Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai"

Átírás

1 Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji AOK - Rezides képzés Király Gyul

2 Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi műveletek (operációk) tudomáyos kuttási Ellátási (logisztiki) problémák megoldásák z ipr és szolgálttás területére lklmzás Először UK és USA üzleti tácsdói hszálták Lieáris progrmozás George Dtzig (947) Számítógépek megjeleésével ugrásszerű övekedés Az Operációkuttás vezetői képzésbe áltláossá vált Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji

3 Az operációkuttás foglm DÖNTÉS = Válsztás ltertívák között. ALTERNATÍVA = Lehetőség, vlmiek megvlósulását megelőző állpot. (leglább lehetőség) A dötés objektív kéyszer, melyek tüete problém és forrás célok és z dottságok között feálló elletmodás. DÖNTÉS-ELŐKÉSZÍTÉS = A dötési folymt feltáró, elemző és modelllkotó része. ELEMZÉS Közelítésmód + Módszerek tárház Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 3

4 Dötési módszert A dötés midig JÖVŐORIENTÁLT iráyultságot fejt ki jelebe. Dötés ismérvei: z krt hgsúlyozottság dötéshozók tudt A dötés htékoyság érdekébe megfelelőe szervezett htlmt és meglpozott vezetői tudást feltételez. Dötési állpot feltétele: CÉL (mit kruk eléri) HELYZET ( mi jele állpot) Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 4

5 Dötési korlátok Célkorlát: Erőforráskorlát: Kompetecikorlát: Szervezeti korlát: csk szigifikás célokt tudjuk kezeli iformáció + idő + péz + problémgzd ki döt? (kiek kellee?) kiek számár dötük? Módszerti korlát Észlelési korlát (dötési helyzet) Felismerési korlát (dötési problémák) Méréskorlát (lpdtok megbízhtóság) Megkülöböztetési korlát (ltertívák) Kommuikáció korlát (dokumetálás) Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 5

6 Dötési folymt HELYZETELEMZÉS CÉLRENDSZER KIALAKÍTÁSA KÖVETELMÉNYEK KÍVÁNALMAK MEGOLDÁSI ALTERNATÍVÁK KERESÉSE ZÁRT MATEMATIKAI KIFEJEZÉS TÉTELESEN FELSOROLT LEHETŐSÉGEK DÖNTÉS Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 6

7 Adtok és sttisztiki lpfoglmk Adtok = Változók Miőségi Meyiségi illetve Diszkrét Folytoos Osztály = Adtcsoportosítás egysége (5-0 ) k 4 k.5, h < 00 és, h >00 X m X mi Osztály itervllum hossz : c k Mediá: gyság szerit redezett dtsor középső értéke Kvrtilis (egyedelő érték): X mi, Q, Me, Q 3, X m Módusz: dtsor leggykrbb előforduló értéke: Mo=X f m Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 7

8 Mátriok és mátriműveletek 8 Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji A A mátri számok tégllp lkú elredezése. Egy 3-es mátrik 3 sor és oszlop v. m m m m b b b b A : :.. : : :....,, Áltláos formáj z lábbi m-es mátri, hol,.., m jelöli mátri elemeit.

9 Mátriok és mátriműveletek Mátriok egyelősége : Mátriok összege : Mátriok külöbsége : Mátriok szorzás : Mátriok osztás : Mátri trszpoálás : Mátri szorzás k számml : Speciális mátriok : A=B, h ij =b ij mide i és j eseté ij bij A+B = A- B =, zz A+(-)B ikbkj AB =, A m és B r AB mr NEM ÉRTELMEZHETŐ!!! A T = ka= ji k kij ij bij egységmátri, ullmátri, sorvektor, oszlopvektor, ullvektor. Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 9

10 Mátriok és mátriműveletek Szbályok: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A(B + C) = AB + AC A(BC) = (AB)C IA = A = AI, hol I egy egységmátri A + 0 = A, A - A = 0, 0A = 0 = A0 AB BA Lieáris összefüggő, lieáris függetle vektorok c + c +. + c m m = 0, és c,c, c m em mid 0 Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 0

