%- ra csökkentsük? g) Becsülje meg az utazási irodák várható árbevételét, ha tudjuk azt, hogy az utazások 70%-át veszik várhatóan igénybe! (π=96 %) 1

2 3. feladat Az újonnan átvett személygépkocsikat görgős próbapadon fogyasztásvizsgálatnak vetik alá, hogy meggyőződjenek a gyári beállítás pontosságáról és meghatározhatók legyenek a szükséges reakciók. A LADA 1500 L fogyasztásának becslése céljából kiválasztottak egy 25 elemű véletlen mintát (a fogyasztás normális eloszlású változó), az átadott LADA gépjárművek 10%-át. A mintába került 25 személygépkocsi fogyasztása 1/100 km: 10,25 10,13 10,17 10,05 10,11 10,21 10,35 10,27 10,11 10,15 10,29 10,10 10,14 10,17 10,08 10,11 10,25 10,13 10,19 10,07 10,14 10,35 10,16 10,13 10,07 a) Készítsen pontbecslést a fajlagos fogyasztásra vonatkozóan! b) Készítsen intervallumbecslést 95%-os megbízhatósági szinten, annak figyelembe vételével, hogy a sokasági szórás 0,08 l! c) Milyen határok között van 98,8%-os megbízhatóság mellett a 10,2 l-nél kisebb fogyasztású gépjárművek aránya az alapsokaságban? d) Az előző esetekben mekkora elemszámra van szükség ahhoz, hogy a maximális hibát a felére csökkentsük (változatlan megbízhatósági szint mellett)? 4. feladat Egy kávét forgalmazó kereskedelmi cég új piacra szeretne belépni. Reklámstratégiájának kidolgozásához felmérést készít a kávéfogyasztók életkoráról. A 20 elemű egyszerű véletlen eljárással kiválasztott minta életkor szerinti megoszlását mutatja az alábbi tábla: Életkor (év) Kávéfogyasztók száma (fő) Összesen 20 a) Készítsen intervallumbecslést az átlagos életkorra vonatkozóan 95%-os megbízhatósági szinten! b) Mekkora a 40 éves és attól fiatalabb kávéfogyasztók aránya a sokaságban 98%-os megbízhatósági szinten? c) Mekkora minta-elemszámra lenne szükség ahhoz, hogy a maximális hibát 20 %-kal csökkentsük (változatlan megbízhatósági szint mellett)? d) Készítsen intervallumbecslést a kávéfogyasztók életkorának szórására vonatkozóan 95%-os megbízhatósági szinten! 5. feladat Az elmúlt hónapban Magyarországon 1600 KKV-nak vizsgálta meg az adóhatóság az árbevételét, melyből egyszerű, véletlen mintát vettek a célból, hogy következtetést vonjanak le a KKV-k nyereségére. Az alábbi táblázat az 6,25%-os mintába került KKV-kal kapcsolatos adatokat tartalmazza: Nyereség (mft) KKV-k száma (db) Összesen.. 2

3 a) Végezze el a KKV-k átlagos nyereségére vonatkozó pontbecslést 95%-os megbízhatósági szinten! b) Határozza meg a standard hibát és értelmezze! c) Becsülje meg, hogy egy év alatt maximum mekkora nyereséget érhetnek el a KKV-k π=99%-os szinten! d) Az előző esetet figyelembe véve mekkora minta-elemszámra van szükségünk, ahhoz, hogy a maximális hibát 20%-ra csökkentsük (π=95%)? e) Becsülje meg, azon KKV-k számát, melyeknek nyeresége 51 mft-nál több π=99%-os szinten! 6. feladat Egy településen a lakossági vízfogyasztásról reprezentatív felmérést készítettek. A felmérés során a lakások 5%-át vizsgálták meg. A mintába került lakások vízfogyasztás szerinti megoszlása a következő: Vízfogyasztás (m 3 ) Lakások száma (db) a) Határozza meg 95,5%-os megbízhatósággal, hogy milyen határok között van az átlagos vízfogyasztás! b) Milyen határok között van 95%-os megbízhatóság mellett a 35 m 3 -nél kisebb vízfogyasztású lakások aránya és száma az alapsokaságban? c) Határozza meg 95%-os megbízhatósággal, hogy milyen határok között van az összes lakás vízfogyasztása! d) Az a) feladatot figyelembe véve mekkora minta-elemszámra van szükség ahhoz, hogy a maximális hibát 30%-kal csökkentsük? 7. feladat A háztartások havi egy főre jutó élelmiszer kiadásait rétegzett kiválasztás alapján vizsgálták az északmagyarországi régióban. A felmérés során a húsfogyasztásra vonatkozóan az alábbi adatokat kapták: Háztartás Háztartások száma az alapsokaságban (ezer) Minta elemszám (n) Átlagos Szórás (Ft) kiadás (Ft/fő) a mintában Városi Községi Összesen a) Becsülje meg a városi háztartás évi átlagos egy főre jutó élelmiszerkiadásainak alsó határát 99,7%-os valószínűségi szinten! b) Becsülje meg 96%-os megbízhatósággal a háztartások egy főre jutó élelmiszer kiadásainak összegét! 3

