Lineárisan független vektorrendszer bármely részrendszere is lineárisan független.

Átírás

1 3. ALTEREK Mnen vetortérben fontos szerepet átszn zo vetoroból álló részhlmzo, melye vetortér mőveletevel mgu s vetorteret lotn. Ebben feezetben z lyen részhlmzot vzsgálu. Mneneelıtt zonbn smereün meg néhány fontos foglomml. Legyen V egy K test felett vetortér. Azt monu, hogy b V vetor z, 2,, n V vetoro lneárs ombnáó, h létezne olyn, 2, n K sláro, hogy b 2 2 n n. H b V vetor z, 2,, n V vetoro lneárs ombnáó, or zt fogu monn, hogy b vetor lneársn függ z, 2,, n vetorotól. H vszont vlmely V vetor semmlyen móon sem állíthtó elı z, 2,, n V vetoro lneárs ombnáóént, or zt monu, hogy vetor lneársn független z, 2,, n vetorotól. H fent értelmezéseben, lletve továbbbn nem ívánu meg z elıforuló vetoro ülönbözıségét, or vetorhlmz helyett vetorrenszer elnevezést hsználu. Az mént bevezetett foglmt egy-egy pélávl llusztrálu. 3.. Pél: H K egy test és K n 2.2. pélábn bevezetett vetortér, or, 2,0,,0 K n vetor z,0,,0 K n és 0,,0,,0 K n vetoro egy lneárs ombnáó, hszen érvényes, 2,0,,0,0,,0 2 0,,0,,0 elıállítás, hol, 2 K. Eor tehát, 2,0,,0 lneársn függ z,0,,0, 0,,0,,0 vetorpártól. Könnyen beláthtó vszont, hogy 0,0,,0,,0 K n vetor lneársn független z,0,,0,0,,0,,0 K n vetorotól Pél: A vlós számo R teste felett -htároztlnú polnomo R[x] vetorterében px x 3 2x 2 4 polnom qx x 3 és z rx x 2 2 polnomo lneárs ombnáó, hszen érvényes px qx2 rx elıállítás, hol,2 R. Így tehát px lneársn függ qx,rx polnompártól. Az sx x 4 polnomról vszont zonnl látsz, hogy lneársn független qx,rx polnomotól. 23

2 A most övetezı lényeges foglomr ét értelmezést s un:. efníó: H V egy K test felett vetortér, or z, 2,, r V vetorrenszert lneársn összefüggıne nevezzü, h vn özöttü leglább egy vetor, mely többtıl lneársn függ. Ellenezı esetben vetorrenszert lneársn függetlenne monu. 2. efníó: H V egy K test felett vetortér, or z, 2,, r V vetorrenszer lneársn összefüggı, h 0 V zérusvetor elıállíthtó z, 2,, r vetoro lneárs ombnáóént úgy, hogy 0 r r elıállításbn szereplı,, r K sláro leglább egye nullától ülönbözı. Ellenezı esetben peg, tehát h 0 V zérusvetor bármely 0 r r lú elıállításábn,, r K sláro mnegye null, lneársn független vetorrenszerrıl beszélün. A most bevezetett foglmt s egy-egy pélávl szemléltetü Pél: A 3.. pélát folyttv, 2,0,,0,,0,0,,0 0,,0,,0 K n lneársn összefüggı, z,0,0,,0, 0,,0,,0, 0,0,,0,,0 K n peg lneársn független vetorrenszert lot K n vetortérben. A 3.2. pélábn említett polnomo özül px, qx, rx lneársn összefüggı, qx, rx, sx peg lneársn független vetorrenszer z R felett polnomo R[x] vetorterében. A vetorrenszere lneárs összefüggésére, lletve függetlenségére ott. efníó lpán önnyen beláthtu, hogy érvényes 3.4. Tulonság: Lneársn összefüggı részrenszert trtlmzó vetorrenszer mg s lneársn összefüggı. Lneársn független vetorrenszer bármely részrenszere s lneársn független Állítás: A vetorrenszere lneárs összefüggéséne, lletve lneárs függetlenségéne. és 2. efníó egyenértéő. 24