11 Vlószíűség számítás elemei Vlószíűség számítás: véletle tömegjeleségek törvéyszerűségeiek mtemtiki vizsgált. Pl.: vércsoport H:={0, A, B, AB}, zz 4 elemi eseméy Műveletek eseméyekkel: Eseméyek összege (egyesítése): Eseméyek szorzt (közös része): Egymást kizáró eseméyek: Eseméyek komplemetere: A B A B A B = 0 A A = H eseméytér Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji

12 Lieáris egyeletredszer Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji m m m m b b b... : m m m m b b b b A : :.. : : :....,,, hol Vektorok egy hlmzák RANGJA hlmzból válszthtó lieáris függetle vektorok mimális szám. A b

13 Klsszikus leszámlálási problémák PERMUTÁCIÓK # elem összes lehetséges sorredje : (ismétlés élküli) permutációi. Ezek szám:! # k drb első típusú elem, k drb második típusú elem,. k drb -dik típusú elem lehetséges sorbállítási k +k +.+k elem ismétléses permutációi. Ezek szám: k k k! k...!... k k!! Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 3

14 Klsszikus leszámlálási problémák VARIÁCIÓK # elemből z összes lehetséges sorredbe k drb külöböző kiválsztás: z elem k-dosztályú (ismétlés élküli) vriációi.! Ezek szám:... k k! ( permutáció vriáció egy speciális esete, h k=) # elemből képezhető k tgú soroztok (egy-egy elem többször is szerepelhet): z elem k-dosztályú ismétléses vriációi. Ezek szám: k Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 4

15 Klsszikus leszámlálási problémák KOMBINÁCIÓK # Egy elemű hlmz k elemű részhlmzi: z elem k-dosztályú (ismétlés élküli) kombiációi. Ezek számát jelöljük : -vl. Azz k k k -t biomiális együtthtók evezzük. # elemből k kiválsztás, h sorred em számít, de z elemek többször is szerepelhetek: elem k-dosztályú ismétléses kombiációi. Számuk: k k ( )... ( k k! ) Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 5

16 Lieáris egyeletredszerek megoldás # Lieáris egyeletredszer felállítás # Megoldás grfikus (geometrii) módszerrel # Megoldás keresése Guss féle kiküszöbölési eljárás segítségével # Megoldás szimple módszerrel (tábláztos lkb) Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 6

17 Szimple módszer léyege Algoritmus (itertív megoldási eljárás) hszált KEZDŐ LÉPÉS ITERATÍV LÉPÉS (Algebri/Geometrii) LEÁLLÁSI SZABÁLY Nem Ige Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 7

18 Szállítási, disztribúciós feldtok # Forrás: # Igéy: Feldóhely, vgy telephely, ho z igéyeket ki lehet elégítei. A forrás lehet rktár, vgy gyártó válllt. Megredelő, vgy felhszáló, kiek tevékeységéhez vgy működéséhez szükséges ygokk vgy termékekek, meghtározott meyiségbe redelkezésre kell álli. # Elleállás téyezők: A szállítási költségek forrás és igéy helyszíek között. Lehet költséget helyettesítei távolsággl. Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 8

19 Szállítási, disztribúciós # Zárt feldt: Az feldt, hol forrásokál redelkezésre álló kpcitás és z igéy oldlo felmerülő szükséglet megegyezik. # Fiktív yelő: Nyitott feldt zárttá tételéhez szükséges fiktív igéy, melyek "kielégítésére" formális kerül sor, ugyis z dott forrás és fiktív yelő közötti szállításr llokált "termék" forrásb mrd, mivel z elleállás téyezőt z dott forrás és fiktív yelő között zérus értékűek vesszük fel. # Fiktív forrás: feldtok Nyitott feldt zárttá tételéhez szükséges fiktív feldóhely, melyek kpcitását optimlizáláso kívüli külső kpcitáskét biztosítjuk, z elleállás téyezőt z dott forrás és mide yelő között zérusk tekitjük. Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 9

