MEGBÍZHATÓSÁG-ELMÉLET

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MEGBÍZHATÓSÁG-ELMÉLET"

Átírás

1 PHARE HU3/IB/E3-L MEGBÍZHAÓSÁG-ELMÉLE Defnícók A legszélesebb körben elfogadott defnícó szernt a megbízhatóság egy elem (termék, rendszer stb.) képessége arra, hogy meghatározott működés feltételek mellett meghatározott dőtartamg vagy cklusszámban működjön. Ez a képesség valószínűséggel kfejezve határozható meg, ahol a megbízhatóság defnícója a következő: a megbízhatóság annak valószínűsége, hogy egy termék vagy rendszer egy adott dőpontban vagy meghatározott dőtartamban, megadott környezet és felhasználás körülmények között működve kelégítően (azaz meghbásodás nélkül és a meghatározott teljesítményhatárok közöt látja el eredet funkcóját. A használhatóságot a megbízhatóság és a karbantarthatóság kombnácójának teknthetjük. Ha nem végzünk karbantartást vagy javítást, a megbízhatóságot pllanatny használhatóságnak teknthetjük. A használhatóság meghatározásánál a következő defnícókat használhatjuk: a használhatóság annak valószínűsége, hogy egy termék vagy rendszer bármely dőpontban kelégítően működk, ahol a teljes dőbe beleértjük az üzemdőt, az aktív javítás dőt, az admnsztrácós dőt és a logsztka dőt. Másféleképpen defnálva: a használhatóság annak valószínűsége, hogy egy rendszer a kívánt dőben, adott feltételek mellett el tud látn egy meghatározott funkcót vagy feladatot. A karbantarthatóság annak valószínűsége, hogy az előírt eljárásoknak és erőforrásoknak megfelelően végzett karbantartás esetén egy termék vagy rendszer adott dőtartamon belül megfelel meghatározott feltételeknek. A meghbásodás és a megbízhatóság kapcsolata Egy rendszer valamely egységének meghbásodása azt jelent, hogy az egység a továbbakban nem képes ellátn a kívánt funkcót. együk fel, hogy a meghbásodásg tartó működés dő valószínűség sűrűségfüggvénye f(. A meghbásodások eloszlás függvénye annak a valószínűsége, hogy egy elem a [,t] dőntervallumban meghbásodk. [ where : ahol] A megbízhatóság függvény vagy túlélés függvény egy, a [,t] dőntervallum alatt meg nem hbásodó egység valószínűsége. Annak valószínűsége, hogy ugyanaz az egység a t τ t + t dőntervallumban meghbásodk, azonos azzal a feltételes valószínűséggel, hogy t dő előtt nem következk be meghbásodás, de a t τ t + t ntervallumban gen, vagys. 3.

2 PHARE HU3/IB/E3-L Az egység meghbásodás rátája: Valamely egység átlagos működés deje a meghbásodásg (MF): Ha az egység egy olyan rendszerben van, amelyet meg lehet javítan, vagy k lehet cseréln, akkor célszerűbb a meghbásodások között átlagos működés dőt (MBF) használn. Ha a javításhoz vagy cseréhez szükséges dő sokkal rövdebb, mnt az MF, akkor az MBF nagyjából megegyezk az MF értékével. Ha a javításhoz vagy cseréhez szükséges dő nem elhanyagolható mértékű, akkor az átlagos javítás dővel (MR) s számoln kell. A meghbásodás és a megbízhatóság kapcsolata: Összefoglalás Kfejezések átszámítása Megbízhatóság paraméterek értékelése mntaadatok alapján Jelölje n( azoknak az egységeknek a számát, amelyek t dő előtt nem hbásodtak meg, és legyen a megfgyelt egységek teljes száma. Ekkor R( P(> n (. Eszernt a t dőpontban fennálló megbízhatóság a t dőpontban még működő egységek átlagos mértéke. Innen már egyszerűen megkapjuk a meghbásodás valószínűség képletét: F( - n ( n(, 3.

3 PHARE HU3/IB/E3-L és a valószínűség sűrűségfüggvényt: f( df ( dt dn(, dt amelyekből már levezethető a mnket érdeklő képlet: n( n( t + t f ( lm t t ). Látható, hogy f( az eredet sokaság méretének megfelelően normalzált. Sok esetben több nformácót nyújt, ha az n( értékének megfelelően normalzáljuk a túlélők számát. ehát a meghbásodás (veszély) rátát a következőképpen határozhatjuk meg: n( n( t + z( lm. t n( t Feladat Gyakoroljuk a megbízhatóság jellemzők kszámítását olyan esetben, amkor egy rendszerelem két meghbásodása között hbamentes működés dőtartamának mntája adott. A mnta mérete 3 értékből áll össze, az dőegységek pedg évek. 6,4,6,3,,5 3,3 5, 6,3 4,7 6,4,5 6,6 6,7,7 6,5, 5,7,5 3,,5 4,7, 3,8,4 3,,7 7,5 3,4,7, Gyakorság hsztogram Válaszolja meg a következő kérdéseket: Mekkora a rendszerelem megbízhatósága t 5 évnél? Mekkora a meghbásodás ráta t 5 évnél? Mlyen a valószínűség sűrűségfüggvény t 5 évnél? Mekkora az átlagos meghbásodás ráta? Vzsgálják meg azt az esetet, amkor a megfgyelt rendszerelemek száma, és a 3 meghbásodást tartalmazó mnta a megfgyelt rendszerelem meghbásodásaból áll össze. Vagys a megmaradt 7 rendszerelem továbbra s megfelelően üzemel. 3.3

4 PHARE HU3/IB/E3-L Exponencáls eloszlással leírt megbízhatóság Az exponencáls eloszlás egyke a rendszeregységek megbízhatóságának leírására használt legelterjedtebb eloszlásoknak. együk fel, hogy egy egység megbízhatósága az dő múlásával exponencáls arányban romlk., ahol λ egy poztív konstans. Ekkor a megbízhatóság és meghbásodás függvények a következőképpen foglalhatók össze: Megbízhatóság függvény A meghbásodás eloszlásfüggvénye A meghbásodás sűrűségfüggvénye Meghbásodás ráta Átlagos működés dő a meghbásodásg Rendszer-megbízhatóság (soros rendszer) Kumulatív meghbásodás ráta 3.4

