DISZKRÉT SZIMULÁCIÓ MATEMATIKAI ALAPJAI

Átírás

1 OPERÁCIÓKUTATÁS No. 9. Szűcs Gábor DISZKRÉT SZIMULÁCIÓ MATEMATIKAI ALAPJAI Budapest 007

2 Szűcs Gábor: DISZKRÉT SZIMULÁCIÓ MATEMATIKAI ALAPJAI OPERÁCIÓKUTATÁS No. 9 A sorozatot szerkeszt: Komárom Éva Megjelek a Budapest Corvus Egyetem Operácókutatás Taszéke godozásába Budapest, 007

3 Szűcs Gábor: DISZKRÉT SZIMULÁCIÓ MATEMATIKAI ALAPJAI Lektorálták: Molár Istvá, Fala Tbor, Nadabá Jáos Készült az Aula Kadó Dgtáls Gyorsyomdájába. Nyomdavezető: Doboz Erka

4 . Bevezetés Nagyboyolultságú redszerekre voatkozó dötéshozatalál, melyekél a dötésekek ge agy gazdaság és társadalm jeletősége va, a dötések hatását em célszerű azoal a valóságos redszereke kpróbál, mvel a rossz, vagy legalábbs em optmáls dötések jeletős kárt okozhatak. A külöböző lehetséges stratégák közül az optmáls kválasztását az alkalmazást megelőzőe modelleke célszerű megvzsgál. Eek korszerű eszköze a számítógépes szmulácó, melyél felépítjük a redszer modelljét, és a külöböző dötések hatását e modell számítógépes szmulácójával vzsgáljuk. Eek az eszközek a segítségével kelégítő potossággal megállapíthatjuk a külöböző stratégák hatását, és kválaszthatjuk az optmálsat. Ilye megközelítést a legkülöbözőbb területeke s alkalmazhatuk. A agyboyolultságú redszerek adekvát módú, azaz a valóságos redszert jól vsszatükröző reprezetácóját olya egymással kapcsolatba és kölcsöhatásba levő objektumok hálózatával lehet leír, melyekél az egyes objektumokak paramétere, működés algortmusa és kapcsolata vaak. Ez bztosítja a valóságos vlág párhuzamosa bekövetkező eseméyeek megfelelő reprezetácót. Azokak a redszerekek a vzsgálatáál, melyekél a redszert leíró hatásmechazmusok és azok kölcsöhatása em potosa smert; az első feladat a redszert jól leíró modell meghatározása aak érdekébe, hogy a vzsgálatokat lefolytassuk. Ezek közé tartozak például a mkro- és makroököóma folyamatokat reprezetáló modellek. Tovább boyolítja a helyzetet, amkor a vzsgált folyamatok kterjedek társadalm, műszak, köryezet, frastrukturáls és egyéb téyezők kölcsöhatására s. A hagyomáyos matematka módszerek alkalmazásával elletétbe általába em egy-egy téyező maxmalzálása vagy mmalzálása a cél, haem a számos téyezőt fgyelembe vevő optmum meghatározása. Egy agy város közlekedésébe a gépjárművek okozta köryezetszeyezés ugya megszütethető lee a gépjárművek teljes ktltásával, azoba a gazdaság fejlődést ez az tézkedés jeletőse vsszaveté, így em elfogadható megoldás. A megoldásokál fgyelembe kell tehát ve külöböző korlátozásokat. Jele mű oktatásra szát formája követ azt a ddaktka módszert, hogy először a fogalmakat kell potosa tsztáz, és utáa ezek felhaszálásával lehet külöböző állításokat megfogalmaz, összefüggésekre rámutat. Az állításokat, tételeket a szöveg kotextusba szervese beleágyazva találhatjuk meg, a fgyelemfelkeltés érdekébe azoba egy külö jellel lettek ellátva (ez a jel például a defícók, bzoyítások elejé s megtalálható. Egyes tételek utá a bzoyításokat s közöljük, kevésbé közvetleül a tárgyhoz tartozó tételekél azoba csak a tétel kmodására kerül sor. A struktúra kalakításáál a szerző arra törekedett, hogy a szerkezet érthető, tagolt fejezetek öállóak, de a modavaló a fejezetek között átívelő átlátható és átjárható legye. A fejezetekre botott mű felépítése olya, hogy először a matematka alapok kerülek részletes tárgyalásra a véletleszám geerálástól kezdve a modellezéshez haszálható matematka apparátusg. Majd a modellezés mukafázsaak bemutatása következk a modell kalakításától kezdve a futtatáso át a szmulácós eredméyek kértékeléség. Tovább olvasva az elmélet felől közeledük a gyakorlat felé, azaz külöböző modellezés lehetőségekről, techkákról kapuk formácókat, majd a legvégé az elmélet 3

5 megkoroázásáról: a szmulácós alkalmazásokról olvashatuk. Ezek az alkalmazás területek: mkro- és makrogazdaságta, operácókutatás, közút és vasút közlekedés redszerek modellezése, gyártóredszerek szmulácója, köryezetvédelem, régófejlesztés problémák, stb., melyek közül csak éháy bemutatására va lehetőség... Szmulácós vzsgálat módszer Redszerek vzsgálatáál egy olya matematka módszerekél fomabb eszközre va szükség, amely em csak egy modellt tud egyszerre kezel, haem aak külöböző változatat s. A változatok kpróbálásáak moder módszere korukba a számítógépes szmulácó [7]. Eek keretébe felépítk a valóságos redszer modelljét, és vzsgálják aak damkus működését adott peremfeltételek mellett. A damkus szmulácó segítségével meghatározhatók a redszer működéséek jellemző. Ezt követőe a redszer működését befolyásoló stratégák változtatásával találhatók meg a legjobb megoldások. Némely esetbe a probléma ge boyolult, mvel az egyes egymásra ható téyezők egyrészt redkívül terdszcplársak, másrészt ezek émelyke ll. a köztük levő összefüggések sem egyértelműe smertek. A modellezés folyamá éha többféle aspektusból kell megközelíte a problémákat, egyszerre sok célt kell fgyelembe ve, ez többszempotú optmalzálás feladatot követel meg. Az lye jelleggel bíró tulajdoságot evezk a szmulácó sok arcúságáak [54]; az lye problémák megoldásáál lehet közelítő modellezést végez szmulácó segítségével, hogy az összefüggéseket, hatásmechazmusokat feltárjuk. A em kelégítőe smert hatásmechazmusok téves koklúzókhoz vezethetek, ezért ezek meghatározása a modellek megbízhatóságáak szempotjából dötő jeletőségű. Szmulácó kategorzálása Dszkrét szmulácóról beszélük, ha md a szmulácós dő, md a redszer állapota csak dszkrét értékeket vehetek fel. Ha ezeket a dmezókat folytoos változókkal kezeljük, akkor folytoos szmulácóról beszélük. A folytoos szmulácóak széles spektrumú rodalma va, a folyamatszmulácótól [5], a szabályozáso át [4], dfferecál-egyelet redszerekg, a jele opus azoba csak a dszkrét ráyvoallal foglalkozk. Dszkrét szmulácó belül, ha a redszert leíró változók determsztkusak, akkor determsztkus, ha a változók mde dőpotba egy véletle eloszlásból származó értéket tartalmazak, akkor sztochasztkus a szmulácó [37][9]. Abba az esetbe pedg, ha az dő egy részébe determsztkusa, más részébe sztochasztkusa vselkedk a redszer, akkor kvázdetermsztkus szmulácóról beszélük [6]... Dszkrét eseméy redszerek alapfogalma Az alábbakba a dszkrét eseméy redszerek alapfogalmat smertetjük [0]: Defícó. Redszer: A vzsgáladó valóság egy részhalmaza, amely objektumok olya halmazából áll, melyek teraktív kapcsolatba állak egymással, és dőbe meghatározott szabályok szert kölcsöhatást gyakorolak egymásra. Defícó. Modell: Absztrakt logka vagy matematka reprezetácója a redszerek, mely leírja az objektumok közt kölcsöhatásokat a redszerbe. 4

6 Defícó. Ettás: A redszerbe lletve a modellbe szereplő objektumok, melyek tulajdoságat attrbútumokak evezzük. Az ettások lehetek statkusak (helyhez rögzített és moblak (helyváltoztató képességgel redelkezők, melyek a modell külöböző helye s előfordulhatak. Defícó. Attrbútum: Az ettások tulajdoságaak leírója. Ez a leíró redelkezk egy évvel vagy jellel az azoosítás matt, és értékkel, azaz mde attrbútummal redelkező ettás értéket kap. Defícó. Redszer-, modell- vagy állapotváltozó: Nem csak az ettások redelkezhetek tulajdoságokkal (attrbútumokkal, haem az egész modellre (lletve redszerre voatkozóa s be lehet vezet változókat, melyek ezeket a globáls tulajdoságokat képvselk. Ugyaúgy, mt az attrbútumok: évvel és értékkel redelkezek, de az attrbútummal elletétbe csak egy érték lehet egyszerre érvéybe (ettások attrbútumaál mde ettás kaphat más-más értéket. Defícó. Eseméy: Olya jeleség, amely a modell állapotát megváltoztatja (változhat egy vagy több állapotváltozó értéke s, más éve tehát állapotváltozás. Defícó. Kísérlet: Kísérlete a redszer vagy modellje vselkedéséek megfgyelését értjük adott feltételhalmaz mellett. Kísérlet a számítógépes modellezés eseté megfelel a futtatásak (szmulácós futtatás. Defícó. Szmulácós futtatás: Szmulácós futtatáso az elkészült modelle való kísérletezést és vselkedéséek megfgyelését értjük adott szmulácós feltételredszer mellett. Defícó. DEVS formalzmus: DEVS (Dscrete Evet System Specfcato [54] formalzmus egy struktúrát jelöl, mely a következő égy elemből áll: M = {X, S, δ, ta}, ahol X a külső eseméyek halmaza. S az állapotok szekvecáls halmaza. δ az átmeeteket leíró függvéy. Ez két részből áll: belső és külső átmeet függvéyből. ta az dő függvéy; ta(s jelet azt az dőtervallumot, amt a redszer az s állapotba tölthet, ha cs külső eseméy. A szmulácós alkalmazások többsége tartalmaz véletleszerű elemeket s, azaz vagy teljese sztochasztkus vagy kvázdetermsztkus modellek felépítése a feladat (agyo rtká fordul elő teljese determsztkus eset. A véletle -t vszot modellez kell, ezért a szmulácó tudomáyába a véletleszámok (véletleszám sorozatok kulcs fotosságú szerepet tölteek be, melyek a em determsztkus jellegű folyamatok számára bztosítják a sztochasztkusságot. 5

7 . Álvéletleszám geerálás Defícó. Kogrueca: egy olya osztályokba sorolás számelmélet fogalom, mszert két szám azoos osztályba kerül, ha egy harmadk számmal való osztás sorá ugyaazt a maradékot adják. Defícó. Véletleszerűség: Egy számsorozatot (Kolmogorov, Chat, Solomooff javaslatára véletleek tektük, ha a legrövdebb algortmus, melyek segítségével leírhatjuk, közel azoos meységű formácót tartalmaz, mt maga a számsorozat. Azaz a sorozat formácótartalma komprmálhatatla. A véletle modellezését elvleg két teljese külöböző ráyból oldhatjuk meg, a gyakorlatba azoba csak az egykek va létjogosultsága: a fzka és a matematka modellezés közül az utóbbak. A fzka modellezés eseté valamlye természetbe lejátszódó véletleszerű folyamatot veszek alapul, melyek a sztochasztkus tulajdoságát khaszálva és áttraszformálva hozak létre egymás utá véletle számokat. Ezek tehát valód véletleszámok, de a fzka, kéma folyamatok (mt például radoaktív bomlás, dóda zaj, dffúzó, stb. mérését és értékeek áttraszformálását szolgáló beredezés megalkotása és haszálata olya gyakorlat ehézségeket gördít az eredet cél elé, hogy ezt a fajta megoldást em haszálják. Marad tehát a másk, a matematka algortmusok segítségével törtéő előállítás, ahol a számsorozatok a megközelítés jellegéél fogva em lehetek valód véletleszámok, így ezeket álvéletleszámokak (pszeudovéletleszámokak hívják. Mvel fzka modellezéssel a továbbakba em foglalkozuk, csak a matematkalag előálló álvéletleszámokkal, így ezeket éha jelző élkül csak véletleszámokak fogjuk evez álvéletleszámot értve alatta... Mote Carlo módszer A Mote Carlo módszer egy alkalmazott umerkus eljárás, amely egy sztochasztkus modell előállítását célozza meg véletleszámok geerálásá alapulva. A módszer léyege, hogy valamlye véletle kísérlettel kapcsolatos valószíűségbe vagy várható értékbe fellép egy smeretle meység. Ekkor az smeretle meységet közelíthetjük úgy, hogy a kísérletet sokszor elvégezzük, lletve véletle számsorozatok segítségével szmuláljuk. A Mote Carlo elevezést 949-be kapta egy publkácóba (N. Metropols és S. Ulam egyk ckkébe arra utalva, hogy a véletleszám sorozatokkét a játékkaszókba haszálatos szerecsejátékok (például rulett kmeetele s jól haszálhatóak, a szerecsejátékok brodalma pedg em más, mt: Mote Carlo [8]. A Mote Carlo módszereket olya problémákál lehet jól haszál, ahol sztochasztkus folyamatokból (valószíűség-számításra alapozva épül fel a feladat. Vaak azoba olya problémák, amelyek semmféle kapcsolatba em állak a valószíűség fogalmával, de a feladat számolásgéye olya agy, hogy Mote Carlo szmulácót érdemes bevet [39]. Ebbe az esetbe a probléma aaltkus megfogalmazásából duluk k, ezutá ehhez keresük megfelelő sztochasztkus modellt, majd megfgyeléseket végzük ezzel a modellel 6

8 kapcsolatba, és végül külöböző statsztkákkal megbecsüljük az eredet feladatba szereplő paramétereket. A Mote Carlo módszereket a matematka statsztkába s haszálják, amkor egy smeretle eloszlásfüggvéyt úgy határozak meg, hogy agy elemszámú mtából közelítk, approxmálják azt [8]. Továbbá a statsztkát alkalmazó gazdaság vzsgálatokál va agy szerepe, sőt régóta haszálják már matematkába tegrálszámításál és a statsztkus fzkába s [6]. A Mote Carlo módszerél tehát agy jeletősége va a véletleszámok haszálatáak, így a továbbakba éháy álvéletleszám előállítás metódust smertetük. Álvéletleszámokra már a számítástechka őskorába s szükség volt, így az egyk kora előállítás mód Neuma Jáos evéhez fűződk. Ő találta k a égyzetközép és a szorzatközép módszereket [30]. Tovább geerálás módszerek közé tartozk például a Lehmer-féle multplkatív kogrueca módszer, az Elfogadás-vsszautasítás módszere és az Iverz traszformácós módszer... Lehmer-féle multplkatív kogrueca módszer A módszer a kogrueca (azaz a maradékképzés fogalmá alapul, azaz A és B akkor és csak akkor kogruesek modulo m szert (ahol m egy egész szám ha létezk olya k egész, amelyre A B = k m. Ekkor azt, hogy A és B kogruesek m szert, a következőképpe jelöljük: A B (mod m. A kogruecarelácóba m-et a kogrueca modulusáak evezzük. Ha A és B kogruesek m szert, akkor mdg található olya C egész szám (0 C < m, amelyre: A C (mod m ( azaz A / m osztást elvégezve kapuk egy k értékét, és a maradék C lesz. A kogruecarelácó az egész számok halmazát egymást kölcsööse kzáró ú. maradékosztályokba osztja. A Lehmer-féle multplkatív kogruecamódszer a következő rekurzív formula szert képz az álvéletleszámok sorozatát: u+ = x u (mod m ( A rekurzív formulából levezethető a drekt formula: u = x u 0 (mod m (3 A kezdet értékek (x, u 0, m megadása léyegese befolyásolja a sorozat peródushosszát, ezért ge fotos ezekek a helyes megválasztása [6]. Kezdetbe vozóak tűt m-et prímszámak választa, x-et pedg m prmtív gyökéek, am m- szám geerálását bztosítja. Gyakorlatba azoba sokszor célszerűbb a számítógép adottságahoz alkalmazkod és m-et a számítógép szóhosszáak választa (am b bt szóhosszú bárs gépél m= b érték, am gyorsítja a végrehajtást, mert az osztás shfteléssel (bárs számredszerbe felírva egy számot csúsztat lehet a számjegyeket a helyértékek között végrehajtható, x-re pedg olya 7