20 Szállítási feldt mtemtiki modellje m c ij ij Költség mi i j X ij = C ij = m = = i-edik tároló helyről j-edik felvevőhelyre szállítdó egységek meyisége egységyi árú szállítási költsége z i-edik tároló helyről j-edik felvevőhelyre tároló helyek szám felvevőhelyek szám Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 0

21 Szállítási feldtok megoldási módszerei # Észk-Nyugti srok módszer # Vogel féle pproimációs módszer # Russell féle pproimációs módszer # Dtzig módszer # Optimum kereső eljárás Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji

22 Hálózttervezés, mimális ármlt # PERT, CPM, MPM módszerek # Hálózt ábrázolás: tevékeységorietált eseméyorietált # Hurokmetes, iráyított, egybefüggő gráf # Időtervezés, kritikus út számítás, (látszólgos tevékeység, trtlékidő, stb.) A A tevékeység ( p) ( p) (3 p) B Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji

23 A / B / s / N / m / X Tömeg kiszolgálási redszerek A : érkezési időközök eloszlás függvéye B: kiszolgálási idők eloszlás függvéye s: kiszolgálási cstorák szám N: megegedett várkozási sor mimális hossz [ ] m: igéyek mimális szám [ ] X: következő igéy kiválsztás redje [FIFO] eloszlás függvéyek: M (epoeciális), E r (r-edredű Erlg), H r (r-edredű hiperepoeciális), D (determiisztikus kosts) G (áltláos semmit sem tuduk ról) Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 3

24 Tömeg kiszolgálási redszerek Igéykeletkezés: jellemzői: zoos külöböző érkezés: egyekéti csoportos időköz: determiisztikus sztochsztikus itezitás: sorhossztól függő - függetle Várkozás: sor hossz: korlátozott tetszőleges viselkedés: türelmes - türelmetle Kiszolgálás: redje: FIFO, LIFO, véletle, prioritássl cstor szám: egy több módj: egyfázisú többfázisú cs.fjt: zoos külöböző cs.megbízht.: bszolút zvrok előfordulhtk cs.megválszt.: szbddá válás, véletle, teljesítméy szerit Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 4

25 Felhszált források Hillier, Lieberm: Bevezetés z Operációkuttásb, LSI okttó közpot, Budpest 994. Tóth I. (szerk.): Operációkuttás I. (Mtemtik üzemgzdászokk), Nemzeti Tköyvkidó, Budpest 999. Cseryák L. (szerk.): Operációkuttás II. (Mtemtik üzemgzdászokk). Nemzeti Tköyvkidó, Budpest, 999 Gács P, Lovász L (99): Algoritmusok. Tköyvkidó, Budpest Hirkó B. - Jámbor A. - Ngy Z. - Rffi M. - Vrg Z.: Dötés előkészítés - Módszert: Operációkuttási módszerek. Novdt Kidó, Budpest, 000 Jordá T.-Recski A.-Szeszlér D.: Redszeroptimlizálás, Typote Kidó, Budpest, 004 B.Kröpfl-W.Peschek-E.Scheider-A.Schölieb: Alklmzott sttisztik, Műszki Köyvkidó, Budpest, 000 Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji 5

26 Vége hrmdik elődásk! Király Gyul: Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen, KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése

1. Fejezet A sorozat fogalmának intuitív megközelítése SOROZATOK SZÁMTANI, MÉRTANI ÉS HARMONIKUS HALADVÁNYOK Körtesi Péter, Szigeti Jeő. Fejezet A sorozt foglmák ituitív megközelítése A sorozt számok egy redezett felsorolás, számokt sorozt tgjik evezzük. Egy

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK

1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK ESETFELVETÉS- MUNKAHELYZET A következő fejezetekben zokkl z lpvető mtemtiki lpokkl ismerkedhet meg, melyek tudás elengedhetetlen z lpvető progrmozási ismeretek

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Kocsis Imre, DE MFK) egedélyével hszálhtók fel! A vlós számok hlmz VA A vlós számok hlmzák lpvető tuljdosági A vlós

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr.

