ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "ÁLTALÁNOS STATISZTIKA"

Átírás

1 Berzseny Dánel Főskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA műszak menedzser alapszak Írta: Dr. Köves János Tóth Zsuzsanna Eszter Budapest 006

2 Tartalomjegyzék. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS TÁRGYA A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS AXIÓMARENDSZERE A VALÓSZÍNŰSÉG MEGHATÁROZÁSÁNAK MÓDSZEREI A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS JELENTŐSÉGE A MŰSZAKI-GAZDASÁGI ELEMZÉSEKBEN VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI TÉTELEK, FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, ESEMÉNYEK FÜGGETLENSÉGE VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI TÉTELEK A FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA A TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE BAYES-TÉTEL ("AZ OKOK VALÓSZÍNŰSÉGÉNEK TÉTELE") ESEMÉNYEK FÜGGETLENSÉGE LEÍRÓ STATISZTIKA A LEÍRÓ STATISZTIKA HELYE, SZEREPE A STATISZTIKA VILÁGÁBAN A STATISZTIKAI LEÍRÁS CÉLJA, MÓDSZEREI AZ ADATOK ÁBRÁZOLÁSA TAPASZTALATI ELOSZLÁSOK A TAPASZTALATI ELOSZLÁSOK KÖZÉPÉRTÉK-MUTATÓI AZ INGADOZÁS MÉRŐSZÁMAI AZ ELOSZLÁS ALAKJÁT JELLEMZŐ EGYÉB MUTATÓSZÁMOK ESETTANULMÁNY LEÍRÓ STATISZTIKAI ELEMZÉS VISZONYSZÁMOK KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS I DETERMINISZTIKUS ÉS SZTOCHASZTIKUS KAPCSOLATOK A KAPCSOLAT SZEMLÉLTETÉSE AZ ELŐJEL KORRELÁCIÓS EGYÜTTHATÓ A LINEÁRIS REGRESSZIÓ ÉS A KORRELÁCIÓ AUTO- ÉS KERESZTKORRELÁCIÓ IDŐSOROK ELEMZÉSÉNÉL VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ, ELMÉLETI ELOSZLÁSOK A VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ JELLEMZŐI BINOMIÁLIS ELOSZLÁS POISSON-ELOSZLÁS EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS NORMÁLIS (GAUSS-) ELOSZLÁS A KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS TÉTELE STATISZTIKAI DÖNTÉSEK ALAPELVEI ESETPÉLDA DÖNTÉSI ALAPMODELL DÖNTÉSI MÁTRIX A DÖNTÉSI FOLYAMAT LOGIKÁJA DÖNTÉSI OSZTÁLYOK ÉS DÖNTÉSI KRITÉRIUMOK A MINTAVÉTEL ÉS A KÖVETKEZTETÉS HIBÁI BECSLÉS A BECSLÉS TULAJDONSÁGAI A PONTBECSLÉS MÓDSZEREI INTERVALLUMBECSLÉS... 09

3 8. HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK I. NEMPARAMÉTERES PRÓBÁK A HIPOTÉZISVIZSGÁLAT ÁLTALÁNOS MENETE ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT χ -PRÓBÁVAL HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK II. SZÓRÁSOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA AZ ALAPSOKASÁG VARIANCIÁJÁRA VONATKOZÓ EGYMINTÁS PRÓBA KÉT SZÓRÁSNÉGYZET ÖSSZEHASONLÍTÁSA: F-PRÓBA TÖBB SZÓRÁS ÖSSZEHASONLÍTÁSÁRA VONATKOZÓ PRÓBÁK HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK III. KÖZÉPÉRTÉKRE VONATKOZÓ PRÓBÁK VÁRHATÓ ÉRTÉKRE IRÁNYULÓ PRÓBÁK KÉT FÜGGETLEN MINTA VÁRHATÓ ÉRTÉKÉNEK ÖSSZEHASONLÍTÁSA PÁROS MINTÁK VÁRHATÓ ÉRTÉKÉNEK ÖSSZEHASONLÍTÁSA VARIANCIAANALÍZIS KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS II A (LINEÁRIS) KORRELÁCIÓS EGYÜTTHATÓ AZ R(X,Y) ÉS A REGRESSZIÓS EGYENES ÖSSZEFÜGGÉSE A REGRESSZIÓS BECSLÉS PONTOSSÁGA FELHASZNÁLT ÉS AJÁNLOTT IRODALOM FÜGGELÉK: TÁBLÁZATOK

4 . VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet Axómák, alaptételek Kombnatorka Geometra val.sz. Val.szám tételek Elmélet eloszlások Matematka statsztka Mnta vétel Leíró statsztka Becslés Hpotézsvzsgálat Összefüggésvzsgálat 4

5 .. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS TÁRGYA A véletlen jelenség fogalma: A tömegjelenség fogalma: 5

6 .. A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA A valószínűség fogalma A n f(a) f ( A) g( A) n lm n g( A) P( A) Készítette: Erde János. ábra: A valószínűség fogalma.3. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS AXIÓMARENDSZERE (Kolmogorov 93/3) I. Egy tetszőleges A esemény bekövetkezés valószínűsége 0 P(A). II. A bztos esemény valószínűsége, azaz P(Ω). III. Ha A és B egymást kzáró események, azaz A B 0, akkor P(A+B) P(A) + P(B). 6

7 .4. A VALÓSZÍNŰSÉG MEGHATÁROZÁSÁNAK MÓDSZEREI Klasszkus valószínűség-meghatározás: Geometra úton: Valószínűségszámítás tételek segítségével: Emprkus adatokból: Elmélet eloszlások segítségével: Szubjektív becsléssel: 7

8 .5. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS JELENTŐSÉGE A MŰSZAKI-GAZDASÁGI ELEMZÉSEKBEN 8

9 . VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI TÉTELEK, FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, ESEMÉNYEK FÜGGETLENSÉGE Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet Matematka statsztka Axómák, alaptételek Kombnatorka Geometra val.sz. Val.szám tételek Elmélet eloszlások Mnta vétel Leíró statsztka Becslés Hpotézsvzsgálat Összefüggésvzsgálat 9

10 .. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI TÉTELEK Tétel: Ha A és B egy eseményalgebra két tetszőleges eseménye, akkor annak valószínűsége, hogy közülük legalább egy bekövetkezk: P( A + B) P( A) + P( B) P( A B) Bzonyítás: Tétel: Ha A esemény bekövetkezése maga után vonja a B esemény bekövetkezését, azaz A B, akkor: P( B A) P( B) P( A) és P( A) P( B) Bzonyítás: Feladat: Mutassuk k, hogy P(A) 0,7 és P(B) 0,9 esetén P(A B) 0,6. 0

