A szerkezetszintézis matematikai módszerei

Átírás

1 5 A szerkezetsztézs matematka módszere.4 Derváltat em haszáló elárások Azo optmáló elárások, melyek a keresés sorá csak a célfüggvéy értéket haszálák, derváltakat em, azokat derváltat em haszáló elárásak evezk. Ezek a ulladredű elárások. Eze módszerek általába megbízhatók és köye programozhatók. Gyakra em kovex függvéyél s hatékoyak. Az ára eek az általáos haszálhatóságak az, hogy általába több ezer függvéy-meghatározást géyelek az optmum eléréséhez. A ulladredű módszerek olya problémák megoldásáál tekthetők hatékoyak, ahol a függvéy-meghatározás em számításgéyes, a program úrafuttatható több kezdőpotból a lokáls optmumok elkerülésére..4. Komplex módszer Ez a módszer egy feltételes mmáló elárás, mely véletle keresést végez és derválást em géyel. A módszer kdolgozása Box (96) evéhez fűződk, céla emleárs problémák megoldása egyelőtleség feltételek mellett A Spedley és szerzőtársa (962) által kdolgozott szmplex módszerből felődött k. A szmplex módszer (Spedley, Nelder és Mead 964) egyk problémáa a feltételek folyamatos elleőrzése a számítás sorá, hogy a em megfelelő pot vsszavoásra kerülö a megegedett tartomáyo belülre. Sok lye vsszavoás utá a pothalmaz (N -), vagy ksebb dmezóúra esk össze. Ekkor a keresés agyo lelassul. Továbbá ha a feltétel aktív, akkor az összeesett pothalmaz em tud úra expadál a teles N-dmezósra. Eze problémák kkerülésére Box egy olya pothalmazt defált, mely több mt (N + ) dmezós és ezt elevezte komplexek. Véletleszámok alkalmazásával a tervezés változók alsó és felső határaból kerül geerálásra az u. "komplex": Az explct feltételek x x x =, 2,...,N, (.4) L U az mplct feltételek x x x = N+,...,N+M, (.5) L U L x ahol M az mplct feltételek száma, az alsó, a felső határ a változókál. U x Kezdő komplex geerálása Az első terácós körbe (IT = 0) a kezdő komplex kerül geerálásra. A komplex K N+ potot (megfelelő) tartalmaz az N - dmezós tervezés térbe. Szükséges, hogy legalább egy pot megfelelő legye. Ez a kezdőpot. A több (K-) pot geerálása véletleszerű. A leírás

2 6 A szerkezetsztézs matematka módszere egyértelműsége matt két dexet haszáluk a meységek megadásáál. Az első dex a pot koordátáára voatkozk, a másodk a pot számát mutata. Így a -dk pot a geerált r véletle számok és az -dk függetle változó alsó és felső határaból a következő módo számítható: L U L x = x + r ( x x ) =,2,..., N; = 2,3,..., K, (.6) A véletle számokak egyeletes eloszlása va a 0- tartomáyo. Az íly módo geerált potok kelégítk az explct feltételeket, de em feltétleül az mplct feltételeket. Ha megsért az mplct feltételeket, akkor a vzsgált potot a cetrod ráyába félútg eltola a következő módo: a pothalmaz középpotáak, cetrodáak meghatározása K C = x K = x, (.7) az ú pot felvétele eél x x W x + x W N C = 2, (.8) a pot -dk koordátáa. Az N és W dexek az ú és a rég potot eletk. A C dex a cetrodot elet. Ezt a mozgatást éháyszor megsmétl, ha szükséges. Ha a tervezés tér kovex, akkor a felezés elárás bztosa megfelelő potot eredméyez (.9 ábra). X 2 3 X N 4 X c X W 2 N=2 K=4 X.9 ábra Komplex két dmezóba