Versenyfeladatok. Középiskolai versenyfeladatok megoldása és rendszerezése Szakdolgozat. Készítette: Nováky Csaba. Témavezető: Dr. Verseyfeldtok Középiskoli verseyfeldtok megoldás és redszerezése Szkdolgozt Készítette: Nováky Csb Témvezető: Dr. Fried Ktli Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kr Mtemtik Alpszk Tári Szkiráy

Részletesebben

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus)

A hatványozás inverz műveletei. (Hatvány, gyök, logaritmus) A htváyoz yozás s iverz műveletei. m (Htváy, gyök, logritmus) Ismétlés: Htváyozás egész kitevő eseté Def.: egy oly téyezős szorzt, melyek mide téyezője. htváylp : kitevő: htváyérték: A htváyozás zoossági:

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

x + 3 sorozat első hat tagját, ha

x + 3 sorozat első hat tagját, ha Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd

Részletesebben

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása

II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók

Részletesebben

ALGEBRA. 1. Hatványozás

ALGEBRA. 1. Hatványozás ALGEBRA. Htváyozás kitevő Péld: lp H kitevő természetes szám, kkor db téyező Bármely szám első htváy ömg Bármely ullától külöböző szám ulldik htváy egy. 0 ( 0) (0 0 em értelmezett) Htváyozás számológéppel:

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

[A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE]

[A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE] 2011. Egészségügyi Szkképző és Továbbképző Itézet [A MINŐSÍTETT MÉRŐESZKÖZÖK KEZELÉSÉNEK TÁRGYÁBAN KÉSZÍTETT FELMÉRÉS ÖSSZEGZÉSE] Részletek z értékelésből A miősített mérőeszközök kezelése részletek z

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

Mátrixok. Bevezetés és példák 1/12. Mátrix aritmetikai bevezetés

Mátrixok. Bevezetés és példák 1/12. Mátrix aritmetikai bevezetés Mátrixok. Bevezetés és példák / Mátrix ritmetiki bevezetés Trtlom. Bevezetés Mátrixelemek és jelölések 3. Mátrixok fjtái: 4. Elemi műveletek mátrixokkl 4. Egyelőség 4. Trszpoálás 4.3 Szorzás 4.3. Szorzás

Részletesebben

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén

Készségszint-mérés és - fejlesztés a matematika kompetencia területén Kis Tigris Gimázium és Szkiskol Készségszit-mérés és - fejlesztés mtemtik kompeteci területé Vlj Máté 0. Bevezetés A Második Esély A Második Esély elevezés egy oly okttási strtégiát tkr, melyek egyik legfő

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2

mateksoft.hu ( ) 2 x 10 y 14 Nevezetes azonosságok: Hatványozás azonosságai Azonos kitevőjű hatványok: + 9 ( 2x 3y) 2 4x 2 12xy + 9y 2 Nevezetes zoosságok: mteksoft.hu ( + ) + + ( x + ) x + 6 x + 9 ( x + y) 4x + 1xy + 9y ( ) + ( x ) x 6 x + 9 ( x y) 4x 1xy + 9y ( + + c) + + c + + c + c ( x + y + ) x + y + 4 + xy + 4x + 4y Htváyozás zoossági

Részletesebben

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

RUGALMAS GYÁRTÓRENDSZER ÉS LOGISZTIKAI (ANYAG- ÉS INFORMÁCIÓÁRAMLÁSI) RENDSZER. 1. Rugalmas gyártó- és anyagáramlási rendszerek sajátosságai