5 PHARE HU3/IB/E3-L Készenlét üzemmódú, tartalékolással rendelkező rendszerek Attól függően, hogy mlyen a tartalékegységek állapota az üzembe lépés előtt, az egység tartalékolás szntjét az alább kategórák egykébe lehet soroln: () Aktív tartalékolás: a tartalékegységekre ugyanazok a szabályok vonatkoznak, mnt az alapegységekre, és megbízhatóságuk független attól, hogy mkor lépnek az alapegység helyébe. () eljesen naktív készenlét tartalékolás: a tartalékegységek kezdetben k vannak kapcsolva, és elméletleg nem hbásodhatnak meg, amíg az elsődleges egységek helyébe nem lépnek. (3) Részlegesen bekapcsolt készenlét tartalékolás: a tartalékegységek részlegesen bekapcsolt állapotban vannak addg a pllanatg, amkor az elsődleges egységek helyébe lépnek. A készenlét dő alatt meghbásodhatnak, de ennek ksebb a valószínűsége, mnt az alapegység meghbásodásának. Előfordulhat, hogy az aktív tartalékolású rendszerek nem hatékonyak. Ezeknél a rendszereknél elég, ha n rendszerelemből egyszerre k darab üzemképes, mvel azonban már kezdetben mnd az n darab üzemel, bármelyk meghbásodhat. Egy lehetséges megoldás a tartalék rendszerelemek használata. Ezeknél a rendszereknél kezdetben csak k rendszerelem üzemel. Pontosan anny, amenny a teljes rendszer üzemeltetéséhez szükséges. Valamelyk rendszerelem meghbásodása esetén mndg van azonnal beüzemelhető készenlét tartalék. Ennek alapján ezeket készenlét üzemmódú, tartalékolással rendelkező rendszereknek nevezzük. együk fel, hogy a rendszerünk k működőképes rendszerelemet gényel, és kezdetben n-k elérhető tartalék rendszerelemünk van. Amkor egy működő elem meghbásodk, egy kapcsoló aktválja az egyk tartalék vagy készenlét elemet (s ezzel működő elemmé tesz). A rendszer egészen addg működn fog, amíg k-nál kevesebb működőképes alkarész nem marad. Más szóval a rendszer addg működk, amíg n-k+ elem meg nem hbásodk. Most csak azt az esetet fogjuk vzsgáln, amkor egy üzemképes elemre van szükség (specáls eset, ahol k ), és n- készenlét (tartalék) elem áll rendelkezésre. Feltételezzük, hogy a kapcsoló (DS) pllanatszerűen és %-os megbízhatósággal szabályozza a készenlét elemek működésbe lépését. Az alább ábrán látható modellt használjuk ennek a helyzetnek a szemléltetésére. C DS C C n Ábra. Készenlét üzemmódú, tartalékolással rendelkező rendszer Ha -vel jelöljük az -edk rendszerelem meghbásodásg tartó működés dejét, akkor a értékek függetlenek és egyenletesen oszlanak el,, 3,..., n értékekre. Így R ( mnden elemre azonos. Legyen a teljes rendszer meghbásodáság hátralévő dő. Mvel a rendszer csak akkor hbásodk meg, ha már mnd az n elem meghbásodott, és az + -dk elemet csak akkor helyezzük működésbe, ha az -edk elem meghbásodk, könnyen belátható, hogy n 3.5

6 PHARE HU3/IB/E3-L Más szóval a rendszer meghbásodásának dejét egyszerűen kszámíthatjuk, ha smerjük az egyes rendszerelemek meghbásodásg tartó működés dejét. Végül meghatározhatunk egy valószínűség változót: X egy készenlét üzemmódú, tartalékolással rendelkező rendszer azon rendszerelemenek száma, amelyek t dő előtt meghbásodnak. Most a rendszer megbízhatósága egyszerűen annak valószínűsége, hogy kevesebb, mnt n alkatrész hbásodk meg a (, ntervallumban. Más szóval R(P(X<n). Kmutatható, hogy X egy λ αt paraméterű Posson-eloszlást követ, ahol α a meghbásodás ráta, ezért így írjuk fel: X ~ POISSO(λ). Javítható rendszerek használhatósága A használhatóságnak három defnícója van:. Pllanatny (pontszerű) használhatóság: a( annak valószínűsége, hogy a rendszer (vagy rendszerelem) a t dőpontban működőképes.. Határértékes pllanatny használhatóság: a defnícója a lma(. t 3. Átlagos használhatóság: a defnícója egy meghatározott dőszakaszra a a( dt. Meghatározhatjuk a határértékes átlagos használhatóságot s: a l lm a( dt. Ennek a defnícónak azonban korlátozottak az alkalmazás lehetősége. Most pedg vegyük szemügyre közelebbről a használhatóság három defnícóját. Pllanatny használhatóság. A pllanatny használhatóság leggyakrabban használt modellje az exponencáls eloszlás a( exp t λ( θ) dθ, ahol a( annak valószínűsége, hogy a rendszerelem működőképes állapotban lesz a t dőpontban feltéve, hogy a t dőpontban működőképes. Ezt megfordítva a q( használhatatlanságot így határozhatjuk meg: q( -a(. Fontos, hogy megértsük a rendszerek (és rendszerelemek) alább meghatározott általános típusat. 3.6

7 PHARE HU3/IB/E3-L. em javítható rendszerek. Idetartozk a fent bemutatott modell, amelyben λ(θ) a pllanatny meghbásodás rátát jelöl.. Időtől független rendszerek. A meghbásodás valószínűsége és a javítás dő (ha van) független az dőtől. 3. Javítható rendszerek, amelyek esetében azonnal felsmerk a meghbásodást (észlelt meghbásodások). 4. Javítható rendszerek, amelyek esetében a meghbásodást vzsgálattal állapítják meg (rendszeres dőközönként vzsgált rendszerként s smer. Az. típusú rendszereknél a( exp t λ( θ) dθ jelöl a rendszer használhatóságát.. típusú rendszereknél a használhatóság és a használhatatlanság értékét a következő egyenletekből kaphatjuk meg: a + u és u d q + d, u d ahol u üzemképesség dő és d üzemképtelenség dő. Ez egyértelműen deáls eset, am rtkán fordul elő a gyakorlatban. A 3. típusú rendszereknél, mvel a rendszerek javíthatóak, a használhatóság számításába belevesszük a javítás rátát s. Ezekben az esetekben a( értékét az alább közönséges dfferencálegyenletrendszerből kaphatjuk meg: da( λ( a( + μ( q(, dt dq( λ( q( + μ( a(, dt ahol λ( a meghbásodás ráta és µ( a javítás ráta. A fent dfferencálegyenlet-rendszer megoldása a következő eredményt adja: μ λ a ( + exp[ ( λ + μ) t]. λ + μ λ + μ Vegyük észre, hogy µ/ R, ahol R a javítás dők átlaga, amelyet gyakran átlagos javítás dőnek (MR) s neveznek. A 4. típusú rendszerek esetében megkaphatjuk az a( értékét feltéve, hogy az η vzsgálat ntervallum, a vzsgálat θ dőtartama és a javítás R dőtartama rögzített. Ennek az esetnek a modellezése meglehetősen bonyolult, és nem fogjuk tt tárgyaln. Az egyszerűség kedvéért a pllanatny használhatóság függvényét ábrázolhatjuk közelítőleges formában s. Ez jelentősen leegyszerűsít a használhatóság számításokat. Egy rendszeres dőközönként ellenőrzött rendszerelem esetében például, ha a javítás és ellenőrzés szakaszok az üzemdőhöz képest nagyon rövdek, és feltételezzük, hogy az ellenőrzés és a vzsgálat tökéletes, a rendszer használhatatlanságának kszámítása során fgyelmen kívül hagyhatjuk e szakaszok dőtartamát. Ezt a használhatatlanság egyenlet aylor-féle kterjesztése segítségével tudjuk bemutatn. 3.7