11 Feladat: Próbagyártás után két szempontból vzsgáljuk a késztermékeket. Az A esemény azt jelent, hogy a vzsgált gyártmány anyaghbás, a B esemény pedg azt, hogy mérethbás. Az A esemény P(A)0,5, a B esemény P(B)0,3 és az A B esemény P(A B)0,08 valószínűséggel következk be. M a valószínűsége annak, hogy valamely késztermék hbátlan? Feladat: Egy skola tanulónál a jeles matematka és a jeles fzka osztályzatokat fgyeljük. A következő eseményeket vezetjük be tetszőlegesen kválasztott tanulókra: A: jeles osztályzata van matematkából, B: jeles osztályzata van fzkából. Ismeretesek a következők: annak valószínűsége, hogy egy véletlen kválasztott tanulónak jelese van fzkából: P(B)0,; hogy jelese van matematkából és fzkából: P(A B)0,09; hogy a matematka és fzka tárgyak közül legalább egykből jeles az osztályzata: P(A+B)0,6. M a valószínűsége annak, hogy egy tetszőlegesen kválasztott tanulónak jeles osztályzata van matematkából?

12 .. A FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA Defnícó: Ha A és B egy eseményalgebra két eseménye és P(B)>0, akkor a P( A B) P( A B) PB ( ) hányadost az A eseménynek a B eseményre vonatkoztatott feltételes valószínűségének nevezzük.

13 Feladat: Egy szállítmány 96 %-a megfelel a mnőség előírásoknak, s ezek 75 %-a első osztályú. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy találomra kválasztott darab első osztályú? Feladat: Egy telefonfülke előtt állunk és várjuk, hogy az előttünk beszélő befejezze a beszélgetést. Az llető beszélgetés dőtartama (τ) véletlen esemény, melyre érvényes a következő: P 3 ( τ t) e a.) Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a beszélgetés 3 percnél tovább tart! b.) Menny annak a valószínűsége, hogy a beszélgetés tovább 3 percnél tovább tart, feltéve, hogy eddg 3 percnél tovább tartott? c.) Menny annak a valószínűsége, hogy a beszélgetés t+3 percnél tovább tart, feltéve, hogy t percnél tovább tartott? t 3

14 Feladat: Egy börtönben három elítéltet tartanak fogva: A-t, B-t és C-t. A következő napon egyküket felakasztják. A börtönőr tudja kt akasztanak fel, de nem szabad elárulna. Az A fogoly a következőt kérdez a börtönőrtől: "Áruld el a másk két fogoly közül egy olyannak a nevét, akt holnap nem akasztanak fel. Ha mndketten szabadok lesznek, akkor döntsd el magadban, hogy knek a nevét mondod. Ezzel nem árulsz el ttkot, mert azt már tudom, hogy egykük szabad lesz." A börtönőr ném gondolkodás után így válaszolt: "Nem, ez nem volna emberséges veled szemben. Most úgy gondolod, hogy /3 valószínűséggel akasztanak fel. Ha elárulom a többek közül egy olyannak a nevét, akt nem akasztanak fel, akkor az esélyed megnövekednek, úgy fogod gondoln, hogy / valószínűséggel akasztanak fel. Nem tudnál nyugodtan aludn". Helyesen érvelt-e a börtönőr? 4

15 .3. A TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE Tétel: Ha B, B,...B n teljes eseményrendszer és P(B k )>0 (k,,...n), A pedg egy tetszőleges esemény, akkor: n P( A) P( AB k) P( Bk) k Bzonyítás: 5

16 Feladat: Az MBA programban a "Kvanttatív módszerek" vzsgán a férfak 60 %-a, a hölgyek 80 %-a szerepel skeresen. A férfak az évfolyam 45 %-át teszk k. Mekkora a valószínűsége, hogy egy találomra kválasztott hallgató skeresen szerepel a vzsgán? Feladat: Három műszak azonos terméket gyárt. Egy adott napon az összes termékből az I. műszakban 40%, a II. és III. műszakban 30-30% készül. Az átlagos selejtarányok: I. műszak 5%, II. műszak 7%, III. műszak 0%. Az összes termékből a MEO egy darabot kválaszt, mekkora a valószínűsége, hogy az hbátlan? 6

17 Feladat: Egy gyártóberendezés munkadejének /3 részében az A terméket, /6 részében a B terméket, a többben pedg a C terméket gyártja. Az A termék gyártásakor az erre fordított dő 0%-ában áll a berendezés, a B termék gyártása közben végg dolgozk, míg a C termék gyártásakor a munkadő 5%-ában áll. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy találomra kválasztott dőpontban áll a berendezés? Feladat: Egy üzem 8 berendezése egyforma terméket gyárt. Az első három gép együttvéve 4% selejtet termel, a következő négy gépnél együttvéve 3% a selejt, míg az utolsó gép selejtaránya,5%. Az elkészült termékeket egy helyen gyűjtk. Mekkora a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kválasztott darab selejtes lesz? 7

18 .4. BAYES-TÉTEL ("AZ OKOK VALÓSZÍNŰSÉGÉNEK TÉTELE") Tétel: Ha B, B,...B n teljes eseményrendszer és P(B k )>0 (k,,...n), A pedg egy olyan esemény, amelyre P(A)>0, akkor: ahol: PB ( A) k P( A B ) P( B ) n k P( A B ) P( B ) k P(B k A) P(B k ) posteror" valószínűségek, pror" valószínűségek. Bzonyítás: 8

19 Feladat: Alkatrész-ellátásnál a pótalkatrészt 40%-ban a I. szállító szállítja 0% selejttel, 60%-ban pedg a II. szállító szállítja 0% selejttel. Az alkatrészraktárból kvettünk egy pótalkatrészt és azt találtuk, hogy hbás. Mekkora a valószínűsége, hogy a kválasztott alkatrész a II. szállítótól jött? Feladat: Egy üzemből kkerülő áru 75% valószínűséggel I. osztályú. A készterméket megvzsgálják. Annak a valószínűsége, hogy a vzsgálat során az I. osztályú terméket nem I. osztályúnak mnősítk %. Annak a valószínűsége, hogy egy nem I. osztályú terméket I. osztályúnak mnősítenek 5%. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy olyan termék, amelyk egy vzsgálat során I. osztályú mnősítést kapott, valóban I. osztályú? 9