RUGALMAS GYÁRTÓRENDSZER ÉS LOGISZTIKAI (ANYAG- ÉS INFORMÁCIÓÁRAMLÁSI) RENDSZER. 1. Rugalmas gyártó- és anyagáramlási rendszerek sajátosságai UGALAS GYÁTÓENDSZE ÉS LOGISZTIKAI (ANYAG- ÉS INFOÁCIÓÁALÁSI) ENDSZE. ugalmas gyártó- és ayagáramlási redszerek sajátosságai 2. ugalmas ayagáramlási redszer általáos modellje 3. Gyártóredszerek rugalmassági

Részletesebben

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek

Elemek egy lehetséges sorbarendezése az elemek egy permutációja. n elem összes lehetséges sorbarendezéseinek Kombiatorika! = 1 3 1 ejtsd: faktoriális 0! = 1 1! = 1! = 1 = 5! = 1 3 4 5 = 10 stb! 3! = 1 3 4 1 3 4 1 Vigyázat! Pl: 3! 3! = 1 1 Ismétlés élküli permutáció Elemek egy lehetséges sorbaredezése az elemek

Részletesebben

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK 1. MŐVELETEK TERMÉSZETES SZÁMOKKAL ) Összedás: + = c és - összeddók, c - összeg A feldtok yivl gyo (tö). Az összedás tuljdosági: 1) kommuttív (felcserélhetı):

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

Energetikai gazdaságtan 3. gyakorlat Gazdasági mutatók

Energetikai gazdaságtan 3. gyakorlat Gazdasági mutatók Eergetk gzdságt 3. gykorlt Gzdság muttók GAZDASÁGTAN, PÉNZÜGY JELLEMZŐK A gykorlt célj, hogy hllgtók A. elsjátítsák gzdálkodásb szokásos pézügytechk meységek között összefüggéseket; B. egyszerű gzdságosság

Részletesebben

Disztribúciós feladatok. Készítette: Dr. Ábrahám István

Disztribúciós feladatok. Készítette: Dr. Ábrahám István Disztribúciós feladatok Készítette: Dr. Ábrahám István Bevezető Az elosztási, szétosztási feladatok (szállítás, allokáció, stb.) leggazdaságosabb megoldása fontos kérdés. Célunk lehet legkisebb összköltségre

Részletesebben

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k

SOROZATOK. A sorozat megadása. f) 2; 5; 10; 901 g) 2 ; 2 5 ; h) a 1. ; j) 1; -2; 3; -30. = 203. Legyen a sorozat két szomszédos eleme a k A sorozt megdás. ) ; ; ; b) ; ; ; c) 0; -; -; -8 d) ; ; 8; 89 e) ; ; 8; 0 f) ; ; 0; 90 g) ; ; 0 ; 0 90 h) em létezik, hisze eseté kifejezés ics értelmezve. A további elemek: ; 8 ; 0 899 i) 0; ; 999 ; j)

Részletesebben

NT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17302 Matematika 11. (Heuréka) Tanmenetjavaslat A Dr. Gerőcs László Számadó László Matematika 11. tankönyv a Heuréka-sorozat harmadik tagja. Ebben a segédanyagban ehhez a könyvhöz a tizenegyedikes tananyag

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Algebrai struktúrák, mátrixok

Algebrai struktúrák, mátrixok A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós

Részletesebben

Hullámtan és optika. Az előadás teljesítésének feltételei

Hullámtan és optika. Az előadás teljesítésének feltételei Rezgések és hullámok; hgt Rezgést Hullámt Hgt Optik Geometrii optik Hullámoptik Hullámt és optik jálott irodlom Budó Á.: Kísérleti fizik I, III. (Tköyvkidó, 99) Deméy-Erostyák-Szbó-Trócsáyi: Fizik I, III.

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmz A diáko megjeleő szövegek és képek csk szerző (Dr. Kocsis Imre, DE Műszki Kr) egedélyével hszálhtók fel! Vlós számok, komplex számok A vlós számok hlmzák

Részletesebben

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1

SMART, A TÖBBSZEMPONTÚ DÖNTÉSI PROBLÉMA EGY EGYSZERŰ MEGOLDÁSA 1 III. Évfolym. szám - 008. úius Gyrmti József Zríyi iklós Nemzetvédelmi Egyetem gyrmti.ozsef@zme.hu SRT, TÖBBSZEPONTÚ DÖNTÉSI PROBÉ EGY EGYSZERŰ EGODÁS bsztrkt cikk egy többszempotú dötési módszert mutt

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: Járattípusok Kapcsolatok szerit: Sugaras, igaárat: Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determiisztikus, a beszállítási és kiszállítási időpot em kötött a

Részletesebben

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont)

2. Egy csökkenő mértani sorozat második tagja 192, negyedik tagja 48. Számítsd ki az első 5 tag összegét! (10 pont) Mtemtik A. évfolym I. egyedév témzáró A csoport. Egy utci futóversey eredméyhirdetésé összese 60 csokoládét osztk ki z első 0 helyezett között, úgy, hogy kiosztott csokoládék szám helyezettről-helyezettre

Részletesebben

S Z Á L L Í T Á S I F E L A D A T

S Z Á L L Í T Á S I F E L A D A T Döntéselmélet S Z Á L L Í T Á S I F E L A D A T Szállítási feladat meghatározása Speciális lineáris programozási feladat. Legyen adott m telephely, amelyeken bizonyos fajta, tetszés szerint osztható termékből

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137 ELEKTROTECHNIKA-ELEKTRONIKA Kovács Judit A LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK GAUSS-FÉLE ELIMINÁCIÓVAL TÖRTÉNŐ MEGOLDÁSÁNAK SZEREPE A VILLAMOSMÉRNÖK SZAKOS HALLGATÓK MATEMATIKA OKTATÁSÁBAN ON THE ROLE OF GAUSSIAN

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Mátrixok és determiások Mátrixlgebr mátrix foglm, lpműveletek mátrix oly számtáblázt, melyek m sor és oszlop v, hol m és pozitív egész számok tábláztb tetszőleges vlós számok szerepelhetek, zz mátrix

Részletesebben

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III.

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III. ombiatorika A kombiatorikába csak redezett halmazokkal foglalkozuk. Azt modjuk, hogy az A ( a, a,..., a ) halmaz egy redezett halmaz, ha az elemek bármely sorredcseréjére új halmazt kapuk (úgy modjuk:

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Telefon: 345-6 Internet: www.ksh.hu Adtgyűjtések Letölthető kérdőívek, útmuttók Az dtszolgálttás 265/28. (XI. 6.) Korm. rendelet lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 223/9

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

A JUST IN TIME KÖLTSÉGEK ELEMZÉSE

A JUST IN TIME KÖLTSÉGEK ELEMZÉSE DR. BENKŐ JÁNOS * A JUST IN TIME KÖLTSÉGEK ELEMZÉSE ÁTTEKINTÉS Az ayag- és készletgazdálkodás fotos feladata a termelés üteméek megfelelő ayagszükséglet folyamatos kielégítése. A termelési program és az

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

ÉVES JELENTÉS A BERUHÁZÁSOK ÖSSZETÉTELÉRŐL 2013

ÉVES JELENTÉS A BERUHÁZÁSOK ÖSSZETÉTELÉRŐL 2013 KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. i XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) ekezdése lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 1933 ÉVES JELENTÉS A BERUHÁZÁSOK ÖSSZETÉTELÉRŐL 23 Adtszolgálttók:

Részletesebben

KÉRDŐÍV A SZOCIÁLIS SZOLGÁLTATÁSOKRÓL ÉS GYERMEKELLÁTÁSOKRÓL 2010

KÉRDŐÍV A SZOCIÁLIS SZOLGÁLTATÁSOKRÓL ÉS GYERMEKELLÁTÁSOKRÓL 2010 KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Telefon: 345-6 Internet: www.ksh.hu Adtszolgálttóinknk Nyomttványok Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) bekezdése lpján kötelező. Nyilvántrtási