4 8. feladat A STAT-III. közvélemény-kutató cég megbízást kapott, hogy állapítsa meg 98 %-os megbízhatósággal egy nagyvárosban a családok élelmiszer-vásárlásainak átlagos értékét. A cég rétegzett mintavételes eljárást alkalmazva az alábbi számítási részeredményekhez jutatott: Terület Minta Átlagos vásárlási Korrigált tapasztalati elemszám (n) érték (Ft/fő/alkalom) szórás (Ft) Belváros Külvárosi zöldövezet Lakótelep Összesen Az átlagos vásárlási érték normális eloszlást követ. A város lakosának ¼-e lakik a belvárosban és 60%-a lakótelepen, a többi a külváros zöldövezetében. Milyen eredményre jutott a STAT-II. cég? 9. feladat Az egyetemi hallgatók kulturális és sportkiadásainak becslésére 100 elemű véletlen mintát választottak ki. A mintában a következő adatokat kapták: A hallgató Megoszlás az Heti kulturális és sportkiadás (Ft/fő) Fő neme alapsokaság (%) átlaga szórása Nő Férfi Összesen a) Becsülje meg az egyetemi hallgatóság heti átlagos kulturális- és sportkiadását 95 %-os megbízhatósági szinten! b) Indokolja meg, hogy mikért folyamodtak a fenti mintavételi tervhez! 10. feladat Egy pizzéria üzletlánc piaci terjeszkedéséhez szeretné megbecsülni, hogy adott városban mekkora összeget költenek a fogyasztók havonta átlagosan pizzára. A felmérés során rétegzett mintavételi eljárással 400 elemű mintát vettek. A minta ¾-e fiatalokból (25 év alatti) és ¼-e idősebbekből (25 év feletti) állt. Ismert, hogy a városban a pizzát fogyasztókra is ugyanilyen arányok érvényesek. A minta alapján azt tapasztalták, hogy a fiatalok átlagos havi pizza-fogyasztásának értéke Ft/fő/hó és a pizza-fogyasztás értékének négyzetösszege ,0 Ft. Az idősebbek a mintában Ft-ot költöttek pizzára, a korrigált tapasztalati szórás pedig 200 Ft volt. Becsülje meg 96%-os megbízhatósággal a városban az átlagos pizza-fogyasztás értékét! 4

