Gazdaságmatematikai és statisztikai ismeretek. /Elméleti jegyzet/

Átírás

1 Gzdságmtemtk és sttsztk smeretek /Elmélet jegyzet/

2 Gzdságmtemtk és sttsztk smeretek /Elmélet jegyzet/ Szerző: Vcze Szlv Debrece Egyetem Gzdálkodástudomáy és Vdékfejlesztés Kr ( - 8. fejezet) Kovács Sádor Debrece Egyetem Gzdálkodástudomáy és Vdékfejlesztés Kr (9-6. fejezet) Szerkesztő: Vcze Szlv Kovács Sádor Lektor: Szűcs Istvá Szet Istvá Egyetem Debrece Egyetem Gzdálkodástudomáy és Vdékfejlesztés Kr Po Egyetem Georgko Kr Debrece Egyetem, AGTC Debrece, 03 Vcze Szlv, Kovács Sádor, 03

3 Kézrt lezárv: 03. május 30. ISBN DEBRECENI EGYETEM AGRÁR- ÉS GAZDÁLKODÁSTUDOMÁNYOK CENTRUMA A kdváy TÁMOP-4...A/-/ projekt keretébe készült. 3

4 TARTALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ HALMAZELMÉLET ÉS SZÁMHALMAZOK A HALMAZ FOGALMA, JELÖLÉSEK RÉSZHALMAZ, HATVÁNYHALMAZ HALMAZOK SZEMLÉLTETÉSE MŰVELETEK HALMAZOKKAL SZÁMHALMAZOK A természetes számok hlmz Az egész számok hlmz A rcoáls számok hlmz A vlós számok hlmz ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK RELÁCIÓK ÉS FÜGGVÉNYEK A DESCARTES-SZORZAT, A RELÁCIÓ FOGALMA A RELÁCIÓ ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNYA, ÉRTÉKKÉSZLETE, INVERZE, AZ ÖSSZETETT RELÁCIÓ A FÜGGVÉNY FOGALMA HALMAZOK SZÁMOSSÁGA ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK AZ EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNY FOGALMA, MŰVELETEK AZ EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNY ZÉRUSHELYE KORLÁTOSSÁG, MONOTONITÁS, SZÉLSŐÉRTÉK KONVEX ÉS KONKÁV FÜGGVÉNYEK, INFLEXIÓS PONT PÁROS ÉS PÁRATLAN FÜGGVÉNYEK PERIODIKUS FÜGGVÉNYEK AZ EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK NEVEZETES OSZTÁLYAI Algebr függvéyek Trszcedes függvéyek Egyéb evezetes függvéyek FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK SOROZATOK A SOROZAT MEGADÁSA, SZEMLÉLTETÉSE, MŰVELETEK SOROZATOKKAL A SOROZAT TULAJDONSÁGAI SOROZAT KONVERGENCIÁJA SOROZATOK HATÁRÉRTÉKÉNEK KISZÁMÍTÁSÁRA VONATKOZÓ TÉTELEK RÉSZSOROZAT VÉGTELEN, MINT HATÁRÉRTÉK A SZÁMTANI ÉS A MÉRTANI SOROZAT A MÉRTANI SOROZAT ALKALMAZÁSAI Kmtos kmtszámítás Járdékszámítás Kölcsöök törlesztése Ismétlődő beruházások Hozdékszámítás ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE VÉGES HELYEN HATÁRÉRTÉK A VÉGTELENBEN

5 5.3. A FÜGGVÉNY FOLYTONOSSÁGA ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS A DIFFERENCIA- ÉS A DIFFERENCIÁLHÁNYADOS FOGALMA DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK AZ ELEMI FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJAI A L HOSPITAL-SZABÁLY MAGASABBRENDŰ DERIVÁLTAK TELJES FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT ELASZTICITÁS RÁFORDÍTÁS - HOZAM FÜGGVÉNYEK ELEMZÉSE ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK MÁTRIXOK ÉS DETERMINÁNSOK A MÁTRIX FOGALMA A MÁTRIX TRANSZPONÁLTJA SPECIÁLIS MÁTRIXOK MŰVELETEK MÁTRIXOKKAL Mátrok összedás, sklárrl szorzás és leárs kombácój Mátr szorzás mátrszl A DETERMINÁNSFÜGGVÉNY A DETERMINÁNSFÜGGVÉNY NÉHÁNY TULAJDONSÁGA ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA Egyeletredszerek megoldás Guss-elmácóvl A Crmer-szbály A HOMOGÉN EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSÁRÓL ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK VEKTORTEREK ÉS A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ VEKTORTEREK Leárs kombácó, leárs függetleség, leárs függőség Geerátorredszer, dmezó, bázs Altér, rg, komptbltás Az egyeletredszer mátros lkj AZ ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ ÉS ALKALMAZÁSAI Az elem bázstrszformácó Leárs függőség/függetleség meghtározás A komptbltás vzsgált Mátr/vektorredszer rgják megállpítás Mátr verzéek meghtározás Egyeletredszer megoldás ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK EUKLIDESZI TÉR, SKALÁRIS SZORZAT, NORMA, TÁVOLSÁG TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA PARCIÁLIS DERIVÁLTAK DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK A TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK SZÉLSŐÉRTÉK-SZÁMÍTÁSA TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK LOKÁLIS ÉS GLOBÁLIS MAXIMUMA ÉS MINIMUMA A MAGASABBRENDŰ PARCIÁLIS DERIVÁLT FOGALMA A TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FELTÉTEL NÉLKÜLI SZÉLSŐÉRTÉKÉNEK MEGHATÁROZÁSA

6 0.9. FELTÉTELES SZÉLSŐÉRTÉK ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK KOMBINATORIKA PERMUTÁCIÓ Ismétlés élkül permutácó Ismétléses permutácó VARIÁCIÓ Ismétlés élkül vrácó Ismétléses vrácó KOMBINÁCIÓ Ismétlés élkül kombácó Ismétléses kombácó BINOMIÁLIS TÉTEL BINOMIÁLIS EGYÜTTHATÓK NÉHÁNY TULAJDONSÁGA ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS AZ ESEMÉNY MATEMATIKAI FOGALMA, ESEMÉNYTÉR MŰVELETEK ESEMÉNYEKKEL A VALÓSZÍNŰSÉG MATEMATIKAI FOGALMA A VALÓSZÍNŰSÉG KISZÁMÍTÁSÁNAK MÓDJAI A klsszkus vlószíűség Vssztevéses mtvétel A vssztevés élkül mtvétel A vlószíűség geometr kszámítás A FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG ESEMÉNYEK FÜGGETLENSÉGE TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTEL ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK AZ ELOSZLÁSFÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAI A SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY ÉS TULAJDONSÁGAI NEVEZETES DISZKRÉT ELOSZLÁSOK A bomáls eloszlás A geometr eloszlás A Posso-eloszlás NEVEZETES ABSZOLÚT FOLYTONOS ELOSZLÁSOK Az egyeletes eloszlás Az epoecáls eloszlás A ormáls eloszlás A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK STATISZTIKAI ALAPFOGALMAK A STATISZTIKA FOGALMA ALAPFOGALMAK A STATISZTIKAI SOKASÁG TÍPUSAI ISMÉRVEK STATISZTIKAI SOROK Meység sorok Egyéb sorok A sttsztk sorok jellegzetessége STATISZTIKAI TÁBLÁK FORMAI ÉS TARTALMI KÖVETELMÉNYEK

7 4.8. STATISZTIKAI VISZONYSZÁMOK Egyemű vszoyszámok Külöemű dtok vszoyítás KÖZÉPÉRTÉKEK Számított középértékek Helyzet középértékek SZÓRÓDÁS ÉS MUTATÓI Terjedelem Középeltérés Abszolút átlgeltérés Vrc (szóráségyzet) Négyzetes átlgeltérés (szórás) STATISZTIKAI INDEXEK Abszolút számokból számított deek Vszoyszámokból számított deek ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK... 5 TÁRGYMUTATÓ IRODALOMJEGYZÉK

