VII. Lineáris terek, lineáris algebra

Átírás

1 VII Leárs terek, leárs lger A leárs terek és leárs lger külööse kvtummechkávl kpcsoltos fzk-kém prolémák megoldás sorá kemelte fotos, de kém sok területé kerülek foglm és techká lklmzásr Foglmk () A leárs vektortereket (ler vector spce, LVS) oly u, v, S vektorok lkotják, melyekre feáll, hogy meye u, v S, úgy ármely α u βv leárkomácó s eleme S-ek Vlós LVS-e α és β vlós számok, komple LVS-e α és β komple számok s lehetek Néháy péld LVS-ekre: () vlós számok hlmz, () komple számok hlmz, () háromdmezós (D) Eukldesz tér vektor () Egy leárs vektortér egy em-üres részhlmzát leárs ltérek (ler suspce) evezzük z LVS-e, meye mg s vektortér z LVS-el műveletekre ézve A leárs ltér teljes LVS-t léyegleg két részre osztj, z egyk mg z ltér, másk k kegészítő tere (c) A LVS-ek egy fotos tuljdoság, hogy esetüke első (sklárs) és külső (vektoráls) szorztokt lehet defál (ekkor specáls vektorterekről eszélük) Két vektor, u és v, első szorzták (sklárszorzták) jele (u,v), és z következő fotos tuljdoságokkl redelkezk: () ( u, v) ( v, u), () ( u, u), és () ( u, v v ) ( u, v) ( u, v ) (d) A kvtummechká hullámfüggvéy égyzetéek tegrálj részecske térel megtlálásák vlószíűség sűrűségfüggvéyét dj Eek megfelelőe csk zo hullámfüggvéyek leszek fzklg elfogdhtó hullámfüggvéyek, melyekre feáll, hogy ψ ( ) d < (lklms ormálássl ztosíthtó vlószí- űség értelmezés ψ ( ) d összefüggése) Az eze feltételek megfelelő függvéyeket égyzetese tegrálhtó (rövde L ) függvéyekek evezzük (L (,)- vel jelöljük tehát z oly vlós változójú, komple értékű folytoos függvéyek összességét, melyek szolút értékéek égyzettegrálj dott (,) tervllum véges; megjegyzedő, hogy z tegrálás htárok külööző függvéyterek esetée változhtk) Az összes égyzetese tegrálhtó függvéy leárs vektorterek tuljdoságvl redelkezk Ameye égyzetese tegrálhtó hullámfüggvéyek tere leárs és végtele dmezós, teret szokás rövde Hlert-térek evez 66

2 tuljdoság vlós vektorok hullámfüggvéyek (, v) ( v, u) u u v v u ( u, u) ( ) / ( u, v v ) ( u, v) ( u, v ) [ ] φ ( ) ψ ( ) d ψ ( ) φ( ) d u u,u ψ ( ) ψ ( ) d ψ ( ) d u ( v v ) u v u v φ ( ) [ αψ ( ) βψ ( ) ] α φ ( ) ψ ( ) d β d φ ( ) ψ ( ) d (e) egjegyezzük, hogy első szorzt két vlós vektor átfedéséek mértéke z Eukldesz tére, míg két hullámfüggvéy első szorzt zok átfedése Hlert-tére (f) A vektorok esetée ormálás, ( u,u) / u, vektorok hosszáról yújt felvlágosítást (z u vektor ormált, meye u ), míg hullámfüggvéyek esetée / kfejezés lkj ψ ψ ( ) d (g) Két vektort kkor hívuk ortogoálsk (merőlegesek), meye (u,v), eek felel meg hullámfüggvéyek ortogoltás, m lk írhtó fel Egy vektorhlmz elemet kkor evezzük ortoormáltk, meye mde vektor ormált és vektorok párokét ortogoálsk (merőlegesek) egymásr ermészetese eek s megv megfelelője L függvéyek Hlert-terée φ ( ) ψ ( ) d (h) A első szorzt defícójáól következk z ú Schwrz-egyelőtleség: ( u, v) u v () Az lá háromszög-egyelőtleség, vektorr u v u v, s teljesül ármely két 67