9 értéket ad, hogy megfelelőe agy peródusú álvéletlesorozatot kapjuk. Érdemes az x-et és m-et egymáshoz képest relatív prímek megválaszta, és ugyaez érvéyes az u 0 és m értékere s, azaz a legagyobb közös osztó ebbe a két esetekbe kell, hogy legye: ( x, m = (4 (u 0, m = (5.3. Elfogadás-vsszautasítás módszere (EVM Ez a módszer a sűrűségfüggvéy segítségével állít elő véletleszámokat, így cs szükség az eloszlásfüggvéyre (sem aaltkus, sem közelítő formába, az elfogadás-vsszautasítás módszerét vszot csak véges tervallumo lehet haszál [53]. Az eljáráshoz szükség va a sűrűségfüggvéye kívül egy egyeletes eloszlású véletleszám geerátorra. A módszer léyege a következő: ha az eloszlás sűrűségfüggvéye f(x az [a,b] véges tervallumo értelmezett és smert, akkor 5 lépéses algortmus segítségével geerálhatók a véletleszámok. $ Algortmus. Elfogadás-vsszautasítás módszere:. Jelölje M az f(x maxmáls értékét az a x b tervallumo.. Geeráltassuk két egyeletes eloszlású véletleszámot a [0, tervallumo belül: r, r. 3. Vezessük be egy új változót (x *, melyre x * = a + (b-a r, am azt jelet, hogy az x * véletle eloszlású lesz az [a,b] tervallumo. 4. Határozzuk meg a sűrűségfüggvéy értékét az x * potba, azaz f(x * -ot. 5. Ha f ( x * r M (6 akkor x * -ot elfogadjuk, mt az f(x sűrűségfüggvéyű véletleszámot. Ellekező esetbe vsszatérük a. pothoz és újra geeráltatva számot folytatjuk az teratív eljárást mdaddg, amíg az 5. potba a feltétel végre teljesül. Állítás Az EVM (Elfogadás-vsszautasítás módszere algortmus f(x sűrűségfüggvéyű eloszlást geerál. Eek a belátásához azt kell gazol, hogy az EVM által geerált véletleszámok eloszlására (ezt az eloszlást jelöljük z eloszlásak gaz a következő egyelet: p( x z x + x = f ( x x (7 Bzoyítás Aak a valószíűsége, hogy a legeerált r alapjá számolt x * köryezetébe esk (potosabba x és x+ x közé: * x p( x x x + x = b a egy adott x-ek a (8 ugyas az x * értékek teljese egyeletese helyezkedek el az [a,b] tervallumo belül, így csak a vzsgáladó x szakasz és a teljes tervallum aráyától függ ez a valószíűség. Az így kapott valószíűséget még meg kell szoroz aak a valószíűségével, hogy ezt az értéket em utasítjuk vssza (azaz elfogadjuk. Az elfogadás feltétele: 8

10 f x r ( M (9 Eek a valószíűsége pedg: p r f ( x f ( x (0 M M = mvel a véletleszám képzés előtt rögzítettek tekthető f(x/m érték egy 0 és közé eső szám, és aak a valószíűsége, hogy eél a számál ksebb lesz az r véletleszám: csak ettől az értéktől függ. Így aak az összetett eseméyek a valószíűsége, hogy egyszer próbálkozás eseté az x * az x és x+ x közé esk, és ezt el s fogadjuk a következő: x f ( x ( b a M ( Az elfogadást, mt összetett eseméyt külö s vzsgálhatjuk. Egy próbálkozás eseté akkor fogjuk elfogad a geerálás eredméyét, ha bármlye x agyságú tervallumba s esett, a (9-es feltétel fe áll. Azaz összegez kell az elem eseméyek valószíűséget mde x ks szakaszra. Tehát a (-es egyeletet kell összegez, azaz tegrál x szert: b dx f ( x p( elfogadas = ( M ( b a x= a b p elfogadas = ( f x dx b a M ( (3 ( Most haszáljuk k azt a téyt, hogy az f(x sűrűségfüggvéy véges tervallumo belül va csak értelmezve. Mvel ez az tervallum az [a,b], ezért az [a,b] tervallumo kívül tegrálás eredméye 0, azaz az [a,b] tervallum tegrál értéke megegyezk a míusz végteletől a plusz végteleg terjedő tegrál értékével, vagys -el. (Az eloszlásfüggvéy plusz végtelebe vett értéke mde eloszlás eseté:. x= a p( elfogadas = (4 ( b a M Eek megfelelőe egy próbálkozás ( terácó eseté a vsszautasítás valószíűsége: p( vsszautastas = (5 ( b a M Nézzük meg, hogy m aak a valószíűsége, hogy az eljárás végé pot egy x és x+ x között értéket kapuk véletleszámkét. Ez úgy jöhet k, hogy az -edk terácóra kapjuk ezt az elfogadott számot és előtte (--szer vsszautasítottuk az értékeket, vagys eek a sorozatak kell kszámíta a valószíűségét, és összegezük kell őket mde -re: = * { p( vsszautastas p( x x x + x p( elfogadas } (6 9

11 Az utóbb két téyező szorzatát már a ( egyeletbe kszámítottuk, azaz lehetett vola egyből az elfogadott és x szakaszo belül érték valószíűségét felhaszál. = ( ( ( M a b x f x vsszautastas p = (7 = = ( ( ( M a b x f x M a b = (8 = = ( ( d M a b x f x ahol d = (b-a M (9 A levezetés ezutá ágra bomlk, attól függőe, hogy d értéke vagy agyobb, mt (ksebb azért em lehet, mert az f(x maxmuma M, az a-tól b-g tegrált f(x értéke, és így a b-a, M oldalak által meghatározott téglalap területe eél agyobb, vagy egyelő lehet csak. a d= Ez akkor fordulhat elő, ha az f(x egyeletes eloszlású az [a,b] tervallumo. Ebbe az esetbe a vsszautasítás valószíűsége ulla ugya, így sohasem lesz vsszautasítva a geerálás, azaz mdg lesz. Az x és x+ x között érték mdg elsőre el lesz fogadva, azaz a (6 képletbe em kell a szummázást elvégez (d=-et felhaszálva, így a keresett valószíűség: ( ( ( x f x M a b x f x = (0 b d> Ha az f(x bármlye (egyeletes eloszláso kívül eloszlású az [a,b] tervallumo. Így a (9-as egyelet tovább írható: = ( ( c M a b x f x ahol c = -(/d és 0 < c < ( Felhaszálva a mérta sor összegképletét: M a b M a b x f x d M a b x f x c M a b x f x ( ( ( ( ( ( ( = = ( Így a keresett valószíűség: (x f x (3 Tehát mdkét (a és b esetbe ezt az f(x x értéket kaptuk..4. Tetszőleges eloszlású álvéletleszámok geerálása Tetszőleges eloszlású álvéletleszám sorozatokat egyeletes eloszlású álvéletleszámokból állíthatuk elő. Ehhez megaduk egy előállítás módszert s, de előbb ézzük meg Glveko tételét, melyek smerete fotos a módszer megértéséhez. 0

12 Tétel. Glveko tétele A mták számáak ( övelésével az F (x emprkus eloszlásfüggvéy az egész számegyeese egyeletese kovergál az F(x elmélet eloszlásfüggvéyhez, azaz h = sup F ( x F( x jelöléssel élve : P(lm h = 0 = (4 < x< ahol h a legagyobb eltérés az emprkus és az elmélet eloszlásfüggvéy között. A Glveko tétel jeletősége matt ezt a matematka statsztka alaptételéek s szokták evez. Iverz traszformácós módszer Tetszőleges eloszlású álvéletleszámok geerálása Iverz traszformácós módszerrel törték [38]. A módszerhez szükség va a kívát eloszlás eloszlásfüggvéyére (aaltkus formába, vagy ha em áll redelkezésre lye, akkor: grafkus formába. Jelöljük ezt az smert eloszlásfüggvéyt F(x-el. Eze kívül szükség va egy [0,] tervallumba egyeletes eloszlású álvéletleszám geerátorra. A módszer léyege, hogy az egyeletes eloszlású geerátorral geeráluk egy 0 és között számot (jelöljük ezt u -vel, majd ebből kszámoljuk az x -t: x = F - (u képlet segítségével, ahol F - az F(x függvéy verzét jelöl (ha aaltkusa em áll redelkezésre az a képlet, akkor grafkusa s megszerkeszthető. Az emprkus és az elmélet eloszlásfüggvéy között kapcsolatot a Glveko tétele fejez k. Állítás: Iverz traszformácós módszerrel geerálva az x számokat, az x -re a kívát eloszlású álvéletle-számokat fogjuk kap (F(x eloszlásfüggvéyel. Bzoyítás: Az állítás belátásához azt kell gazol, hogy ha rögzítük két számot: x és x, akkor aak a valószíűsége, hogy az Iverz traszformácós módszerrel kapott x értékek e két szám közé esek, megegyezk az eloszlás függvéyből vett értékek külöbségével, azaz: p ( x x x x = F( x F( (5 A baloldalt (azaz a geerálás módszerrel kapott valószíűséget úgy kapjuk meg, hogy megézzük: m aak a valószíűsége, hogy az u egyeletes eloszlású szám u =F(x és u = F(x érték közé esk. Ha ez a valószíűség megegyezk az egyelet jobboldalával, akkor skerült az állítást belát. Ehhez elég lee bzoyíta a következőt: p( x x' = p( u u' (6 Ugyas x -t és u -t behelyettesítve egyszer az x és u másodszor az x és u helyére megkapjuk a valószíűségek egyelőségét, amből már következk a valószíűségek külöbségéek egyelősége. Tektsük az. ábraát, ebbe látható a geerálás módszer léyege. Ha a [0,] tervallumba (u-val jelölt egyeletes eloszlásból egy u értéket geeráluk, akkor azt az F(x függvéyek megfelelőe vetíthetjük le az x tegelyre. Mvel u egyeletes eloszlású (és md az értelmezés tartomáy, md az értékkészlet s 0 és között va, ezért:

13 . ábra Egy tetszőleges eloszlás u = G(u (7 ahol G(u az u valószíűség változó eloszlásfüggvéye. Másrészt a bemutatott geerálás módszer matt: x' = F ( u' vagy másképpe: u ' = F( x' (8 Az eloszlásfüggvéy (mely mdg egy mooto övekvő függvéy defícója matt az x eloszlásál: Felhaszálva az előző egyeleteket: Azaz az állítást beláttuk. p ( x x' = F( x' (9 p( x x' = F( x' = u' = G( u' = p( u u' (30.5. Álvéletleszámok jóságáak tesztelése A fet álvéletleszám geerálásoko kívül s agyo sok algortmus [3][4] létezk még, ezeket akár rekurzíva módo [49] egymásba s ágyazhatjuk. Felmerül a kérdés, hogy ezekél mlye szempotok szert tudjuk értékel a véletleséget, összehasolíta egy előre megadott jósággal és összevet egymással? Az álvéletleszám sorozatok léyege a kszámíthatatlaság, így a sorozatot létrehozó geerátor teszteléséél két fogalmat kell megvzsgál: gaz véletleszámoktól való megkülöböztethetőséget és a megjósolhatóságot. Akkor modjuk, hogy a geerátor az gaztól megkülöböztethetetle, ha cs olya algortmus, mely polomáls dőbe az esetek több, mt 50%-ába helyese tppelé meg, hogy melyk gép az, amelyk a valód véletle sorozatot adja. A másk fogalom bemutatásához ézzük meg a geerált sorozatot számról számra, de melőtt egy-egy újabb jegyét megézék, megpróbáljuk megtppel, hogy m lesz a következő. Az

14 előzőekhez hasolóa a jósláshoz s csak polomáls dőt haszálhatuk, és ayt kell elér, hogy az esetek több, mt felébe skerese tppeljük. Ha cs lye algortmus, akkor azt modjuk, hogy a geerátor megjósolhatatla. Ez a két defícó ekvvales: ha egy álvéletle sorozat az gaztól megkülöböztethetetle, akkor megjósolhatatla, és vszot. Álvéletleszámok hátráya és előye Álvéletleszámok hátráya a véletleszámokhoz képest, hogy ehéz egy mde szempotból jó algortmust megalkot. Előye vszot, hogy ugyaolya kezdőbeállításokkal eldított geerátor által alkotott sorozat többször s megsmételhető (azaz ugyaolya sorredbe következek a számok, am a tesztelésbe (szmulácós modell és program tesztél hatalmas segítséget jelet, hsz a em reprodukálható hbákat szte lehetetle lee megtalál a tesztelések sorá. Álvéletleszám geerátorok tesztelése Álvéletleszámok jóságáak tesztelésére a következő vzsgálatokat szokták elvégez (a teljesség géye élkül [4]: Egyeletes eloszlás vzsgálat Függetleség vzsgálat Permutácós teszt Maxmum teszt Az egyeletes eloszlás teszteléséél az eloszlás teljes tervallumát felosztjuk azoos agyságú szakaszokra, majd megézzük, hogy a geerált számok mely ks tervallum darabba esek. Megszámoljuk az egyes szakaszokra eső geerált értékeket, és ebből gyakorságdagramot készítük. A hsztogramak egyeletes eloszlást kell mutata. Függetleség vzsgálatot végezhetük többféleképpe s. Megézhetjük, hogy az egymást követő szám-párok függetleek-e egymástól: Ha a két értéket dmezós koordáta redszerbe ábrázoljuk úgy, hogy a pár első tagját x, másodk tagját y koordátáak fogjuk fel, akkor az így kapott potok egyeletese kell, hogy a síkot beterítsék (bármféle csomósodás valamlye korrelácóra utal. Ez kbővíthető 3 dmezóra (ll. dmezóra az egymást követő számhármasok (szám -esek által. Dszkrét esetbe az egymást követő szám -esek eseté em csak az a követelméy, hogy egyeletese töltsék be az dmezós teret, haem az s, hogy e legyeek lyukak, azaz a szám -es mde permutácója egyforma valószíűségű legye. Ezt hívják permutácós tesztek. Meg lehet vzsgál az számból álló csoportok legagyobb elemét, majd a maxmumok eloszlását tesztel lehet, hogy teljesítk-e azt a követelméyt, hogy em megkülöböztethető az egyeletes eloszlásból származtatott eloszlástól. Eze kívül s jó éháy tesztelés lehetőség va még [6], tt a teljesség géye élkül soroltuk fel a legfotosabb vzsgálatokat. Az álvéletleszámok geerálásáak módszere és jóságuk tesztelése utá a következő fejezetekbe a szmulácós alkalmazás egyes mukafázsat fogjuk megvzsgál, melyek a következők: Matematka előkészítés, modellezés előkészületek Szmulácós modell felépítése Szmulácós modell futtatása Szmulácós eredméyek kértékelése 3

15 3. Matematka és modellezés előkészítés 3.. Matematka apparátus Ahhoz, hogy a számítógépes modellezést elő lehesse készíte, szükség va éháy fotos statsztka tételre, törvéyre [0][]. Ezek közül a agy számú adatot tartalmazó adathalmazra építő tételek fotosak számukra: Tétel. Közpot (cetráls határeloszlás-tétel Ha X, X,, X függetle, azoos eloszlású valószíűség változók, várható értékük megegyezk E(X = µ, szórásuk s egyelő és véges: D(X = σ, ahol =,,, ; akkor: X lm P x u + X X µ < x = e du σ π (3 vagys az adatszám övelésével a valószíűség változók átlaga a ormáls eloszláshoz tart. Tétel. Nagy számok gyege törvéye Ha X, X,, X függetle, azoos eloszlású, µ várható értékű valószíűség változók, akkor bármely ks ε > 0-ra: P X + X X µ > ε 0 ( (3 a valószíűség változók átlaga tetszőlegese meg tudja közelíte az elmélet várható értéket [38]. Tétel. Nagy számok erős törvéye Ha X, X,, X függetle, azoos eloszlású, µ várható értékű valószíűség változók, akkor valószíűséggel tart a valószíűség változók átlaga az elmélet várható értékhez [5]: X p lm + X X = µ = ( Időhorzot vzsgálata Defícó. Eseméyjelző: Egy olya címke (rekord, mely egy eseméy bekövetkezését jelz. Az eseméyeket ugyas a szmulácós redszerek fel kell dolgoz, végre kell tuda hajta, és az eseméyjelző utal arra, hogy mlye eseméyt és mkor kell majd végrehajta (ha egyéb körülméyek ezt em gátolják meg. 4