3 Állításun gzolásához elegenı belátn, hogy lneárs összefüggésre ott ét efníó ölsönösen övetez egymásból. H z, 2,, r V vetorrenszer z. efníó szernt lneársn összefüggı, or létezne olyn,, -,,, r K sláro, hogy - - r r, mbıl r r ó. Mvel 0, így z,, r vetorrenszer 2. efníó szernt s lneársn összefüggı. Megforítv, h z, 2,, r V vetorrenszer 2. efníó szernt lneársn összefüggı, or r r elıállításbn leglább egy K slár nullától ülönbözı. Eor r r, mbıl r - r ó, tehát z,, r vetorrenszer z. efníó szernt s lneársn összefüggı. A lneárs összefüggés, lletve lneárs függetlenség foglmát s véges számú vetorból álló vetorrenszerre értelmeztü. Lehetséges zonbn e foglmn végtelen so vetorból álló renszerre történı teresztése s. Egy végtelen so vetorból álló renszer lneársn független, h nn bármely véges részrenszere lneársn független, lneársn összefüggı peg or, h vlmely véges részrenszere lneársn összefüggı Pél: A vlós együtthtós polnomo R[x] vetorterében z 0 x, x x, 2 x x 2,, n x x n, vetorrenszer lneársn független. Eléreztün feezet ímében s elzett ltér foglmán értelmezéséhez. A K test felett V vetortér egy U nem üres részhlmzát ltérne nevezzü, h U mg s K test felett egy vetorteret lot V mőveletevel. H U ltere V vetortérne, or ezt z U«V szmbólumml elölü. Nylvánvló, hogy mnen V vetortér ltere önmgán, s e vetortér zérusvetorából álló {0} egyetlen elemő hlmz szntén vetortér 2. feezet 5. feltávl összhngbn, mely egyben ltere s V vetortérne. Mvel mnen vetortérben megtlálhtó e ét ltér, ezért ezeet trváls lterene nevezzü. H V{0}, or ez ét ltér nylván megegyez. 25

4 3.7. Pél: Vegyü sorbn 2. feezetben említett pélát. A geometr sí vetorn G 2 vetortere geometr tér vetor G 3 vetorteréne egy ltere. A K test elemebıl álló renezett elem n-ese K n vetorterében K {,0,,0 K} részhlmz lteret lot. A K test felett -htároztlnú polnomo K[x] vetorterében legfelebb n- e foú polnomo K n [x] részhlmz egy lteret lot. Az [,b] R ntervllumon értelmezett vlós értéő függvénye F vetorterében e függvénye özül folytonos függvénye C[,b] hlmz lteret lot. A omplex számo C vetorterében tszt épzetes számo I {b b R} hlmz lteret lot. Az ltereel psoltbn elıször egy szüséges és elégséges feltételt, más szóvl rtérumot muttun be rr nézve, hogy K test felett V vetortér egy nem üres U részhlmz mor lesz ltér Állítás: A K test felett V vetortér vlmely U részhlmz or és ss or ltér, h zárt z összeásr és slárrl vló szorzásr, zz h,b U, or b U, és 2 h K, U, or U telesül. H U ltere V vetortérne, or értelmezése folytán mg s vetortér V mőveletevel, így szüségéppen zárt z összeásr és slárrl vló szorzásr s. Megforítv, z és 2 feltétel lpán z U részhlmzbn értelmezett egy összeás és egy slárrl vló szorzás, melye vlóábn V megfelelı mőveletene leszőítése. Azt ell megmuttn, hogy U ezeel mőveleteel eleget tesz z A.-A.4,M.-M.4 xómrenszerne. Mvel z egész V vetortérben z összeás ommuttív és sszotív, így z összeásn U- r történı leszőítése s renelez e tulonságol, ezért telesül A. és A.2 s. A 2 feltételbıl 0 esetén 2.. tulonság felhsználásávl 00 U övetez, tehát A.3 s telesül. Szntén 2 feltételbıl - esetén 2.2. tulonság lpán -- U s érvényes mnen U vetorr, gz tehát A.4 s. 26