3 7 A szerkezetsztézs matematka módszere Keresés elárás Mvel a potok geerálása véletleszerű, ezért a tervezés térbe elszórva találhatók. A célfüggvéy mde potba meghatározásra kerül. Meghatározza a legrosszabb és a legobb potokat. Függvéy-mmálásál az a pot a legrosszabb, ahol a függvéyérték a legagyobb és az a legobb, ahol a legksebb. Meghatározza a cetrodot és a legrosszabb potot x W, ahol f(x W ) = f max, tükröz a cetrodra és az ú pottal kcserél N W x = α ( x x ) + x k c C k ahol a több potból számított cetrod x C = C =, 2,..., N, (.9) k W = ( x x ) =, 2,..., N. (.0) k Ezt az ú potot először megvzsgála, hogy vao kelégít-e az explct feltételeket. Ha em akkor a megsértett határhoz képest egy ks távolsággal δ eltola. Ezutá azt éz meg, hogy megsért-e az mplct feltételeket. Ha a célfüggvéy értéke ksebb, mt a legrosszabb érték és mde feltételt kelégít, akkor az ú potot elfogada előrelépéskét. Elleőrz a kovergeca krtérumot: f max - f m < ß, (.) β általába haszálatos értéke ( ) f max. Folytathatuk a következő terácós lépéssel (IT =). Ha az ú pot függvéyértéke egyelő, vagy agyobb mt a legrosszabb, vagy bármelyk mplct feltételt megsért, akkor a potot áthelyez a cetrod ráyába, felez a köztük lévő távolságot a (.8) képlet szert. Ezt a potot s elleőrz, hogy megfelelő-e. Ha mde feltétel telesül, de a pot a legrosszabb marad f( x ) = fmax N, akkor ú potot kell számíta a (.8) képlet szert. Ha f( x ) = fmax, akkor úra felezést alkalmazhatuk a (.8) képlet szert mdaddg, amíg N egy előre megadott krtérum (kovergeca, terácószám) meg em állíta a számítást. Az.0 ábra mutata a komplex módszer folyamatábráát. Box tapasztalata alapá azt aálotta, hogy a tükrözés paraméter α =.3 legye és a komplex mérete K = 2N legye. A tükrözés paraméter értéke azért kell, hogy agyobb legye -él és a pothalmaz mérete azért kell, hogy agyobb legye N + -él, hogy kompezála a felező elárás hatását, hogy a pothalmazt tágítsa, lletve hogy megóva a pothalmazt attól, hogy az aktív feltételek mellett dmezót veszítse. A keresés addg folyk, amíg a pothalmaz mérete redukálódk a cetrod köryékére és az elemeek a függvéyértéke közelek, am a megoldás megfelelő potosságát elet.

4 8 A szerkezetsztézs matematka módszere kezdő pot választása Komplex potok kdulás halmazáak geerálása explct feltételek elleőrzése megsértve a megsértett feltételél a pot mozgatása δ értékkel redbe mplct feltételek elleőrzése? kdulás halmaz geerálása célfüggvéy meghatározása mde potba kovergeca elleőrzése stop a legagyobb függvéyértékű pot kcserélése, a több potból származó cetrodra tükrözéssel a legagyobb függvéyértékű pot smétlődk? a több potból származó cetrod ráyába a pot mozgatása /2 távolsággal.0 ábra. A Komplex módszer folyamatábráa Numerkus eredméyek azt mutaták, hogy a kovergeca sebessége függ a kezdet pothalmaz ellemzőtől. Box következtetése az volt, hogy a Rosebrock-féle elárás hatékoyabb, mt a szmplex vagy komplex módszer, feltétel élkül optmálás eseté, valamt a függvéyértékmeghatározások f(x) száma kétszer olya gyorsa emelkedk a szmplex vagy komplex módszerél, mt a Rosebrock-féle elárásál, amt a változók száma (N) övekszk.

5 9 A szerkezetsztézs matematka módszere Az eredet algortmus továbbfelesztése Néháy továbbfelesztés törtét az elárásál, köztük olya, melyet más szerzők, pl. Gha (972) avasoltak. A következőkbe smertetük a fő továbbfelesztéseket a számítógépes programba. Tükrözés lépés Ha a tükrözés sorá (.9 egyelet) md az explct, md az mplct feltételek telesülek és az ú pot obb, mt a rég, akkor ez az ráy kedvező. Ebbe az esetbe azoos ráyba törték még egy tükrözés az (.9) egyelet szert. Ha az ú pot em ó, akkor a rég pot marad meg, ha skeres, akkor ez gyorsíta az elárást az optmum elérésébe. A felező elárások számáak korlátozása A felező elárás az ú potot, ha em megfelelő, közelebb hozza a cetrodhoz. A cetrod mdg a megegedett tartomáyo va, tehát ott a feltételek telesülek. Ez a felezés sok lépésbe törtéhet. Azért, hogy az elárás gyorsulo, a felezést maxmum öt alkalommal végz el a program. Utáa a cetrodot vesz ú potak, em felez tovább. A komplex méretéek (K), a kovergeca és tükrözés együttható (β, α) változtatása Az eredméyek avíthatók, ha a komplex méretét változtatuk. Érdemes megsmétel a számítást más K értékekkel. Nagyobb K agyobb pothalmazt elet, több formácóval, mely megbízhatóbb eredméyt ad, de több számítást géyel. A program változtata a K méretet automatkusa, ha szükséges. A kovergeca-krtérum paraméteréek (β ) csökketése avíta a megbízhatóságot, de eletőse övel a futásdőt. Az terácószám (IT) csökkethető, ha a tükrözés paraméter (α) értékét bzoyos határok között változtatuk. A legobb értékek tartomáya az, ha α között va (Járma 982). Az dításhoz megfelelő x kezdőpot szükséges, külöbe a módszer mozgásképtele. Az elárás robusztus, általába globáls optmumot ad, de a változók számáak (N) és a komplex méretéek (K) övekedésével a számítás eletőse lelassul.

