2.4. Vektor és mátrixnormák

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2.4. Vektor és mátrixnormák"

Zsuzsanna Somogyiné
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 4 Vektor és mátrormák következõkbe összefoglluk témkörhöz felhszálásr kerülõ már tult smeretgot s Defícó : IK IR, ( IN, I K vlós vg komle számok hlmzát elöl) többváltozós függvét vektorormák evezzük, h telesülek következõ feltételek ) ) 3) λ λ 4) + + λ IK,, ( -egelõtleség) 6 Tétel ( külöbségre votkozó -egelõtleség), 7 Tétel (Cuch-Bukovszk-Schwrz egelõtleség) Lege V eukldesz tér :, sklárs szorztból szármzttott vektororm Ekkor,, V 8 Tétel következõ formulák vektorormát defálk / : ( ) / IK -e : (eukldesz vektororm) : m 3 Defícó, vektorormákt ekvvles ormákk evezzük, B h c c, hog, > c c B 9 Tétel z, és vektorormák ekvvlesek, zz becslések élesek, zz mde egelõtleséghez telesül Tétel vektororm foltoos függvé, melre z egelõséggel

2 3 Defícó : IK IR, ( I K vlós vg komle számok hlmzát elöl, IN ) többváltozós függvét mátrormák evezzük, h telesülek rá következõ feltételek ) ) 3) λ λ 4) + B + B 5) B B λ IK,, B, B ( -egelõtleség) 4 Defícó z és mátrormákt ekvvles ormákk evezzük, h c c, hog, > c c Tétel (Mátrorm kostrukcó vektorormából) Lege eg tetszõleges vektororm Ekkor z : lkb defált meség kelégít mátrorm tuldoságt továbbkb dukált vg természetes mátrormák evezzük Bzoítás z ) ) 3) 4) feltétel bzoítás trváls, megfelelõ vektororm tuldoságokból következk Csk z 5) feltétel telesülését bzoítuk H B, kkor ) mtt B, másrészt B -bõl ugíg B, tehát z állítás gz H B, kkor ( B) B ( B) B B B B B B B Godoluk végg felsõ htárr votkozó becsléseket Ezzel bzoítást befeeztük Tétel fet dukált ormát z lább lkb s felírhtuk Bzoítás Tetszõleges vektorr z : helettesítéssel, hol 3

3 5 Defícó H eg vektor és mátrormár z,, telesül, kkor lleszkedõ ormákk evezzük õket 3 Tétel z dukált mátrormák lleszkedek z õket dukáló vektorormához Bzoítás -bõl következk, hog, -r Ie z esetre és mtt gz z állítás 4 Tétel z, és vektorormák redre következõ mátrormákt dulálák hol ( ) m oszloorm m sororm ( λ ( )) / m sektrálorm, λ z mátr sátértékét elöl Bzoítás Csk z -es ormár bzoítuk, többt lásd Drgó László: Numerkus lízs egzetbe ( ) Tehát -r m k k m k k m k Mutssuk meg, hog v ol vektor, melre felvesz szurémum értékét, vgs z egelõtleség egelõséggel telesül Vzsgáluk meg z e egségvektorr z egelõtleséget ( e ) δ Kroecker szmbólum, hol dere Ekkor e, e Ezzel tétel -es ormár votkozó részét bebzoítottuk / k m k 6 Defícó z meséget robeus ormák evezzük 5 Tétel 6 defícób felírt meség kelégít mátr ormár tett feltételeket k 4

4 7 Defícó ρ( ) m λ ( ) meséget z mátr sektrálsugrák evezzük 8 Következmé ( ρ( )) / Kdolgozott éldák I Péld Idukált mátrorm eseté I U: I Péld em dukált mátrorm U: I 3 Péld ödugált (szmmetrkus) mátr, melek sátértéke emegtívk Megoldás ( ) ( ), tehát sátértéke vlósk Lege z v z mátr λsátértékéhez trtozó sátvektor Ekkor ho ( v) ( v) v λv v v λv v ( v) ( v) v v λ és v v > mtt λ következk 4 Péld Lege λ z mátr eg sátértéke Igzoluk, hog tetszõleges mátrormár λ Megoldás Lege z v z mátr λ sátértékéhez trtozó sátvektor Ekkor v λv Mvel v v, v v, íg λ vv λvv vv vv λ vv 9 Következmé ρ ( ) bármel mátrormár 5 Péld Bzoítsuk be, hog h ormáls mátr ( ) Megoldás H ormáls mátr, kkor Tehát és D D ( ) ( ) m λ ρ Q Q, kkor Q utér (ortogoáls) mátr, melre D dg λ ( ( )) QDQ és ( QDQ ) ( QDQ ) QD DQ hsoló mátrok, sátértékek megegezek, ( ) λ ( D D) λ ( ) Íg ( ) ρ( ) λ ρ 5

5 6 Péld robeus ormár gzk következõ állítások Tetszõleges Megoldás ) Trváls ) b) tr( ) ( ) c) Q utér(ortogoáls) mátrr Q és d) λ ( ) Q Q, e) ( és mátrorm ekvvles) f) vektororm és mátrorm lleszkedk, zz,, defícóából b) ( ), e tr( ) c) Q tr( Q Q) tr( I ) b) állítást felhszálv tr ( Q) ( Q) ( ) tr( Q Q) tr( ) Q Ezt z eredmét és )-t felhszálv kuk, hog ( Q) Q Q d) ödugált (szmmetrkus), ezért Q utér (ortogoáls) mátr, melre Q Q D, zz ( Q ) ( Q) D z ) és c) állítás másodk részét felhszálv ( D) ( ) tr ( Q) ( Q) ( ) Q tr λ,hol d λ ( ) λ e) m ( ) λ ( ) m ( ) λ, hol felhszáltuk sátértékek (3 éldáb bzoított ) emegtvtását 7 Péld -es ormár gzk következõ állítások H Q utér(ortogoáls) mátr és IK tetszõleges mátr, kkor ) Q b) Q c) Q Q Megoldás Q Q ) ( ) ( ) Q b) Q 6

6 7 c) Q Q Továbbá Q Q Q Q, mvel

Hasonló dokumentumok

n m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. n dimenziós (oszlop)vektor egy n sorból és 1 oszlopból álló mátrix.

n m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. n dimenziós (oszlop)vektor egy n sorból és 1 oszlopból álló mátrix. Vektorok, átrok dezós átr: egy soról és oszlopól álló szátálázt. L L Jelölés: A A, L hol z -edk sor -edk elee. dezós (oszlop)vektor egy soról és oszlopól álló átr. Jelölés: u u,...,, hol z -edk koordát.