5 11. feladat Egy csővágó automata gépnek 1200 mm hosszú csődarabokat kell levágnia. Gyártásközi ellenőrzés feladata, hogy megállapítsa, hogy a gép által gyártott darabok hosszmérete megfelel-e az előírásoknak. Előző adatfelvételekből tudjuk, hogy a szóban forgó gép által gyártott darabok hossza normális eloszlású valószínűségi változó 3 mm szórással. A vizsgálat elvégzéséhez kiválasztottak egy 15 elemű mintát. A kiválasztott csődarabok hossza (mm-ben): 1208; 1204; 1202; 1202; 1194; 1195; 1205; 1194; 1197; 1193; 1205; 1202; 1191; 1195; 1194; a) Ellenőrizzük, hogy a gyártott mintadarabok hossza megfelel-e az előírásnak! (α = 5%) b) Vizsgálja meg 5%-os szignifikancia-szinten, hogy a legyártott csődarabok 25%-a 1200mm-nél rövidebb! c) Vizsgálja meg 5%-os szignifikancia-szinten, hogy az alapeloszlás szórása lehet-e 3 mm a mintánk alapján? 12. feladat Kosárlabdázók teljesítményének értékelésére megnézték két sportolónál, hogy milyen arányban értékesítették a büntető dobásokat. Bobby nevű sportolónk 100 büntető dobásból 55-t dobott be, Jocky pedig 140-ből 91-t. a) Ha egy szezonban 450 büntető dobást ítéltek a csapatnak, és azt mind Jocky végezte el, becsülje meg, hogy hány pontot szerzett a csapat a büntető dobásokból? (π=95%) b) Ellenőrizze le 5%-os szignifikancia-szinten azt a feltételezést, hogy Jocky legalább 70%-os megbízhatósággal dobja a büntetőket! c) A mintabeli adatok alapján tud-e egyértelmű döntést hozni a vezetőedző, hogy a két játékos közül Jocky pontosabban dobja a büntetőket? 13. feladat Sportorvosok tesztelni kívánták azt a feltevést, hogy az élsportolók testalkatában eltérés mutatható ki az általuk űzött sportág függvényében. A 14 véletlenszerűen kiválasztott igazolt kosárlabda-játékos testmagassága cm-ben a következő volt: 198; 202; 199; 202; 191; 198; 199; 205; 204; 200; 199; 199; 200; 204; A 10 szintén véletlenszerűen kiválasztott úszó átlagos testmagassága pedig 196 cm, szórása 5,2 cm volt. ( A testmagasság normális eloszlást követ.) a) Készítse el a kosárlabdázók átlagos testmagasságának konfidencia intervallumát! (π=98%) b) Milyen szignifikancia-szinten fogadná el azt a feltételezést, hogy a kosárlabdázóknak legalább a fele magasabb 2 m-nél? c) Ellenőrizze le 5%-os szignifikancia-szinten azt a feltételezést, hogy a kosárlabdázók átlagos testmagassága maximum 5 cm-rel több az úszókénál! 5

6 14. feladat Egy távközlési vállalat reprezentatív felmérést készített a telefonhívások időtartamának vizsgálatához. A felmérés során a lezajlott hívások 5 %-át vizsgálták meg. Előző felmérésből ismert, hogy a telefonhívások szórása 0,3 perc. A kapott eredmények a következők: Telefonhívások Telefonhívások időtartama (perc) száma (db) - 1, ,1-2, ,1-3,0 70 3,1-4,0 50 4,1-20 Összesen 400 Előző felmérésből ismert, hogy a telefonhívások időtartama normális eloszlást követ. a) Becsülje meg 95%-os megbízhatósággal a telefonhívások átlagos időtartamát! b) Becsülje meg 98%-os megbízhatósági szinten a 3 percnél nem hosszabb beszélgetések számát a sokaságban! c) Ellenőrizze 5%-os szignifikancia-szinten, hogy elfogadható-e az a feltételezés, hogy a telefonhívások átlagos időtartama 2 perc, szórása pedig 0,3 perc! d) α=10%-os szignifikancia-szinten elfogadhatjuk-e azt a feltételezést, hogy a telefon- hívásoknak legalább a fele 2 percnél hosszabb beszélgetés volt? 15. feladat Egy bizonyos termék gyártása során a termékekkel szemben támasztott minőségi követelmény, hogy az egyik összetevő értéke ne haladja meg a 0,5 mg/l-t. Ha az összetevő értéke nagyobb, mint 0,5 mg/l, akkor a gyártást le kell állítani, s a gép beállítását el kell végezni. Gyártásközi minőségellenőrzés céljából a gyártósorról véletlenszerűen levettek 10 terméket, s a következő eredményeket kapták (mg/l): 0,49; 0,43; 0,53; 0,57; 0,50; 0,46; 0,50; 0,49; 0,51; 0,53; Hozzon döntést arról, hogy a minta adatai alapján leállítaná-e a termelést és beállítaná-e újra a gépet! (Szignifikancia-szint: 10%; Előzetes vizsgálatokból ismert, hogy az összetevő normális eloszlást követ.) 16. feladat Egy nagyvállalat női dolgozója közül egyszerű véletlen mintavétellel kiválasztottak 162 főt, akiknek összéletkora 5303 év (Az életkoruk négyzetösszege: Σx 2 =188110). a) Adjon becslést az átlagéletkorra vonatkozóan (π=98,8%)! b) Mekkora mintaelemszámra lenne szükség ahhoz, hogy a maximális hibát a felére csökkentsük? c) A mintába került 35 éven aluli nők száma 112. Elfogadná-e azt az állítást, hogy a nők 75%-a 35 éven aluli (α=5%)? d) Egy másik felmérés alapján 121 férfi átlagéletkora 36,9 év (s=9,504 év) volt. Milyen szignifikanciaszinten fogadná el azt az állítást, hogy a nők átlagéletkora 3 évvel alacsonyabb a férfiakénál? 6