8 ELŐSZÓ A jegyzet Mgyr felsőokttás MsC képzésébe résztvevő, Vdékfejlesztés és gzdság grármérök szkos hllgtók számár készült TÁMOP-4...A/-/ sz. A Vdékfejlesztés és gzdság grármérök mesterképzés szkok és feltétellel belépők felzárkózttás, esettulmáyoko lpuló, gykorltoretált, modul redszerű tygák fejlesztése, külöös tektettel z formtk eszközök lklmzásár című pályázt keretébe. A pályáztb vállltk lpjá gzdságmtemtk és sttsztk témkörbe egy elmélet és egy gykorlt jegyet készült el. Az elmélet részbe szem előtt trtottuk zt téyt, hogy em mtemtkusok képezéséhez kell gzít z smeretygot. Céluk z volt, hogy hllgtókt megsmertessük zokkl főbb mtemtk lpeszközökkel, melyek mezőgzdság, közgzdság, természettudomáy, vlmt formtk ttárgyk tulmáyozásához élkülözhetetleek. Eek érdekébe rr törekedtük, hogy lehető legegyszerűbbe, szemléletes módo jussuk el z lklmzhtó mtemtk módszerekhez, vlmt, hogy mtemtk smereteket - hol csk erre lehetőségük volt - bzoyítások élkül, leglpvetőbb foglmkt példákkl látámsztv hozzuk közelebb z Olvsóhoz, és lpot teremtsük rr, hogy sor kerülhesse mjd lklmzás lehetőségekre egy külö gykorlt jegyzetbe. Az elmélet smeretek gykorlt kpcsolódáskét említhetjük meg termelés téyezők redszerezését, téyezőkpcsoltok függvéyekkel törtéő feltárásák lehetőségét, vlmt külöböző gzdság becsléseket és pézügy műveletek hozdékk számítását, lletve gzdság és egyéb formácók sttsztk eszközökkel törtéő feldolgozását, elemzését. A jegyzet kerete között em törekedtük teljes elmélet felépítésre. A középskol mtemtk foglmkt közvetleül hszáltuk és fejlesztettük tovább, egyszerű példáko keresztül megpróbáltuk értelmez defícókt, tételeket. Tudtáb vgyuk k, hogy célktűzéseket em mde tektetbe skerült mrdék élkül megvlósít. H zob előbbre tudtuk lép mtemtk mezőgzdság és gzdság, természettudomáy lklmzás kompleebb smeretygák kdolgozásáb és külöböző területeke tuló hllgtókt közelebb hozhttuk mtemtkához, kkor fárdtságuk már em volt hábvló. Szerzők A jegyzet mtemtk fejezete gyb támszkodk Bíró és Vcze (000) köyvéek ygár. 8

9 . HALMAZELMÉLET ÉS SZÁMHALMAZOK A természetbe lejátszódó eseméyek, jeleségek kölcsöhtásb állk egymássl. A kpcsoltok leírás, vzsgált és gykorlt lklmzás mdep yelv segítségével legtöbb esetbe ge ehézkes, sőt dőkét kvtelezhetetle. Így klkult egy sjátos yelv, mely megköyít dolgukt. E yelv lpeleme függvéy, mely ge jeletős szerepet játszk gzdság és z élet egyéb területe, mezőgzdság és pr termelésbe, vlmt kuttásb s. A függvéy áltláos foglmához szükségük v hlmz foglmák smeretére, vlmt meg kell smerkedük éháy, hlmzokhoz kpcsolódó szkrodlm foglomml s (Rmá, 99; Cseryák, 998).. A hlmz foglm, jelölések A hlmz foglmát mtemtkáb em defáljuk, tuljdoságvl körülírt lpfoglomk tektjük. A hlmz bzoyos jól meghtározott, külöböző objektumokk z összességét jelet. A hlmzokt áltláb lt gybetűkkel (H,K,L,...), elemet pedg lt ksbetűkkel (h,k,l,...) jelöljük. A hlmzt lkotó objektumok hlmz eleme, z elem foglmát s lpfoglomk tektjük. Egy hlmzb k mdegyk eleme csk egyszer fordul elő, és z elemek sorredje tetszőleges. Egy hlmz kkor tekthető dottk, h mde elemről egyértelműe el tudjuk döte, hogy bee v-e z dott hlmzb vgy sem. A hlmz megdás z elemeek megdását jelet, mely törtéhet hlmz elemeek felsorolásávl, vgy hlmz elemere jellemző közös tuljdoság megdásávl. Létezk oly hlmz s, melyek egyetle eleme scs. Az lye hlmzt üres hlmzk evezzük és -vl jelöljük. H egy hlmzk véges sok eleme v, kkor véges hlmzról, ellekező esetbe végtele hlmzról beszélük. Defícó. Két hlmz egyelő, h ugyzokból z elemekből áll. A H és K hlmzok egyelőségére H = K jelölést, eek tgdásár H K jelölést hszáljuk.. Részhlmz, htváyhlmz Defícó. A H hlmz K hlmz részhlmz, h H mde eleme bee v K hlmzb. Eek jelölése: H K. Azt s modhtjuk, hogy H bee v K- b, vgy K trtlmzz H-t. Ez szmbólumokkl következőképpe fejezhető k: h H h K. H H hlmz K hlmzk részhlmz, de H K, kkor H vlód részhlmz K-k. Eek jelölése: H K. Megjegyzés. A, trtlmzás, lletve vlód trtlmzás jele; ezek tgdás:,. A részhlmz defícój lpjá z üres hlmz része mde hlmzk, és mde hlmz része ömgák: H, H H. Ez zt jelet, hogy bármely emüres hlmzk v leglább két részhlmz. Ezeket részhlmzokt trváls részhlmzokk evezzük. Tétel. A H és K hlmzok potos kkor egyelők, h H K és K H trtlmzás egydejűleg feáll. 9

10 Defícó. Egy dott H hlmz összes részhlmzk hlmzát H htváyhlmzák evezzük. Jele: P(H), vgy H. Tétel. H egy H hlmzk drb eleme v, kkor P(H) hlmzk eleme v..3 Hlmzok szemléltetése A hlmzok szemléltetésére gykr hszáluk ábrákt, ezeket hlmzokt sík bzoyos trtomáyvl (pl. körlpokkl, tégllpokkl,...) jeleíthetjük meg. Ezeket z ábrákt Ve-dgrmokk evezzük (. ábr).. ábr: Az U lphlmz, lletve H és K hlmzok Ve-dgrmj Forrás: Bíró és Vcze (000) A továbbkb mdg feltesszük, hogy szób forgó H, K,... hlmzok egy dott U hlmzk részhlmz. Az lye U hlmzt lphlmzk (uverzumk) hívjuk. Az U lphlmzt áltláb tégllppl, H, K,... részhlmzokt pedg vlmlye zárt görbével htárolt trtomáyl ábrázoljuk. A későbbek sorá szemléltetés megköyíthet hlmzokr votkozó összefüggések gzolását..4 Műveletek hlmzokkl Tektsük z U lphlmzt, lletve H és K hlmzokt, melyekre teljesül, hogy: H, K U. Defícó. Két (vgy több) hlmz uój (egyesítése) zokk z elemekek hlmz, melyek megdott hlmzok közül leglább z egykbe bee vk (. ábr). Jele:, szmbólumokkl: H K = { U H vgy K}.. ábr: A H és K hlmzok uój Forrás: Bíró és Vcze (000) 0

11 Mde H,K,L U hlmz eseté z uóképzésre teljesülek következő tuljdoságok: () H K = K H, zz kommuttív; () H (K L) = (H K) L, zz sszoctív; (3) H H = H, zz dempotes; (4) K U = U; (5) H = H. Defícó. Két (vgy több) hlmz metszete (közös része) zokk z elemekek hlmz, melyek megdott hlmzok mdegykébe bee vk (3. ábr). Jele:, szmbólumokkl: H K = { U H és K}. 3. ábr: A H és K hlmzok metszete Forrás: Bíró és Vcze (000) Defícó. Azt modjuk, hogy két hlmz dszjukt, h metszetük z üres hlmz. Az uó- és metszetképzésre H,K,L U hlmz eseté teljesülek z lább állítások: () H (H K) = H, H (H K) = H, bszorbcós tuljdoság; () (H K) L = (H L) (K L) és (H K) L = (H L) (K L), dsztrbutvtás. Defícó. A H és K hlmz külöbségé H összes oly eleméek hlmzát értjük, melyek cseek bee K hlmzb (4. ábr). Jele: H \ K. Szmbólumokkl: H \ K = { H K}. 4. ábr: A H és K hlmzok külöbsége Forrás: Bíró és Vcze (000) Defícó. A H hlmz lphlmzr votkozó komplemetere (kegészítő hlmz) z U \ H hlmz (5. ábr). Jele: H c vgy H. Szmbólumokkl: H c ={ U H}.