6 20 A szerkezetsztézs matematka módszere.4.2 Rugalmas toleraca módszere Ez egy feltételes véletle kereső módszer. A Rugalmas Toleraca módszere (Hmmelblau 982) a célfüggvéy értékét úgy avíta, hogy emcsak a megfelelő potokból yer formácót, haem bzoyos em megfelelő potokból s. Ezek a közel-megfelelő potok. A közel-megfelelő potokra voatkozó előírások egyre szgorodak, amt a keresés az optmum ráyába halad. Végül csak megfelelő x vektorok kerülek elfogadásra. Ezzel a stratégával a.-.3 egyeletek egyszerűbb problémával helyettesíthetők ugyaolya megoldás mellett: ahol Φ mmála az f(x) függvéyt, a Φ T( x) 0 feltételek telesülése mellett, (.2) a rugalmas toleraca krtérum értéke a keresés k-adk lépéséél és T(x) poztív fukcoál, mely a megsértett egyelőség és/vagy egyelőtleség feltételekből (.3 egyelet) kerül meghatározásra. A toleraca krtérum Φ pothalmaz potara voatkozk a tervezés térbe. A Φ egy poztív csökkeő függvéy, mely a rugalmas toleraca krtérum függvéy a teles keresés alatt a feltételek megsértéséből tevődk össze és a keresés befeezéséek krtérumakét s működk. Több alteratív defcóa lehetséges Φ -ek, de az algortmusba beépített változata a következő r + = + ( k ) M Φ m Φ, x xr+ 2, (.3) r + = Φ ( 0 ) = 2( M + )q, (.4) ahol q a kezdet pothalmaz mérete, M az egyelőség feltételek száma, x a pothalmaz -edk pota a tervezés térbe, r = (N -M) a szabadságfok száma f(x) re az eredet problémára, ( k x ) r +2 a cetrod koordátáa N = r eseté, k = 0,,... dex a keresés befeezett lépéset elz, Φ (k ) a toleraca krtérum értéke (k -)-edk lépésbe. A kfeezés záróelbe lévő másodk taga Θ / 2 r+ ( ) ( ) ( ) r+ N k M + k k M + 2 Θ = x xr+ 2 = ( x xr+ 2, ), (.5) r + = r + = =

7 2 A szerkezetsztézs matematka módszere ahol x, = l,..., N, a pothalmaz -edk pota koordátá a tervezés térbe. Θ értéke függ a pothalmaz méretetől, maradhat változatla, övekedhet, vagy csökkehet, függőe attól, melyk műveletet haszála az x potból az x függvéye x-ek, habár Θ + potba utáshoz. Ezáltal Φ egy poztív csökkeő érkéke övekedhet, vagy csökkehet a keresés folyamat sorá és a probléma megoldása sorá md Θ, md Φ zérushoz tart. A feltételek megsértéséek krtéruma T(x) Defáluk az eredet problémára az egyelőség és az egyelőtleség feltételekből egy fukcoált. M P T( x) =+ h 2 ( x) + Ug 2 ( x) = = M+ 2 /, (.6) ahol U a Heavsde operátor, mely U = 0 ha g( x) 0 és U = ha g( x ) 0. Ezért T(x) úgy va defálva, mt a poztív égyzetgyöke az összes megsértett egyelőség és egyelőtleség feltétel égyzetéek. T(x) egy kovex függvéy, melyek globáls mmuma T(x) = 0 az összes megfelelő x vektorra. k Ha T( x ( ) ) = 0, x k megfelelő pot; ha T( x ( ) ) > 0, x k em megfelelő pot. T( x ( ) ) ks értéke mutata, hogy ( ) relatíve közel va a megegedett tartomáyhoz, T( x ( ) ) agy értéke arra utal, x k k hogy x távol va tőle. A közel-megfelelő kocepcóa A közel-megfelelő x vektorok azok, melyek em megfelelő potok, de agyo közel vaak a megegedett tartomáyhoz. Tehát x vektor lehet ( l. Megfelelő, ha T( x k ) ) = 0, ( 2. Közel-megfelelő, ha 0 < T( x k ) ) < Φ, 3. Nem megfelelő, ha T( x ) > Φ. (.7) A közel-megfelelő tartomáy defícóa a következő Φ T( x) 0 (.8)