7 17. feladat Egy üdítőital gyártó cég dolgozói körében végzett reprezentatív felmérés során 430 fő ( a teljes sokaság 5%- a) jövedelmét vizsgáltuk foglalkozás szerinti bontásban. Havi fizetés (eft) Fizikai (fő) Szellemi (fő) Összesen (fő) Összesen a) Határozza meg 98%-os megbízhatósággal, hogy milyen határok között van a szellemi foglalkozású alkalmazottak havi átlagjövedelme! b) Hány szellemi dolgozót kellett volna megkérdezni, ha kétszeres pontosságú eredményt szerettek volna elérni? c) Milyen határok között van 95%-os megbízhatóság mellett a 160 eft fölött keresők aránya és száma a szellemi és fizikai foglalkozásúak körében? d) Becsülje meg 95%-os megbízhatósággal az összes alkalmazott fizetésének szórását! e) Becsülje meg 95%-os megbízhatósággal az összes alkalmazott átlagos fizetését! f) Elfogadná-e azt az állítást, hogy az összes alkalmazott 60%-a 120 eft-nál kevesebbet keres? (α=5%) g) Elfogadja α=5%-os szignifikancia szinten azt az állítást, hogy a fizikaiak átlagkeresete legfeljebb 60eFt-tal marad el a szellemiekétől? h) Milyen szignifikancia-szinten fogadná el azt az állítást, hogy a fizikai dolgozók legalább 93%-a 160 eft-nál kevesebbet keres? 18. feladat 850 utazásszervezéssel foglalkozó utazási iroda közül egyszerű véletlen mintavétellel kiválasztott 50 utazás iroda adatai: Bevétel (millió forint) Utazási irodák száma (db) - 2,5 1 2,5-2,7 4 2,7-2,9 6 2,9-3,1 17 3,1-3,3 11 3,3-3,5 9 3,5-2 Összesen 50 a) Az árbevétel normális eloszlását feltételezve adjon 95%-os megbízhatóságú konfidencia intervallumot az utazási irodák 1. átlagos bevételére, 2. összes bevételére! b) Mekkora mint-elemszámra lenne szükség ahhoz, hogy a maximális hibát 30%-kal csökkentsük? c) Becsülje meg 98%-os megbízhatósággal azon irodák számát, amelyek árbevétele legalább 3,1 millió forint! d) 5%-os szignifikancia-szinten elfogadható-e, hogy az átlagos árbevétel 4 millióft? 7

8 19. feladat A McDonald s forgalmának növelése érdekében két különböző akcióba kezd. Egyik nap csökkenti a menük árát, a másik nap pedig ingyen fagylaltot adnak a menük vásárlásakor. Mindkét nap 10 véletlenszerűen kiválasztott McDonald s üzletben vizsgálták a menük forgalmát (a vásárolt menük számát). Előzetes felmérésből ismert, hogy a vásárolt menük száma normális eloszlású változó. A kapott adatok a következők voltak: (menük száma, db) Üzlet sorszáma nap nap Ellenőrizze 5%-os szignifikancia-szinten azt az állítást, hogy az árcsökkentés sikeresebb marketing akció volt! 20. feladat A STAT-I. közvélemény-kutató cég megbízást kapott egy élelmiszer-áruházlánctól, hogy vizsgálja meg egy nagyvárosban a családok élelmiszer-vásárlási szokását. A cég a nagyváros három különböző területén egyszerű véletlen mintavételes eljárást alkalmazva az alábbi számítási részeredményekhez jutott: Terület Minta elemszáma Átlagos vásárlási érték Korrigált tapasztalati (n) (Ft/fő/alkalom) szórás Belváros Kertváros Lakótelep Korábbi felmérésből ismert, hogy az átlagos vásárlási érték normális eloszlást követ. A lakosú város fele lakótelepen él, míg a kertvárosban csak a lakosság 20%-a lakik. Milyen eredményre jutott a STAT-I. cég, ha az alábbi kérdésekre keresték a választ? a) Elfogadható-e az a feltevés, hogy a lakótelepen kevesebbet költenek élelmiszerre? (α=5%). b) Hol számíthat nagyobb összforgalomra az áruházlánc? (π=99%) 8