12 5. ábr: A H hlmz komplemetere Forrás: Bíró és Vcze (000) Tetszőleges H,K,L U hlmzr teljesülek következők: () U c =, c = U; () (K c ) c = K; (3) K K c = U, K K c = ; (4) h K = H, kkor K c = H c ; (5) h K H, kkor H c K c ; (6) De Morg-zoosságok: (K H) c = K c H c, (K H) c = K c H c ; (7) H \ K = kkor és csk kkor, h H K..5 Számhlmzok Ebbe részbe z egyértelműség, lletve z egységes jelölés mtt szkrodlomml összhgb tektsük át számfoglom felépítését (Szedre, 996)..5. A természetes számok hlmz Defícó. Az N = {,,3,4,5,6,...} hlmzt természetes számok hlmzák evezzük. Ebbe hlmzb két műveletet értelmezük, z összedás és szorzás műveletét:,m N eseté + m N és m N..5. Az egész számok hlmz Defícó. A Z = {..., 3,,,0,,,3,...} hlmzt z egész számok hlmzák evezzük. Ebbe hlmzb három műveletet értelmezük: z összedás, kvoás és szorzás műveletét.,y Z eseté + y Z, y Z és y Z. Megjegyzés. Láthtó, hogy ebbe hlmzb már z összedás verz művelete, kvoás s elvégezhető, vlmt z, hogy N Z.

13 .5.3 A rcoáls számok hlmz p Defícó. A Q = p, q Ζ,q 0hlmzt rcoáls számok hlmzák evezzük. A q p kfejezést közöséges törtek modjuk, melyek p számlálój, q evezője. Ebbe q hlmzb égy műveletet értelmezük: z összedás, kvoás, szorzás és z osztás műveletét. Megjegyzés. Tétel.,y Q eseté + y Q, y Q, y Q és y Q (y 0). () Láthtó, hogy ebbe hlmzb már szorzás verz művelete, z osztás s elvégezhető (kvéve 0-vl vló osztást), vlmt z, hogy N Z Q. () A rcoáls szám tzedes tört lkj vgy véges, vgy szkszos smétlődő végtele tzedes tört. () Bármely véges vgy szkszos smétlődő végtele tzedes tört fel írhtó két egész szám háydoskét. () Mde rcoáls szám felírhtó véges vgy szkszos smétlődő végtele tzedes tört lkb..5.4 A vlós számok hlmz Defícó. Az oly számokt, melyek tzedes tört kfejezése végtele, de em szkszos smétlődő, rrcoáls számokk modjuk. Defícó. A rcoáls és z rrcoáls számok hlmzák uóját vlós számok hlmzák evezzük és R-rel jelöljük. Megjegyzés. A vlós számok ábrázolhtók számegyeese (6. ábr). 6. ábr: A vlós számegyees Forrás: Bíró és Vcze (000) A vlós számok hlmzáb elvégezhetők z lpműveletek: (),y R eseté + y R, (),y R eseté y R, (3),y R eseté y R, (4),y R, y 0 eseté y R. 3

14 Az összedás és szorzás tuljdoság: () + y = y + és y = y,y R, zz kommuttív, () ( + y) + z = + (y + z) és ( y) z = (y z),y,z R, zz sszoctív, (3) ( + y) z = z + y z,y,z R, zz dsztrbutív, (4) 0 R úgy, hogy + 0 = R, (létezk ull elem), (5) R úgy, hogy = R, (létezk z egységelem), (6) R eseté y R úgy, hogy +y = 0 (ezt z y elemet evezzük z elem egtívják, melyről gzolhtó, hogy egyértelmű és y=-), (7) 0 R eseté y R úgy, hogy y = Defícó. (ezt z elemet evezzük z elem recprokák, melyről gzolhtó, hogy egyértelmű és y= vgys y= - ). () A H R hlmz felülről korlátos, h l R úgy, hogy z l elem mde H-bel elemél gyobb egyelő. () A H R hlmz lulról korlátos, h k R úgy, hogy k elem mde H-bel elemél ksebb egyelő. (3) H egy hlmz lulról és felülről s korlátos, kkor korlátosk evezzük. Defícó. () H H R hlmz felülről korlátos, kkor H felső korlátk legksebbkét potos felső korlátk (dege szóvl supremumk) evezzük. Máskét foglmzv potos felső korlát z, mely mde felső korlátál ksebb egyelő. Jele: sup H. () H H R hlmz lulról korlátos, kkor H lsó korlátk leggyobbkát potos lsó korlátk (dege szóvl fmumk) evezzük. Máskét foglmzv potos lsó korlát z, mely mde lsó korlátál gyobb egyelő. Jele: f H. Megjegyzés. A vlós számok hlmzák fotos tuljdoság, hogy bee mde felülről korlátos hlmzk v potos felső korlátj és mde lulról korlátos hlmzk v potos lsó korlátj. Defícó. () H H felülről korlátos hlmzk v H-bel felső korlátj, kkor ezt H mmumák modjuk. Jele: m H. () H H lulról korlátos hlmzk v H-bel lsó korlátj, kkor ezt H mmumák modjuk. Jele: m H. 4

15 Megjegyzés. () Egy H hlmz mmum potos kkor létezk, h H hlmz supremum H hlmzb v, és ekkor sup H = m H. () Egy H hlmz mmum potos kkor létezk, h H hlmz fmum H hlmzb v, és ekkor f H = m H. Megjegyzés. () Mde vlós számál v gyobb természetes szám. () A rcoáls számok számegyeese mdeütt sűrű helyezkedek el. Azz bármely két külöböző vlós szám között v rcoáls szám. Defícó. Az I R hlmzt tervllumk evezzük, h,y I és z y eseté z I, zz bármely két elemével együtt köztük lévő elemeket s trtlmzz. H I = {}, kkor I-t elfjult tervllumk modjuk. Jelölések. () [ ] { } () [ [ { } (3) ] ] { } (4) ] [ { } Defícó. Az R b := R { } hlmzt vlós számok kbővített hlmzák evezzük. Ebbe hlmzb - < + és mde R-re teljesül, hogy - < <. Megjegyzés. Az R + hlmz poztív vlós számokt trtlmzz, zz Defícó. Legye R. Ekkor R + = { }. () ( ), ( ) és () h > 0, kkor (3) h < 0, kkor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5

16 (4) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ). Megjegyzés. A és szmbólumokkl végzett lább műveleteket em értelmezzük: () ( ) ( ) (3) ( ) (5) ( ) (7) (9) () ( ) ( ) (4) ( ) (6) ( ) (8) (0) Defícó. Legye R. Ekkor () ] [ { } () [ [ { } (3) ] [ { } (4) ] [ { }.6. Elleőrző kérdések. Mt értük hlmzo?. Hogy dhtuk meg egy hlmzt? 3. Mkor modjuk, hogy két hlmz egyelő? 4. Legye H és K tetszőleges két hlmz. Mkor modjuk, hogy H hlmz részhlmz K hlmzk? 5. Mt értük trváls részhlmzoko? 6. Defálj htváyhlmz foglmát. 7. Hogy szemléltethetjük hlmzokt? 8. Mt értük két vgy több hlmz egyesítésé és mlye tuljdoságokkl redelkezk? 9. Mt értük két vgy több hlmz metszeté és mlye tuljdoságokkl redelkezk? 0. Mt értük dsztbutvtáso z egyesítés és metszetképzés szempotjából?. Mkor modjuk, hogy két vgy több hlmz dszjukt?. Adjo meg dszjukt hlmzokt. 3. Mt értük két hlmz külöbségé, mlye tuljdoságokkl redelkezk? 4. Defálj komplemeterhlmz foglmát, és djo meg éháy, komplemeterre votkozó tuljdoságot. 5. Mt modhtuk egy hlmz komplemeteréek komplemeteréről? 6

17 6. Igz-e mde hlmzr, hogy (( H \ K ) ( K \ H )) H K? 7. Mlye kpcsolt v H és K hlmzok között, h H \ K = és H K = H? 8. Mlye kpcsolt v H és K hlmzok között, h H \ K = és H K = H? 9. Mlye kpcsolt v H és K hlmzok között, h H \ K = és K \ H =? 0. Ve-dgrm segítségével dötse el, hogy gzk-e z lább állítások! ) A \ (B C)=(A\B) (A\C) b) (A B) \ C=(A\C) (B\C). Mt értük természetes számoko? Mlye műveleteket végezhetük természetes számok hlmzá?. Mt értük z egész számoko? Mlye műveleteket végezhetük z egész számok hlmzá? 3. Defálj rcoáls számok hlmzát. Mlye műveleteket végezhetük rcoáls számok hlmzáb? 4. Mk zok z rrcoáls számok? 5. Defálj vlós számok hlmzát. Mlye lpműveleteket végezhetük vlós számok hlmzá? 6. Adj meg vlós számok hlmzáb értelmezett összedás és szorzás tuljdoságt. 7. Legye H egy vlós részhlmz vlós számok hlmzák, Mkor evezzük H hlmzt felülről, ll. lulról korlátosk? 8. Defálj H hlmzt (h H egy vlós részhlmz vlós számok hlmzák) potos lsó, ll. potos felső korlátját. 9. Mt értük egy H felülről korlátos hlmz mmumá? 30. Mt értük egy H lulról korlátos hlmz mmumá? 3. Adj meg z tervllum foglmát. 3. Hogy kell tervllumot megrjzol, mjd számhlmz formávl megd? 33. Dötse el z lább állításokról, hogy gz vgy hms-e? ) Bármely szkszos smétlődő végtele tzedes tört felírhtó két egész szám háydosdkét. b) A rcoáls számok végtele tzedes tört lkb írhtók fel. c) H H ( R) lulról korlátos hlmz, kkor lsó korlátk legksebbkét potos lsó korlátk evezzük. d) Egy H hlmz mmum potos kkor létezk, h H hlmz potos felső korlátj H hlmzb v és ekkor suph=mh. e) Mde vlós számál v gyobb természetes szám. 7