16 Defícó. Lácolt lsta: A lácolt lsta olya rekordok egymás utá sorozata, ahol a rekordok azoos dolgokat képvselek (például ettásokat vagy eseméyjelzőket, stb. és a rekordok sorredje meghatározott. Defícó. Jósolt eseméy lsta: (FES - Future Evet Set Olya lácolt lsta, melybe a sorozat elemet az eseméyjelzők alkotják. Defícó. Idővezérlés eljárás: (Tmg route olya eljárás, amely karbatartja a jósolt eseméy lstát a szmulácó futása alatt. Defícó. Trajektóra mta: Trajektóra mtáak (Sample Path evezzük a vzsgált változók szmulácós futtatás alatt értékeek sorozatát egy adott dőtervallumo belül: {X, ahol t t }, {Y, ahol t t }, stb. Eseméyek az dőhorzoto A matematka apparátus sokat segít az adatok előkészítésébe, smert eloszlások felhaszálásával akár szmulácó élkül s jól modellezhetők az egyszerűbb redszerek. Azoba a boyolultabb valós redszerekél az eseméyek sok esetbe eheze modellezhetők egy smert eloszlással. A legtöbb valóságos eloszlás emprkus, és sokszor megfgyelhetők bzoyos sűrűsödések (más éve csomósodások, az agol szakrodalom pedg a burst termust haszálja az eseméyek dő-dmezójába. Azaz bzoyos dő tervallumba rtká jöek az eseméyek, más dőszakaszba pedg sűrű követk egymást. Az ok a redszer hatásmechazmusába keresedő, ahol ha egy bzoyos eseméy bekövetkezk, akkor agy valószíűséggel egy másk eseméyt vált k rövd dő belül, am szté újabb eseméyeket geerál, és így lavaszerűe megő az eseméyek gyakorsága. Az lye tervallumokat csúcstervallumak evezzük. Időléptetés eljárások - dővezérlés A szmulácós modellek damkus működéséek vezérlését az dőléptetés algortmusok végzk, melyek közül kettőről teszük említést: ext evet és a tme mappg dőléptetés. A ext evet dőléptetés eljárás a következő jósolt eseméy dejére ugrk (azaz a redszer dejébe a jósolt eseméy dejét írja be, így a szmulált dőlépések maxmálsak, azoba a kezeledő lsták (egy dőpotba sorakozók lstája hosszúak. A tme mappg dőléptetés esetébe a mmáls dőkremesek megfelelő lépések árá érhető el a redkívül hosszú lsták kezeléséek elkerülése. Így láthatjuk, hogy a ext evet és tme mappg dőléptetés eljárások előye ll. hátráya egymással elletétes jellegűek [6]. Idetermáltság A redszer állapotat vzsgálva az dő függvéyébe két jeleségre lehetük fgyelmesek. Dszkrét szmulácó esetébe a szmulált redszer dszkrét dőpotokba va értelmezve, így ezekbe az dőpotokba megfgyelve a redszert azt láthatjuk, hogy valamlye dszkrét állapotba va. Azoba az eseméyek s csak dszkrét dőpotokba törtéek, így egy állapotváltozás elvleg ulla dőhosszúságg tart. Azoba, ha bzoyos állapotváltozást agyító alá veszük, akkor azt láthatjuk, hogy bármlye rövd deg s tart a változás lefolyása, az ehhez szükséges dőtervallum agyobb, mt ulla. Eek az dőtervallumak az elejé a redszer az egyk, a végé pedg egy másk kokrét állapotba található; a kettő között azoba em tudjuk értelmez, hogy melyk állapotba va. Ezt a 5

17 fajta bzoytalaságot evezzük elsőredű determáltságak (a redszer ebbe az determált állapotba va, rövde ID-ek. A másk fajta jeleség a másodredű determáltság (ID. Ebbe az esetbe em az átmeetből adódó bzoytalaságot értjük a jeleség alatt, haem az állapotváltozás végéek a bzoytalaságát, azaz hogy melyk állapotba érkezk meg a redszer. Vagys, ha tudjuk, hogy mely állapothalmazba lehet a redszer, de em tudjuk, hogy ezek közül melyk állapotot vesz fel éppe, akkor a redszer másodredű determált állapotba va. Az elsőredű determáltság tehát a determsztkus állapotok között átmeetből, másodredű determáltság pedg a determsztkus állapotok megvalósulásáak bzoytalaságából adódk. Természetese előfordulhat egyszerre mdkét fajta determált állapot s, amkor az állapotváltozás folyamata hosszabb, mt ulla és így ID lép fel, az átmeet végé pedg em tudjuk melyk dszkrét állapotba kerül a redszer (ID. A következő ábrá mdhárom esetre látuk példát, az A jeleségél az ID, B-él az ID, C-él pedg mdkettő előfordul.. ábra Első- és másodredű determáltság 3.3. Eseméy, aktvtás és folyamat leírás módok A modellezés elkezdése előtt érdemes a modellez kívát redszert alaposa megvzsgál, ugyas külöböző típusú redszerek külöböző megközelítés módot géyelek. A megközelítés módszerek közül három leírás módot smertetük: eseméy leírás, aktvtás leírás és folyamat leírás módot. Eseméy leírás mód Az eseméy leírás módál a hagsúly az eseméyeke va, melyek megváltoztatják a dszkrét redszer egy vagy több állapotváltozójáak az értékét. Az eseméyek hrtele törtéek, tehát zérus szmulácó dő alatt meek végbe. Ezeket az ú. eseméyosztályokba 6

18 sorolhatjuk. Egy eseméyosztályba tartozó eseméyek által létrehozott állapotváltozók azoos módo írhatók le; ezeket a leírásokat eseméyleírásak evezzük. Egy eseméyek legalább két jellemzője va: az eseméydő, amkor megtörték; az eseméyosztály-jellemző, am a megfelelő eseméyosztályt határozza meg, amelybe tartozk. Az eseméyek jellemzőt tartalmazó adatstruktúrát eseméyjelzőek evezk. A redszer elemeek attrbútumat attrbútumjelzők reprezetálják. Az eseméyjelzők, valamt a em álladó redszerelemek attrbútumaak kezelése valamlye lstakezelés módszerrel törték, am gyakorlatlag valamey szmulácós yelv, redszer-, ll. szoftver-csomag részét képez. Az eseméyek az eseméydőek megfelelőe valamlye jósolt eseméylstába vaak sorolva. Az eseméyleíró rutokak a következő feladatok végrehajtásáról kell godoskoduk [6]: Az állapotváltozók értékéek megváltoztatása az attrbútum, ll. eseméyjelzők függvéyébe. A program tovább folytatásához szükséges eseméyjelzők geerálása. Adatgyűjtés a szmulácós program által szolgáltatott eredméy számára. Aktvtás leírás mód Eél a módszerél az eseméyek helyébe aktvtások lépek. Egy aktvtás szté legalább egy állapotváltozó értékét változtatja meg, és az eseméyekhez hasolóa az aktvtások végrehajtás deje s zérus. Léyeges külöbség azoba, hogy míg egy eseméy az eseméydeje elérésekor következk be, addg egy aktvtás akkor és csak akkor, amkor az állapotváltozók és a szmulácós redszerdő értéke eleget tesz bzoyos követelméyekek. Az aktvtásleíró rut feladata kettős: egy feltétel vzsgálatból és egy végrehajtásból áll. Először elvégz azokat a vzsgálatokat, amelyek alapjá eldöt, hogy az aktvtás végrehajtható-e. Ameybe az eredméy poztív, úgy godoskodk a megfelelő állapotváltozó értékéek megváltoztatásáról, az dőváltozók értékéek aktualzálásáról és - mt az előző módszerél, úgy tt s - adatgyűjtésről a szmulácós programfutás eredméye számára. Folyamat leírás mód A folyamat leírás módál a léyeg a folyamatoko va, melyek mdg egy redszerelem - redszerbe tartózkodás deje alatt - vselkedését írják le. Azoos folyamatosztályba tartozak az azoos módo jellemezhető folyamatok, ezeket a leírásokat szokás folyamatleírásak evez. Mde alkalommal, amkor egy folyamatleíró szubrut az aktuáls paraméterevel hívásra kerül, szmuláljuk az adott folyamatot. Itt azoba alapvető külöbséget találuk az eddgekhez képest. A folyamatok ugyas véges szmulált redszerdő alatt zajlaak le. Mvel az egyes folyamatok párhuzamosa meek végbe a redszerbe, és az ezek által megváltoztatott attrbútumok értéké át kölcsöhatásba vaak, így egy folyamat csak addg az utasításg hajtható végre, amíg egy olya utasítást em talál, amely már "jövőbe" dőpotra hvatkozk. Ez az utasítás vszot csak akkor hajtható végre, ha már egyk folyamatak scs olya része, am közelebb dőre voatkozk. Egy lye utasítás címét reaktvácós potak evezzük. Folyamat leírás mód vezérléséhez tehát a fet smeretek szükségesek. 7

19 4. Szmulácós modell felépítése Defícó. Mobl ettások: azok a személyek, tárgyak, objektumok, stb., melyeke külöböző műveleteket kell végrehajta, például kszolgál őket, összegyűjte vagy átalakíta. Defícó. Verfkálás alatt értjük a szmulácós modellt leíró proceduráls (azaz utasításokat tartalmazó program vagy oproceduráls (azaz objektumokkal leírható szerkezet elleőrzését. Ez elsősorba sztaktka elleőrzést jelet, ahol azt vzsgáljuk, hogy helyese működk-e (a modellt reprezetáló program. A oproceduráls szerkezetél pedg azt elleőrzzük, hogy betartja-e a szerkezet, felépítés szabályokat a modell. Defícó. Valdálás a modell és a valóság között leképezés helyességéek elleőrzését jelet. Ez egy olya érvéyességvzsgálat, ahol a modelltől csak az adott célak megfelelő reprezetácót várjuk el és azt s csak egy előre megadott hűséggel. A vzsgálat tehát arra ráyul, hogy megézzük a proceduráls vagy oproceduráls modell valóba a kívát redszert modellez-e. A következőkbe a modellek (általáos modellt feltételezve, melybe beletartozk a véges automaták modellosztálya, a sorbaállás redszerek modellosztálya, melyet később részletezük kalakításáak lépéset mutatjuk be szmulácós sajátosságok fgyelembe vételével. A szmulácós modell struktúráját a modellt alkotó elemek kapcsolatredszere alakítja k, a szmulácó futtatás célja pedg egy olya teljes modell (megfelelő struktúrával és paraméterezéssel törtéő megtalálása, mely híve reprezetálja a valóságot a kapcsolatok redszerével, és ezáltal egy jól haszálható eszközt ad a dötéshozók kezébe. 4.. Szmulácós modell felépítéséek fázsa Egy valóságos redszer modelljéek felépítése a következő lépésekbe törték: a Első lépéskét az formatka köryezet paraméterek beállítása címe kell előkészíte a szmulácós modell futtatásához szükséges szoftver eszközöket, így az operácós redszert, szmulátort stallál stb. Az stallálás utá egy teljesítméyvzsgálattal lehet meggyőződ, hogy az adott hardver majd mekkora agyságú modell szmulácóját tesz lehetővé. b A következő lépésbe el kell határol a modellt a köryezetétől, azaz meghatároz, hogy mely részek tartozzaak a modellhez és melyek em. A modell és köryezetéek terakcó a modell put és output csatorá keresztül törtéek, így defál kell, hogy mlye put adatokat kell előállíta a modell számára. Külööse agy hagsúlyt kell fektet a bemeő adatok mőségére, hsze rossz vagy potatla adatokkal hába építük fel egy jó modellt, az eredméyük hams következtetésre eged jut. c A szmulácós modell struktúrájáak kalakítása a modellt alkotó objektumok meghatározásával kezdődk. A modell építése sorá fgyelembe kell ve a modellbe résztvevő elemek között kölcsöhatásokat. A feladat megoldása sorá olya általáos modelleket érdemes felépíte, amelyek túlmutatak a kokrét feladato és más köryezetbe s alkalmazhatók. Az általáos célktűzések megfelelő olya kölcsöhatás-mechazmust 8

20 kell talál a modell segítségével, mely demostrál tudja az gaz redszerbe végbemeő folyamatokat, és a modell modulárs felépítése lehetővé tudja te más topológa és más paraméterekkel bíró modellek felépítését s. d A probléma megoldásához vezető úto a modellstruktúra kalakítása utá am gyakorlatlag az eredet objektum leírásához általuk kválasztott változók, állapotok kapcsolataak leírását jelet a modellhez tartozó paraméterek meghatározása a feladat. Itt kell megad a kezdőértékeket, együtthatókat, stb., melyek meghatározásával eljutuk a damkus modellükhöz, am már a teljes, szmulácós köryezetbe futtatható modellt jelet. A modell paramétere kívül rögzíte kell a szmulácós köryezet beállításokat s, hogy mekkora lépésközzel, mlye hossza törtéje a futtatás, stb. A szmulácós futtatások előtt a modellezőek el kell végez a modell valdácóját és verfkálását s. Az első két lépés részbe túl techka, részbe pedg túlságosa egyed (problémáktól függőe agyo eltérő lehet ahhoz, hogy általáos útmutatót lehesse hozzá még ad. A szmulácós modell struktúrájáak kalakításáál (és a struktúrából adódó megbízhatóság eseté már azoba beszélhetük általáos felépítés elvekről, ézzük meg ezeket: Tektsük egy kompoesből álló redszert [38], ahol mde kompoesek két állapotát külöböztetjük meg: működő és em működő állapotát. Az -edk kompoesek ezt a bárs állapotát jelöljük: s -vel, értéke pedg legye : ha működk és 0: ha em működk. s = (34 0 Nem csak egy kompoesél vezethetjük be a működést reprezetáló állapot változót, haem az egész redszerre általáosíthatjuk ezt. Struktúra függvéyek evezzük azt a többváltozós függvéyt, amely a kompoesek kapcsolódása alapjá leképez a kompoesek állapotat a teljes redszer bárs állapotát jelképező állapotra. ϕ ( s, s,..., s = (35 0 A struktúra függvéy értéke, ha a teljes redszer működőképes, egyébkét pedg 0. Néháy gyakor struktúrájú kompoes együttes struktúra függvéye: a Soros kapcsolású struktúra Ha bármelyk kompoes em működk, akkor a teljes redszer sem működőképes. Ezt többféle struktúra függvéyel s leírhatjuk, például: vagy vagy vagy ϕ ( s, s,..., s = Ad( s (36 = ϕ ( s, s,..., s = s (37 = = ( s ϕ ( s, s,..., s = Max (38 9

21 , s,..., s = ( s ϕ ( s = M (39 b Párhuzamos kapcsolású struktúra Az egész redszer csak abba az esetbe em működk, ha az összes kompoes működésképtele, egyébkét pedg a teljes redszer működőképes. Ez szté leírható többféle struktúra függvéyel s, de most csak egyet emelük k közülük:, s,..., s = ( s ϕ ( s = Max (40 c Hídkapcsolás Legtöbb struktúra az előző kettő kombácóból előállítható, va azoba olya kapcsolat redszer a kompoesek között, amely em vezethető le a soros és párhuzamos kapcsolatokból. Ilye például az alább ábrá látható hídkapcsolás: 3. ábra Hídstruktúra Ebbe az esetbe a teljes redszer működését leíró struktúra függvéy a következőképpe éz k:, s, s3, s4, s5 = Max , = { s s s, s s s, s s s 5} ϕ ( s s (4 Ugyas az -3-5, -3-4, -4 és -5 adja az összes lehetséges utat, a teljes redszer pedg akkor működőképes, ha a lehetséges utak közül legalább az egykek mde eleme működk. Ebből a három struktúra típusból már elég sok kapcsolatredszer felépíthető, de természetese vaak még eél boyolultabb struktúrák s, amelyek em származtathatók a felsorolt típusokak (mt építőkövekek a kombácóból. Ezek szté egyed struktúra függvéy leírást géyelek. De általáos megközelítésük a következő: k j= { path j } path j = ϕ ( s, s,..., s = Max s (4 path ahol a path j az összes lehetséges útvoalo véggmegy (k az utak száma, és értéke a hozzátartozó utak állapot-változóak szorzatából áll. Megbízhatóság függvéy Egy kompoes megbízhatóságá aak a valószíűségét értjük, hogy a kompoes működőképes állapotba va. Ez a meghbásodás valószíűség elletéte, azaz a két említetett 0

22 valószíűség összege. Ugyaígy értelmezzük a teljes redszer megbízhatóságát s, a megbízhatóság függvéy [38] pedg a kompoesek megbízhatóságaból fejez k ezt az egész redszerre voatkozó valószíűséget. A megbízhatóság függvéy struktúrafüggő, így például a soros kapcsolású kompoesek eseté: m ( p, p,..., p = p p = P( s = (43 = ahol p értékek az egyes kompoesek működőképességeek valószíűsége, azaz megbízhatósága. Párhuzamos kapcsolású struktúra eseté a megbízhatóság függvéy:, p,..., p = ( p = m( p (44 A fet hídkapcsolású struktúra eseté a megbízhatóság függvéy: m( p, p, p3, p4, p5 = ( p p3 p5 ( p p3 p4 ( p p4 ( p p5 (45 A fet példák bemutatásával már látszk a külöböző struktúra függvéyek és a megbízhatóság függvéy közt kapcsolat, így ezektől eltérő struktúra eseté s felírható a megbízhatóság függvéy. A struktúra kalakítása utá ézzük meg, hogy ha a felépített vázba ettások érkezek a vázak megfelelő lehetséges útvoalako feltöltve a statkus kompoeseket, akkor mlye módo törtéhet a modellezés. A legtöbb lye modell hasolít a tároló és sorbaállás redszerekre, hsz az ettások a modell kompoese végghaladva várakozak, tárolódak, stb., ezért most rövde bemutatjuk az lye redszerek szmulácójára voatkozó smereteket. 4.. Kedall-féle osztályozás Defícó. Erőforrás: kszolgáló egységek, melyek a mobl ettásokat fogad képesek, és külöböző kszolgálás tevékeységeket hajtaak végre. Defícó. Techológa útmeghatározás (routg: kszolgálás tevékeységek sorredjéek leírása. Defícó. Pufferek (buffers: azok a helyek, ahol a mobl ettások kszolgálásra várakozhatak. Defícó. Ütemezés: előírt dőred táblázatok, mt például erőforrások dőtáblázata, mobl ettások meetredje, stb. Defícó. Sorredezés (sequecg: alatt értjük a sorba állás szabályok (FIFO: Frst I Frst Out, vagy más éve még: FCFS; LIFO: Last I Frst Out, vagy más éve még: LCFS, stb. összességét. A modell egy adott potjá természetese e szabályok közül va érvéybe. Defícó. Beérkezés eloszlás: a sorbaállás redszerekél a sorhoz csatlakozó ettások érkezésére voatkozk. Egy adott beérkezés eseméysort két szempotból s lehet vzsgál: a