8 PHARE HU3/IB/E3-L Ebben az esetben a használhatóság és a használhatatlanság függvények értéke a következőképpen alakul mnden ellenőrzés ntervallumban: a( - λt, és q( λt. Az egyenlet felhasználásával készített, a használhatatlanságot az dő függvényeként ábrázoló grafkon alakja az alább ábrán láthatóhoz lesz hasonló. ylvánvaló, hogy amennyben az ellenőrzés és a javítás dőtartamok hosszúak, a hatásukat fgyelembe kell venn. Közelítő pllanatny használhatatlanság t Ábra. Közelítő pllanatny használhatatlanság rendszeresen ellenőrzött elemek esetében Határértékes pllanatny használhatóság. Könnyen belátható, hogy némely pllanatny használhatóság egyenletnek van határértéke. Például: μ λ μ a lm a( lm + exp[ ( λ + μ) t]. t t λ + μ λ + μ λ + μ Ezzel ekvvalens: MBF a. MBF + MR Ezt az egyenletet néha a konstans meghbásodás rátájú javítható rendszer aszmptotkus használhatóságának s nevezk. Átlagos használhatóság. A defnícó alapján az átlagos használhatóság egy dő alatt használhatóság állandó mértéke. A nem vzsgált elemeknél bármlyen érték lehet (deáls esetben ez az előírt üzemdő). Vzsgált elemeknél a általában a vzsgálat (vagy ellenőrzés) ntervallum vagy a m működés dőtartam. Ezért a nem javítható elemeknél, ha a vzsgálat ntervallum, akkor használhatjuk a pllanatny használhatóság közelítő kfejezését konstans λ értékkel. Ha feltételezzük, hogy a λt (am csak akkor gaz, ha λt <,), akkor a ( λ dt λ. Ennek megfelelően bármlyen rendszertípushoz elő lehet állítan lyen átlagolt használhatóság értékeket. A következő táblázat különböző típusú elemek átlagos használhatatlanságát mutatja. 3.8

9 PHARE HU3/IB/E3-L Elem típusa Átlagos használhatatlanság Átlagos használhatóság Időfüggetlen, konstans q a em javítható λ m λ m Javítható, észlelt meghbásodás λτ λτ Javítható, rendszeres dőközönként ellenőrzött + λτ + λτ R t R λ + fr + λ + f λ konstans meghbásodás ráta (/óra) m előírt üzemdő (óra) τ átlagos üzemképtelenség dő v. MR (óra) ellenőrzés ntervallum (óra) R átlagos javítás dő (óra) t átlagos ellenőrzés dőtartam (óra) f r a javítások ellenőrzés ntervallumonként gyakorsága üzemdő (üzemképesség) R t. A használhatóság számítások néhány gyakorlat esete r + Jelölje j a j-edk üzemperódus (véletlen) hosszúságát, amelynek átlaga az -edk komponensnél és D j a j-edk csere (véletlen) dőgényét, amelynek átlaga az -edk elem esetében Dˆ, ahol j,, ;,,, n, és n a vzsgált rendszer elemenek száma. A következő ábra az üzemelés és cseredőszakok váltakozását mutatja be. t ˆ, D D 3 Idő, t Ábra. Az -edk rendszerelem meghbásodásanak és javításanak váltakozása. A rendszerek használhatóságának vzsgálatánál a modell a következőket feltételez: Egy meghbásodott rendszerelem cseréje alatt mnden más elem működése felfüggesztésre kerül. A meghbásodott elem cseréje után a több elem folytatja működését. Ebben a pllanatban már nem olyan jók, mnt új korukban, hanem csak annyra jók, amennyre akkor voltak, amkor a rendszer működése leállt. 3.9

10 PHARE HU3/IB/E3-L 3. A t növekedésével a használhatóság függvény elér a következő staconárus értéket (határértékes pllanatny használhatóság): a ˆ ˆ + + n n μ λ D, ahol j j D D ˆ, j j ˆ, az -edk komponens meghbásodásanak száma a [,] dőntervallum alatt, λ és µ az -edk komponens átlagos meghbásodás rátája, lletőleg javítás rátája. udjuk, hogy egy rendszer átlagos használhatósága a [,] ntervallumban megfelel azon dőhányad várható értékének, amelyben a rendszer a [,] alatt ténylegesen működk, vagys a u Hogyan számoljunk, ha vzsgált rendszerelemünk van? a a u u, ahol u az -edk elem teljes működés deje a [,] ntervallumban. Ez az egyenlet általában csak akkor érvényes, ha az összes elemet ugyanazon dőpontban hozzák működésbe, és azok jelenleg s működnek. A valóságban a különböző kezdő dátumok gyakran eltérnek és néhány rendszerelemet teljesen k lehet vonn a működésből. Ezért az utolsó egyenletet így írhatjuk át: u a, ahol az -edk rendszerelem által üzemben töltött teljes naptár dő.