18 . RELÁCIÓK ÉS FÜGGVÉNYEK Md hétközp, md tudomáyos életbe gykr előfordul, hogy bzoyos hlmzok eleme között kpcsolt fgyelhető meg. A kpcsolt foglmák mtemtk leírás relácó. Legye z h, k két tetszőleges elem. H ezek közül z egyket, modjuk h-t elsőek, k-t másodkk kjelöljük, kkor redezett elempárról beszélük, és ezt (h,k)-vl jelöljük. A redezett elempárok között z egyelőséget következőképpe értelmezzük: (h,k) = (l,m) h = l és k = m... A Descrtes-szorzt, relácó foglm Defícó. Legyeek H, K emüres hlmzok. H és K Descrtes szorztá redezett elempárokból álló H K = ( h, k) h H, k K hlmzt értjük. Szemléletese 7. ábrá muttj be Descrtes-szorztot. 7. ábr: H és K hlmzok Descrtes-szorzt Forrás: Bíró és Vcze (000) Defícó. Legyeek dottk H, H,..., H ( ) emüres hlmzok. A H, H,..., H hlmzok Descrtes-szorzt H H H = (h, h,..., h ) h H, h H,..., h H hol (h, h,..., h )-t redezett szám -esek evezzük. hlmz, 8

19 Megjegyzés. () Az R R = R hlmzt kétdmezós térek (síkk), z R R R=R 3 hlmzt pedg háromdmezós térek evezzük. () A vlós számokt úgy szemléltethetjük, hogy vlós számok hlmz és számegyees között kölcsööse egyértelmű hozzáredelést létesítük. Számpárok eseté derékszögű koordát-redszer segítségével sík potj és z R hlmz eleme között létesíthető kpcsolt. Hsoló értelmezhető háromdmezós tér potj és z R 3 között s kpcsolt. Defícó. A H és K hlmzok között H K Descrtes-féle szorzták bármely részhlmzát H és K hlmzok között relácók evezzük. (A H és K sorredje fotos!) Megjegyzés. () Azt téyt, hogy (h, k), így fejezhetjük k: h elem relácób v k elemmel. () Az (h,k) jelölés mellett hszáltosk még következő jelölések s: h k, (h,k), hk. (3) A relácót úgy szemléltethetjük, hogy H K Descrtes-féle szorzt ábrájá elemet jelölő potokt megjelöljük. (4) A H hlmzt tárgyhlmzk, K hlmzt képhlmzk evezzük... A relácó értelmezés trtomáy, értékkészlete, verze, z összetett relácó Defícó. A relácó értelmezés trtomáy zo h ( H) elemekek hlmz, melyekhez v oly k ( K), hogy (h, k) ϱ, zz D = {h H k K:(h,k) } H. Defícó. A relácó értékkészlete zokk k ( K) elemekek hlmz, melyekhez v oly h ( H), hogy (h, k), zz Defícó. A relácó verzé zt következőképpe defáluk: R = {k K h H:(h,k) } K. -gyel jelölt relácót értjük, melyet = {(k,h) (h,k) } K H. Defícó. Legye H K és K L dott relácó. A belőlük képzett összetett relácó: A H és L eleme között relácó. = {(h,l) H L k K:(h,k) és (k,l) }. 9

20 .3. A függvéy foglm Defícó. Legyeek X, Y emüres hlmzok. Az f X Y relácót függvéyek evezzük, h (, y) f és (, z) f eseté y = z (zz, h z f relácó egyértelmű). Megjegyzés. () Egy X-bel elemhez legfeljebb egy Y -bel elem trtozht. Ebbe z esetbe z egyértelmű y elemet f()-szel jelöljük, és z f függvéy -bel értéké -ek modjuk. () Mvel mde függvéy egy relácó, így függvéy értelmezés trtomáyák és értékkészletéek defícój megegyezk relácó értelmezés trtomáyávl és értékkészletével, ugyz jelölése s, mt relácók esetébe. (3) H z f értelmezés trtomáy z X hlmz, kkor z f X Y jelölés helyett z f: X Y jelölést hszáljuk. H z f értékkészlete z Y hlmz, kkor zt modjuk, hogy z f függvéy Y -r képező. Defícó. Legye f: X Y függvéy, H K, K Y. A H hlmz f szert képe f(h) = {y Y H:f()=y}. A K hlmz f szert ősképe f (K) = { X f() K}. Defícó. Az f függvéy vertálhtó, h z f relácó s függvéy. Ekkor f -et z f függvéy verz függvéyéek evezzük. Defícó. Legye f: X Y függvéy. H y Y elemre f (y) legfeljebb egy X- bel elemet trtlmz, kkor z f-et kölcsööse egyértelmű leképezések evezzük X-ről Y-b. Ezt másképpe kfejezve: f kölcsööse egyértelmű leképezése X-ek Y- b, h f( ) f( ), vlháyszor és, X. Megjegyzés. Csk kölcsööse egyértelmű leképezésekek v verze. Defícó. Legyeek X, Y, Z dott emüres hlmzok úgy, hogy X Y, és legye f: Y Z dott függvéy. Legye g: X Z oly függvéy, melyre f() = g() mde X eseté. Ekkor g-t z f X-re votkozó leszűkítéséek modjuk. Defícó. Adott f, g függvéyek eseté g f kompozícót összetett függvéyek modjuk. H f: X Y, g: Y Z, kkor h = g f: X Z függvéy, melyre h() = (g f)() = g(f())..4. Hlmzok számosság Defícó. A H és K hlmz egyelő számosságú, h v oly f: H K vertálhtó függvéy, melyek értékkészlete K hlmz. Jele: H K, mt úgy olvsuk, hogy H ekvvles K-vl. Defícó. Azt modjuk, hogy H véges hlmz, h vgy üres hlmz, vgy v oly poztív egész, hogy H ekvvles z {,, 3, 4,..., } hlmzzl. Az utóbb esetbe zt modjuk, hogy H hlmz elemű, vgy zt, hogy H hlmz elemeek szám. 0

21 Defícó. () Azt modjuk, hogy H hlmz végtele, h em véges. () A H hlmz megszámlálhtó végtele, h ekvvles természetes számok hlmzávl. (3) Azt modjuk, hogy H hlmz megszámlálhtó, h véges vgy megszámlálhtó végtele. Tétel. Egy hlmz kkor és csk kkor végtele számosságú, h ekvvles vlmelyk vlód részhlmzávl. Defícó. Azt modjuk, hogy H hlmz számosság ksebb vgy egyelő, mt K hlmz számosság, h v oly részhlmz K-k, mely egyelő számosságú z H-vl. A H hlmz számosság ksebb, mt K hlmz számosság, h számosság ksebb egyelő, de em egyelő K számosságávl..5. Elleőrző kérdések. Adj meg redezett pár foglmát.. Mt értük H és K emüres hlmzok Descrtes szorztá? 3. Hogy szemléltethetjük Descrtes szorztot? 4. Mt ért redezett szám -ese? 5. Defálj relácó foglmát! 6. Mt értük relácó értelmezés trtomáyá, értékkészleté és verzé? 7. Adj meg z összetett relácó foglmát. 8. M függvéy, és hogy lehet megd egy függvéyt? 9. Mt értük egy függvéy értelmezés trtomáyá és értékkészleté? 0. Defálj kölcsööse egyértelmű leképezés foglmát.. Mt értük függvéy verzé?. Mkor modjuk, hogy két hlmz egyelő számosságú? 3. Mkor modjuk, hogy H hlmz véges hlmz? 4. Mkor modjuk, hogy H hlmz végtele hlmz? 5. Adj meg, hogy H hlmzt mkor evezzük megszámlálhttlul végteleek, ll. megszámlálhtók?