20 Feladat: Egy folyóban bekövetkező halpusztulásért 3 par üzem lehet felelős. Tapasztalatok szernt a mérgező anyag kbocsátásának valószínűsége az egyes üzemeknél: 0%, 50% és 30%. A mérések szernt az egyes üzemek szennyvízkbocsátása esetén a halpusztulás valószínűsége: 60%, 5% és 5%. Menny a halpusztulás teljes valószínűsége? Mekkora bírságot szabjon k a Ft-os halkárért a bíróság, ha nem smeretes, k a szennyezés kbocsátója a három üzem közül? (A bírságok összege a teljes halkár.) Feladat: Bertrand problémája: tekntsünk három szekrényt, amelyek mndegykében két fók van. Az első szekrény mndkét fókjában egy-egy aranygolyó, a másodk szekrény egyk fókjában arany-, a másodkban ezüstgolyó, a harmadk szekrény mndkét fókjában ezüstgolyó van. Találomra választunk egy szekrényt (azaz bármelyket egyenlő valószínűséggel választhatjuk), khúzunk egy fókot és abban aranygolyót találunk. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az első szekrényt választottuk? 0

21 Feladat: Egy rodában 3 munkatárs dolgozk párhuzamosan azonos típusú ügyratok ntézésén. Az első naponta 0 aktával végez, a másodk nap 5, a harmadk nap 5 aktával. Az egyes munkatársaknál naponta átlagosan 0,3; 0,9; 0,5 db hbásan kezelt ügyrat található. Az összesített nap mennységből találomra kveszünk egy aktát és azt rossznak találjuk. Mekkora a valószínűsége, hogy azt az első munkatárs készítette?

22 .5. ESEMÉNYEK FÜGGETLENSÉGE Defnícó: A és B események (sztochasztkusan) függetlenek, ha P(A B)P(A) P(B). Az A esemény független B eseménytől, ha a P(A B) feltételes valószínűség nem függ a feltételtől: P( AB ) P( A B) P( A) PB ( ) Tétel: Ha A és B függetlenek, akkor A és B, A és B, valamnt A és B s függetlenek. Bzonyítás: Tétel: Ha három esemény páronként független, még nem bztos, hogy "teljesen függetlenek", azaz még teljesül az s, hogy: P(A B C)P(A) P(B) P(C) Feladat: Két kockával dobunk. Jelentse A azt az eseményt, hogy az első kockával párost dobunk, B azt az eseményt, hogy a másodk kockával páratlant dobunk és C azt az eseményt, hogy mndkettővel párost, vagy mndkettővel páratlant dobunk. A, B és C események teljesen függetlenek-e? Defnícó: Az A, A,... A n események teljesen függetlenek, ha közülük kválasztott tetszőleges számú eseményre teljesül, hogy az együttes bekövetkezésük valószínűsége egyenlő az egyes valószínűségek szorzatával.

23 3. LEÍRÓ STATISZTIKA Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet Matematka statsztka Axómák, alaptételek Kombnatorka Geometra val.sz. Val.szám tételek Elmélet eloszlások Mnta vétel Leíró statsztka Becslés Hpotézsvzsgálat Összefüggésvzsgálat 3

24 3.. A LEÍRÓ STATISZTIKA HELYE, SZEREPE A STATISZTIKA VILÁGÁBAN A számszerű nformácó, annak mérése és elemzése alapvető szerepet játszk a társadalm és gazdaság jelenségek elemzésében. E számszerű adatok a legtöbb esetben azzal a sajátossággal rendelkeznek, hogy a megfgyelésük, a feldolgozásuk, elemzésük és az elemzés eredményenek felhasználása tudományos módszereket gényel. A statsztka módszerek között említhetünk meglehetősen egyszerű eljárásokat, és természetesen vannak ennél bonyolultabb, összetettebb matematka-statsztka módszerek. Magának a statsztka módszertannak -a konkrét vzsgálat tárgya alapján- szokás többféle ágát megkülönböztetn, a sokféle csoportosítás lehetőség közül a m szempontunkból célszerű különválasztan a leíró és a következtető statsztka vlágát. A kettő között lényeg különbség a következőkben ragadható meg: a leíró statsztka célja a vzsgálat tárgyát képező jelenség tömör, számszerű jellemzése az adatok elemzése és rendezése alapján (pl. 0 évente tartott népszámlálások adatanak feldolgozása); míg a következtető statsztka célja mnt azt a később fejezetekben látn fogjuk a mntából történő következtetés és általánosítás a teljes sokaságra vonatkozóan (pl. néhány ezer háztartás jövedelm adataból megfelelő pontossággal megbecsülhető, hogy a magyar lakosság körében mlyen jövedelm különbségek vannak). A leíró statsztka a megfgyelt adatok bemutatását, összefoglaló jellemzését tűz k célul, és ehhez az elemzéshez sokoldalú eszköztárt kínál, ebben a fejezetben célunk ennek az eszköztárnak a bemutatása. 3.. A STATISZTIKAI LEÍRÁS CÉLJA, MÓDSZEREI Ha a célnak megfelelően összegyűjtött adathalmaz áll rendelkezésünkre, akkor a következtetések felé tett első lépésünk a mnta feldolgozása, ennek kérdéskörével foglalkozk a leíró statsztka. A statsztka leírás célja a mnta adatanak átteknthető formába történő rendezése, tömörítése, az adatok grafkus megjelenítése, ábrázolása és egyes jellemző értékenek meghatározása. Így az adatok feldolgozásának kettős célja van: egy grafkus kép, pontosabban egy tapasztalat eloszláskép produkálása; a másk pedg statsztka mutatók meghatározása. A leíró statsztka e területe közül egyedül a rendezés, tömörítés pusztán technkanak tűnő, az adatok ábrázolása és a statsztka jellemzők meghatározása lényeges szemlélet, a sztochasztkus gondolkodást, látást megalapozó területek. A statsztka jellemzők segítségével a nagyszámú adat jellegzetességet néhány adatba sűrítve próbáljuk megragadn. A statsztka jellemzőket általában három fő csoportba soroljuk, éppen az alapján, hogy az adatok mlyen jellegzetességét ragadják meg: a középértékek: az adathalmaz közös, tpkus, jellegzetes, általános vonásat kísérlk megragadn egy-egy szám segítségével. az ngadozásmutatók: az egyed, különös, specáls, sajátos, eltérő jellegzetességek mértékét mutatják meg. az eloszlás alakjára jellemző egyéb mérőszámok: aszmmetra mértékét, az adatok eloszlásának lapultságát, csúcsosságát jellemző mutatók. Bármlyen adathalmaz esetén a feladatunk az, hogy alkalmas módon jelenítsük meg az adatokat, számítsunk jellemző középérték-mutatót és ngadozásmutatót s, mvel a középértékek átlagoló, összemosó hatását éppen az ngadozásmutatók tudják ellensúlyozn, míg az ngadozásmutatók pont ezt 4