11 PHARE HU3/IB/E3-L A rendszerelemek élettartama alatt bekövetkezett események összessége ennél gyakran bonyolultabbnak tűnk, mnt ahogy az alább s látható: t s t s t 3 s t f t múlt t 4 s t f t 5 s t 4 f t jelen dő Ábra. Hasonló rendszerelemek csoportjának lehetséges élettartam-eseménye f az -edk szélturbna működésének kezdés deje, t az -edk működés megszakadása, t múlt az dőadatok gyűjtésének kezdete, t jelen jelen dő t S Ilyen esetben a használhatóságnak és a megbízhatóságnak csak az alsó és a felső határértéke becsülhető meg. A megbízhatóság sztochasztkus modellezése ehéz feladat azon rendszerek működésének vzsgálata, amelyek különböző vzsgálat, javítás és kcserélés szabályzatok hatálya alá tartoznak. A rendszer (egy adott berendezés-konfgurácó) bármelyk pllanatban egy sor lehetséges állapot valamelykében lehet. Egy állapot gyakran defnálható a kelégítően működő berendezések felsorolásával. A megkülönböztetett állapotok száma általában a rendszert alkotó berendezések számától és funkcójától függ. Az alább vázolt megbízhatóság modellekben a lehetséges állapotok számát végesnek tekntjük. Feltételezzük, hogy a rendszerelhasználódás jellege megfelel a markov megközelítésnek; vagys a rendszer jövőbel működését csak annak jelenleg állapota határozza meg, s ez nem függ múltbel állapotatól. Legalább két jó okunk van arra, hogy a Markov-modellt ajánljuk az elhasználódás leírásához. Először s, ha mnden rendszerelem meghbásodása megközelítőleg exponencáls jelleget mutat, akkor az egész rendszer közelítő leírását megadhatjuk a Markov-folyamattal. Másodszor, sok fzka rendszer első rendű közelítő leírása olyan, amelyben az lyen rendszerek történetének smerete a jövő szempontjából nem hordoz értékelhető nformácót. A Markov-folyamat ennek a folyamattípusnak a sztochasztkus megfelelője. Példa. Egy adott, radarral működő jelzőrendszer kulcseleme két azonos, párhuzamosan összekötött számítógépen alapul; vagys mndkettő működk, bár csak egy van ténylegesen hasznos üzemben. A sürgős javításokat a számítógép meghbásodása esetén hajtják végre. Egy adott számítógép megelőző karbantartását t óra után ütemezzük be, ha az egyk számítógép aktív üzemben van, és a másk működésre készen áll. Ha az első számítógép meghbásodk (vagy a megelőző karbantartást végzk rajta), és a másodk az első megjavítása (a megelőző karbantartás befejezése) előtt meghbásodk, a következmény katasztrofáls lehet a rendszer jellege matt. Az egyszerűség kedvéért a rendszer lehetséges állapotat a következők szernt jelöljük. Legyen az egyk számítógép az A, a másk pedg a B. 3.

12 PHARE HU3/IB/E3-L A s (B s ) azt jelöl, hogy az A(B) számítógép készenlét állapotban működk; A a (B a ) azt jelöl, hogy az A(B) számítógép aktív állapotban van; A r (B r ) azt jelöl, hogy az A(B) számítógépen sürgős javítást végeznek; A p (B p ) azt jelöl, hogy az A(B) számítógépen megelőző karbantartást végeznek. A s B a - A a B p -3 A r B p -4 A a B r -7 A r B r -6 A r B a -5 A p B r -8 A p B a - A a B s - Ábra. Két egységből álló rendszer állapottere A fent ábrán a rendszer állapottér-dagramja látható. A rendszernek összesen klenc lehetséges állapota van; ezeket és 8 között számokkal jelöltünk. A rendszer. állapota például azt jelent, hogy az A számítógép aktív használatban van, a B számítógép pedg készenlét állapotban működk. Ha a. állapotba kerülés pllanatától mért t dőntervallumon belül nem történk semmlyen meghbásodás, az A számítógépen elkezdk a megelőző karbantartást, és ezzel a rendszer az. állapotba kerül. Ha nem történk meghbásodás, akkor a rendszer a téglalap külső éle mentén jelölt állapotokat vesz fel egymás után. Ha az aktív számítógép még a másk számítógép megelőző karbantartásának befejeződése előtt meghbásodk, a rendszer természetesen leáll. A rendszer működése szempontjából pontosan három kedvezőtlen állapot létezk, mégpedg a 4., 6. és 8. állapot. Bzonyos, a meghbásodásg hátralévő működés dővel, a javítás elvégzésének dejével stb. kapcsolatos ésszerű feltételezés matt a rendszer működését egy ún. fél-markov-folyamattal lehet leírn. A rendszer felhasználóját érdekelhet a rendszer átlagos működésképtelenség deje egy adott dőntervallumban; annak valószínűsége, hogy a rendszer bármkor egyszerre több mnt x percg üzemen kívül van; vagy esetleg egy megfelelő karbantartás ütemterv. Ahhoz, hogy lyen nformácót kaphassunk, Markov-láncokat és fél-markov-folyamatokat használunk. Markov-láncok Egy dszkrét paraméterű {X(; t,, } sztochasztkus folyamatot vagy egy folytonos paraméterű {X(; t } folyamatot Markov-folyamatnak nevezünk, ha bármely t < t < < t n n-elemű dőponthalmazra és bármely valós x, x,, x n számra P[X(t n ) x n X(t )x,, X(t n- )x n- ] P[X(t n ) x n X(t n- )x n- ]. 3.

13 PHARE HU3/IB/E3-L Belátható, hogy ez azt jelent: ha smerjük a folyamat jelenleg állapotát, akkor a folyamat jövőbel állapota a múlttól függetlenek. Egy dszkrét dejű Markov-láncot dszkrét értékű valószínűség változók sorozatával { X ( t )} n n írhatunk le. A folyamat állapotat nemnegatív,,,, m egész számokkal jelöljük. Így valamely -ből j-be történő átmenet az -nek nevezett állapotból a j-nek nevezettbe való változást jelent. A Markov-láncot azzal határozzuk meg, hogy az állapotváltozók egylépéses átmenet valószínűséget megadjuk; vagys meg kell adnunk az átmenet feltételes valószínűségét (amelyet átmenet-valószínűségnek nevezünk) az n dőponthoz mnden, j,,,, m párra, az állapotból a j állapotba való átmenethez. Ezt a valószínűséget így jelöljük: p n [ X( n + ) j X( n) ] n, + P j. Ha az átmenet-valószínűség függvények csak az dőkülönbségtől függnek, vagys p p p, n, n, j j j akkor azt mondjuk, hogy a Markov-eljárás dőben állandósult. Elő kell írn a folyamat kezdőállapotát s. A p j számokat szokás mátrx formában megadn, és ekkor a P (p j ) egyenlőségre mnt a folyamat markov átmenet valószínűség mátrxára utalhatunk. Vlágos, hogy a p j értékek kelégítk a következőket: m j p j,, j,,, m, és p. j Mnden számunkra érdekes mennység például az -ből első alkalommal j állapotba vezető lépések várható száma, a j állapot n lépésben való előfordulásanak várható száma stb. kszámítható a P függvényeből álló mátrxokból. Példa. Az előző példában egy olyan sztochasztkus folyamatot mutattunk be, amelyet egy adott rendszer egymást követő javítása, megelőző nagyjavítása stb. hoztak létre. Összesen 9 állapottal kellett dolgoznunk, és t jelölte a megelőző nagyjavítások között ütemezett dőt. együk fel, hogy a javítás G eloszlása exponencáls, vagys t < t. Egy számítógép meghbásodását okozhatják olyan hbák, melyeket a gép működése során s észleln lehet, és olyan hbák s, amelyeket csak a gép kkapcsolása után, alapos vzsgálattal lehet felderíten. Feltételezzük, hogy az első típusú meghbásodáshoz tartozó hbaeloszlás exponencáls, vagys, G ( - exp(-μ,, F ( - exp(-λ, t < t. Az ütemezett megelőző karbantartásnak az a célja, hogy megtalálja azokat a meghbásodásokat, amelyeket a gép működése közben esetleg nem lehetne észleln. A folyamatnak egy beágyazott Markov-lánca van, amelyet az alább megadott valószínűség átmenet mátrxszal jellemezhetünk. Például a p, mvel a folyamat csak meghbásodás vagy megelőző nagyjavítás révén hagyhatja el az első állapotot. ovábbá, a p exp(-λt ) annak valószínűsége, 3.3