22 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK A függvéy foglmák emcsk mtemtkáb v kemelkedő szerepe, de élkülözhetetle gzdság élet és természet folymtk leírásáb, z pr és mezőgzdság tervezésbe egyrát. H skerül ugys zt megállpít, hogy bzoyos meységek dott értékeél más tőlük függő meységek mlye értéket veszek fel, vgy bzoyos meységek megváltozásár más meységek hogy regálk, kkor ez segítséget jelethet z dott terület szkembere számár. A felsmert törvéyszerűségeket szkemberek gyekezek zárt formáb megfoglmz, és függvéyekkel megd. A tervezés, z elemzés vgy termelés területé gykr tlálkozhtuk függvéyekkel. Eze függvéyek közül tlá legjeletősebbek termelés függvéyek; melyek többek között rr kérdésre dk válszt, hogy termelés feltételek (ráfordítások: föld, műtrágy, műveletek elvégzés deje stb.) hogy befolyásolják termelés eredméyét. A függvéyek felsmerését zob ehezít z téy, hogy ezek függvéykpcsoltok gykr csk tedec jellegűek, számos véletle körülméy s befolyásolj őket. Ezekhez függvéyekhez áltláb regresszó- és korrelácólízs segítségével juthtuk el. A mtemtk módszerek lklmzás eseté s élkülözhetetleek függvéyek elemzéséek foglm, eszköze, függvéyek jellemző sjátosság. Az előzőekbe smertetésre került függvéy áltláos foglm. Ebből kdulv tudjuk értelmez z egyváltozós vlós függvéyt. 3.. Az egyváltozós vlós függvéy foglm, műveletek Defícó. Legye D R. Az f: D R függvéyt egyváltozós vlós függvéyek evezzük. Megjegyzés. Az egyváltozós vlós függvéyek szemléltetésére Descrtes-féle derékszögű koordátredszert hszáluk, melybe z (, f()) számpárokt ábrázolv kpjuk meg z f függvéy grfkoját. Defícó. Legye D R, f,g: D R dott függvéyek, c R. Ekkor c f, f + g, f f g, f g, függvéyeket z f c-szereséek, f és g összegéek, külöbségéek, g szorzták, lletve háydosák evezzük, és következőképpe értelmezzük: () (c f)() = c f(), () (f + g)() = f() + g(), (3) (f g)() = f() g(), (4) (f g)() = f() g() f (5) () = g f (), feltéve, hogy g() 0 mde D eseté. g()

23 3.. Az egyváltozós vlós függvéy zérushelye Defícó. Legye D R, f: D R dott függvéy. Az 0 D potot z f függvéy zérushelyéek evezzük, h f( 0 ) = 0. A zérushely geometr jeletése. A függvéy zérushelyét függvéy grfkoj és z tegely metszéspotj dj (8. ábr). 8. ábr: A zérushely geometr jeletése Forrás: Bíró és Vcze (000) Defícó. Az f() = lkú függvéyt -ed fokú rcoáls egész függvéyek vgy -ed fokú polomfüggvéyek vgy egyszerűe csk - ed fokú polomk (rövde polomk) evezzük, hol z ( = 0,,..., ) együtthtók vlós számok és 0. Tétel. Az f: R R, f() = polomk ( 0,,,..., dott vlós számok és 0) legfeljebb számú zérushelye lehet. Megjegyzés. Ezt rövde úgy s modjuk, hogy egy -edfokú polomk legfeljebb vlós gyöke v. A p polom dott = 0 helye vett helyettesítés értékéek meghtározásár Horerelredezést hszálhtjuk. A Horer-elredezés p() = = = ( (( + ) + ) + + ) + 0 polom helye vett helyettesítés értékéek (és így zérushelyéek, zz p(α)=0 egyelet vlós gyökéek) meghtározásár szolgál. A felhszáldó dtokt z lább módo redezzük tábláztb:. táblázt: A Horer-elredezés tábláztos formáj α α + - ( α + -) α + - p(α) Forrás: Bíró és Vcze (000) Az. tábláztot evezzük Horer-féle tábláztk. Az első soráb p együtthtó állk (csökkeő htváyok szert sorredbe), másodk sor elemet pedg úgy kpjuk, hogy bl oldl szomszédos elem α-szorosához hozzádjuk z éppe kérdéses rovt fölött együtthtót. Az 0 lá éppe p(α), z α helye felvett helyettesítés érték kerül. H p(α) = 0, kkor α zérushelye p-ek. A Horer-elredezés gyök behtárolásár 3

24 s lklms, mert h p( ) > 0 és p( ) < 0, vgy p( ) < 0 és p( ) > 0, kkor és között leglább egy gyök v. Tétel. H α z f: R R, f() = , ( 0,,,..., vlós számok és 0) polomk zérushelye, kkor z f mdg felírhtó következő lkb: f() = ( α) g() R, hol g: R R, g() = b b + b 0, (b 0,b,b,...,b vlós számok, b 0). Az ( α) szorzót gyöktéyezőek evezzük. Megjegyzés. Azz f mdg oszthtó z ( α) gyöktéyezővel, sőt z osztást éppúgy végezhetjük, mt vlós számok körébe. Tétel. H z f: R R, f() = , ( 0,,,..., vlós számok és 0) polom f() = ( α) k g() (k N) lkb írhtó fel és g(α) = 0, kkor z α szám k-szoros zérushelye z f polomk. A p polom zérushelyét kereshetjük egy közelítő módszer segítségével s, z tervllum felezés módszerével, vgy rövde felező módszerrel. Tektsük z f: R R polomot, és z, R, < potokt. Ameybe f( ) és f( ) elletétes előjelűek, z zt jelet, hogy és között függvéyek bztos v leglább egy zérushelye. Vegyük z 3 potot ( 3 z [, ] tervllum felezőpotj), és vzsgáljuk meg z f( 3 ) előjelét, mjd vegyük z 3 pothoz és közül zt potot, melyre függvéyérték elletétes előjelű lesz z f( 3 )-ml. Így új tervllumot kpuk ([, 3 ] vgy [ 3, ]), eek vesszük felezőpotját. Az eljárást tovább folyttv függvéy zérushelyét tetszőleges potossággl közelíthetjük meg Korlátosság, moototás, szélsőérték Defícó. Legye D R, f: D R dott függvéy. () Az f függvéyt lulról korlátosk evezzük, h értékkészlete lulról korlátos hlmz, zz létezk k R úgy, hogy k f() mde D eseté. () A g függvéyt felülről korlátosk evezzük, h értékkészlete felülről korlátos hlmz, zz létezk l R úgy, hogy g() l mde D eseté. (3) H h függvéy lulról és felülről s korlátos, kkor korlátos függvéyek evezzük. Defícó. Legye D R, f: D R dott függvéy. () Az f függvéy mooto övekvő, h, D : < eseté f( ) f( ). () Az f függvéy szgorú mooto övekvő, h, D: < eseté f( ) < f( ). (3) Az f függvéy mooto csökkeő, h, D : < eseté f( ) f( ). (4) Az f függvéy szgorú mooto csökkeő, h, D : < eseté f( ) > f( ). 4

25 Defícó. Az 0 R pot egy δ > 0 sugrú köryezeté z ] 0 δ, 0 + δ[ yílt tervllumot értjük. Mtemtk jelöléssel: G ( 0,δ) = { R δ + δ}. Defícó. Mde 0 R eseté zo R számok hlmzát, melyre > 0, + egy köryezetéek evezzük és ] 0,+ [-el jelöljük. Megjegyzés: Hsoló értelmezzük egy köryezetét s, mt ], 0 [-ll jelölük. Defícó. Legye D R, f: D R dott függvéy és 0 D. Az f függvéyek z 0 potb () bszolút mmum (globáls mmum) v, h f( 0 ) f() mde D eseté, () bszolút mmum (globáls mmum) v, h f( 0 ) f() mde D eseté, (3) bszolút szélsőértéke (globáls szélsőértéke) v, h ott bszolút mmum vgy bszolút mmum v, (4) hely mmum (lokáls mmum) v, h létezk oly δ > 0, melyre feáll, hogy f( 0 ) f() mde ] 0 δ, 0 + δ[ D eseté, (5) hely mmum (lokáls mmum) v, h létezk oly δ > 0, melyre feáll, hogy f( 0 ) f() mde ] 0 δ, 0 + δ[ D eseté, (6) hely szélsőértéke (lokáls szélsőértéke) v, h ott hely mmum vgy hely mmum v. Megjegyzés. H z f függvéyek z 0 -b szélsőértéke v, kkor z 0 -t szélsőértékhelyek evezzük Kove és kokáv függvéyek, fleós pot Defícó. Legye D R, f: D R dott függvéy,,b D és < b. () Azt modjuk, hogy z f függvéy kove z [,b]-, h mde, [,b] és mde λ [0,] eseté f(λ + ( λ) ) λ f( ) + ( λ) f( ), zz h mde, [,b] eseté P (,f( )) és P (,f( )) potokt összekötő húr függvéygörbe fölött hld. () Azt modjuk, hogy g függvéy kokáv z [,b]-, h mde, [,b] és mde λ [0,] eseté g(λ + ( λ) ) λ g( ) + ( λ) g( ), zz h mde, [,b] eseté P (,g( )) és P (,g( )) potokt összekötő húr függvéygörbe ltt hld. Defícó. Legye D R, f: D R dott függvéy, 0 D. Az 0 z f függvéy fleós potj, h létezk δ > 0 úgy, hogy z ] 0 δ, 0 ] tervllumo z f függvéy kove, z [ 0, 0 + δ[ tervllumo pedg kokáv, vgy pedg z f függvéy kokáv z ] 0 δ, 0 ] tervllumo, z [ 0, 0 + δ[ tervllumo pedg kove. Megjegyzés. Az fleós pot függvéy oly potj, hol kovetás megváltozk. 5