23 két beérkezés között eltelt dő szert és egy adott dőegység alatt beérkezett ettások száma szert. E kettő változó két külöböző eloszlást követ, például ha beérkezések között dő expoecáls eloszlást követ, akkor az dőegység alatt beérkezések száma Posso eloszlású, mégs ugyaarra az eseméysorra voatkozak. A beérkezés eloszlás megadásáál tehát az egyértelműség matt meg kell ad, hogy a két szempot közül melykek az eloszlását tektettük. Defícó. Kszolgálás eloszlás: a sorbaállás redszerekél a sorba álló ettások kszolgálására voatkozk. Ezt s lehete két szempotból vzsgál: a két kszolgálás között eltelt dő (azaz a kszolgálás dőtartama szert és egy adott dőegység alatt kszolgált ettások száma szert. Azoba ha külö em hagsúlyozzák, akkor mdg az elsőt értk alatta, tehát a kszolgáláshoz szükséges dőtartamok eloszlását tektjük. Teljesítméy dkátorok: Defícó. Teljesítméy: egységy dő alatt végzett (a modell előre defált potjág eljutott vagy a redszerből eltávozott mobl ettások száma. Defícó. Foglaltság: pufferekbe levő mobl ettások átlagos száma lletve aráya a puffer teljes kapactásához képest. Defícó. Sorhossz: sorba állásra felkészített pufferekbe levő mobl ettások pllaaty lletve átlagos száma. Defícó. Várakozás dő (késleltetés dő: mobl ettások várás deje a kszolgálásuk előtt. Defícó. Erőforrás khaszáltság: erőforrások haszálatba levő összesített deje a teljes futás dőhöz vszoyítva. Defícó. Redszer veszteség ráta (system loss rate: véges kapactású pufferekél előfordulhat, hogy em tudak több mobl ettást fogad. Ha a em fogadott ettás a redszere belülről érkezk (például másk pufferből, akkor a helyé marad; vszot ha a redszere kívülről érkezk, akkor em tud belép a modellbe és elveszk. Egy ettás elveszhet a redszer számára úgy s, hogy a mobl ettás em hajladó túl sokat vár, kállva a sorból elhagyja a redszert (tt az ettásak va egy maxmáls tolerálható várakozás deje. Tehát a külöböző korlátok matt elveszett mobl ettások és az összes ettás aráyát evezk redszer veszteség rátáak. A tároló és sorbaállás redszerek szmulácójáál a modellező kívács lehet a sorhosszra, aktuáls tároló tartalomra, átlagos tartalomra, várakozás dőre és egyéb statsztkákra. A sorbaállás problémákat egységes módo lehet kezel, azaz például ha az ettások egyeletes eloszlás szert érkezek a modellbe, ahol sor va, és mdkét sorál a kszolgálás dő determsztkus (és egyéb feltételek s ugyaazok, akkor az ettásokra voatkozó összes statsztka adat ugyaaz mde redszerél, függetleül attól, hogy személyek, mukadarabok vagy járművek, stb. sorbaállásáról va szó. A sorbaállás problémák leírásáak egységesítését Davd G. Kedall végezte bevezetve a következő jelölésredszert:

24 X / Y / s / r / k / p Az. paraméter: X a beérkezés eloszlást írja le, melyre a következő stadard rövdítések haszálhatók (mdegyk esetbe a beérkezések egymástól függetleek: M: beérkezések között dő expoecáls eloszlást követ, azaz dőegység alatt beérkezések száma Posso eloszlású (az M rövdítés a Markov évből származk az emlékezetélkülség matt. E k : beérkezések között dő Erlag eloszlású k alakparaméterrel. D: két beérkezés között eltelt dő determsztkus. GI: két beérkezés között eltelt dő valamlye más, általáos (geeral eloszlásból származk (put. Az. paraméter: Y a kszolgálás dő eloszlását írja le, melyre a következő stadard jelölések haszálhatók: M: kszolgálás dő expoecáls eloszlást követ, azaz dőegység alatt kszolgáltak száma Posso eloszlású. E k : kszolgálás dő Erlag eloszlású k alakparaméterrel. D: a kszolgálás dőtartam determsztkus. G: a kszolgálás dőtartam valamlye más, általáos (geeral eloszlásból származk. A 3. paraméter: s a kszolgálók számát jelöl, azaz egyszerre párhuzamosa maxmum ey géyel tud foglalkoz a redszer. A 4. paraméter: r (rule a sorbaállás szabályt írja le: FIFO (Frst I Frst Out vagy más éve még FCFS (Frst Come Frst Served: beérkezés sorredjébe szolgálják k az géyeket. LIFO (Last I Frst Out vagy más éve még LCFS (Last Come Frst Served: beérkezés fordított sorredjébe szolgálják k az géyeket. SIRO (Servce I Radom Order: véletle sorredbe törték a kszolgálás. GD (Geeral queue Dscple: általáos kszolgálás szabály. A 5. paraméter: k a redszer kapactását adja meg, azaz a redszerbe maxmálsa megegedhető géyek számát jelöl. A 6. paraméter: p (populato az alapsokaság agyságát adja meg. Az utolsó három paraméter értéke agyo sok modellél: GD/ /, így ezekél a korlátozás élkül esetekél ezt az utolsó hármast el s szokták hagy. Így például: GI/M/4 jelet azt a redszert, ahol a bemeet tetszőleges eloszlású, a kszolgálás dő expoecáls eloszlású, és 4 kszolgáló va a redszerbe, továbbá a kszolgálás szabály általáos, cs korlát sem a kapactásál, sem az géyek alapsokaságára voatkozóa [53]. Egy másk érdekesség, hogy a tároló és a sorbaállás redszereket együtt s lehet kezel az alább módo [6]: [ Z + X Y ] + Z (46 t+ = t t t ahol a + jel jelet azt a műveletet, hogy ha a szögletes zárójel értéke egatívvá vála, akkor helyette 0 lesz a kfejezés értéke. Az alább táblázat mutatja, hogy a (46 egyeletbe szereplő 3

25 jelölések a tároló és sorbaállás redszerbe mt jelethetek (egy sorba helyezkedek el a jelhez hozzáredelhető jeletések, így egy egységes kezelést lehet megvalósíta.. Táblázat Tároló és sorbaállás redszerek egységes kezelése Jelölés Tárolóredszer Sorbaállás redszer várakozás dő Z t X t Y t tároló tartalma a a t-edk géy (t, t+ várakozás deje tervallum elejé bemeet érték az t-edk géy tervallum kszolgálás deje kezdeté kmeet érték az a t-edk és (t+-edk tervallum végé géy érkezése között dőtartam Sorbaállás redszer sorhossz sorhossz a t dőpotba érkezések száma a (t, t+ tervallumba (t, t+ tervallum alatt kszolgálások száma A sorbaállás, kszolgálás redszerek elmélete [] erre a jelölésredszerre épít, és az elmélethez kapcsolódóa külöböző raktározás, tömegkszolgálás problémák vzsgálhatók komoly matematka apparátus segítségével [45][]. Az érdeklődő olvasók számára ajálható még a [44]. A fejezet elejé említett egyedk modell kalakítás fázs, a paraméterezés a fet tárgyalt struktúra kalakításába résztvevő objektumok paramétereek megválasztását jelet. Ezek utá kell a szmulácós modell damkus működtetésekét az elkészült modell(eket az első lépésbe megválasztott szmulácós redszerbe lefuttat. Itt a modellek legtöbbször szmbolkus grafkus módo kerülek megjeleítésre, és a futtatás alatt a modellek működése amácóval látható. A következő fejezetekbe mutatjuk be a szmulácós futtatások végzésével és a szmulácós eredméyek kértékelésével kapcsolatos tudvalókat. 4

26 5. Szmulácós futtatás A szmulácó dőtegelyéek vzsgálatáál 3 dőtervallumot külöíthetük el: felfutás dő, futás dő, leállás előkészítés dő. A futás dő jelet a teljes dőtartamot, amt a modell szempotjából modellez kell. Ez em azoos a gépdővel, hsze a számítógépek gyorsabba vagy lassabba s működhetek, mt a valós redszer (például ms-ok alatt lejátszódó gyors kéma reakcót a gép pár percg szmulál, vagy több éves gazdaság modell szmulácója - óra alatt lefut. A futás dő elejét evezzük felfutás dőek, és rtká előfordul az s, hogy a futás dő vége előtt szükség va egy rövd leállás előkészítés szakaszra s (a futás dő tartalmazza tehát a kezdet és a végső szakaszt s. Eek akkor va szerepe, ha adott állapotba szereték a szmulácót befejez és eek az állapotak az eléréséhez dő szükséges. Mvel lye alkalmazások rtkák, ezért a továbbakba em foglalkozuk ezzel az dőtervallummal, a másk kettőt vszot részletese megvzsgáljuk. 5.. A felfutás dő aalízs Iduláskor a szmulácós modell legtöbb esetbe üres, azaz em tartalmazza még a damkus objektumokat (mobl ettásokat. A statkus részbe meet közbe érkezek a damkus elemek, melyekhez bzoyos változók tartozak. A szmulácó elejé ezekbe az esetekbe lesz egy olya dőszakasz, ahol a damkus objektumokhoz tartozó változók értékeek átlaga em lesz egyelő a hosszú távú átlaggal. Ezt az dőtervallumot hívják felfutás dőek (warm up terval [0]. Ez dő alatt érk el a változók a stacoárus (egyesúly állapotot. Például gyárakba való termelés szmulácójáál dő kell, míg feltöltődk a redszer, vagy bakfókok modellezéséél ytáskor még üres a redszer, ott s dőre va szükség, míg a bak működése el em ér az egyesúly állapotot reprezetáló, ügyfelekkel tel helyzetet. A felfutás dő probléma a szmulácó folyamatos kértékeléséél okoz hbát. Azaz, ha a fet említett változókból meet közbe statsztkát készítük (például kszámoljuk az dőbe megfgyelt értékek átlagát, akkor a felfutás dő értéke elrotják az egyesúly állapotba leolvasott értékeket (így az átlagra hbás eredméyt kapuk. A felfutás dő okozta hba megszütetésére bevezették a yesett dőátlag (vagy rövde yesett átlag fogalmát, mely azt jelet, hogy a felfutás dő értéket khagyjuk az átlagszámításból. Jelöljük k-val a felfutás dőt (azaz az első k- értéket hagyjuk fgyelme kívül és t-vel a teljes futáshosszt, így a yesett dőátlag: (47 t X = X k t t k + = k 5

27 Többszörös függetle futtatás Többszörös függetle futtatás eseté a szmulácós futtatásokat ugyaazo feltételek mellett kell végrehajta, hogy az eredméyek összesíthetők legyeek. Ezek a szmulácós futtatás feltételek a következők: dítsuk a szmulácót mdg az s 0 kdulás állapotból, legye k a felfutás dő lépésszáma, végezzük a futtatást t dőpotg mdegyk esetbe. Jelöljük X j ( -vel az X modellváltozó (vagy ettás attrbútuma értékét a j-edk lépésbe az - edk smétlés eseté. A szmulácós futtatásokat -szer végrehajtva úgy, hogy a fet feltételeket betartjuk: megkapjuk az X-re voatkozó értékek halmazát, melyet az alább táblázatba foglalhatuk össze [0]:. Táblázat Többszörös függetle futtatás eredméyek Lépések Nyesett átlag -edk futtatás t (k felfutás dővel ( ( ( ( X X X t X ( X ( k X t ( k X t X t ( ( X ( X ( X t ( Futtatások átlaga X, X, k X t X t, k X t, Ebbe a táblázatba a sorok végé láthatóak a k felfutás dővel (első k- elemet fgyelme kívül hagyjuk, a k-adk elemet pedg már beleszámítjuk az őt követőkkel együtt számolt yesett átlagok (trajektóra mták yesett átlaga, és az utolsó sorba az adott oszlopra voatkozó futtatás átlaga. Az utolsó oszlop legalsó cellája tartalmazza az utolsó oszlop értékeek átlagát (trajektóra mták yesett átlagaak futtatásra voatkozó átlagát, mely megegyezk az utolsó sor értékeek yesett átlagával (egy dőpotra voatkozó futtatás értékek átlagáak yesett átlagával, így ezt rövde k X t, -vel jelölhetjük. (Ha csak hosszúságú yesett átlagot szereték jelöl, akkor a bal alsó sarokba levő dex értékére a jobb alsó sarok első dexét kell ír. Az egyszerűsített jelölés érdekébe, ha a bal alsó sarokba háyzk az dex, akkor mdg ezt az hosszúságú yesett átlagot értjük alatta, mt ahogy azt a táblázat legalsó sorába láthatjuk. X t, t X t, $ Állítás: Trajektóra mták yesett átlagaak futtatásra voatkozó átlaga megegyezk az egy dőpotra voatkozó smételt futtatás értékek átlagáak yesett átlagával. $ Bzoyítás Defícók alapjá írjuk fel a külöböző átlagokat! Egy adott (j dőpotra voatkozó smételt futtatás értékek átlaga: X (, = X j j t (48 j = 6

28 Trajektóra mták yesett átlaga (első k- elemet levágjuk: X k t X t k j j t k + = = ( ( (49 Ismételt futtatás értékek átlagáak yesett átlaga: = = = + = + = t k j j t k j j A t k X k t X k t X (,, (50 Trajektóra mták yesett átlagáak smételt futtatás átlaga: = = = + = = t k j j t k B t k X k t X X ( (, (5 Jele esetükbe a szumma műveletek megcserélhetők és a szorzó téyezők khozhatók az összegzések elejére, így a két átlag az állításukak megfelelőe egyelő: B t k t k j j A t k X X k t X, (, = + = = = (5 A felfutás dő aalízsél em csak a fet számolásokra va szükségük, haem szereték azt s tud, hogy meddg kell a modellt adatgyűjtés élkül futtat, azaz a yesett átlag matt szükségük va a felfutás dőre megállapítására. $ Algortmus. Felfutás dő hosszáak becslése [0]:. Válasszuk egy előzetes trajektóra mta hosszat: t.. Dötsük el a függetle smételt futtatások számát:. 3. Icalzáljuk az álvéletleszám geerátort kezdet értékekkel. 4. Hajtsuk végre a szmulácót -szer úgy, hogy az elsőt kvéve (amkor az előző potba calzált kezdet értékeket haszáljuk az álvéletleszám geeráláshoz mde smételt futtatás elejé haszáljuk az előző futtatás végé érvéybe lévő álvéletleszám geerátor állapotot (azaz a geerátor kezdet értéket az előző futtatás végé kapott geerátor mag határozza meg. Futtatások alatt tároljuk el a trajektóra mták értéket. 5. Számoljuk k az egy dőpotra voatkozó smételt futtatás értékek átlagát és e trajektóra mták yesett átlagat (úgy, hogy ez legye a yesés pot, majd ábrázoljuk grafkusa a két sorozatot potsorozatkét. A grafkus ábrázolás segít megállapíta, hogy hol ér össze a két potsorozatot összekötő voal (ha elég adat áll redelkezésükre. 6. Ha az eredméyekből a megfelelő felfutás dő megállapítható, azaz a grafkoo jól látható, hogy hol ér össze a két voal (ebbe az esetbe elegedő formácóval 7

29 redelkezük, akkor az terácós becslés folyamat véget ér (a megállapított felfutás dőt lehet haszál majd egy hosszú futtatáshoz. 7. Ha az előző feltétel em teljesül, akkor öveljük a t-t vagy öveljük az -t vagy öveljük md a kettőt, és mejük vssza a 4-es lépéshez. A felfutás dő aalízs segítségével tehát a felfutás probléma kküszöbölhető. A statsztka adatgyűjtést akkor érdemes csak elkezde, ha a felfutás véget ért, azaz a stacoárus állapotot elértük. Természetese lehet olya feladat s, amkor em az egyesúly állapotra, haem éppe az átmeet állapotra, a felfutásra vagyuk kívácsak: lyekor az adatgyűjtést a felfutás alatt kell végez, és a leállás feltétel egybe esk a felfutás dő végével, tehát tt s fotos, hogy ezt az dőpotot megtaláljuk. 8