14 PHARE HU3/IB/E3-L hogy a folyamat a. állapotból közvetlenül az. állapotba kerül, vagys hogy nncs meghbásodás a [,t ] dőntervallumon belül. A 4. (8.) állapotból a rendszernek közvetlenül az 5. (7.) állapotba kell kerülne, feltételezve, hogy a megelőző karbantartás alatt lévő számítógépnek legfeljebb d percre van szüksége ahhoz, hogy aktív üzembe álljon (d értéke kcs) λ t e t e λ t e λ λγ e λγ e λ t e 3 λγ t e λ t e λ e λγ e 4 5 λ λ + μ λ λ + μ 6 λ λ 7 λ + μ λ + μ 8 Ábra. Átmenet-mátrx átlagos működés dő a meghbásodásg, sürgős javítás átlagos dőtartama, γ megelőző λ θ karbantartás átlagos dőtartama, t ütemezett megelőző karbantartás dőszaka, d az egyk egység megelőző karbantartásához szükséges átkapcsolás dő. Esettanulmány: A meghbásodás ráta modellezése Egy, több szvattyút tartalmazó technológa rendszer kockázatelemzését végezzük. Az egyes szvattyúk meghbásodás valószínűségének becsléséhez egy olyan vzsgálat eredményet vesszük alapul, ahol szvattyút folyamatosan, a meghbásodásg működtettek. A vzsgálat eredményet az alább táblázatban adjuk meg, ahol közöljük az egyes szvattyúk meghbásodáság tartó dőt (évben).áblázat: A szvattyúk meghbásodáság eltelt dő 3.4

15 PHARE HU3/IB/E3-L Működés dő a Szvattyú meghbásodásg,4 3,65 3,5 4, 5,79 6,6 7,74 8,43 9,53,3 A mnta adataból kszámíthatjuk a megfgyelt meghbásodás dők átlagértékét. Ez,6 évre jön k, és ezért a meghbásodások éves száma (a meghbásodás ráta) a,95 recprok érték. Ha például feltételezzük, hogy csak az első év alatt meghbásodott szvattyúk számát használjuk (vagy csak az áll rendelkezésünkre), akkor az ahhoz tartozó meghbásodás ráta,46 lesz. Az lleszkedésvzsgálat használata alátámasztja az exponencáls eloszlású meghbásodás dők hpotézsét, vagys a valószínűség sűrűségfüggvény a következő lesz: f (.95exp(.95t ) együk fel, hogy a megbízhatóság elemzést egy másk típusú szvattyúra vzsgáljuk, melyhez csak kevés specfkus meghbásodás adatunk van. Csak három meghbásodást észleltünk (ld. az alább táblázato. Ezért úgy döntöttünk, hogy az általunk vzsgált szvattyúhoz előzetes nformácóként egy másk típusú szvattyúra vonatkozó valószínűség sűrűségfüggvényt használunk (mert az rendelkezésre áll). áblázat: Az új szvattyúk meghbásodáság eltelt dő Működés dő a Szvattyú meghbásodásg 3, 3,5 3 3,3 A probléma megoldásához a Bayes-féle megközelítést alkalmazzuk. Ebben a megközelítésben a valószínűség-eloszlás λ paraméterét ( f ( λ exp( λ ) nem pontos értéknek vesszük, hanem valószínűség változónak tekntjük, melyhez egy h(λ) valószínűség eloszlás tartozk; ez utóbbt a λ paraméter előzetes valószínűség eloszlásának hívjuk. Ezekből le lehet vezetn a λ paraméter utólagos valószínűség eloszlását a Bayes-tétel egyk alakjának felhasználásával: L( λ x) h( λ) h( λ x), L( λ x) h( λ) dλ Λ ahol x ˆ ( x, x, x3 ) (3.,3.5,3.3 ), és ( λ x) L az a valószínűség függvény, amelyet a meghbásodásg tartó működés dőkre elfogadott valószínűség sűrűségfüggvényre a következőképpen lehet kszámítan: 3 L ( xˆ λ) λexp( λx ). 3.5

16 PHARE HU3/IB/E3-L Ha feltételezzük, hogy a λ paraméterre az előzetes valószínűség eloszlás normáls eloszlást követ, amelynek paraméteret (vagys az átlagos működés dőt a meghbásodásg és a normál szórás a szvattyú-meghbásodás alapján becsültük meg, akkor k tudjuk számítan a λ paraméter utólagos valószínűség eloszlását. Ezt mutatja a következő ábra:.5,5.5,5 Posteror Utólagos Lkelhood Valószínűség.5,5 Pror Előzetes.5,5.5,5.5,5 A meghbásodás ráta előzetes valószínűség sűrűsége, a tovább mnta valószínűsége és a meghbásodás ráta utólagos valószínűség sűrűsége. Bayes szabálya különböző forrásokból származó nformácók kombnálásának módját adja meg, így a szubjektív nformácó és a kísérlet eredmények kombnálását tesz lehetővé a mennység kockázatelemzésekben. Az ábrából látszk, hogy míg a bzonytalan meghbásodás rátára vonatkozó előzetes valószínűségsűrűség szmmetrkus (és mellesleg a negatív tartományban s értelmezhető!), addg az utólagos valószínűség sűrűségfüggvényt erősen befolyásolja a valószínűség függvény, és csak a meghbásodás ráta poztív értéket enged meg. A meghbásodás valószínűségének becslése Előzetesen feltételezve, hogy a meghbásodásokg tartó működés dő exponencáls eloszlású, annak valószínűsége, hogy valamely szvattyú dőtartam alatt meghbásodk λ állandó meghbásodás ráta mellett: F( λ) exp( λ ). Mvel azonban a meghbásodás ráta bzonytalan, a meghbásodás ráta valószínűségüknek megfelelően súlyozott lehetséges értéken túl a meghbásodás valószínűségét s be kell venn a számításba, vagys F ( ) exp( λ ) h( λ x) dλ, megadva ezzel a meghbásodás teljes, feltétel nélkül valószínűségét. Ebben a példában a meghbásodás valószínűségére,38 adódk, ha a meghbásodás rátához az utólagos valószínűség sűrűségfüggvényt vesszük alapul. Ez összevethető a meghbásodás valószínűség,6-os értékével, amelyet az előzetes valószínűség sűrűségfüggvény felhasználásával kaptunk. 3.6