3 tfeldtok utssuk meg, hogy Schwrz-egyelőtleség elvezet Heseerg-féle htároztlság relácóhoz ( Δp Δ h / ) koordát () és z mpulzus (p) kpcsá (Jvslt: ehhez vzsgáljuk z I [ ψ ( ) ψ ( ) ] d htározott tegrált) egoldás: Prcáls tegrálás segítségével I ψ ( ) ψ ( ) d Ameye hullámfüggvéy ormált (ezt feltételezhetjük), másodk tg értéke, míg z első tg eltűk, hsze L függvéyek esetée ψ () gyors kell hogy -hoz trtso htárokál, mt hogy ő (lletve csökke) Azz, ψ ψ [ ψ ψ ] d ψd ψ d, erre vszot gz, hogy ψ ψd ψ ( ψ ) d ψ ψ ψ, ψ ψ, / / pˆ ψ ψd ˆ ψ ψd, mely kvtummechk h ψ A or- mákt kírv szály szert zt jelet, hogy Δp Δ h / 4 Adjuk meg L [,] függvéytére z f ( ) függvéy ormáját egoldás: Ezt z lá tegrál segítségével számíthtjuk: f ( )( ) d ( 4 9 ) d, zz f Gykorló feldtok utss meg, hogy ( u u, v) ( u, v) ( u, v) utss meg, hogy tetszőleges LVS-e teljesül Schwrz-egyelőtleség Eleme-e L [, ] függvéytérek z lá függvéyek: () f ( ) /, () f( ) e, (c) f ( ) e, (d) f 4( ) e? 68

4 VII Schmdt-féle (szukcesszív) ortogolzácó Legyeek z dott vektorkészlet eleme redre,,,, vektorok kezdete e legyeek ormálv és semmképpe e legyeek ortogoálsk egymásr, zz pl S A szukcesszív (szgorú egymást követő lépéseket trtlmzó) ortogolzácó egyes lépése következők: S (hsze S esetée S S S ) S S S S S st, jól látszk követedő tertív eljárás tfeldtok: Alklmzzuk Schmdt-féle ortogolzáló eljárást z R D eukldesz tér lá vektorr: ( ) és ( ) egoldás: A ormált kdulás vektorok: ~ ( ) és ~ ( ) 5 ~ ~ Az átfedés: S, zz (ormált) vektorok em 5 5 ortogoálsk ~ 5 ~ / 5 S / 5 5 Elleőrzés: ( ) ( )

5 VII Ortogoáls polomok Az ortogoáls polomok tgjr feáll, hogy P P m Nδ A polomok lkját z lá három krtérum htározz meg egyértelműe: () z tegrálás tervllum, (,) rögzítése, () első szorzt (sklárszorzt), f g fgw d esetée lklmzott súlyfüggvéy, w, és (c) z lklmzdó orm, f f A külööző ortogoáls polomcsládok esetée eze tuljdoságok smerete lpjá zok lkját egyértelműe meg tudjuk d z {,,,, } em-ortogoáls, em-ormált polomázs segítségével A Legedre-féle ortogoáls polomok (Legedre-polomok), P (), esetée,, w(), P P, lletve P Pm δ m, hol,,, Egyes, fzk kémá gykr előforduló ortogoáls polomok táláztos összefogllás: Név Jelölés Itervllum Súlyfüggvéy Norm / δ m Legedre P () [, ] Csesev (elsőfjú) () [ ] Lguerre L () [ ) Hermte H () (, ) Jco P (α,β) () [, ], / ( ) π /, π,, e e ( ) α ( ) β! π m α β Γ( α ) Γ( β ) α β! Γ( α β ) Áltláosított Lguerre L (α) () [, ) Γ( α ) α e! Sokféle defícó létezk z ortogoáls polomok megdásár Álljo tt ezek közül éháy, z ortogoáls Legedre-függvéyek esetére speclzálv: 7

