Egyenlőtlenségek. Mircea Becheanu, Vasile Berinde

Átírás

1 Egyelőtlesége Mrce Becheu, Vsle Berde Az egyelőtleségeről szóló első feezetbe éháy elvet mutttu be z egyelőtlesége elméletéből és éháy bevezető techát z egyelőtlesége bzoyításár Ebbe részbe tovább fogu feleszte ezeet techát Először z lpvető egyelőtlesége bemuttásávl ezdü, ztá pedg egy feldtoból és gyorltoból álló résszel folyttu zzl célll, hogy bevezessü z olvsót mtemt egy csodáltos részébe Az összegyűtött feldto megoldásához felhszált techá többsége z lpvető lsszus egyelőtlesége megoldásáál hszált eláráso llmzás és fomítás Néh szüséges, hogy eze elárásoból többet s ombálu Közepe özött egyelőtlesége Emléezü rá, hogy z függvéyeet defáltu:,,, megdott poztív számo eseté övetező AM (számt özép): = A GM (mért özép): G = HM (hrmous özép): H = QM (égyzetes özép): Q = Az egyelőtleségee szetelt előző feezetbe (Egyelőtlesége, Első szt), már bebzoyítottu övetező egyelőtleségeet: H G A Q, H3 G3 A3 Q 3 Ee része cél, hogy megmutssu, hogy H G A Q egyelőtleség szté gz mde, természetes számr s A ezdő lépés ee bebzoyításához z, hogy bebzoyítsu övetező tételt, m egy fotos eredméy: Tétel Mde és bármely,,, poztív számo eseté gz övetező AM-GM egyelőtleség:, és z egyelőtleség or és css or áll fe, h = = = Érdemes megemlíte, hogy ee z egyelőtlesége számos bzoyítás létez, m ülöböző ötletee lpul Itt most hármt fogu megmutt özülü Első bzoyítás (szbváyos ducóvl) Láttu már, hogy tétel gz = és = 3 esetére Tegyü fel, hogy szté gz tetszőleges poztív szám esetére s, és meg fogu mutt, hogy bármely drb,,,, poztív számo esetére s gz

2 Mvel AM és GM szmmetrus feezése,, -re ézve, ezért feltehetü hogy 0 < Hsoló feltehetü, hogy < Eor övetező egyelőtleség gz lesz: < < Hszálu övetező elölést: A = Eor ( A )( A ) > 0 vgy evvles módo: > A A () 3 Tetsü övetező számot:,,, A A számt özepü: ( A ) A = = A () és geometr özepü G = ( A ) 3 Az ()-es egyelőtleség lpá zt pu, hogy G > 3 = A G A Iducó útá A > G Ezért A > G Kombálv ezt fet egyelőtleséggel és ()-vel zt pu, hogy: A > G Ez bzoyít ívát eredméyt Az ylvávló bzoyítás lpá, hogy h z,, számo em egyelő, or < és szgorú cs z egyelőtleség áll fe Másod bzoyítás (ducóvl felfelé és lefelé) Az első lépés z, hogy ducóvl bebzoyítsu p -, hol p, hogy A Vlób, h feltesszü, hogy A G, or zt pu, hogy p p p p p p p p p = p p p = p p p p Most meg fogu mutt, hogy h A G or A G Legyee,, számo poztív számo Allmzzu z A G állítást z,,,, A számor Ezért, A = A = G A p G p Az ( ) ed htváyt véve zt pu, hogy A G, m bzoyít z állítást Végezetül elegedő megemlíte, hogy felfelé meő ducóvl zt pu, hogy z állítás p gz,4,8,,, számor, és ztá ombálv ezt lefelé meő ducóvl zt pu, hogy mde poztív szám lefedhető Hrmd bzoyítás (Ehlers) Bebzoyítu -e ducó segítségével övetező állítást: h x, x,, x poztív számo úgy, hogy xx x = or x x x