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Élettan Anatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos döntéseket hoz! Mkor jó egy döntés? Mennyre helyes egy döntés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1, Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata

Minősítéses mérőrendszerek képességvizsgálata Mnősítéses mérőrendszerek képességvzsgálata Vágó Emese, Dr. Kemény Sándor Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Kéma és Környezet Folyamatmérnök Tanszék Az előadás vázlata 1. Mnősítéses mérőrendszerek

Részletesebben

Modulzáró ellenőrző kérdések és feladatok (2)

Modulzáró ellenőrző kérdések és feladatok (2) Modulzáró ellenőrző kérdések és feladatok (2) 1. Definiálja az alábbi, technikai eszközök üzemi megbízhatóságával kapcsolatos fogalmakat (1): Megbízhatóság. Használhatóság. Hibamentesség. Fenntarthatóság.

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése. Kevert stratégiák és evolúciós játékok Műszak folyamatok közgazdaság elemzése Kevert stratégák és evolúcós átékok Fogalmak: Példa: 1 szta stratéga Vegyes stratéga Ha m tszta stratéga létezk és a 1 m annak valószínűsége hogy az - edk átékos

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek!

20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! SPEC 2009-2010. II. félév Statsztka II HÁZI dolgozat Név:... Neptun kód: 20 PONT Aláírás:... A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékőek! 1. példa Egy üzemben tejport csomagolnak zacskókba,

Részletesebben

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet:

Regresszió. Fő cél: jóslás Történhet: Fő cél: jóslás Történhet: Regresszó 1 változó több változó segítségével Lépések: Létezk-e valamlyen kapcsolat a 2 változó között? Kapcsolat természetének leírása (mat. egy.) A regresszós egyenlet alapján

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus)

(eseményalgebra) (halmazalgebra) (kijelentéskalkulus) Valószínűségszámítás Valószínűség (probablty) 0 és 1 között valós szám, amely egy esemény bekövetkezésének esélyét fejez k: 0 - (sznte) lehetetlen, 0.5 - azonos eséllyel gen vagy nem, 1 - (sznte) bztos

Részletesebben

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom

Lineáris regresszió. Statisztika I., 4. alkalom Lneárs regresszó Statsztka I., 4. alkalom Lneárs regresszó Ha két folytonos változó lneárs kapcsolatban van egymással, akkor az egyk segítségével elıre jelezhetjük a másk értékét. Szükségünk van a függı

Részletesebben

TERMÉKEK MŐSZAKI TERVEZÉSE Megbízhatóságra, élettartamra tervezés I.

TERMÉKEK MŐSZAKI TERVEZÉSE Megbízhatóságra, élettartamra tervezés I. TERMÉKEK MŐSZAKI TERVEZÉSE Megbízhatóságra, élettartamra tervezés I. Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár Megbízhatóság-elméleti alapok A megbízhatóságelmélet az a komplex tudományág, amely a meghibásodási

Részletesebben

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell

I. A közlekedési hálózatok jellemzői II. A közlekedési szükségletek jellemzői III. Analitikus forgalom-előrebecslési modell Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Közlekedésmérnök és Járműmérnök Kar Közlekedésüzem Tanszék HÁLÓZATTERVEZÉSI MESTERISKOLA BEVEZETÉS A KÖZLEKEDÉS MODELLEZÉSI FOLYAMATÁBA Dr. Csszár Csaba egyetem

Részletesebben

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek

Biostatisztika e-book Dr. Dinya Elek TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme

4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva. Kezelési útmutató. UltraGas kondenzációs gázkazán. Az energia megőrzése környezetünk védelme HU 4 205 044-2012/11 Változtatások joga fenntartva Kezelés útmutató UltraGas kondenzácós gázkazán Az energa megőrzése környezetünk védelme Tartalomjegyzék UltraGas 15-1000 4 205 044 1. Kezelés útmutató

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap

MATEMATIKAI STATISZTIKA KISFELADAT. Feladatlap Közlekedésmérnök Kar Jármőtervezés és vzsgálat alapja I. Feladatlap NÉV:..tk.:. Feladat sorsz.:.. Feladat: Egy jármő futómő alkatrész terhelésvzsgálatakor felvett, az alkatrészre ható terhelı erı csúcsértékek

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát

Részletesebben

BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK

BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK BUDAPESTI MŰ SZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK MÉRNÖKI MATAMATIKA Segédlet a Bessel-függvények témaköréhez a Közlekedésmérnök

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval

Szárítás során kialakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Szárítás során kalakuló hővezetés számítása Excel VBA makróval Rajkó Róbert 1 Eszes Ferenc 2 Szabó Gábor 1 1 Szeged Tudományegyetem, Szeged Élelmszerpar Főskola Kar Élelmszerpar Műveletek és Környezettechnka

Részletesebben

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege

A multikritériumos elemzés célja, alkalmazási területe, adat-transzformációs eljárások, az osztályozási eljárások lényege A multkrtérumos elemzés célja, alkalmazás területe, adat-transzformácós eljárások, az osztályozás eljárások lényege Cél: tervváltozatok, objektumok értékelése (helyzetértékelés), döntéshozatal segítése

Részletesebben

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 14 A Black-choles-Merton modell Copyright John C. Hull 01 1 Részvényárak viselkedése (feltevés!) Részvényár: μ: elvárt hozam : volatilitás Egy rövid Δt idő alatt a hozam normális eloszlású véletlen változó:

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

Véletlen gráfok szerkesztésekor n csomópontból indulunk ki. p valószínűséggel két csomópontot éllel kötünk össze.