6 ( ) / Geerálófüggvéy: zt t P ( z) t d Rodrguez-féle defícó: P ( ) ( z) z! dz d P ( z) dp ( z) Dfferecálegyelettel: ( z ) ( ) P ( z) dz dz Rekurzív összefüggéssel: P ( ) P ( ) P ( ) π Itegrállkkl: P ( z) ( z z cosθ ) dθ tfeldtok π Állítsuk elő z első két Legedre-polomot (Jvslt: hszáljuk ehhez z elem polomfüggvéyek ázsát) egoldás: A jvsltk megfelelőe,,,, st Ekkor d, m orm defícóják ( δ m ) megfelel Folytssuk z ortogoáls polomok legyártását: d /, m szté megfelel kívátos ormák ováá, d lpjá két függvéy ortogoáls egymásr (fgyelem, dott súlyfüggvéy és tegrálás htárok mellett) Igzoljuk, hogy P ( z) z polom kelégít Legedre-féle dfferecálegyeletet: ( z ) z ( ) P ( z) d P ( z) dp ( z) dz dz egoldás: A P ( z) z polom esetée, P ( z) z és P ( z ), zz z z z z z 4z 6z QED ( ) ( ) Gykorló feldtok Állíts elő P () és P () Legedre-polomokt, hol z ortogoltást Schmdtféle ortogolzácós eljárás segítségével végezhetjük Igzolj, hogy P ( ) polom ( hrmdk Legedre-polom ) kelégít Legedre-féle dfferecálegyeletet: d P ( ) dp ( ) ( ) ( ) P ( ) d d 7

7 VII Determások A determások foglmát Gottfred Wlhelm vo Lez (646-76) émet mtemtkus és flozófus vezette e Foglmk A leárs homogé egyeletredszer áltláos lkj: m m hol j és (,, m; j,, ) dott vlós (vgy komple) számok, (,, ) smeretle vlós (vgy komple) számok, j leárs homogé egyeletredszer (ER) együtthtó, míg z -edk egyelet szd tgj Szályosk evezzük z ER-t, meye m egoldhtók evezzük z egyeletredszert, meye v k megoldás, ellekező esete z ER elletmodásos Htározott z ER, h potos egy megoldás v, htároztl, h tö Két ER ekvvles, h megoldásk hlmz egyelő A determások egyk fotos lklmzás leárs homogé egyeletredszerek em-trváls megoldásák létezéséhez kpcsolódk együk fel z egyszerűség kedvéért, hogy csupá három smeretleük v,, és és három egyeletük: c c m c A felvetedő prolém z, hogy el tudjuk-e döte, hogy mkor v z trváls megoldástól eltérő megoldás szályos egyeletredszerek H z (,, ) vektor jelölést hszáljuk megoldás felírásár, vlmt koeffceseket s vektorok gyűjtjük, úgy,, és c lk írhtó fel három egyelet A három egyelet geometr terpretácój z, hogy z megoldásvektor merőleges z, és c vektorokr A hárms sklárszorzt ( c ) segítségével zt modhtjuk, hogy meye ( ) D c det(,, c) meység, melyet determásk evezük, em zérus, úgy csk trváls megoldás v z egyeletek Ameye evezetett D determás zérus, úgy zt tudjuk, hogy z egyk sor másk két sor leárkomácójkét htározhtó meg ehát meye smert egy égyzetes A mátr, úgy hozzáredelhetük egy gykr det(a)-vl jelölt számot, melyet mátrhoz trtozó determásk evezük c m c c 7