3 = eseté ez ylvávló Tegyü fel, hogy z állítás gz eseté és legye xx = xx, x > 0 V ét oly szám, modu x, x, hogy x és x Eor (x -)(x -) 0 Kéyelmesebb felír z egyelőtleséget övetező formáb x x xx Továbbá, ( x x) ( x3 x ) xx ( x3 x ) = Vssztérve bzoyításhoz, elegedő felhszál z Ehlers-tuldoságot övetező számor: =,,, x, G G G G Követezméy Mde számr és bármely,,, poztív számor gz övetező GM-HM egyelőtleség: Bzoyítás Felhszálv z AM-GM egyelőtleséget z hogy: 3 Példá,,, = számor zt pu, Legyee z,,, számo poztív számo és legyee b, b,, b számo permutácó Eor b b b Megoldás Az AM-GM egyelőtleséget felhszálv z hogy:,,, b b b = b b b bb b számor zt pu, Legyee z b, számo poztív vlós számo és z α, β számo poztív rcoáls számo, úgy, hogy α β = Eor α β α βb b, és z egyelőtleség or és css or áll fe, h = b m Megoldás Tegyü fel, hogy α =, β = p p hol mp,, és m = p Felhszálv z AM-GM egyelőtleséget övetező m számr: = = m = ; bm = = bm = b, zt pu, hogy: m b m m b m Ez úgys felírhtó, hogy:

4 m α β b = α βb b m m Most már egyértelmű z AM-GM egyelőtleségél, hogy z egyelőséghez z = bállítás szüséges Megegyzés A fet eredméye övetező lehetséges értelmezése s lehetséges: h α, β számo dott, és z b, számo vlós változó úgy, α βb = c osts, or z α β b szorzt or ér el mxmáls értéét, c -t, mor = b = c 33 Mde poztív szám eseté övetező egyelőtleség feáll: < Megoldás Felhszálu z AM-GM egyelőtleséget z drb,,,, Azt pu, hogy = = < A övetező példá fotos llmzás v számr 34 Bármely poztív egész esetére legye = b = Eor övetező egyelőtleség gz lesz: < < b < b Megoldás Az b, poztív számor és tetszőleges számr z 3-es péld lpá zt pu, hogy b ( ) b, és z egyelőtleség or és css or áll fe, h = b b b Így, Behelyettesítve z = és b = feezéseet fet egyeletbe, zt pu, hogy m zt mutt, hogy Az Ezért, Mvel > >, =, b = = és = feezéseet behelyettesítve zt pu, hogy = ( ) > >, ezért zt pu, hogy

5 > Ez zt mutt, hogy b > b, mvel véget s ért bzoyítás 4 Tétel Mde eseté és bármely,,, poztív számor övetező AM- QM egyelőtleség gz: Az egyelőség or és css or áll fe, h = = = Bzoyítás Négyzetre emelve z egyelőtleséget övetező evvles formát pu: ( ) ( ) Többféle elárás létez ee bzoyításár Az első elárás Cuchy-Schwrz egyelőtleséget hszál fel ()-es formáb (Egyelőtlesége, Első szt) formáb, ld Szté -es részbe z előző feezetből: ( ) = Az egyelőtleség or és css or áll fe, h = = = A másod elárás egy özvetle bzoyítás Az egyelőtleség bl oldl felírhtó így s: ( ) = = < Eor z egyelőtleség övetező formáb lul át: ( ) (3) < ( ) ( A bl oldl összeg ) tgot trtlmz Mde (, ) párr, hol < gz, zt pu, hogy: Mdeze egyelőtleségeet összedv zt pu, hogy ( ) < < A fet egyelőtleség obb oldlá mde tg egyszer v ele Így,, mvel véget s ért bzoyítás Cuchy-Schwrz egyelőtleség ( ) = ( ) < = A Cuchy-Schwrz egyelőtleség bzoyítás ( )-szer v ele, mvel mde Ez z egyelőtleség már defálv volt ()-be (Egyelőtlesége, Egyes szt) Mde,,, és b, b,, b vlós számo eseté övetező Cuchy-Schwrz egyelőtleség lesz gz: ( b b) ( )( b b )