30 6. Szmulácós eredméyek kértékelése A szmulácó sorá em cél a valós redszer mde szempot szert modellezése [50], haem a legfőbb tulajdoságat kell csak reprezetál. Ezeket a léyeges kompoeseket vszot mél potosabba kell a modellbe megvalósíta, azaz a kértékelésél s ezekre kell fókuszál. 6.. Szmulácós eredméyek hbá A szmulácós modell kmeeté (szmulácós futtatás sorá előálló kmeet értékekbe több fajta hba fordulhat elő [0]: ( Véletle hba ( Szsztematkus hba A véletle hbát egyrészt a bemeet értékek okozhatják, ha azok em teljes populácót reprezetálak, haem abból csak egy mtát képvselek. Másrészt a szmulácó folyamá geerált véletleszámok s csak egy eloszlásból származó példáyok, így azok felhaszálása a modellbe ugyacsak véletle hbát okoz. A szsztematkus hbát a kezdőállapot kválasztása és a kezdet körülméyek, feltételek váltják k (együttese kezdet szmulácós körülméyekek evezzük. Ezekek a körülméyekek a megválasztása egyoldalúa befolyásolhatja a végeredméyt, am ezt a szsztematkus hbát okozza. Szsztematkus és véletle hba csökketése A következő táblázat mutatja szsztematkus és véletle hba csökketésére ráyuló beavatkozás módokat és azok következméyet. 3. Táblázat Szsztematkus és véletle hba csökketése Beavatkozás mód Felfutás dő övelése (futáshossz változatla értéke tartása mellett. Trajektóra mta hosszáak övelése (azaz a szmulácós dő meghosszabbítása. Függetle smételt futtatások (azoos kezdés állapotból való dítás eseté számáak övelése. Következméy Szsztematkus hba csökke, véletle hba vszot ő (külööse, ha a felfutás dő megközelít a futáshosszt. Szsztematkus és véletle hba s csökke. Véletle hba csökke, de a szsztematkus hbára cs hatással. A hbák közül va egy matematkalag jól leírható hba: a szórás, mely a várható érték bzoytalaságáak mértékét fejez k. Ha tehát várható értékkel áll kapcsolatba a megfgyelt kmeetük, akkor céluk, hogy a szórást mmalzáljuk. Először ézzük át mlye tételek voatkozak közöse a szórásra és a szmulácós mtavételekre: 9

31 Tétel. Normál eloszlás mtavétel tétele Ha ormál eloszlásból veszek egy adott számú ( elemű mtát, akkor a mta (mely ugyaúgy ormál eloszlású lesz átlaga a ormál eloszlás várható értékéhez tart, és a mta szórása a ormál eloszlás szórásától és a mtaagyságtól függ a következő képlet szert: σ σ s = (53 Tétel. Általáos mtavétel tétel Ha bármlye eloszlásból s veszük egy adott számú ( elemű mtát, akkor övelésével: a mta átlaga ormáls eloszlású lesz, a mta átlaga tart az eredet eloszlás várható értékéhez és a mta szórása az eredet eloszlás szórásáak égyzetgyök -ed részéhez tart, ugyaúgy, mt az (53 egyeletbe. Ezekek a mtavétel tételekek agy jeletőségük va a szmulácóál, mvel legtöbbször a futtatás alatt gyűlek össze (geerálódak az adatok. Persze va olya szmulácós modell s, ahol az elejé áll redelkezésre az egész adatsor, de az esetek többségébe a felhaszálóak érdekes változók csak meet közbe kapak értékeket (hsz éppe ezért alkalmaz szmulácót, azaz tt a fet képletbe s említett mtavétel szám a futáshosszal aráyos. Mvel a szórás (ahogy az (53-as egyeletből s látszk csak a futáshossz égyzetgyökével aráyosa csökke, ezért kemelt fotosságú a szmulácóál, hogy a varacát más módo s próbáljuk meg lecsökkete. Erre több külöböző módszer s született: Feltételes varaca formula módszere, Elletétes változók módszere, Kotroll változók módszere, Rétegzett mtavételezés. Nézzük végg az egyes módszereket, melyek más és más körülméyek mellett haszálhatók lletve érdemes haszál őket: 6.. Feltételes varaca formula módszere A feltételes varaca módszeréhez először ézzük meg egy segédtételt és egy máshol s haszálható tételt: Tétel. E(X = D (X + E (X (54 Bzoyítás. Varaca (szóráségyzet defícója alapjá: D ( X = E( X E( X = E( X X E( X + E ( X = (55 = E( X E( X E( X + E ( X = E( X E ( X (56 Ie átredezéssel már látható, hogy a kívát állítás gaz. 30

32 Segédtétel. E ( E( X Y = E( X (57 Bzoyítás [36]. Ha X és Y s dszkrét valószíűség változók: X: x, x, x 3, értéket felvéve p, p, p 3, valószíűségekkel és Y: y, y, y 3, értéket felvéve q, q, q 3, valószíűségekkel és a közös eloszlás: P(X=x, Y=y j = r j, akkor a következőképpe írhatjuk fel a feltételes várható értéket: E ( X Y = y = x jp( X = x j Y = y (58 j Az E(X Y szté egy dszkrét valószíűség változó, melyek lehetséges értéke: E(X Y=y, E(X Y=y, E(X Y=y 3, és ezt az E(X Y=y értéket q valószíűséggel vesz fel, melyet a várható érték számolásál haszáluk fel: = ( E X Y E( X Y = = E ( = y q (59 x j P( X = x j Y = y q = (60 j x r = x r = x p E( x (6 = j j j j j j = j j Folytoos X és Y változók eseté a Σ jeleket tegrál jelek váltják fel, majd hasoló lépésekbe (részletes bzoyítást most em közöljük eljuthatuk az eredméyg. A feltételes valószíűségű változóál megvzsgáltuk tehát a várható értéket. Vzsgáljuk meg a szórást s, melyet a következő módo értelmezhetük: Erre támaszkodva felírhatjuk a következő tételt: j {( X E( X Y Y} D ( X Y = E (6 Tétel. Feltételes varaca formula A varaca felírható az alább két feltételes valószíűséget tartalmazó tag összegekét: Bzoyítás [38]. D ( X = E( D ( X Y + D ( E( X Y (63 A (54-es tétel gaz X helyett X Y feltételes valószíűségváltozóra s, így: D ( X Y = E( X Y E ( X Y (64 3

33 Ha mdkét oldalak vesszük a várható értékét, akkor: E( D E( D ( E( X Y E ( X Y ( X Y = E (65 ( X Y = E( E( X Y E( E ( X Y (66 A (57-es segédtétel alapjá az első téyező egyszerűsíthető, így E( D ( X Y = E( X E( E ( X Y (67 Másrészről a (54-es tétel X helyett gaz a feltételes valószíűségváltozó várható értékére s (azaz cseréljük k az (55 egyeletbe az X-et E(X Y-re, így: D ( E( E( X ( E( X Y E( E ( X Y Y A (57-es segédtétel alapjá a másodk téyező egyszerűsíthető: D = (68 ( E( ( E( X Y E( E ( X Y X = (69 Adjuk össze a (67 és az (69 egyeleteket kejtve ezzel a (67 egyelet jobb oldalá szereplő másodk tagot: ( E( E( D ( X Y + D ( E( X Y = E( X X (70 A (56 egyelet alapjá megállapíthatjuk, hogy a jobb oldal em más, mt X varacája, így ahogy azt az állításba említettük. D ( X = E( D ( X Y + D ( E( X Y (7 Mvel a varaca sosem lehet egatív (így a varaca várható értéke sem, ezért a feltételes varaca formula tétele alapjá felírhatjuk a következő egyelőtleséget: D ( X D ( E( X Y (7 Ha egy X változó (szmulácós futtatás kmeet változója várható értéke érdekel beüket, azaz egy olya paramétert szereték becsül, melyre: θ = E(X, és va egy olya Y másk változó, melyél smerjük a E(X Y-t; akkor az X helyett érdemes az E(X Y-t haszál. Ugyas E(X Y s egy torzítatla becslője a θ-ak: ráadásul ksebb (vagy egyelő varacával: E ( E( X Y = E( X = θ (73 Var( X Var( E( X Y (74 3

34 6.3. Elletétes változók módszere Ha egy X változóra (melyek a várható értéke érdekel beüket, azaz θ=e(x két kísérletet végzük: X és X, akkor eek a két változóak az átlagát haszálhatjuk majd fel a várható érték becslésre, és a két változó átlagáak varacája a következő: ( D ( X + D ( X Cov( X, X X + X D = + 4 (75 A képlet alapjá ez a szóráségyzet akkor lee kcs, ha a két változó függetle lee egymástól, mert ez esetbe az utolsó tag (a kovaraca ulla érték lee. Azoba még előyösebb lee, ha a kovaraca egatív lee, ez esetbe az első két tag összegéből még le lehete vo egy értéket. A egatív kovaracát mesterségese úgy érhetjük el, hogy két olya erőse összefüggő X -et és X -t hozuk létre, melyek között egatív korrelácó áll fe. Azaz X -ek és X -ek elletétes változókak kell leük [38]. Hogya tudjuk ezt elér? Tegyük fel, hogy X m db egyeletes eloszlású, 0 és közé eső véletle számak valamlye függvéye: X = f (U, U,, U m (76 ahol az U véletle számok egymástól függetleek. Mvel az U -k a [0,] tervallumo egyeletes eloszlású számok, ezért az -U számok s ugyaebbe az tervallumba esek ugyaolya egyeletes eloszlással. Tehát: X = f (-U, -U,, -U m (77 függvéyel haszált X szám ugyaolya eloszlású lesz, mt az X függetleül attól, hogy ez mlye eloszlás. Mvel az (-U egatív korrelácóba áll az U-val, ezért agy valószíűséggel az X és X között kovaraca egatív lesz. Ha ez a többdmezós f függvéy mooto függvéye mde egyes koordátájáak, akkor ez bzoyíthatóa s egatív korrelácót eredméyez X és X között [38]. Ezt az eredméyt tehát úgy haszálhatjuk fel, hogy először m álvéletleszámot (U, U,, U m geeráluk X kszámításához. Majd ezek utá ahelyett, hogy újabb m álvéletleszámot geerálák, ezeket haszáljuk fel még egyszer az X számolásáál úgy, hogy mdegyk értéket kvojuk -ből (-U, -U,, -U m. Így kapuk tehát két X-et, melyek kcs varacát eredméyezek. A másk agy előye eek a módszerek az, hogy fele ay álvéletleszámot kell csak geerál, am jeletőse meggyorsíthatja a szmulácót. Nézzük erre egy példát [38], hogy hogya haszálhatjuk k mdezt! Szereték egy kszolgálós sorbaállás redszert szmulál, ahol a várokozás dők összegére vagyuk kívácsak. Jelöljük az -edk géy várakozás dejét W -vel, kszolgálás dejét S -vel ( =,,,, az és az (+-edk géy érkezése között eltelt dőt: T -vel ( =,,,-. Így T az első és a másodk közt eltelt dő, azaz T megmutatja, hogy a. meyvel később érkezett az elsőhöz vszoyítva. Ekkor a veszteség élkül esetre a várakozás dő (ahogy azt a sorbaállás redszerek tárgyalásáál már láttuk: W + = W + S - T (78 33

35 M a várakozás dők összegéek várható értékét szereték becsül, melyre a következő paramétert vezetjük be: θ = E( X = E W (79 = A szmulácó sorá az S és a T értékeket állítjuk elő véletleszám geerátorok segítségével, így X valamlye f függvéye ezekek a véletleszámokak: X = f (T, T,, T, S, S (80 Ez az f függvéy az S értékek övelésével ő, T értékek csökketésével ő, azaz mooto övekvő függvéye a koordátáak, így a véletleszám előállításál az verztraszformácós módszer, a varaca csökketésél pedg az elletétes változók módszere haszálható. Tehát a szmulácó alatt úgy képezzük a kívát eloszlású db véletleszámot, hogy veszük egyeletes eloszlásút (u 0 és között lehet és aak egyk felét az érkezés dőkre, másk felét a kszolgálás dőkre traszformáljuk a következő képlet szert: T F ( u ; S = G ( u =,,..., = + (8 Varaca csökkeő módszer élkül mde egyes szmulácós futtatásál számot kell tehát geerál. Az elletétes változók módszerével vszot megtehetjük, hogy mde másodk futtatásál a véletleszám előállítást khagyjuk, és helyette az előző cklusba geerált számokat -u formába haszáljuk fel, azaz: T F ( u ; S = G ( u =,,..., = + (8 Így em csak véletleszám geerálást takarítuk meg, haem az X változó becsléséél ugyaay cklus eseté potosabb értéket s kapuk Kotroll változók módszere Ha a szmulácó valamelyk kmeet változójáak (jelöljük X-el várható értékét: θ = E(X-et szereték megbecsül, és va egy másk kmeet változó (jelöljük Y-al, melyek a várható értékét tudjuk E(Y = µ Y, akkor haszálhatjuk a kotroll változók módszerét [38]. Eek a léyegét a következőkbe smertetjük. Képezzük egy új változót az alább egyelet alapjá: X + c Y µ (83 ( y Ahogy a fet egyeletbe láthatjuk az X-hez hozzáadva egy kfejezést egy olya meységhez jutuk, amely szté torzítatla becslése a θ-ak. Ahhoz, hogy a legjobb c-t megtaláljuk, ézzük meg eek a meységek a varacáját: Var ( X c( Y = Var( X + c Y = Var( X + c Var( Y + c Cov( X, Y + µ (84 y y 34

36 mvel ha az Y változóból egy kostas értéket (µ y levouk, akkor a varaca em változk; továbbá a két változó kölcsöhatását a kovaraca fejez k. Eek a kfejezések a mmumát keressük a legjobb c érték meghatározásához, amt derválással kaphatuk meg, a dervált: Var ( Y c + Cov( X, Y = 0 (85 A dervált kfejezést ullává téve a legjobb c érték (ahol varaca mmáls: c Cov( X, Y = (86 Var( Y Eél a módszerél az Y változót evezzük kotroll változóak, amely a következőképpe tud tehát segíte. Három esetet külöböztethetük meg az X és Y változó között korrelácó szempotjából: a korrelácó poztív, egatív vagy ulla. a Ha X és Y poztív korrelácóba (agyobb X mellett az Y s agyobb áll egymással, akkor c egatív. Ha Y kmeet érték éppe agyobb a várható értékéél (azaz Y-µ Y poztív, akkor az ebbe a részbe feltett poztív korrelácó matt agy valószíűséggel az X s agyobb lesz a saját várható értékéél. A egatív c matt a c (Y- µ Y -al övelt új meység már vsszahúzza (tt csökket a várható érték felé az X-et, így a végső varaca sokkal ksebb lesz. b Ugyaezt véggézve egatív korrelácó eseté s tapasztalható a vsszahúzás (tt öveléssel a várható érték felé. c Nulla korrelácó eseté a módszer em járul hozzá a varaca csökkeéséhez, hsze a kovaraca ebbe az esetbe ulla. A varaca tehát ulla korrelácós esetet kvéve mdeképpe csökke. A (84-es egyeletbe behelyettesítve a (86-t megkapjuk, hogy meyre csökket a varaca: ( X c ( Y Cov ( X, Y Var + µ y = Var( X (87 Var( Y Azt s felírhatjuk, hogy az eredet Var(X-hez képest háyad részére tudtuk csökkete a szóráségyzetet: Var( X + c ( Y µ y = Corr ( X, Y (88 Var( X ahol Corr az X és Y között fellépő leárs korrelácós együttható égyzete. Nézzük egy példát [38] a kotroll változók módszerére! Egy szmulácós modellbe sok paraméter szmulálása törték, és tegyük fel, hogy va egy 0 és között egyeletes eloszlású u változót haszáló e u függvéy, melyek a várható értékére vagyuk kívácsak. Azaz a következő paraméter becslését kell elvégez: u x θ = E( e = e dx (

37 A várható érték köye kszámolható: 0 x e dx = x [ e ] = e 0 (90 De tt a varacára leszük kívácsak. u x Var( e = ( e ( e dx = 0 ( (9 x x = e ( e e + ( e dx = (9 0 x [ e ] + ( e [] x = x e = ( e e e 0 = ( e ( e e + ( e ( 0 = e = ( e = e + 4e 3 = = 0,40 Hogya tudjuk ezt a varacát lecsökkete? Vegyük a 0 és között egyeletes eloszlású u véletle változót kotroll paraméterek! Számítsuk k az u és az e u között kovaracát: ({ X E( X } { Y E( } = (93 (94 (95 (96 Cov ( X, Y = E Y (97 = E ( XY E( X Y E( Y X + E( X E( Y = (98 = E ( XY E( X E( Y E( Y E( X + E{ E( X E( Y }= (99 = E ( XY E( X E( Y + E( X E( Y = (00 = E( XY E( X E( Y (0 Khaszálva ezt az egyszerűsítést a kovaraca számításál: u u ( e E( u E( e = u Cov ( e, u = E u (0 = xe x dx ( e = (03 0 x x [ e x] e dx ( = = 0 0 e ( = ( e e 0 ( e e ( e = (05 e = = 0,4086 (06 36