Véletlen gráfok szerkesztésekor n csomópontból indulunk ki. p valószínűséggel két csomópontot éllel kötünk össze. 9. előadás P(k) k Véletlen gráfok szerkesztésekor n csomópontból ndulunk k. p valószínűséggel két csomópontot éllel kötünk össze. A fokszámok Posson eloszlásúak P( k) = e pn ( pn) k! k http://www.ct.nfn.t/cactus/applets/gant%20component.html

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László

Elosztott rendszerek játékelméleti elemzése: tervezés és öszönzés. Toka László adat Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eurecom Telecom Pars Elosztott rendszerek játékelmélet elemzése: tervezés és öszönzés Toka László Tézsfüzet Témavezetők:

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzseny Dánel Főskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA műszak menedzser alapszak Írta: Dr. Köves János Tóth Zsuzsanna Eszter Budapest 006 Tartalomjegyzék. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK... 4.. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

Részletesebben

+ - kondenzátor. Elektromos áram

+ - kondenzátor. Elektromos áram Tóth : Eektromos áram/1 1 Eektromos áram tapasztaat szernt az eektromos tötések az anyagokban ksebb vagy nagyobb mértékben hosszú távú mozgásra képesek tötések egyrányú, hosszútávú mozgását eektromos áramnak

Részletesebben

Elektromos zajok. Átlagérték Időben változó jel átlagértéke alatt a jel idő szerinti integráljának és a közben eltelt időnek a hányadosát értik:

Elektromos zajok. Átlagérték Időben változó jel átlagértéke alatt a jel idő szerinti integráljának és a közben eltelt időnek a hányadosát értik: Elektromos zajok Átlagérték, négyzetes átlag, effektív érték Átlagérték dőben változó jel átlagértéke alatt a jel dő szernt ntegráljának és a közben eltelt dőnek a hányadosát értk: τ τ dt Négyzetes átlag

Részletesebben

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602)

Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) Dr. Jelasty Márk Mesterséges ntellgenca. (602, B602) kurzus nyolcadk előadásának jegyzete (2008. október 20-a) Készítette: Bóna Bence BOBNAAT.SZE NF-MAT V. Bayes-áló Ebben a részben egy szsztematkus módszert

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

Konfidencia-intervallumok

Konfidencia-intervallumok Konfdenca-ntervallumok 1./ Egy 100 elemű mntából 9%-os bztonság nten kéített konfdenca ntervallum: 177,;179,18. Határozza meg a mnta átlagát és órását, feltételezve, hogy az egé sokaság normáls elolású

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Adatelemzés és adatbányászat MSc

Adatelemzés és adatbányászat MSc Adatelemzés és adatbányászat MSc. téma Adatelemzés, statsztka elemek áttekntése Adatelemzés módszertana probléma felvetés módszer, adatok meghatározása nyers adatok adatforrás meghatározása adat tsztítás

Részletesebben

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i

Példa: Egy üzletlánc boltjainak forgalmára vonatkozó adatok 1999. október hó: (adott a vastagon szedett!) S i g i z i g i z i . konzult. LEV. 013. ápr. 5. MENNYISÉGI ISMÉRV szernt ELEMZÉS Tk. 3-8., 88-90. oldal, kmarad: 70., 74. oldal A mennység smérv (X) lehet: dszkrét és folytonos. A rangsor a mennység smérv értékenek monoton

Részletesebben

Eseményvezérelt szimuláció

Eseményvezérelt szimuláció Hálózat szmulácós technkák (BMEVITTD094/2005) október 3. Vdács Attla Dang Dnh Trang Távközlés és Médanformatka Tanszék Budapest Mszak és Gazdaságtudomány Egyetem Eseményvezérelt szmulácó DES Dscrete-Event

Részletesebben

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II.

NKFP6-BKOMSZ05. Célzott mérőhálózat létrehozása a globális klímaváltozás magyarországi hatásainak nagypontosságú nyomon követésére. II. NKFP6-BKOMSZ05 Célzott mérőhálózat létrehozása a globáls klímaváltozás magyarország hatásanak nagypontosságú nyomon követésére II. Munkaszakasz 2007.01.01. - 2008.01.02. Konzorcumvezető: Országos Meteorológa

Részletesebben

Tiszta és kevert stratégiák

Tiszta és kevert stratégiák sza és kever sraégák sza sraéga: Az -edk áékos az sraégá és ez alkalmazza. S sraégahalmazból egyérelműen válasz k egy eknsük a kövekező áéko. Ké vállala I és II azonos erméke állí elő. Azon gondolkodnak,

Részletesebben

Bevezetés a kémiai termodinamikába

Bevezetés a kémiai termodinamikába A Sprnger kadónál megjelenő könyv nem végleges magyar változata (Csak oktatás célú magánhasználatra!) Bevezetés a kéma termodnamkába írta: Kesze Ernő Eötvös Loránd udományegyetem Budapest, 007 Ez az oldal

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

Diszkrét idejű felújítási paradoxon

Diszkrét idejű felújítási paradoxon Magda Gábor Szaller Dávid Tóvári Endre 2009. 11. 18. X 1, X 2,... független és X-szel azonos eloszlású, pozitív egész értékeket felvevő valószínűségi változó (felújítási idők) P(X M) = 1 valamilyen M N

Részletesebben

2 Wigner Fizikai Kutatóintézet augusztus / 17

2 Wigner Fizikai Kutatóintézet augusztus / 17 Táguló sqgp tűzgömb többkomponensű kéma kfagyása Kasza Gábor 1 és Csörgő Tamás 2,3 1 Eötvös Loránd Tudományegyetem 2 Wgner Fzka Kutatóntézet 3 Károly Róbert Főskola 2015. augusztus 17. Gyöngyös - KRF 1

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Extrém-érték elemzés. Extrém-érték eloszlások. A normálhatóság feltétele. Megjegyzések. Extrém-érték modellezés

Extrém-érték elemzés. Extrém-érték eloszlások. A normálhatóság feltétele. Megjegyzések. Extrém-érték modellezés Extrém-érték modellezés Zemplén András Alkalmazott modul 03. február. Extrém-érték elemzés Klasszkus módszerek: év maxmumon alapulnak Küszöb felett értékek elemzése: adott szntet meghaladó mnden árvízbıl

Részletesebben

Statisztika feladatok

Statisztika feladatok Statsztka ok Informatka Tudományok Doktor Iskola Bzonyítandó, hogy: azaz 1 Tekntsük az alább statsztkákat: Igazoljuk, hogy torzítatlan statsztkák! Melyk a leghatásosabb közöttük? (Ez az együttes eloszlásfüggvényük.)

Részletesebben

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök

III. Áramkör számítási módszerek, egyenáramú körök . Árakör száítás ódszerek, egyenáraú körök A vllaos ára a vllaos töltések rendezett áralása (ozgása) a fellépő erők hatására. Az áralás ránya a poztív töltéshordozók áralásának ránya, aelyek a nagyobb

Részletesebben

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás Kísérlettervezés - biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás A matematikai-statisztika feladata tapasztalati adatok feldolgozásával segítséget nyújtani

Részletesebben

VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN

VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN VIII. ELEKTROMOS ÁRAM FOLYADÉKOKBAN ÉS GÁZOKBAN Bevezetés: Folyadékok - elsősorban savak, sók, bázsok vzes oldata - áramvezetésének gen fontos gyakorlat alkalmazása vannak. Leggyakrabban az elektronkus

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

1. Holtids folyamatok szabályozása

1. Holtids folyamatok szabályozása . oltds folyamatok szabályozása Az rányított folyamatok jelentés részét képezk a lassú folyamatok. Ilyenek például az par környezetben található nagy méret kemencék, desztllácós oszlopok, amelyekben valamlyen

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 6.