6 Az egyelőtleség or és css or áll fe, h z,, és b,, b számo özött ráyosság áll fe, zz = = = b b b Ezebe z ráyosságob h b = 0 or = 0 A Cuchy-Schwrz egyelőtlesége so ülöböző bzoyítás v Első bzoyítás (Másodfoú függvéye) Tetsü z f : másodfoú függvéyt, m övetező módo v defálv: f( x) = ( x b ) ( x b ) ( x b ) Nylvávló, hogy f( x) 0 mde x esetére és f( x ) = 0 or és css or, h létez egy oly λ szám, hogy b = λ, mde =,,, számr Felírv z f( x) függvéyt másodfoú egyelet ous formááb zt pu: f( x) = x b x b = = = A dszrmás pedg: Mvel b b = = = = 4 4 > 0 ezért övetez, hogy 0, és így övetez végeredméy = Az egyelőség esete övetezőből ö: Másod bzoyítás ( Lgrge-zoosságo lpul) Az ylvávló, hogy obb és bl oldl ülöbségét számítv övetező egyelőtleséget pu: b b = ( b b ) = = = < (Ezt hívá Lgrge-zoosság) Ee z zoosság bzoyítás gyo egyszerű és csupá z egyelőség ét oldlá lévő tgo gyo potos számítását géyl A b szorzt b lú tgot trtlmz mde =,,, esetére és b A = = = formáú tgot mde b esetére égyzet övetező módo számíthtó : b b bb = = < = Mde b tg étszer tű fel, ülöböző előellel Törölü z b tgot és bl oldlo cs oly tgo mrd vssz, m felírhtó övetező formáb: ( b b ) Allmzáso < Bármely,,, poztív számo eseté övetező egyelőtleség gz lesz:

7 ( ) Megoldás Hszálu Cuchy-Schwrz egyelőtleséget,,,,, számor! Megegyzés Ezt z egyelőtleséget z AM-HM és AM-GM egyelőtleségből s megphtu Mde,,, vlós számor gz övetező egyelőtleség: ( ) ( ) Ez z eredméy már z 4-es Tételbe s be volt bzoyítv Egy ú bzoyítást s phtu Cuchy-Schwrz egyelőtleség,, és,, számor törtéő llmzás eseté 3 Csöeő láco úrredezés-egyelőtlesége és Tchebyshev-egyelőtlesége 3 Csöeő láco úrredezés-egyelőtlesége Legyee z és b b b számo vlós számo sorozt Eor gz lesz övetező egyelőtleség: b b b b b b (4) Vlób, h vou obb oldlt bl oldlból, or övetező formáú evvles egyelőtleséget pu: ( b b) ( b b ) ( b b) 0 Ez megt átírhtó úgy, hogy: ( )( b b ) ( )( b b ) ( )( b b ) 0 hol = és h páros = h pártl Az utolsó egyelőtleség ylvávló A (4)-es egyelőtleség tovább fomíthtó övetező módo: h b, b,, b b, b,, b számo felcserélése, or övetező ettős egyelőtleség gz lesz: b b b b b (5) = = = számo Más szvl, b összeg or ér el mxmáls értéét, h b, b,, b számo csöeő sorredbe v, és or ér el mmumát, h számo övevő sorredbe v Emtt hívá z (5)-ös egyelőtleséget csöeő láco úrredezésegyelőtleségée (vgy rövde RI-e, z egyelőtleség gol elevezése, csöeő láco úrredezés equlty feezés lpá) Most megézzü, hogy hogy bzoyíthtó be egyelőtleség b b = =