5 Végül z egész V vetortérben slárrl vló szorzás renelez z M.- M.4 xómábn megfoglmzott tulonságol, így slárrl vló szorzásn z U-r vló leszőítése s renelez e tulonságol. Imént bzonyított állításun lpán önnyen beláthtó, hogy egy ltér ltere z egész vetortérne s ltere. Ezután egy vetortér lterene hlmzát vzsgálu Állítás: A K test felett V vetortér lterene hlmz z «"ltere" reláóvl egy részben renezett hlmzt lot. A trváls ltererıl tett megegyzésünbıl özvetlenül ó, hogy V vetortér mnen U lterére telesül U«U, így «reláó reflexív. H V vetortér U és U 2 lterere U «U 2 és U 2 «U s telesül, or nylván érvényes U U 2 és U 2 U s. Mvel "részhlmz" reláó ntszmmetrus, így U és U 2, mnt hlmzo egyenlıe, ám eor mnt ltere s egyenlıe leszne, zz U U 2 telesül, vgys «reláó ntszmmetrus. H V vetortér U, U 2 és U 3 lterere U «U 2 és U 2 «U 3 telesül, or fennáll U U 2 és U 2 U 3 s. A "részhlmz" reláó trnztvtás öveteztében U U 3 s érvényes. A 3.8. állítás lpán zonbn z U «U 3 s gz, hszen fente szernt U z U 3 egy olyn nem üres részhlmz, mely zárt V- bel, s így z U 3 -bel összeásr és slárrl vló szorzásr s, tehát «reláó trnztív. A fent állítássl psoltbn megegyezzü, hogy V vetortér lterene hlmz «reláóvl nem renezett hlmz, mt z lább pél s mutt. A 2.2. pélábn szereplı K n vetortérben z U {,0,,0 K} és z U 2 {0, 2,0,,0 2 K} ltere nem hsonlíthtó össze «reláóvl, mvel sem U «U 2, sem peg U 2 «U nem telesül. Most peg K test felett V vetortér ltere özött értelmezün mőveleteet, s megvzsgálu e mővelete tulonságt Állítás: A K test felett V vetortér tetszıleges számú lteréne hlmzelmélet metszete s V vetortér egy lterét lot. 27

6 H I egy tetszıleges nexhlmz, or megmuttu, hogy z ltere {U } hlmzán U metszete s ltér V vetortérben. H,b U, or,b U, s mvel U ltér, így 3.8. állítás értelmében b U s telesül, mbıl peg már övetez z b U összefüggés. H K és U, or U, e U ltér, így smét 3.8. állítás öveteztében U telesül. Ebbıl peg zonnl ó U összefüggés. A fent ét ereménybıl 3.8. állítás llmzásávl nyerü bzonyítnó állítást. Legyen V egy K test felett vetortér, s A peg legyen V egy nem üres vetorrenszere. Eor V mnzon lterene metszete, melye trtlmzzá z A vetorrenszert, 3.0. állítás szernt V egy lterét lot, melyet z A vetorrenszer áltl generált ltérne nevezzü, s z A szmbólumml elölü. Az A vetorrenszert z A ltér generátorrenszeréne nevezzü. H z A véges vetorrenszer, zz h A{,, }, or z áltl generált ltérre z,, elölést hsználu. H V egy K test felett vetortér és A egy nem üres vetorrenszer e vetortérben, or legyen LnA:{ r r K, A, r,2,} z A vetorrenszer vetorból épezett összes véges számú tgból álló lneárs ombnáó hlmz. A LnA hlmzt z A vetorrenszer lneárs burolóán, vgy röven lneárs burán nevezzü. 3.. Állítás: A K test felett V vetortér tetszıleges A nem üres vetorrenszerére telesülne LnA«V és LnA A összefüggése. Értelmezése folytán LnA hlmz zárt V vetortér összeásár és slárrl vló szorzásár s, így 3.8. állítás öveteztében LnA V egy ltere. 28