38 A legjobb c ahogy az előzőekbe láttuk: c u Cov( X, Y Cov( e, u = = (07 Var( Y Var( u Ekkor az új varacára (az egyeletes eloszlású u 0,5-ös várható értékét és /-es szóráségyzetét behelyettesítve kapjuk, hogy: Var u u u Cov ( e, u ( e + c ( u 0,5 = Var( e = Var( u (08 0,4086 = 0,40 = 0,0039 (09 (/ Tehát a kotroll változó módszert haszálva 0,4-ről 0,0039-re, azaz,6%-ára csökket le a varaca [38] Rétegzett mtavétel (stratfed samplg Rétegzett (más éve még: rétegezett mtavételezést akkor haszálhatuk, ha a sokaság homogé (rétegekre botható és véges. Ezt a fajta varaca csökkető megoldást akkor érdemes haszál, ha tudjuk a rétegek egymáshoz vszoyított aráyát, azaz hogyha egy véletle darabot emelük k a sokaságból, akkor mekkora valószíűséggel lesz ez az első, másodk, stb. rétegből (csoportból való. A rétegzett mtavételezés úgy törték, hogy mde csoportból veszük mtát (rétege belül ez egy véletleszerű mtavételezés, így mde réteg képvselve lesz. Szmulácóál az a sokaság, amből a mtát kell ve, redelkezésre állhat már rögtö a futtatás megkezdése előtt, de lehet, hogy ez a sokaság csak a szmulácó alatt gyűlk össze. Így a rétegekét mta alatt érthetjük a ulla dőpotba egyszerre redelkezésre álló adatok részhalmazát, vagy a futás alatt összegyűjtött adathalmazból származó mtát. A rétegzett mtavétele belül s több megoldás létezk, egy adott feladatba a redelkezésre álló formácóktól függ, hogy mkor melyket érdemes haszál: a Egyeletes elosztású rétegzett mtavételezés Eek léyege, hogy mde egyes rétegből azoos számú mtát veszük: Itt az egyes rétegek mtavétel hbáak összege mmáls [3]. Ezt akkor érdemes haszál, ha em csak a főátlagra vagyuk kívácsak, haem érdekelek beüket az egyes rétegek mutató s. b Aráyos elosztás Az aráyos elosztásál a rétegek valószíűségeek aráyába választjuk meg, hogy melykből mekkora mtát vegyük. j N j = = p j (0 N 37

39 ahol j a j-edk réteg mtavétel száma, a teljes mtaagyság, N j a réteg sokaságáak számossága, N a teljes populácó száma, p j aak a valószíűsége, hogy egy adott mtaelem a j-edk rétegből származk. Az aráyos eloszlás előye, hogy eél a főátlag hbája csak ksebb, vagy egyelő lehet, mt az egyszerű véletle mtavételes (azaz a em rétegzett esetbe. Ha a rétegekét szórásokat em smerjük (vagy smerjük és azoosak, akkor a varaca csökkető hatás eél az aráyos eloszlásál maxmáls (azaz a módszer optmáls megoldást yújt. c Neyma féle optmáls elosztás Ha előre tudjuk a rétegekét szórásokat, akkor mdeképpe ezt a módszert érdemes alkalmaz, mert mmáls varacájú lesz az átlag (optmáls megoldást kapuk. j = k N σ j= j j j N σ j ( ahol σ j a j-edk réteg szórását jelöl, k pedg a rétegek száma. Még ha semmlye előzetes formácók cs a rétegek szórásáról, akkor s lehet a módszert egy előzetes művelet segítségével alkalmaz. Ez az előzetes feladat: egy ks elemszámú elemet tartalmazó mtavételezés mdegyk rétegre voatkozóa, mellyel meg lehet becsül a rétegek szórását, amt felhaszálva már meg lehet állapíta az optmáls megoldást. Az előzetes mtavételezések vszot az a hátráya, hogy ehéz ehhez a feladathoz ktalál a mtavétel agyságot. 38

40 7. Modellezés lehetőségek A legtöbb helye a jeleség taulmáyozása olya vzsgálattal törték, ahol em s a valód jeleséget vzsgálják, haem kább aak modelljét. A modell - gyakra matematka formulákkal - az objektum taulmáyozása sorá fotosak tartott jellemzőkből áll össze. A modell változtatásával új smereteket kaphatuk a modellezett jeleségről, és ezt költség élkül, mdeféle kéyelmetleséget elkerülve, a valós jeleségbe avatkozása veszélye élkül kapjuk. Ilye például az atomeerga, mert a radoaktív ayag kezelése drága és veszélyes. Legtöbb modell a matematka eszköztárát haszálja. A jeleségek fotos jellemző umerkusa leírhatók, és az ezek közt kapcsolatok kfejezhetők egyelet vagy egyelőtleség formájába. Például fzkába a jellemzők, mt tömeg, mometum, gyorsulás, helyzet, erő leírhatók matematka egyeletekkel. A skeres modellezés érdekébe szükség va md a modellezett jeleség, md a modellezés techkák smeretére, ez utóbbak közül részletesebbe most a Petr hálókkal smerkedük meg. 7.. Petr hálók Következőkbe a szmulácóba jól haszálható o-proceduráls modellezés kocepcóról, a Petr hálókról lesz szó, melyet C. A. Petr vezetett be dsszertácójába [34]. A Petr háló az formácós folyam absztrakt és formáls modellje [33]. A Petr hálók tulajdoságat, alapfogalmat és techkáját vezérlő és formácós folyamok leírására és aalízsére fejlesztették k, főleg olya redszerekbe, amely aszkro és kokures tevékeységeket tartalmazak. A Petr hálók fő haszálat területe eseméyek olya redszeréek a modellezése, amelybe éháy eseméy előfordulása egyszerre törtéhet, de vaak kéyszerek az előfordulások frekvecájára, elődejűségére, egydejűségére voatkozóa, így alkalmas szmulácós célokra s [5]. A Petr háló egy specáls ráyított gráf, amelyre az alább képe (lásd 4. ábra láthatuk egy példát. Ebbe a példába a Petr háló gráfkét va ábrázolva, a gráf a redszer statkus tulajdoságat modellez úgy, mt ahogy a folyamatábra reprezetálja a számítógépes program statkus jellemzőt. 4. ábra Petr háló grafkus képe A gráf fajta csomópotot tartalmaz: place-eket (magyarul helyek fordítható, melyeket körökkel ábrázoluk és trasto-eket (azaz átmeetek, melyeket rudak jelképezek. Ezek 39

41 a csomópotok, place-ek és trasto-ök, éleke keresztül kapcsolódak egymáshoz. Ha egy él az -től a j csomópotra mutat (mdegy, hogy place-től trasto-ra vagy fordítva, akkor putja (bemeete j-ek, és j outputja (kmeete -ek. A 4. ábra például azt mutatja, hogy a p place a t trasto bemeete, míg a p és p 3 place a t trasto kmeete. A statkus összeállításra va egy megkötés: a két fajta csomópot csak felváltva követhet egymást, azaz place csak trasto-höz kapcsolódhat és vszot. Azo kívül, hogy a gráf a statkus jellemzőket ábrázolja, a Petr hálóak va damkus kompoese s, amely a futtatásából származk. Tételezzük fel, hogy a folyamatábrával megjeleített számítógépes program futtatásáak yomkövetésére egy zsetot haszálak, azaz a folyamatábrába elhelyezett zseto mutatja, hogy a futtatás hol tart, és ahogy a futtatás halad, a zseto mozog a folyamatábrába. Hasolóa, a Petr háló futtatása a tokeekek evezett zsetook helyzetváltoztatásával törték. Tokeek, melyeket grafkusa fekete pottal jelölek, a körökkel ábrázolt place-ekbe tartózkodhatak. A tokeekkel ellátott Petr hálót jelzett Petr hálóak evezk. Tokeek haszálatára a szabályok a következők: a tokeek helyváltoztatás képessége a trasto-ök tüzelésével valósul meg. A trasto-ak egedélyezett állapotba kell lee ahhoz, hogy tüzelhesse. (A trasto akkor egedélyezett, ha az összes bemeeté levő place-be va legalább ay toke, mt amey a kötés multplctása. A részletes magyarázatot lásd később. A trasto tüzeléskor a bemeet place-ekbe levő tokeek eltávolítását (letörlését és új tokeek geerálását végz, melyeket a trasto kmeet placeebe helyez el. Petr hálók formáls leírása A Petr hálókat em csak grafkusa tudjuk ábrázol, haem matematka leírás módja s létezk. Ez az ú. formáls leírás a következőképpe éz k: C = {P, T, I, O} ( Egy Petr háló a fet égyes, jelzett Petr háló pedg az alább ötös segítségével írható le: M = {P, T, I, O, µ} (3 ahol P a Petr hálót alkotó place-ek halmaza, T a trasto-ök halmaza, I a bemeet (put függvéy, azaz egy olya leképzés, mely a trasto-ök bemeet összeköttetéset írja le a place-ek kmeetevel, O a kmeet (output függvéy, azaz egy olya leképzés, mely a trasto-ök kmeet összeköttetéset írja le a place-ek bemeetevel, µ pedg a tokeek eloszlását írja le a place-ekbe. Például az 5. ábra által mutatott Petr háló formáls leírása a következő: M = {P, T, I, O, µ} P = {p, p, p3, p4, p5} T = {t, t} I(t = {p} O(t = {p} I(t = {p3, p5} O(t = {p4} µ = {, 0,, 0, 0} Ha valamelyk él többszörös él (azaz multplctása agyobb -él, akkor a halmazbel felsorolásál s ayszor kell felsorol, amey a multplctása. 40

42 5. ábra Petr háló tokeekkel A 5. ábra egy jelzett Petr hálót ábrázol, ahol a t egedélyezett, mvel a bemeet place-jébe (p va toke. A t trasto em egedélyezett, mvel az egyk bemeeté levő place-be (p 5 cs toke. Ha t tüzel, a Petr háló eredméye a következő, 6. ábrá lesz látható, a t trasto tüzelésével letörl a p place-ből az elvhető toket, és a p -be egy új toket rak. 6. ábra Egy trasto tüzelése utá állapot Tokeek eloszlása a jelzett Petr hálókba defálja a háló állapotát, ezt a tokeeloszlást hívják markg-ak. A markg a trasto-ök tüzelésével változhat (potosabba: a markgok változását a trasto-ök tüzelése okozza. Külöböző markg külöböző trasto-öket egedélyezhet. Nézzük meg általáosa, matematka formába a tüzelés feltételeket és műveleteket, melyek a Petr háló damkus működését adják. Egy trasto tehát akkor tüzel, ha egedélyezett állapotba va, am akkor következk be, ha valamey bemeet place p Є P esetébe µ p #( p, I( t (4 ( j ahol #(p, I(t j adja meg a place elem és a t j trasto között multplctását, azaz a p -ből t j - be mutató ágak számát, µ pedg a megadott place-be levő tokeek számát. Ameybe a t j 4

43 trasto tüzel, úgy megváltoztatja a Petr háló markgját, azaz a p place-be levő tokeek számát µ-ről µ értékre. µ '( p = µ ( p #( p, I ( t + #( p, O( t (5 ahol #(p, O(t j jelet az output multplctást. Ez léyegébe azt jelet, hogy valamey put place-be megsemmsít és valamey output place-be létrehoz egy toket. j j 7. ábra Példa egy koflktus helyzetre A 7. ábra egy érdekes jeleségű Petr hálót mutat. Fgyeljük meg, hogy a Petr hálóba trasto s egedélyezett: a t és t trasto, ebbe a helyzetbe cs meghatározva, hogy melyk trasto tüzelje legközelebb. A 8. ábra mutatja a lehetséges származtatott markgot; melyekből tovább markgok elérhetők (jele esetbe csak a felső ábrá, mvel trasto tüzelése addg folytathatók, míg va egedélyezett trasto. Ha a t trasto (7. ábra tüzel, akkor eek eredméyekét a p place-be toke lesz (lásd 8. a ábrát, és a p 3 -ba törlődk a toke, így t trasto tüzelés feltétele megszűk (eze kívül a p -be s törlődk a toke. Ha a t trasto tüzel, akkor eek hatásakét a p 4 placebe lesz toke (lásd 8.b ábra, és t trasto em lesz egedélyezve (mvel a p 5 place-be levő tokee kívül a p 3 -ba levő toke s törlődk. A t és t trasto közül bármelyk tüzelése letltja a máskat, úgy modják: koflktusba vaak. 4

44 a b 8. ábra Két lehetséges származtatott markg 43

45 A Petr hálók gyakorlat alkalmazására jó példa a következő, 9. ábrá látható termelőfogyasztó probléma, mely egy termelőt (p és t -ből álló rész és két fogyasztót (p 3 és t 3 valamt p 4 és t -ből álló részek tartalmaz. A termelő által termelt darabokat a fogyasztókak juttatják el a p -es place-e keresztül, mely tt a pacot reprezetálja. A 9. ábra által mutatott hálózatba az érdekelhet beüket, hogy a termelő meyvel jár a fogyasztók előtt, lehagyhatja-e a termelő a fogyasztókat, vagy elhaszálható-e ugyaaz a darab kétszer, és így tovább. Ez a termelő-fogyasztó modell segít a kérdések megválaszolásába. Petr hálók alkalmazásaak köre széles, több helye alkalmaztak Petrhálós techkát ütemezés feladatokra egy gyáregysége belül s és logsztka egységek között s []. 9. ábra Példa termelő-fogyasztó problémára A fet példáál még általáosabb csoportot, a véges automatákat s lehet modellez. Véges állapotú gépek (véges automata állapot átmeet gráfja ekvvales módo ábrázolható egy specáls Petr hálóval, ahol: Egy állapot egy place-ek felel meg. Egy állapotátmeetek egy tüzelés felel meg. A tüzelés feltétele megegyezek az állapotátmeet állapot gráfbel feltételevel. Ez az ekvvales Petr háló toket kerget. A kezdet markg olya, hogy a kezdőállapotak megfelelő place-be helyezkedk el az egyetle toke. 0. ábra Példa véges automatára 44

46 Nézzük egy példát véges automatára (lásd 0. ábra, ahol állapot és 5 állapotátmeet lett defálva. Az automata bemettel és kmeettel redelkezk, a kmeetet és a következő állapotot a bemeet és a jeleleg állapot határozza meg. Az állapotátmeetekre azok a bemeet értékek (I, I, I 3 közül egy és azok a kmeet értékek (O, O, O 3, O 4 közül egy lettek felírva, amelyek meghatározzák az adott átmeetet. Ha a két állapotak megfeleltetük egy-egy place-t, és az állapot átmeetekek 5 trasto-t, akkor ebből felépíthető a redszer Petr hálós modellje. Ábrázoljuk még azoba a be- és kmeetek lehetséges értéket s placeekkel, hogy a véges automata teljes redszerét modellez lehesse. A megvalósult Petr hálót a következő (. ábra ábrá láthatjuk.. ábra Véges automata modellezése Petr hálóval A felépített Petr hálókat külöböző módo vzsgálhatjuk, aalzálhatjuk őket, külöböző kérdéseket tehetük fel. Például hogya jellemezhetjük egy adott állapotból elérhető markgok osztályát? Mlye érdekes jellemző vaak a Petr hálókak és hogya tesztelhetjük ezeket? A Petr hálók aalízsére sokféle célból lehet szükség, például elosztott multtaskg redszerekbe az egyk leggyakorbb probléma a holthelyzet (deadlock metesség vzsgálata. Egy Petr háló élő, ha mde trasto újra tüzelhetővé válk a később működés sorá. Az élő Petr háló garatálja a holthelyzet (deadlock metes működést függetleül a bejárás úttól. Nézzük meg azoba az általáos aalízshez szükséges egyéb tulajdoságokat s. A Petr hálók aalízséél két vzsgálódás terület va: a strukturáls és a kezdőállapot függő aalízs, így az említett tulajdoságok ebbe a két csoportba sorolhatók [3]. Kezdőállapot függő vzsgálat tulajdosága: Elérhetőség Korlátosság Élő tulajdoság 45

47 Megfordíthatóság Perzsztes Strukturáls tulajdoságok: Strukturáls korlátosság Strukturálsa élő Vezérelhető Kozervatív Kozsztes Defícó. Elérhetőség: Egy adott (kezdőállapotból elérhetőek modjuk egy másk állapotot (állapotok halmazát ha találuk olya tüzelés szekvecát, amely segítségével ebbe a másk állapotba jutuk. Defícó. Korlátosság: Ha a kezdet markgból kdulva a teljes elérhetőség fá belül mdegyk place-be maxmum k db toke található, akkor a Petr hálót k-korlátosak evezzük. Az -korlátos háló külö evet kapott: bztoságos Petr háló. Defícó. Élő tulajdoság: ha a kezdet állapotból kdulva valamey trasto tüzelése végrehajtható, azaz újra tüzelhetővé válk a később működés sorá. A trasto-re bevezettek külöböző sztű élő tulajdoságokat. Egy tr trasto L 0 élő, azaz halott, ha tr soha sem tüzelhető kezdet markggal megadott Petr hálóba. L élő, ha tr legalább egyszer tüzelhető valamely tüzelés szekvecába. L élő, ha tetszőleges poztív k egészre k-szor tüzelhető valamely tüzelés szekvecába. L 3 élő, ha tr tüzelése végtele sokszor előfordul valamely tüzelés szekvecába. L 4 élő, ha tetszőleges kezdet markgból elérhető állapotok eseté a tr L élő. Egy Petr háló L k élő, ha a bee szereplő mde trasto L k élő. Defícó. Megfordíthatóság: Egy Petr hálót megfordíthatóak evezük, ha valamlye tüzelés szekveca segítségével vsszajutuk a kduló állapotba. Defícó. Perzsztes: a Petr háló, ha két tetszőleges egedélyezett trasto közül az egyk sem tltja a máskat, azaz cs koflktus helyzet a trasto-ök között. Defícó. Strukturáls korlátosság: ha a Petr háló tetszőleges véges kezdőállapot eseté korlátos. Defícó. Strukturálsa élő: ha va egy élő kezdet markg. Defícó. Vezérelhető: ha tetszőleges állapot elérhető tetszőleges más állapotból. Defícó. Kozervatív (P varaca: Ha található olya súlyelosztás a place-ekhez, hogy a tokeek súlyozott összege álladó a működés folyamá, akkor a Petr hálót kozervatívak evezzük. Ezt a súlyelosztást P-varásak evezzük. Ha a súlyelosztás specálsa olya, hogy mde place-hez -et redel, akkor szgorúa kozervatív Petr hálóról beszélük. Ez utóbb esetbe tehát a tokeek száma álladó. 46