8 22 A szerkezetsztézs matematka módszere Mde x potból x k 0<T( x ) < Φ ( ) ( +) k ( ( ) ) potba mozgatás megfelelő, ha T x = 0, közel-megfelelő, ha k, és em megfelelő, ha T ( x ) > Φ. Nagyo fotos a kezdet pothalmaz méretéek ó megválasztása a módszer hatékoysága szempotából. Ez külööse ehéz, ha a változók értéke agyo eltérőek. Ha az x változó alsó és felső értéke külöbsége (x 02. q = m N N = ( x U U x L ), egy elfogadható közelítés a pottávolságra a következő: L x ). (.9) A Rugalmas Toleracák módszere stratégááak egyk előye, hogy a feltételek megsértéséek mértéke folyamatosa csökke a keresés sorá a megoldás ráyába a.3 egyelet szert, mvel az egyelőség és egyelőtleség feltételek a keresés kora fázsába kevésbé elégítk k a feltételeket, mt a megoldáshoz közeledve. Ezért az optmáláshoz szükséges számítás volumee eletőse csökke. Másk előye az elárásak, hogy Φ értéke kéyelmese haszálható a folyamat megállítására. Mde gyakorlat esetbe addg kell folytat a számítást, amíg Φ előre megadott poztív számál ε ksebb em lesz. A keresés utolsó lépésébe Φ távolságak a mértéke, mely a pothalmaz egyes pota x k és a cetrod x r ( ) +2 értéke egy aak a között va. A Rugalmas Toleraca módszer kfelesztéséél Hmmelblau a Nelder- Mead módszert építette be a T(x) mmálására (.6 képlet), de bármely más mmáló elárás s alkalmazható..4.3 Hllclmb módszer A Hllclmb módszer egy drekt kereső módszer, em géyel derválást. Rosebrock (960) módszere egy terácós elárás, mely Hooke ad Jeeves-féle kereső eláráso alapul, ks lépéseket téve a keresés sorá az ortogoáls koordáták ráyába. Azoba a függetle változók által megadott ráyok koordáta-redszerébe végzett folytoos keresés helyett egy továbbfelesztést alkalmaz, összekötve a korább terácó általáos lépésével a keresés ráyokat és a koordátaredszert. Így az előző állapotra épít az ú kutatás ráyokat. A Rosebrock-féle módszer x ( k +) meghatározását szukcesszív voalmet kereséssel végz az x kezdőpotból az ortoormált ráyokba. Az elárás a következő: Mmála a célfüggvéyt f ( x ) m.