7 Mvel mnen A esetén, így A mnen eleme egyben LnA hlmzn s eleme. De A z összes olyn V-bel ltér metszete, mely trtlmzz A mnen elemét, ezért A LnA. H U V vetortér olyn ltere, mely trtlmzz A mnen elemét, or LnA U s telesül, hszen U ltér, s ezért z A-ból elıállított mnen lneárs ombnáót s trtlmzz. Ez trtlmzás reláó gz lesz V vetortér mnen lyen tulonságú lteréne metszetére s, m vszont értelmezése szernt A, tehát érvényes LnA A s, m z elızı beezés megállpításávl együtt állításunt bzonyít. Most bzonyított állításunl tulonéppen z A vetorrenszer áltl generált A ltér egy másféle elıállítását nyertü. Ezt felhsználv z A{,, } véges vetorrenszer olyn átlításvl fogllozun most, melye nem változttá meg, más szóvl nvránsn hgyá z A generált lteret Tulonság: H A{,, } K test felett V vetortér egy véges vetorrenszere, or z A generált ltérre érvényese övetezı tulonságo: mnen,, esetén ; 2 mnen K, 0 és mnen esetén,,,, ; 3 mnen K és mnen, esetén,, ; 4,,,,,b or és ss or, h b, zz h b z A vetorn egy lneárs ombnáó. A 3.. állítás lpán z 29

8 30 x egyenlıségbıl özvetlenül láthtó, hogy x,,,,,, or és ss or, h x,,,,,,, így z tulonság gz. A 3.. állítás lpán z x egyenlıségbıl övetez, hogy x,,,,, or x,,,, s telesül. Megforítv, z y egyenlıségbıl peg láthtó, hogy h y,,,, or y,,,,. A "részhlmz" reláó ntszmmetrus tulonságából fente lpán önnyen ó 2 tulonság. A 3.. állítás felhsználásávl z x egyenlıségbıl ó, hogy h x,,,,,,, or x,,,,,, s telesül. Megforítv, z y

9 összefüggésbıl peg láthtó, hogy h y,,, or y. Ebbıl ét észrevételbıl "részhlmz" reláó ntszmmetrus tulonságán felhsználásávl önnyen ó 3 tulonság s. A generált ltér értelmezése folytán b,,,b, 3.. állítás felhsználásávl vszont z,,,b,, összefüggésbıl övetez, hogy létezne olyn K sláro, hogy b. Megforítv, h b, or z x b elıállításból övetez, hogy h x,,,b, or x,,, továbbá tetszıleges K, 0 slárrl z ye e e - e - e - e - b összefüggésbıl ó, hogy h y,,, or y,,,b. E ét utóbb észrevételbıl "részhlmz" reláó ntszmmetrus tulonság mtt önnyen övetez, hogy,,,,,b, h s b, ezért gz 4 tulonság s. Imént bzonyított állításunbn véges A vetorrenszeren végrehtott, s z A generált lteret változtlnul hgyó tulonságol foglloztun. Sorr véve e tulonságot szvl így foglmzhtu meg zot: A véges vetorrenszer áltl generált ltér független generáló vetorrenszer elemene sorrenétıl, hszen bármely sorrenet megphtun egy tetszıleges nuló sorrenbıl z llmsn válsztott elempáro felserélésével. 2 A véges vetorrenszer áltl generált ltér nem változ meg, h vetorrenszer vlmely vetorát egy tetszıleges nem null slárrl megszorozzu. 3 A véges vetorrenszer áltl generált ltér nem változ meg, h vetorrenszer egy tgán tetszıleges slárszorosát egy más tgához u. 4 A véges vetorrenszer áltl generált ltér nem változ meg, h vetorrenszerhez hozzáveszün egy olyn vetort, mely elıállíthtó vetorrenszer vetorn lneárs ombnáóént. Befeezésül ltere összegével és retösszegével fogllozun. 3