25 a jellemző értéket nem tudják megragadn. Ezért a korrekt statsztka leíráshoz legalább egy-egy jellemző szükséges mndkét mutatócsoportból. Az egyed mérésekből származó adatok lehetnek dszkrétek és folytonosak. A dszkrét adatok szükségképpen ugrásszerűen változnak. Például a számlálás alapján nyert adatok dszkrét típusúak (pl. téves telefonhívások száma, balesetek száma, adott dőszak alatt bekövetkező gépmeghbásodások száma stb.). A folytonos adatok általában mérésből származnak. Jellemzőjük, hogy egy adott ntervallumon belül elvleg bármlyen értéket felvehetnek. A mérés korláta matt ezek az adatok s ugrásszerűen változnak, de az ugrások nagysága a mérőeszköztől függ, maguk az adatok lényegüket tekntve folytonosak (pl. átmérő, nyúlás, gépkocs abroncsok futásteljesítménye, nedvességtartalom) AZ ADATOK ÁBRÁZOLÁSA A leíró statsztka jelentős részben az adatok átteknthető ábrázolásával foglalkozk, így fontos eszköze a táblázatok és dagramok. Ezeknél a dagramoknál, táblázatoknál az egyes értékek összehasonlítása áll előtérben, a grafkus ábrázolásoknál azonban nem mndg fontosak az értékek, sok esetben a vzsgált jelenséggel kapcsolatban azok megoszlása, egymáshoz való vszonya, aránya árulkodóbb. A táblázatok, dagramok lehetővé teszk nagyobb adathalmazok áttekntő ábrázolását, és vszonylag egyszerű őket elkészíten. A grafkonok a pontos értékek megadása nélkül s gyors áttekntést adnak, nagy terjedelmű mnták egészen egyszerű grafka elemekre támaszkodva válnak átteknthetővé. Néhány példa: A hba típusa Szabvány Kum. Relatív Kum. rel. Gyakorság jelölése gyakorság gyakorság gyak. Gömb alakú gázzárvány ,% 53,% Gázzárvány-halmaz ,7% 70,7% Átolvadás hány ,5% 80,3% Összeolvadás hány ,% 88,4% Gyökátfolyás ,7% 9,% Hernyó alakú gázzárvány ,0% 93,% Gyökoldal szélkolvadás ,0% 95,% Egy oldalról hegesztett kötésben átolvadás hány 40 4,4% 96,6% Hely szélkolvadás, éles bemetszés nélkül 55 44,4% 98,0% Alapanyag-varrat között összeolvadás hány ,7% 98,6% Wolfrám zárvány ,7% 99,3% Egyenetlen varratfelület ,7% 00,0%. ábra: Az adatok táblázatba rendezése 5

26 3. ábra: Oszlopdagram 4. ábra: Kördagram 5. ábra: Sávdagram 6

27 Adatok ábrázolása pktogram segítségével: 6. ábra: Vonaldagram Az összes szőlőtermelés felhasználása 7. ábra 7

28 3.4. TAPASZTALATI ELOSZLÁSOK A nagy számú statsztka adat átteknthetőségét lehetővé tesz, feldolgozását egyszerűsít, ha az értékeket nagyság szernt osztályokba soroljuk. A mérés sorozat legksebb és legnagyobb értéke között ntervallumot k számú osztályra bontjuk. Ha összesen n adatunk van, f pedg az -edk osztályba eső elemek számát jelent, akkor n knduló adat f + f +..+ f k n részsokaságok összegeként értelmezhető. Általános lépése a következők: osztálybasorolás (folytonos adatok és nagyszámú dszkrét megfgyelés esetén), a gyakorságok (f ) megállapítása. Gyakorság a sokaságban levő azonos tulajdonságú (azonos osztályba tartozó) elemek száma, a relatív gyakorságok (g ) megállapítása: g f n az összegzett (kumulált) gyakorságok (f ), lletve összegzett relatív gyakorságok (g ) megállapítása, gyakorság táblázat készítése (f, g, f, g adataból), a gyakorság (relatív gyakorság), lletve összegzett gyakorság (relatív gyakorság) hsztogramok (folytonos adatok esetén a polgon és az ogva) felvétele (tapasztalat eloszlások elkészítése). Grafkus ábrázolás Feladat: Egy folyamatos üzemben 4 órán keresztül feljegyezték a gépleállások számát. A leállásokra vonatkozóan az alább értékek adódtak óránként megoszlásban: Óra Leállások száma Óra Leállások száma. Táblázat A példa adata a következő gyakorság táblázatba és hsztogramba rendezhetők: Ahhoz, hogy az előbb táblázatunkat átteknthetőbb formába öntsük, célszerű az adatankat a dszkrét valószínűség változó által felvehető értékek szernt csoportosítan: 8

29 leállások száma óránként az előfordulások gyakorsága (f ) relatív gyakorság (g ) 0 3 0,5 5 0,08 5 0, , ,5 5 0, ,083 összesen 4,000. Táblázat Ha vszonylag kevés adatunk van, akkor célszerű az alapján elkészíten az osztályba sorolást, hogy e dszkrét valószínűség változó mlyen értékeket vehet fel. 8. ábra: Gyakorságok ábrázolása dszkrét adatok esetén Dszkrét adatok esetén a gyakorságok az y tengely csak egy meghatározott pontjához tartoznak, és nem egy értéksávhoz, ezért dszkrét eloszlások esetében a gyakorságot általában függőleges vonalakkal jelölk. A kumulált (összegzett) gyakorság táblázat és hsztogram: leállások száma kumulált gyakorság (f ) kumulált relatív gyakorság (g ) 0 3 0,5 8 0, , , , ,97 6 4, Táblázat A kumulatív gyakorságok grafkus ábrázolással nyert képét tapasztalat eloszlásfüggvénynek szokták nevezn. 9

