A sokasági értékösszeg becslése a könyvvizsgálatban

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A sokasági értékösszeg becslése a könyvvizsgálatban"

Átírás

1 Tanulmányok A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban Lolbert Tamás, az Állam Számvevőszék számvevője, a Budapest Corvnus Egyetem PhD-hallgatója E-mal: lolbertt@asz.hu A tanulmány célja, hogy áttekntést nyújtson az értékösszeg becslésére használt módszerekről, különös tekntettel a könyvvzsgálatban alkalmazottakra. A könyvvzsgálat azért teknthető különleges területnek, mvel az általánosan használt, első és másodk momentumokra alapozott becslésekhez jól vselkedő eloszlásokra van szükség, és a pénzügy beszámolókban található hbák eloszlása az emprkus vzsgálatok szernt nem lyen. A terület specaltásanak smertetését követően a tanulmány bemutatja a legnkább elterjedt becslés eljárásokat. TÁRGYSZÓ: Mntavétel. Nem egyenlő valószínűséggel történő kválasztás. Pénzügy alkalmazások, pénz- és értékpac.

2 226 Lolbert Tamás A könyvvzsgálatban a legnkább tpkusnak nevezhető feladat az, hogy egy pénzügy kmutatásról el kell dönten, tartalmaz-e lényeges hbát (materal error). Egy hba lényegessége (materalty) a klasszkus értelmezés szernt abból fakad, hogy matta már érdemben módosulnak a pénzügy kmutatás alapján hozott döntések. A jelen tanulmány, és a legfontosabb gyakorlat alkalmazások szempontjából a lényeges hba mndg a főösszeg (vagy fontosabb részösszegek) kmutatott és valós értékének 1 egy tolerálható mértéket meghaladó eltérését jelent. 2 Mvel a könyvvzsgálat meglehetősen távol áll a statsztka szokásos alkalmazásatól, célszerűnek látszk egy kcst részletesebben foglalkozn az alapfogalmakkal. Lényegesnek teknthetjük a hbát például, ha az eltérés meghaladja az 1 mlló forntot, vagy lényeges a hba, ha az eltérés meghaladja a főösszeg 2 százalékát. Ezt a krtkus összeget (vagy százalékot) más néven lényegesség küszöbnek s hívják. Mvel semmféle megszorítást nem jelent, a továbbakban a lényegesség küszöb mndg a főösszegre vonatkozk, és a főösszeg százalékában (tehát nem abszolút összegben) van megadva. Ez a defnícó a következő példával érzékeltethető legkönnyebben. Tekntsük a számvtel törvényben leírt A típusú mérleg egy egyszerűsített formáját: Eszközök (aktívák) Források (passzívák) A. Befektetett eszközök D. Saját tőke I. Immateráls javak I. Jegyzett tőke II. Tárgy eszközök III. Befektetett pénzügy eszközök VII. Mérleg szernt eredmény B. Forgóeszközök E. Céltartalékok I. Készletek F. Kötelezettségek II. Követelések I. Hátrasorolt kötelezettségek III. Értékpapírok II. Hosszú lejáratú kötelezettségek IV. Pénzeszközök III. Rövd lejáratú kötelezettségek C. Aktív dőbel elhatárolások G. Passzív dőbel elhatárolások Eszközök összesen Források összesen 1 A valós érték kfejezést a tanulmány nem a számvtel törvényben (2000. év C. Tv 3.. (9) 12.) meghatározott értelemben használja. A továbbakban valós érték alatt az audtor által végzett teljes körű ellenőrzés után kapott helyes értéket kell érten. Természetesen ez az érték hpotetkus, hszen teljes körű ellenőrzésre nem kerül sor. 2 A lényegesség az tt leírtnál jóval összetettebb fogalom, azonban tovább dmenzót alapvetően nem a statsztka eszközevel szokás megragadn.

3 A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 227 Tegyük fel, hogy a mérlegben szereplő eszközök, mnt kmutatás megbízhatóságáról kell véleményt nylvánítan. Tegyük fel továbbá a példa kedvéért, hogy lényegesnek teknthető az Eszközök összértékének 2 százalékos, a Befektetett eszközök értékének 1 százalékos, a Forgóeszközök értékének 5 százalékos, az Aktív dőbel elhatárolások értékének 2 százalékos, és végül a Készletek és a Követelések együttes értékének 10 százalékos eltérése. Az egyes lényegesség küszöböket külön-külön kell vzsgáln. Könnyen látható, hogy a Befektetett eszközök, az Aktív dőbel elhatárolások, lletve a Készletek és a Követelések együttes értékének vzsgálata tszta eset, hszen nem tartalmaznak tovább, lényegesség küszöböket tartalmazó bontásokat. Ezzel szemben a Forgóeszközök, és az Eszközök összesen értékelése ebben az értelemben többlépcsős folyamat. A tanulmány elején csak a tszta esetekkel foglalkozunk, és csak később térünk k rövden az összetett esetek kezelés módjára. A tanulmány célja azon klasszkus (Neyman Pearson-elvet követő) statsztka eszközök smertetése, melyeket az elmúlt 25 évben fejlesztettek k és jelenleg s használnak a pénzügy beszámolók megbízhatóságának megítéléséhez. A problémát a statsztka nyelvére lefordítva a következő feladattal állunk szemben: mnta alapján becsüln kell a sokaság értékösszeget, és ezt össze kell vetn a kmutatásban szereplő összeggel. A következőkben tehát tekntsük az Y és X (=1 N) páros sokaságot, ahol Y jelöl az N tételből álló kmutatásban szereplő értékeket, és X ezek valós, de nem smert értékét. Ez alapján a könyvvzsgáló feladata annak eldöntése egy előre adott (például 95 százalékos) bzonyossággal, hogy a teljes könyv szernt érték (Y = Y ) és a valós érték ( X = X ) különbsége hogyan vszonyul a lényegesség küszöbhöz. Amennyben az eltérés nem haladja meg a lényegesség küszöböt, elfogadja a kmutatást, ellenkező esetben elutasítja. 3 A jóhszemű feltevés szernt a könyvvzsgáló mnden általa megvzsgált Y esetén képes X pontos megadására, de mvel megelégszk a részleges bzonyossággal, ezért döntését az összesen N tételből n megvzsgálásával fogja meghozn. A mntába kerülő n tételt az általános sokaság tételektől megkülönböztetendő Y és X ksbetűs változataval (y és x ) jelöljük. Adott tétel könyv szernt és a valós értéke segítségével számíthatjuk a következő két mutatót: 1. d = y x ( D = Y X ), a mnta (sokaság) -edk elemében levő hba vagy eltérés (error vagy devaton), am a mnta esetében 3 A könyvvzsgálat nem csak elfogadó és elutasító véleménnyel végződhet. Ahogyan azt a lényegesség defnícójával kapcsolatos 2. számú lábjegyzet s tartalmazza, a könyvvzsgálat a mntavétel módszereken kívül sok egyéb eljárást s használ, melyek esetleg feleslegessé s tehetk a mntavételt, továbbá a pénzügy kmutatás egyes részere adott lényegesség küszöbök aggregálásával sok esetben nem adható sem egyértelmű elfogadó, sem egyértelmű elutasító vélemény. A m szempontunkból azonban, fgyelembe véve a lényegesség általunk használt leegyszerűsített defnícóját, megengedhető az lyen egyszerűsítés.

4 228 Lolbert Tamás smert, a sokaság általános elemére pedg nem smert, de létező érték; y x d Y X D 2. t = = ( T = = ), a mnta (sokaság) -edk y y Y Y elemének szennyezettsége, tehát a könyv szernt értékhez vszonyított relatív hbája (tantng). Ha jól megfgyeljük, azonnal ktűnk a leírt modell legnagyobb hbája: ez a módszer nem alkalmas a kfelejtett tételek felderítésére. A továbbakban tehát feltesszük, hogy nncsenek lyen, kfelejtett tételek 4 és csupán a tételek értékelése lehet hbás. 1. A könyvvzsgálatban előforduló populácók főbb statsztka jellemző Ahhoz, hogy megértsük, mért s problematkus a könyvvzsgálatban az értéköszszeg becslése, mndenképpen be kell mutatn a sokaság (populácó) jellegzetességet. Ezzel kapcsolatosan az 1960-as, az 1970-es és az 1980-as években sok tanulmány született, melyek fő eredményet ez a fejezet foglalja össze. Az első szembetűnő jelenség, hogy a tételek túlnyomó része helyes, azaz nem tartalmaz hbát. Ez azzal jár, hogy a megvzsgált mntának csak mnmáls része tartalmaz érdem nformácót a hbákról. Johnson Letch Neter [1981] tanulmányából kderül, hogy az általuk vzsgált adatállományokban a Vevők tételek (a B/II. Követelések egy alcsoportja) hbaarányának medánja 0,024 (a kvartlsek Q 1 =0,004 és Q 3 =0,089), míg a Készletek ellenőrzésekor ugyanezek a mutatók Q 1 =0,073, Q 2 =0,154 és Q 3 =0,399. Ezért például a nagy számok törvénye szernt a vevőállományból vett 500 elemű (tehát nagy) mntánál körülbelül 12 darab tétel nformácótartalma alapján kell az egész sokaságról nylatkozn. A tanulmány szernt a nem nulla hbák (eltérések) eloszlása lényegesen eltér az egyes beszámoló-területeken. Míg a vevők esetén például sznte kzárólag csak túlértékelések (overstatement) szerepelnek, addg a készleteknél az alul- és túlértékelések körülbelül fele-fele arányban fordultak elő. Más tanulmány (Ham Lassel Smelauskas [1985]) ktért a Szállítók tételere s, ahol az alulértékelés (understatement) volt a tpkus. A másodk specaltása ezeknek a sokaságoknak, hogy a nagyobb könyv szernt értékű tételek nagyobb valószínűséggel tartalmaznak hbát, ám a relatív hba (elté- 4 Ezt azért tehetjük fel, mert a könyvvzsgálat során a könyvvzsgáló egyéb módon már megbzonyosodott arról, hogy a szervezet belső eljárása garantálják-e a kmutatások teljes körűségét.

5 A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 229 rés/könyv szernt érték) nagysága nncs szgnfkáns kapcsolatban a könyv szernt értékkel. Ezen felül, az eltérés szórása a könyv szernt értékkel növekszk. Amenynyben az adott tétel egyes pénzegységet, pontosabban a tétel ezekhez rendelt relatív hbáját tekntjük sokaságnak, akkor a leírtak alapján látható, hogy ennek a sokaságnak jelentős része a 0 körül koncentrálódk. Emellett, például a vevőknél, megfgyelhető egy csomópont az 1 körül s, ugyans a hbák jelentős része 100 százalék túlértékelés (például a már befolyt bevételt nem rendezték számvtelleg). A harmadk fontos probléma, hogy a legtöbb sokaság ferde, továbbá a ferdeség jellemző ránya és mértéke más és más az egyes beszámolóterületeken. A most felsorolt tulajdonságok matt az általánosan használt eloszlások (normáls, exponencáls, gamma, béta stb.) nem alkalmasak a valós és a könyv szernt érték eltérésenek modellezésére. 2. A valós érték pontbecslése Tegyük fel, hogy n elemű egyszerű véletlen (a továbbakban: EV-) mntát vettünk a sokaságból. Ez alapján egyebek mellett a következő módokon becsülhetjük a sokaság értékösszeget. Legegyszerűbb a mntaátlag alapján történő becslés: = x ˆXm N. Ennek a becslésnek nylvánvaló hátránya, hogy nem használja fel a n pénzügy kmutatásban szereplő, a valós értékkel jól korreláló adatokat. x A meglevő nformácót az ˆXd = Y Nd, az ˆXr = Y különbség-, lletve y hányadosbecsléssel, valamnt az előző három valamlyen súlyozott átlagával használhatjuk fel. Végül tételezzük fel, hogy az EV-mnta helyett olyan vsszatevés nélkül mntát vettünk, ahol mnden sokaság elem mntába kerülés valószínűsége egyenesen arányos annak könyv szernt értékével (a továbbakban: PPS-mnta, az angol probablty proportonal to sze rövdítésből). Ilyen mntavétel terv mellett a sokaság értékösszegre adott torzítatlan Horvtz Thompson-becslés ˆX HT =. x y n Y 3. A valós érték ntervallumbecslése Az ntervallumbecslés a mntavétel statsztkában szorosan összefügg a hpotézsvzsgálattal: azt az értéket nevezzük 100 α α 0; 1 ) határnak, százalékos ( [ ]

6 230 Lolbert Tamás amelyket technka nullhpotézsként vzsgálva a jobboldal próbánál a mnta p- értéke éppen α. Amennyben az ntervallum két határa közül az egyk 0 vagy 100 százalék, egyoldal ntervallumról beszélünk. Az [ α1; α2] határokkal defnált ntervallumbecslés megbízhatóság szntje α2 α 1. Az ellenőrzés gyakorlatban alapvetően az egyoldal ntervallumok terjedtek el, ezért a továbbakban csak a [01 ; α] ntervallummal, más néven a 100 ( 1 α) százalékos felső határral fogunk foglalkozn. A legegyszerűbb módja az ntervallumbecslésnek a pontbecslés mntavétel eloszlását vesz alapul, nevezetesen annak első két (centráls) momentumát, tehát az átlagot és a szórást. A tpkus becslés sztuácókban tehát egy kétoldal ntervallumbecslés a µ ± κ1 α 2 σ képlettel adható meg, ahol κ1 α 2 a pontbecslés standardzált eloszlásának megfelelő kvantls értéke. Azokban az esetekben, amkor egy eloszlás jól vselkedk, a központ határeloszlás tétel alapján ezek a becslések már ksebb mnták esetén s elfogadható eredményekre vezetnek. A korábban leírt főbb statsztka jellemzőkből ktűnk, hogy a könyvvzsgálat tpkus sokasága nem követnek jól vselkedő eloszlást, és Neter Km Graham [1975, 1977] vzsgálata kmutatták, hogy ezeknél a sokaságoknál a hagyományos ntervallumbecslés módszerek valóban jelentősen torzítanak. A torzítás egy része a ferdeségből, másk része a normáls eloszlásétól eltérő lapultságból (csúcsosságból) pontbecslés valós érték adódk, melyeknek az a folyománya, hogy a pontbecslés mntavétel szórása hányados még megközelítőleg sem követ t-eloszlást. (Kaplan [1973a, 1973b].) Mvel a hagyományos módon készített becslések nem adtak kelégítő eredményt az eltérés nagyságára, a statsztka és a könyvvzsgálat határterületén több alternatív következtetés eljárást s kfejlesztettek, ezek egy része nagyban támaszkodk a sokaság aránybecslés módszerere. A sokaság elemeben található hba eloszlását kevert eloszlással 5 modellezzük: a hba p valószínűséggel egy ξ valószínűség változó értéket ( E( ξ) = θ, ξ 0) vesz fel, 1 p valószínűséggel pedg 0. 6 p1 α( m,n) jelöl M/N sokaság arány 1 α megbízhatóságú felső korlátját N elemű sokaság, n elemű mnta, M mnősített sokaság elem és m mnősített mntabel elem esetén (a sokság arány becsléséről bővebben: Lolbert [2004]). A most bemutatandó becslések általános jellemzője, hogy az eltérés felső korlátját akarják megadn. Az alsó korláttal kapcsolatos lehetséges módosításokról a megfelelő helyen külön szólunk. 5 Kevertnek nevezzük egy olyan valószínűség változó eloszlását, amelynek értéket úgy származtatjuk k darab különböző, előre rögzített eloszlásból, hogy a k-adk valószínűség változó értékét pontosan p k valószínűséggel vesz fel. 6 A kevert eloszlás meghatározását fgyelembe véve a sokaságban található hba eloszlását 2 valószínűség változóból kevertük k : egy tetszőleges olyan ξ valószínűség változóból, mely ξ( ω) 0 ω esetén, és egy determnsztkus valószínűség változóból, amely konstans 0 értékű.

7 A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban Egy EV-mntán alapuló becslés Ez a becslés feltételez, hogy: a hba túlértékelésből fakad ( Y X, a zaz D 0 ); a kmutatott tételek mnd poztívak ( Y > 0 ); a tételben levő hba maxmáls értéke legfeljebb a tétel értéke (Y D, azaz X 0 ). Mndezeket fgyelembe véve felírható a következő két relácó: E( ξ) = θ Y max, (mvel ξ mnden D realzácójára D Y Y max ), lletve D E(D = ) = pθ py N amből egyszerű átalakítással a sokaság hba összértékére kapjuk a D NpY max felső korlátot. Amennyben n elemű mntát veszünk a sokaságból, amelyben m hbás tételt találtunk, a becslésre fennáll a 1 α,ev 1 α ( ) max, ˆD = Np m,n Y /1/ relácó, tehát becslésünk legalább α százalékban megbízható. max Pr( D D ˆ 1 α,ev ) Pr(NpY max D ˆ 1 α,ev ) = 1 α ( ) Fgyeljük meg, hogy ez a becslés nem használja fel a mntában megfgyelt eltérések nagyságát, csupán a mnta hbás tételenek arányát, ezért elvleg jelentős pontosságjavulást lehet elérn egyrészről rétegzett mntavétellel, másrészről a maxmáls hbanagyságra tett feltevés módosításával. A gyakorlatban ennek ellenére ezt a módszert rtkán használják, alapvetően azért, mert sznte kvétel nélkül PPS-elvű (ezen belül s MUS monetary unt samplng pénzegység alapú) mntavételt alkalmaznak A PPS-mntán alapuló becslések A beszámolók audtálásakor az egész vlágon széles körben használt, gyakorlatban előforduló becslés eljárások legfontosabb közös jellemzője a MUS-, vagy DUS- 7 Vegyük azonban észre, hogy a PPS-mntavétel a rétegzett mntavétel specáls határeseteként értelmezhető.

8 232 Lolbert Tamás mntavétel (monetary unt samplng vagy dollar unt samplng, a hazánkban elterjedt termnológa szernt pénzegység alapú mntavétel). A MUS a könyvvzsgáló gyakorlatban olyannyra elterjedt és elfogadott módszer lett, hogy sznte mást nem s használnak, és általában fgyelmen kívül hagyják a módszer meglevő korlátjat, előfeltevéset, így sokszor azokra a következtetésekre s alkalmazzák, amkre alkalmatlan. A MUS valójában csak annyt jelent, hogy a mntát az eredet sokaság pénzegységeből alkotott mesterséges sokaságból veszk, majd megvzsgálják azokat az eredet tételeket, amelyekből pénzegységet választottak. 8 Könnyen bzonyítható, hogy ez a kválasztás módszer az eredet sokaságra nézve egy PPS-mntát eredményez. MUSmntavétel esetén a hpotetkus sokaság tételszáma (elemszáma) Y (az eredet sokaság értékösszeg), a tételek (sokaság elemek) könyv szernt értéke pedg defnícó szernt a hpotetkus sokaság mnden egyes elemére 1. A mnta elemszámához (n) képest Y gyakorlatlag végtelennek teknthető (pár száztól több-mlló/mllárdg terjedhet), ezért mndegy, hogy vsszatevéssel vagy vsszatevés nélkül veszünk-e mntát. Ennek a mntaválasztás megközelítésnek a könyvvzsgálatban való alkalmazására tett első utalás még 1961-ből, van Heerden holland nyelvű ckkéből (van Herden [1961]) származk, de a könyvvzsgáló szakma szélesebb köre csak 1963-ban smerte meg, Kenneth W. Strngertől (Strnger [1963]). Az általa akkor még csak nagy vonalakban leírt MUS-módszer egyk legsmertebb becslés eljárását Strnger-féle felső határnak (Strnger bound) hívják. A hetvenes években több alternatív módszert s kfejlesztettek, melyek legtöbbje azonban továbbra s magán hordozza a később bemutatandó Strnger-féle becslés gyengeséget: a becslések torzítatlansága analtkusan nem gazolható, a szmulácók alapján pedg a becslések jó része túlságosan konzervatív, azaz a névleges szntnél jóval magasabb a megbízhatóságuk, és így jóval ksebb a pontosságuk (túlságosan széles az ntervallum). A MUS-mntát használó módszerek általában (így az tt leírásra kerülő Strnger-, cella- és multnomáls módszerek s) az úgynevezett CAV- (combned attrbutes-varables samplng) elven alapulnak. A CAV-becslések dszkrétté teszk az eredet eloszlást olyan módon, hogy az eltéréseket nagyságuk alapján ntervallumokba (kategórákba) sorolják, és helyettesítk őket az ntervallum egyk (jellemzően a legnagyobb) értékével. A MUS-mnta kválasztásának technka lebonyolítása A pénzegységalapú mntavételt technkalag többféleképpen lehet elvégezn, melyből a következő módszereket érdemes kemeln. 1. Az elmélet szempontjából legegyszerűbb esetben a pénzegységekből ún. korlátozás nélkül mntát, azaz EV-mntát veszünk. Ebben 8 A MUS a statsztkában smert kumulált értékösszegek módszere egy alkalmazásának s teknthető.

9 A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 233 az esetben akár az s előfordulhat, hogy mnden n alkalommal ugyanazt a tételt kell megvzsgálnunk, és ematt a korlátozás nélkül MUSmntavétel sokak számára nem elfogadható. Ennek ellenére ezt a mntavétel technkát tekntjük alapértelmezésnek a továbbakban, számtalan jó tulajdonsága matt. 2. A tételek valamlyen előre rögzített sorrendben kumulált sorozatának egy véletlenszerűen kválasztott pontjáról elndulva n alkalommal felmérünk Y/n nagyságú lépésközt. Ez a manuáls gyakorlatban legnkább elterjedt módszer, a szsztematkus kválasztás módszerekre jellemző egyszerűségének köszönhetően. A könnyebb megértés kedvéért tekntsük az 1. ábrát. 1. ábra. Tételek a MUS-mntában A pénzügy kmutatás tételenek kumulált összértéke 1. tétel 2. tétel 3. tétel 12. tétel Az 1. ábrán a felső beosztás ntervalluma jelzk az egyes tételeket. Az első nyíl mutatja a véletlenszerűen kválasztott pontot, a két szomszédos nyíl között távolság pedg a lépésközt. Vegyük észre, hogy az 1. ábrán a 4. és az 5. nyíl ugyanazt a tételt jelöl meg. Az lyen tételeket nevezk lépésköz felett, vagy nagy értékű tételeknek (HVI hgh value tems). A MUS egyes változata a nagy értékű tételeket más és más módon kezelk, de jelen tanulmány szempontjából ez nem lényeg kérdés. 2. ábra. Cellák a MUS-mntában A pénzügy kmutatás tételenek kumulált összértéke 1. tétel 2. tétel 3. tétel 12. tétel 1. cella 2. cella 3. Az úgynevezett cella-módszerben a 2. pontban leírttal szemben a tételek kumulált sorozatát n darab, Y/n hosszúságú ntervallumra ( cel-

10 234 Lolbert Tamás lára ) osztjuk, és mnden egyes ntervallumon belül véletlenszerűen kválasztott 1-1 pont (az ábrán továbbra s nyíllal jelölve) határozza meg a mntaelemeket. A módszerhez külön kértékelő formula s tartozk, amnek részleteről külön alpontban fogunk írn. A három mntavétel terv a tételek rögzített sorrendje esetén nem egyenértékű. Vegyük észre, hogy sem a 2., sem a 3. terv nem képes produkáln mnden olyan mntát, amt az 1. módszer eredményezhet: sem a 2., sem a 3. mntavétel terv nem tud például olyan mntát eredményezn, amben mnd a 6. mnd a 7. tétel szerepel. Hasonló módon a 2. terv sem képes mnden olyan mntát produkáln, amt a 3. tud. Könnyen látható azonban, hogy a tételek mntavétel előtt megkeverésével (véletlenszerű permutálásával) ez a különbség megszűnk. Nehéz analtkusan átlátn, hogy a mntavétel terveknek ez a különbsége pontosan mlyen hatást gyakorol egy adott kértékelő formulára, és ezzel kapcsolatosan az általam smert rodalom sem nyújtott kellő mértékű elgazítást. Tovább problémát okoz ezeknél a mntavétel terveknél annak eldöntése, hogy a mntába választott különböző pénzegységek mlyen mértékű hbát tartalmaznak. Ezzel kapcsolatosan két felfogás létezk. Az uralkodó, de dőben később megközelítés (tantng-elv) szernt a pénzegység hbája az őt tartalmazó fzka tétel szenynyezettségével egyezk meg, tehát bárhonnét vesszük k az adott tételből a mntaelemet, a hba ugyanaz. A másk megközelítés (my-dollar-rght-or-wrong) az adott fzka tétel hbáját a tétel elejétől (egyes alkalmazásokban a végétől) kezd számoln, tehát attól függően, hogy honnét származk a mntaelem, a hbája 1, 0, vagy pedg egy tört (pont a határon van, és az eredet tételben szereplő hba nem egész szám forntban nézve). Ha tehát a példa kedvéért egy tétel 25 százalékos szennyezettségű, és 20 pénzegységből áll, akkor a tantng-elv szernt mnden egyes pénzegység 25 százalékos szennyezettségű. Ezzel szemben a másk megközelítésben az első 25 százalékot (az első 5 egységet) 100 százalékosan szennyezettnek, a továbbakat vszont teljesen szennyezettségmentesnek tekntk. 9 Ezt a helyzetet a 3. ábra szemléltet. Érdekes módon a tantng megközelítés annak ellenére, hogy ksmntás tulajdonsága jobbak, aszmptotkusan alulmarad a my-dollar-rght-or-wrong megközelítéssel szemben (lásd például Pap van Zuljen [2000]). A továbbakban m a tantng megközelítést fogjuk alkalmazn. A mntaválasztás módok és a hbák különböző értékelése között eltérések jobb megértésére egy leegyszerűsített példán kövessük végg alkalmazásukat. 9 A my-dollar-rght-or-wrong megközelítés gyakorlatlag nem más, mnt a sokaság aránybecslés közvetlen alkalmazása a pénzegységek mesterséges populácójára.

11 A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban ábra. A pénzegységek szennyezettsége Szennyezettség 1,00 Szennyezettség 1,00 0,75 0,75 0,50 0,50 0,25 0, pénzegység pénzegység Tantng megközelítés My-dollar-rght-or-wrong megközelítés Először tekntsük a következő elszámolást, 10 amt egy külföld kküldetésből hazatért kolléga nyújtott be. Külföld kküldetés elszámolása 1. táblázat Sorszám Megnevezés Könyv szernt érték (Y ) Valós érték (X ) (a pror smeretlen) Megjegyzés Relatív hba (százalék) euró 1 Taxszámla a Ferhegy repülőtérre 23 0 Kapott BKV bérletet, így nem jogosult elszámoln 2 Repülőjegy oda-vssza Tax a szállásg Szállás 5 napra félpanzóval Elírás 25 5 Hely tömegközlekedés, het bérlet Étterm ebéd 1. nap Étterm ebéd 2. nap Étterm ebéd 3. nap Étterm ebéd 4. nap Étterm ebéd 5. nap Telefonköltség Tax a repülőtérre Tax a Ferhegy repülőtérről 35 0 Lásd. 1. tételnél 100 Összesen Mndössze 13 tétel esetén a valós alkalmazásokban természetesen nncs mntavétel, hanem teljes körű tételes ellenőrzést alkalmaznak.

12 236 Lolbert Tamás A tételek közül szúrópróbaszerűen kválaszt a pénzügyes 6 tételt. Ehhez először el kell készíten a tételek kumulált sorozatát. Tételek kumulált sorozata 2. táblázat Sorszám Könyv szernt érték Kumulált könyv szernt érték (euró) Az első mntavétel módszer alkalmazásához 6 elemű EV-mntát veszünk az 1, 2, 1344 számokból. Legyenek ezek a 17, 52, 364, 836, 1293 és Ezt felhasználva a mntánk az 1., 2., 2., 8., 12. és 13. tételekből áll. Látható, hogy a 2. tétel kétszer szerepel a mntában. 2. A másodk mntavétel módszerhez két értéket kell meghatározn: a lépésközt és a kezdőpontot. A lépésköz Y/n, azaz 1344/6=224, a kezdőpont pedg az 1, 2, 1344 számokból választott 1 elemű EVmnta, am ez esetben legyen mondjuk 3. A mntába eső pénzegységek a 3, 3+224=227, =451, 675, 899, Fzka tételekre lefordítva ez az 1., 2., 2., 4., 4., 5. tétel. A 2. és a 4. tétel HVI, ezért mndenképpen a mntába kellett kerülnük. A 2. tétel nagysága a lépésköz kétszeresét s meghaladja, ezért mndenképpen kétszer kerül a mntába. A 4. tétel bzonyos kezdőpontok esetén egyszer, bzonyos kezdőpontok esetén kétszer kerül a mntába. 3. A cellamódszerhez először meg kell határozn a cellákat. A cellák nagysága megegyezk a lépésközzel, így a cellahatárok 1 224,

13 A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban , , , , Ezek után 6 elemű vsszatevéses mntát veszünk az ntervallumból, legyen ez 27, 143, 53, 197, 81, 152. A kválasztott pénzegységek az =27, =367, =501, =869, =977, =1272. Az ezekhez tartozó tételek sorszáma rendre 2, 2, 2, 4, 4, 12. A cellamódszerben a szerencsétlen véletlenek matt egy tétel annyszor kerülhet a mntába, ahány cellával van metszéspontja. Ezeket az smétléseket a cellamódszer egy fejlettebb megvalósítása kszűr, de ennek smertetése túllép a tanulmány keretet. A két hbamérés megközelítés között különbséget a másodk módszerrel választott mntán mutatjuk meg, konkrétan a 4. elszámolt tétel esetén. Emlékezzünk, hogy ez a tétel kétszer került a mntába. A 4. tétel a 608. pénzegységtől az pénzegységg tartott. 1. Az első felfogás, a tantng-elv szernt a mntába került 432 euróból 75 százalékny helyes, 25 százalékny hbás, mndkét esetben (324/432=0,75=75 százalék). 2. A hbát a tétel elejétől felmérő my-dollar-rght-or-wrongfelfogás szernt a hbás pénzegységek a 608-tól 715-g tartanak (( )* =715). Így a mntába került első pénzegység (675) hbája 100 százalék (mert 675<715), míg a másodk pénzegység (899) hbája 0 százalék (hszen 899>715). 3. A hbát a tétel végétől felmérő my-dollar-rght-or-wrongfelfogás szernt a 931-től 1039-g található pénzegységek a hbásak. Így a mntába került mndkét pénzegység 0 százalék hbát tartalmaz. Az EV-becslés alkalmazása a mesterséges sokaságra Az EV-mntán alapuló /1/ becslést alkalmazva a MUS mesterséges sokaságára a következőt kapjuk (Y darab tétel, a tételek könyv szernt értéke pedg defnícó szernt 1): ( ( )) Pr D Yp1 α m,n 1 α. Mvel az eredet becslésnél Y NY, ezért a MUS-mntán alapuló max 1 α,mus 1 α ( ) ˆD = Yp m,n /2/

14 238 Lolbert Tamás becslés jóval pontosabb (kevésbé konzervatív, szűkebb az ntervallum) az EV-mntán alapuló becslésnél. Mndazonáltal ez a becslés sem vesz fgyelembe, hogy nem mnden hbás tétel 100 százalékg hbás, így ez a becslés s túlságosan óvatosnak teknthető. Az eddg leírt két elem módszernek mnden hbájuk ellenére megvolt az a jó tulajdonsága, hogy a megbízhatóságuk analtkusan gazolható. A most bemutatandó becslésekre ez már sajnos nem, vagy csak korlátozottan lesz gaz. Ezeknél a kapcsolódó rodalom sznte kvétel nélkül szmulácókkal gyekszk a megbízhatóságról, lletve a torzítás mértékéről meggyőződn. A Strnger-féle felső határ (Strnger bound) Melőtt leírnánk a Strnger-becslést részleteben, tekntsük meg a 4. ábrát. 4. ábra. A könyv szernt érték szennyezettsége 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, A 4. ábrán látható ks négyzet magassága 0,1 Ft, szélessége 1 Ft, tehát a rács egy oszlopa jelent a sokaság egy elemét. Az eredet sokaságot az alsó, vastagabb vonalkák defnálják, tehát az eredet sokaság könyv szernt értéke rendre 6, 4, 3, 2, 6 stb. Mvel ez esetben feltételezzük, hogy a valós érték nem negatív, de legfeljebb a könyv szernt érték, ezért egy adott tétel valós értékét úgy ábrázoljuk, hogy befeketítjük a könyv szernt érték szennyezettség mértékének megfelelő hányadát. Ez alapján például a másodk tétel könyv szernt értéke 4, valós értéke 3,6; a 10. tétel pedg nem ér semmt a valóságban. A jelenséget vzuálsan megközelítve, a pénzügy kmutatásban található összes hbák becslése ugyanaz a probléma, mntha a Szahara egy szabályos téglalap alakú részén található felszín vzek össztérfogatára akarnánk úgy felső becslést adn, hogy véletlenszerűen kválasztott GPS-koordnátáknál smerjük a vízmélységet (ez a legtöbb helyen tpkusan 0 lesz).

15 A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 239 A korábban leírt /2/ becslést felírhatjuk a következű alakban s: ( ) ( ) 01 ( ) ˆD = Yp m,n =, Yp m,n =, Yp m,n. 1 α,mus 1 α 1 α 1 α = 1 A 4. ábrában ez azt jelent, hogy külön számoltunk mnden 10 fllérre felső korlátot, amket aztán összeadtunk. Ha pontosítan szeretnénk a becslést, az első ntuícó ebből a képletből kndulva azt sugallhatja, hogy nézzük meg, hány mntába került tételben van legalább 1, 2, 100 fllér hba (ez nylván egy monoton csökkenő sorozat lesz, ugyans ha a>b, akkor a legalább b hbát tartalmazó tételek halmaza tartalmazn fogja a legalább a hbát tartalmazó tételek halmazát. A két halmaz különbsége a pontosan b+1, b+2, b+3 a mennységű hbát tartalmazó tételek unója). Ezután külön-külön adjunk felső becslést az adott kategóra (tehát például legalább 2 fllér hba stb.) sokaság arányára, és ezeket a kategórák nagyságával (ebben az esetben Y/100) súlyozva adjuk össze. Amnt nemsokára látn fogjuk, ez egy, a Strngerféle felső határhoz nagyon hasonló felső határt fog megadn. A gondolatmenetben azonban egy súlyos hba van: nem gaz ugyans, hogy Pr ( ξ x) = 1 α és Pr ( η y ) = 1 α relácókból következne Pr ( ξ + η x + y) = 1 α relácó, csupán P r( ξ + η< x+ y ) [ 1 2α; 1] állítható. A Strnger-féle felső határ egy rendezett mntás statsztka: a nagyság szernt csökkenő szennyezettségeket rögzített (csak a mntamérettől függő), a helyezésüknek megfelelő súlyokkal átlagoljuk, majd ezt az átlagot megszorozzuk a teljes sokaság könyv szernt értékével. Képlettel: ˆD 1 α = 1 α( 0 ) 1+ n,st Y 1 α( ) 1 α( 1 ) p,n p,n p,n t, /3/ = 1 ahol t a mntában található -edk legnagyobb szennyezettséget jelent. Ezt képletet átalakítva kapjuk: 10 n ˆD 1 α,st = Y p 1 α( 0,n) 1+ p1 α(,n) p1 α( 1,n) t = = 1 n = 0 ( ) ( ) = Y t t p,n, α /4/ ahol t lletve t = 1 n+ = A 4. ábrán 100, 70, 50, 20, 10 és 0 százalékos szennyezettségeket látunk, tehát ez a képlet rendre felső becslést ad a legalább 100, 70, 50, 20, 10 százalékos hbák arányára, ezeket , 70-50, 50-20, 20-10, 10-0 százalékos súlyokkal súlyozza, majd

16 240 Lolbert Tamás ezt a súlyozott összeget (átlagos hbamértéket) kvetít a teljes sokaságra, Y-ra. Ha ebben a formában nézzük tehát a Strnger-féle felső határt, azonnal látszk, hogy ebben az esetben s az ntervallumokba esés valószínűségének felső határát becsültük meg, és elkövettük azt a már említett hbát, hogy ezeket az értékeket mechankusan összeadtuk. Természetesen ez még nem jelent azt, hogy a Strnger-becslés nem lenne jó, de ezzel a megközelítéssel jósága nem bzonyítható. Amkor az eredet képlet megjelent, még nem állt olyan számítástechnka háttér rendelkezésre, mellyel gyorsan meghatározható lett volna ( ) m,n értéke tetszőleges N, m, n és megbízhatóság sznt esetén. Mvel nagyobb sokaságokra a hpergeometra eloszlás közelíthető bnomálssal, lletve alacsony hbaarányok mellett a bnomáls eloszlás közelíthető a könnyen kezelhető Posson-eloszlással, ezért λ1 kezdetben a ( ) α( m) p1 α m,n érték helyett a közelítő értéket használták, ahol n m a Posson-eloszlás paraméterére vonatkozó α százalékos felső λ1 α ( ) ( ) határ m megfgyelt hba mellett. Ennek a közelítésnek megvolt az az előnye, hogy a rendezett mntás statsztka súlyat táblázatba lehetett gyűjten a mntamérettől függetlenül, hszen az kemelhető volt a képletből: Y ˆD = 0 + n st P P t, n =1 ahol Y n a lépésköz (tt vesszük fgyelembe a mntaméretet), P pedg a táblázatból kolvasható -edk úgynevezett Posson-faktor, tehát P = λ( ) λ( 1). (Az rodalom nem teljesen következetes, egyes szerzők λ ( ) -t nevezk Posson-faktornak.) Valószínűleg egyébként éppen ezért a könnyű kezelhetőségért terjedt el ebben a formájában a képlet, és nem a másk, p1 α( m,n ) szernt csoportosított formában. Noha ma már bármely korszerű személy számítógép azonnal k tudná számoln a hpergeometra faktorokat s, a Posson-közelítéssel való számolás még mndg nagyon elterjedt a könyvvzsgálók között. Mvel a Strnger-sejtés (tehát hogy a becslőfüggvény legalább 100 ( 1 α) százalékban megbízható) általános feltételek mellett mndezdág nem került gazolásra, és ellenpéldát sem skerült konstruáln, számos szmulácót végeztek és publkáltak a témában. A szmulácók erős emprkus bzonyítékot szolgáltattak arra, hogy a becslés megbízhatósága jóval meghaladja a névleges 100 ( 1 α) százalékot (például az általánosan használt 95 százaléknál az esetek százalékában haladta meg a becsült felső határ a valós értéket). Függetlenül azonban attól, hogy mekkora a becslés megbízhatósága, fennáll a Dˆ 1 α,st D ˆ 1 α,mus relácó mnden olyan esetben, amkor a szennyezettségek 0 és 1 közé esnek, ugyans: p 1 α

17 A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 241 n ( ) ( ) ( ) ( ) Dˆ = Y t t p,n Y t t p m,n = D ˆ, 1 α,st α α 1 α,mus = 0 = 0 mvel t 0 = 1 és m az a legksebb egész szám, amelyre t m 0 (a szennyezettségek monoton csökkenek és nem negatívak). Egyenlőség áll fenn, ha a szennyezettségek csak 0 vagy 1 értéket vehetnek fel. Ennek alapján kjelenthető, hogy amennyben legalább 100 ( 1 α) százalékban megbízható az EV-mntán alapuló becslés, akkor a pontossága jobb, mnt a MUS-mntán alapuló becslésnek. Ha a Strnger-féle felső határ /4/ alatt alakjából (lletve az alakhoz kapcsolódó ntuícóból) közelítünk, akkor a szumma első tagja vesz számba a mntában ugyan nem található, de feltételezhetően meglevő szennyezettséget. Az eredet képletben ez t0 = 1, azonban számos területen a gyakorlat tapasztalatok szernt jóval ksebb az elképzelhető legnagyobb hba. Amennyben tehát bztos nformácóval rendelkezünk az elképzelhető legnagyobb hba nagyságáról (például korább ellenőrzések alapján, vagy az ntézményrendszer smeretében), akkor ezt az értéket t 0 helyébe állítva jelentősen élesíthetünk a becslésünkön (az így kapott becslés neve: generalzed Strnger bound, tehát általánosított Strnger-féle felső határ). A legfontosabb könyvvzsgálat szoftverekben s állítható ez az érték, általában BPP (basc precson prcng) a neve. Az elnevezés onnét származk, hogy nagyságrendleg általában ez a paraméter befolyásolja legnkább a becslésünket, és nem a mntából származó szenynyezettségek. Noha a Strnger-sejtést teljes egészében eddg nem gazolták, több fontos részeredmény született. Az első, úttörőnek teknthető írás Bckel [1992] tanulmánya. A szerző bzonyítja, hogy ha: ξ folytonos valószínűség változó, akkor ( ) n ( ) n+1 P D D ˆ 1 α,st 1 α, lletve ha ξ legfeljebb 2 értéket vehet fel, akkor ( ˆ,st ) P D D 1 α 1 α, ( ) tehát a becslés legalább α százalékban megbízható. A ckk tovább fontos eredménye, hogy a becsült felső korlátot fel tudja írn ξ várható értékének, lletve az eloszlásfüggvény egy bonyolult ntegráljának összegeként. Ennek a felírásnak a jelentősége, hogy segítségével kszámítható a becslés aszmptotkus (végtelen mntaméretnél értelmezett) eloszlása.

18 242 Lolbert Tamás Pap, van Zujlen és de Jager több tanulmányban [1995, 1996, 1997] folytatja a Bckel által elkezdett megközelítést. Három legfontosabb eredményük a következő. 1. A Bckel által felírt aszmptotkus eloszlás segítségével bzonyítják, hogy α [ 0; 0, 5] esetben a becslés megbízható, ellenkező esetben aszmptotkusan nem megbízható. A valós megbízhatóság sznt az első esetben jóval meghaladja, a másodk esetben vszont még közelítőleg sem ér el a névleges 100 ( 1 α) százalékot. Mvel az audtorok általában 50 százalék felett megbízhatóság sznttel dolgoznak, ezért csak az α [ 0; 0, 5] esetre tett megállapításoknak van gyakorlat jelentősége. 2. Az előbb észrevételt kegészítve bevezetnek egy olyan módosított becslőfüggvényt, amely aszmptotkusan pontosan a névleges szntnek megfelelő megbízhatóságú. 3. A szennyezettségek tetszőleges olyan eloszlása esetén, ahol a szennyezettségek csak 0 és 1 értéket vehetnek fel, mnden olyan lehetséges a,n a,n együttható-sorozatra, amelyre a ( ) ( ) 1 α 1 α 1 ˆD 1 α= Y a 1 α( 0,n) 1+ n a1 α(,n) a1 α( 1,n) t = 1 felső határ legalább α százalékban megbízható, ( ) a (,n) p (,n ) 1 α 1 α -re. Ez azt jelent, hogy ebben az esetben bzonyos tekntetben mnmálsak a képletben szereplő együtthatók. A Strnger-féle felső határral kapcsolatos rodalomban gyakorlat szempontból órás jelentőségű Neter Km Graham [1984] tanulmánya. A gyakorlatban ugyans sokszor olyan nagy az audtálandó beszámoló, hogy azt részterületre bontva lehet csak vzsgáln. (Ilyen volt például a tanulmány elején az Eszközök összesen értékének vzsgálata.) Az egyes részterületeken egymástól függetlenül történk a mntavétel, ennek ellenére véleményt kell mondan a teljes beszámoló megbízhatóságáról s. A legnagyobb problémát az jelent, hogy a részterületek különbözősége matt a teljes beszámolóra nézve már nem áll fenn, hogy a mntába kerülés valószínűsége mnden tételre arányos lenne a tétel beszámolóban szereplő nagyságával. Az említett tanulmány feltételez, hogy az egyes részpopulácókból független MUS-mntát vettek, amket a Strnger-féle felső határt használva értékeltek k. A szerzők a kombnált felső határ kszámolására 5 különböző megoldást javasolnak, melyek a következők. 1. Független valószínűség változók összeadása. Feltételezve, hogy az egyes részterületekre számított felső határok függetlenek egymástól,

19 A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 243 a teljes beszámoló felső határának megbízhatóság szntje legalább ( 1 α ), ahol 1 α az -edk részsokaságra tett felsőhatár-becslés megbízhatósága. Ez alapján ha mnden részsokaságra egyforma megbízhatóság szntet használunk, az aggregált becsléshez elvárt legalább 1 α ( 1 α) 1 megbízhatóság a részsokaságoknál legalább megbízhatóságú becsléseket gényel, ahol L a részsokaságok száma. (Tehát 95 százalékos megbízhatósághoz 2 részterület esetén mndkét részterületen 97,5 százalékos megbízhatóságú becslést kell készíten.) 2. Implct standard hba használata. Mvel egy adott mntánál nem csak az adott megbízhatóságú egyoldal ntervallum végpontja meghatározható, hanem a pontbecslés s, ezért mplct módon, vsszafelé kszámíthatjuk azt a standard hbát, amt a normáls eloszlással való közelítés esetén használva ugyanezt a felső határt kaptuk volna. Formálsan: SE = ˆ D1 α D. z 1 α ˆ /L Ezt a standard hbát használva kszámolhatjuk a független változók összegének standard hbáját s, amből a megszokott módon (pontbecslés + z*se) kapjuk az összegre vonatkozó becsült felső határt. 3. Közelítő globáls kértékelés. A felsőhatár-becslés ˆD 1 α = 1 α( 0 ) 1+ n,st Yl p,nl p1 α(,nl ) p1 α( 1,nl ) t = 1 képletében részsokaságonként különböző sokaság értékek (Y) és mntanagyságok (n) szerepelhetnek. Közelítő globáls kértékelés esetén a zárójelben szereplő első tag (az ún. basc precson) nélkül vesznek fgyelembe mnden sokaságot, kvéve azt a sokaságot, amelynél a legnagyobb az Y p,n szorzat értéke. Képlettel: l 1 α 0 ( ) l ( ) ( ( 0 )) ˆ ( 0 ) Dˆ max Y p,n D Y p,n. kombnált 1 α,st = l 1 α l + 1 α,st,l l 1 α l l l 4. Globáls kértékelés. A globáls kértékelés egy nagy mntának kezel a részsokaságokból származó L különböző mntát, és erre a mntára alkalmazza a Strnger-becslés egy módosított változatát (az öszszefésült mntaelemeket tt s nagyság szernt csökkenő sorrendbe rakjuk):

20 244 Lolbert Tamás ( ( 0 )) ( ) ( 1 ) ˆD max Y p,n p,n p,n t Y, kombnált 1 α,st = l 1 α l + 1 α l 1 α l l l ahol az l alsó ndex annak a mntának a nagyságára és kmutatott értékére utal, amből az adott szennyezettség származk. 5. Konzervatív globáls kértékelés. A konzervatív változat annak a részmntának az n és Y paraméteret használja mndenhol, amelyre Yl p1 α( 0,nl ) felvesz a maxmumát. Azzal a kérdéssel a tanulmány nem foglalkozk, m történk több lyen részmnta esetén, ugyans akkorban még az elmélet munkákban s a Posson-közelítést használták, és a közelítő felírásban ennek a kérdésnek nncs jelentőssége. A tanulmányban szereplő 5 kértékelés módszerre vonatkozóan több szmulácót s végeztek a szerzők, melyek kvétel nélkül százalékos megbízhatóságot mutattak a kombnált felső határra 95 százalék elvárt megbízhatóság mellett. A cellamódszer (Cell bound) A cellamódszernél leírt mntaválasztás módszerhez a szerzők (Lesle, Tetlebaum, Anderson [1980]) külön kértékelés metódust dolgoztak k. Mvel a módszer jóval kevésbé ntutív, mnt akár a Strnger-féle felső határ, akár következő szakaszban smertetésre kerülő multnomáls felső határ, ezért most csupán a kértékelés módját írjuk le, ntutív ndoklás nélkül. A most következő leírás megegyezk az eredetleg leírtakkal, így a Posson-eloszlással közelít a valószínűségeket. Az elmúlt években a legtöbb gyakorlat alkalmazás (többek között az IDEA szoftver s) már az egzakt hpergeometra faktorokat használja. A mntán megfgyelt szennyezettségeket ebben az esetben s csökkenő sorrendbe állítjuk, és ezután alkalmazzuk a következő rekurzív formulát: ( 0) λ1 α ( 0), ( ) = max( F( 1) t λ 1 α ( ) ) F = F +, t, egészen az utolsó hbág, m-g. A becsült felső határ a legutolsó F és lépésköz, Y n szorzata: Y = ( ). ˆD 1 α,cell F m n A cellamódszer kértékelő része a szmulácók alapján kevésbé konzervatív, mnt a Strnger-féle felső határ, azonban megbízhatósága még így s jóval meghaladja a

21 A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 245 névlegest. Előnye, hogy a Posson-faktorokat tartalmazó táblázat segítségével számítógép nélkül s meghatározható. Multnomáls felső határ (Multnomal bound) A multnomáls módszert Fenberg, Neter és Letch 1977-ben publkálta (Fenberg Neter Letch [1977]), tehát gyakorlatlag egy dőben került kfejlesztésre a Lesle, Tetlebaum, Anderson-féle cellamódszerrel (Lesle Tetlebaum Anderson [1980]). A cellamódszerrel szemben ez a becslés csak számítógép segítségével alkalmazható. A multnomáls modell eredetleg leírt változatában mnden pénzegységet besorolnak 101 kategóra valamelykébe aszernt, hogy az adott pénzegységre jutó szenynyezettség mértéke 0 százalék, 0 százaléknál több de legfeljebb 1 százalék, 1 százaléknál több de legfeljebb 2 százalék és így tovább 100 százalékg. Ha a sokaságban 100 az -edk csoportba eső elemek aránya p, akkor a sokaság hbarányra p = felső becslést ad, és a becslés legfeljebb 1 százalékponttal haladja meg a valós értéket. Amennyben a mntába kerülő pénzegységeket vsszatevéssel választjuk, vagy pedg a mnta mérete a sokaságéhoz képest elhanyagolható, akkor a mntaelemek 101 kategóra között eloszlása (n, p ) paraméterű multnomáls eloszlást követ, ahol az első paraméter a mntaméret, a tovább 101 darab p paraméter pedg az ndexe által meghatározott csoportba való esés valószínűsége. A multnomáls felső határ megadásához két lépés vezet. Az első lépésben bevezetünk egy rendezést a lehetséges mnták között, melynek segítségével meghatározhatók a kapott mntánál extrémebb (azaz bzonyos krtérumok alapján kevesebb hbát tartalmazó) lehetséges mnták. Nevezzük ezeknek a lehetséges mntáknak a halmazát S-nek! Mvel S-et alapvetően befolyásolja, pontosan meg kell határoznunk az extrémebb kmenetel fogalmát. A szerzők a ckkben két krtérumot alkalmaznak, melyeknek egyszerre kell teljesülnük (az így kapott halmaz neve step down S ): 1. a hbás tételek száma nem haladja meg a mnta hbás tételenek számát, lletve 2. a hbák összértéke nem haladja meg a mnta hbának összértékét. A másodk lépésben meghatározzuk azon sokaság (p ) paraméter-együtteseket, melyekre a feltételes valószínűségek összege S-halmaz felett legalább akkora, mnt az előre rögzített megbízhatóság sznt nverze ( α ). Ezen sokaság paraméteregyüttesek halmaza mnt konfdencahalmaz felett maxmalzálva p érté- 100 = ket, kapjuk meg a felső határ multnomáls becslését.

22 246 Lolbert Tamás Noha ennek a becslésnek sem smert a valód megbízhatóság szntje, szmulácók alapján állítható, hogy nagyon közel van a névlegeshez, és ematt a becslés sokkal pontosabb, mnt akár a Strnger-képlet, akár a cellamódszer által adott becslés. Mndezen jó tulajdonsága ellenére nem annyra elterjedt, mnt az előbbek, ugyans az 1980-as években még kevés volt a számítástechnka kapactás a másodk lépés konfdencahalmazának megalkotásához, és az azon történő optmalzálásnak a végrehajtásához. 4. Következtetések Ma már egyre nkább ellenőrzhető, reprodukálható és módszertanlag s korrekt tevékenységet várunk el mnden szakmától. Mnt ahogyan az audtorok s poztívabban ítélk meg azon szervezetek pénzügy beszámolót, ahol a belső folyamatok egy jól átgondolt szabályozást követnek, és nem esetlegesek, éppen így az audtor tevékenység objektvtásának növekedése s előrelépésnek teknthető. A most bemutatott becslőfüggvények kfejlesztő úttörő szerepet játszottak a könyvvzsgálat tudományos alapokra helyezésében. A becslőfüggvényekre és a kapcsolódó mntavétel technkákra számos szoftver született (például IDEA, ACL), melyek egyre nagyobb népszerűségnek örvendenek a könyvvzsgálók között. Amnt azonban az előzőkből s ktűnk, ez az állapot sokkal nkább teknthető egy folyamat kezdetének, mnt a végének. Ezekkel a becslőfüggvényekkel kapcsolatosan még számos krtka felvethető. Csupán szmulácókkal bzonyított, hogy legalább névleges sznten megbízhatók, am részben megkérdőjelez alkalmazásuk korrektségét. A szmulácók alapján a módszerek túlságosan s konzervatívak, am jelentősen csökkent a pontosságukat és így növel az audtált szervezet kockázatát. Alkalmazásuknak sok olyan előfeltétele van (például csak túlértékelés lehetséges), mellyel az alkalmazók nncsenek tsztában, és így mnden jószándék ellenére téves eredményekre jutnak (különösen veszélyes ez az audtálást támogató szoftverek alkalmazásakor). Tovább gondot okoz az eredmények helyes értelmezése. A jövő feladata tovább lépések megtétele a problémák megszüntetésére, tehát olyan mntavétel eljárások és becslőfüggvények kfejlesztése, melyek egy részről bzonyíthatóan a névleges bzonyosság szntű eredményeket adják, más részről pedg unverzálsak, tehát lehetőség szernt mnmáls előfeltételt használnak. A könyvvzsgálók (tovább)képzése során pedg alapvetően fontos a statsztka mntavétel módszerek, a mntavételt és a kértékelést (becslést) támogató szoftverek hangsúlyosabb smertetése.

23 A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban 247 Irodalom ARENS, A. A. LOEBBECKE, J. K. [1997]: Audtng: An ntegrated approach. Prentce-Hall. London. BICKEL, P. J. [1992]: Inference and audtng: The Strnger bound. Internatonal Statstcal Revew. 60. évf. 2 sz old. CaseWare IDEA Research Department [2003]: Monetary unt samplng techncal specfcaton. CaseWare IDEA Research Department [2003]: Whte papers on attrbute samplng techncal specfcaton. DAVID, H. A. [1981]: Order statstcs. Wley. New York. DE JAGER, N. G. PAP GY. VAN ZUIJLEN, M.C.A. [1997]: Facts, phantases and a new proposal concernng the Strnger bound. Computers and Mathematcs wth Applcatons. 33. évf. 10. sz old. FIENBERG, S. E. NETER, J. LEITCH, R. A. [1977]: Estmatng the total overstatement error n accountng populatons. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton. 72. évf old. GOODFELLOW, J. L. LOEBECKE, J. K. NETER, J. [1974]: Some perspectves on CAV samplng plans I-II. CA Magazne. October, old., November, old. HALDENE, J. B. S. [1945]: On a method of estmatng frequences. Bometrka. 33. évf old. HAM, J. LOSELL, D. SMIELIAUSKAS, W. [1985]: An emprcal study of error characterstcs n accountng populatons. Accountng Revew. 60 évf old. HANSEN, M. H. HURWITZ, W. N. [1943]: On the theory of samplng from fnte populatons. Annual Mathematcal Statstcs. 14. évf. 4. sz old. HORVITZ, D. G. THOMPSON, D. J. [1952]: A generalzaton of samplng wthout replacement from a fnte unverse. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton. 47. évf.12. sz old. HUNYADI L. VITA L. [2004]: Statsztka közgazdászoknak. Központ Statsztka Hvatal. Budapest. HUNYADI L. [2001]: Statsztka következtetéselmélet közgazdászoknak. Központ Statsztka Hvatal. Budapest. JOHNSON, J. R. LEITCH, R. A. NETER, J. [1981]: Characterstcs of errors n accounts recevable and nventory audts. Accountng Revew. 56. évf old. KAPLAN, R. S. [1973a]: Stochastc model for audtng. Journal of Accountng Research. 11. évf old. KAPLAN, R. S. [1973b]: Statstcal samplng n audtng wth auxlary nformaton estmators. Journal of Accountng Research. 11. évf old. LEHMANN, E. L. [1959]: Testng statstcal hypotheses. Wley. New York. LESLIE, D. A. TEITLEBAUM, A. D. ANDERSON, R. J. [1980]: Dollar-Unt Samplng-A practcal gude for audtors. Ptman. London. LOLBERT T. [2004]: A sokaság arány meghatározására rányuló statsztka eljárások véges sokaság és ks mnták esetén. Statsztka Szemle. 82. évf. 12. sz old. NETER, J. KIM, H. S. GRAHAM, L. E. [1984]: On combnng Strnger bounds for ndependent monetary unt samples from several populatons. Audtng. 4. évf. 1 sz old. NETER, J. LOEBBECKE, J. [1975]: Behavor of major statstcal estmators n samplng accountng populatons An emprcal study. AICPA. New York.

24 248 Lolbert: A sokaság értékösszeg becslése a könyvvzsgálatban NETER, J. LOEBBECKE, J. [1977] On the behavor of statstcal estmators when samplng accountng populatons. Jounal of the Amercan Stastcal Assocaton. 72. évf old. Panel on Nonstandard Mxtures of Dstrbutons TAMURA, H. ET AL. [1989]: Statstcal models and analyss n audtng. Statstcal Scence. 4 évf. 1. sz old. PAP GY. VAN ZUIJLEN, M. C. A. [1995]: The Strnger bound n case of unform tantngs. Computer Mathematcal Applcatons. 29. évf. 10. sz old. PAP GY. VAN ZUIJLEN, M. C. A. [1996]: On the asymptotc behavour of the Strnger bound. Statstca Neerlandca. 50. évf. 3 sz old. PAP GY. VAN ZUIJLEN, M. C. A. [2000]: Modfed Strnger bounds. Publcatones Mathematcae. Debrecen. 57 évf sz old. STRINGER, K. W. [1963]: Practcal aspects of statstcal samplng n audtng. Proceedngs of Busness Economcs, Statstcs Secton. Amercan Mathematcal Assocaton. Washngton. Munkaanyag. STRINGER, K. W. [1979]: Statstcal samplng n audtng. The state of art. Annual Accountng Revew. 1. sz old. VAN HEERDEN, A. [1961]: Steekproeven als Mddel van Accountantscontrolex. Maandblad voor Accountancy en Bedrjfshushoudkunde. 11. sz old. Summary Ths paper presents an overvew of the methods used to estmate the total amount of errors n a fnancal report. Audtng s a specal area where the applcaton of standard estmaton procedures based on well-behaved dstrbutons can lead to napproprate results manly because the error dstrbuton n fnancal reports cannot be consdered well-behaved, showed by many emprcal papers n the 1970s and 1980s. After presentng the specal propertes of audtng populatons the paper outlnes the most wdely used estmators.

Statisztikai A KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL TUDOMÁNYOS FOLYÓIRATA SZERKESZTŐBIZOTTSÁG:

Statisztikai A KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL TUDOMÁNYOS FOLYÓIRATA SZERKESZTŐBIZOTTSÁG: Statsztka Szemle A KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL TUDOMÁNYOS FOLYÓIRATA SZERKESZTŐBIZOTTSÁG: DR. BELYÓ PÁL, ÉLTETŐ ÖDÖN, DR. HARCSA ISTVÁN, DR. HUNYADI LÁSZLÓ (főszerkesztő), DR. JÓZAN PÉTER, DR. MÁTYÁS

Részletesebben

Statisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás.

Statisztikai próbák. Ugyanazon problémára sokszor megvan mindkét eljárás. Statsztka próbák Paraméteres. A populácó paraméteret becsüljük, ezekkel számolunk.. Az alapsokaság eloszlására van kkötés. Nem paraméteres Nncs lyen becslés Nncs kkötés Ugyanazon problémára sokszor megvan

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer?

Hipotézis vizsgálatok. Egy példa. Hipotézisek. A megfigyelt változó eloszlása Kérdés: Hatásos a lázcsillapító gyógyszer? 01.09.18. Hpotézs vzsgálatok Egy példa Kérdések (példa) Hogyan adhatunk választ? Kérdés: Hatásos a lázcsllapító gyógyszer? Hatásos-e a gyógyszer?? rodalomból kísérletekből Hpotézsek A megfgyelt változó

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

Tanult nem paraméteres próbák, és hogy milyen probléma megoldására szolgálnak.

Tanult nem paraméteres próbák, és hogy milyen probléma megoldására szolgálnak. 8. GYAKORLAT STATISZTIKAI PRÓBÁK ISMÉTLÉS: Tanult nem paraméteres próbák, és hogy mlyen probléma megoldására szolgálnak. Név Illeszkedésvzsgálat Χ próbával Illeszkedésvzsgálat grafkus úton Gauss papírral

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus)

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus) Valószínűségszámítás Valószínűség (probablty) 0 és 1 között valós szám, amely egy esemény bekövetkezésének esélyét fejez k: 0 - (sznte) lehetetlen, 0.5 - azonos eséllyel gen vagy nem, 1 - (sznte) bztos

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet: Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján

Részletesebben

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre

Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzési módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Tanulmányok Jövedelem és szubjektív jóllét: az elemzés módszer megválasztásának hatása a levonható következtetésekre Hajdu Tamás, az MTA Közgazdaságés Regonáls Tudomány Kutatóközpont Közgazdaságtudomány

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom Lneárs regresszó Statsztka I., 4. alkalom Lneárs regresszó Ha két folytonos változó lneárs kapcsolatban van egymással, akkor az egyk segítségével elıre jelezhetjük a másk értékét. Szükségünk van a függı

Részletesebben

Táblázatok 4/5. C: t-próbát alkalmazunk és mivel a t-statisztika értéke 3, ezért mind a 10%-os, mind. elutasítjuk a nullhipotézist.

Táblázatok 4/5. C: t-próbát alkalmazunk és mivel a t-statisztika értéke 3, ezért mind a 10%-os, mind. elutasítjuk a nullhipotézist. 1. Az X valószínőség változó 1 várható értékő és 9 szórásnégyzető. Y tıle független várható értékkel és 1 szórásnégyzettel. a) Menny X + Y várható értéke? 13 1 b) Menny X -Y szórásnégyzete? 13 1 összesen

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

Statisztika I. 3. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 3. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statsztka I. 3. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Vszonyszámok Statsztka munka: adatgyűjtés, rendszerezés, összegzés, értékelés. Vszonyszámok: Két statsztka adat arányát kfejező számok, Az un. leszármaztatott

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Intelligens elosztott rendszerek

Intelligens elosztott rendszerek Intellgens elosztott rendszerek VIMIAC2 Adatelőkészítés: hhetőségvzsgálat normálás stb. Patak Béla BME I.E. 414, 463-26-79 atak@mt.bme.hu, htt://www.mt.bme.hu/general/staff/atak Valamlyen dőben állandó,

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,

Részletesebben

A sokaság/minta eloszlásának jellemzése

A sokaság/minta eloszlásának jellemzése 3. előadás A sokaság/mnta eloszlásának jellemzése tpkus értékek meghatározása; az adatok különbözőségének vzsgálata, a sokaság/mnta eloszlásgörbéjének elemzése. Eloszlásjellemzők Középértékek helyzet (Me,

Részletesebben

Adatelemzés és adatbányászat MSc

Adatelemzés és adatbányászat MSc Adatelemzés és adatbányászat MSc. téma Adatelemzés, statsztka elemek áttekntése Adatelemzés módszertana probléma felvetés módszer, adatok meghatározása nyers adatok adatforrás meghatározása adat tsztítás

Részletesebben

Méréselmélet: 5. előadás,

Méréselmélet: 5. előadás, 5. Modellllesztés (folyt.) Méréselmélet: 5. előadás, 03.03.3. Út az adaptív elárásokhoz: (85) és (88) alapán: W P, ( ( P). Ez utóbb mndkét oldalát megszorozva az mátrxszal: W W ( ( n ). (9) Feltételezve,

Részletesebben

Algoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 09 Rendezések

Algoritmusok és adatszerkezetek gyakorlat 09 Rendezések Algortmusok és adatszerkezetek gyakorlat 09 Rendezések Néhány órával ezelőtt megsmerkedtünk már a Merge Sort rendező algortmussal. A Merge Sort-ról tuduk, hogy a legrosszabb eset dőgénye O(n log n). Tetszőleges

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

IDA ELŐADÁS I. Bolgár Bence október 17.

IDA ELŐADÁS I. Bolgár Bence október 17. IDA ELŐADÁS I. Bolgár Bence 2014. október 17. I. Generatív és dszkrmnatív modellek Korábban megsmerkedtünk a felügyelt tanulással (supervsed learnng). Legyen adott a D = {, y } P =1 tanító halmaz, ahol

Részletesebben

Zöld Út Hitel Korlátolt Felelősségű Társaság január december 31.

Zöld Út Hitel Korlátolt Felelősségű Társaság január december 31. Zöld Út Htel Korlátolt Felelősségű Társaság (Nylvántartás szám: 13-09-146211, Adószám: 22626970-2-13) 2016. január 01. - 2016. december 31. dőszakra vonatkozó Általános üzlet évet záró Egyszerűsített éves

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

STATISZTIKA III. Oktatási segédlet

STATISZTIKA III. Oktatási segédlet MISKOLCI EGYETEM Gazdaságtudomány Kar Üzlet Informácógazdálkodás és Módszertan Intézet Üzlet Statsztka és Előrejelzés Tanszék STATISZTIKA III. Oktatás segédlet 003. MISKOLCI EGYETEM Gazdaságtudomány Kar

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése

MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA. Napkollektorok üzemi jellemzőinek modellezése MŰSZAKI TUDOMÁNYI DOKTORI ISKOLA Napkollektorok üzem jellemzőnek modellezése Doktor (PhD) értekezés tézse Péter Szabó István Gödöllő 015 A doktor skola megnevezése: Műszak Tudomány Doktor Iskola tudományága:

Részletesebben

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor

ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET. Összeállította: Dr. Szabó Sándor MISKOLCI EGYETEM Gépgyártástechnológa Tanszék Mskolc - Egyetemváros ALAKOS KÖRKÉS PONTOSSÁGI VIZSGÁLATA EXCEL ALAPÚ SZOFTVERREL OKTATÁSI SEGÉDLET Összeállította: Dr. Szabó Sándor A orgácsoló megmunkálásokhoz

Részletesebben

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata Mnősítéses mérőrendszerek képességvzsgálata Vágó Emese, Dr. Kemény Sándor Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Kéma és Környezet Folyamatmérnök Tanszék Az előadás vázlata 1. Mnősítéses mérőrendszerek

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

BÁTASZÉKÉRT MARKETING NONPROFIT KORLÁTOLT FELELŐSSÉGŰ TÁRSAS január december 31.

BÁTASZÉKÉRT MARKETING NONPROFIT KORLÁTOLT FELELŐSSÉGŰ TÁRSAS január december 31. BÁTASZÉKÉRT MARKETING NONPROFIT KORLÁTOLT FELELŐSSÉGŰ TÁRSAS (Nylvántartás szám: 17-09-007316, Adószám: 18851681-2-17) 2017. január 01. - 2017. december 31. dőszakra vonatkozó Általános üzlet évet záró

Részletesebben

RENDSZERSZINTŰ TARTALÉK TELJESÍTŐKÉPESSÉG TERVEZÉSE MARKOV-MODELL ALKALMAZÁSÁVAL I. Rendszerszintű megfelelőségi vizsgálat

RENDSZERSZINTŰ TARTALÉK TELJESÍTŐKÉPESSÉG TERVEZÉSE MARKOV-MODELL ALKALMAZÁSÁVAL I. Rendszerszintű megfelelőségi vizsgálat ENDSZESZINTŰ TATALÉK TELJESÍTŐKÉPESSÉG TEVEZÉSE MAKOV-MODELL ALKALMAZÁSÁVAL I. endszerszntű megfelelőség vzsgálat Dr. Fazekas András István okl. gépészmérnök Magyar Vllamos Művek Zrt. Budapest Műszak és

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kdolgozott feladatok a nemparaméteres statsztka témaköréből A táékozódást mndenféle színkódok segítk. A feladatok eredet szövege zöld, a megoldások fekete, a fgyelmeztető, magyarázó elemek pros színűek.

Részletesebben

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap Közlekedésmérnök Kar Jármőtervezés és vzsgálat alapja I. Feladatlap NÉV:..tk.:. Feladat sorsz.:.. Feladat: Egy jármő futómő alkatrész terhelésvzsgálatakor felvett, az alkatrészre ható terhelı erı csúcsértékek

Részletesebben

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár

Balogh Edina Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetemi tanár Balogh Edna Árapasztó tározók működésének kockázatalapú elemzése PhD értekezés Témavezető: Dr. Koncsos László egyetem tanár Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Építőmérnök Kar 202 . Bevezetés,

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

Item-válasz-elmélet alapú adaptív tesztelés. Item Response Theory based adaptive testing

Item-válasz-elmélet alapú adaptív tesztelés. Item Response Theory based adaptive testing Abstract Item-válasz-elmélet alapú adaptív tesztelés Item Response Theory based adaptve testng ANTAL Margt 1, ERŐS Levente 2 Sapenta EMTE, Műszak és humántudományok kar, Marosvásárhely 1 adjunktus, many@ms.sapenta.ro

Részletesebben

Periodikus figyelésű készletezési modell megoldása általános feltételek mellett

Periodikus figyelésű készletezési modell megoldása általános feltételek mellett Tanulmánytár Ellátás/elosztás logsztka BME OMIKK LOGISZTIKA 9. k. 4. sz. 2004. júlus augusztus. p. 47 52. Tanulmánytár Ellátás/elosztás logsztka Perodkus fgyelésű készletezés modell megoldása általános

Részletesebben

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege A multkrtérumos elemzés célja, alkalmazás területe, adat-transzformácós eljárások, az osztályozás eljárások lényege Cél: tervváltozatok, objektumok értékelése (helyzetértékelés), döntéshozatal segítése

Részletesebben

KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY POROSIMETRY DATA

KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY POROSIMETRY DATA Műszak Földtudomány Közlemények, 84. kötet,. szám (03), pp. 63 69. KAPILLÁRIS NYOMÁS GÖRBE MEGHATÁROZÁSA HIGANYTELÍTÉSES POROZITÁSMÉRÉS ADATAIBÓL DETERMINATION OF CAPILLARY PRESSURE CURVE FROM MERCURY

Részletesebben

Hipotézis vizsgálatok

Hipotézis vizsgálatok Hipotézis vizsgálatok Hipotézisvizsgálat Hipotézis: az alapsokaság paramétereire vagy az alapsokaság eloszlására vonatkozó feltevés. Hipotézis ellenőrzés: az a statisztikai módszer, amelynek segítségével

Részletesebben

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1, Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer

Részletesebben

MATTI CAR KORLÁTOLT FELELŐSSÉGŰ TÁRSASÁG január december 31.

MATTI CAR KORLÁTOLT FELELŐSSÉGŰ TÁRSASÁG január december 31. MATTI CAR KORLÁTOLT FELELŐSSÉGŰ TÁRSASÁG (Nylvántartás szám: 17-09-010738, Adószám: 25410798-2-17) 2018. január 01. - 2018. december 31. dőszakra vonatkozó Általános üzlet évet záró Egyszerűsített éves

Részletesebben

Adatsorok jellegadó értékei

Adatsorok jellegadó értékei Adatsorok jellegadó értéke Varga Ágnes egyetem tanársegéd varga.ag14@gmal.com Terület és térnformatka kvanttatív elemzés módszerek BCE Geo Intézet Terület elemzés forgatókönyve vacsora hasonlat Terület

Részletesebben

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre

A gabonavertikum komplex beruházás-elemzés módszertani fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése OTKA: 48562 Részletes zárójelentés Témavezető: Dr. Ertsey Imre 1. Bevezetés A gabonavertkum komplex beruházás-elemzés módszertan fejlesztése

Részletesebben

Véletlenszám generátorok. 6. előadás

Véletlenszám generátorok. 6. előadás Véletlenszám generátorok 6. előadás Véletlenszerű változók, valószínűség véletlen, véletlen változók valószínűség fogalma egy adott esemény bekövetkezésének esélye értékét 0 és között adjuk meg az összes

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

Variancia-analízis (ANOVA) Mekkora a tévedés esélye? A tévedés esélye Miért nem csinálunk kétmintás t-próbákat?

Variancia-analízis (ANOVA) Mekkora a tévedés esélye? A tévedés esélye Miért nem csinálunk kétmintás t-próbákat? Varanca-analízs (NOV Mért nem csnálunk kétmntás t-próbákat? B Van különbség a csoportok között? Nncs, az eltérés csak véletlen! Ez a nullhpotézs. és B nncs különbség Legyen, B és C 3 csoport! B és C nncs

Részletesebben

"BALATON-PARK 2000" Környezetvédelmi Nonprofit Korlátolt Felelősségű Társaság január december 31.

BALATON-PARK 2000 Környezetvédelmi Nonprofit Korlátolt Felelősségű Társaság január december 31. "BALATON-PARK 2000" Környezetvédelm Nonproft Korlátolt Felelősségű Társaság (Nylvántartás szám: 14-09-309324, ) 2017. január 01. - 2017. december 31. dőszakra vonatkozó Általános üzlet évet záró Egyszerűsített

Részletesebben

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán): F NIK INÁRIS RLÁIÓK INÁRIS RLÁIÓK (és hasonló mátrxok s tt!) Defnícó: z R bnárs relácó, ha R {( a, b) a, b } nárs relácók lehetséges tuladonsága:. Reflexív ha ( x,.(a). Szmmetrkus ha ( x, y) ( y,.(b).