8 Az ötlet z, hogy megmutssu, hogy b,, b permutácó, mre b egy mxmum, megegyez b, b,, b permutácóvl Tegyü fel, hogy és legye z z dexelés, mre b = b Tetsü b = b, b,, b, b,, b permutácót és számítsu ülöbséget: Így, h = b ( b b b b ) = = ( b b ) ( b b ) = ( )( b b ) 0 b egy mxmum, or = = Az elárás úr hszálhtó, hogy megmutssu, hogy =,, = 3 Tchebyshev-egyelőtlesége = Az (5) egyelőtleség llmzásét bebzoyíthtu egy gyo érdees és htásos egyelőtleséget Tchebysheve öszöhetőe: h és b b b or ( )( b b b) ( b b b ) (6) Néh ez z egyelőtleség egy oly formáb v megdv, m számt özepeből áll és m még vozóbbá és megfelelőbbé tesz z egyelőtleséget: b b b b A (6)-os bebzoyításár számos lehetséges bzoyítás egyét fogu megmutt A bl oldl drb szorzt összege b = b = =, = m övetező formáú feezése összegeét phtó meg: b Például redezhetü őet úgy, hogy b, b,, b számot clus b, b,, b, b számoá, md b, 3 b,, b, számoá redezzü, és így tovább Ezért 3, = ( ) ( 3 ) = b = b b b b b b ( ) b b b Mde záróeles rész felső orlát z b b b és összedv őet (6)-ot pu 33 Allmzáso 33 Az AM-QM egyelőtleség (z 4-es tételből) Tchebyshev-egyelőtleségée egy specáls esete: ( ) ( ) Vlób, mvel z egyelőtleség szmmetrus, ezért feltehetü, hogy Vegyü szté b =, b =,, b = számot Nylvávló, hogy Tchebyshevegyelőtleségét llmzv erre esetre ívát eredméyt du 33 Bármely bc,, vlós számo eseté gz lesz övetező egyelőtleség:

9 b b c c b c c b Megoldás Tegyü fel, hogy b c > 0 Ebből övetez, hogy > 0 c b Kétszer llmzv csöeő láco úrredezés-egyelőtleségét zt pu, hogy: és b c b c b c c b b c b c b c b c Összedv ezeet z egyelőtleségeet megpu ívát egyelőtleséget 333 Bármely hegyesszögű ABC háromszögbe gz lesz övetező egyelőtleség: ( s A bsb cs C) () (sb s C) b(sc s A) c(s A s B); 3( s A bsb cs C) ( b c)(s A sb s C) (b) Bzoyítás Tegyü fel, hogy b c Eor s A sb sc Allmzzu egymás utá csöeő láco úrredezés-egyelőtleséget z ( bc,, ) és (s A, s B, s C) számhármsor, z utolsó számo sorrede: (s A,s B,s C) Összedv pott egyelőtleségeet z ()-t pu Hogy megpu (b)-t, z feezést hozzádu z () egyelőtleség mdét oldlához s A bsb csc 334 Bármely bc,, poztív számo eseté gz övetező egyelőtleség: b c 3 b c c b Ez már bzoyítv volt z (Egyelőtlesége, Első szt)-be Egy ú bzoyítás s dhtó Tchebyshev-egyeletée felhszálásávl övetező redezett számhármsor: b c és b c c b Azt pu, hogy: 3 b c ( b c) b c c b b c c b = b c b c b c b c = = 3 b c c b b c c b Az eredméy most már ylvávló 335 Legyee x, x,, x és α, β poztív vlós számo úgy, hogy α < β és xx x = Eor α α α β β β x x x x x x Bzoyítás Tchebyshev-egyelőtleségét hszálu fel Tegyü fel, hogy x x x és tetsü övetező redezett redszert: x α α α β α β α β α x x, x x x

10 Tchebyshev-egyelete lpá zt pu, hogy Az AM-GM egyelőtleség lpá: β β β ( ) ( α α α β α )( x β α x β α ) x x x β α β α β α β α x x x ( x x x ) = Az AM-GM egyelőtleség egy ú bzoyítás: x x x ( xx x ), mde x, x,, x poztív szám esetére Hszálu G = x x x elölést és tetsü övetező számo redszeret: x xx xx x =, =,, = = és G G G b =, b =,, b = Ezee számo sorrede elletétes, így (4)-es lpá zt pu, hogy: b b b b b b Behelyettesítve z, b feezéseet zt pu, hogy: G xxx 3 G G 3 G G G x x x x x x G x xx xx x Am zt eredméyez, hogy: x x x, G G G m potos z AM-GM egyelőtleség 4 Beroull-egyelőtleség 4 A Beroull-lpegyelőtleség Regeteg egyelőtleséget smerü Beroull hál A Beroull-lpegyelőtleség övetező: h x > - egy vlós szám, és egy poztív egész szám, or ( x) x (7) Ezt -re llmzott ducó segítségével bzoyíthtu be = eseté egyelőséget pu Tegyü fel, hogy ( x) x és szorozzu meg ezt z x poztív számml Azt pu, hogy: ( x) ( x)( x) = ( ) x x ( ) x Így z egyelőtleség gz mde esetére 4 Az áltláos Beroull-egyelőtleség A (7)-egyelőtleséget áltláosíthtu úgy s, hogy több ülöböző számr votozzo Tegyü fel, hogy és z x, x,, x számo em ull vlós számo, m md zoos előelűe, és x -, mde =,,, esetére Eor ( x)( x)( x) > ( x x x ) (8) A (8)-s bzoyításár megt ducót fogu hszál = eseté zt pu, hogy:

11 ( x)( x) = ( x x) x x > ( x x ) H x,, x számo md poztív számo, or redes véggszámolássl, m szmmetrus polomot hszál fel, zt pu, hogy ( )( ) ( ) x x x = x xx = < x x x x x > x < < = Ezért már cs z z eset mrd, mor - < x < 0 Tegyü fel, hogy z egyelőtleség gz számr és m -re szereté bzoyít Azt pu, hogy ( x )( x )( x ) - ( x x x ) = [( x)( x) - ( x x) ] x [( x )( x ) - ] = Mvel - x < 0, ezért övetez, hogy - x < Így mde esetre ( x )( x ) < és [ ] x ( x)( x ) - > 0 43 Allmzás H,,, -él em gyobb poztív számo, or - ( -)( -)( -) ( ) Az egyelőtleség evvles övetezővel - - ( ) A Beroull-egyelőtleség lpá zt pu, hogy N - - I = és -es egyelőtleség lpá övetez végeredméy 5 Aálott feldto Ebbe részbe álott feldtét muttu meg éháy egyelőtleséget A megoldásuhoz szüséges, hogy z olvsó megfelelő tudássl redelezze z előbbebe bemuttott lpvető egyelőtleségeről 5 Egy IMO feldt egy vártl megoldássl Legye egy rögzített egész szám úgy, hogy () Keressü meg legsebb osts C számot úgy, hogy ( ) xx x x C x < = egyelőtleség gz legye mde x, x,, x 0vlós számr (b) Htározzu meg, hogy mor áll fe z egyelőtleség eze osts C eseté Első megoldás = eseté övetező függvéy mxmumát ell megeresü, 4 feldt, IMO, 999, Burest