8 Fotos állítás, hogy meye egy A mátr determás ull, úgy em létezk z A verz mátr, és fordítv, h determás em ull, z verz létezk Eek segítségével köye eláthtó, hogy egy A szályos leárs homogé egyeletredszerek kkor v egyértelmű megoldás, meye z A együtthtó mátr determás em ull, hsze ekkor létezk A és így megoldás A lk egyértelműe előállíthtó A determás értékéek kszámításához tová foglmk evezetésére v szükség Aldetermásk (mor golul) evezzük z -es determás dott, jk eleméhez trtozó -ed redű mátrot, melyet úgy kpuk, hogy j-edk sort és k-dk oszlopot töröljük, mjd kpott mormátról készítük determást Ameye z jk ldetermást eszorozzuk ( ) -l, z eredméyt kofktork (cofctor) evezzük, de elterjedt z lger ldetermás megevezés s Az kofktor segítségével defálhtó determás kfejtés szály, mely kmodj, hogy det(a) k A jk jk, zz determás értékéek kszámításához ármely sor (vgy oszlop) eleme (jk) végghlduk, megszorozzuk zt ek megfelelő kofktorrl ( ), mjd z így kpott számokt összegezzük A jk A determások fő tuljdoság: det( A ) det(a), sorok és oszlopok ekvvlesek, zz determás értéke sorok és oszlopok felcserélésével em változk determás ármely sor lletve oszlop szert kfejezhető, értéke ettől em fog változ h egy sor (oszlop) csup zérusól áll, úgy det(a) h egy sor (oszlop) összes eleme, egy kvétellel zérus, úgy determás értéke meghtározhtó, mt eek z elemek és kofktorák szorzt tetszőleges két sor (oszlop) felcserélésére determás előjelet vált h két sor (oszlop) egyelő, úgy det(a) h két sor (oszlop) ráyos, úgy det(a) egy sor (oszlop) kosts c-vel törtéő szorzás c det(a)-t eredméyez det( A B ) det(a) det(b) 7

9 VII4 átrok A vektorok és determások mellett leárs lger legfotos kostrukcó mátrok Foglmk A mátrok leárs operátorok (ez z állítás egye meghtározz mátrokkl végzett műveleteket) A mátrok égyzetes vgy tégllp lkú tömök, melyek eleme számok vgy függvéyek, dott sorrede elredezve Péld tégllp lkú, m -es mátrr: A m m m A mátrok sorokól lletve oszlopokól állk Jele esete zo mátrelemet jelöl, mely z első sor és hrmdk oszlop tlálhtó A mátrokt félkövér etűkkel jelöljük, pl A, vgy egy reprezettív elemével, pl ( jk ) A felírt mátr redje m (zz m soról és oszlopól áll) Az egyetle soról álló mátrot sormátrk (vgy sorvektork), z egyetle oszlopól álló mátrot oszlopmátrk (vgy oszlopvektork) evezzük Ameye sorok és oszlopok szám megegyezk, úgy égyzetes mátrról eszélük Vlós vgy komple mátrról eszélük k megfelelőe, hogy mátrelemek vlós vgy komple számok A mátr redje Az zoos redű A ( jk ) és B ( jk ) mátrok kkor és csk kkor egyelőek, meye jk jk Az zoos redű A ( jk ) és B ( jk ) mátrok összege A B ( jk jk ) A mátrok összedás kelégít z sszoctvtás és kommuttvtás szályt Az A és B mátrok külöségét z A B ( jk jk ) összefüggés defálj Az A ( jk ) mátr és egy λ szám (sklár) szorzt λ Aλ ( ) Ameye A ( jk ) egy úgy két mátr AB szorzt z Jegyezzük meg, hogy áltlá AB A λ jk m -es mátr, vlmt B ( jk ) egy p -es mátr, m p redű C mátr, melyre gz, hogy c jk BA Ameye z egyelőség feáll, két B A, B AB BA zérus mátr egymássl kommutál, zz [ A, ] kommutátoruk, [ ] Ameye egy A ( jk ) mátr sort és oszlopt felcseréljük, z eredméyül kpott mátrot z eredet mátr trszpoáltják evezzük és A -vel jelöljük Bezoyíthtó, hogy ( A B) A B, ( ) B A AB és ( ) A A A égyzetes A ( jk ) mátrot szmmetrkusk evezzük, meye mátr tszmmetrkus, meye A A j A A k A 74