Matematikai geodéziai számítások 6. Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

IMPRESSA C5 Használati útmutató

IMPRESSA C5 Használati útmutató IMPRESSA C5 Használat útmutató Kávé Prof Kft. 1112 Budapest, Budaörs út 153. Tel.: 06-1-248-0095 kaveprof@freemal.hu A TÜV SÜD független német mnôségvzsgáló ntézet Az IMPRESSA kézkönyvének és a hozzá tartozó

Részletesebben

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel

Hitelderivatívák árazása sztochasztikus volatilitás modellekkel Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudomány Kar Budapest Corvnus Egyetem Közgazdaságtudomány Kar Hteldervatívák árazása sztochasztkus volatltás modellekkel Bztosítás és pénzügy matematka MSc Kvanttatív

Részletesebben

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék

1.Tartalomjegyzék 1. 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék 1 1.Tartalomjegyzék 1.Tartalomjegyzék...1.Beezetés... 3.A matematka modell kálasztása...5 4.A ékony lap modell...7 5.Egy más módszer a matematka modell kálasztására...10 6.A felületet

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL 01/2008:20236 javított 8.3 2.2.36. AZ IONKONCENRÁCIÓ POENCIOMERIÁ MEGHAÁROZÁA IONZELEKÍ ELEKRÓDOK ALKALMAZÁÁAL Az onszeletív eletród potencálja (E) és a megfelelő on atvtásána (a ) logartmusa özött deáls

Részletesebben

5. Forráskódolás és hibavédő kódolás

5. Forráskódolás és hibavédő kódolás 5 Forráskódolás és hbavédő kódolás 51 Példa: forráskódolás Egy (szmbólumonként kódolt) forrás legtömörebb bnárs kódjában a kódszavak hossza rendre 2,3,3,3,3,4,4,4,5,5 a) Lehet-e ez a kód egyértelműen megfejthető

Részletesebben

Tökéletes verseny. Tökéletes verseny árképzése. Monopólium. Korábban tanult piacszerkezeti fogalmak áttekintése. ( q) Modern piacelmélet

Tökéletes verseny. Tökéletes verseny árképzése. Monopólium. Korábban tanult piacszerkezeti fogalmak áttekintése. ( q) Modern piacelmélet Modern pacelmélet Modern pacelmélet acszerkezet fogalmak ELTE TáTK Közgazdaságtudomány Tanszék Sele Adrenn ELTE TáTK Közgazdaságtudomány Tanszék Készítette: Hd János A tananyag a Gazdaság Versenyhvatal

Részletesebben

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet

GVMST22GNC Statisztika II. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet GVMST22GNC Statisztika II. 3. előadás: 8. Hipotézisvizsgálat Kóczy Á. László Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Hipotézisvizsgálat v becslés Becslés Ismeretlen paraméter Közeĺıtő

Részletesebben

Empirikus nehézségek. Termelési és költségfüggvények - elmélet. Termelési és költségfüggvények elmélet, folyt. Becslés három megközelítés

Empirikus nehézségek. Termelési és költségfüggvények - elmélet. Termelési és költségfüggvények elmélet, folyt. Becslés három megközelítés Panel elemzés alkalmazása termelés függvények becslése Mkroökonometra, 5. hét Bíró Ankó A tananyag a Gazdaság Versenyhvatal Versenykultúra özpontja és a udás-ökonóma Alapítvány támogatásával készült az

Részletesebben

A Statisztika alapjai

A Statisztika alapjai A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati

Részletesebben

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet Hálózat gazdaságtan jegyzet Kss Károly Mlós, adcs Judt, Nagy Dávd Krsztán Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszé 0. EVEZETÉS... 3 I. HÁLÓZTOS JVK KERESLETOLDLI JELLEMZŐI HÁLÓZTI EXTERNÁLIÁK ÉS KÖVETKEZMÉNYEIK...

Részletesebben

MŰSZAKI-, GAZDASÁGI FOLYAMATOK ELEMZÉSE KERESKEDELMI ÉRTÉKESÍTÉS ELEMZÉSE

MŰSZAKI-, GAZDASÁGI FOLYAMATOK ELEMZÉSE KERESKEDELMI ÉRTÉKESÍTÉS ELEMZÉSE MŰSZAKI-, GAZDASÁGI FOLYAMAOK ELEMZÉSE KERESKEDELMI ÉRÉKESÍÉS ELEMZÉSE A fentek mellett, amelyek már hagyományosnak számítanak, működnek az újabb értékesítés hálózatok: - csomagküldő - multlevel marketng

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, II. félév Losonczi László (DE) A Markowitz modell 2011/12 tanév,

Részletesebben

Közúti közlekedésüzemvitel-ellátó. Tájékoztató

Közúti közlekedésüzemvitel-ellátó. Tájékoztató 12/2013. (III. 29.) NFM rendelet szakma és vzsgakövetelménye alapján. Szakképesítés, azonosító száma és megnevezése 54 841 02 Közút közlekedésüzemvtel-ellátó Tájékoztató A vzsgázó az első lapra írja fel

Részletesebben

Ötvözetek mágneses tulajdonságú fázisainak vizsgálata a hiperbolikus modell alkalmazásával

Ötvözetek mágneses tulajdonságú fázisainak vizsgálata a hiperbolikus modell alkalmazásával AGY 4, Kecskemét Ötvözetek mágneses tulajdonságú fázsanak vzsgálata a hperbolkus modell alkalmazásával Dr. Mészáros István egyetem docens Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Anyagtudomány és Technológa

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

egyetemi jegyzet Meskó Balázs

egyetemi jegyzet Meskó Balázs egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.

Részletesebben

Szerven belül egyenetlen dóziseloszlások és az LNT-modell

Szerven belül egyenetlen dóziseloszlások és az LNT-modell Szerven belül egyenetlen dózseloszlások és az LNT-modell Madas Balázs Gergely, Balásházy Imre MTA Energatudomány Kutatóközpont XXXVIII. Sugárvédelm Továbbképző Tanfolyam Hunguest Hotel Béke 2013. áprls

Részletesebben

E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével.

E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható folytonos idejű Markovláncok  segítségével. E.4 Markov-láncok Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével. Egy Markov-láncot (MC) meghatároznak az alapját adó sorbanállási hálózat állapotai és az ezek

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben