Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes. Források, ajánlott irodalom:
|
|
- Ágnes Somogyi
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó, 97, 989,.. Schrnitzki Viktor: Vektorlger és lineáris lger, Tnkönyvkidó, 989. Bércesné Novák Ágnes-Hosszú Ferenc-Pentelényi Pál-Ruds Imre: Mtemtik, BDMF, 994. Bércesné Novák Ágnes
2 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Vektorlger. Vektor: irányított szksz (síkn, téren) D C A B A B F Kérdések: E - Jelölések - Egyenlőség szd vektorok - Párhuzmosság - Hossz (szolút érték) - Egységvektor - Nullvektor irány Bércesné Novák Ágnes
3 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Műveletek vektorokkl Összedás: - nyílfolym-módszer: eltolás, második vektor kezdőpontját z első végpontjá, és így tová Összegvektor: z első vektor kezdőpontjáól z utolsó vektor végpontjá muttó vektor. (Két vektor esetén prlelogrmm módszernek) Összedás tuljdonsági: (0.Zárt: összedás eredménye is vektor ). Kommuttív (ld. ár): +=+. Létezik egységelem: +0=. Létezik inverz (ellentett) elem: +( inverze) =0 inverze Bércesné Novák Ágnes
4 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Összedás tuljdonsági (folyttás): 4. Asszocitív: (+) +c = +(+c) + c +c c (+) +c +(+c) + +c c (+) +c = +(+c) Bércesné Novák Ágnes 4
5 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Kivonás értelmezése: inverz elem hozzádás, inverz elem jelölése x+= vektoregyenletet x-re megoldv: x++( inverze)=+( inverze) x+0= +( inverze) Jelölés (számokkl összhngn): +(-)= =x +(-) (-) +(-)=x x+= Bércesné Novák Ágnes 5
6 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Összedás tuljdonsági (összefogllás): (- zárt) - sszocitív - létezik egység CSOPORT (- zárt) - sszocitív - létezik egység KOMMUTATíV CSOPORT - létezik inverz - létezik inverz - kommuttív A kommuttív csoportot Ael csoportnk is hívjuk. Feldt: Mondjunk példát más hlmzr, melynek elemei dott műveletre nézve csoportot lkotnk Bércesné Novák Ágnes 6
7 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Szorzás.) Számot vektorrl: számml vló szorzás ( λ).) Vektort vektorrl-eredménye szám, neve: sklárszorzt, ngolul: dot product, () c.) Vektort vektorrl-eredménye vektor, neve: vektoriális (vgy kereszt)szorzt, ngolul cross product ( x ) Megjegyzés: A fenti szorzások közül lgeri értelemen csk c.) nevezhető műveletnek. (Miért?) Bércesné Novák Ágnes 7
8 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Számml vló szorzás / Vektor szorzás számml: Def.: λ R, vektor - λ 0, -vl egyirányú, hossz: λ =λ (ismételt összedás) λ λ<0, -vl ellentétes irányú, hossz: λ = λ ( inverzének, ellentettjének ismételt összedás) Lemm: λ R =λ Biz.: Tegyük fel hogy (Tfh.) = e és = e Ezekől: = (/ ( e ))= (/ ), =λ, λ= / Tfh. λ R =λ, kkor párhuzmosság definícióól közvetlenül dódik. Bércesné Novák Ágnes 8
9 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Tuljdonságok:. λ=λ. µ(λ)=(µ λ) (definícióól közvetlenül dódik). (λ+µ)=λ+µ (definícióól közvetlenül dódik) 4. λ(+)= λ+λ (ld. lái ár) Ár: 4. λ(+)= λ+λ, ár: λ= eset + (+) + Bércesné Novák Ágnes 9
10 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Sklárszorzt (első szorzt) vektor vektor=szám (DOT product, INNER product) Def.: = cosα, hol α vektorok áltl ezárt szög, 0 α 80. Két vektor áltl ezárt szög ( kise!): Speciális esetek: = cos(,)=, Következmény: >0, h 0, és =0 kkor és csk kkor, h =0. Ezt tuljdonságot úgy mondjuk, hogy sklárszorzt pozitív definit. H egységvektor, kkor =. H és egységvektorok, =cosα. Ezek koordinát rendszertől független eredmények!! Bércesné Novák Ágnes 0
11 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger A sklárszorzt geometrii jelentése: e egységvektor e= e cosα= cosα=x x: z vektor e-re vett előjeles merőleges vetületének hossz. x cosα= x= cosα α e Megjegyzés: x A geometrii jelentés definícó egyszerű következménye. Bércesné Novák Ágnes
12 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger A sklárszorzt tuljdonsági:. Kommuttív: =. NEM sszocitív: ( ) c ( c), ugynis: Bl oldl=szám c =(c-vel párhuzmos vektor) Jo oldl= szám (-vl párhuzmos vektor). λ ( )=(λ) = (λ) Biz.: Nyilvánvló, h λ=0, kkor z zonosság fennáll. Továá kommuttivitás mitt elegendő λ ( )=(λ) zonosság izonyítás. BALOLDAL: λ ( )= λ ( cosα) JOBBOLDAL: (λ) = ( λ cosα)=λ ( cosα), h λ > 0. H λ<0, kkor λ= (-) λ, emmitt elegendő λ= (-) eset tárgylás: BALOLDAL: (-)( ) = (-) cosα JOBBOLDAL: (-) = (-) cos(80-α)=(-) cosα Bércesné Novák Ágnes
13 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger 4. Disztriutív: (+c)= + c Biz.: (+c)= + c e (+c)=e +e c / λ e λ e= λ e(+c)=(λe) +(λe) c e +c c e e c e (+c) Bércesné Novák Ágnes
14 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Tétel: =0 (milyen koordinát rendszeren?) Biz.: H =0 kkor : H 0 és 0, kkor cos(,)=0 cos(,)=0 (,) =90 H vlmelyik vektor nullvektor, nnk irány tetszőleges, így merőlegesség teljesül. H kkor =0 cos90 =0 cos(,)=0 (,) =90 vgy (,) =70, de mivel megállpodás szerint kise szöget tekintjük, ezért két vektor 90 -os szöget zár e H két vektor merőlegessége oly módon iztosított, hogy leglá egyikük nullvektor, kkor 0 def. lpján =0 vgy =0, tehát =0 Bércesné Novák Ágnes 4
15 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger A sklárszorzt áltlános tuljdonsági A sklárszorzt V x V hlmzon (hol V vektortér) értelmezett, kétváltozós vlós függvény, (nem művelet!) mely z lái,.-4. tuljdonságokkl rendelkezik. Minden olyn függvény, mely ennek eleget tesz, sklárszorzt-nk nevezhető. Sklárszorzt: V x V R A sklárszorzt egy másik, szokásos jelölése: s(x, y). s(x, x) 0, s(x, x) =0 - szám x=0 vektor pozitív definit tuljdonság. s(x, y) =s(x, y) kommuttív tuljdonság. s(λ x, y) = λs(x, y) lineáris 4. s(x, y+z)=s(x,y)+s(x,z) lineáris A sklárszorzt egy másik, szokásos jelölése: <x, y>. <x, x> 0, <x, x> =0 x=0 (pozitív definit). <x, y> =<x, y> (kommuttív). <λ x, y >= λ<x, y> (lineáris ) 4. <x, y+z>=<x,y>+<x,z> (lineáris ) Bércesné Novák Ágnes 5
16 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger A.-4. lineritás következőképpen is megfoglmzhtó: <x, λy+µz>=λ<x,y>+µ<x,z> A vektorlgerán sklárszorztot <x, y>:= x y cos(x,y) függvénnyel dtuk meg, és izonyítottuk fenti tuljdonságokt. Ezen definíció lpján eizonyíthtó következő tétel (ld. e jegyzet 8. oldlán): Az i, j, k ortonormált ázisr vontkozttott koordinátákkl ( dimenziós téren) sklárszorzt: <x, y>:= x y cos(x,y)= n i= i i A <x, y>:= n is lehetett voln definíciój sklárszorztnk, zonn így z eredeti fiziki i i i= jelentése elsikkdt voln. Mgs dimenziós vektortereken zonn definíció lehetősége éppen fordított, szög geometrii értelmezhetetlensége mitt éppen sklárszorzt segítségével lehet szög foglmát kilkítni. Bércesné Novák Ágnes 6
17 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Tétel (Vektorok felontás síkn): H dott síkn két nem párhuzmos vektor ( és ), kkor minden más c síkeli vektor felonthtó és vektorokkl párhuzmos összetevőkre: c=α+β, hol α,β R A felontás egyértelmű. Bércesné Novák Ágnes 7
18 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Biz.: felonthtóság: A c vektorkezdőpontján át húzzunk -vl, végpontján át -vel (vgy fordív) párhuzmos egyeneseket. Mivel és nem párhuzmosk, ezért M-en metszik egymást. c A M B mivel AM α R AM = α c mivel MB β R MB = β, és c= AM + MB =α+β Bércesné Novák Ágnes 8
19 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Tétel (Vektorok felontás síkn): H dott síkn két nem párhuzmos vektor ( és ), kkor minden más c síkeli vektor felonthtó és vektorokkl párhuzmos összetevőkre: c=α+β, hol α,β R. A felontás egyértelmű. Biz.: Egyértelműség: c=α +β - c=α +β 0=(α -α )+(β -β ) 0 0 Mivel nem párhuzmos -vel, így számszorosik sem párhuzmosk, ezért számszoroik összege nem lehet null jo oldlon. Tehát és együtthtói egyenlők nullávl: α =α és β =β Bércesné Novák Ágnes 9
20 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Definíció: és lineáris kominációj: c=α+β {,}, h nem párhuzmos -vel, kkor függetlenek. Mximális számú független vektor ázist lkot. Késő részletesen tárgyljuk.. α,β z {,}ázisr vontkozttott koordináták. Bércesné Novák Ágnes 0
21 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Tétel (Vektorok felontás téren): H dott téren három, nem egysíkú, páronként nem párhuzmos vektor,,, c, kkor ármely d téreli vektorhoz vn olyn α,β,γ R, melyekre igz, hogy d=α+β+γc. Ez felontás egyértelmű. Biz.: S T D d' c c. d tlppontján, T-n át z S síkkl S síkot rjzolunk.. c nem párhuzmos -vl és -vel, tehát d végpontján c-vel húzott egyenes D-en döfi S -t.. D-ől T-e muttó vektor legyen d. d c S d' d=d +c =(α+β)+ γc, hiszen d egy síkn vn -vl és -vel, így z előző tétel mitt felírhtó zok lineáris kominációjként. Bércesné Novák Ágnes
22 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Bázis: A téren ármely, nem egysíkú, páronként nem párhuzmos vektor független. Mximális számú független vektor ázist lkot. Késő részletesen tárgyljuk. Például: H,, c, tér egy ázis, z előző tétel értelméen ármely d vektorr: d=α+β+γc. A jo oldlon álló kifejezés z,, c vektorok egy lineáris kominációj. Az α, β,γ számokt d vektor,, c ázisr vontkozttott koordinátáink nevezzük. H ázisvektorok sorrendjét rögzítjük, lineáris kominációt rövidíthetjük következő számhármssl: [α, β,γ]. Bércesné Novák Ágnes
23 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Speciális ázisok: Ortogonális: vektorok páronként merőlegesek Normált: vektorok egységnyi hosszúk Ortonormált: ortogonális és normált, szokásos jelölése dimenzión: i, j, k (Descrtes), jorendszer: k i j Bércesné Novák Ágnes
24 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Vektorműveletek, h vektorok koordinátáikkl dottk Összedás: megfelelő koordinátákt összedjuk Biz.: X=α + β + γ Y=δ + ε + φ x+y= (α + β + γ)+(δ + ε + φ)= = (α + δ)+ (β + ε) +(γ+ φ)= (α+ δ)+ (β+ ε) +(γ+ φ)= x+y=(α+ δ)+ (β+ ε) +(γ+ φ) VEKTOR ÖSSZEADÁS + SZÁMOK ÖSSZADÁSA+ Bércesné Novák Ágnes 4
25 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Számml vló szorzás: koordinátánként szorozzuk számml Biz.: HF Kivonás: Megfelelő koordinátákt kivonjuk Biz.: HF Bércesné Novák Ágnes 5
26 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Vektorműveletek, h vektorok koordinátáikkl dottk Összedás: + y δ x β α γ X=α+β Y=γ +δ x+y=α+β+γ +δ=(α+γ ) + (β+δ) x+y=(α+γ )+ (β+δ) VEKTOROK ÖSSZEADÁSA: koordinátánként Milyen koordinátrendszeren igz e szály? Bércesné Novák Ágnes 6
27 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Műveletek koordinátás lkn, ORTONORMÁLT BÁZISBAN A koordináták szemléltetésére nimáció: _/DemoHtml_/.coorsys.htm Bércesné Novák Ágnes 7
28 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Műveletek koordinátás lkn, ORTONORMÁLT BÁZISBAN Uu., mint áltlános ázisn: = i+ j+ k xi+yj+zk = i+ j+ k λ=λ( i+ j+ k)=(λ )i+(λ )j+(λ )k += i+ i+ j+ j+ k+ k=( + )i+( + )j+( + )k Bércesné Novák Ágnes 8
29 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Sklárszorzt kiszámítás ORTONORMÁLT BÁZISn Animáció: (mind piros, mind kék vektort végénél fogv lehet mozgtni, jo felső srokn leolvshtó minden számdt. A piros vektor vetülete láthtó kék vektoron.) Bércesné Novák Ágnes 9
30 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Sklárszorzt kiszámítás ORTONORMÁLT BÁZISn A sklárszorzt értéke függ ázistól. Tétel: Legyenek i, j, k páronként merőleges egységvektorok, melyek jorendszert lkotnk. (Descrtes). A felontási tétel szerint ekkor: = i+ j+ k = i+ j+ k = i= i i Alklmzv sklárszorzt disztriutív tuljdonságát: =( i+ j+ k) ( i+ j+ k)= i i+ i j+ i k+ j i+ j j+ j k+ k i+ k j+ k k= + + Bércesné Novák Ágnes 0
31 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Felhsználás: I. Fizik, pl. W=F s II. Vetületek (Pl. fizikán is erők felontás) = + m m α e = (. e ) e = (hossz) irány Bércesné Novák Ágnes
32 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger III. Sík normálvektoros egyenlete Animáció: _5/DemoHtml_5/.5%0LinesAndPlnes.htm Bércesné Novák Ágnes
33 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger IV. Sík normálvektoros egyenlete n z S sík normálvektor (n síkr merőleges) n P 0 p 0 p P S P 0 (x 0, y 0, z 0 ) sík trtópontj (tetszőleges, de rögzített) P(x, y, z) sík tetszőleges pontj, futópont S egyenlete: n P 0 P = 0, hiszen merőleges vektorok P 0 P = p - p 0 Bércesné Novák Ágnes
34 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Péld: n(,,) p 0 (4,5,6), P 0 P = (x-4), (y-5), (z-6) P(x,y,z) (x-4) +(y-5) +(z-6) =0 x Rendezve: x+y+z-4-0-8=0 Áltlán z ()x+()y+()z= Ax+By+Cz=D lineáris egyenlet egy A, B, C, normálvektorú sík egyenletének tekinthető. Típusfeldtok:. Koordinátáivl dott sík pontj. Adj meg sík egyenletét!. Adott 4 pont. Hogyn lehet eldönteni, hogy egysíkúk-e? Bércesné Novák Ágnes 4
35 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Vektoriális szorzt: vektor vektor=vektor (CROSS product) = sin(,) e hossz== sin(,) e = e, e,,e jorendszert lkot(-hüvelyk-,-muttó-,e-középsőujj) e Érdekes ez z nimáció: (Megjegyzés: z és vektorokt lehet mozgtni z egérrel, c vektorrl lehet forgtni z árát) Bércesné Novák Ágnes 5
36 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger A vektoriális szorzt geometrii jelentése: m= sinα lp: e α m x = sinα=terület = (lp mgsság) Bércesné Novák Ágnes 6
37 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Fontos vektoriális szorztok: i i=0 i j=k j j=0 j k=i k k=0 k i=j Jorendszert lkot és merőleges, így nem lehet más, mint. vektor. i k j i k=-j, st. A vektoriális szorzt tuljdonsági: =- ntikommuttív ( ) c ( c) (nem sszocitív) (+) c=( c)+( c) (+c)=( )+( c) kétoldli disztriutivitás Bércesné Novák Ágnes 7
38 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Vektoriális szorzt kiszámítás ORTONORMÁLT BÁZISn Tétel: H =( i+ j+ k) =( i+ j+ k) dottk, kkor = i j k = i -j +k Bércesné Novák Ágnes 8
39 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger =( i i)+( i j)+( i k)+ ( j i)+( j j)+( j k)+ ( k i)+( k j)+( k k) Felhsználv z előzőleg kiszámított vektoriális szorztokt, és lklmzv disztriutivitást (kiemelés): =i( - )-j( - )+k( - ) = i -j +k = i j k (Determináns) Bércesné Novák Ágnes 9
40 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Determinánsok kiszámítás kifejtési TÉTEL szerint (nem definíció, késő iz.): x : = : Sor szerinti kifejtés: sor minden elemét megszorozzuk hozzá trtozó (előjeles) ldeterminánssl és z így kpott számokt összedjuk. Adott elemhez trtozó (előjeles) ldetermináns: Az elem sorát és oszlopát elhgyv új determinánst kpunk. Előjele skktál szály szerint. Pl. első sor szerint kifejtve: = x : Sor szerinti kifejtés: sor minden elemét megszorozzuk hozzá trtozó (előjeles) ldeterminánssl és z így kpott számokt összedjuk. Bércesné Novák Ágnes 40
41 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Tétel: =0 Biz.: ) =0 H két vektor egymássl párhuzmos, kkor ezárt szög 0 vgy π, és így sin(,)=0, tehát =0. ) =0 H és vektoriális szorzt 0, kkor = sin(,)=0 A jo oldlon álló nullvektor kétféleképpen állht elő. Vgy sin(,)=0, és ekkor ezárt szög =0 vgy π két vektor párhuzmos. A másik eset, hogy vgy leglá egyike nullvektor. Nullvektor irány tetszőleges, így párhuzmosság fennáll. Bércesné Novák Ágnes 4
42 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Vegyes szorzt Definíció: Az ( x ) c szorztot vegyes szorztnk nevezzük. Geometrii jelentés: c m e legyen x -vel egységvektor, tehát merőleges z és vektorok síkjár : lpterület, ( e) c = (lpterület mgsság)= előjeles térfogt mgsság Bércesné Novák Ágnes 4
43 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Az előjel prlelepipedon elhelyezkedését (ttól függően + vgy -, hogy c vektor ugyn térféle mutt-e, mint z x ) dj meg, szám pedig térfogt mérőszámát. Bércesné Novák Ágnes 4
44 PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Bércesné Novák Ágnes 44 Vegyes szorzt kiszámítási módj ortonormált ázis esetén Tétel: H =( i+ j+ k) =( i+ j+ k) c= (c i+c j+c k) dottk, kkor ( x ) c= = c c c c c c + = Biz.: =i( - )-j( - )+k( - )= c=(i -j +k ) (c i+c j+c k)= c - c + c = = i j k c c c
Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:
Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,
RészletesebbenNéhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
RészletesebbenVektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük
Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
RészletesebbenVektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)
Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér
RészletesebbenVektorok (folytatás)
Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenA közönséges geometriai tér vektorai. 1. Alapfogalmak
VEKTORALGEBRA A közönséges geometrii tér vektori 1. Alpfoglmk A hétköznpi tér z elemi geometri háromdimenziós euklideszi tere két különöző pontj, z A és B közti szksznk kétféleképpen dhtunk irányítást.
