Mátrixok és determinánsok
|
|
- Zsigmond Lukács
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Mátrixok és determiások
2
3 Mátrixlgebr mátrix foglm, lpműveletek mátrix oly számtáblázt, melyek m sor és oszlop v, hol m és pozitív egész számok tábláztb tetszőleges vlós számok szerepelhetek, zz mátrix elemei tetszőleges vlós számok lehetek Defiíció: z m sorb és oszlopb elredezett számtábláztot mátrixk evezzük Jelölés: mátrixokt áltláb z ábécé gybetűivel jelöljük, és számtábláztot szögletes zárójelek közé tesszük Péld: Áltláos: mátrix elemeit ij -vel jelöljük, hol z i, z első idex, midig sor számát jeleti mátrixb, így z értékei -től m-ig lehetek pozitív egész számok, j pedig z oszlop számát jelöli ( j ) Tehát: m m m, feti módo megdott mátrixot m (zz m-szer ) típusúk evezzük, z m és számokt szoktuk mátrix jelzőszámik is evezi [ ] i j, hol i m és j mátrixlgebr kifejezést egy kicsit gyképűe hszáljuk: eek tudomáyágk csupá gyo leegyszerűsített változtát tárgyljuk Előfordul, hogy mátrix elemei függvéyek, hlmzok, vgy mguk z elemek is mátrixok, illetve egyéb más dolgok Mi elsősorb oly mátrixokkl foglkozuk, melyek elemei vlós számok, más eseteket külö jelezzük számtábláztokt gykr tömbökek evezik, például számítástechikáb ez z elevezés áltláos z írásmóddl zt fejezzük ki, hogy z mátrix ij elemekből áll, és mátrixk m sor és oszlop v
4 mátrix trszpoáltj Defiíció: z [ ij ] mátrix trszpoáltj z T [ ji ] mátrix, hol i m és j Péld: z és z mátrixok egymás trszpoáltji T Gykr előfordul, hogy egy számtáblázt oszlopit és sorit felcseréljük Mátrixokál ezt z eljárást trszpoálásk evezzük Trszpoálás sor és oszlop csere Speciális mátrixok ) Nullmátrix z mátrix, melyek mide eleme ) Vektorok H mátrix egyik, vgy másik jelzőszám, kkor z ilye számsort, vgy számoszlopot vektork evezzük vektorokt z ábécé kisbetűivel jelöljük z oszlopvektor egyetle oszlopból áll, például:, z oszlopvektor lkot tekitjük elsődlegesek, sorvektort trszpoáltkét fogjuk fel, így h egy számegyüttest sorvektor lkb ( vízszitese ) íruk fel, kkor jelöléskor midig fel kell tűteti trszpoálásr utló jelet, például: b T [ - ] Sklárk evezzük zt vektort (mátrixot), melyek egyetle eleme v sklár egy tetszőleges vlós szám, jelölésére áltláb görög ábécé kisbetűit hszáljuk, például: ullmátrixokkl számításikb gykr tlálkozuk z vektor egy elemű ( típusú) oszlopvektor b T vektor egy elemű ( típusú) sorvektor sklárokt ( puszt számokt ) em szoktuk
5 α, β,,λ, µ Megjegyzés: mátrixokt gykr vektorokból összetettekek tekitjük, oly módo, hogy mátrix oszlopi oszlopvektorok, illetve sori sorvektorok Péld: dott z mátrix: szögletes zárójelek közé tei z oszlopok:,,, ) Négyzetes (kvdrtikus) mátrixok égyzetes mátrix foglm bee v evébe: mátrixk ugyyi sor v, mit oszlop, zz számtáblázt égyzet lkú Péld: z M mátrix -es, mátrix redje π M, 8 9 Elevezések: Főátló: bl felső sroktól jobb lsó srokig húzott átló, zz főátlób mátrixk zok z elemei vk, melyekek sor- és oszlopidexe zoos Példákb főátlót (fődigoálist) számok lkotják Mellékátló: főátlór merőleges átló ( jobb felső sroktól bl lsó srokig ) Példákb mellékátlót π, számok lkotják z oszlopokt vektorokkét jelölhetjük mátrix elemei tetszőleges vlós számok lehetek Defiíció: Digoális mátrixk evezzük zt