12 xy( x y) f( x, y) = 4 ( x y) hol x 0, y 0 és x, y em lehet 0 egyszerre Mvel z f-t meghtározó tört ullfoú homogé, ezért övetező elölést x y hszálu =, b =, úgy, hogy b = Így övetező függvéyt pu: x y x y gb (, ) = b ( b ), hol b = A b = p elölést llmzv egy egysmeretlees másodfoú függvéyt pu: gb (, ) = b(- b) = p(- p) 8 Az p (- p ) egyelőtleség ylvávló és C = mxmumot p = eseté pu 8 8 meg, m zt elet, hogy = b = Az áltláos esetbe be fogu bzoyít, hogy x x ( x x ) x < 8 = x Hszálu övetező elöléseet: x = S és y = Mt felebb, tetü egy = S segédfüggvéyt, f-t, és bebzoyítu, hogy f(y,,y )= yy ( y y ) 8 < mde y,, y 0 esetére és y y = Mvel z f( y,, y ) polom szmmetrus, ezért feltehetü, hogy y y 0 Az ötlet z, hogy megmutssu, hogy h > 0 or, y f( y,, y-, y- y, 0) > f( y,, y-, y ) m cs godos véggszámolást géyel Megsmételve fet elárást övetez, hogy mxmumot or pu meg, mor - változó 0, így feldt leegyszerűsöd z = esetre Másod megoldás (M Rădulescu öszöhetőe) = eseté, mt z előző megoldásb, zt pu, hogy Most fogllozzu z 4 xy( x y) ( x y ) 8 > számol Hszálu z 4 M = x elölést Eor x x M és z egyelőség or és css or áll fe, h x = 0 mde,, esetére Megfelelőe llmzv z AM-GM egyelőtleséget zt pu, hogy: ( ) = = x x x x xxm M xx < < < 4 M x x = x 8 = Az egyelőség or és css or áll fe, h létez oly (, ) pár, hogy x = x és x = 0,, esetére

13 5 A Cuchy-Schwrz egyelőtleség egy érdees llmzás Legye egy poztív egész szám és legyee z x x x számo vlós számo () Bzoyítsu be, hogy ( - ) x x ( x - x ) ;, = 3, = (b) Mutssu meg, hogy z egyelőség or és css or áll fe, h x, x,, x egy számt sorozt Megoldás () Mvel z egyelőtleség mdét oldl változtl mrd, h vlós tegely meté eltolu, ezért feltehetü, hogy Eor, x = 0 = x x = ( x x ) = ( ) x, = < = A Cuchy-Schwrz egyelőtleség lpá zt pu, hogy Másrészről 4 ( )( ) x x 4 ( ) x = x, = = = 3 = ( ) x x = x xx x = x, = = = = = = Ezért megdott egyelőtleség gz (b) H z egyelőség feáll, or x = ( - -) éháy -r, m zt elet, hogy x,, x számo egy számt soroztot lot Végezetül egyszerű meglát, hogy h x,, x számo egy számt soroztot lot, or z egyelőtleség egy egyelőséggé lul 53 Mde,,, > 0 számr és z S = elölés eseté zt pu, hogy K S S S Megoldás Leárs változócserét llmzu Megoldás Mvel bl oldl egy szmmetrus függvéy z,,, számor ézve, ezért feltehetü, hogy, úgy, hogy S S K S és ezért K S S S Tchebyshev-egyelőtleségée lpá zt pu, hogy ( K ) K K (5) S S S S S S Felhszálv z egyelőtleséget -ből zt pu, hogy ( S S K S ) K S S S m zt d, hogy 5 feldt, IMO 003, Toó

14 K S S S ( ) S Az utolsó egyelőtleség z (5)-el együtt bzoyít ívát eredméyt 54 H,,, > 0 és = or K (Blá Mtemt Olmp) Megoldás Az 53-hoz hsoló, de S = számot hszálv z S, =,, K, számo helyett 55 H bc>,, 0, or b c b c b b b bc c c c 3 Megoldás Hszálu övetező elölést! A b c = b b b bc c c c, A b c = b b b bc c c c Mvel 3 3 b = b b b A B ezért övetez, hogy A = B Felhszálv téyt, hogy A = és llmzv övetező lú egyelőtleségeet b b 3( b b ),,m evvles z ( b) 0 egyelőtleséggel, megpu ívát egyelőtleséget 56 H 3 és,, K, > 0, or K ( K ) 3 Megoldás Hszálu z A = K, 3 elölést és 3 B = K 3 és z előző feldthoz hsoló mutssu meg, hogy A = B Aztá hszálu ugyzt z ötletet övetező egyelőtleséggel együtt: ( ) ( ), =,, K, Egy más megoldást s phtu Cuchy-Schwrz egyelőtleség felhszálásávl, mt övetező lb llmzu ( ötet, Egyelőtlesége című feezet) = Vlób, clus összegezve zt pu, hogy b b