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri
Részletesebben2014/2015-ös tanév II. féléves tematika
Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik
Részletesebben2010/2011 es tanév II. féléves tematika
2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
/0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:
RészletesebbenAlgebrai struktúrák, mátrixok
A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
RészletesebbenAbsztrakt vektorterek
Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenIX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN
4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z
Részletesebben2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
Részletesebben1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,
Számok és mûveletek + b b + Összedásnál tgok felcserélhetõk. (kommuttív tuljdonság) ( + b) + c + (b + c) Összedásnál tgok csoportosíthtók. (sszocitív tuljdonság) b b ( b) c (b c) 1. Végezd el kijelölt
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenGyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés
Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenHeves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)
Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenDISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes
1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.
Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,
RészletesebbenHatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek
Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont
RészletesebbenHázi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása
Automták nlízise, szintézise és minimlizálás Formális nyelvek, 11. gykorlt Célj: Az utomták nlízisének és szintézisének gykorlás, utomt minimlizáió Foglmk: Anlízis és szintézis, nyelvi egyenlet és egyenletrendszer
Részletesebben7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf81 2018-09-04
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenKlár Gergely 2010/2011. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
Részletesebben1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?
1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy
RészletesebbenGyakorló feladatsor 11. osztály
Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy
Részletesebben1. A komplex számok ábrázolása
1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az
Részletesebbenl.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.
Részletesebben1. A komplex számok definíciója
1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van
RészletesebbenO ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
Részletesebben4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
RészletesebbenKörnyezetfüggetlen nyelvek
Környezetfüggetlen nyelvek Kiegészítő nyg z Algoritmuselmélet tárgyhoz ( ónyi Ivnyos Szó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Ktlin BM SZI friedl@cs.me.hu 2017. ugusztus 3. A reguláris nyelveket véges utomtákkl
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenV. Koordinátageometria
oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón
RészletesebbenPPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1
PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik = DETERMINÁNSOK = 13 = + + 13 13 Bércesé Novák Áges 1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik DETERMINÁNSOK Defiíció: z sorb és m oszlopb elredezett x m (vlós vgy képzetes)
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenLineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság
1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Részletesebben{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek
1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenIV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok
Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol
RészletesebbenA gyakorlati jegy
. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenF.I.1. Vektorok és vektorműveletek
FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg
Részletesebben1. Az euklideszi terek geometriája
1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
RészletesebbenAz ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.
5 egyes feldtok Az dott körök k : x + ( y- ) = és k : ( x- ) + y = K (; 0), r, K (; 0), r K K = 0 > +, két körnek nincs közös pontj Legyen (; ) Az egyenlô hosszú érintôszkszokr felírhtjuk következô egyenletet:
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenXX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny onyhá, 011. március 11 15. 11. osztály 1. felt: Igzoljuk, hogy ármely n 1 természetes szám esetén. Megolás: Az összeg tgji k k 1+ k = = 1+ + n +... < 1+ 1+ n 3 1+ k
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:
. Guss elimináció.1 Oldjuk meg Guss-Jordn eliminációvl következő egyenletrendszert: x - x + x + x5 = -5 x1-7x + 8x - 5x = 9 x1-9x + 1x - 9x = 15. A t prméter mely értékeire nincs z egyenletrendszernek
RészletesebbenPtolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenBevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton
011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet
Részletesebbenn m db. szám a i R Lehet a k, vagy a α. i, α szabad index a ij két indexű mennyiség (i sor index, j oszlop index) a ib j
a R 1 db. szám a 1, a 2,..., a n {a i} i=1,n a i R Lehet a k, vagy a α. i, α szabad index a 11 a 12... a 1m a 21 a 22... a 2m........ a n1 a n2... a nm {a ij} i=1,n,j=1,m R a ij két indexű mennyiség (i
Részletesebben1. Szabadvektorok és analitikus geometria
1. Szabadvektorok és analitikus geometria Ebben a fejezetben megismerkedünk a szabadvektorok fogalmával, amely a középiskolai vektorfogalom pontosítása. Előzetes ismeretként feltételezzük az euklideszi
Részletesebben