30 9. ábra: Kumulált relatív gyakorságok ábrázolása dszkrét adatok esetén 30

31 Feladat: Mnt később tanulmányank (Vállalat pénzügyek) során látn fogjuk, gazdaság elemzésenknél gyakran szükség van a részvényektől elvárt hozam becslésére. (A részvények elvárt hozama dőben vszonylag stabl, így a jövőre vonatkozó becslésenket múltbel adatankra alapozhatjuk). A Budapest Értéktőzsde Részvényndexét (BUX) - az deglenes ndex ném változtatásával és 99- g vsszafelé s meghatározva január - hatállyal vezették be. Az ndex bázsa az 99. január -án számított 000 pont. Egy 5 éves dőszak hav hozamanak értéket az alább táblázatban foglaltuk össze. dátum BUX[%] dátum BUX[%] február. -7,54 november.,03 márcus. -0,7 december.,5 áprls 5. -,0 január 6. 3,3 május. -,5 február 3.,44 júnus. -8,4 márcus 3. -,9 júlus. 4,9 áprls. 0,03 augusztus. 3,0 május 5. 3,79 szeptember. -8,45 júnus.,9 október 3. 6,88 júlus. 5,99 november. -5,08 augusztus. -8, december. -4,89 szeptember. 6,34 január 5. -8,98 október. -7,6 február. 4,05 november 3. -6,75 márcus.,6 december. 0,4 áprls 3.,68 január 7. -7, május. 5,44 február.,7 júnus. -4,79 márcus. 4,84 júlus 3.,06 áprls. -, augusztus. 5,6 május 4. -7,48 szeptember.,8 júnus. 0,63 október. -6,05 júlus. 3,45 november. -0,93 augusztus ,06 december.,9 szeptember. -,97 január 4. 35,6 október. 6,9 február. 7,8 november.,53 márcus. 9,75 december. 5,5 áprls. 7,67 január 7. 3,6 május.,06 február. -3,63 júnus 3.,39 márcus. -,37 júlus. -,85 áprls. 9,0 augusztus.,6 május 3. 4,58 szeptember 3. 8,57 júnus. 4,59 október. 6,46 4. Táblázat Dolgozzuk fel a hav hozam adatokat leíró statsztka eszközökkel! 3

32 Folytonos adatokból készítendő gyakorság eloszlásoknál (és egyébként nagyszámú dszkrét adat esetén s) szükséges a rendelkezésre álló adatok osztályközökbe történő sorolása. Osztályba sorolásnak nevezzük az adathalmaz valamenny értékét magába foglaló teljes értékköz felosztását azonos nagyságú rész-értékközökre, és az adatoknak ezen belül csoportosítását. Az osztályköz középső értékét osztályköznek nevezzük, mvel az osztályba sorolás eredményeként az adatok elvesztk egyed értékeket, és az azonos osztályba sorolt adatokra az azonos osztályközép lesz a jellemző. Az osztályközt határoló két érték az alsó és a felső osztályhatár. Az osztályozás krtéruma: Teljes Átfedésmentes Homogén csoportokat eredményezzen Az Y szernt képzett osztály alsó felső határa Osztályközép abszolút relatív gyakorság Y 0 Y Y f g Y 0 Y Y f g Y 0 Y Y Y 0 + ( Y Y ) f g g f N Y k0 Y k Y k f k g k Összesen N 0. ábra: Gyakorság sor Ahol: Y (adatankat jellemző) mennység smérv, Adathalmazunkból k db osztályt képzünk, A 0-s ndex az osztály alsó határát, az -es ndex pedg az osztályköz felső határát jelent, Y az osztályközép, f az abszolút vagy tapasztalat gyakorság, g pedg a relatív gyakorság. Akár egy, akár több smérv szernt csoportosítjuk az adatankat, mndg kardnáls kérdés az osztályok számának a megválasztása. Ez alapos megfontolást gényel, és a vzsgált sokaság nagyságától nem függetleníthető. Mérlegelendő szempontok az osztályozásnál: M a célunk az osztályozással? A teljes értékközt hány rész-értékközre bontsuk fel, vagys hány osztályt alakítsunk k? Az osztályhatárok megállapításánál, kalakításánál mlyen szempontokat célszerű fgyelembe venn? A fent példánk alapján a gyakorság táblázat: osztályhatárok f f g [%] g [%] -40,00 x <-30,00,54,54-30,0 x <-0,00 0 0,00,54-0,0 x <-0, ,3 0,77-0,0 x < 0, ,5 36,9 0,0 x < 0, ,38 7,30 0,0 x < 0, ,00 9,30 0,0 x < 30, ,6 96,9 30,0 x < 40, ,08 00,00 összesen 65 00,00 5. Táblázat 3

33 A gyakorság hsztogram: Az egyes értékközök felé emelt téglalapok területe arányos az egyes osztályokhoz tartozó tapasztalat gyakorságokkal. A pros vonallal jelölt függvényt sűrűségfüggvénynek nevezzük. A kumulált relatív gyakorság hsztogram: n 65 x s * 3, 9 %,05 %. ábra: Sűrűségfüggvény. ábra: Eloszlásfüggvény A kumulált gyakorságok grafkus ábrázolással nyert képét tapasztalat eloszlásfüggvénynek s szokás nevezn, ez megmutatja, hogy mlyen valószínűséggel fordul elő egy adott értéknél ksebb érték. A folytonos adatok eloszlásfüggvényét folytonos vonallal s összeköthetjük, és az így kapott görbét ogvának nevezzük. Ez azt mutatja meg, hogy megközelítően mlyen lenne a tapasztalat eloszlásfüggvény, ha az osztályközöket mnden határon túl csökkentenénk, az osztályközökbe eső adatok számát pedg mnden határon túl növelnénk. Az ogvát felhasználhatjuk egy adott értéknél ksebb értékek számának vagy relatív gyakorságának meghatározására. Fordítva s eljárhatunk, vagys megállapíthatjuk azt az értéket, amelyk alá adott relatív gyakorsággal esnek az adatok. Az lyen értékeket kvantlseknek nevezzük. 33

34 3.5. A TAPASZTALATI ELOSZLÁSOK KÖZÉPÉRTÉK-MUTATÓI A középérték-mutatókat gyakran helyzetmutatóknak s nevezk. A középérték-mutatók a gyakorság eloszlás helyzetét egyetlen, az adatokkal azonos mértékegységű számértékkel jellemzk. E középértékekkel kapcsolatos elvárásank, hogy legyenek: Közepes helyzetűek Tpkusak Egyértelműen meghatározhatóak Könnyen értelmezhetőek A középértémutatóknak két nagy csoportja smeretes: Helyzet középértékek: az adatok között elhelyezkedésüknél fogva jellemzk a vzsgált gyakorság eloszlás helyzetét. Számított középértékek: az adatokkal kapcsolatos számszerű összefüggésük révén jellemzk vzsgált gyakorság eloszlás helyzetét. Az alábbakban bemutatásra kerülő középérték mutatók a medán, a módusz, a számtan átlag, a harmonkus átlag, a mértan átlag és a négyzetes átlag. Medán (Me): Jellemző: helyzet középérték, közepes helyzetű. A medán a változó azon számértéke, amelynél az összes előforduló számérték fele ksebb, fele pedg nagyobb, tehát a rangsorba állított sokaság számértékeket két egyenlő gyakorságú osztályra bontja. Rövden: a nagyságrend szernt rendezett adatok középső értéke (páros számú adat esetén a két középső érték átlaga). Példa: 6, 8, 4, 9, 7, 3, 5, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Me6 4, 9, 7, 8,, 5, 4, 5, 7, 8, 9, Me7,5 7, 9, 3, 0, 5,, 5,, 3, 5, 5, 7, 9, 0 Me5 Ha a BUX ndex korább, 65 hav hozamadatat vesszük alapul, akkor e 65 adatot sorba állítva, a rangsor 33. tagja lesz a medán, hszen ennél 3 ksebb, és 3 nagyobb érték lesz a rangsorban, ez pedg 3,79. Felmerül a kérdés: hogyan határozható meg a medán akkor, amkor nem smerjük egyenként az adatokat, hanem csak osztályközös gyakorság sor áll rendelkezésünkre? Ilyen esetekben a medán legegyszerűben a következő formulával becsülhető: Meˆ Y me,0 + N f f me ' me h me ahol me annak a legelső osztályköznek a sorszáma, amelyre gaz, hogy ' f me N és Y me,0 az me sorszámú osztályköz alsó határa, és a h me pedg ennek az osztálynak az osztályközhosszúsága, am egyszerűen a felső és alsó osztályhatár értékének a különbsége. 34