15 ( ) = 57 H 3 és,,, > 0, or ( K K ) 3 Felhszálv Cuchy-Schwrz egyelőtleség fetebb említett lát, zt pu, hogy ( ) = = 3 4 Így övetezőt ell bebzoyítu: m potos Cuchy-Schwrz egyelőtleség:, ( ) H bc>,, 0 és b c = or b c 3 3 b c Megoldás Az ylvávló, hogy bc,, (0,) Mdee előtt először be ell bzoyítu bármely x > 0 esetére, hogy gz övetező egyelőtleség: ylvávlóvá vál, h átíru övetező evvles lb: x( x ) Ez 3 3 ( x 3 ) ( x 3 ) 0 Az egyelőség or és css or áll fe, h x = x (0,) eseté z előző 3 x 3 egyelőtleség evvles övetezővel x x Most vegyü z x =, x = b, x = b eseteet sorr z előző egyelőtleségbe és összegezzü ezt három egyelőtleséget, hogy megpu z egyelőtleséget feldtub 59 Legyee bab,,, számo poztív számo úgy, hogy < A és b < B Mde oly,, K,, b, b, K, b számr, hol [, A], b [ b, B], =,, K,, gz lesz övetező egyelőtleség: ( K )( b b K b) AB b ( b b K b) 4 b AB (Ez z egyelőtleség G Polyá és G Szegöe öszöhető) Megoldás Az [, A], b [ b, B] lpá zt pu, hogy b b B, =,, K, A

16 m zt d, hogy b b B b 0, =,, K, A Ez z utolsó egyelőtleség evvles övetezővel: bb B b b b, =,, K, A A Összedv ezt z drb egyelőtleséget, zt pu, hogy bb B b b = A = A b = De és e bb A bb b b = = = A = bb B b b b A = = A = m ívát egyelőséget d meg, 50 Az,, K, számo (,, K, ) permutácóár és bármely,, K, poztív számor gz övetező egyelőtleség: K K (D Seclăm feldt, Gzet Mtemtcă, Burest) Megoldás Felhszálv z, =,, K, egyelőtleségeet rr öveteztetésre utu, hogy bl oldl leglább Hogy bebzoyítsu feldtb szereplő egyelőtleséget, elegedő megmutt, hogy bl oldl legfelebb Ehhez llmzzu először z AM GM egyelőtleséget, hogy megpu övetezőt: ( S K ), hol S = K Most csöeő láco úrredezés-egyelőtleségét felhszálv rr öveteztetésre utu, hogy S z =, =, K, = permutácó eseté ér el mxmumát, m -gyel egyelő A bzoyítás így már teles 5 H bc,, egy háromszög három oldl, or ( b c ) b ( c b) c ( b c) 3bc ( Feldt, IMO, 964, Mgyrország álásár) Megoldás A övetező elölést llmzv b c = x > 0, c b= y > 0, b c= z > 0 zt pu, hogy y z, z x, x = b= c= y, és bzoyítdó egyelőtleség övetezővé lul [( x y) z ( y z) x ( z x) y] 3( x y)( y z)( z x) m evvles módo úgy s felírhtó, hogy

17 6 xyz ( y z ) x ( z x ) y ( x y ) z Ez z utolsó egyelőtleség ylvávlóvá vál, h felhszálu övetező AM-GM egyelőtleségeet y z yz, z x zx, x y xy Az egyelőség or áll fe, h x = y = z, zz = b= c Megoldás Mvel bc,, háromszög oldl, ezért tudu, hogy b c > 0, c b > 0, b c > 0 m övetező ylvávló egyelőtleségeel együtt ( b) 0,( b c) 0,( c ) 0 zt dá, hogy ( b c) ( b c ) ( c ) ( c b) ( b) ( b c) 0 m evvles övetezővel 6bc ( b c ) b ( c b) c ( b c) 0 m átredezve: ( b c ) b ( c b) c ( b c) 3bc