48 Defícó. Kozsztes (T varaca: Ha va olya kezdet markg és olya tüzelés szekveca, amely úgy vezet vssza a kezdőállapotba, hogy mde egyes trazto tüzelése legalább egyszer előfordul ebbe a szekvecába. Ezt a tüzelés szekvecát evezzük T- varásak [3]. A fet tulajdoságok szert elleőrzhetők, aalzálhatók a felépített Petr hálók, amelyek így em csak a modellről, haem a modellezett redszerről s állítaak valamt. A Petr hálók (mt absztrakt formáls módszer [9] továbbfejlesztésére sok ráyvoal létezk, a külöböző magassztű Petr hálók [9] között megtaláljuk a szíezett Petr hálóktól kezdve a szofsztkált modellezés lehetőséggel bíró Tudás Attrbútumú Petr Hálókat [8]. 7.. Markov lácok A Markov lácok olya redszerek, amelyek állapota függ a jeleleg állapotuktól, vszot függetle a rég állapotuktól (előéletüktől. Az lye állapotok alakulását leíró folyamatok leírására szolgáló Markov-lácok tehát memórával em redelkező redszerek. A potos defícóhoz tektsük egy olya dőbe véletleszerű állapotváltozásokat végző redszert, amelyek lehetséges állapota: s, s, s 3,..., stb. A redszer állapotat t = 0,,,... dőpotokba megfgyelve defáljuk a ζ 0, ζ, ζ,... valószíűség változókat olya módo, hogy a ζ = értéket vesz fel, ha a redszer t = dőpotba éppe s állapotba va. Defícó. Markov-lácak evezzük a redszer állapotváltozásaak sorozatát, vagy az ezzel egyeértékű ζ 0, ζ, ζ,... valószíűség változók sorozatát, ha tetszőleges egész t < t <...<t + dőpotok és bármely állapot (dőredbe felvett állapotok sorszámat: j, j,... j + - el jelölve eseté feáll a következő egyelőség: P( ζ j ζ= j, ζ = j,..., ζ = j = P( ζ = j = j (6 + = ζ Szavakba ötve ez azt jelet, hogy lye típusú redszerek t dőpot utá felvett állapotaak valószíűséget (rövde tovább törtéetét egyértelműe meghatározza a redszer t dőpotba felvett állapota, és a redszer korább állapotara voatkozó semmféle formácó azaz, hogy hogya került a redszer ebbe az állapotba em szükséges [6]. Markov-lácok jellemzésére szolgálak az egyes állapotok között átmeetvalószíűségek (állapot-átmeet valószíűségek, melyek megadják hogy egy adott állapotból kdulva mekkora valószíűséggel lesz a redszer a következő lépésbe a k állapotba. Ezeket általáosítva mt r lépéses átmeetvalószíűség-értékeket az alább módo adhatjuk meg: ( r Pk r = = P(ζ + = k,ζ (7 Az átmeetvalószíűségeket szokás az ú. átmeetvalószíűség mátrxba összefoglalva felír: Π r = P ( r ( r P... P ( r ( r P (8 47

49 A mátrx elemet alkotó valószíűségek összege sorokét mdg -et kell hogy adjo. Ugyas r lépés múlva valahol (valamelyk állapotba bztos, hogy megtalálható a redszer, így ezekek a valószíűségekek az összege a bztos eseméy valószíűségével egyezk meg. Homogé Markov-lácokról beszélük, ha valamey P k (r érték függetle -től, így ez a bal alsó dex elhagyható: Π r ( r P ( = P... r P ( r ( r P (9 Homogé Markov-lácok eseté az r lépéses átmeetvalószíűségek mátrxa egyelő az egylépéses átmeetvalószíűség-mátrx r-edk hatváyával [][36]: Π = Π (0 r r A Markov-lácok jól haszálhatók a szmulácóba külöböző redszerek vzsgálat modelljekét [8] Dszkrét szmulácós eszközök Ebbe az alfejezetbe a szmulácó szoftver eszközet mutatjuk be, hogy erre alapozva a következő teljes fejezetet az alkalmazásokak szetelhessük külöböző példáko keresztül. A szmulácós eszközök alapvetőe három csoportra oszthatók [6]. Szmulácós programyelvek: olya magassztű programyelvek, melyek specáls tulajdoságakkal elősegítk a szmulácós modellek felépítését és futtatását. Ezek általába a szmulácós problémák redkívül széles körét fedk le, és az adott partkulárs szakterület termológája helyett általáos szmulácós fogalmakkal dolgozak. Hátráyuk, hogy egy modell felépítéséhez programírás smeret s szükséges, azaz a modellezővel szembe va egy csekély programozás-techka elvárás. (Ebbe a kategórába tartozk például a GPSS, SIMSCRIPT, SIMAN, ACSL. Szmulácós redszerek: olya szoftver eszközök, melyek egy-egy szűkebb terület szmulácós problémát a szakterület termológájáak megfelelőe írják le, ezáltal az adott problémakörre voatkozólag ge kéyelmese haszálható eszközt jeleteek, azoba az alkalmazás kör eek megfelelőe léyegese szűkebb. (Ilye például a ProModel. 3 Általáos célú programyelvek (C, C++, Pascal, Delph, Java, stb., melyeket egyes egyed feladatokra ma s alkalmazak (hsze ha valak smer és korábbról már redelkezésére áll a szoftver, akkor em kell eergát fordíta egy újak a megsmerésére. Ks feladatokál általába em jelet túl agy problémát a szmulácós program megírása, azoba komplexebb probléma eseté érdemes az előző kettő csoport valamelykéből választa eszközt. Az első két csoport összehasolításáál megállapíthatjuk, hogy a specáls célra kfejlesztett eszközök (. csoport általába felhaszáló barátok, azaz a vzsgálatot végző személy számára az adott szakterülete alkalmazott fogalomredszer alapjá teszk lehetővé a kommukácót, 48

50 azoba ezek az eszközök csak szűk területe alkalmazhatók. Az általáos célra kfejlesztett eszközök (. csoport ugya ge széles körbe alkalmazhatók, azoba a kommukácós réteg em ayra testre szabott az egyes feladatok megoldásáál. Fotos szempot lehet az általáosság ll. specalzáltság elletétes megközelítéséből adódó elletmodás feloldása. A CASSANDRA [5] evű szmulácós eszköz például ezt az elletmodást oly módo oldja fel, hogy a szmulácós eszközredszer egy redkívül széles körbe alkalmazható belső kerelre épül fel, melybe a külöböző típusú feladatok (a modell és vzsgálat feltételek leírása leképződek. Tovább léyeges szempotot jelet, hogy ezek a leképzések herarchkus módo s végezhetők. Ez azt jelet, hogy a agyobb modellek elembb modell elem struktúrákra képződek le, és így a redszer vzsgálatot végző mdg az általa géyelt részletességgel látja a modellt. 49

51 8. Szmulácós alkalmazások Ahogy az előző fejezetbe láttuk: a szmulácós szoftverek egy része általáos problémákra kíál modellezés megoldást szmulácós yelvek alkalmazásával; másk részük szakterületekre kocetrál, és csak az adott felhaszálás területe yújt megoldás lehetőségeket. Az alkalmazás területeket számba véve a szmulácó haszálható a közlekedés redszerektől elkezdve, a gazdaság modelleke és gyártóredszereke át a köryezetszeyezés modellekg. Mdegykél több olya szmulácós eszköz s készült, amely az adott szakterülete haszálható. Az alkalmazás területekből ökéyese válogatva jele fejezetbe a rugalmas gyártóredszereket és a közlekedés redszereket mutatjuk be. 8.. Gyártósor és logsztka redszer szmulácója ProModellel Külöböző problémák emcsak egyszer jeletkezek a vállalatál, haem folyamatosa merülek fel újabb megoldadó feladatok, és ezek megoldásakét újításokat kell bevezet a fejlődés érdekébe, és egyre komplexebb problémákat kell megoldaa a vállalat ráyításak. Egy operácókutatás feladatál agyo fotos, hogy a gyárta kívát termékekhez szükséges ayagok, alkatrészek, részegységek meység és megredelés adatat meghatározzuk, a mukafolyamatok kezdő- és befejező dőpotjat megtervezzük adott feltételek mellett. E feltételek közé tartozk a gyártás határdők betartása, a felhaszálható ayagok, erőforrások redelkezésre állása, ll. háya, adott raktár kapactás, stb. A cél, hogy ezeket a feladatokat rövd átfutás dővel, alacsoy raktár készletekkel, agyfokú rugalmassággal, a legjobb mőségbe és a legolcsóbba oldjuk meg. [35][43] A gyártás maapság már legtöbbször rugalmas gyártóredszere folyk, melyek magukba foglalják a megmukáló, raktározó, ayagmozgató, mőségelleőrző és a gyártáshoz kapcsolódó segédfolyamatokat. Ezekbe a (FMS Flexble Maufacturg System redszerekbe a gyártóberedezések külöböző mukadaraboko külöböző megmukálás feladatokat tudak végrehajta aélkül, hogy a folyamatosság az átállás matt megszakada. Ezt agyfokú automatzálással lehet csak elér, de még fejlettebb redszert kapuk, ha a számítógépeket s bevojuk a termelés és logsztka folyamatokba. A számítógéppel tegrált gyártás és logsztka redszerek (CIM CIL az egyk legkorszerűbb megoldást foglalják magukba, ugyas tt egy redszerbe kapcsolódk össze az ellátás, a gyártás és az elosztás, és ebbe a komplex redszerbe együtt kezelk az ayagot és az formácót. A ProModel gyártás-szmulácós eszköz Gyártóredszerekél a sztochasztkus tulajdoságokkal s redelkező szmulácó lehetővé tesz, hogy a gyártás folyamatok dejét külöböző eloszlások alapjá modellezzük, és a véletle eseméyek (mt például robotok, gépek működésképteleé válása, sztrájk vagy egyéb előre em látható eseméy geerálása szté köye megvalósítható, melyek segítségével külöböző ütemezés és vezérlés feladatok oldhatók meg. A gyártóredszerek körébe a sokfajta termék egydejű gyártására legjobba elterjedtek az FMS redszerek, melyek olcsó és hatékoya tudak termel. Ebbe az alkalmazás körbe a szmulácós eszközök sorába többek között megtaláljuk az agol WITNESS és a hollad Taylor termékeket, lletve a továbbakba részletesebbe smertetésre kerülő ProModelt. A ProModel 50

52 (PROducto MODELer egy köye haszálható, személy számítógépe futtatható dszkrét szmulácós szoftver, amely redelkezk automatkus modellépítővel, saját yelv jegyekkel és beépített szabályokkal, alkalmas mdeféle típusú gyártóredszer modellezésére a ks gyárüzemektől kezdve a tömeggyártásra alkalmas rugalmas gyártóredszerekg []. A logsztka vzsgálódáshoz szükséges mobl elemeket, amelyek keresztül haladak a redszere, a szmulácós szakrodalomba így a ProModelbe s ettásokak evezzük. Az álladó elemek pedg lehetek erőforrások, melyeket az ettások lefoglalhatak és felszabadíthatak, állomások, ahol külöböző műveleteket végezek az ettásoko, vagy szállítók, amelyek mozgatják azokat. A modell felépítése ebbe a szmulácós programba a külöböző állomások (például gép, szállítószalag, raktár mukatáblá való elhelyezésével kezdődk, majd defál kell az ettások folyamát, azaz az állomások szekvecáját (routg, ahol meg kell ad, hogy a külöböző típusú elemek mlye állomásoko keresztül mozogak, és az egyes állomásoko mey dőt tölteek. A routgál haszálhatók olya specáls műveletek, amelyek segítségével erőforrás-lefoglalás és külöböző kötegelés feladatok oldhatók meg. Lehet bzoyos programutasításokat haszál, mt például változók, attrbútumok értékadása, feltételes elágazás, Pascal szubrutok hívása. Megadhatjuk azt s, hogy az ettások melyk állomáso, mlye sűrű, mekkora csoportokba érkezzeek a redszerbe. Egy logsztka redszer potos modelljéek felépítéséhez elegedhetetle a szállítók valósághű leírása. Eek tesz eleget a ProModel a szállítók sebességéek, fel- és lerakodás dejéek, dulás potjáak, gyorsulásáak és lassulásáak, kapactásáak defálásával. Megadhatók a szállítók által haszált hálózat potja a köztük levő távolságokkal. A váratla helyzetekre felkészülés jelet gazá logsztka khívást, mert a váratla eseméyek új, megoldatla problémákat geerálhatak. A ProModelbe defálhatók véletle eseméyek (mt például a logsztka redszer egyes elemeek meghbásodása, így megadható az állomások váratla meghbásodásaak jellemző (például MTBF: Mea Tme Betwee Falure, MTTR: Mea Tme To Repar, leállás típusa, gyakorsága, első előfordulásáak deje, tartalék erőforrások száma stb. Az így elkészült modellek külöböző módo futtathatók (például amácóval vagy aélkül. Kötegelt szmulácós módba egymás utá több forgatóköyv futtatható, egy forgatóköyvet pedg ugyaolya paraméterekkel többször s lefuttathatuk, ez az smétlés lehetőség bztosítja a véletle elemeket s tartalmazó modell külöböző kértékelés eredméyet. A. ábra a ProModel logsztka problémamegoldására mutat példát [3], hogya építhető fel egy gyártás-elosztás redszer szmulácós modellje, ahol az adatok strukturáls, operácós és szmulácós paraméterekből állak. Struktúrá a redszert alkotó statkus objektumok kapcsolat halmazát értjük. Operácós adatok közé tartozak az áruk k- és berakodás deje a raktárból, lletve a raktárba, a raktárak közt szállítás dő, ütemezés adatok (gyakorság, első előfordulás deje, csomagagyság stb., tehát a mukafolyamatokhoz tartozó paraméterek. A szmulácós paraméterek pedg azok az adatok, melyek a szmulácó damkus futását befolyásolják a feltételek rögzítésével, például mlye hossza törtéje a futtatás, mkor kezdje el gyűjte a futás sorá az eredméyeket stb. Futtatás utá megvaak mdazok a lehetőségek, amelyekről a korább fejezetekbe szó esett. 5

53 . ábra Elosztás redszer a ProModel szmulácós redszerbe 8.. Szmulácó Mesterséges Itellgecával (MI A mesterséges tellgeca [5][40] és a szmulácó kombálása [4] azokál a feladatokál jelet egy magasabb mőséget, ahol valamlye optmáls potot, deáls megoldást kell keres. A legjobb megoldás felé vezető út egy olya rekurzív, teratív folyamat, amely ember-gép kapcsolato alapul. A modell felépítését követőe elvégezzük a szmulácót, am a modell damkus működését, azaz az adott feltételek mellett vselkedését szolgáltatja. Ezt követőe az eredméyek kértékelése valamt a modelle (megváltoztathatjuk a modell paraméteret és/vagy a struktúráját és a vzsgálat feltételeke való módosítás következk, amek célja, hogy a követelméyekek jobba megfelelő megoldást kapjuk. Ezt addg folytatjuk, amíg a kívát célktűzést elérjük. Ez a folyamat mesterséges tellgeca alkalmazásával redkívül módo felgyorsítható és hatékoyabbá tehető oly módo, hogy a damkus működés kértékelését, a következtetések alapjá a szükséges változtatásokat tudásbázssal redelkező tellges objektumokra bízzuk. Ez a megközelítés újdoságak számít, de gyors megoldást bztosított már komplex problémák eseté, így vállalat flexbls gyártó és mőségelleőrzés ll. város közlekedés és köryezetvédelm feladatokál, ahol a mesterséges tellgecával redelkező objektumok, ú. ágesek [5][7] alkalmazása vezetett a megoldáshoz. Ezeke a területeke a agyboyolultságú modellekél felmerült problémák által géyelt módszer, lletve eljárás a következőképpe általáosítható: Első lépéskét meg kell határoz az egyes alkalmazás területek modellstruktúrát és vzsgáladó problémaköret az adott területek szakértővel együttműködve. A problémát smerő szakértők formácója alapjá fel kell építe egy kduló modellt, majd a statsztka 5