6 égyzetes mátrixot, melybe főátló kívüli elemek ullák Péld: D mátrix digoális ( D digoál mátrix): D (jelölés) < > Áltláos: H z mátrix digoális, kkor: < > Speciális: z oly digoális mátrixot, melyek főátlójáb csup egyes v, egységmátrixk evezzük és E -el jelöljük (-ed redű egységmátrix) Például: E < > Defiíció: Háromszög (triguláris) mátrixk evezzük zt mátrixot, melybe főátló ltti, vgy főátló feletti elemek ullák Felső háromszög mátrix, h főátló felett lehetek ullától külöböző ( értékes ) elemek, lsó háromszög mátrix z, hol főátló ltt lehetek ullától külöböző elemek Péld: T f mátrix felső triguláris, T pedig lsó triguláris: π T f, T 8 9 Természetese lehetséges, hogy főátlób is vk ullák, sőt, égyzetes ullmátrix egyúttl digoál mátrix is digoális mátrixot főátlój egyértelműe megdj, így jelölése < és > jelek közé írássl törtéik z egységmátrixok, vgy égyzetes ullmátrixok egyszerre lsó és felső háromszög mátrixok Defiíció: Szimmetrikus z égyzetes mátrix, melyek mide elemére igz, hogy i j j i Ez zt jeleti, hogy z elemek főátlór tükrözöttek Péld: z S mátrix szimmetrikus:
7 S 9 9 Műveletek mátrixok között Három lpműveletet értelmezük: két mátrix összedását, egy mátrix szorzását egy vlós számml (sklárrl), és mátrixok egymássl vló szorzását Mátrixok összedás és sklárrl vló szorzás Defiíció: z [ i j ] és B[b i j ] zoos, (m ) típusú mátrixok összegé zt C[c i j ] (m ) típusú mátrixot értjük, melyek mide elemére igz: c i j i j b i j Péld: z és B mátrixok dottk, összegük:, B, ekkor: BC 9 9 Defiíció: dott z [ i j ] mátrix és λ vlós szám mátrix λ-szorosá zt mátrixot értjük, melyek mide eleme z eredeti mátrix elemeiek λ-szoros, zz: λ [λ i j ] Két zoos típusú mátrixot tehát úgy duk össze, hogy megfelelő elemeiket összedjuk Például: z mátrix dott és legye λ Ekkor: és 9 kivoást külö em kell értelmezi, hisze z visszvezethető λ -gyel törtéő szorzásr és összedásr: B( )B mátrix mide elemét meg kell szorozi z dott sklárrl (számml) kivoás em lpművelet z összedás és sklárrl vló szorzás
8 8 tuljdosági Legyeek z, B, C zoos típusú mátrixok, λ és µ pedig vlós számok ) Kommuttív tuljdoság: BB, illetve: λ λ műveletbe tgok felcserélhetősége műveletek defiíciójából következik ) sszocitívitás: (BC)(B)C BC, illetve: (λµ)λ(µ) λµ z sszocitív tuljdoság szeriti átzárójelezés mátrixokr értelmezett két műveletre hsoló szbályok érvéyesek, mit vlós számok körébe értelmezett összedásr és szorzásr z átzárójelezhetőség, csoportosítás is műveletek defiíciójából következik többet is jelet: két mátrixr értelmezett összedás elvégezhető mátrix eseté is, illetve hsoló csoportosításokkl tetszőlegese sok tgr is,) disztributív tuljdoság: λ(b)λ λ B, illetve: (λµ)λµ z összefüggést jobbról blr olvsv szbály kiemelés lehetőségét trtlmzz z összedás és sklárrl vló szorzás trszpoáltjár érvéyes következő: (B) T T B T, illetve: (λ) T λ T, zz trszpoálás művelettrtó z összedásr és sklárrl vló szorzásr ézve szétosztás, zárójel felbotás szbály is műveletek defiíciójából következik Ez szbály is műveletek defiíciójából következik Mátrixok szorzás mátrixok egymássl vló szorzás eléggé eltér vlós számok körébe végzett szorzástól, bevezetéséhez előkészítést kell teük mátrixszorzást később mjd vektorok szorzásár vezetjük vissz Vektorok skláris szorzt
9 9 Defiíció: Két zoos elemszámú vektor skláris szorztá zt vlós számot értjük, melyet úgy kpuk, hogy megfelelő elemeket redre összeszorozzuk és kpott szorztokt összedjuk skláris szorztb z első téyező midig sorvektor, második téyező pedig oszlopvektor: T b[ ] b b b b b b i skláris szorzás eljárását ( szorozd össze megfelelő elemeket és szorztokt dd össze ) kompoálásk evezzük Péld: Legye T [ ] és b [ 8 ] T ( b oszlopvektor!) Ekkor: T b ( ) ( ) 89 Mátrixszorzás vektorokr botássl mátrixokt sorik, illetve oszlopik szerit vektorokr lehet boti Így összeszorozhtuk két mátrixot skláris szorzt defiíciój lpjá, h z első téyezőt sorvektorokr botjuk, másodikt pedig oszlopvektorokr Szükséges feltétel szorozhtósághoz, hogy sor- és oszlopvektorok elemszámi zoosk legyeek Péld: dott z és B mátrix, vegyük fel -t sorvektorokr, B-t oszlopvektorokr botv: [ ] [ ] i b i B z B szorztmátrix első sorák első elemét defiíció szeriti előírást, evezetese, hogy szorzt első téyezője sorvektor, második pedig oszlopvektor, szigorú be kell trti! kompoáláskor vlós számokt szorzuk egymássl, mi kommuttív, így ebbe z értelembe skláris szorztr igz téyezők felcserélhetősége szorzt első téyezőjéek midig sorvektork kell leie, második pedig oszlopvektor mátrixszorzást vektorok skláris szorztár vezetjük vissz
10 megkpjuk, h z első sorvektorát kompoáljuk B első oszlopvektorávl: [ ] [ ] T z B szorztmátrix első sorák második elemét megkpjuk, h z első sorvektorát kompoáljuk B második oszlopvektorávl: [ ] [ ] T 8 Tehát: B 8 Hsoló kompoálássl szorztmátrix második sorák első eleme:, második sor második eleme pedig Defiíció: H z mátrix m p típusú és B mátrix p típusú, kkor szorztuko zt z m típusú C mátrixot értjük, melyek bármely c i j eleme z mátrix i-edik sorvektorák és B mátrix j-edik oszlopvektorák skláris szorzt Két mátrix szorozhtóságák feltétele tehát z, hogy z első téyező oszlopik szám megegyezze második téyező sorik számávl, zz koformábilis legye két mátrix Péld: z mátrix ( )-es, milye típusú B mátrixszl szorozhtó meg? Megoldás: Két mátrix kkor szorozhtó össze, h középső jelzőszámik megegyezek Így em midegy, hogy egy dott mátrixot blról, vgy jobbról szorzuk egy másikkl z mátrix ( )-es, tehát jobbról egy ( ) típusú B mátrix-szl szorozhtó, ekkor szorzt ( ) típusú lesz ( pozitív egész) z mátrix blról pedig egy (m ) típusú B mátrixszl szorozhtó, ekkor szorzt (m ) típusú lesz Péld: dott z és legye B -es, ekkor z B szorztuk típusú: Kokrét: z és B kkor szorozhtó, h középső jelzőszámok megegyezek és ilyekor z eredméy jelzőszámit két szélső jelzőszám dj
11 8 Áttekithetőbbé tehetjük szorzást, h z ú Flk sémát lklmzzuk, mely szorzás következő elredezését jeleti: B Péld: Legye B -s, B szorzást végezzük Flk módszerrel: B Speciális: h szorzt egyik téyezője ullmátrix, kkor z eredméy is z: és h szorzt egyik téyezője z egységmátrix, kkor z eredméy másik szorzótéyező: E és E mátrixszorzás eredméye kkor is lehet ullmátrix, h z egyik téyező sem Péld: dott z 9 és B szorzást sorvektor kompoálv oszlopvektorrl módo végeztük z eljárás lklmzáskor köyű hibát elköveti! Húztuk két egymásr merőleges szkszt, bl lsó egyedbe kerül z mátrix, jobb felsőbe B, és z eredméy, mit úgy kpuk, hogy z mátrix sorit kompoáljuk B megfelelő oszlopivl, jobb lsó egyedbe kerül Ügyeljük rr, hogy mid ullmátrixokk, mid z egységmátrixokk oly típusúkk kell leiük, hogy koformábilitás teljesüljö!
12 Képezzük z B és B szorztokt! Egyszerűe beláthtó (például Flk sémát lklmzv), hogy B B szorzt eredméy egésze más: Kérjük, végezze el ezt műveletet! B Ezt szorzást is el kellee végezie, célszerűe Flk sémát lklmzv! mátrixszorzás tuljdosági ) mátrixszorzás em kommuttív! Tehát: B B (Létezek kivételek: például h égyzetes és is:, vlmit: EE ) ) mátrixszorzás sszocitív, h szorzásál koformábilitás feáll: (B C)( B) C B C, zz két téyezőre értelmezett szorzás áltláosíthtó, illetve mátrixr is z sszocitívitás sklárszorzór is feáll: λ( B)(λ)B ) mátrixszorzás disztributív midkét iráyú szorzásál, h koformábilitás feáll: (BC) B C, illetve: (B) C CB C szorzt trszpoáltjár votkozó szbály: ( B) T B T T feti péld is idokolj, hogy áttekitsük mátrixszorzás műveleti szbályit Emlékszük: z sszocitivitás zt is jeleti, hogy áltláosíthtó művelet felsorolt tuljdoságok mátrixszorzás defiíciójából következek
13 mátrix determiás Mide -ed fokú égyzetes mátrixhoz hozzáredelhető egy szám Ezt számot mátrix determiásák evezzük Egy -ed redű égyzetes mátrix determiás z det szám, melyet következő szbály szerit számíthtuk ki: h, kkor det, h >, kkor k k det ( ) k, k, ( ) k, k, K k ( ) k, k, hol z k,j ldetermiást úgy kpjuk, hogy z mátrix determiásából elhgyjuk k sort és j oszlopot determiás értékét defiíció szerit következőképp számíthtjuk ki:,,,,,,,, zz főátló, elemeiek szorztából kivojuk mellékátló elemeiek szorztát Péld: Számítsuk ki mátrix determiásák értékét: det Mivel z ember lust, ebből kiidulv keressük mátrixukb oly sort vgy oszlopot, hol több ull Ezzel időt és eergiát spóroluk meg Nézzük kkor példát! Válsszuk ki középső sort, és képzeletbe tkrjuk le: Most pedig fejtsük ki determiást kijelölt sor Hogy determiást megkülöböztethessük mátrixtól, szögletes zárójelek [ ] helyett függőleges szkszokkl htároljuk: Például, h kkor,, 8
14 szerit: det ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) ( )) kiválsztott sorukból ullát és femrdó számok dt ldetermiást megfelelő előjellel kiszámoljuk következő lépésbe letkrtuk középső oszlopot és számot sorukból ellekező előjellel írtuk le z előjelek ciklikus változk determiást bármely sor és oszlop szerit kifejthetjük Srrus-szbály hrmdredű determiás kiszámítását elvégezhetjük következő sém szerit Először determiás első két oszlopát leírjuk determiás mellé, mjd jellel megjelölt volko z elemeket összeszorozzuk, szorztokt összedjuk, mjd ugyezt elvégezzük - jellel megjelölt elemekkel jelűekél kpott eredméyből kivojuk jelűekél kpott eredméyt Például: ( 8 ) ( ) 8 Srrus szbály kizárólg hrmdredű determiás kiszámításár szolgál! mgsbb redű determiásokt sorik vgy oszlopik szeriti kifejtésével oldjuk meg determiások lptuljdosági: H determiás egy oly oszlopot vgy sort
15 trtlmz, mely csk ullákból áll, végeredméy ull lesz H egy determiásb két egyform sor v, kkor végeredméy ull lesz determiást úgy szorozhtjuk vgy oszthtjuk egy számml, hogy egy sorák vgy oszlopák mide elemét szorozzuk vgy osztjuk z említett számml determiás értéke em változik, h egy sorák vgy oszlopák többszörösét hozzádjuk egy másik sorához vgy oszlopához Például: z első egyelőséget úgy kptuk, hogy determiás első sorát --gyel megszorozv, hozzádtuk hrmdik sorához második egyelőségél determiás első oszlopát szoroztuk meg ugycsk - -gyel, mjd hozzádtuk, és egyedik oszlophoz lieáris egyeletredszerek megoldás Crmmer-szbállyl determiásokt felhszálhtjuk lieáris egyeletredszerek megoldásár is Legye z egyeletredszer: b x x x b x x x b x x x,,,,,,,,, K L K K lkú z egyeletredszer együtthtóiból lkított mátrix z egyeletredszer mátrix, b szbd
16 tgokból lkított oszlopvektor szbd tgok vektor, zz M,,,,, M, K K K,, M,, b b b M H Ddet redszer determiás, és D, kkor b bármelyik x k ismeretle kiszámíthtó, mit Dk xk D, hol D k determiást úgy kpjuk, hogy D determiás k-dik oszlopát b oszlopvektorrl helyettesítjük Péld: x y x y D, D x, D y D x D, tehát x Dy és y D Megjegyzés: H D, zz redszer determiás, következőket szögezhetjük le: ) H D k midegyike, kkor redszer htároztl, zz számtl sok megoldás v, melyeket másfjt módszerrel kereshetük meg b) H leglább z egyik D k ullától külöböző, kkor z egyeletredszer elletmodó, zz ics megoldás Ez egy égyzetes egyeletredszer, zz z ismeretleek és egyeletek szám megegyezik Crmmer szbály égyzetes egyeletredszerekre: D x k Dk D Crmmer szbály külööse htékoy kétismeretlees egyeletredszerek megoldáskor Háromismeretlees egyeletredszerek megoldásár még hszálhtó, zob, háromál több ismeretlet trtlmzó redszerek megoldásár gy számításigéye mitt em jálott hszált D eseté hszáljuk más módszert
17 mátrix iverze Defiíció: dott z (x)-es (égyzetes) mátrix z mátrix iverzéek evezzük zt z - szimbólumml jelölt (x)-es mátrixot, melyre teljesül z lábbi zoosság: - - E, feltéve, hogy ilye mátrix létezik Például: Egy mátrix sziguláris, h ics iverze Egy mátrix reguláris, h v iverze Bizoyíthtó, h det() em ull, kkor mátrix reguláris, zz létezik iverze: T det hol ik jelöli z mátrixból képzett előjeles (-) redű ldetermiást Péld:, ) det( T T H z égyzetes mátrix determiás em ull, kkor reguláris zz v iverze
18 8 Elleőrzésképp érdemes elvégezi z - szorzást z iverz mátrixot helyese kiszámoltuk, h z említett szorzt egységmátrix (E) mátrix iverzéek tuljdosági: ( ) T T ( ) ( ) ( B) B Mátrix-egyeletek: mátrixok iverzét fel tudjuk hszáli egyeletredszerek és mátrix-egyeletek megoldásár Tétel: Legye egy -ed redű reguláris mátrix, és B egy m-ed redű mátrix z XB mátrix egyelet megoldás z X - B, z X B egyelet megoldás pedig z XB - mátrix H feti tételbe B mátrix helyett b oszlopvektort helyettesítük z XB egyeletbe, lieáris egyeletredszert kpuk Tétel: Legye egy reguláris mátrix z xb lkú lieáris egyeletredszer megoldás z x - b oszlopvektor XB megoldás X - B X B megoldás XB -
19 9
20
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Am = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x m: sorok szám : oszlopok szám
RészletesebbenPPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1
PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik = DETERMINÁNSOK = 13 = + + 13 13 Bércesé Novák Áges 1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik DETERMINÁNSOK Defiíció: z sorb és m oszlopb elredezett x m (vlós vgy képzetes)
Részletesebben2010/2011 es tanév II. féléves tematika
2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási
RészletesebbenMátrixok. Bevezetés és példák 1/12. Mátrix aritmetikai bevezetés
Mátrixok. Bevezetés és példák / Mátrix ritmetiki bevezetés Trtlom. Bevezetés Mátrixelemek és jelölések 3. Mátrixok fjtái: 4. Elemi műveletek mátrixokkl 4. Egyelőség 4. Trszpoálás 4.3 Szorzás 4.3. Szorzás
Részletesebben2014/2015-ös tanév II. féléves tematika
Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik
RészletesebbenA Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...
A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer
RészletesebbenII. Lineáris egyenletrendszerek megoldása
Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
RészletesebbenAlgebrai struktúrák, mátrixok
A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós
RészletesebbenLineáris programozás
Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek
RészletesebbenALGEBRA. 1. Hatványozás
ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:
RészletesebbenVektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)
Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér
RészletesebbenHatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek
Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x
RészletesebbenVersenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.
Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy
RészletesebbenA valós számok halmaza
A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós
RészletesebbenMinimum kérdések a Lineáris algebra vizsga beugró részéhez. Az R n vektortér
Miiu kérdések Lieáris lger vizsg eugró részéhez z R vektortér. Lieáris koiáció, triviális lieáris koiáció fogl Legyeek,,, k -dieziós vektorok és λ, λ,, λ k sklárok. Ekkor λ + λ + + λ k k R vektort z,,
Részletesebbenn m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. n dimenziós (oszlop)vektor egy n sorból és 1 oszlopból álló mátrix.
Vektorok, átrok dezós átr: egy soról és oszlopól álló szátálázt. L L Jelölés: A A, L hol z -edk sor -edk elee. dezós (oszlop)vektor egy soról és oszlopól álló átr. Jelölés: u u,...,, hol z -edk koordát.
Részletesebben19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer
19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.
RészletesebbenVektorok, mátrixok. n m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. az i-edik sor j-edik. , ahol b i
Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz Vektorok, mátriok m dimeziós mátri: egy soról és m oszlopól álló számtálázt. m m m Jelölés: A A, hol i z i-edik sor -edik m eleme. dimeziós
RészletesebbenTARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...
TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT
RészletesebbenKészségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén
Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
RészletesebbenA hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)
A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:
RészletesebbenLineáris programozás
LP LP 2 Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek egységár és z, hogy z egyes termékek egy egységéek előállításához
RészletesebbenNéhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
RészletesebbenMátrixok és determinánsok
Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.
Részletesebben1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,
Számok és mûveletek + b b + Összedásnál tgok felcserélhetõk. (kommuttív tuljdonság) ( + b) + c + (b + c) Összedásnál tgok csoportosíthtók. (sszocitív tuljdonság) b b ( b) c (b c) 1. Végezd el kijelölt
RészletesebbenVektorok (folytatás)
Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
Részletesebben1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése
SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy
RészletesebbenMatematika példatár 6.
Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr Csordásné Mrton Melind Mtemtik példtár 6 MAT6 modul Lineáris lgebr I SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi
RészletesebbenKözelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra
Közelítő és szimolikus számítások hldókk 9. elődás Numerikus itegrálás, Guss-kvdrtúr Numerikus itegrálás Numerikus itegrálás Newto-Leiiz szály def I f f d F F Htározott Riem-itegrálok umerikus módszerekkel
RészletesebbenA vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai
A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.
Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
/0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:
Részletesebbenwww.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.
Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
RészletesebbenANALÍZIS II. Bártfai Pál
ANALÍZIS II. Bártfi Pál. Kétváltozós függvéyek.. Deriválás A z = f(x, y) kétváltozós függvéyél z függő változó értékét z x és z y függetle változók értékéől számoljuk ki. A függvéyt háromdimeziós koordiátredszere
Részletesebben1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b
XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés
Részletesebben(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.
Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N
Részletesebben(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---
A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris
RészletesebbenARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK
ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):
RészletesebbenDöntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai
Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji AOK - Rezides képzés Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi műveletek (operációk) tudomáyos kuttási
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri
Részletesebben1. függelék. Mátrixszámítási praktikum-i. Mátrixaritmetikai eljárások
. függelék-/5 oldl Eötvös Lóránd Tudományegyetem Természettudományi Kr Budpest Kemometri tnfolym, Szepesváry Pál. függelék Mátrixszámítási prktikum-i. Mátrixritmetiki eljárások . függelék-2/5 oldl Bevezető
RészletesebbenMÁTRIXOK DETERMINÁNSA, SAJÁTÉRTÉKE ÉS SAJÁTVEKTORA
MÁTRIXOK DETERMINÁNS, SJÁTÉRTÉKE ÉS SJÁTVEKTOR DEFINÍCIÓ: H z gy d( ) p I ( p) i ip( i) -s mári, kkor drmiás hol p mári lmik oszlopidik prmuációi, I(p) pdig zkk prmuációkk z irziószám. Ez gy igzá rmk dfiíció,
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenLineáris algebra LI 1. Lineáris algebra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
LI Definíció: mátri LI Legyen m és n pozitív egész szám. Az : m : m......... n n : mn tábláztot m n típusú mártink nevezzük, és zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop vn. ij z A mátri i-deik soránk j-edik
RészletesebbenMatematika A2a - Vektorfüggvények elméleti kérdései
Mtemtik A2 - Vektorfüggvéyek elméleti kérdései (műszki meedzser szk, 2018. tvsz) Első típusú improprius itegrál: Végtele trtomáyo korlátos függvéy Legye f itegrálhtó mide β > eseté z [, β]-. H β β és véges,
RészletesebbenSzoldatics József, Dunakeszi
Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Részletesebben1. Sajátérték és sajátvektor
1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenAbsztrakt vektorterek
Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és
RészletesebbenLineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat
Részletesebben1. Primitív függvények (határozatlan integrálok)
. Primitív függvéyekhtároztl itegrálok 7. Primitív függvéyek htároztl itegrálok.. A defiíciók egyszerű következméyei F. Htározz meg z lábbi függvéyek összes primitív függvéyét: f :, + ; b f :, ; c f :,
Részletesebben-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + +
LINEÁRIS ALGEBRA Mit evezük másodredő determiásk? Másodredő determiásk evezzük égy elem, két sor és két oszlop redezett táláztát, melyhez z lái módo redelük értéket: = d c c d Mit evezük egy determiás,
RészletesebbenSorozatok határértéke
I. Becsüljük kifejezéseket! Kidolgozott feldtok: Soroztok htárértéke. Számológép hszált élkül djuk becslést z lábbi kifejezések értékére h = 000 000! Hszáljuk közbe gyságredi becsléseket számláló és evező
RészletesebbenACTA CAROLUS ROBERTUS
ACTA CAROLUS ROBERTUS Károly Róbert Főiskol tudomáyos közleméyei Alpítv: 3 ( ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 ( Mtemtik szekció KOMPLETTEN POZITÍV LEKÉPEZÉSEK ÉS R V KADISON EGY SEJTÉSE Összefogllás KOVÁCS ISTVÁN
RészletesebbenVektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük
Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:
RészletesebbenJuhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai
Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,
RészletesebbenSOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k
A sorozt megdás. ) ; ; ; b) ; ; ; c) 0; -; -; -8 d) ; ; 8; 89 e) ; ; 8; 0 f) ; ; 0; 90 g) ; ; 0 ; 0 90 h) em létezik, hisze eseté kifejezés ics értelmezve. A további elemek: ; 8 ; 0 899 i) 0; ; 999 ; j)
Részletesebben1. Gyökvonás komplex számból
1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebben4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
RészletesebbenBevezetés az integrálásba
Bevezetés z itegrálásb Horváth Árpád. ovember. Megjegyzés Ez jegyzet összefogllj z itegrálszámításk zokt leglpvetőbb foglmit, mely élkül z itegrálszámítási feldtok megoldás csk képletek mipulációj lee.
RészletesebbenA hatványozás első inverz művelete, az n-edik gyökvonás.
Ismétlés: Htváozás egész kitevő eseté A htváozás iverz műveletei. (Htvá, gök, logritmus) De.: :... Ol téezős szorzt, melek mide téezője. : htvál : kitevő : htváérték A htváozás zoossági egész kitevő eseté:
RészletesebbenKardos Montágh verseny Feladatok
Krdos Motágh versey Feldtok Az ABC háromszög hozzáírt köreiek középpotji O, P, Q, beírt köréek középpotj K Melyik állítás igz z lábbik közül? K z OPQ háromszög A) súlypotj B) mgsságpotj C) szögfelezőiek
RészletesebbenII. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET
MATEMATIKA FELADATSOR 9. évolym Elézést tegezésért! I. HALMAZOK Számegyeesek, itervllumok. Töltsd ki táláztot! Mide sor egy-egy itervllum hároméle megdás szerepelje!. Add meg következő itervllumokt! A
Részletesebben2. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET
Szkközépiskol 9. osztály Felkészülési jvslt jvítóvizsgár Véges, végtele, üres hlmz oglm Két hlmz egyelősége Részhlmz, vlódi részhlmz oglm Uiverzum, komplemeterhlmz Hlmzműveletek (uió, metszet, külöbség)
RészletesebbenVEKTOROK ÉS MÁTRIXOK
DR NAGY TAMÁS VEKTOROK ÉS MÁTRIXOK Miskolc, A bemuttott kuttó munk TÁMOP-B-//KONV-- jelű projekt részeként z Európi Unió támogtásávl, z Európi Szociális Alp társfinnszírozásávl vlósul meg This reserch
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenBodó Bea, Simonné Szabó Klára Matematika 1. közgazdászoknak
ábr: Ábr Bodó Be, Simoé Szbó Klár Mtemtik. közgzdászokk IV. modul: Számsoroztok 8. lecke: Számsorozt foglm és tuljdosági Tulási cél: A számsorozt foglmák és elemi tuljdoságik megismerése. A mootoitás,
RészletesebbenVektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:
Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,
Részletesebben1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok
Hiszámítás Hiforráso feldto megoldás sorá ülöféle hiforrásol tlálozu Modellhi mior vlóság egy özelítését hszálju feldt mtemtii ljá felírásához Pl egy fizii törvéyeel leírt modellt Mérési vgy örölött hi
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Itegrálszámítás Gykorló feldtok Progrmtervező mtemtikus szkos hllgtókk z Alízis. című tárgyhoz Összeállított Bese Atl, Csillg Dávid, Kiss Blázs, Mátyás Gergely, Szili László 4. október Trtlomjegyzék I.
RészletesebbenMásodfokú kongruenciák és alkalmazásaik
Másodfokú kogrueciák és lklmzásik Szkdolgozt Készítette: Vrg Ildikó Mtemtik BSc Mtemtiki elemz szkiráy Témvezet : Károlyi Gyul, Egyetemi doces Algebr és Számelmélet Tszék Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi
RészletesebbenIV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok
Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol
Részletesebben9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
. Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <
RészletesebbenHanka László. Fejezetek a matematikából
Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenMatematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva
Mtemtik A évfolym modul Soroztok Készítette: Lövey Év Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó A modul célj Időkeret Ajálott korosztály Modulkpcsolódási potok A soroztok foglmák elmélyítése Gykorlti
RészletesebbenMatematika A2 tételek
Matematika A2 tételek. Tétel Csoport: Defiíció: Legye A olya halamaz, amelye értelmezve va egy * művelet. Akkor modjuk, hogy A csoportot akkor a * műveletre ézve, ha Gyűrű: - a * művelet asszociatív -
Részletesebbenf (ξ i ) (x i x i 1 )
Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenLineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1
Lieáris kódok Defiíció. Legye SF q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. K lieáris kód, ha K az S k-dimeziós altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor.
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris
RészletesebbenKoczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig
Totál lp példák - képletek, tételek - segítség z lpfeldtokhoz Csk miimális mitpéldákt trtlmzó feldtsorhoz készült segéd, korátsem teljes z yg! Ez miimum szükséges, de korátsem elégséges elmélet, erőse
Részletesebben[A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE]
2011. Egészségügyi Szkképző és Továbbképző Itézet [A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE] Részletek z értékelésből A miősített mérőeszközök kezelése részletek z
Részletesebben