10 Legyen V egy K test felett vetortér és {U } V lterene egy hlmz. Eor U : U lteret z U ltere összegéne nevezzü. Megegyezzü, hogy véges számú ltér esetén U m elölést llmzzu, h I{,2,,m}. U helyett z U U Állítás: H V egy K test felett vetortér és {U } V lterene egy hlmz, or érvényes U {u u r u U, r,2,} elıállítás. A 3.. állítás szernt U ltér eleme pontosn n n lú véges tgú lneárs ombnáó, hol mnen n vetor vlmely U I ltérne eleme. A n n zon tgn összege, melyeben szereplı vetoro egyzon U ltérhez trtozn, 2.6. tulonság és 3.8. állítás lpán egy-egy u U vetort ereményezne. Ezért érvényes n n u u r átlítás, hol u U r, m állításunt gzol. Megegyezzü, hogy véges számú ltér összegét fent állításun speáls eseteént felírhtu z U U m {u u m u U } lbn. Legyen {U } K test felett V vetortér lterene egy hlmz. A U lteret z U ltere retösszegéne nevezzü, h mnen I esetén fennáll z 32

11 U U, {0} összefüggés. Az {U } ltere retösszegét U szmbólumml elölü, véges számú ltér esetén peg z U U m szmbólumot llmzzu Állítás: H V egy K test felett vetortér és {U } V lterene egy hlmz, or U összeg or és ss or lesz retösszeg, h mnen U vetor egyértelmően állíthtó elı r véges tgú összeg lbn, hol U r és U {U }. H vlmely I nexre z U U, {0}, or létez olyn V, 0 vetor, hogy telesül. Eor egyrészt U U, U,, mbıl 3.3. állítás lpán r, hol U r és, másrészt U, tehát z vetorn létez ét ülönbözı elıállítás s. Megforítv, h z V vetorn létez 3.3. állítás szernt ét ülönbözı elıállítás, melye z áltlánosság megszorítás nélül felvehetı r b b r lbn, hol,b U r, or leglább egy megfelelı tgr b, zz -b 0 telesül. Az vetor fent étféle elıállításán egyszerő átrenezésével 33

12 b - -b - -b - -b r -b r ó, hol bl oll z U, obb oll peg U, ltérne eleme, hszen -b U. Ebbıl peg zonnl ó m állításunt bzonyít. 0 -b U U, Végül lássun egy-egy pélát ltere metszetére, összegére és retösszegére Pél: H K egy test, továbbá K n 2.2. pélábn bevezetett vetortér, or z U {, 2,0,,0, 2 K} és z U 2 {0, 2, 3,0,,0 2, 3 K} ltere metszete z U U 2 {0, 2,0,,0 2 K} ltér, összege z U U 2 {, 2, 3,0,,0, 2, 3 K} ltér, mely összeg zonbn nem retösszeg. Dretösszeg vszont z U U 3 összeg, h U 3 {0,0, 3,0,,0 3 K}, hszen eor U U 3 {0,,0}, tehát ogos z összeg U U 3 ellel történı felírás. Felto:. Mutssu meg, hogy h z A:{,, } vetorrenszer egy vetor 0 zérusvetor, or z A vetorrenszer lneársn összefüggı. 2. Bzonyítsu be, hogy z R 3 vetortérben z e,0,0, e 2 0,,0, e 3 0,0,, e,, vetoro lneársn összefüggıe, e özülü bármely három lneársn független. 3. Legyen, 2, 3, 4 C 4 egy tetszıleges, e rögzített vetor. Mutssu meg, hogy C 4 zon x,x 2,x 3,x 4 vetor, melyere x 2 x 2 3 x 3 4 x 4 0 telesül, C 4 egy lterét lotá., 34

13 4. Mutssu meg, hogy z R 3 vetortérben zo z x,x 2,x 3 vetoro, melyere x x 2 telesül, lteret lotn. Htározzu meg ezen ltérne z x,x 2,0 lú vetoro lott ltérrel vló metszetét. 5. Bzonyítsu be, hogy C 3 vetortér elıállíthtó z,z 2,0 lú vetoro és 0,0,z 3 lú vetoro lterene retösszegeént. 6. Igzolu, hogy omplex számo hlmz, mnt R felett vetortér vlós számo ltere és tszt épzetes számo ltere retösszegeént állíthtó elı. 35