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Mátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

ÉVES JELENTÉS A BERUHÁZÁSOK ÖSSZETÉTELÉRŐL 2013

ÉVES JELENTÉS A BERUHÁZÁSOK ÖSSZETÉTELÉRŐL 2013 KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. i XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) ekezdése lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 1933 ÉVES JELENTÉS A BERUHÁZÁSOK ÖSSZETÉTELÉRŐL 23 Adtszolgálttók:

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

A kommutáció elve. Gyűrűs tekercselésű forgórész. Gyűrűs tekercselésű kommutátoros forgórész

A kommutáció elve. Gyűrűs tekercselésű forgórész. Gyűrűs tekercselésű kommutátoros forgórész Egyeáramú gépek 008 É É É + Φp + Φp + Φp - - - D D D A kommutáció elve Gyűrűs tekercselésű forgórész Gyűrűs tekercselésű kommutátoros forgórész 1 Egyeáramú gép forgórésze a) b) A feszültség időbeli változása

Részletesebben

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

ÉVES JELENTÉS A BERUHÁZÁSOK ÖSSZETÉTELÉRŐL 2013

ÉVES JELENTÉS A BERUHÁZÁSOK ÖSSZETÉTELÉRŐL 2013 KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. i XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) ekezdése lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 1933 ÉVES JELENTÉS A BERUHÁZÁSOK ÖSSZETÉTELÉRŐL 23 Adtszolgálttók:

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

1. Mi az érték és a hasznosság kapcsolata, és a hasznosság definíciója!

1. Mi az érték és a hasznosság kapcsolata, és a hasznosság definíciója! . M z éték és hszosság kpcsolt, és hszosság defícój! Az éték, hszosság egy embebe, egy embe sztuácób lkul k, egy yg jószág, egy tágy ömgáb hszotl. Hszosságot tuljdoítuk mdeek legye z yg vgy em yg jószág,

Részletesebben

-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + +

-vel, ahol i a sor- és j az oszlopindex. Pl. harmadrendő determinánsnál: + + LINEÁRIS ALGEBRA Mit evezük másodredő determiásk? Másodredő determiásk evezzük égy elem, két sor és két oszlop redezett táláztát, melyhez z lái módo redelük értéket: = d c c d Mit evezük egy determiás,

Részletesebben

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL

KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Telefo: 345-6 Iteret: www.ksh.hu Adtgyűjtések Letölthető kérdőívek, útmuttók Az dtszolgálttás 229/26. (XI. ) Korm. redelet lpjá kötelező. Nyilvátrtási szám: 223/7 Adtszolgálttók:

Részletesebben

A logaritmus fogalma és azonosságai. Az exponenciális és a logaritmusfüggvény.

A logaritmus fogalma és azonosságai. Az exponenciális és a logaritmusfüggvény. A logritmus foglm és zoossági Az epoeciális és logritmusfüggvéy A logritmus értelmezése A htváyozás em kommuttív művelet, így más-más fordított (iverz) műveletre v szükség, h z htváyozás lpját () vgy kitevőjét

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

ÉVES JELENTÉS A BERUHÁZÁSOK ÖSSZETÉTELÉRŐL

ÉVES JELENTÉS A BERUHÁZÁSOK ÖSSZETÉTELÉRŐL KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) bekezdése lpján kötelező. Nyilvántrtási szám: 1933 ÉVES JELENTÉS A BERUHÁZÁSOK ÖSSZETÉTELÉRŐL 2015

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva

Matematika A 12. évfolyam. 1. modul Sorozatok. Készítette: Lövey Éva Mtemtik A évfolym modul Soroztok Készítette: Lövey Év Mtemtik A évfolym modul: SOROZATOK Tári útmuttó A modul célj Időkeret Ajálott korosztály Modulkpcsolódási potok A soroztok foglmák elmélyítése Gykorlti

Részletesebben