9 21. feladat Egy kohászati vállalatnál az ötvözetlen és a gyengén ötvözött acél zártszelvények szilárdságát vizsgálták mechanikus eljárással. Az elvárt minimális nyomásbírás az ötvözetlen acélnál 450 MPa, a gyengén ötvözöttnél 600 MPa. A legyártott darabok közül 1 %-os egyszerű, véletlen mintát vettek. A vizsgálat eredményeit az alábbi táblázat tartalmazza: Nyomás (MPa) Ötvözetlen acél (db) Gyengén ötvözött acél (db) Összesen a) Becsülje meg a selejtarányt a gyengén ötvözött acél zártszelvény esetében! (π=98%) b) Mekkora mintaelemszámra lenne szükségünk akkor, ha a fenti becslés maximális hibáját 20 %-kal szeretnénk csökkenteni? c) Becsülje meg, hogy egy nap várhatóan hány darab selejtes zártszelvény készül gyengén ötvözött acélból! (π=96%) d) Ellenőrizze le a főmérnök azon kijelentését, hogy a gyengén ötvözött acélból készült zártszelvény nyomásbírása legfeljebb 510 Mpa. (α=5%) 22. feladat Egy autóabroncsokat gyártó cég az új típusú abroncs kopásállóságának ellenőrzése céljából 10 gépkocsira új abroncsokat szerelt és km után megmérte a kopást. Az eredmények mm-ben: Új abroncs kopása: 1,2; 2,0; 1,7; 2,6; 1,1; 2,5; 2,3; 1,5; 2,1; 1,6 ( x = 1,86), ( s = 0,716) A régi típusú abroncs kopása ugyanazon az útvonalon: 1,4; 2,1; 1,7; 2,9; 1,0; 3,4; 2,5; 1,7; 2,4; 2,0 ( x = 2,11), ( s = 0,716) A kopás mértékének eloszlása normálisnak tekinthető. Ellenőrizze azt a hipotézist, hogy az új abroncs kopásállóbb! (α=5%) 9

10 23. feladat Egy vállalatnál ugyanazt az összeszerelő tevékenységet férfiak és nők is végzik. Véletlenszerűen kiválasztottak egy ugyancsak véletlenszerűen kiválasztott munkanapon 28 férfit és 16 nőt. A 28 férfi esetében az összeszerelt darabok száma a következő volt: Az összeszerelt darabok száma Fő Összesen 28 A véletlenszerűen kiválasztott 16 nő együttes napi teljesítménye 408 darab volt. (Teljesítményük négyzetösszege: Σx 2 =10450 darab) Korábbi felmérésből ismert, hogy az összeszerelési teljesítmény normális eloszlást követ. a) Készítse el a nők átlagos teljesítményének (darab/fő) konfidencia intervallumát! (π=95%) b) Becsülje meg 98%-os megbízhatósági szinten egy olyan napon az összeszerelt darabok maximális, illetve minimális számát, amikor 40 férfi végzi ezt az összeszerelési tevékenységet! c) Milyen szignifikancia-szinten fogadná el azt az állítást, hogy a férfiak átlagos napi teljesítménye (darab/fő) legfeljebb 2 darabbal kevesebb, mint a nőké? 24. feladat A Füles és Micimackó Kft. kanyarfúró üzemében a napi termelésből véletlenszerűen kiválasztottak 15 kanyarfúrót, melyeknek 80 mm átmérőjű fúrókat kell készíteni. A kipróbálás során a következő átmérőket tapasztalták (mm-ben): 78,8; 78,9; 79,4; 79,6; 79,8; 79,9; 80,0; 80,0; 80,0; 80,1; 80,4; 80,6; 80,7; 80,8; 81,7; (Feltételezhetjük, hogy a méretek normális eloszlást követnek.) a) Vizsgálja meg, hogy az átlagos átmérőnagyság megfelel-e az előírásnak! b) Korábbi felmérések alapján ismert, hogy a gépek által gyártott fúrók méretének szórása 0,73 mm. Milyen szignifikancia szinten fogadná el azt a feltételezést, hogy az átlagos átmérőnagyság nagyobb, mint 79,75 mm? c) A nagy piaci sikerre való tekintettel a cég új gépsort állít be. A próbagyártás során a következő méretű fúrókat gyártották (átmérőnagyság mm-ben): 78,8 79,4 79,7 79,9 79,9 80,0 80,0 80,0 80,0 80,2 80,3 80,3 80,4. Az új gépsor beállításával 10%-os szignifikancia-szinten csökken-e a furatok átlagtól való átlagos eltérése? d) Mit mondhatunk arról a feltételezésről, hogy az új gép 0,1 mm-rel kisebb méretű furatokat készítő fúrókat gyárt? 10