35 Példa: Vegyük a korább BUX-ndexes példánkat, és tegyük fel, hogy csak a gyakorság táblázat áll rendelkezésünkre, és nem smerjük egyenként az összes hozamadatot. osztályhatárok f f g [%] g [%] -40,00 x <-30,00,54,54-30,0 x <-0,00 0 0,00,54-0,0 x <-0, ,3 0,77-0,0 x < 0, ,5 36,9 0,0 x < 0, ,38 7,30 0,0 x < 0, ,00 9,30 0,0 x < 30, ,6 96,9 30,0 x < 40, ,08 00,00 összesen 65 00,00 ' N f me N/3,5 a medánt tartalmazó osztály az ötödk osztály: 0,0 x < 0. M eˆ Y me N ' fme 3,5 4, 0 + hme 0,0+ (0,00 0,0) 3,7 f 3 me Ha összehasonlítjuk a korább eredményünkkel, láthatjuk, hogy a medán jól becsülhető osztályközös gyakorság sorból s. A medán előnye, hogy mndg egyértelműen meghatározható, és mvel valód középérték, így érzéketlen az adathalmazunkban szereplő szélsőértékekre, amely szélsőségesen nagy vagy kcs értékeket általában a véletlen szeszélye alakítják, és nem függ a több smérvértéktől sem. Ha az adathalmazunkban sok az egyforma smérvérték, akkor sem tanácsos használn. Módusz (Mo): A módusz - a medánhoz hasonlóan - helyzet középérték. A módusz nem mndg határozható meg egyértelműen, és nem s mndg létezk. Dszkrét változó esetén a változó leggyakrabban előforduló értéke. A 4 óra alatt gépleállásokhoz tartozó gyakorság táblázatot alapul véve látható, hogy a 4 órás megfgyelés alatt egyaránt 5-5 alkalommal fordult elő, hogy vagy leállás volt az adott órában. Ebben az esetben a módusz nem határozható meg egyértelműen. leállások száma óránként az előfordulások gyakorsága összesen 4 35

36 Folytonos smérv esetén a módusz a gyakorság görbe maxmum helye. Folytonos változó esetén a medánhoz hasonló módon osztályközös gyakorság sorból becsülhető. Moˆ Ymo, 0 da + d + d a f h mo Ebben a képletben mo a móduszt tartalmazó osztályköz sorszáma és da fmo f d mo f fmo fmo+ A móduszt mndg az az osztályköz tartalmazza, amelykhez a hsztogram legmagasabb oszlopa tartozk. osztályhatárok f f g [%] g [%] -40,00 x <-30,00,54,54-30,0 x <-0,00 0 0,00,54-0,0 x <-0, ,3 0,77-0,0 x < 0, ,5 36,9 0,0 x < 0, ,38 7,30 0,0 x < 0, ,00 9,30 0,0 x < 30, ,6 96,9 30,0 x < 40, ,08 00,00 összesen 65 00,00 Ebben a példánkban a móduszt a legnagyobb gyakorságú osztály tartalmazza, ez pontosan ugyanaz az osztály, ahol a medán s volt. M da (3 7), + h 0,0 + (0,00 0,0) 3,76 d + d (3 7) + (3 3) oˆ Ymo 0 mo a f Megjegyzés: néha a módusz becslésének egyszerűen a móduszt tartalmazó osztályköz osztályközepét tekntk (példánkban ez 5,00 lenne), ezt nyers módusznak hívják. Bárhogyan s határozzuk meg a móduszt, az arra kapott közelítő érték esetleges, mert függ az osztályközök számától és hosszától. A módusz előnye, hogy a medánhoz hasonlóan nem függ sem az összes, sem a kugró smérvértékektől. A módusz hátránya, hogy nem mndg egyértelműen meghatározható, és nem s mndg létezk. Számtan átlag ( x ): A leggyakrabban használt középértékmutató: az átlag, számított középérték. Az a szám, amellyel az átlagolandó számértékeket helyettesítve azok összege változatlan marad. Számítása: x n n x r r f f x r g x 36

Általános Statisztika

Általános Statisztika Budapest Mőszak és Gazdaságtudomány Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudomány Kar Nyugat-Magyarország Egyetem Savara Egyetem Központ Dr. Köves János Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Általános Statsztka oktatás

Részletesebben

Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus

Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Statisztika 2. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Gyakorisági sorok Mennyiségi ismérv jellemző rangsor készítünk. (pl. napi jegyeladások száma) A gyakorisági sor képzése igazából tömörítést jelent Nagyszámú

Részletesebben

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i . konzult. LEV. 013. ápr. 5. MENNYISÉGI ISMÉRV szernt ELEMZÉS Tk. 3-8., 88-90. oldal, kmarad: 70., 74. oldal A mennység smérv (X) lehet: dszkrét és folytonos. A rangsor a mennység smérv értékenek monoton

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet: Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 11. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 11. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Összefüggés vizsgálatok A társadalmi gazdasági élet jelenségei kölcsönhatásban állnak, összefüggnek egymással. Statisztika alapvető feladata: - tényszerűségek

Részletesebben

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI

Bevezető Adatok rendezése Adatok jellemzése Időbeli elemzés. Gazdaságstatisztika KGK VMI Gazdaságstatisztika 2. előadás Egy ismérv szerinti rendezés Kóczy Á. László KGK VMI Áttekintés Gyakorisági sorok Grafikus ábrázolásuk Helyzetmutatók Szóródási mutatók Az aszimmetria mérőszámai Koncentráció

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege A multkrtérumos elemzés célja, alkalmazás területe, adat-transzformácós eljárások, az osztályozás eljárások lényege Cél: tervváltozatok, objektumok értékelése (helyzetértékelés), döntéshozatal segítése

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.08. Orvosi biometria (orvosi biostatisztika) Statisztika: tömegjelenségeket számadatokkal leíró tudomány. A statisztika elkészítésének menete: tanulmányok (kísérletek)

Részletesebben

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom Lneárs regresszó Statsztka I., 4. alkalom Lneárs regresszó Ha két folytonos változó lneárs kapcsolatban van egymással, akkor az egyk segítségével elıre jelezhetjük a másk értékét. Szükségünk van a függı

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai

STATISZTIKA I. Változékonyság (szóródás) A szóródás mutatószámai. Terjedelem. Forgalom terjedelem. Excel függvények. Függvénykategória: Statisztikai Változékonyság (szóródás) STATISZTIKA I. 5. Előadás Szóródási mutatók A középértékek a sokaság elemeinek értéknagyságbeli különbségeit eltakarhatják. A változékonyság az azonos tulajdonságú, de eltérő

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap Közlekedésmérnök Kar Jármőtervezés és vzsgálat alapja I. Feladatlap NÉV:..tk.:. Feladat sorsz.:.. Feladat: Egy jármő futómő alkatrész terhelésvzsgálatakor felvett, az alkatrészre ható terhelı erı csúcsértékek

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés

Kutatásmódszertan és prezentációkészítés Kutatásmódszertan és prezentációkészítés 10. rész: Az adatelemzés alapjai Szerző: Kmetty Zoltán Lektor: Fokasz Nikosz Tizedik rész Az adatelemzés alapjai Tartalomjegyzék Bevezetés Leíró statisztikák I

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

STATISZTIKA I. Centrális mutatók. Helyzeti középértékek. Középértékek. Bimodális eloszlás, U. Módusz, Mo. 4. Előadás.

STATISZTIKA I. Centrális mutatók. Helyzeti középértékek. Középértékek. Bimodális eloszlás, U. Módusz, Mo. 4. Előadás. Centrális mutatók STATISZTIKA I. 4. Előadás Centrális mutatók 1/51 2/51 Középértékek Helyzeti középértékek A meghatározása gyakoriság vagy sorszám alapján Számítás nélkül Az elemek nagyság szerint rendezett

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió SZDT-08 p. 1/31 Biometria az orvosi gyakorlatban Korrelációszámítás, regresszió Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Korrelációszámítás

Részletesebben

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája

Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája Matematikai statisztika c. tárgy oktatásának célja és tematikája 2015 Tematika Matematikai statisztika 1. Időkeret: 12 héten keresztül heti 3x50 perc (előadás és szeminárium) 2. Szükséges előismeretek:

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

matematikai statisztika

matematikai statisztika Az újságokban, plakátokon, reklámkiadványokban sokszor találkozunk ilyen grafikonokkal, ezért szükséges, hogy megértsük, és jól tudjuk értelmezni őket. A második grafikon ismerős lehet, hiszen a függvények

Részletesebben

1. Egy Kft dolgozóit a havi bruttó kereseteik alapján csoportosítottuk: Havi bruttó bér, ezer Ft/fő

1. Egy Kft dolgozóit a havi bruttó kereseteik alapján csoportosítottuk: Havi bruttó bér, ezer Ft/fő Figyelem! A példasor nem tartalmazza valamennyi típuspéldát. A dolgozatban az órán leadott feladatok közül bármely típusú előfordulhat. A példasor már a második dolgozat anyagát gyakorló feladatokat is

Részletesebben

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Csoportosítás

Bevezető Mi a statisztika? Mérés Csoportosítás Gazdaságstatisztika 1. előadás Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Oktatók Előadó Kóczy Á. László (koczy.laszlo@kgk.bmf.hu) Fogadóóra: szerda 11:30 11:55, TA125 Gyakorlatvezető

Részletesebben

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus)

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus) Valószínűségszámítás Valószínűség (probablty) 0 és 1 között valós szám, amely egy esemény bekövetkezésének esélyét fejez k: 0 - (sznte) lehetetlen, 0.5 - azonos eséllyel gen vagy nem, 1 - (sznte) bztos

Részletesebben

Statisztika 3. Dr Gősi Zsuzsanna Egyetemi adjunktus Koncentráció mérése Koncentráció általában a jelenségek tömörülését, összpontosulását értjük. Koncentráció meglétéről gyorsan tájékozódhatunk, ha sokaságot

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések. Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom?

Indexszámítás során megválaszolandó kérdések. Hogyan változott a termelés értéke, az értékesítés árbevétele, az értékesítési forgalom? Index-számítás Indexszámítás során megálaszolandó kérdések Hogyan áltozott a termelés értéke, az értékesítés árbeétele, az értékesítés forgalom? Hogyan áltozott a termelés, értékesítés mennysége? Hogyan

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika

[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika [GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 1. előadás Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Óbudai Egyetem Oktatók Előadó Kóczy Á. László (koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu)

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Segítség az outputok értelmezéséhez

Segítség az outputok értelmezéséhez Tanulni: 10.1-10.3, 10.5, 11.10. Hf: A honlapra feltett falco_exp.zip-ben lévő exploratív elemzések áttanulmányozása, érdekességek, észrevételek kigyűjtése. Segítség az outputok értelmezéséhez Leiro: Leíró

Részletesebben

Korreláció és lineáris regresszió

Korreláció és lineáris regresszió Korreláció és lineáris regresszió Két folytonos változó közötti összefüggés vizsgálata Szűcs Mónika SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Orvosi Fizika és Statisztika I. előadás 2016.11.02.

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Statisztikai alapfogalmak

Statisztikai alapfogalmak i alapfogalmak statisztikai sokaság: a megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége 2 csoportja van: álló sokaság: mindig vmiféle állapotot, állományt fejez ki, adatai egy adott időpontban értelmezhetők

Részletesebben

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM.