10 Ameye z A ( jk ) mátr összes elemét zok komple kojugáltjávl helyettesítjül, mátr komple kojugáltját állítjuk elő Ameye égyzetes A mátr megegyezk trszpoáltják komple kojugáltjávl, mátrot ödjugáltk, vgy hermtkusk (Hermt) evezzük Ameye ez mátr ()-szeresére áll ez fe, mátrot thermtkusk evezzük A égyzetes mátr (fő) dgoálsák evezzük zo jk elemeek összességét, melyekre j k Az összes lye elem összegét z A mátr yomák (spurják) evezzük és tra-vl, lletve SpA-vl jelöljük Ameye mátr összes eleme zérus, úgy mátrot zérus mátrk evezzük Az -es égyzetes egységmátr összes dgoálso kívül eleme, míg dgoáls csup -esek állk, jele gykr E vgy I vgy Ameye egy dott égyzetes A mátr kpcsá létezk egy oly B mátr, melyekre feáll, hogy A B E, úgy B-t z A mátr verzéek evezzük Nemszgulárs, égyzetes, -edredű A mátrok (zz det( A ) ) eseté létezk egy egyed verz mátr, melyre gz, hogy A A A A E, vlmt z verz mátr ( A ) jk előállíthtó következő módo: A, hol A jk mormátr Az verz det( A) E AB B A és A mátrokkl végzedő műveletekre eláthtó, hogy ( ) ( ) A A vlós A mátrot ortogoálsk evezzük, meye trszpoáltj megegyezk z verzével A komple A mátrot utér mátrk evezzük, meye komple kojugáltják trszpoáltj megegyezk verzével A vlós szmmetrkus és komple ödjugált mátrok hsoló szerkezetűek, hogy vlós ortogoáls és komple utér mátrok s 75

11 A mátrlgerá lklmzott fő defícók táláztos összefogllás: Foglom, jelölés Értelmezés, tuljdoság trszpoált, szmmetrkus mátr tszmmetrkus mátr djugált, A ( A ) j Aj A A A A, zz j j A A, zz Aj Aj A ( A ) ( ) j Aj A j ödjugált (hermtkus) mátr A A, zz thermtkus mátr A A, zz A egységmátr, E verz mátr, ortogoáls mátr E j A AA A A E A j A j j A j, h j és E j, h j A A utér mátr A dgoáls mátr, zz ( A ) Aj A, zz ( ) A j, h kommutátor, [ A, B] AB BA yom (spúr) χ A j j A j A j 76

12 tfeldtok Utér-e következő mátr:, hol ey yom? egoldás: Az utér tuljdoság megállpításához tesztelük kell, hogy E feáll-e Ehhez elő trszpoáluk kell -t, mjd z elemek komple kojugáltját kell képezük: és Látjuk, hogy em utér ez mátr, hsze A mátr yom dgoáls elemek összege, zz 77

13 VII5 átr sjátérték egyeletek A sjátérték egyeletek külölegese fotos szerepet játszk fzk kémá és még ál s fotos szerepet kvtumkémá Foglmk Legye A ) egy -es mátr és X egy -elemű oszlopvektor Ekkor z ( jk AX λx egyelet, hol λ egy szám, következő lkok írhtó fel: vgy K ( K K K K K λ) ( λ) K ( λ λ) Az utó homogé leárs egyeletredszer kkor és csk kkor redelkezk emtrváls megoldássl, meye feáll z A-hoz kpcsolódó determásr, hogy λ λ λ, mely egy λ- -edredű polom Azt s írhtjuk, hogy det( A λ E) és ezt z egyeletet legtöször krktersztkus egyeletkét emlegetjük A krktersztkus egyelet lpjá felírhtó krktersztkus polomk gyöket z A mátr sjátértékeek, vgy krktersztkus értékeek szokás evez de egyes sjátértékhez trtozk egy X emtrváls megoldásvektor, melyet z dott sjátértékhez trtozó sjátvektork (krktersztkus vektork) evezük ételek sjátértékek és sjátvektorok kpcsá: () Ödjugált (hermtkus) mátr (szmmetrkus vlós mátr) sjátértéke vlósk Athermtkus (tszmmetrkus vlós) mátr sjátértéke zérusok vgy tsztá képzetesek Utér (ortogoáls vlós) mátrok sjátértékeek szolút értéke () Ödjugált (szmmetrkus vlós) mátr külööző sjátértékekhez trtozó sjátvektor egymásr merőlegesek (ortogoálsk) () A mátr kelégít sját krktersztkus egyeletét (4) Ameye egy em-szgulárs -es A mátr külööző λ, λ, λ, sjátértékehez trtozó sjátvektorok mt egy mátr oszlopvektor szerepelek, 78