11 25. feladat Egy 9000 főt foglalkoztató gyár dolgozóira vonatkozó adatok 2001-ben: Foglalkoztatás Alapsokaságbeli Mintából számított minőség arány (%) Átlagkereset (Ft) Szórás (Ft) Létszám Fizikai Nem fizikai Összesen a) Becsülje meg 95,5%-os megbízhatósággal a foglalkoztatottak átlagkeresetének alsó és felső határát! b) Ellenőrizze azt a hipotézist, hogy az átlagkereset független a foglalkozástól! (α=5%) 26. feladat Egy felsőoktatási intézményben a hallgatók napi étkezésre fordított kiadásait vizsgálták, s étkezési lehetőségek szerint rétegzett mintavétellel az alábbi értékeket tapasztalták: Étkezési lehetőség Megkérdezettek száma (fő) Átlagos napi étkezési kiadás (Ft/fő) A napi étkezési kiadás szórása (Ft/fő) Menza Önkiszolgáló étterem Gyorsbüfé Összesen 300 a) Becsüljük meg 96%-os megbízhatósággal a hallgatók napi átlagos étkezési kiadását, ha ismert, hogy a hallgatók fel a gyorsbüfében, 20%-a pedig általában a menzán ebédel! b) Ha átlagosan egy nap 5600-an étkeznek az intézményben, akkor összesen mekkora bevételre számíthat naponta a három vendéglátó ipari egységet üzemeltető cég? 27. feladat Az egyetemisták alkoholfogyasztási szokásainak vizsgálatára egy minta alapján kérdőíves felmérést végeztek három egyetemen. A minta kiválasztása arányos rétegezéssel történt. A kérdőíves felmérés egyik kérdése úgy szólt, mennyi alkoholt fogyasztanak a megkérdezettek egy hétvégi bulin. A válaszokat az alkoholtartalom ( o ) alapján üveg sörre számították át: Egyetem Átlagosan A fogyasztott alkohol Megkérdezettek elfogyasztott szórása száma (fő) alkohol (üveg sör) a mintában a sokaságban SZE 80 2,6 1,8 2 ME 50 2,8 1,6 1 DE 70 3,4 2,7 3 Összesen 200 a) Tegyük fel, hogy a három egyetem közös bulit rendez. Ha a 3 egyetemre együtt en járnak, akkor becsülje meg 95%-os biztonsággal, hány üveg sört (illetve annak megfelelő alkoholt) kell a bulira biztosítani, ha mindenkire számítanak! b) Ellenőrizze le 5%-os szignifikancia szinten, hogy van-e kapcsolat az egyetem és az alkoholfogyasztási szokás között! 11

12 28. feladat Egy felsőoktatási intézmény Statisztika Tanszékén a vizsgaidőszak végén kiértékelték a statisztika szigorlat eredményeit. Az írásbeli vizsga eredményeit 50 véletlenszerűen kiválasztott hallgató dolgozata alapján vizsgálták: Az írásbeli A mintába került A pontszám relatív Átlagos pontszám időpontja hallgatók száma szórása (%) Május Június Június Június Június Összesen 50 α=5%-os szignifikancia-szinten elfogadható-e az az állítás, hogy az egyes vizsganapokon azonos nehézségű dolgozatokat írtak a hallgatók? 29. feladat Adott évben Magyarországon látogató vett részt hangversenyeken, akik közül településtípusonként egyszerű véletlen mintavételezéssel megállapították a látogatók átlagos életkorát. A látogatók településtípusonkénti megoszlását és a mintából származó adatokat a következő táblázat tartalmazza: Létszám Látogatók átlagos Életkor A hangverseny Látogatók (fő) életkora (év) szórása (év) helye száma (fő) a mintában Budapest ,6 15,4 A többi város ,7 16,2 Községek ,0 13,8 Összesen a) Számítsa ki, hogy 95 %-os megbízhatósági szint mellett mennyi a látogatók átlagos életkorának alsó és felső határa! b) Vizsgálja meg azt a feltételezést, hogy a városokban, községekben és Budapesten eltérő korosztály látogatja a hangversenyeket! (α = 5%) 30. feladat Egy 8000 hallgatóval rendelkező egyetemen a hallgatók egy részétől megkérdezték, hogy hetente mekkora összeget költenek kulturális és sportolási célokra. Egy 500 elemű véletlen mintát választottak, amelyről a következő adatok ismertek: a rétegekben a heti kulturális- és sportkiadás átlagosan a nők esetén 1300 Ft/fő, a férfiak esetén 1450 Ft/fő. Ezen átlagos kiadásoktól való eltérések korrigált négyzetes átlaga a férfiak esetén 450 Ft/fő, a nők esetén 310 Ft/fő. Az egyetemen a nők és a férfiak megoszlása 60-40% és a kulturális- és sportkiadásaik szórása 420, illetve 330 Ft/fő. A mintaelemek kiválasztási aránya férfiak esetén 7,8125%, a nők esetén 5,2083%. Becsülje meg az egyetemi hallgatóság heti átlagos kulturális- és sportkiadását 95%-os megbízhatósági szinten! 12