26 3.5. Páros és pártl függvéyek Defícó. Legye D R, f: D R dott függvéy. () Azt modjuk, hogy z f függvéy páros, h mde D eseté D és f( ) = f(). () Azt modjuk, hogy z f függvéy pártl, h mde D eseté D és f( ) = f(). Megjegyzés. Köye elleőrzhető, hogy mde oly f() = , ( 0,,,..., vlós számok és 0) lkú függvéy, mely z -ek csk páros ktevős htváyát trtlmzz, páros függvéy. Köye elleőrzhető, hogy mde oly f() = , ( 0,,,..., vlós számok és 0) lkú függvéy, mely z -ek csk pártl ktevős htváyát trtlmzz, pártl függvéy Perodkus függvéyek Defícó. Legye D R, f: D R dott függvéy. Az f függvéy perodkus, h létezk p R, p 0 úgy, hogy mde D eseté, h +p D kkor f()=f(+p). Ekkor p számot peródusk evezzük. I. Algebr függvéyek 3.7. Az egyváltozós vlós függvéyek evezetes osztály. Rcoáls egész függvéyek (polomok). Rcoáls törtfüggvéyek 3. Irrcoáls függvéyek II. Trszcedes függvéyek. Epoecáls és logrtmkus függvéyek. Trgoometrkus és rcus függvéyek III. Egyéb evezetes függvéyek. Abszolútérték függvéy. Előjel- (vgy sgum) függvéy 3. Egészrész és törtrész függvéy Algebr függvéyek Algebr függvéyekek evezzük z oly függvéyeket, melyeket égy lpművelet, természetes ktevőjű htváyozás és gyökvoás véges számú, egymást követő lklmzásávl dhtuk meg Rcoáls egész függvéyek Azokt z lgebr függvéyeket, melyek képletébe csk égy lpművelet és z egész ktevőjű htváyozás fordul elő, rcoáls egész függvéyekek evezzük. 6

27 .) Kostsfüggvéy. f: R R, f() = c (c R). 9. ábr: A kostsfüggvéy grfkoj Forrás: Bíró és Vcze (000) Grfkoj egy tegellyel párhuzmos egyees (9. ábr). Ez függvéy egyszerre mooto övekvő és csökkeő. Mde vlós szám mmum- és mmumhelye. Mmum: c, mmum: c. Az f páros és perodkus függvéy. A vzsgált kostsfüggvéy értékkészlete z R f = {c} egyelemű hlmz. b.) Elsőfokú vgy leárs függvéy. f: R R, f() = + b, hol,b R, 0. A függvéy grfkoj egy egyees. Az f-ek egy zérushelye v függvéy em korlátos. b helye. Az f 0. ábr: A leárs függvéy grfkoj Forrás: Bíró és Vcze (000) H > 0, kkor függvéy szgorú mooto övekvő (0. ábr). H < 0 (0. ábr), kkor függvéy szgorú mooto csökkeő. H = és b=0, kkor z f-et detkus függvéyek evezzük. Az detkus függvéy pártl. H b = 0, kkor f pártl, egyébkét f se em páros, se em pártl. Az f kölcsööse egyértelmű leképezés, így v verze. Értékkészlete z R f = R hlmz. c.) Másodfokú függvéy f: R R, f() = + b + c, hol,b,c R, 0. Az f függvéy képe prbol. Zérushelyeek szám ; vgy 0 ttól függőe, hogy D = b b b 4c 4c szám poztív, ull vgy egtív. A zérushelyek számok. A prbol egyelete f() = ( - u) b + v lkr hozhtó, hol u, 4c b v. A T(u,v) prbol tegelypotj (. ábr). Az f em kölcsööse 4 egyértelmű leképezés, ezért cs verze. 7

28 . ábr: A másodfokú függvéy grfkoj Forrás: Bíró és Vcze (000) ) H z > 0 (. ábr), kkor z f függvéy szgorú mooto csökkeő ],u] tervllumo és szgorú mooto övekedő z [u, [ tervllumo. Az u helye függvéyek bszolút mmum v, mmum értéke f(u) = v. A függvéy lulról korlátos, felülről em. A függvéy kove. Értékkészlete z R f = [v, [ hlmz. ) H z < 0 (. ábr), kkor z f szgorú mooto övekedő ],u] tervllumo és szgorú mooto csökkeő z [u, [ tervllumo. Az u helye függvéyek bszolút mmum v, mmum értéke f(u) = v. E függvéy felülről korlátos, lulról em korlátos. A függvéy kokáv. Az f értékkészlete z R f = ],v] hlmz. Az előjelétől függetleül h b = 0, kkor z f páros függvéy, h b 0, kkor z f se em páros, se em pártl függvéy. d.) Htváyfüggvéy. f: R R, f() = ( N). E függvéy sjátosságát z htározz meg, hogy z páros, vgy pártl. () H z pártl (. ábr), kkor z f szgorú mooto övekedő függvéy. Sem lulról, sem felülről em korlátos, pártl függvéy. Egyetle zérushelye v, z = 0. Sem bszolút, sem lokáls szélsőértéke cs. Az f kölcsööse egyértelmű így v verze. A függvéy értékkészlete R f = R. 8

29 . ábr: A htváyfüggvéy grfkoj, h pártl Forrás: Bíró és Vcze (000) () H z páros (3. ábr), kkor z f függvéy ],0] tervllumo szgorú mooto csökkeő, [0, [ tervllumo szgorú mooto övekedő. Alulról korlátos, páros függvéy. Az f-ek bszolút mmum v z = 0-b. A 0 z f függvéy egyetle zérushelye. Ez em kölcsööse egyértelmű leképezés, tehát cs verze. Az f függvéy értékkészlete R f = R + {0}. 3. ábr: A htváyfüggvéy grfkoj, h páros Forrás: Bíró és Vcze (000) 9

30 Rcoáls törtfüggvéyek Két rcoáls egész függvéy háydosát rcoáls törtfüggvéyek evezzük: f() = b m m b m m b b 0 0, hol m és b m 0. H < m, kkor vlód törtfüggvéyről beszélük. Az f függvéy értelmezve v mde oly -re, hol evező em 0..) A legegyszerűbb törtfüggvéy z f: R \ {0} R, f() = 4. ábr: A legegyszerűbb törtfüggvéy grfkoj Forrás: Bíró és Vcze (000) Az f()= függvéy grfkoj oly hperbol, melyek szmptotá koordáttegelyek (4. ábr). Az f em korlátos, pártl függvéy. Kölcsööse egyértelmű leképezés, érdekes tuljdoság, hogy ömgák z verze. Sem zérushelye, sem bszolút, sem lokáls szélsőértékhelye cs. A ],0[ tervllumo és ]0, [ tervllumo s szgorú mooto csökkeő. Értékkészlete R f = R\{0}. 30

31 b.) Az f: R R, f()= törtfüggvéy 5. ábr: Az f()= törtfüggvéy grfkoj Forrás: Bíró és Vcze (000) A 5. ábrá láthtó törtfüggvéy lulról korlátos, páros függvéy. Nem kölcsööse egyértelmű leképezés, így cs verze. Zérushelye cs. A ],0[ tervllumo függvéy szgorú mooto övekvő, ]0, [ tervllumo pedg szgorú mooto csökkeő. Az f függvéy értékkészlete R f = R Irrcoáls függvéyek Irrcoáls függvéyek evezzük zokt z lgebr függvéyeket, melyek em rcoáls függvéyek. Négyzetgyökfüggvéy: f: R + {0} R, f() = ( 0). 6. ábr: A égyzetgyökfüggvéy grfkoj Forrás: Bíró és Vcze (000) 3

32 A égyzetgyökfüggvéy (6. ábr) lulról korlátos függvéy, z = 0-b bszolút szélsőértékhelye v. Kölcsööse egyértelmű leképezés, így létezk verze. A függvéy szgorú mooto övekedő, egyetle zérushelye = 0-b v. Az f függvéy értékkészlete R f = R + {0} Trszcedes függvéyek Trszcedes függvéyekek em lgebr függvéyeket evezzük Epoecáls, logrtmus függvéyek.) H R + \ {}, kkor z f: R R, f() = függvéyt epoecáls függvéyek evezzük. Rcoáls ktevő eseté htváy középskoláb tult defícóját hszáljuk: k. Kmutthtó, hogy egyetle oly függvéy v, mely ezt teljesít, ezt jelöljük -szel. Az f() = függvéy se em páros, se em pártl függvéy. Alulról korlátos, felülről em korlátos, zérushelye cs. k 7. ábr: Az lpú epoecáls függvéy, h > Forrás: Bíró és Vcze (000) 8. ábr: Az lpú epoecáls függvéy, h 0 < < Forrás: Bíró és Vcze (000) 3

33 H z > (7. ábr), kkor z f függvéy szgorú mooto övekvő, h 0 < < (8. ábr), függvéy szgorú mooto csökkeő. Az epoecáls függvéy értékkészlete R ep = R +. Kölcsööse egyértelmű leképezés, verze z -lpú logrtmusfüggvéy. b.) H z R + \ {}, kkor z f: R + R, f() = log () függvéyt lpú logrtmusfüggvéyek evezzük (9. ábr). 9. ábr: Az lpú logrtmus függvéy Forrás: Szeréy (988) Az f se em páros, se em pártl függvéy. Nem korlátos, egyetle zérushelye z = potb v. H >, kkor függvéy szgorú mooto övekvő, míg 0 < < esetbe függvéy szgorú mooto csökkeő. Az f függvéy kölcsööse egyértelmű leképezés, így v verze, mégpedg z epoecáls függvéy. A logrtmusfüggvéy értékkészlete R f = R. Az és log () függvéyeket - lévé egymás verze z összefüggések kötk össze. log (), és log ( ) = c.) A természetes lpú epoecáls (e ) és logrtmus (l()) függvéy. Mt zt későbbekbe lát fogjuk, z e,74... rrcoáls szám specáls szerepet játszk mtemtkáb. Az e-t Euler-féle számk evezzük. Az e szám mtemtkáb lpvető jeletőségű. Az e-lpú logrtmust természetes logrtmusk, zz logrtmus turlsz -k modjuk és l szmbólumml jelöljük: log e( ) = l() ( > 0). = e l és log ()= l() l() ( > 0, ). Az e függvéy (0. ábr) jellemzése megegyezk z függvéy jellemzésével, bb z esetbe, h >. Az l() függvéy (0. ábr) jellemző pedg log () függvéy jellemzővel egyezek meg, hol >. 33

34 0. ábr: A természetes lpú epoecáls és logrtmus függvéyek Forrás: Bíró és Vcze (000) Trgoometrkus függvéyek Azokt függvéyeket, melyek z f() = s() és g() = cos() függvéyekből, vlmt vlós számokból véges sok összedás, kvoás, szorzás és osztás útjá állíthtók elő, trgoometrkus függvéyekek evezzük. Trgoometrkus függvéy sus, cosus, tges és cotges függvéy. E függvéyek mdegyke perodkus. A sus és cosus függvéyek peródus π, tges és cotges függvéyeké pedg π. A sus és cosus függvéy tuljdoság (k Z): () R f Mmum Mmum Növekedés Csökkeés Prtás s() [-,] k 3 k k, k 3 k, k Pártl cos() [-,] k k k, k k, k Páros Md sus (. ábr), md cosus (3. ábr) függvéy korlátos. A tges és cotges függvéyt s(), lletve cos() cos() háydossl értelmezzük, így s() D tg = R \ k,k Z, és D ctg = R \ k,k Z A tges függvéy szkszokét szgorú mooto övekedő, cotges függvéy szkszokét szgorú mooto csökkeő. Sem bszolút, sem lokáls szélsőértékük cs. Mdkét függvéy pártl, R tg = R ctg = R. 34

35 . ábr: A sus függvéy Forrás: Bíró és Vcze (000). ábr: Az rcussus függvéy Szeréy (988) Az y = s(),, függvéy verze z y = rcs() függvéy, melyet rkuszszusz -k olvsuk. Az verz függvéy értelmezés trtomáy D rcs = { R } hlmz, mely mde D rcs eseté zt, zárt tervllumb eső szöget dj meg (rdáb), melyek sus. 3. ábr: A cosus függvéy Bíró és Vcze (000) 35

36 4. ábr: Az rcuscosus függvéy Szeréy (988) Az y = cos(),, függvéy verze z y = rccos() függvéy, melyet rkuszkoszusz -k olvsuk (4. ábr). Az verz függvéy értelmezés trtomáy D rccos = { R } hlmz, és melybe z y zt [0,π] tervllumb eső szöget dj meg (rdáb), melyek cosus. 5. ábr: A tges függvéy Bíró és Vcze (000) 36

37 6. ábr: Az rcustges függvéy Szeréy (988) Az y = tg(),, függvéy (5. ábr) verze z y = rctg() függvéy, melyet rkusztges -ek olvsuk (6. ábr). Az verz függvéy értelmezés trtomáy D rctg = R hlmz, és z y zt (rdáb), melyek tgese., tervllumb eső szöget dj meg 7. ábr: A cotges függvéy Bíró és Vcze (000) 37

38 8. ábr: Az rcuscotges függvéy Szeréy (988) Az y = ctg(), ]0,π[ függvéy (7. ábr) verze z y = rcctg() függvéy, melyet rkuszkotges -ek olvsuk (8. ábr). Az verz függvéy értelmezés trtomáy D rcctg = R hlmz, és z y zt [0,π] tervllumb eső szöget dj meg (rdáb), melyek cotgese Egyéb evezetes függvéyek Abszolútérték függvéy, h 0 Az f: R R, f () függvéyt bszolút érték függvéyek h 0 evezzük (9. ábr). 9. ábr: Az bszolút érték függvéy Bíró és Vcze (000) A defícóból következk, hogy grfkoj számegyees poztív felé z f() = függvéy grfkojávl, számegyees egtív felé pedg z f() = függvéy grfkojávl zoos. Az f függvéy ],0] tervllumo szgorú mooto csökkeő, [0, [ tervllumo szgorú mooto övekedő. Az = 0 potb függvéyek bszolút mmum v és ez hely egybe zérushely s. A függvéy lulról korlátos és páros. Nem kölcsööse egyértelmű leképezés, ezért cs verze. Értékkészlete R f = [0, [. 38

39 Előjelfüggvéy, h 0 Az f: R R, f () 0, h 0 függvéyt sgum-, vgy előjelfüggvéyek, h 0 evezzük (30. ábr). A függvéy mooto övekedő, korlátos. Mde egtív szám (bszolút) mmumhely, mde poztív szám (bszolút) mmumhely. A mmumértéke, mmumértéke. A sgum függvéy pártl függvéy. Nem kölcsööse egyértelmű leképezés, ezért cs verze. Egy zérushelye v z = 0 potb. Értékkészlete z R sg = {,0,} háromelemű hlmz. 30. ábr: Az előjelfüggvéy grfkoj Bíró és Vcze (000) 39

40 Egészrész- és törtrész függvéyek Defícó. Egy R szám egészrészéek ál em gyobb egész számok leggyobbkát evezzük. Jele: []. Egy R szám törtrészéek z [] számot hívjuk. Defícó. Egészrész függvéyek z : R R, () = [] függvéyt, törtrész függvéyek t: R R, t() = [] függvéyt evezzük. Az egészrész függvéy lépcsős függvéy. Grfkoj egységy hosszúságú, blról zárt, jobbról yílt szkszokból áll (3. ábr). Ez függvéy em korlátos, mooto övekedő. Mde R helye lokáls mmum v. Az egészrész függvéyek végtele sok zérushelye v, ezek hlmz [0,[ tervllum. Értékkészlete Re = Z. 3. ábr: Az egészrész függvéy grfkoj Bíró és Vcze (000) A törtrész függvéy hosszúságú, párhuzmos, blról zárt, jobbról yílt szkszokból áll (3. ábr). Ez függvéy korlátos, szkszokét mooto övekedő. Mde Z helye bszolút mmum v, értéke 0. Ezek helyek egyúttl zérushelyek s. A t függvéyek sem bszolút, sem lokáls mmum cs. Se em páros, se em pártl függvéy. A törtrész függvéy perodkus, peródus. Értékkészlete [0,[ tervllum. 3. ábr: A törtrész függvéy grfkoj Bíró és Vcze (000) Sem z egészrész, sem törtrész függvéy em kölcsööse egyértelmű leképezés, ezért egykek scs verze. 40

41 3.8. Függvéytrszformácók A függvéyek ábrázolását legtöbbször megköyít z, h egyszerűbb függvéyek segítségével, több lépése keresztül jutuk el grfkohoz. Ezt z eljárást függvéytrszformácók evezzük. Tegyük fel, hogy z f függvéyük grfkoját smerjük Descrtes-féle koordátredszerbe.. Eltolás z ordáttegely (y tegely) meté Legye v rögzített vlós szám. Az f + v, vgys z f() + v, D f függvéy görbéje z f függvéy görbéjéek y ráyú eltolásávl yerhető (33. ábr). Az eltolás gyság v, z előjele pedg v előjeléek felel meg. 33. ábr: A függvéy eltolás z y tegely meté Bíró és Vcze (000). Eltolás z bszcssztegely ( tegely) meté Az f( + u), ( + u) D f függvéy ábráj z f függvéy ábráják tegely ráyú eltolásávl dódk. Az eltolás mértéke u. H u > 0, kkor blr törték z eltolás, h u < 0, kkor pedg jobbr (34. ábr). 34. ábr: A függvéy eltolás z tegely meté Bíró és Vcze (000) 4

42 3. Az bszcssztegelyre merőleges k-szoros yújtás A k f () vgys z k f (), D f, k>0 függvéy grfkoj z f függvéy grfkoják y ráyú k-szoros yújtásávl kphtó meg (35. ábr). 35. ábr: A függvéy k-szoros yújtás y tegely meté Bíró és Vcze (000) 4. Az tegelyre vló tükrözés A f, vgys z f(), D f függvéy grfkoj z f függvéy grfkoják z tegelyre votkozó tükörképe (36. ábr). 36. ábr: A függvéy tegelyre törtéő tükrözése Bíró és Vcze (000) 4

43 5. Ordáttegelyre merőleges d-szeres yújtás vgy zsugorítás Az f(d ), d D f függvéy grfkoját z f függvéy grfkoják -tegely ráyú, z y tegelytől számított -szeres változttásávl kpjuk. Ez 0 < d < eseté d yújtást jelet, d > eseté zsugorítást. A 37. ábrá egy -szeres yújtás láthtó. 37. ábr: Kétszeres yújtás sus függvéyre z tegely meté Bíró és Vcze (000) 6. Az y-tegelyre vló tükrözés Az f( ), D f függvéy grfkoj z f függvéy grfkoják z y-tegelyre votkozó tükörképe (38. ábr). 38. ábr: Az f() = 3 függvéy y tegelyre tükrözése Bíró és Vcze (000) 43

44 3.9. Elleőrző kérdések. Defálj z egyváltozós vlós függvéy foglmát.. Hogy lehet szemléltet z egyváltozós vlós függvéyeket? 3. Derékszögű koordát redszerbe mlye kpcsolt v függvéy és verze között? 4. Mlye műveleteket értelmezük két egyváltozós vlós függvéy között, hogy értelmezzük ezeket? 5. Mt evezük egy dott függvéy zérushelyéek? 6. M zérushely geometr jeletése? 7. M z z -ed fokú polom-függvéy (rövde polom)? 8. Mt tud mod egy polom zérushelyeek számáról? 9. Mlye módszerekkel lehet megkeres egy polom zérushelyet? 0. Ismertesse Horer-elredezés léyegét.. Mt jelet z tervllum felezés módszere?. Mkor modjuk, hogy egy függvéy korlátos? 3. Mkor modjuk, hogy egy függvéy mooto? Mkor modjuk, hogy egy függvéy egy dott tervllumo (szgorú) mooto ő? Mkor modjuk, hogy egy függvéy egy dott tervllumo (szgorú) mooto csökke? 4. Mkor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéyek z értelmezés trtomáyák egy potjáb bszolút mmum, ll. mmum v? 5. Mkor modjuk, hogy egy egyváltozós vlós függvéyek z értelmezés trtomáyák egy potjáb hely mmum, ll. mmum v? 6. Mkor modjuk, hogy egy függvéy kove, ll. kokáv? 7. Mt evezük egy dott függvéy fleós potják? 8. M z fleós pot geometr jeletése? 9. Mt jeleteek következők egy függvéyel kpcsoltb: perodctás, párosság, pártlság? 0. Adjo meg páros függvéyt és ábrázolj Descrtes-féle derékszögű koordát redszerbe.. Adjo meg pártl függvéyt és ábrázolj Descrtes-féle derékszögű koordát redszerbe.. Sorolj fel z egyváltozós vlós függvéyek evezetes osztályt. 3. Rjzolj fel tult lpfüggvéyeket. 4. M z függvéy-trszformácó? 5. Mlye függvéy-trszformácókt smer, szemléltesse ezeket Descrtes-féle derékszögű koordát redszerbe. 6. Dötse el, hogy z lább állítások gzk vgy hmsk-e. ) Függvéyek evezzük z egyértelmű relácót. b) Egy hlmz potos kkor végtele számosságú, h ekvvles vlmelyk vlód részhlmzávl. c) Mde üres hlmz véges. d) A természetes számok hlmz megszámlálhtó. 7. Dötse el z lább állításokról, hogy melyek gzk, ll. hmsk. ) Egy -ed fokú polomk (-) gyöke v. b) Az fleós pot függvéy oly potj, hol függvéy lk tuljdoság megváltozk. c) A páros függvéyek z y tegelyre szmmetrkus függvéyek. d) Az 3 függvéy páros függvéy. e) A trgoometrkus függvéyek perodkus függvéyek. 44

45 f) A kostsfüggvéy mooto övekvő függvéy. g) A leárs függvéyek vgy cs zérushelye vgy zérushelye v. h) Az y= függvéyt detkus függvéyek evezzük. ) A másodfokú függvéyek cs verze, mert kölcsööse egyértelmű leképezés. j) Az y= függvéy képe hperbol. k) Trszcedes függvéyekek z lgebr függvéyeket evezzük. l) Az epoecáls függvéy vertálhtó és verze htváyfüggvéy. m) Az bszolútérték függvéyek z X=0 potb bszolút mmum v és ez hely egybe zérushely s. 45

46 4. SOROZATOK A korább fejezetbe már smertetésre került z egyváltozós vlós függvéy éháy jellemzője. Megsmerkedtük többek között moototás, z fleós pot, szélsőérték stb. foglmávl. Ezek meghtározás gy jeletőséggel bír, és z eljárások smerete, melyek segítségével ezeket meghtározzuk lpvetőek. Eze eljárások megértéséhez zob előbb meg kell smerkedük függvéy dott helye vett htárértékéek foglmávl. Ehhez zob meg kell smerük egy specáls függvéyt, soroztot. A mtemtk lízs legfotosbb foglmát, htárérték foglmát egy specáls függvéytípus segítségével vezetjük be (Császár, 983; Rud, 978). Defícó. A természetes számok hlmzá értelmezett vlós értékű : N R függvéyt vlós számsoroztk (rövde soroztk) evezzük. Megjegyzés. Az sorozt helye felvett helyettesítés értékét, mt z sorozt -edk tgják (eleméek) evezük -el jelöljük. A sorozt jelölésére pedg z ( ) szmbólumot hszáljuk. 4.. A sorozt megdás, szemléltetése, műveletek soroztokkl A soroztokt áltláb képlettel dhtjuk meg, zz megdjuk sorozt áltláos (-edk) tgját. Ezt megdás módot eplct megdás módk evezzük. A másk mód rekurzóvl törtéő megdás, m zt jelet, hogy megdjuk sorozt éháy kezdő tgját, mjd előírjuk, hogy kell sorozt bármely tgját z előzőek smeretébe kszámít. Megjegyzés. A gykorltb s pot tlálkozhtuk soroztokkl, például h feljegyezzük pról pr keltetőbe kkelt kcsák számát, p cspdékmeységet mm-be megdv stb. A gykorltb előforduló soroztokk mdg véges sok eleme v, ezek véges soroztok. A véges soroztok megdás elemek felsorolásávl törtéhet. Az lízsbe áltláb oly soroztokkl fogllkozuk, melyekek végtele sok elemük v, ezek z ú. végtele soroztok. Mvel sorozt egy specáls függvéy, így függvéy ábrázolásáál tultk lpjá koordátredszerbe s szemléltethető (39. ábr). 39. ábr: Sorozt szemléltetése koordátredszerbe Forrás: Bíró és Vcze (000) A másk lehetőség sorozt szemléltetésére z, hogy számegyeese jelöljük sorozt tgjt, és z így kpott potsoroztot tektjük sorozt képéek. A koordátredszerbe törtéő ábrázolás sorá potokt em köthetjük össze folytoos 46