14 úgy B B λ AB λ K K K K K λ és z eredméymátr A-k B áltl trszformáltj, mely z A mátr sjátértéket trtlmzz dgoáls, mde más eleme pedg zérus Azt modjuk, hogy A-t dgoáls lkr redukáltuk tfeldtok sα Vzsgáljuk két-dmezós α szögű forgtás mátrot, Cα -t sα () Htározzuk meg mátr determását () Ödjugált-e mátr? (c) Utér-e mátr? (d) z verz mátr? (e) Keressük meg mátr sjátértéket (f) Keressük meg C α mátr egyk ormált sjátvektorát egoldás: () det( Cα ) cos α sα sα () mátr vlós, em szmmetrkus, zz em ödjugált (c) utér mátrok sor és oszlop ortoormáltk, vlmt feáll z UU U U E kommuttvtás, vlmt mátr verze és djugáltj sα sα megegyezk Jele esete C αcα E Ugyez sα sα eláthtó z ellekező sorredű szorzásr, zz két-dmezós forgtás mátr utér sα (d) mátr verzéek defícój szert A [ A k ], det( A) sα tehát z ellekező előjelű forgtás mátr z verz mátr (e) úgy látszk, cs sjátvektor forgtásk, de komple tére v A λ sα krktersztkus egyelet, zz λ λ s α, sα λ ± α két krktersztkus gyök (sjátérték) pedg λ ± s α e Egy mátr sjátértékeek smert tuljdoság, hogy λ SpA és det( A), jele esete mdkettő elleőrzhetőe feáll, C α λ 79

15 ( sα) sα (f) Cα λe következő lkr sα ( sα) sα sα vezet: sα A sα-vl törtéő szorzás csk sα sα sjátvektor hosszát efolyásolj, így elegedő következő egyelet vzsgált:, melyől zt kpjuk, hogy, zz pl ( ), ormálás utá / / 8

16 Gykorló feldtok Kommutál-e egymássl z α szögű, lletve β szögű forgtás mátr ( lletve )? C α C β V-e közös sjátvektor-redszere z α szögű, lletve β szögű forgtás mátrák? utss meg, hogy () z mátr egy tetszőleges (vlós elemű) kétdmezós vektort 9 fokkl elforgt, és () mátrszl vló égyszer egymás utá forgtás (zz kl törtéő forgtás) oly, mth em s forgttuk vol! A Legye, és Egy tetszőleges háromdmezós vektort P mátr z y-sík vetít, míg Q mátr z-tegelyre Vzsgálj meg v példájá, hogy két vetület merőleges-e egymásr! két vetület vektoráls szorzt, és mekkor eek hossz? P Q 4 v Legye A és B () ey AB és mey BA? () utss meg, hogy C BA mátr verze sját mg! (c) ey BA determás? (Nehéz!) A ylor-sorfejtések v egy oly hsz s, hogy segítségével lehet értelmez mátrok függvéyét Például, egy égyzetes A mátr epoecáls egy oly mátr, melyet következő htváysorrl értelmezük:!! k k k e A A A A A és z egységmátr Ezek lpjá számolj k z A és B mátrok epoecálsát Vjo sszoctív-e vektoráls szorzás? Dötse el ezt k lpjá, hogy teljesül-e z ) ( ) ( e e e e e e egyelőség, hol és! e e Elleőrzze, hogy z F mátr forgtás mátr-e k segítségével, hogy két vektor elforgtottják sklárs szorzt megegyezk vektorok forgtás előtt sklárs szorztávl, vlmt forgtás mátrok determás egy 8