13 31. feladat Egy 200 elemű véletlen minta megoszlása színházlátogatási szokások és szakképzettség szerint: Színházlátogatási 8 általános Középfokú Felsőfokú szokások végzettség Összesen Nem jár színházba Néha jár Rendszeresen Összesen Vizsgálja meg, hogy van-e szignifikáns kapcsolat a két ismérv között! (α=5%) 32. feladat Egy megye 60 ezer személygépkocsi tulajdonosa közül véletlenszerűen kiválasztottak 50-et a gépkocsijavítási igények és a gépkocsi típusa közti kapcsolat jellegének feltárására. A mintát a következő kontingencia-tábla mutatja: A gépkocsi A gépkocsi meghibásodása Nagy Közepes Szerény esetén azt értékű értékű értékű Összesen - maga javítja ismerőse javítja magánszerviz javítja márkaszerviz javítja Összesen Vizsgálja meg 5%-os szignifikancia-szinten, hogy a gépkocsijavítási igények és a gépkocsi típusa függetlennek tekinthető-e? 33. feladat Közlekedésbiztonsági szervek 1000 személyi sérüléses közúti balesetet vizsgáltak meg aszerint, hogy milyen súlyos volt a baleset és a baleset alkalmával a sérült viselt-e biztonsági övet. A kapott eredmények az alábbiak voltak: Baleset Biztonsági övet kimenetele viselt nem viselt Összesen Könnyű Súlyos Halálos Összesen Ellenőrizze alkalmas próbával, hogy a baleset kimenetele független-e attól, hogy az illető viselt-e biztonsági övet! (α=0,1) 13

14 34. feladat Egy közvélemény kutatás során egyik gazdasági témájú TV műsorról az alábbi kép alakult ki a diplomások körében: Nyilatkozó A műsor megítélése foglalkozása Jó Megfelelő Rossz Összesen Közgazdász Jogász Egyéb diplomás Összesen Tesztelje 5%-os szignifikancia szinten a foglalkozás jellege és a TV műsor minősítése közötti kapcsolatot! 35. feladat Egy marketinggel foglalkozó cég vezetője arra kíváncsi, hogy jól kiképzett munkatársainak ügynöki teljesítménye független-e az életkortól. Az adatokat úgy gyűjtötték, hogy egy adott termékből egy hónap alatt hány darabot sikerült az ügynöknek eladni. A 600 elemű minta adatai: Eladások száma Életkor 5 és 9 között 10 és 15 között 16 és 20 között Összesen 30 év alattiak és 40 év között év felettiek Összesen Befolyásolja-e az életkor az ügynökök munkájának eredményességét? (α=5%) 36. feladat A különböző közgazdasági egyetemekre való jelentkezés eloszlásának vizsgálata céljából 1200 érettségizőt megvizsgáltak, hogy melyik egyetemre adta be jelentkezési lapját. A különböző intézetekbe történő jelentkezés megoszlása a következő volt: Egyetem Budapest Debrecen Pécs Miskolc Veszprém Jelentkezők száma (fő) Ellenőrizze le 5%-os szignifikancia-szinten, hogy egyenlő megoszlásban jelentkeztek az egyes egyetemekre! 14