Részletesebben

Forgácsolási paraméterek mûvelet szintû optimalizálása

Forgácsolási paraméterek mûvelet szintû optimalizálása Gépgyártástechnológa 2000/3, pp. 9 15. Forgácsolás paraméterek mûvelet szntû optmalzálása Mkó Balázs 1 - Szánta Mhály 2 - Dr Szegh Imre 3 1 - udományos segédmunkatárs, 2 - Egyetem hallgató, 3 Egyetem docens

Részletesebben

Hatvan-TISZK Szakképzés-szervezési Nonprofit Közhasznú Korlátolt Felelősségű Társaság "végelszámolás alatt" június május 31.

Hatvan-TISZK Szakképzés-szervezési Nonprofit Közhasznú Korlátolt Felelősségű Társaság végelszámolás alatt június május 31. Hatvan-TISZK Szakképzés-szervezés Nonproft Közhasznú Korlátolt Felelősségű Társaság "végelszámolás alatt" (Nylvántartás szám: 10-09-028738, Adószám: 14483563-2-10) 2016. júnus 01. - 2017. május 31. dőszakra

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg

Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott

Részletesebben

Összegzés a 92/2011.(XII.30.) NFM rendelet 9. melléklete alapján

Összegzés a 92/2011.(XII.30.) NFM rendelet 9. melléklete alapján NEMZETBIZTONSÁGI SZAKSZOLGÁLAT GAZDASÁGI VEZETŐ 1399 Budapest 62. Pf.: 710/4-2. Ikt.sz.: 30700/21293- /2015. 1. számú példány Összegzés a 92/2011.(XII.30.) NFM rendelet 9. melléklete alapján 1. Az ajánlatkérő

Részletesebben

Elektrokémia 03. Cellareakció potenciálja, elektródreakció potenciálja, Nernst-egyenlet. Láng Győző

Elektrokémia 03. Cellareakció potenciálja, elektródreakció potenciálja, Nernst-egyenlet. Láng Győző lektrokéma 03. Cellareakcó potencálja, elektródreakcó potencálja, Nernst-egyenlet Láng Győző Kéma Intézet, Fzka Kéma Tanszék ötvös Loránd Tudományegyetem Budapest Cellareakcó Közvetlenül nem mérhető (

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,

Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI, Bevezetés a bometrába Dr. Dnya Elek egyetem tanár PhD kurzus. KOKI, 205.0.08. ADATREDUKCIÓ I. Középértékek Adatredukcó. M a középérték: azonos fajta számszerű adatok közös jellemzője. 2. Követelmények:

Részletesebben

Relációk. Vázlat. Példák direkt szorzatra

Relációk. Vázlat. Példák direkt szorzatra 8.. 7. elácók elácó matematka fogalma zükséges fogalom: drekt szorzat Halmazok Descartes drekt szorzata: Legenek D D D n adott doman halmazok. D D D n : = { d d d n d k D k k n } A drekt szorzat tehát

Részletesebben

Ciklikusan változó igényűkészletezési modell megoldása dinamikus programozással

Ciklikusan változó igényűkészletezési modell megoldása dinamikus programozással Cklkusan változó gényűkészletezés modell megoldása dnamkus programozással Cklkusan változó gényűkészletezés modell megoldása dnamkus programozással DR BENKŐJÁNOS egyetem tanár SZIE 200 Gödöllő Páter K

Részletesebben

Numerikus integrálás

Numerikus integrálás Közelítő és szimbolikus számítások 11. gyakorlat Numerikus integrálás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Határozatlan integrál

Részletesebben

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i . konzult. LEV. 013. ápr. 5. MENNYISÉGI ISMÉRV szernt ELEMZÉS Tk. 3-8., 88-90. oldal, kmarad: 70., 74. oldal A mennység smérv (X) lehet: dszkrét és folytonos. A rangsor a mennység smérv értékenek monoton

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

Global-Kész Építőipari és Szolgáltató Korlátolt Felelősségű Társaság január december 31.

Global-Kész Építőipari és Szolgáltató Korlátolt Felelősségű Társaság január december 31. Global-Kész Építőpar és Szolgáltató Korlátolt Felelősségű Társaság (Nylvántartás szám: 17-09-007356, Adószám: 14844724-2-17) 2018. január 01. - 2018. december 31. dőszakra vonatkozó Általános üzlet évet

Részletesebben

Vázlat. Relációk. Példák direkt szorzatra

Vázlat. Relációk. Példák direkt szorzatra 7..9. Vázlat elácók a. elácó fogalma b. Tulajdonsága: refleív szmmetrkus/antszmmetrkus tranztív c. Ekvvalenca relácók rzleges/parcáls rrendez relácók felsmere d. elácók reprezentálása elácó matematka fogalma

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Lineáris regresszió, ismétlés nélküli mérések

Gyakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgyból Lineáris regresszió, ismétlés nélküli mérések Gakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgból Lneárs regresszó, smétlés nélkül mérések 1. példa Az alább táblázat eg kalbrácós egenes felvételekor mért adatokat tartalmazza: x 1.8 3

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok Műszak folyamatok közgazdaság elemzése Kevert stratégák és evolúcós átékok Fogalmak: Példa: 1 szta stratéga Vegyes stratéga Ha m tszta stratéga létezk és a 1 m annak valószínűsége hogy az - edk átékos

Részletesebben

MasterMind Interactive Kft január december 31.

MasterMind Interactive Kft január december 31. MasterMnd Interactve Kft (Nylvántartás szám: 15-09-071364, Adószám: 13920410-2-15) 2017. január 01. - 2017. december 31. dőszakra vonatkozó Általános üzlet évet záró Egyszerűsített éves beszámoló A beszámoló

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Szülők Iskolák Adományboltja Szociális Szövetkezet január december 31.

Szülők Iskolák Adományboltja Szociális Szövetkezet január december 31. Szülők Iskolák Adományboltja Szocáls Szövetkezet (Nylvántartás szám: 01-02-054339, Adószám: 25454066-1-42) 2016. január 12. - 2016. december 31. dőszakra vonatkozó Általános üzlet évet záró Egyszerűsített

Részletesebben

A DÖNTÉSELMÉLET ALAPJAI

A DÖNTÉSELMÉLET ALAPJAI J 2 A DÖNTÉSELMÉLET ALAJAI óformán életünk mnden percében döntéseket kell hoznunk, és tesszük ezt mnden elmélet megalapozottság nélkül. Sajnos a mndennap életben felmerülő egyed döntésekre még nem skerült

Részletesebben

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként. A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább

Részletesebben

GOND-VISELÉS Nonprofit Közhasznú Korlátolt Felelősségű Társaság január december 31.

GOND-VISELÉS Nonprofit Közhasznú Korlátolt Felelősségű Társaság január december 31. GOND-VISELÉS Nonproft Közhasznú Korlátolt Felelősségű Társaság (Nylvántartás szám: 01-09-916975, Adószám: 18063404-2-43) 2017. január 01. - 2017. december 31. dőszakra vonatkozó Általános üzlet évet záró

Részletesebben

Teljes eseményrendszer. Valószínőségszámítás. Példák. Teljes valószínőség tétele. Példa. Bayes tétele

Teljes eseményrendszer. Valószínőségszámítás. Példák. Teljes valószínőség tétele. Példa. Bayes tétele Teljes eseményrendszer Valószínőségszámítás 3. elıadás 2009.09.22. Defnícó. Események A 1, A 2,..., sorozata teljes eseményrendszer, ha egymást páronként kzárják és egyesítésük Ω. Tulajdonság: P A ) +

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzseny Dánel Főskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA műszak menedzser alapszak Írta: Dr. Köves János Tóth Zsuzsanna Eszter Budapest 006 Tartalomjegyzék. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK... 4.. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

Részletesebben

BROKERGOLD MAGYARORSZÁG Tanácsadó és Szolgáltató Korlátolt Felelősségű Társaság január december 31.

BROKERGOLD MAGYARORSZÁG Tanácsadó és Szolgáltató Korlátolt Felelősségű Társaság január december 31. BROKERGOLD MAGYARORSZÁG Tanácsadó és Szolgáltató Korlátolt Felelősségű Társaság (Nylvántartás szám: 05-09-018640, Adószám: 14972173-1-05) 2017. január 01. - 2017. december 31. dőszakra vonatkozó Általános

Részletesebben

;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ;

;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ; . A racion lis sz mok A tanult sz mok halmaza A) Ábrázold számegyenesen az alábbi számokat! 8 + + 0 + 7 0 7 7 0 0. 0 Válogasd szét a számokat aszerint, hogy pozitív: pozitív is, negatív is: negatív: sem

Részletesebben

KÖZBESZERZÉSI ADATBÁZIS

KÖZBESZERZÉSI ADATBÁZIS 14. melléklet a 44/2015. (XI. 2.) MvM rendelethez KÖZBESZERZÉSI DTBÁZIS Összegez az ajánlatok elbírálásáról I. szakasz: kérő I.1) Név címek 1 (jelölje meg az eljárásért felelős összes ajánlatkérőt) Hvatalos

Részletesebben

MasterMind Interactive Kft január december 31.

MasterMind Interactive Kft január december 31. MasterMnd Interactve Kft (Nylvántartás szám: 15-09-071364, Adószám: 13920410-2-15) 2016. január 01. - 2016. december 31. dőszakra vonatkozó Általános üzlet évet záró Egyszerűsített éves beszámoló A közzétett

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

ADATREDUKCIÓ I. Középértékek

ADATREDUKCIÓ I. Középértékek ADATREDUKCIÓ I. Középértékek Adatredukcó 1. M a középérték: azonos fajta számszerű adatok közös jellemzője. 2. Követelmények: a) Számított középérték: közbenső helyet foglaljanak el, azaz mn középérték

Részletesebben

Nemparaméteres eljárások

Nemparaméteres eljárások Nemparaméteres eljárások Bevezetés Az ntervallum vagy a hányados skálán végzett méréseknél az adatokból számolhatunk átlagot, szórásnégyzetet, szórást Fontos módszerek alapulnak ezeknek a származtatott

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika)

Fizika II. (Termosztatika, termodinamika) Fzka II. (Termosztatka, termodnamka) előadás jegyzet Élelmszermérnök, Szőlész-borász mérnök és omérnök hallgatóknak Dr. Frtha Ferenc. árls 4. Tartalom evezetés.... Hőmérséklet, I. főtétel. Ideáls gázok...3

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél

Részletesebben