Vektorok, mátrixok. n m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. az i-edik sor j-edik. , ahol b i

Átírás

1 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz Vektorok, mátriok m dimeziós mátri: egy soról és m oszlopól álló számtálázt. m m m Jelölés: A A, hol i z i-edik sor -edik m eleme. dimeziós (oszlop)vektor egy soról és oszlopól álló mátri. Jelölés:, hol i z i-edik koordiát.

2 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz dimeziós llvektor z z dimeziós vektor, melyek mide koordiátá. Jelölés:. sorvektor: (,..., ),

3 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz Négyzetes mátrik evezük egy oly mátriot, melye sorok és z oszlopok szám megegyezik. -edredű mátrik evezzük z dimeziós égyzetes mátriokt. Egy -edredű mátri főátló (fődigoális) z,, K, elemeket trtlmzó átló. Egy égyzetes mátri szimmetriks, h szimmetriks főátlóár ézve, zz. i i -ed redű mátri spr vgy yom (trce) Sp A i ii

4 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 5 A digoális mátri egy oly égyzetes mátri, mely legfele főátlóá trtlmz -tól eltérő elemet. Péld:. Az egységmátri egy oly digoális mátri, mely főátló -eseket trtlmz. O I I I.

5 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 6 átrilger Két mátri egyelő, h elemeik redre megegyezek. és m m m m A kl k k l l l k c c c c c c c c c C egyelő potos kkor, h k, l m és. i c i w v w v, h, v

6 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 7 Két dimeziós mátri m összege z szité m dimeziós mátri, hol mide elem két összeddó mátri megfelelő elemeiek összegekét áll elő. : m m m m m m B A C m m m m m m i i i c A mátriok összedás kommttív és sszocitív. A B B A ( ) ( ) C B A C B A.

7 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 8 Egy m dimeziós mátri szorzt k vlós számml (sklárrl) egy oly m dimeziós mátri, hol mide elem z eredeti mátri megfelelő eleméek k-szoros. C : ka k m m m k k k k k k k k k m m m. k ( ) A A A B A ( B)

8 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 9 Péld: legye 5 : és 5 :. Péld: Számolk ki z lái kifeezésekt:,! egoldás: két vektor dimezió zoos, tehát összedhtók és

9 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz Péld: legye : A és : B. Számolk ki z lái kifeezéseket: B A,! A B egoldás: két mátri dimezió zoos, tehát összedhtók. 6 B A és B A

10 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz Egy dimeziós mátri trszpoált z z m m dimeziós mátri, mely z eredeti mátriól sorok és z oszlopok felcserélésével keletkezik. m m m T m m m A A. T A C i i c dimeziós sorvektor egy dimeziós (oszlop)vektor trszpoált. ( ) T.

11 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz Két dimeziós vektor, és skláris szorzt z ( ) i i i T K szám. 5,, ( ) T

12 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz Egy dimeziós m mátri és egy m dimeziós vektor szorzt következő dimeziós vektor: m m m m m m m A., 6 5 A A Egyeletredszer: 6 5 y y 5 6 y

13 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz Egy dimeziós és egy l m l dimeziós mátri szorzt z z m dimeziós mátri, mely i-edik sorák -edik eleme z első mátri i-edik sorák és második mátri -edik oszlopák skláris szorzt: lm l l m m l l l AB l m l l k i ik l m l c lk il k i k i ik c

14 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 5 A mátriok szorzás em kommttív, zz. AB BA egegyzés:. Az AB szorzt létezéséől em is következik, hogy BA szorzt is létezik. ( ) A B ( ) AB ( ) BA. Négyzetes mátriok szorzás sem kommttív: pl.

15 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz A mátriok szorzás sszocitív és disztritív, zz ( BC) ( AB)C vlmit A ( B C) AB AC, h műveletek értelmesek. Péld: sszocitivitás illsztrálásár T,, y T A y c d ( y) A c ( ) ( cy dy) d A,

16 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 7 c d y y d y c dy y y c dy y T ( A) ( y) ( cy, dy) cy y dy A c T ( A) ( ) cy y dy T T ( A) ( A) (Kvdrtiks függvéyek felírhtók mátriok szorztkét.)

