Kvantumlogika 1 Meretfugg}o logika? A kvantumlogika feladata a zikai, f}okent kvantummechanikai jelesegek sajatos logikajanak a vizsgalata. A klasszik

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kvantumlogika 1 Meretfugg}o logika? A kvantumlogika feladata a zikai, f}okent kvantummechanikai jelesegek sajatos logikajanak a vizsgalata. A klasszik"

Benjámin Csonka
4 évvel ezelőtt
Látták:

1 Kvntumlogik 1 Meretfugg}o logik? A kvntumlogik feldt ziki, f}okent kvntummechniki jelesegek sjtos logikjnk vizsglt. A klsszikus mtemtiki logik lpjit Boole lltott fel, tnulmnyozt 'helyes gondolkods' lptorvenyeit. mikor Amire mindenkepp szuksegunk vn klsszikus gondolkodshoz: A Boole-logik kellekei: 1) B: hlmz: esemenyek, logiki llitsok hlmz, 2) ^: es: esemenyek kozti logiki kpocs, 3) _: vgy: esemenyek kozti logiki kpocs, 4) 0 : nem: esemeny tgds, 5) 1: igz: iztos esemeny, 6) 0: hmis: lehetetlen esemeny. A Boole-lgerk nelkulozhetetlenne vltk mtemtik meglpozsnl es zik f}o gin. H Boole-logikt lklmzunk kvntummechnik folymtink megertesehez, ellentmondsokt, prdoxonokt kpunk. Ezert Boole-lgerknl lz, kevese merev logiki gondolkodsmod szukseges z ellentmondsmentes, ugynkkor kserletekkel egyez}o mtemtiki modell feleptesehez. Nehezsegek z uj logik megtllsnl: 1) H ngyon ltlnos, kkor mtemtikilg nem kezelhet}o. 2) H ngyon specilis, kkor kvntummechnikn nem lklmzhto eredmenyesen. A zikn z lpfoglom z ESEMENY. Amit mindenkepp szeretnenk megtrtni klsszikus logikol: Egy L nemures hlmzt _ (es ) es ^ (vgy) m}uveletekkel hlonk nevezunk, h kovetkez}o zonossgok teljesulnek: 1) x ^ y = y ^ x es x _ y = y _ x. ( Kommuttivits. ) 2) x ^ (y ^ z) = (x ^ y) ^ z es x _ (y _ z) = (x _ y) _ z. ( Asszocitivits. ) 1 Andi Attil,

2 3) x ^ x = x es x _ x = x. ( Idempotenci. ) 4) x = x _ (x ^ y) es x = x ^ (x _ y). ( Elnyelesi tuljdonsg.) Elemek kozti osszehsonlts: ('ut' kovetkeztetes) H L hlo, kkor ertelmezzuk L elemei kozott relciot (reszenrendezest): legyen pontosn kkor, h = ^. A fizikn letezik iztos esemeny es lehetetlen esemeny. Ennek mtemtiki megfelel}oje: Egy L hlo korltos, h letezik 0; 1 2 L, hogy 0 6= 1 es minden -re: 0 1: Peld: Egy egyenes menten lev}o test helyzetet vizsgljuk. Ekkor vlos szmok izonyos A reszhlmzir tekinthetjuk zt z esemenyt, hogy test z A-reszhlmzn tllhto. Ekkor z 1 ( iztos esemeny), hogy test vlos szmok hlmzn vn, 0 (lehetetlen esemeny), hogy test z ures hlmzn tllhto. Legyen esemeny, hogy test [0; 10] intervllumn vn, esemeny pedig, hogy [2; 4] intervllumn vn. Ekkor teljesul. 0 < < 1 Amit meg klsszikusn megszoktunk: Egy hlot disztriutvnk nevezzunk, h igz enne vlmelyik zonossg: 1) x ^ (y _ z) = (x _ y) ^ (x _ z). 2) x _ (y ^ z) = (x ^ y) _ (x ^ z). Sjnos ez kvntummechnikn nem teljesul, gyenge feltetelre vn szukseg... Az es, vgy logiki kpcsoltok mellett jo lenne nem szot is mtemtikilg definilni. Egy 0 : L! L 7! 0 lekepzest ortokomplementcionk nevezunk, h teljesti z li zonossgokt: 1) ( 0 ) 0 =. 2

3 2) H kkor ) ^ 0 = 0. 4) _ 0 = 1. A megszokott Boole-logiknk ekkor z li modon denilhto. A hb; _; ^; 0 ; 0; 1i htos Boole-lger, h 1) hb; _; ^i disztriutiv hlo. 2) x ^ 0 = 0 es x _ 1 = 1. 3) x ^ x 0 = 0 es x _ x 0 = 1. Fizikn z esemenyek hlmzt szoks zonostni hlokkl. A _; ^ hloelmeleti operciok esemenyekhez esemenyt rendelnek, z ortokomplementciot ugy ertelmezzuk, mint z ellentett esemenyt. Fontos megjegyezni, hogy z esemeny szo mint deniltln lpfoglom szerepel een szoveg- oszszefuggesen. A szzd elejen kiderult, hogy peldul disztriutivitsi tuljdonsg nem teljesul kvntummechniki esemenyek koreen! Azonn jo lenne vlmilyen disztriutivits jelleg}u szly, ezert csk specilis elemekre koveteljuk meg disztriutivitst. Egy ortokomplementumos hlo modulris, h x y elemekre teljesul. x _ (y ^ z) = (x _ y) ^ (x _ z) A modulrits tenyleg gyengtese disztriutivitsnk: minden disztriutv hlo modulris, zonn letezik nem disztriutv modulris hlo. Sjnos kvntummechnik meg modulritsi szlyt sem teljesti. Az L hlo ortomodulris, h eseten = _ (? ^ ): Ez tenyleg gyengtese modulritsnk: minden modulris hlo ortomodulris, zonn letezik nem modulris ortomodulris hlo. 3