9 23 A szerkezetsztézs matematka módszere A méretezés feltételek: explct x L x x U ( =,2,...,N), mplct g ( x ) 0 ( = ;2,..,M). (.20) () A mmálás elárás kezdetekor defál egy 'kezdő' lépésméretet S, melyeket az M, =,2,...,N. kutatás ráyokba vesz fel. A kezdőpotak k kell elégítee a feltételeket és em eshet a határzóába. () Mde egyes célfüggvéyérték-meghatározás utá a következő lépéseket végz: Defál egy f o értéket a legobb célfüggvéyértékből, ahol a méretezés feltételek kelégülek, és f(x) értéket, ahol még eze kívül a határzóák sem sérülek. f o és f(x) értékét egyelőek vesz a célfüggvéy értékével a kezdőpotál. () Az első változó értékét, x, léptet egy távolsággal, S, párhuzamosa a tegellyel és meghatározza a célfüggvéy értékét. Ha a vzsgált pot célfüggvéy értéke f, rosszabb (agyobb vagy ksebb) mt f o, vagy a méretezés feltételek em telesülek, akkor a vzsgált pot skertele és az S lépéstávot csökket egy téyezővel β, 0< β, továbbá a mozgás ráyát vsszafordíta. Ha a mozgás skeres, akkor az S értékét egy téyezővel övel, α, α. Az ú potot megőrz és a skert tárola. α és β értéke általába 3,0 és 0,5. (v) Folytatva a keresést, az x változót szekvecálsa léptet S lépéssel, párhuzamosa a tegellyel. Hasoló gyorsító és lassító elárás kerül alkalmazásra mde változóál mdaddg, amíg legalább egy skeres és egy skertele lépés em törtét md az N ráyba. A változtatások a vzsgált ráyba addg folytatódak, amíg mde ráyba egy skeres lépést egy skertele követ, mely dő alatt a k-dk terácó befeeződk. Ha a célfüggvéyérték egyelő, akkor az skeres lépések mősül, de véglegese skeres mde ráyba, ha az együtthatók redukálták a lépéstávot. A kadódó végső pot válk a skeres terácó kezdőpotává x ( k +) (k ) = x. A ormált ráy ( +) S k az x x ( k+ ) 0 0 ráyal párhuzamos ráyba kerül megválasztásra és a tovább ( k +) ráyok egymásra és az S ráyokra ortoormálta kerülek megválasztásra. (v) Kszámola az ú ráyok redszerét, M, elforgatva a tegelyeket a következő egyeletekek megfelelőe. Általába az ortogoáls keresés ráyok mt a függetle változók koordátáak kombácó kerülek meghatározásra a következő módo: M D ( k + ),, = l=, (.2) 2 / 2 ( D, )

10 24 A szerkezetsztézs matematka módszere ahol D A (.22), =, ( k + ) D, = A, ( M, A, ) M l= = A = d M, N l= l, ( k +),, = 2,3,...,N (.23), =,...,N, =,...,N (.24) d -a mozgások össztávolsága az ráyba az utolsó forgatástól. (v) Keresés mde x ráyba törték, felhaszálva az ú koordáta tegelyeket. Mde x ráyba a változó értékét S -el övelük, párhuzamosa a tegellyel és a célfüggvéy értéke meghatározásra kerül. (v) módosíta; ú x (k) = rég x (k) + S (k) * M, (k) (.25) Ha a vzsgált pot a határzóába va, akkor a célfüggvéy értékét a következőképpe f ( ú ) = f ( rég ) ( f ( rég ) f * 2 3 )( 3λ 4λ + 2λ ) (.26) ahol a határzóa defícóa a következő: alsó zóa: felső zóa: a pot távolsága a határzóától λ = a határzóa szélessége L U L 4 = x + ( x x )*0 x λ (.27) U 4 ( x x L )*0 λ = U U L x ( x ( x x )* 0 U L ( x x )* ) (.28) A zóa belső széléél λ = 0, vagys a célfüggvéy em kerül módosításra, (f(ú) = f(rég)). A feltételekél λ=, vagys f (ú) = f*. Ha a célfüggvéy avul, mközbe a feltételeket közelítük, akkor a módosított célfüggvéyek optmuma va a határzóába. (v) f* egyelő lesz f 0 al, ha a célfüggvéy értékéek avulása a határzóa és a feltételek megsértése élkül törték. (x) A kereső elárás a folytoos optmum meghatározására akkor feeződk be, ha a kovergeca krtérum telesül.

11 25 A szerkezetsztézs matematka módszere (x) Az elárás módosításra került úgy, hogy másodlagos keresést végez a dszkrét értékek meghatározására. Eek részletes megoldása megtalálható az.8.2 feezetbe. A módszer folyamatábráa a. ábrá látható. Az elárás a kovergeca krtérum telesülése, vagy az terácószám határáak elérése eseté áll meg. Az elárás agyo gyors, de halamos lokáls optmumot ad, ezért célszerű több kezdőpotból díta. A Hllclmb algortmus Turbo/Borlad C yelvű számítógép programa megtalálható a Farkas, Járma (997) köyvbe.

12 26 A szerkezetsztézs matematka módszere lehetséges x kezdő pot és kezdet lépésközök S, =,2,...N választása célfüggvéy meghatározása = x övelése a legobb potból S távolsággal, párhuzamosa a tegellyel és a célfüggvéy meghatározása megfelelő a pot? függvéy avul? határzóába va? függvéy módosítás S (ú) = α S (rég) α S (ú) = -βs (rég) 0<β = N? = + kovergeca telesül? stop egy skeres, egy skertele lépés mde ráyba? koordáta forgatás lépésméret beállítása. A Hllclmb módszer folyamatábráa