15 37. feladat Egy édesipari vállalat szállítási szerződése szerint egy cukorka-keverékben azonos arányúnak kell lennie az ötféle töltésű cukorkaszemeknek. Egy 1000 elemű mintában a megoszlás az alábbi tábla szerint alakult: Töltelékfajta Cukorkák száma (db) Málna 178 Meggy 213 Méz 224 Citrom 194 Narancs 191 Összesen 1000 Ellenőrizze különböző szignifikancia-szinteken, hogy a szállítmány eleget tesz-e az eloszlásra vonatkozó követelményeknek! 38. feladat Egy város rendőrsége szerint az éjszakai betörések száma egyenletesen oszlik meg a hét napjain. Egy heti megfigyelés alapján a betörések száma az alábbi volt: Nap Betörések száma Hétfő 6 Kedd 8 Szerda 5 Csütörtök 7 Péntek 12 Szombat 17 Vasárnap 15 Összesen 70 Ellenőrizze α=0,05 szignifikancia-szinten, hogy igaz-e a rendőrség állítása! 39. feladat Egy piackutatás során különböző (A, B, C, D, E) csomagolásban mutattak be egy új parfümkülönlegességet, s azt vizsgálták, hogyan befolyásolja a vásárlási szándékot a különböző csomagolás: Csomagolás A vásárlók száma (fő) A 42 B 22 C 40 D 36 E 30 Milyen szignifikancia szinten fogadhatjuk el azt a feltevést, hogy a vásárlókat a csomagolás is motiválja a vásárlás során? 15

16 40. feladat A légi közlekedésben fontos figyelemmel kísérni az utasok átlagos testsúlyát, hogy egyrészt ne terheljék túl a gépet, másrészt nem utazzon a gép fölös kapacitással. Ezért időről időre ellenőrzik, hogy a felnőtt utasok testsúlya nem tér-e el a feltételezettől. A légitársaság a terhelést 78 kg-os átlagos testsúlyra és 11 kg-os szórásra tervezi. A feltételezés ellenőrzése céljából megmérték 100 véletlenszerűen kiválasztott utas súlyát, akik között 44 nő volt. A mérés eredménye: Testsúly (kg) Utasok száma (fő) Összesen 100 Végezze el az eloszlás normalitására vonatkozó feltételezés ellenőrzést! (α=1%) 41. feladat Egy ruhaüzletben véletlenszerűen kiválasztott 100 vásárló vásárlási érték szerinti eloszlását vizsgálták. Ismert, hogy a 100 vásárló átlagosan Ft-ért vásárolt, a vásárlási értékek korrigált tapasztalati szórása pedig 6,66 eft. A vásárlási értékek eloszlásáról a következő adatokat ismerjük: Vásárlási Vásárlók érték (eft/fő) száma (fő) z P i Pi n Pi , , ,12 0,4522 0, ,63 0,7356 0, ,38.. 0, ,5 Összesen.... a) Töltse ki a táblázat hiányzó adatait! b) Vizsgálja meg, hogy normálisnak tekinthető-e a vásárlási értékek eloszlása! Írja fel a vizsgálandó hipotéziseket és az alkalmazott próbafüggvényt! Végezze el a hipotézis vizsgálatot! 16

17 42. feladat Egy élelmiszerkereskedelmi cég árbevételének alakulását vizsgálva 100 véletlenszerűen kiválasztott üzletben megvizsgálták az árbevétel nagyság szerinti megoszlását egy adott napon. A 100 üzlet adatait a következő táblázat tartalmazza: Árbevétel Üzletek (MFt) száma (db) z P i Pi n Pi , ,634 0,263 0, ,372 0, , ,378 0, ,086 9 Összesen a) Töltse ki a táblázat hiányzó adatait, ha ismert, hogy a 100 üzletben az átlagos árbevétel nagysága eft volt, a korrigált tapasztalati szórás pedig 9,94 eft. b) Vizsgálja meg, hogy az üzletek árbevétel szerinti eloszlása normálisnak tekinthető-e! Írja fel a vizsgálandó hipotéziseket és az alkalmazott próbafüggvényt! Döntsön, hogy a próba értéke alapján feltételezhető-e a normális eloszlás! 43. feladat Valamely gyorsbüfé-hálózat éttermeiben a vevőket 45 mp alatt kell kiszolgálni. Annak ellenőrzésére, hogy a kiszolgálási idő normális eloszlást követ-e, megmérték 400 véletlenszerűen kiválasztott vendég kiszolgálási idejét, melyet az alábbi táblázat tartalmaz: Kiszolgálási Vendégek... n Pi idő (mp) száma (fő) ,43 3, ,2389 0, ,00 3, , ,71 0, , , ,56 Összesen 400-1,0000 Ellenőrizze le a fenti tábla számítási részeredményeit felhasználva, hogy a kiszolgálási idő eloszlása tekinthető-e normális eloszlásúnak a minta alapján! Töltse ki a táblázat hiányzó rovatait! 17