17 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 8 I I H A I O -es mátri, kkor IAAIA. H C m-es: I C C illetve Egy A -edredű mátri iverze z m m CI C. A mátri, h AA A A I. átriok osztás: CSAK INVERZZE VAÓ SZORZÁS lehetséges, h létezik z iverz. AB, illetve B A. A kettő áltlá em gyz. péld? Csk égyzetes mátrik létezhet iverze!! NUOSZTÓ!

18 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 9 Alklmzások. Gráfelmélet Adceci vgy szomszédsági mátri: Illeszkedési mátri z csúccsl redelkező gráf eseté z z -es mátri, melye i, h z i-edik csúcsól él vezet -edik csúcs, egyékét pedig. i

19 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 5 Iráyíttl gráf (szimmetriks mátri) 5 5 5

20 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 5 Iráyított gráf: Iráyított gráf eseté z dceci mátri em szimmetriks, csk megfelelő helye vk -esek. Példál, z. sor. oszlopá v, hisze z. csúcsól.- vezet él, viszot.-ől z.-e em, így. sor. oszlopá áll.

21 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 5. Ökológi (Thll, ortimer, Rem, Bm, 967) érgező ygok felhlmozódásák vizsgált táplálkozási lácok (pl. Hg). Ökológii redszer:. A övéyevő álltok táplálékál szolgáló vegetáció: p, p,..., p r külööző övéyek.. Növéyevő álltok:,,... s külööző fok.. Húsevő álltok: c, c,..., c t külööző fok.? eyit evett idirekt módo c p -ől egy dott időszk? i

22 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 5 X átmeeti mátri: z f egyes egyedei áltl -ől megevett átlgos meyiség (g vgy kg). i i p Y átmeeti mátri: z f egyes egyedei áltl -ől megevett meyiség. ( drszámot elet). i y c i y i s r rs r r s s r s p p p X t s st s s t t s t y y y y y y y y y c c c Y

23 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 5 z i H c megeszik -ől -et és megeszik -ől -et, kkor y p c -et evett -e keresztül -ől. y p Ugyígy: c -őt evett - keresztül -ől y p c y -et evett -e keresztül -ől. ss s p Összese: y y yss X első sor szorozv Y első oszlopávl. Áltláosítv: z z K z t z z K z r t t Z XY zr zr K zrt megmod, hogy -edik rgdozó közvetve meyit fogysztott z i-edik övéyől.

24 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 55 Geometrii vektorok P(,y) A, illetve dimeziós vektorok megfeleltethetőek geometrii érteleme vett y vektorokk síko, illetve tére z lái módo: eseté, y koordiáták, vgy vektor y kompoesei. v Két vektor, és összege síko y v y y v k ky Vektor számszoros:, k y ky y k k

25 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 56 Egy vektor ormá (vgy szolút értéke vgy hossz) következő: T y y Áltláos: h, kkor T K. Beizoyíthtó, hogy kétdimeziós vektor skláris szorzt T cosα, hol α két vektor áltl ezárt szög. o H α 9 cos α T, és megfordítv is (h, )

26 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 57 erőleges (ortogoális) vektrorok: Tdk, hogy derékszögű háromszögek eseté igz Pitgorsz tétel. Ezt és orm.illetve vektor szorzás tldoságit felhszálv: ( ) ( ) ( )( ) T T T T T T T T - A két zoosságot összevetve kiderül, hogy h két vektor merőleges egymásr, skláris szorztk. Fordítv is igz, h két vektor skláris szorzt, kkor merőlegesek egymásr. Koordiátákkl:, y y y y.

27 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 58 Egységvektorok: e T e e, e ide kétdimeziós vektor felírhtó egységvektor lieáris komiációkét: e e T Egy A égyzetes mátriot ortogoálisk evezük, h AA digoális mátri. Ez zt eleti, hogy A sori párokétkét merőlegesek egymásr, zz skláris szorztk. e e AA T D d d O d

28 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 59 T Egy A égyzetes mátriot ortoormáltk evezük, h AA egységmátri. Egy ortoormált mátri trszpoált is ortoormált, zz oszlopi is merőlegesek egymásr. Ortoormált mátri eseté, mivel T AA I, ezért A T A

29 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 6 ieáris trszformációk Péld: síkeli forgtás z origó körül 9 -kl pozitív iráy. y, y -y y y y A trszformáció felírhtó mátriszl vló szorzáskét. Áltlá egy A -es mátriszl vló szorzás, A, R -ek egy trszformációát hozz létre. Erre telesül: α α,( A α α ),és ( y) y, ( ) ( ) A

30 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 6 ezért ezt lieáris trszformációk evezzük. A lieáris trszformáció mátri. A feti péld szerit síko z origó körüli 9 -os forgtás lieáris trszformáció, melyek mátri:. péld: 8 -os forgtás Két 9 -os forgtás egymás tá: y y y

31 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 6 Determiások ieáris egyeletredszerek Péld: vgy mátri lk írv. c d v c d v H létezik egyértelmű megoldás, kkor z felírhtó:, h c d v c c d v c v ( c d) c v v c d v,, h d c c d d c d c

32 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 6 Bevezetve d v v d és d c hol c d det d c defiíciót, c d c d c d v c d c c c v, egegyzés: Nem csk másodredű, hem mgs redű mátriokk is létezik determiás. A mgs redű determiások kiszámítás visszvezethető lcsoy redűek kiszámításásr. Crmer szály d

33 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 6 Tekitsük z A egyeletől álló, ismeretlees lieáris egyeletredszert, hol deta. Ekkor z egyeletredszer megoldhtó és potos egy megoldás v, hol k, k,, K,, hol Ak úgy A keletkezik, hogy z A mátri k-dik oszlopát kicserélük z vektorrl Péld: (mo:, ) 5 A k ( ) A

34 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 65 A,,,, det A det A det A

35 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 66 Hogy lehet mgs redű determiásokt kiszámíti? Egy rekrzív defiíció: Aldetermiásokkl -es A determiás elemhez trtozó ldetermiás z ( ) ( ) i -es előeles A i determiás, mely z A determiásól z i-edik sor i és -edik oszlop elhgyásávl és ( ) -vel vló szorzássl keletkezik. Kifetési tétel: > eseté determiások értéke determiás hgyomáyos, itt em említett defiíció lpá eheze htározhtó meg. A következő egyelőséggel feldt zo visszvezethető eggyel kise det A A, illetve méretű determiások meghtározásár: ( ) i det( A ) i A, hol i i i A megfelelő előeles ldetermiás. Ezt módszert determiás. oszlop, illetve i. sor szeriti kifetések evezzük. i

36 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 67 Péld: z lái -s determiás z első oszlop szerit kifetve: det A második oszlop szerit kifetve: det Előelek megválsztás (ideek összegéek pritás):

37 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 68 Péld: megoldás:,, Nllák sokt segíteek determiások kiszámításáál: péld: ( 5) 86 9

38 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 69. H v egy sor vgy oszlop, determiás.. Egy determiás értéke em változik, h felcserélük sorit és T det A det A. oszlopit, zz ( ) ( ). H egy mátri két sorát vgy két oszlopát felcserélük, kkor determiás (-)-szeresére változik.. H egy mátri két sor vgy oszlop megegyezik, vgy egymás számszoros, kkor determiás. 5. H egy mátri vlmely sorát vgy oszlopát λ -vl szorozzk, kkor determiás is λ -vl szorzódik. λ λ λ c c c c λ c c 6. H főátló ltt, vgy fölött mide elem, kkor determiás főátlóeli elemek szorzt.

39 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 7 7. H v v v A és v v v B, kkor ( ) ( ) det det v v v B A 8. H egy mátri ármelyik sorához (oszlopához) hozzádk egy másik sor (oszlop) számszorosát, determiás értéke em változik. c c c c c c λ λ λ 9. Két mátri szorzták determiás megegyezik két mátri determiásák szorztávl, zz ( ) ( ) ( ) B A AB det det det. Péld:

40 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 7 () () ( )( ) ( ) () A. sorhoz hozzádk. sort. () Az. sorhoz hozzádk. sor kétszeresét. Egy -edredű mátri szigláris, h determiás, regláris, h em. Szigláris mátrik ics iverze. H deta, kkor A-k létezik iverze.

41 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 7 H A-k létezik iverze, kkor deta. átri iverzéek kiszámítás Egyeletredszer: A A -s esete: A det A

42 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 7. Számítsk ki deta-t!. Készítsük el egy mátriot z eredeti mátri lpá úgy, hogy mide elem helyére hozzá trtozó ldetermiást írk! i. Trszpoálk mátriot!. Osszk el -vl! A det péld: Számítsk ki z 5 A iverzét! megoldás: A

43 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 7 ieáris összefüggőség y 6 y 7 A két egyelet egymás számszoros, második em trtlmz ú iformációt. A két egyelet lieáris függ egymástól. Vektorok eseté: 6, 9, 6 ( ) 8 6 / - Két vektor lieáris összefüggő, h létezik λ és λ em midkettő úgy, hogy λ. λ

44 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 75 Három vektor kkor lieáris összefüggő, h létezik λ, λ és λ em mid úgy, hogy λ λ. λ H példál λ, kkor λ λ. λ λ -(λ /λ ) Az z és lieáris komiáció. (Egy síko vk.) -(λ /λ )

45 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 76 Az,, K, k dimeziós vektorok lieáris összefüggőek, h létezek oly λ, λ, K, λ számok úgy, hogy em midegyikük, és k λ λ K λ k k. Az A k dimeziós mátri és dimeziós vektor lieáris összefüggőek, h z A mátri oszlopiól képzett,, K, k dimeziós vektorok és vektor lieáris összefüggőek. Az,, K, k dimeziós vektorok lieáris függetleek, h em lieáris összefüggőek. Az,, K, k dimeziós vektorok (k<) lieáris összefüggőek potos kkor, h vektorokól képzett k dimeziós mátri vlmeyi k k -s ldetermiás.

46 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 77 Péld:, 6, előlük képzett mátri Az ldetermiások, és, vgyis 5 5 vlmeyie -k, ezért vektorok lieáris összefüggőek. T T T Péld: ( 5 ), ( 5 ), ( ) Függetleek-e?

47 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 78 Altér, geerált ltér, geeráló redszer, ázis R -et dimeziós vektortérek evezzük V R ltér, h z összedás és számml szorzás em vezet ki előle. A v, v,..., v k R vektorok áltl geerált ltér z legszűke ltér, mely vektorokt trtlmzz. Ez vektorok összes lieáris komiációiól álló hlmz. A dimeziós tére z lterek z origó átmeő egyeesek, illetve síkok, vlmit { } és mg tér. A v, v,..., v k R vektorokt geerátor redszerek evezzük, h z áltlk geerált ltér teles R. A v, v,..., v k R vektorokt ázisk evezzük, h vektorok lieáris függetleek és geeráló redszert lkotk. Egy ázis ortoormált, h egységyi hosszúságú, egymásr merőleges vektorokól áll.

48 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 79 Péld: R természetes ázis:,,. Ez ázis ortoormált. Állítás: R ármely ázis vektoról áll. Állítás: A -es mátri. Tekitsük z -hez A-et hozzáredelő leképezést. A oszlopi természetes ázis elemeiek képei. Állítás: H A ortoormált, kkor trszformáció természetes ázist egy ortoormált ázis képzi le (koordiát- redszer váltás). Péld: Tükrözés, forgtás. H R -e vgyk, és -él tö vektork v, kkor ezek iztos összefüggők, zz mimm d függetle vektork lehet.

49 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 8 H k vektor függetle, és elveszük előle egyet, mrdék is függetle lesz. H összefüggőek, és hozzávesszük egyet, ismét összefüggőeket kpk.

50 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 8 Egyeletredszerek megoldhtóság y 7 Péld: Az egyik elhgyhtó. Az együtthtó mátri 6 y determiás v (sok) megoldás. y 7 (-)7, det 6 y 6 A l oldlk még midig em függetleek.! ics megoldás. y 5y homogé lieáris egyeletredszer Triviális megoldás:, y. i v, h z egeletek szám em egyelő z ismeretleek számávl?

51 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 8 A em triviális megoldás léte z együtthtó mátri determiásától függ. Az A lieáris egyeletredszer megoldhtóságár z láik igzk: h det( A), kkor Crmer szály lklmzhtó és - (homogé) eseté csk z triviális megoldás létezik, - eseté létezik potos egy em triviális megoldás; h ( ) det A, kkor Crmer szály em lklmzhtó és - (homogé) eseté z triviális megoldás és végtele sok em triviális megoldás létezik - eseté, h A és függetleek, ekkor ics megoldás egyékét végtele sok megoldás v.

52 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 8 Péld: Vektorok összefüggőségéek és z egyeletredszerek megoldhtóságák kpcsolt: Péld: Összefüggőek-e,,, zz létezik-e és, λ λ λ em mid, úgy hogy λ λ λ, zz

53 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 8 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ. Egy homogé lieáris egyeletredszert kell megoldi. H csk triviális megoldás v, kkor függetleek, h v em triviális megoldás, kkor összefüggőek.

54 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 85 Fordítv: A vektor ~ A mátri oszlopvektorik lieáris komiáció, melye z együtthtók z vektor koordiátái. Az A egyeletredszerek potos kkor létezik megoldás, h vektor előáll, mit z A mátri oszlopvektorik lieáris komiáció ( ee v z A oszlopvektori áltl geerált ltére). H z egyeletredszerek v megoldás, kkor z potos kkor egyértelmű, h z A oszlopvektori lieáris függetleek (h összefüggők, kkor végtele sok megoldás v.) H egyeletük v ismeretlere, kkor z oszlopvektorok függetlesége ekvivles zzl, hogy deta. Ez ekvivles zzl, hogy - A ivertálhtó, - A sorvektori lieáris függetleek.

55 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 86 Sátvektor, sátérték Négyzetes mátriok ~ lieáris trszformációk: z vektor képe A ieáris trszformáció sátvektor oly (em ) vektor, melyek képe vektor számszoros. A szorzószám sátvektorhoz trtozó sátérték. Négyzetes mátri sátvektor és sátértéke: A-k z vektor sátvektor λ sátértékkel, h A λ (λ R). - -k trszformáció csk hosszát változtt, z iráyát em; ( - mide sátvektorhoz csk egy sátérték trtozik); - z vektort zért zártk ki, mert ott sátérték em egyértelmű; - sátvektor helyett sátiráyt is modhták ( sátvektor α is z)

56 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 87 - h egy vektor képe vektor (zz, h A ), kkor mátri sátvektor sátértékkel (és fordítv is, zz h egy mátrik sátértéke, kkor : A ) - egy sátvektort ormáltk evezük, h (sátvektor ltt éh ormáltt érteek kkor is, h külö em modák).5.5 Péld: A,, A, A.5.5 Tehát A htás z vektor iráyá -szeresére yútás, z iráyá pedig helye hgyás. (Ezekől már töi iráyeli htás is következik.) egegyzés: em mide lieáris trszformációk/mátrik v o sátvektor, példál em k 8 -os elforgtásk, mit pl. A, icse.

57 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 88 Állítás: zoos sátértékhez trtozó sátvektorok vektort hozzávéve lteret lkotk, zz ármely lieáris komiációk is sátvektor, szité gyzzl sátértékkel (sátvektor ~ sátiráy ~ sátltér). Bizoyítás: tegyük fel, hogy A λ és A λ. Ekkor A(α β ) Aα Aβ λα λβ λ (α β ). Állítás: egy -es mátrik legfele külööző sátéréke v. (Bizoyítás: Az kérdés, hogy z A λ egyeletek háy külööző λ vlós szám eseté v megoldás. Átredezve: A λ (A λi) Eek z egyeletek csk kkor v megoldás, h det(a λi). ivel det(a λi) λ-k -edfokú poliom, ezért det(a λi) egyeletek legfele vlós gyöke lehet.)

58 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 89 egegyzés: det(a λi) poliomot, illetve det(a λi) egyeletet z A mátri krkterisztiks poliomák, illetve krkterisztiks egyeletéek evezik. Állítás: egy mátrik és trszpoálták gyzok sátértékei Bizoyítás: det(a T λi) det(a λi) mitt A és A T krkterisztiks egyelete gyz. Állítás: szimmetriks mátri külööző sátértékekhez trtozó sátvektori.5.5 párokét merőlegesek egymásr. (Péld erre z előző mátri.).5.5 (Bizoyítás: tegyük fel, hogy A λ és A λ, λ λ. H A szimmetriks, kkor A A T, és ezért T A T A T. ásrészt T A λ T és T A T λ T, tehát λ T λ T, mi csk kkor lehetséges, h T.)

59 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 9 egegyzés: h em szimmetriks mátri, kkor em iztos, hogy sátvektorok merőlegesek. Pl. sátvektori és. átri sátértékeiek és sátvektorik kiszámítás Péld: htározzk meg z A mátri sátértékeit és sátvektorit! v v λ λ λ λ v (*)

60 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 9 λ Csk kkor létezik em megoldás, h det ( λ)( λ) λ, vgyis egyeletet kell megoldi. A megoldások: λ, λ. A sátvektorok meghtározásához sátértékeket eírk (*) egyelete és megoldk: λ λ :, v v λ μ λ : μ v v μ Figyelem, ezekek z egyeletekek midig végtele sok megoldás v! (v.ö. sátiráy, sátltér). H ormált sátvektorr v szükség, kkor

61 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 9 kpott megoldást ormálhtk: λ -hez trtozó ormált sátvektor, λ -höz trtozó. 5 Áltláos: A égyzetes mátri sátértékeiek kiszámítás: λ K λ K det( A λi) megoldásávl. K K λ Ez λ egy -ed fokú poliom, mátri krkterisztiks egyelete. Sátvektorok kiszámítás: A λ

62 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 9 I A ) ( λ ( ) ( ) ( ) λ λ λ Egy szimmetriks mátrihoz tlálhtk oly ortoormált ázist, mely csp sátvektoról áll (izoyítás élkül). ( ) U K mátri digλ T AU U, h A szimmetriks ( ) k T, mide k eseté, zz merőlegesek egymásr.

63 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 9 (egye A szimmetriks mátri, U pedig oly ortoormált mátri, melyek oszlopvektori z A sátvektori. Ekkor U T AU mátri digoális, főátlóá z A sátértékei állk. ) Péld: A számolást gykorolhtk feti példák szereplő mátriokkl:.5.5.5,,.5 it kpk második mátri esetée, mely rr volt péld, hogy em midig létezik sátérték? Az egységmátrik ármely em vektor sátvektor és ármely sátvektorához trtozó sátértéke. Egy digoális mátrik természetes ázis vektori mid sátvektori, sátértékei pedig mátri digoális elemei.

64 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 95 (Egy trszformáció mátri kkor és csk kkor digoális, h mátriot sátvektorokól álló ázis szerit írtk fel. Ekkor főátló épp ázisvektorokhoz trtozó sátérétkek állk.) Egy szimmetriks mátriot pozitív (egtív) defiitek evezük, h mide sátértéke pozitív (egtív). Egy szimmetriks mátriot pozitív (egtív) szemidefiitek evezük, h mide sátértéke pozitív (egtív) vgy ll. H A pozitív (egtív) defiit, kkor ármely -r T A > ( T A < ) (Ortoormált mátrik megfelelő lieáris trszformáció - koordiát redszer váltás. Ekkor determiás em változik, zz det. sátértékek szorztávl.)

65 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 96 Péld: sátérték, sátvektor lklmzásár Adott egy popláció korcsoporttl. Az egyedszámok korcsoportokét. időpot: ), (), (),..., () ( A t-edik időpot korcsoportvektor: () t () t () t () t Feltesszük, hogy korcsoportokét születő és elpsztló egyedek ráy álldó.

66 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 97 Szporodásr képesek k, k,...,kp korcsoport egyedei. A (,) időitervllm z i-edik korcsoport szporlt: α ( i k, k,..., k p ( ) ) i i k p ( ) () α i i. i k A töi korcsoport ú egyedszám: ω l - hlálozási rát ω < ω < l,,...,.időpot () () ( ) l l l l () () () k p α i i k ω ω ( ) i ( ) ( )

67 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 98 Átmeeti mátri: ω A : ω α k α k α k p ω () () A ( m ) A ( ) ( ) AA m ( )

68 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 99 ()-ól () meghtározhtó, de fordítv em, hisze () A () lee, de A em létezik, mivel v egy csp oszlop, és így deta. ikor mrd ráyi álldó popláció kormegoszlás? A()λ() λ sátérték, () sátvektor H () A sátvektor, kkor popláció kormegoszlás álldó mrd.

69 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz Péld: ieáris progrmozás Optimlizálási feldt. Adott c dimeziós és m dimeziós vektorok, és z A m dimeziós mátri. Keressük zokt z dimeziós vektorokt, melyek eseté igz, T hogy A,, c mimális (miimális). péld: Szrvsmrhák etetésére mezei széát és egy izoyos ft tkrmáytápot krk hszáli. Az álltok tehozmák fetrtásár pot 9, kcl eergi, 9 g fehére, g klcim és 85 g foszfor szükséges. A szé kilókét 7 Ft-, tkrmáytáp pedig Ft- kerül. ilye ráy dk z álltokk ezeket, hogy felhszálásk leggzdságos legye?

70 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz Tápyg meyiségek Eergi Fehére C P kcl/kg g/kg g/kg g/kg ezei szé,5 5 6, Tkrmáytáp,,6 7,6 temtiki lk: (, szé ill. tkpmáytáp meyisége),5, 9,,5, 9, A 6,6, c 6,6, 7,6 85, 7,6 85, A, c T 7 mi

71 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz Elevezések: A techiki együtthtók mátri ooldl vektor c költségvektor egoldás: dimezió grfiks, egyékét számítógéppel. Grfiks: egyelőtleségek félsíkok (metszet: megegedett megoldások),5, 9, 7,5,5 () 5 6,,6 7, z,7 költségfüggvéy 9,65,7.8,,8,8 z, párhzmos egyeesek () () ()

72 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 5 () () () () 5 iimlizálás: párhzmos egyeesekkel lefelé trtv megkeressük megegedett meoldások hlmzávl vló leglsó metszéspotot. Ez z optimális megoldás: (8,;,7)

73 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz Idló tálázt z Ecele: Eergi FehéreC P chgig cells költség ezei szé,5 5 6, 7 Tkrmáytáp,,6 7,6 Totl,6 5 8,6 9,7 ooldl 9, 9 85 trget cell 7 egoldás: (Tools, Solver (Add-Is)) Eergi FehéreC P chgig cells költség ezei szé,5 5 6, 8,9 7 Tkrmáytáp,,6 7,6,777 Totl 9, 98,795,878 ooldl 9, 9 85 trget cell 89,68

74 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 5

75 Biomtemtik I. (SZIE ÁOTK zoológs szk) Hros Adre - Reiczigel Jeő, ősz 6 ehetséges esetek: h létezik megegedett megoldások hlmz: - egy csúcso v z optimm, - egy htároló szkszo v (tö megoldás) Töváltozós esete: simple módszer A megegedett trtomáy csúcsi megy végig. Prolémák: - ics megegedett megoldás (félsíkokk ics közös része), - megegedett megoldások hlmz em korlátos z iráy, merre célfüggvéy csökke.