54 adatoko alapuló hstorkus adatsorokat felhaszálva szmulál kell a redszert reprezetáló kduló modell működését. A mesterséges tellgecával (tudásbázssal és következtetés eljárással redelkező ágesek folyamatosa motorozzák a redszer működés trajektóráját és összevetk a hstorkus adatokkal. Ameybe jeletős eltérést tapasztalak, úgy módosítják a modell struktúráját, paraméteret ll. a modell objektuma közt kölcsöhatás mechazmusokat (például gazdaság, műszak, szocológa, stb. téyezők lehetek kölcsöhatásba egymással egésze addg, amíg a múltra voatkozó adatsorokkal elfogadható mértékű egyezést em kapuk. Ezzel a redszer-rekostrukcós folyamattal a vzsgált redszert kelégítő potossággal vsszatükröző modellhez jutuk. Ez a fázs jelet azt a mukát, amely alapjá a redszer vzsgálatát a továbbakba végezhetjük. A redelkezésre álló elméletekből és törtéelm dősorokból megalkotott adekvát modellek felépítése utá már szmulácó segítségével megbízható előrejelzések kaphatók Optmalzálás szmulácóval gyártósorokál A szmulácós techka ott tud gazá segíte, ahol a vzsgált redszer olya agy és boyolult [3], hogy aaltkus megközelítése kvtelezhetetle számításokat eredméyeze. Ilye összetett redszer vzsgálata volt egy gyártóredszereket vzsgáló és új emzetköz kutatás eredméyek kkísérletező kutatás projekt feladata, ahol magas mőség követelméyekek megfelelő techológákat és folyamatokat kellett kdolgoz a gyártáshoz kapcsolódó területek széles skálájá (ütemezéstől kezdve az elleőrzés techológákg. A projekte belül a mőségelleőrzés stratégák optmalzálását s el kellett végez szmulácó segítségével műszak és gazdaság feltételek egydejű fgyelembe vételével [4]. A projekt keretébe egy kokrét középkategórájú par gyártó és összeszerelő vállalat gyártás folyamata képezte a szmulácós feladat tárgyát, ahol csőszerelvéyeket, armatúrákat és par elektrokát készíteek. A redszeraalízs utá a következő lépés a meglévő redszer szmulácós modelljéek felépítése volt valamt aak verfkálása és valdálása összevetve a valóságos redszerrel, am megalapozta a tovább szmulácós vzsgálatokat. A szgorú mőség követelméyekek eleget tevő gyártás összeszerelés folyamatok több gyárüzembe termelés eseté potos ütemezést géyelek. Az éles gazdaság verseybe redkívül fotos szempot, hogy ez lehetőleg elfogadható költségek mellett törtéjék. A külöböző lehetséges (logsztka, gazdaság, stb. stratégák kpróbálásáak ma az egyk leghatékoyabb útja a szmulácós vzsgálat. Eek költsége ugyas töredéke aak, mt amkor a vezetők külöböző ötleteket a valóságos redszere próbálják k, ráadásul a kpróbálás eredméye s hamarabb redelkezésre áll. ZS S6 B B DB DE Gatt Chart DS DS DEZ DW DW SF RF WB PN DN FS DIS 3. ábra Egy termék ayagáramlás folyamatáak Gatt-modellje 53

55 A mőségelleőrzés műszak-gazdaság optmalzálása a projektbe résztvevő cég egyk legjellemzőbb termékéek alapjá törtét, melyek Gatt dagrammját a 3. ábra mutatja [47]. Ez a folyamat került modellezésre számítógépes szmulácóval a CASSANDRA redszerrel [5]. A szmulácós vzsgálódásra kválasztott termék egy hőszabályzó volt, melyek a gyártás folyamata rövde a következő (4. ábra. Nyersayagokat vásárol a vállalat, amelyeket a gyárba szállítás utá hely raktárba, külö lerakodó helyeke tárolak. Nyersayagok közül a heger alakú vékoy rudakat (ZS: Zylderstft eldarabolják és két lye darabot hozzáerősíteek (DEZ: Düseesatz + Zylderstft egy hatszög alakú alaphoz (S6: Sechskat, amely a feldarabolás utá (DE Düseesatz már megfelelő agyságba áll redelkezésre. Két fajta lemezt (B, B: Bad összehegeszteek, két külöböző méretbe feldarabolják (DS, DS: DuoStahlPlatte Staze, majd utómukálatokak vetk alá (DW, DW: DuoStahlPlatte Walzrchte. Ezutá törték a fő összeszerelés folyamat (Regler Fertge az alkatrészekből, ahol az említetteke kívül szükség va még a következőkre: bztosító rugó (SF: Scherugsfeder, szeleptű (DN: Düseadel, vezető darab (FS: Führugsstück, távolságtartó (DIS: Dstazschebe. A végső mukafázsba hőkezelk a terméket (WB: Wärmebehadlug és csomagolják (PN: Packe. A közbeső folyamatok között meg kell olda a tárolást (S: Store, és bzoyos potoko mőségelleőrzést kell tarta (P: Prüfug. Itt a legkülöbözőbb mőségelleőrzés stratégákat lehetett szmulácóval kpróbál, de eze kívül más paraméterek s változtathatók. A raktárak (az ábrá S-el jelölt téglalapokkal voltak reprezetálva kapactása a szmulácó sorá szté változtatható, és a gyártás folyamá az ütemezés s módosítható. A szmulácó sorá tehát külöböző változatokat lehetett megvzsgál, hogy a szmulácós redszerbe alkalmazott áges segítségével meghatározzuk az optmáls megoldást. [46] 4. ábra Az MI-vel vezérelt szmulácós kísérletsorozatál optmum kereséséek pllaatképe 54

56 Szmulácóval a mőségelleőrző potok elhelyezését kellett megolda a projektbe, hsze ezek a gyártás folyamat mde egyes részfolyamata közé belleszthetők leéek, továbbá az egész termelés végére s el lehet egyet helyez. A túl sok elleőrzőpot megövel a gyártás költséget, mvel az alkatrészeket el kell oda juttat (még ha egy gyáregysége belül s törték ez a mozgatás, mdeképpe lefoglal valamlye erőforrást és eze kívül a vzsgálat s pézbe kerül. A közbeső vzsgálatok élkül gyártás szté drága, mert a sok hbás alkatrészt fölöslegese mukálják meg a mukagépek és az egész gyártás folyamat végé detektált hbás végtermékek kdobása övel a költséget. Az elleőrzés potok egy adott kombácója meghatároz egy logsztka stratégát, és ehhez a boyolult gyártás folyamathoz regeteg kombácó létezk. A felépített modellt a 4. ábra mutatta, amelye a mesterséges tellgecával vezérelt szmulácós kísérletsorozatál éppe az optmáls kofgurácó kereséséek pllaatképe látható. A legjobb megoldás kereséséél a mőségelleőrző potok elhelyezéséél az előzőekbe említett két szélsőséges eset külöböztethető meg: az egyk esetbe mde egyes részfolyamat között va közbeső elleőrzés pot az alkatrészek szúrópróbás vzsgálatával, a másk esetbe sehol scs mőségelleőrzés, csak a gyártósor legvégé. Megvzsgálva ezt a két esetet, a jó végtermékekre voatkoztatott relatív költség, ahogy az előző magyarázatba olvashattuk, mdkettőél magas. A mmáls költség a kettő között húzódk meg, amt a mesterséges tellgeca segítségével lehet megkeres oly módo, hogy a modell struktúráját megváltoztatva új elleőrzés potok kjelölésével és régek megszütetésével elleőrzés potok olya redszerét keressük, mely a ksebb költség felé mutat. A 4. Táblázat mutatja a szmulácóval kapott részletes eredméyeket összehasolítva a két szélsőséges esettel. Az értékeke jól látható, hogy a megtalált optmum mdkét alapesetél olcsóbb megoldást kíál. Az optmum elleőrzés költsége kcst magasabb ugya az elleőrzés élkül esetél, de a kdobott ayag és felhaszált erőforrások tektetébe oly mértékbe megelőz azt, hogy az összesített költsége ksebb lesz. A logsztka (mozgatás, szállítás, raktározás, redelés-feldolgozás és formácós költségek valamt a készlettartás költségek mdegyk esetbe ugyaakkorák voltak, így em szerepelek a táblázatba. A szmulácóval megtalált megoldásál tehát bzoyos részfázsok utá cs, másokál va mőségelleőrző pot, ezt az optmáls kofgurácót írja le az 5. Táblázat. 4. Táblázat A szmulácó eredméye és a két szélsőséges eset Átlagos költség egy Összes Elleőrzés Megtalált termékre elleőrzéssel élkül optmum Elleőrzés költség,663,30,53 Kdobott ayag 0,54,06 0,5 Erőforrás 3,3 3,6 3,5 Beépített ayag 8,009 8,009 8,009 Összes 4,057 3,983,96 5. Táblázat Mőségelleőrző potok az egyes műveletek utá az optmáls kofgurácóba B B DS DW DS DW DE DIS DN FS S6 SF ZS Ncs Va Ncs Ncs Va Ncs Ncs Va Va Va Ncs Va Va 55

57 A szmulácós modell felépítést követőe a mesterséges tellgecát alkalmazó optmalzálás a projektbe résztvevő émet vállalatál olya költségcsökkeést eredméyezett, am szgfkása jelezte a módszer eredméyességét. Az optmalzálást el lehet végez akár vegyes, akár változó termékstruktúrák esetébe s, és tovább előy, hogy a modellek felépítése köye bővíthető modellelem-köyvtár objektumaból törték, mely egyrészt tovább elemekkel bővíthető, másrészt tetszőleges redszerek építhetők össze belőlük. A feladatot tovább lehet még boyolíta a mőségelleőrzés potok optmáls térbel elhelyezkedéséek vzsgálatával, vagy egyéb optmalzálás feladattal, de már ebből s látszk a metodka haszálhatósága Közlekedés alkalmazás Közlekedés szmulácó alkalmazás példa keretébe egy olya Európa Uós projekt [48] kerül bemutatásra, mely arra vállalkozott, hogy emzetköz összefogással egy stadard, yílt, úthálózat- és forgalom-szmulácós keretredszert hozzo létre összekapcsolódás lehetőséget yújtva külöböző forgalom-szmulátorok, forgalom-ráyító redszerek és adatforrások között. Feladata egy város úthálózatá lévő forgalom szmulácója, aalízse és ehhez kapcsolódó dötéstámogató redszer megalkotása volt. A kutatás motvácója erőse felhaszáló közpotú, a megcélzott felhaszálók többek között ks- és agyváros forgalomtervező szakemberek, tömegközlekedés szakértők. A feladatot a közlekedés szmulátorokál egy olya fajta háy lletve rés hívta életre, amelyek a betöltésével leegyszerűsíthetők leéek a komplex feladatok megoldása. Egy lye új keretredszerre a meglevő közlekedés szmulácós eszközök mellett agy szükség volt, hogy a létező szmulátorok legjobb elemet tegrálja, valamt a forgalom szmulácójáak eredméyevel a beavatkozások és a vezérlés lehetőségéek bztosítása révé stratéga dötések támogatására képes legye. Például egy agyváros köryezetbe koflktushelyzetek, balesetek vaak, amelyek összefüggésbe hozhatóak a agy forgalommal, dugókkal, rosszul tervezett kereszteződéssel, ezek kezelése lletve egy mmáls sztre való szorítása lehet egy lye dötés célja. A keretredszer egy ytott platform lett, amely lehetővé tesz külöböző szmulácós redszerek, szmulácós segédeszközök, adatgyűjtő redszerek és forgalomráyító redszerek összekapcsolódását. A keretredszer alapjául egy általáos modell szolgált, amely a forgalom szmulácójáak mde részelemét (topológa, topográfa, köryezet téyezők, ember téyezők stb. magába foglalta. A keretredszerrel törtéő szmulácóál az egyes modulok működés közbe megkapják a bemeő adatakat, és szolgáltatják az eredméyeket, amelyeket más modulok s felhaszálhatak. Egy boyolult forgalom-szmulácós redszer, amely egzakt aalízst végez agyvárosok úthálózatá, redkívül agy számítás kapactást géyel. Ezért volt célszerű modulárs elemekből építkez, ahol az egyes modulok külö számítógépeke helyezkedhetek el. A modulárs felépítés tovább előye, hogy az egyes kompoesek megfelelő módo cserélhetőek, ameybe jól defált terfésze keresztül kíváak kommukál, így a redszer agy rugalmassággal s felvértezhető. A yílt keretredszer célja az volt, hogy a kerethez kapcsolt modulok tegrácójával komplexebb feladatokat lehesse megolda, és a végfelhaszálók kezébe egy köye kofgurálható hatékoy eszközt adjo közlekedés szmulácós területe. A keretredszer 3 fő részből tevődk össze: Keretredszer szerver, amely a külöböző modulok közt kommukácót bztosítja. 56

58 GUI (Graphcal User Iterface, amely a felhaszáló számára ad egy kezelő felületet. Itt állíthatja be a végfelhaszáló a szmulácóhoz szükséges opcókat, és a kofgurálás mellett tt lehet damkusa futtat a közlekedés modellt. Adatbázs, amely az útvoal hálózatot írja le a modulok számára közös, egységes termológával. Modulszerepek Az elkészült modulok továbbfejleszthetőek, lletve géy szert más keretredszerekbe s átültethetők, az egyes meghatározott feladattal redelkező modulok cserélhetőek, lehetővé válk ezáltal például az, hogy egy adott forgatóköyvet két külöböző szmulácós modul segítségével futtassuk és értékeljük. A keretredszerhez több típusú modul s csatlakoztatható, mde típus egy adott szerepet tölt be a teljes szmulácós redszer szempotjából. A modulszerepek között megtaláljuk a szmulátort, megjeleítőt, aalzátort, O/D mátrx számítót és köryezet-szmulátort. 7 stadard szerep lett defálva a modulok számára, amelyek alkalmazhatók a szmulácós köryezetbe és bármlye modul (amely e szerepek valamelykét betölt csatlakoztatható a yílt keretredszerhez, e stadard szerepek a következők: Szmulátor (Smulator: A redszer legfotosabb, közpot motorja, amely az úthálózatba levő járművek mozgásáak kszámításáért felelős. Forgalomvezérlő (Urba Traffc Cotrol - UTC: Egyrészt formácókat szolgáltat a vezérlőredszerről, másrészről tt oldható meg a forgalomvezérlés akár külöböző vezérlés stratégák alkalmazásával. Útvoal mátrx becslő (Org-Destato matrx Estmator - ODE: Egy teratív eljárás segítségével kszámítja az O/D mátrxot a hstorkus forgalm adatok alapjá. Forgalm adat szolgáltató (Traffc Data Provded: Valód hstorkus forgalm adatokat szolgáltat a szmulácós köryezet számára. Általába az UTC egységgel áll csak kapcsolatba, azaz rajta keresztül törték az adatok átadása. Megjeleítő (Vsualzer: A járművek megjeleítésével segít a végfelhaszálóak megérte, lletve koklúzókat levo a szmulácós modellel kapcsolatba. Aalzátor (Aalyser: Külöböző eljárásokat tartalmaz a szmulácós végeredméy kértékelésére és statsztka eredméyek elkészítésére (átlag, szórás, korrelácó, stb.. Köryezetszmulátor (Cosmulator: Szmulátor kegészítő eszköze a járművek által kbocsátott szeyezőayagok modellezésére és szeyezés értékek kszámítására. Ezekek a modulokak em szükséges egy számítógépe futuk, egy közös hálózato levő gépekre külö-külö telepíthetőek és futtathatók. Így a redszer sokkal agyobb teljesítméyre képes, hsze az egyes gépek kevésbé leszek leterheltek. A redszert kofgurálhatjuk úgy s, hogy egy-egy gépre -3 modult rakuk, de természetese a legagyobb sebesség övekedés abba az esetbe érhető el, ha mde modul külö számítógépre kerül. A következő ábrá (lásd 5. ábra a megjeleítő modul által mutatott város úthálózat modellje (útvoalhálózat egy részlete útkereszteződésekkel, utakkal kerül bemutatásra 3 dmezós ábrázolással. 57

59 5. ábra Közlekedés redszer szmulácója Szmulácó dítása és aalzálás lehetőségek A szmulácó dítása előtt a felhaszálóak meg kell még határoz a szmulácós keretfeltételeket, azaz be kell állíta a szmuláladó dőtervallumot (az dőszak elejét és végét, a szmulátor dőkremesét (ugyas dszkrét szmulácós redszerről lévé szó: az dőt adott egységgel lehet csak övel, a szmulátor kezdet beállításához szükséges lépések számát. A szmulácó végé agyo fotos feladat az eredméyek kértékelése és aalzálása. Az aalzátor modul végz a szmulácós keretredszer segítségével fellelhető adatok összegyűjtését, az formácók kértékelését és továbbítását a megjeleítést végző modulhoz, valamt statsztka aalízst, korrelácószámítást, szeztvtás aalízst, köryezetszeyezés számításokat s képes elvégez. Tovább feladata a szmulátor futásdejű ráyítása, az egész keretredszerbe felépített modellhez szükséges szmulácós lépések számáak vagy az dőtartamáak a meghatározása. Az tt bemutatott keretredszer gyakorlat alkalmazására két európa városba került sor: Alcate és Machester. 58