4 Ortomodulris hlok Modulris hlok Disztriutv hlok Boole-hlok A klsszikus logik ltlnostsnk egyik modj, hogy z lltsokt egy ortomodulris hlo elemeinek tekintjuk, z 'es' vlmint 'vgy' kot}oszoknk hlon szerepl}o ^ es _ m}uveleteket feleltetjuk meg, 'nem' tgdoszot mint ortokomplementciot ertelmezzuk. (Specilis ortomodulris hlo eseten visszkpjuk Boole-logikt.) Fizikn lpvet}o logik: ORTOMODUL ARIS H AL OK! (Jo ok vn r, hogy ennel ltlnos hlofoglom nem szukseges.) Ennek ngymertek}u (de szuksegszer}u) ltlnostsnk messzemen}o kovetkezmenyei vnnk. Peldkent nezzunk meg egy hetkoznpi ertelemen is hsznlt logiki szerkezetet. Klsszikusn zt mondjuk, hogy es egymst kizro esemenyek, h vgy csk vgy csk kovetkezik e (vgy egyik sem). Ez ugyn zt jelenti mint z ^ = 0 egyenlet. (Teht egymst kizro esemenyek nem kovetkezhetnek e egyszerre.) Kvntummechnikn zt mondjuk, hogy es egymst kizro esemenyek, h 0, jelen?. Igzolhto, hogy h?, kkor ^ = 0. Azonn z ^ = 0 egyenlet}ol NEM K OVETKEZIK, hogy?! Ez, es z ehhez hsonlo egyszer}u logiki szerkezetek klsszikustol messze elter}o kvntumos vltoztnk furcs tuljdonsgi felel}osek ngymerteken kvntummechnik 'erthetetlensegeert'. F}o prolemk z uj logikvl: 1) Mtemtikilg nehezen kezelhet}ok. 2) A denciojuk meg erthet}o, de nem erezhet}o, hogy milyen ngy szdsgot enged meg dencio. 3) Sok ortomodulris hlo vn, ltlnosn keveset tudunk roluk mondni. 4

5 Proljunk olyn ortomodulris hlot tllni mely ltlnos klsszikus logiknl es kezelhet}o mtemtikilg es szemleletileg is! A Geometri segtsegevel dodnk z ilyen peldk. A sk logikj 1) Az esemenyek: z (x; y) koordintrendszeren z origo, origon tmen}o egyenesek es z egesz sk. 2) Az es: z esemenyek metszete. 3) A vgy: z esemenyek 'unioj'. 4) A nem: z esemeny kiegeszt}oje 5) Az 1: z egesz sk. 6) A 0: z origo. _ 0 ^ c _ ( ^ c) = ( _ ) ^ ( _ c) = 1 c _ ( ^ c) = c ( _ ) ^ ( _ c) = c A sk logikj nem disztriutv, de modulris. A 3 dimenzios ter logikj 1) Az esemenyek: z (x; y; z) koordintrendszeren z origo, origon tmen}o egyenesek, origon tmen}o skok es z egesz ter. 2) Az es: z esemenyek metszete. 3) A vgy: z esemenyek 'unioj'. 4) A nem: z esemeny kiegeszt}oje. 5) Az 1: z egesz ter. 6) A 0: z origo. 5

6 _ 0 ^ _ ^ A ter logikj nem disztriutv, de modulris. A fenti konstrukcio ltlnosthto mgs dimenzios terekre is. Azonn minden veges dimenzios ter logikj modulris, teht kvntummechniknk csk izonyos reszeien hsznlhtok jol. A fenti konstrukcio vegtelen dimenzios terekre is ltlnosthto, ekkor nem modulris, de ortomodulris hlot kpunk. Vegtelen dimenzios terek geometrij (Ortomodulris hlok) Veges dimenzios terek geometrij (Modulris hlok) Egydimenzios ter geometrij (Disztriutv hlok) 6

7 Szujektv megjegyzesek Tortenelmi fejl}odes 1) Az el}o lert geometrii modell vegtelen dimenzios teren vlo lklmzs z lpj mi kvntummechniknk. 2) Ez geometrii modell csk kezd}olepes volt. Neumnn Jnos 1931-en messze ltlnostott ezt geometrii logikt (Neumnnlgerk,C -lgerk). 3) A 60-s evekig volt kpcsolt mtemtikusok es zikusok kozott ezen kuttsi teruleten, utn szinte teljesen megszkdt. 4) M nem tntjk kotelez}o tnnygn kvntummechnik logiki lenyeget! Kovetkeztetesek 1) Nem hivtkozhtunk szemleletunkre kvntummechnikn. 2) Meglehet}osen nehez kovetkezetesen m}uvelni kvntumlogikt 'fejen'. 3) Ngyvonlu gondolt kvnutmmechnikn 'prdoxonokrol' eszelni. Hf: 1) Mit jelenthet z ' esemeny}ol kovetkezik esemeny' kijelentes een logiki kereten? 7

Hasonló dokumentumok

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z