STATISZTIKA. András hármas. Éva ötös. Nóri négyes. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 ANNA BÉLA CILI 0,5 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. STATISZTIKA 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 MAGY. MAT. TÖRT. KÉM. ANNA BÉLA CILI András hármas. Béla Az átlag 3,5! kettes. Éva ötös. Nóri négyes. 1 mérés: dolgokhoz valamely szabály alapján szám rendelése

Részletesebben

Közúti közlekedésüzemvitel-ellátó. Tájékoztató

Közúti közlekedésüzemvitel-ellátó. Tájékoztató 12/2013. (III. 29.) NFM rendelet szakma és vzsgakövetelménye alapján. Szakképesítés, azonosító száma és megnevezése 54 841 02 Közút közlekedésüzemvtel-ellátó Tájékoztató A vzsgázó az első lapra írja fel

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Statisztikai alapfogalmak

Statisztikai alapfogalmak Statisztika I. KÉPLETEK 2011-2012-es tanév I. félév Statisztikai alapfogalmak Adatok pontossága Mért adat Abszolút hibakorlát Relatív hibakorlát Statisztikai elemzések viszonyszámokkal : a legutolsó kiírt

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90

Részletesebben

Adatelemzés és adatbányászat MSc

Adatelemzés és adatbányászat MSc Adatelemzés és adatbányászat MSc. téma Adatelemzés, statsztka elemek áttekntése Adatelemzés módszertana probléma felvetés módszer, adatok meghatározása nyers adatok adatforrás meghatározása adat tsztítás

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL. Szóbeli vizsgatevékenység

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL. Szóbeli vizsgatevékenység KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL A vizsgarészhez rendelt követelménymodul azonosító száma, megnevezése: 2144-06 Statisztikai szervezői és elemzési feladatok A vizsgarészhez rendelt vizsgafeladat megnevezése:

Részletesebben

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás

Sta t ti t s i zt z i t k i a 3. előadás Statisztika 3. előadás Statisztika fogalma Gyakorlati tevékenység Adatok összessége Módszertan A statisztika, mint gyakorlati tevékenység a tömegesen előforduló jelenségek egyedeire vonatkozó információk

Részletesebben

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető!

Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály. A megoldás részletes mellékszámítások hiányában nem értékelhető! BGF KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály Budapest, 2012.. Név:... Neptun kód:... Érdemjegy:..... STATISZTIKA II. VIZSGADOLGOZAT Feladatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. Összesen Szerezhető pontszám 21 20 7 22

Részletesebben

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1, Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

1/8. Iskolai jelentés. 10.évfolyam matematika

1/8. Iskolai jelentés. 10.évfolyam matematika 1/8 2009 Iskolai jelentés 10.évfolyam matematika 2/8 Matematikai kompetenciaterület A fejlesztés célja A kidolgozásra kerülő programcsomagok az alább felsorolt készségek, képességek közül a számlálás,

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell

y ij = µ + α i + e ij STATISZTIKA Sir Ronald Aylmer Fisher Példa Elmélet A variancia-analízis alkalmazásának feltételei Lineáris modell Példa STATISZTIKA Egy gazdálkodó k kukorica hibrid termesztése között választhat. Jelöljük a fajtákat A, B, C, D-vel. Döntsük el, hogy a hibridek termesztése esetén azonos terméseredményre számíthatunk-e.

Részletesebben

Az idősorok összetevői Trendszámítás Szezonalitás Prognosztika ZH

Az idősorok összetevői Trendszámítás Szezonalitás Prognosztika ZH Idősorok Idősor Statisztikai szempontból: az egyes időpontokhoz rendelt valószínűségi változók összessége. Speciális sztochasztikus kapcsolat; a magyarázóváltozó az idő Determinisztikus idősorelemzés esetén

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October

Biostatisztika VIII. Mátyus László. 19 October Biostatisztika VIII Mátyus László 19 October 2010 1 Ha σ nem ismert A gyakorlatban ritkán ismerjük σ-t. Ha kiszámítjuk s-t a minta alapján, akkor becsülhetjük σ-t. Ez további bizonytalanságot okoz a becslésben.

Részletesebben

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata Mnősítéses mérőrendszerek képességvzsgálata Vágó Emese, Dr. Kemény Sándor Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Kéma és Környezet Folyamatmérnök Tanszék Az előadás vázlata 1. Mnősítéses mérőrendszerek

Részletesebben

Matematika feladatbank I. Statisztika. és feladatgyűjtemény középiskolásoknak

Matematika feladatbank I. Statisztika. és feladatgyűjtemény középiskolásoknak Matematika feladatbank I. Statisztika Elméleti összefoglaló és feladatgyűjtemény középiskolásoknak ÍRTA ÉS ÖSSZEÁLLÍTOTTA: Dugasz János 2011 Fapadoskonyv.hu Kft. Dugasz János Tartalom Bevezető 7 Adatok

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja

Részletesebben

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt

Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Modern műszeres analitika szeminárium Néhány egyszerű statisztikai teszt Galbács Gábor KIUGRÓ ADATOK KISZŰRÉSE STATISZTIKAI TESZTEKKEL Dixon Q-tesztje Gyakori feladat az analitikai kémiában, hogy kiugrónak

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

MINTAFELADATOK. 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti:

MINTAFELADATOK. 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti: 1. Az alábbi diagram egy kiskereskedelmi lánc boltjainak forgalomkoncentrációját szemlélteti: 100% 90% 80% 70% 60% 50% 2010 2011 40% 30% 20% 10% 0% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% a) Nevezze

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23

TARTALOMJEGYZÉK. 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin) téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 TARTALOMJEGYZÉK 1. téma Átlagbecslés (Barna Katalin).... 7 2. téma Hipotézisvizsgálatok (Nagy Mónika Zita)... 23 3. téma Összefüggések vizsgálata, korrelációanalízis (Dr. Molnár Tamás)... 73 4. téma Összefüggések

Részletesebben

ADATREDUKCIÓ I. Középértékek

ADATREDUKCIÓ I. Középértékek ADATREDUKCIÓ I. Középértékek Adatredukcó 1. M a középérték: azonos fajta számszerű adatok közös jellemzője. 2. Követelmények: a) Számított középérték: közbenső helyet foglaljanak el, azaz x mn középérték

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok Műszak folyamatok közgazdaság elemzése Kevert stratégák és evolúcós átékok Fogalmak: Példa: 1 szta stratéga Vegyes stratéga Ha m tszta stratéga létezk és a 1 m annak valószínűsége hogy az - edk átékos

Részletesebben

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA)

Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 13. Varianciaanaĺızis (ANOVA) Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

18. modul: STATISZTIKA

18. modul: STATISZTIKA MATEMATIK A 9. évfolyam 18. modul: STATISZTIKA KÉSZÍTETTE: LÖVEY ÉVA, GIDÓFALVI ZSUZSA MODULJÁNAK FELHASZNÁLÁSÁVAL Matematika A 9. évfolyam. 18. modul: STATISZTIKA Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 15. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 15. Nemparaméteres próbák Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: November

Részletesebben

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék GAZDASÁGSTATISZTIKA. Készítette: Bíró Anikó. Szakmai felelős: Bíró Anikó június GAZDASÁGSTATISZTIKA GAZDASÁGSTATISZTIKA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben