Alkalmazott matematika

Átírás

1 Allmzott mtemti (Szméröi előás vázlt) Sztmár Zoltá

2 Trtlomjegzé Hlmzo 3 A htárérté foglm és tuljosági 5 3 Függvée htárértée és foltoosság 4 Függvée iffereciálás5 5 Függvée itegrálás 6 Itegrálási mószere8 7 Többszörös itegrál 33 8 Lplce-trszformáció 39 9 Függvésoro 4 Homogé lieáris függvée fjtái45 Mátrio 47 A omple függvét elemei7 3 Közöséges elsőreű iffereciálegelete 85 4 Közöséges másoreű lieáris iffereciálegelete9 5 Álló egütthtós lieáris iffereciálegelete 6 6 Vetor-slár függvée (térgörbé) 9 7 Slár-vetor függvée 8 Vetor-vetor függvée3 9 Itegráltétele6 Lieáris operátoro és fucioálo 36 Itegrálegelete 48 Lieáris másoreű prciális iffereciálegelete58 3 Fizii felt mtemtiilg orret itűzése67 4 Mátrio ivertálás7 5 Vlós elemű mátri sjátértéei 89 6 Iterpoláció5 7 Numerius itegrálás5 8 Közöséges iffereciálegelete umerius meolás 3

3 Hlmzo Hlmz: jól efiiált eleme összessége Jelölés: A zt jeleti hog eleme z A hlmz Művelete hlmzol: Uió: A B h A VAGY B Metszet: A B h A ÉS B Külöbség: A\B h A ÉS B Komplemeter: A Ω \ A hol Ω teljes hlmz Üres hlmz: ics elem A műveletere érvées ommuttív sszocitív és isztributív tuljoság: ommuttív: A B B A A B B A sszocitív: (A B) C A (B C) A B C (A B) C A (B C) A B C isztributív A (B C) A B A C Eze felül mi z uió mi metszet iempotes művelet: A A A és A A A Számhlmz: mie eleme szám Fotos tuljoságo: Felülről orlátos számhlmz: A felülről orlátos h létezi ol M szám hog mie A elemre M Alulról orlátos számhlmz: A lulról orlátos h létezi ol m szám hog mie A elemre m Felső htár: legisebb felső orlát Jele: sup A M sup A h mie A elemre M e tetszőleges pozitív ε-r tlálhtó ol A elem melre M ε Alsó htár: leggobb lsó orlát Jele: if A m if A h mie A elemre m e tetszőleges pozitív ε-r tlálhtó ol A elem melre m ε Korlátos számhlmz: mi lulról mi felülről orlátos hlmz Speciális számhlmzo: N természetes számo hlmz ( N) Z egész számo hlmz Q rcioális számo hlmz R vlós számo hlmz A vlós számo efiíciój em triviális Vlós szám: végtele tizees törttel felírhtó szám Pélául lege A övetező rcioális számo hlmz: 3

4 A {3; 3; 34; 34; 345; 3459; 3459; 34596; ; } Miegiél gobb π vlós szám e tizeesjege szporításávl tetszőleges potossággl megözelíthető Íg π z A hlmz felső htár Megjegzés: végtele tizees törte felső htár or és cs or rcioális h tizees tört szszos Q mieütt sűrű R-be: tetszőleges vlós szám mie ε > sugrú örezetébe tlálhtó rcioális szám Számosság: Az eleme szám lehet véges vg végtele Két hlmz számosság zoos h elemei ölcsööse egértelműe egmáshoz reelhető Megszámlálhtó hlmz: számosság megegezi N számosságávl Ilee: Z és Q Kotiuum számosságú hlmz: számosság megegezi R számosságávl Pothlmzo Itervllum: I ( b) zo poto hlmz számegeese melee megfelelő számor feáll hog < < b Jelölés: I {: < < b} Hlmzo iret szorzt: ( ) X Y h X és Y Tégllp síb: I ( b) és I (c ) itervllumo iret szorzt Bármel itervllum zoos számosságú: bármel más itervllumml z egész számegeessel tetszőleges tégllppl vlós számol stb Pothlmz belső potj: A belső pot h tlálhtó ol pozitív ε hog pot ε sugrú örezete része A- Pothlmz ülső potj: A ülső pot h tlálhtó ol pozitív ε hog pot ε sugrú örezete em része A- Pothlmz htárpotj: htárpot h bármel pozitív ε sugrú örezetébe tlálhtó A-hoz trtozó és A-hoz em trtozó poto Nílt hlmz: cs belső potji v Zárt hlmz: trtlmz mie belső potot és htárpotot Nílt itervllum: ( b) {: < < b} Zárt itervllum: [ b] {: b} Félig ílt itervllum: [ b) {: < b} vg ( b] {: < b} 4

5 A htárérté foglm és tuljosági Számsorozt: vlós számo megszámlálhtó végtele hlmz Torlóási pot: ol pot (szám) mele tetszőlegese is örezetébe lehet hlmzból elemet tláli Pélául lege A : ( ) 3 K mele ét torlóási potj v: b és b Vlób lege ε > tetszőlegese is szám Eor Hsoló: b < ε h > és páros szám ε b < ε h > és pártl szám ε Bolzo-Weierstrss tétele: végtele so elemet trtlmzó orlátos számhlmz miig v leglább eg torlóási potj Hog elehet ezt beláti? Két lépésbe: Kiválszthtó eg mooto részsorozt -ből iulv eresü z előzőél gobb elemet H ezt végteleszer tuju ismételi tláltu eg mooto övevő részsoroztot H véges számú lépés utá már em tlálu gobbt or megtláltu leggobb elemet Ie iiulv egre isebbeet válsztu Ez már em szht meg mert or z zt jeleteé hog z eleme szám véges Biztos tlálu tehát eg mooto csöeő részsoroztot Eg mooto övevő orlátos sorozt v felső htár mel egbe torlóási pot is Hsoló oosohtu mooto csöeő részsorozt esetébe Sorozt htárértée: z ( ) soroztot overgese evezzü h létezi ol véges vlós szám hog tetszőleges pozitív ε-hoz tlálhtó eg ie melre < ε h > Az számot sorozt htárértéée (limeszée) evezzü és íg jelöljü: lim vg h A hlmzelmélet elvé: z X { } hlmz torlóási potj A htárérté efiíciójából egszerűe övetezi hog eg overges sorozt orlátos hlmzt lot Eg sorozt étféleéppe lehet iverges: vg több torlóási potj v vg em orlátos Az utóbbi esetet övetezőéppe jelöljü: lim illetve lim 5

6 mi övetezőt jeleti: tetszőleges M számhoz lehet tláli eg ieet melél gobb -re > M illetve < M Pélá: lim ; ε lim q h q < log ε ; logq 3 M lim q h q > log ; log q 4 lim h > ; 5 lim e 788K A 4 és 5 péláb meghtározás boolultbb Kovergeciájut ésőbb bebizoítju A sorozto overgeciájár votozó tétele V sorozto melere overgeciát és htárértéet em egszerű z ereeti efiíció szerit meghtározi Ezért hszos overgeciritériumo Te- 6 itsü pélául z reurziós éplettel és z ezőértéel ott soroztot Mielőtt overgeciritériumot llmzá célszerű soroztról miél többet ierítei H tuju hog overges htárértée ielégíti z 6 egeletet mele ét megolás v: 8 és Először belátju hog sorozt mie tgj 5-él isebb vgis sorozt felülről orlátos H v ol melre < 5 mi feáll -re övetező tg is isebb él: < < 5 tehát teljes iucióvl mie tg isebb mit állítottu Ezutá teljes iucióvl belátju hog sorozt mooto övevő 7 -re feáll hog > Ezutá feltesszü hog vlmile -re 6 6 Ile z ie Eor vgis sorozt vlób mooto övevő A fet említett overgeciritériumo élül eél többet em mohtu soroztról 5 A legevezetesebb ritérium Cuch-féle overgeciritérium: z sorozt or és cs or overges h tetszőleges pozitív ε-hoz tlálhtó ol ie hog 6

7 < ε h > és m > m További ritériumo: ) H eg sorozt mooto övevő vgis m h m és felülről orlátos or sorozt overges htárértée peig felső htár Ez egszerűe övetezi Bolzo-Weierstrss-tételből b) H eg sorozt mooto csöeő vgis m h m és lulról orlátos or sorozt overges htárértée peig z lsó htár Ez is egszerűe övetezi Bolzo-Weierstrss-tételből c) Reőrelv: h mie -re b c továbbá b és c or Az imét vizsgált sorozt esetébe z ) ritériumot llmzhtju: mivel sorozt mooto övevő és felülről orlátos overges is htárértéel Az 8 érté szób sem jö hisze fetie szerit sorozt egi tgj sem mehet 5 fölé A további tétele éreébe lege lim ) lim b b e) lim b b f) lim b g) lim h b és b b h) lim( b ) h b orlátos és lim és lim b b Eor feáll: Nem értelmezhető eze tétele áltláb h övetező jöée i: ± ± ± Természetese orét esetebe eze is ezelhető Pél lú htárértére: 5 b viszot b H 5 és b or b 3 H 5 és b 3 or b 3 Tehát lú htárértée bármi lehete 7

8 Pél ± ± lú htárértére: 3 3 b ( ) A feti 4 és 5 pélát imoott tétele és ritériumo lpjá már beláthtju: A 4 Elég z > esetet teitei Eor z u mooto csöe és lsó orlátj tehát sorozt overges Mivel mie részsoroztá ugz htárértée elég eg llms részsoroztot teitei Lege t b részsoroztr feáll hog továbbá < b < b t Mivel t < t b b vgis htárértée ielégíti b b egeletet mele ét megolás v: b és b Az előbbi em jö szób hisze -él isebb tehát eresett htárérté vlób A 5 Először belátju hog z sorozt mooto övevő K (*)! A övetező elem K! Az utolsó szumm mie tgj gobb mit esetébe tehát > Ezutá belátju hog sorozt felülről orlátos A (*) egelet szummájáb elhgju z -él isebb téezőet: < < 3 < 3! ( ) A sorozt tehát overges és htárértée em lehet gobb 3-ál Sor: eg sorozt összegét sor evezzü: S H sorozt végtele értelmes felveti overges-e sor: eg sor overges h z S részletösszegeből álló sorozt overges A soro overgeciájár érvéese feti ) h) tétele A Cuch-féle overgeciritériumból övetezi hog sor or és cs or overges h m mior m és 8

9 Ebből övetezi hog sor overgeciájá szüséges feltétele hog sor tgji zérushoz trts H sor htárértée or ezt íg jelöljü: H cs zt rju ifejezi hog sor htárértée véges zt írju: < vg < Nevezetes soro: e! (vö feti 5 pél bizoítás) overges h α > iverges h α α π 6 h q q q lim q lim h < q q q q esetébe sor igozi és em overges Az utóbbi sor llmzásét megmuttju hog eg itervllum potji em számlálhtó meg Elég eg egségi hosszúságú itervllumot teitei Tegü fel hog megszámlálhtó és z -eiet fejü le eg hosszúságú itervllumml Egüttes hosszu -él gobb ellee leie h poto megszámlálhtó leée e 4 < Abszolút overgeci: sort bszolút overgese evezzü h z S sorozt overges Ezt gr övetezőéppe jelöljü: < H eg sor bszolút overges or ilvá overges is Ee zob em igz megforítás: v ol overges sor mel em bszolút overges Az ile sort feltételese overgese evezzü Pélául: ( ) l 69347K A sor overgeciáj beláthtó: 9

10 < < m m m m m m m m Ugor mior Az utóbbi belátás: > > Abszolút overges sorob tgo sorrejét tetszőlegese meg lehet változtti élül hog htárérté megváltoz Feltételese overges soro esetébe zob sorre megváltozttás áltláb htárérté megváltozásához vezet sőt: llms átreezéssel tetszőleges htárértéet elő lehet állíti

11 3 Függvée htárértée és foltoosság Függvé: eg hlmz eg másir vló egértelmű leépezése H X or f() megj z Y hlmz zt z Y elemét melet -hez reelü Függvéeel pcsoltos ismert foglm: értelmezési trtomá (X) értéészlet (Y) grfio mooto szigorú mooto függvée páros pártl függvée perioius függvée iverz függvé összetett függvé stb Megjegzés z iverz függvéel pcsoltb: cs szigorú mooto (övevő vg csöeő) függvée értelmezhető z iverz függvée H eg függvé em ile teljes értelmezési trtomáb or zt le ell szűítei eg ol részre hol szigorú mooto Pélául si függvé perioius és tetszőleges [ ]-hez végtele so ol tlálhtó melre si Ezért z rcsi függvé efiíciójor si függvé értelmezési trtomáát leszűítjü [ π/ π/] itervllumr melbe si szigorú mooto övevő Ez lesz z rcsi függvé értéészlete értelmezési trtomá peig [ ] itervllum (vgis si függvé értéészlete) Ehelett természetese válszthttu vol eg mási itervllumot is pélául [π/ 3π/] itervllumot Függvée htárértée: or moju hog lim f b ε-hoz tlálhtó ol δ hog ε f b < mior < δ h tetszőleges pozitív Mási efiíció: Válsszu i eg -hoz overgáló soroztot Aor moju hog lim f b h z f( ) sorozt b-hez trt mie sorozt esetébe A függvée htárértéére érvéese fejezet ) h) tételei Blolli htárérté: Válsszu ol soroztot melebe mie -re H z f( ) sorozt létezi htárértée mie ile sorozt esetébe lim f or ezt blolli htárértée evezzü és íg jelöljü: Jobbolli htárérté: Alóg blolli htárértéel e most mie -re lim f Jelölése: A függvée or és cs or v htárértée h mi bl- mi jobbolli htárérté létezi és lim f lim f lim f Foltoos függvé: or moju hog függvé foltoos z hele h ott létezi htárértée és z megegezi helettesítési értéel:

12 lim f f ( ) Blról foltoos függvé: or moju hog eg függvé blról foltoos z hele h ott létezi blolli htárértée és z megegezi helettesítési értéel: f f ( ) lim Jobbról foltoos függvé: Alóg blról foltoos függvéel e most lim f f Eg foltoos függvé természetese mi blról mi jobbról foltoos Bolzo tétele: H f() foltoos z [ b] zárt itervllumb továbbá f() és f(b) ülöböző előjelűe létezi ol ξ belső pot melre f(ξ) Ez öe áltláosíthtó: eg foltoos függvé tetszőleges f() és f(b) özé eső értéet felvesz z itervllum belsejébe P Q O si A B Bizoíthtó: legtöbb ismert függvé foltoos: poliomo si cos tg epoeciális függvé eze iverzei stb Péléppe megmuttju ezt éhá függvé esetébe A htváfüggvé fejezet e) tétele mitt foltoos A ξ függvé foltoosság: lege ξ ; < ξ < ; reőrelvből övetezi hog tg ξ A si függvé foltoossá- g z hele: > eseté < si < (lás feti ábr); reőrelv lpjá lim si Tehát jobbról foltoos Negtív -re függvé párt- l volt mitt ói blról vló foltoosság és ettőből egütt foltoosság cos foltoosság z hele: cos si ; égzetgö foltoosság mitt lim cos A si függvé foltoosság tet- ξ ξ ξ mior ξ szőleges hele: si( ) si cos cos si si

13 Néhá evezetes htárérté: lim si A feti ábrá láthtó háromszöge területe: OPB: si és OQB: tg örci területe peig / Leolvshtó hog si tg si < < < cos -vel szorozv és reciproot véve: cos < < si si mit si-szel beszorozv: si cos < < A reőrelv lpjá övetezi z állítás A si/ függvé em értelmezhető - r -vl vló osztás mitt Foltoossá tehető h -r -e vesszü 3 lim si cos lim lim 4 lim e lim si si lim 5 lim e Ez övetezi 4 tételből és htváfüggvé foltoosságából: e 6 lim Bizoítás: e lim hol e ; 3

14 ( )( ) 6 Elég z < trtomát teitei Eor öe beláthtó hog ( )( ) 6 3 K K < K < Tetszőleges ε-r lehet ol δ-t tláli hog < ε ε < < Ile -re írhtju hog ε lege mior < δ A reőrelv lpjá eseté zt e pju hog ε < < ε mior < δ Ezt ellett beláti Ezt bizoítást zért részleteztü mert jól illusztrálj z egeletes overgeci foglmát: () overgeciájához ott -re és ε-r ol δ-t tutu tláli mel függetle -től 4

15 4 Függvée iffereciálás Függvé iffereciálháos (eriváltj): függvégörbe éritőjée mereesége Éritő: szelő htárhelzete f f lim h ( ) f h f h H ez htárérté létezi zt moju hog függvé z hele iffereciálhtó Eg függvé cs ott lehet iffereciálhtó hol foltoos is Nem igz zob ee megforítás: hol függvée törése v ott még foltoos e em iffereciálhtó A iffereciálhtóság tehát erősebb feltétel mit foltoosság Deriválási szbálo ) cf c f (c álló) [ ] f g f g (árhá tgr áltláosíthtó) [ ] f g f g g f f f g f g g g b) c) ) e) [ ] [ ] ( ) f g f g g (lácszbál) f) Iverz függvé eriválás: f ( ) Péléppe belátju c) ) és f) tételeet: f f f ( ) ( h) g( h) f g f ( h) g( h) f ( h) g f ( h) g f g h [ g( h) g ] [ f ( h) f ] h h f g f g f g h h g ( h) g g h g ( h) g H ezt c) tétellel ombiálju megpju )-t g( h) g h [ g ] 5

16 f) tétel: Kiiulu z f ( f ) f ( ) f eriválju szerit és llmzzu lácszbált: f f miből f ( ) f Közvetle illusztráció: z f függvé iverze f zoosságból Miét ollt f f ( ) Deriváltj Az iverz függvé eriválási szbál szerit A eriváltt özvetleül is i lehet számíti: h h h h ( h ) h Néhá gr előforuló függvé eriváltj: Htváfüggvé: f ( pozitív egész) ( h) O h h h h O h Ez áltláosíthtó tetszőleges em-egtív vlós -re Negtív -re ) tételt llmzzu: tehát eriválási éplet bármile egész -re igz Itt em részletezzü e bizoíthtó hog lehet tetszőleges vlós szám Epoeciális függvé: f e h h e e e Trigoometrius függvée: h e illetve f e h e l e l l l pozitív vlós -r: ( h) si si si cos h cos si h si h h Hsoló beláthtó: cos si tg cos cos h si h si cos cos h h stb 6

17 Trigoometrius függvée iverze (rcus): rcsi si rcsi cos rcsi ± si rcsi ± A gö előtti előjel ttól függ hog jelöltü i z rcsi értéészletét A feti efiíció szerit z előjel: De lee h pélául [π/ 3π/] itervllumb eső szszból iultu vol i hisze itt si függvé mooto csöe A feti eriválási szbálo szerit tetszőleges litius formáb felírt függvé eriváltját i lehet litius formáb fejezi 4 táblázt Néhá függvé eriváltj Függvé Derivált Megjegzés e e ± e ± ± e l l si cos cos si tg cos tg rcsi ± rccos ± rctg ( ) sh ch sh ( e e ) ch sh ch ( e e ) th ch th sh ch rsh rch rth ( ) ( ) ( ) ( b) ( b ) l rctg [ ] Függvée htárértéée meghtározásor gr hszos L Hospitl szbál: Lege f ± és g ± mior és iffereciálhtó or 7

18 f f lim lim g g Ugez szbál érvées mior f és g mior Pélául: cos lim si lim si lim cos lim Többszörös erivált H eg függvé eg [ b] zárt itervllum belső potjib eriválhtó or z f ( ) eriváltt szité teithetjü függvéée H z íg efiiált függvé is eriválhtó or beszélhetü ee eriváltjáról is mel z f() függvé f másoi eriváltj: f ( ) vg Hsoló efiiálhtó hrmi egei stb erivált is Prciális erivált Többváltozós függvét lehet úg eriváli z egi változó szerit hog többit változtlul hgju Pélául étváltozós függvé esetébe: ( ) f ( h ) f ( ) f lim h h ( ) f ( h) f ( ) f lim h h Alóg móo efiiálhtó többszörös prciális erivált is Fotos tétel hog ereszterivált esetébe eriváláso sorreje felcserélhető: ( ) f ( ) f Pélául si cos si si Függvée lízise ( cos ) cos si ( cos ) cos si si cos Szigorú mooto övevő (csöeő) függvéere f > ( f < ) Eg függvé lehet szszoét mooto övevő illetve csöeő Ol -r hol f három eset lehetséges: () mimum v h f < örezeté- 8

19 be; () miimum v h f > örezetébe; (3) ifleió v h f előjelet vált z potb 9

20 5 Függvée itegrálás Lege f() foltoos z [ b] itervllumb Keressü függvé grfioj ltti területet Az [ b] itervllumot felosztju részitervllumor z < < < 3 < b osztópotol Az ábrá láthtó móo mie itervllum fölé emelü eg tégllpot mele f(ξ i ) mgsság z itervllumb felvett leggobb és legisebb érté özé esi: m i ( i ) M i f ξ h i ξi i i K f() Az b 5 ábr Görbe ltti terület özelítése tégláösszeggel F f ξ i i i i i i i K összege eresett terület özelítései Becsülhetjü lulról és felülről: t m i i i és T M i i i melere ilvá feáll hog t F T H felosztást úg fiomítju hog z eigi itervllumot osztju tovább or t t sorozt ilvá mooto öveszi T T sorozt peig mooto csöe Feáll továbbá hog t t sorozt bármel tgjá felső orlátj T T sorozt bármel tgj Hsoló T T sorozt bármel tgjá lsó orlátj t t sorozt bármel tgj Ezee tehát v felső illetve lsó htáru: t t T T mie -re Megmuttju hog t T Képezzü

21 D T t ( M i mi ) i i ülöbséget Mivel függvé foltoos δ-t meg tuju úg válszti hog mie i-re Eor M D i m i ε < h i < δ b ε ε < i b b i i i ε b ( b ) ε H tehát felosztást mie htáro túl fiomítju vgis z itervllumo i hosszá mimum -hoz trt mior D sorozt htárértée zérus Ebből övetezi hog t és T sorozto htárértée ugz A reőrelv mitt ez z F sorozt htárértée is Ileor zt moju hog függvé itegrálhtó z [ b] itervllumb A özös lim m i F F t T htárérté megj függvé grfioj ltti területet Ezt evezzü függvé itegráljá z [ b] itervllumb: b F f Ez Riem-itegrál efiíciój Eig z egmást övető felosztáso z előbbie továbbosztását jeletetté Be lehet láti hog feti htárértée felosztáso tetszőlegese fiomoó soroztár is léteze Az elmoott szerit tehát eg foltoos függvé miig itegrálhtó Mi v h z f() függvée z [ b] itervllum belsejébe vlhol szás v? Lege szás hele c ( < c < b) A felosztás ezt trtlmzó részitervllumá z ieét j-vel jelöljü A szás mitt v ol C szám hog M m > M j m j C > ármeire fiomítju felosztást Mivel eg foltoos függvé miig orlátos ile eg ét foltoos szszból álló függvé is M és m vlmile felső illetve lsó orlát teljes [ b] itervllumr votozó δ értéét most övetezőéppe válsztju meg: ε D ( M m ) < és ( m) i i j i i i ε M j < h m i < δ i Ezt úg ell értei hog függvé pozitív része ltti terület pozitív előjellel egtív rész feletti terület peig egtív előjellel ói H z [ b] itervllumb v mi pozitív mi egtív szszo z itegrál z előjeles területe összege

22 Ebbe z esetbe D < ε vgis függvé itegrálhtó Ezt öe áltláosíthtju: h eg függvée z [ b] itervllumb véges számú szás v függvé ott itegrálhtó Lás még z lábbi h) tételt Az itegrálr votozó tétele: efiícióból öe levezethető övetező tétele: b ) b b cf c f c tetszőleges álló b) ± ± b [ ] b f g f g c) f M( b ) h illetve b f m( b ) h b b f M b f m b ) f g h b b e) b f f f) f f f c b b c f g b h < c < b Vegü észre hog z e) tétel c -re iói z ) tételből Nehezebbe bizoíthtó tétele: g) Itegrál-özépérté tétele: h z f() függvé foltoos z [ b] itervllumb or tlálhtó eg ol ξ [ b] melre b f f ξ b h) Itegrálhtóság elégséges feltétele: z f() függvé itegrálhtó z [ b] itervllumb h ott cs megszámlálhtó so szási potj v i) Az f() függvé itegrálj em változi h értéét megszámlálhtó so potb megváltozttju j) H z f() függvé itegrálhtó z [ b] itervllumb or ott orlátos is Éremes megjegezi hog ee em igz megforítás: eg orlátos függvé em feltétleül itegrálhtó is Az itegrálhtóság szüséges és elégséges feltételét Lebesgues t meg mértéelmélet lpjá Ee ár már imoás is meghlj ee z előás ereteit

23 Htároztl itegrál Lege z f() függvé itegrálhtó z [ b] itervllumb Eor mie [ b]-r értelmezhetjü függvé htároztl itegrálját: F f t t A htároztl itegrál tuljosági: ) Newto-Leibiz éplet: [ F ] F( ) F( c) c < b f c c ) F() foltoos mie [ b]-r 3) F() eriválhtó mie ol [ b]-r hol f() foltoos és F f Ebbe ez értelembe F()-et f() primitív függvéée evezzü: ol függvé mele eriváltj megj f()-et 3 A 3) tétel z itegrál lsó htárától függetleül érvées tehát primitív függvé cs eg tetszőleges álló erejéig v meghtározv Ezért el szotu hgi z itegrálási htárot és primitív függvét z F f C lb írju fel hol C tetszőleges vlós szám Eg foltoos függvé itegrálás tehát primitív függvé megeresését igéli Erre votozó hszálhtó 4 táblázt: másoi oszlopb levő függvée primitív függvée z első oszlopb tlálhtó Pélául tg C cos A iffereciálássl elletétbe primitív függvé megeresése g gorltot igélő felt és gr előforul hog em sierül primitív függvét elemi függvéeből felépített zárt lb előállíti Néhá egszerű mószert 6 fejezetbe ismertetü Improprius itegrálo Gr forul elő ét eset melere z itegrálás feti efiíciój em llmzhtó: () z itegrálási htáro em végese illetve () z itegráló függvé em orlátos z [ b] itervllumb 4 () eset: Tegü fel hog z 3 Itt primitív szó értelme: ereeti Nics öze özelvi ezetleges jeletéshez 4 Emléeztetü feti j) tételre mel szerit eg em-orlátos függvé em lehet itegrálhtó 3

24 b F b f itegrál létezi b mie véges értéére Eor ereshetjü F(b) htárértéét b mellett H ez létezi or segítségével értelmezhetjü övetező improprius ( em vlói) itegrált: Hsoló z b f lim f b b lim f f b improprius itegrál efiíciój Pélául: e b mert e e mior b b () eset: Tegü fel hog f() mior b H b örezetébe más szás ics or függvé itegrálhtó z [ b ε] itervllumb bármile icsi pozitív ε-r H ε mellett létezi z bε ( ε) F b f itegrál htárértée or segítségével efiiálhtju z b lim F b f f ε bε improprius itegrált Hsoló efiiálju z lsó htár szeriti improprius itegrált Pél: [ ] lim lim lim ε ε ε ε ε ε Fotos leset mior függvé z [ b] itervllum belsejébe em orlátos Lege ez pot c ( < c < b) Ileor épezzü z cε ( ε ε ) F f f b c ε itegrált Aor moju hog z improprius itegrál létezi h ee létezi htárértée mior ε és ε egmástól függetleül Pél: I ε [ ] ε lim lim ε ε ε ε 4

25 [ ] ( ε ) ( ε ) lim lim lim 4 ε ε ε ε Improprius itegrál főértée: v esete mior feti htárérté em létezi Pélául ε [ ] [ ( )] ε ε l l l ε ε ε Amior ε és ε egmástól függetleül or ee htárértée bármile véges szám lehet e trtht ár ± -hez is Pélául ε cε mellett htárérté lc mi c értéétől függőe tetszőleges (véges) értére beállíthtó Ile esetebe előforulht hog htárérté létezi h orlátozzu zt móot hog ε és ε Aor beszélü z itegrál főértééről mior feti itegrál ε ε mellett v htárértée Esetübe ez l A főértéet P betűvel jelöljü 5 íg P Az improprius itegrálo hszálhtó bizoos soro özelítésére Pélét teitsü fejezetbe említett sort melről bizoítás élül állítottu hog α overges α > eseté Ee lpjá: mellett feáll hog α α α ( ) α α α α α α α eseté ee htárértée mior α > Íg tehát α α < α α α vgis sor overges mit állítottu 5 A P betű lti ereetű pricipl szór utl jeletése fő legfotosbb 5

26 Prméteres itegrálo H z itegráló függvé függ eg p prmétertől or függvé htározott itegrálj is függ p-től: Pélául b ( p) f ( p) Φ Φ ( ω) π π ( ω π ) ω ω cos cos s i ω ω Gr v szüség övetező tételre: Φ p b ( p) f ( p) p h eze erivált és itegrálo léteze Az előbbi péláb egrészt ( ω) π si( ω π ) cos( ω π ) Φ ω ω ω Másrészt π siω ω π siω cosω cosω ω ω π π si ( ω π ) cos( ω π ) ω ω Ezt tételt át lehet vii improprius itegrálor is Eor zob szigorúbb tétel érvéességée feltételei: z b ( p) f p itegrál egeletese ell overgáli Ee értelmét b esetbe foglmzzu meg Defiíció szerit I b ( p) f ( p) f p lim b p mi zt jeleti hog tetszőleges ε > -hoz lehet tláli olm b -t hog b ( p) f I < ε mior b > b p Aor moju hog overgeci egeletes h b függetle p-től Pél: overgeci egeletes z siω itegrál esetébe Eor ugis I e I e siω Mivel sziusz bszolút értée -él em lehet gobb fe- 6

27 7 áll hog < < e si e I ω Mivel z utóbbi itegrál overgeciáj em függ ω-tól I overgeciáj egeletes Gori speciális eset hog z itegrál felső vg lsó htár (vg miettő) függ prmétertől Erre pél övetező: p p p 3 e Φ Itt már em érvées eriváltr votozó feti éplet Az p 3 α és p β jelöléseel heles eriválás éreébe bevezetjü övetező étváltozós függvét: α β β α ϕ e Eor ilvá 3 p p p ϕ Φ mele p szeriti eriválás lácszbál segítségével törtéhet: p p p p p p p p p e 3 e 3 α β β β β β α ϕ α α β α ϕ Φ p p p p 3 3 e 3e 3 Az első tg z itegrál felső htár szeriti eriválásból másoi tg peig z itegrus eriválásából ói Az utóbbit úg ell számoli mith felső htár em is függe p-től

28 6 Itegrálási mószere A primitív függvé meghtározásához többéves tpsztltr v szüség V zob éhá mószer melet éremes elsjátíti: prciális itegrálás itegrálás helettesítéssel speciális lú függvée melere ismert recepte léteze Prciális itegrálás Tegü fel hog z itegráló f() függvé felbothtó ét ol függvé szorztár mele özül z egie ismerjü primitív függvéét: Mivel f u v u v [ ] u v u v z itegrál íg írhtó: b f b b [ u ] u v [ u v ] u v v Gr előforul hog z utóbbi itegrál itegrusá ismerjü primitív függvéét Ezt mószert evezzü prciális itegrálás Htároztl itegrál esetébe: Pél: f mivel u v u v u v f u e Lege e és v Eor u e e e e e Htározott itegrál: b e e e e e Mási pél: Lege p > Eor F ω p p p p p p e siω e siω e cosω ω p ω e cosω e p p p siω ω ω p p F( p) 8

29 ω F p ω miből ifejezhetjü F( p) -t: ( p) Gr előös felhszáli prméteres itegrálo eriváltjir votozó épletet Pélául lege cosω -p I( ω p) e ω > p > Deriválju ezt ω szerit: I cosω -p -p ω e siω e ω ω p ω Ezt itegrálju ω szerit: ( p ω ) C ω I ω l p ω C értéée meghtározásához figelembe vesszü hog I ( ω p) C l p I ω p p ω l p vgis Itegrálás helettesítéssel ω Ebből Tegü fel hog z itegráló f() függvé felbothtó eg összetett függvé és z rgumetumb szereplő függvé eriváltjá szorztár: f g u u H g(u) függvée ismerjü G(u) primitív függvéét or z f() függvée egszerűe iszámíthtó primitív függvée Mivel ( ) G u ( ) G u u g u u f eresett primitív függvé G(u()) Képlettel: illetve b g ( u ) u [ G( u )] b ( u ) u G( u ) C g Eze éplete jeleti helettesítéses itegrálást 9

30 Pél: I e Itt u g e G e u Íg tehát I e C A gorltb z itegrus em miig ile egszerű lú e émi átlítássl ile lr hozhtó Pélá: ) f p e Eor u p u p Ezzel: p p u u e e e e p e u e u p p p p p u u formális jelölést mit helettesítéses itegrálásor miig megteszü Itt hszáltu u ) f Eor u u g( u) e e u p Ezzel: u u e e e e e u C Speciális függvée itegrálás ) Poliomo egszerűe itegrálhtó 4 táblázt megforítás lpjá Pél: ( 3 6) 3 C b) Rcioális törtfüggvé (ét poliom háos) evezőbe álló poliom götéezőre botásávl itegrálhtó Feltehetjü hog számláló lcsobb foú mit evező H em íg v tört miig felírhtó eg poliom és eg ile lú rcioális törtfüggvé összegeét Pélául: p r 3 3 q Az r() poliom itegrálját )-b felírtu A törtfüggvé itegrálásáb több eset lehetséges: b) A evező mie göe egszeres és vlós: ( )( ) ( ) q K hol q() poliom foszám Eor törtfüggvé átreezhető övetező lb: p q b mele z itegrálj 3

31 Pél: p q b b l( ) ( ) ( ) ( 3 ) 5 6 l l l 3 3 b) A evező mie göe vlós e v többszörös göö is Pél: l ( ) ( 3) ( ) 3 ( 3) ( ) b3) A evezőe v omple göei is Mivel z egütthtó vlós omple göö egmás omple ojugáltji vgis evezőbe vlós egütthtós másofoú téező is fellépe Pélául: 3 A feti péláb szereplő rcioális törtfüggvé eor íg bothtó szét: b c b b c c 3 3 Tegü egelővé zoos htvái egütthtóit: b 5 b c 5 c 6 Ee z egeletreszere megolás: 3/ b 3/ c 3 tehát Az első ét tg itegrálj: 3 3 l ( ) 3 3 l ( ) 4 4 A hrmi tg evezőjét először teljes égzetté egészítjü i: mj llmzzu z helettesítést: 7 u u u

32 u u 7 rctg 7 rctg 7 7 u u c) Epoeciális függvé rcioális törtfüggvéei rcioális törtfüggvére vezethető vissz z u e e u u u helettesítéssel Pélául: 3 3 e e e u u u u u ) Trigoometrii függvée rcioális törtfüggvéei gr rcioális törtfüggvére vezethető vissz z u tg u rctg u u helettesítéssel Pélául: u u u u u u u u u u u 3 tg tg 3 tg tg si 3 cos

33 7 Többszörös itegrál Lege f( ) foltoos függvé V zárt trtomáb A függvé grfioj eg felület és eressü z ltt levő térrész térfogtát Az 5 ábr lógiájár V trtomát felosztju V i részere miegibe iválsztu eg ξ η V potot és épezzü z i i i ( η ) F f ξ i i Vi i tégláösszeget mel ál jobb özelítése eresett térfogt miél fiombb felosztás Aor moju hog z F V f ( ) étszeres itegrál létezi h z F sorozt v htárértée mior felosztást mie htáro túl fiomítju A étszeres itegrálr áltláosíthtó feti ) j) illetve ) 3) tétele továbbá lóg móo efiiálhtó étszeres improprius itegrálo Speciális esete: () A V trtomá eg tégllp: V [ b] [c ] Eor F b c f b b c c ( ) f ( ) f ( ) vgis z itegrálás sorreje felcserélhető Ee feltétele hog z itegráló függvé teljes V trtomáb foltoos lege Az lábbib muttu eg ellepélát (b) A V trtomát felülről g () lulról g () függvé görbéje htárolj Eor F b g g f ( ) H pélául V eg R sugrú ör z origó örül or F R R R f R ( ) Pél: Amior z R sugrú gömb térfogtát eressü Lege R Ezzel gömb térfogt: f R V F R R Helettesítés: 33

34 34 u u u u cos cos si π π π π π π π 4 si cos cos u u u u u u R R R V R R R R π π π (c) Kétszeres htároztl itegrál: c u t u t f F melre feáll hog F F F f Mit áltláb iffereciálás sorreje itt is felcserélhető () Gr forul elő hog z itegrus f g h lú Be lehet bizoíti hog eor c b b c h g f (e) Itegrálás helettesítéssel: u v u v Bevezetjü Jcobi-féle etermiást: u u u u u v v v v v Eor feáll: v v v v v V V u u u u u f f Itt zért ell Jcobi-féle etermiás bszolút értéét vei mert z (uv) sío vett V területelem cs pozitív lehet E rész befejezéseét muttu eg ellepélát z itegrálás sorrejée felcserélhetőségére: z itegrálb z itegrus em foltoos ( ) potb H ezt figelme ívül hgju or [ ] 4 rctg π Ugor

35 35 [ ] 4 rctg π A ét érté em egezi mert felcserélhetőség feltételei em teljesüle Ee függvée viseleése egszerű lj elleére boolult A ( ) potb htárértée ttól függ mile pál meté trtu o Pélául: lim lim e lim lim ε ε V(ε ε ) 7 ábr Az origó ireesztése z itegrálási trtomából Az improprius itegrál további elemzése éreébe ireesztjü ( ) potot eg tégllppl mele - és -iráú olli rere ε és ε (7 ábr) A femró trtomát V(ε ε )-vel jelöljü melbe függvé foltoos tehát z itegrálás sorreje felcserélhető Vlób: ε -re és < ε -re ε ε ε ε mit szerit itegrálv z eremé [ ] rctg 4 rctg rctg V ε ε ε ε ε ε ε ε ε π H először szerit mj utá szerit itegrálu lóg móo ói z eremé:

36 V ( ε ε ) ( ) π 4 [ rctg ] rctg rctg ε ε π ε A ét eremé egmássl megegezi ugis rctg rctg Az eigie zt pélázzá hog z itegrálás sorreje felcserélhető h z itegrus folto- ε ε os A pott eremé htárértée ttól függ hog trt ε és ε zérushoz ε ε eseté z itegrál értée zoos zérus mi pluzibilis hisze z itegrus pártl z egeesre türözve Ezt teithetjü z itegrál főértéée Az ε ε háos / lú htárértée zob bármi lehet tehát z improprius itegrál értée is bármi lehet Tulság: mielőtt eg tételt llmzu célszerű megvizsgáli z llmzhtóság feltételeit Néhá evezetes itegrál Az e függvé primitív függvéét em sierül zárt lb felíri Bizoos htározott itegrálji zob zárt lb iszámíthtó Pélául belátju hog I e e π Ez egbe pél lesz többszörös itegrálo helettesítésére is Kiszámítju z itegrál égzetét: I ε ε ε ε ( ) e e e e 4 4 Áttérü polárooriátár: r cosϕ r siϕ E helettesítés Jcobi-féle etermiás továbbá Íg I 4 ( ) ( r ϕ) π r e cosϕ siϕ r siϕ r cos ϕ r si ϕ r r cosϕ r cos ϕ r si ϕ r π r e π r π r r r ϕ e e 4 ϕ 4 r r r r 4 π mivel állításut igzoltu Az e függvé htároztl itegrálj gr előforuló függvé ezért ülö jelölést vezetü be rá: ε ε 36

37 erf Γ() függvé e π t t erf lim erf Teitsü övetező itegrált melbe természetes szám: [ ] I e e e e I Itt prciális itegrálást llmztu A pott reurziót ig folttju míg lehet: ( ) e ( ) ( ) e [ e ] I K K!! Azt ptu tehát hog e! Ezt áltláosítv efiiálju tetszőleges pozitív vlós -re: t Γ t e t H egész szám or Γ ( )! A poteciálelméletbe előforuló itegrálo A fiziáb gr forul elő övetező lú itegrálo: ( z) ρ I z (*) z melbe z itegrus iverges z origób ( z ) Az egszerűség evéért feltesszü hog ρ függvé is szimmetrius z origó örül vgis cs z r z változótól függ Eor célszerű gömbi polárooriátár áttéri (7 ábr): r siθ cosϕ r siθ siϕ z r cosθ E helettesítés Jcobi-féle etermiás ( z) ( r θ ϕ) siθ cosϕ siθ siϕ cosθ r cosθ cosϕ r cosθ siϕ r siθ r siθ siϕ r siθ cosϕ r siθ 37

38 z r θ ϕ 7 ábr Gömbi polárooriátá Egszerű geometrii megfotolássl beláthtju hog ez eg térfogtelem Képzeljü el fölgömböt θ szélességi ört φ peig hosszúsági foot jelöli r gömb sugr Eg szélességi ör hossz rsiθ mele eg φ örciée hossz rsiθφ A hosszúsági ör θ-hoz trtozó cie rθ tehát z r sugrú gömbfelület megfelelő rbjá területe r siθφθ Eg r vstgságú réteg térfogt r rsiθφθ Ezzel (*) lú itegrálot át lehet líti egszeres itegrállá: I π π ρ r π π ( r) ρ( r) r siθ rθϕ ϕ siθ θ r r r 4π ρ ( r) rr Ez z itegrál véges h ρ(r) függvé em túlságos gors trt végtelehez mior r Mile gors? Ee elötésére ézzü övetező lú improprius itegrálot: I b b lim I I α ε ε ε α ε hol α pozitív vlós szám b peig vlmile pozitív felső htár A 4 táblázt lpjá α C h α és α α C α l h α mivel α α b ε b I ( ε ) h α és I ( ε ) l h α α α ε Amior ε ez miig véges mr meig α > vgis α < α eseté I (ε) mior ε A ivergeci sebessége logritmius Amior α > z itegrál szité iverges e mgsbb rebe eg htváfüggvéel ráos Az ereeti itegrálb tehát ρ(r) függvé cs r -él lssbb trtht végtelehez r eseté 38

39 8 Lplce-trszformáció A prméteres itegrálo fotos speciális esetei z itegráltrszformáció mele özül Lplce-trszformációvl fogu fogllozi Lege f() [ ] itervllumb értelmezett függvé Eor efiíció szerit függvé Lplcetrszformáltj L [ ] p f F p e f feltéve hog z itegrál létezi H vlmile vlós α-r F(α) létezi or F(p) litius függvé mior Re p > α Pélául itegrálhtó f() függvére F() létezi vgis trszformált létezi és litius h p vlós része pozitív Pélá: ) Hevisie-féle egségugrás függvé: h > h H ( p) h < ω ) f e F( p) ω 3) f e F( p) p e p p ω e e p ω! e p ω e Ee belátásához -szer ell prciális itegráli ω ( p ω) 4) f si F( p) e siω p p ω ω Ezt 6 fejezetbe prciális itegrálás pélájét bebizoítottu E számítás részereméeét pju cosω Lplce-trszformáltját: ω 5) f cos F( p) e cosω A Lplce-trszformált tuljosági: A Lplce-trszformáció lieáris vgis f f [ f ] L[ f ] L p p p ω H függvé -e ívül t változótól is függ or f( t) szeriti trszformáltjá t szeriti eriváltj függvé prciális eriváltjá trszformáltj: L [ f ( t) ] f ( t) t L t Eg függvé eriváltjá Lplce-trszformáltj: 39

40 4 [ ] [ ] [ ] lim e e e f f p f p f f f p p p L L [ ] f f pl A másoi eriváltr: [ ] [ ] [ ] e e f pf f p f p f f f p p L L L mit öű áltláosíti: [ ] f pf f p f p f p f K L L [ ] f p f p L t t 8 ábr Itegrálási trtomá eg itegrál Lplce-trszformálásor Itegrál Lplce-trszformáltj: h φ() z f() függvé itegrálj vgis t t f ϕ or [ ] e t t f p p ϕ Φ L Az itegrálási trtomá 8 ábrá stírozott trtomá vgis z t egees feletti terület Erről leolvshtó hog z itegrál övetezőbe meg át h z itegrálás sorrejét felcseréljü:

41 Φ p ( p) f ( t) p p pt e t f ( t) e t f ( t) e t L[ f ] t Kovolúció: A Lplce-trszformáció egi legtöbbet hszált tuljoság bb áll hog ét függvé ovolúciójá Lplce-trszformáltj ét függvé trszformáltjá szorzt Az f () és f () függvée ovolúciój (fltugj): g f ( t) f ( t) t mie Lplce-trszformáltj G p ( p) [ g] e f ( t) f ( t) t L t Az itegrálás sorrejét z előbbie mitájár felcseréljü mj z szeriti itegrálb z t helettesítést llmzzu: G t p ( ) pt p p f t e f t t f t e e f ( ) t pt [ f ] e f ( t) t L[ f ] L[ f ] L A Lplce-trszformáció megforítás léegese boolultbb felt végrehjtásához omple függvéti ismeretere v szüség mele részleteibe itt em megü bele Az áltláos mószert fejezetbe ismertetjü A ésőbbiebe zob többire cs ol llmzásoról fogu tuli melehez elegeő feti éplete p p 4

42 9 Függvésoro A számsorohoz hsoló efiiálhtó függvésoro: lim hol S f S ϕ h ez htárérté létezi z -e eg bizoos trtomááb Rögzített -re ez özöséges sor mele overgeciáját megszoott móo efiiálju: or moju hog sor f()-hez trt h tetszőleges pozitív ε-hoz lehet tláli ol - t hog f S < ε mior > Abb z esetbe mior eg bizoos [ b] itervllumb eső -ere függetle -től zt moju hog függvésor [ b]-be egeletese overges Az egeletese overges soror érvées övetező ét tétel: A) A sor tgoét itegrálhtó h sor egeletese overges vgis ϕ ϕ B) H tgo eriváltjából épzett sor egeletese overges or sor tgoét iffereciálhtó: ϕ ϕ A függvésoro gori péláj htvásor: f H v ol R vlós szám hog R-re htvásor overges or overges mie ol -re melre R Az ile R-e felső htárát sor overgecisugrá evezzü Fotos tétel hog ( R R) itervllumb sor egeletese és bszolút overges Ee belátásához bból iulu i hog z f ( R) R sor overges tehát z R létezi ol M szám hog sorozt -hoz trt Eor sorozt orlátos vgis R < M mie -r vgis < R -re írhtju: 4

43 R < M Mq ( q < ) R R A htvásor részösszege felülről orlátos: m m m q < Mq Mq < Mq q q H -et elegeőe gr válsztju ezt tetszőlegese icsivé tehetjü íg Cuch-féle overgeciritérium lpjá z f() sor bszolút overges Az egeletes overgeci belátásához figelembe vesszü hog m m R H -t ol gr válsztju hog m R < ε lege mior or ile -re m < ε is teljesül mie ol -re melre overgeci m R Potos ezt jeleti z egeletes H eg függvé árhászor iffereciálhtó or htvásorb lehet fejtei: f ( f ) f!! hol ( f ) f függvé -ei eriváltj z hele A ulli erivált ( ) mgát függvét jeleti Ezt sort függvé örüli Tlorsorá evezzü Az hel helett válszthtu eg mási értéet is mel örül függvét szité sorb fejthetjü: ( ) f ( ) ( ) f f!! H ezt vlmile [ b] itervllumb eső -ere meg lehet csiáli or zt moju hog függvé ebbe z itervllumb litius Néhá ismert függvé Tlor-sor örül: 43

44 e si cos! ( ) ( ) 3! 3! ( )!! 4! 5 5! 4 E soro overgecisugr végtele A övetező htvásor cs < < itervllumb overgál: K Ee itegrálj 3 l 3 ( ) K L L sor mel -re is overges e -re már em A fiziáb és techiáb számos egéb függvésorrl tlálozhtu meleről ésőbb lesz szó Ile lesz pélául Fourier-sor 44

45 Homogé lieáris függvée fjtái A függvéee ég típusát ülöböztetjü meg szerit hog mile fjt meiség mg függvé () és függetle változó (): miettő lehet vetor vg slár Eig slár-slár függvéeel foglloztu: () melebe mi mi slár A vetor-slár függvée jellegzetes péláj tömegpot mozgását leíró r r(t) függvé: tömegpot t iőpotb z r(t) helvetorrl jellemzett hele v H vetort z ( z) erészögű ooriátál ju meg or itt három slár-slár függvé egütteséről v szó: r t t t z t 3 A slár-vetor függvée függetle változój z r helvetor: f f r H z r vetort ismét z ( z) erészögű ooriátál ju meg or itt eg há- f f z romváltozós függvéről v szó: 4 A vetor-vetor függvée esetébe miét változó vetor: f f( r) H miét vetort erészögű ooriátál ju meg or itt három slár-vetor függvé illetve háromváltozós függvé egütteséről v szó: f f f f 3 ( r) ( r) ( r) f f f 3 ( z) ( z) ( z) A 4 eseteet vetorlízis eretébe fogju tárgli Megjegezzü hog tárglás lehetséges erészögű ooriátá szeriti ábrázolás élül teljes áltláosságb is e z egszerűség evéért megtrtju feti jelöléseet A feti függvétípuso fotos speciális esetei homogé lieáris függvée mele tetszőleges típusú függvé esetébe ielégíti z ( ) b b lú függvéegeletet z és b egütthtó illetve z és változó tetszőleges értéei mellett A feti ég esetbe eze övetező lú függvéeet jeleti: Slár-slár függvée esetébe ez z függvé hol tetszőleges álló A vetor-slár függvée esetébe lóg lot pu: r vt vgis z egees volú mozgást álló v sebességgel 3 A slár-vetor függvée esetébe ez slárszorzt: f T r hol tetszőleges álló vetor A T felső ie vetor trszpoáltját jeleti (Lás fejezetbe) 4 A vetor-vetor függvée esetébe ez tezor: f Ar hol A eg mátri 45

46 A gorlti llmzásob 3 és 4 esete legfotosbb Mivel vetorot is teithetjü mátrio ét esetet mátrielmélet eretébe tárglju H z A mátri sorvetorit rere T - T - és 3 T -vel jelöljü vetor-vetor függvét íg bothtju ompoesere: T 3 T r 3 T 3 3 r f r z f z f z Az l meiségeet z A mátri elemeie evezzü: [ A] l 3) A olgot áltláosítv z 3 m 3 m m A 3 m l ( 3; l tábláztot mátrio evezzü H szüséges feltütetjü soro és oszlopo számát: A m Az ott esetbe m-es mátriról beszélü Az elemű sor- és oszlopvetorot -es illetve -es mátrio is teithetjü Az lábbib mátriol pcsoltos legfotosbb tételeet ismertetjü Előbb zob megjegezzü hog feti függvée em zoos fetiebe szereplő vetoros-mátrios reprezetációjul Pélául tezor em zoosíthtó mátriávl A tezor mit vetor-vetor függvé ooriát-reszertől függetleül is tárglhtó sőt számos tételt ooriát-reszer megás élül is i lehet moi Továbbá tezort reprezetáló mátri függ válsztott ooriátreszertől A feti függvétípuso ez z áltláos tárglás zob túlmutt ee z előás eretei ezért meg ell elégeü megott mátrios tárglássl 46

47 Mátrio Defiíció A mátriot ugúg meiségee teitjü mit slárot vg vetorot melere votozó ismerjü művelete (összeás szorzás stb) szbálit A vetor-vetor függvé efiíciójából övetezi hog eg mátri és eg vetor szorzt ismét vetor: A mit övetezőéppe íru át ompoesere: m l l l Nilvávló hog ez cs or llmzhtó h mátri potos i oszlop v mit há eleme -e elemeie szám meg fog egezi mátri sori számávl A efiícióból öveteze övetező műveleti szbálo: A mátriot úg szorozzu meg eg c slárrl hog mie elemét megszorozzu Az A és B mátrio összegée és ülöbségée z elemei z eges mátrio elemeie összegei illetve ülöbségei: h C A ± B or [ ] C l cl l bl ± és l m Az összeás (ivoás) cs or végezhető el h ét mátri mérete (sori és oszlopi szám) megegezi Két mátri szorztát úg efiiálju hog szorzt ugrr z eremére vezesse mit z eges mátrio egmás utá vló llmzás H tehát C AB és z C or z A hol B Tegü fel hog A mérete p B-é peig p m A efiícióból egszerűe le lehet vezeti hog szorztmátri elemeit c p b l j jl j és l m éplet j meg Vegü észre hog szorzás cs or végezhető el h z első téezőe potos i oszlop v mit há sor másoi A végeremébe pott C mátri mérete m lesz Két mátri szorzt számos ol sjátosságot mutt mele em jöe szób sláro szorztár votozó H A és B ebbe sorrebe összeszorozhtó forított sorrebe cs or lehet őet összeszorozi h méretei ezt lehetővé teszi: feti jelöléseel ehhez teljesülie ell z m feltétele Eor sem biztos zob hog felcserélt szorzt egelő lesz z ereeti sorrebe pott szorzttl A érés természetese cs égzetes mátrio esetébe merül fel e áltláb eor is AB BA H ét égzetes mátrir AB BA or zt moju hog ét mátri felcserélhető 47

48 Külö szót éremel vetoro szorzt H és b elemeie szám zoos () or épezhetjü slárszorztut: T b b H ezeet mátrio teitjü or méretü övetező: T A és b B A fetie szerit AB szorztu -es mátri vgis slár Forított sorrebe szorzt C b T mátri mele mérete Ez or is értelmezhető mior b elemeie m szám -től ülöböző (Persze eor már em értelmezhető slárszorztu) Eor C mérete m Az ile szorztot iius szorzto vg cs egszerűe iáo evezzü Tlálozhtu z b jelöléssel is 6 A iius szorzt elemei övetező: c b és l m l l A trszpoálás művelete cs mátrio esetébe merül fel Már llmztu vetoro esetébe: z oszlopvetorból sorvetort épeztü ez volt z T vetor mele ismételt trszpoálásávl visszpju z ereeti vetort Ezt áltláosíthtju mátrior is: z m méretű A mátri A T trszpoáltját z iee felcserélésével pju mel eor m méretű lesz: T [ A ] [ A] l l l H mátri em égzetes vigázi ell meli ollról szorozhtju meg eg vetorrl vg mátriszl Pélául z előbbi b vetor m-elemű tehát cs jobbról szorozhtju meg vele z m méretű A mátriot: c Ab ompoese szerit: c b m l l l Blról cs A trszpoáltját szorozhtju meg e zt is cs b trszpoáltjávl mie ereméeét c trszpoáltj ói: c T b T A T hisze m m T T T T [ c ] c lbl bl [ A ] l [ b A ] l l Látju hog z Ab szorzt trszpoáltját téező trszpoáltjá szorzt j e téező forított sorrejébe Ez emcs eg mátri és eg vetor szorztár hem áltláb tetszőleges ét mátriér is igz: ( AB) T T T B A 6 Az lábbib ezt jelölést lehetőség szerit erüljü bár éh elerülhetetle hszáltu 48

49 Ee belátásár felírju bl oll ( l) elemét: T T T T T [( AB ) ] [ AB] l ljb j [ B ] j [ A ] jl [ B A ] l l j l Mátri etermiás és iverze A mátriol pcsoltb lpvető érés lieáris egeletreszere megolás mele vetoros lj A b Itt z ismeretlee vetor b peig ismert vetor Feltesszü hog A -es tehát égzetes mátri H tlálu ol mátriot mellel A-t megszorozv z E egségmátriot pju or z egeletreszert egszerű mátriszorzássl olhtju meg Ezt mátriot A -gel jelöljü és mátri iverzée evezzü: AA A A E H z iverzzel blról beszorozzu z egeletreszert z A b megolást pju H ile mátri em létezi A-t sziguláris evezzü és ileor z egeletreszer vg em olhtó meg vg végtele so megolás v Az elmoott feltételeie meghtározásához szüség v mátri etermiásár: et A 3 m 3 m m 3 m A etermiás! számú tg összege mele miegiét övetezőéppe pju meg: miegi sorból és oszlopból veszü eg elemet ezeet összeszorozzu és elletétes előjellel vesszü h z első iee szerit sorb reezve másoi ie értéei z { } pártl permutációját já 7 H g gorltb örülmées lee etermiásot e szerit efiíció szerit iszámíti ezért iább ifejtési tételt llmzzu mel övetezőéppe hgzi: Az l elemhez trtozó letermiás evezzü zt z A l etermiást melet úg pu hog eta-ból -i sort és z l-ei oszlopot elhgju Eor tetszőleges (szób jövő) értéére feáll: et A l ( ) l A l l 7 Eg permutációt páros vg pártl evezü szerit hog z ereeti sorreből z elemee páros illetve pártl számú felcserélésével állthtó elő 49

50 Szób ezt úg fejezzü i hog etermiást ifejtjü -i sor szerit A etermiás bármeli oszlop szerit is ifejthető Ezzel tehát etermiás iszámítását lcsobb reű etermiáso iszámításár lehet visszvezeti mivel gr tuju szüséges szorzáso számát csöetei A tételbe szereplő ( ) l téező stáblszerűe változó előjeleet jelet: H ezeet beolvsztju A l -be or előjeles letermiásról beszélü Az ezeből lotott mátriot z A mátri jugáltjá evezzü: [ ] ( ) ja l l A l Vegü észre hog jobb ollo felcserélőte és l iee Eg -es etermiást z ereeti efiíció lpjá zol felírhtu: Eg 3 3-s etermiás iszámítását legegszerűbb ifejtési tétel lpjá -es etermiásor visszvezeti Az lábbi péláb másoi sor szerit fejtjü i: Figeljü meg stáblszbál llmzását A ifejtési tétel lpjá egszerűe beláthtju z lábbi tételeet A etermiás értée zérus h ét sor vg ét oszlop egelő egmássl -es etermiásor ez ilvávló: Tegü fel ezutá hog eg 3 3-s etermiásb z első és másoi sor zoos Eor ifejtjü hrmi sor szerit:

51 mivel mihárom -es etermiás eltűi Mgsbb reű etermiásor ezt teljes iucióvl vihetjü tovább H eg etermiás ét sorát vg oszlopát felcseréljü etermiás előjele z elletettjére változi -es etermiásor ez ilvávló: Mgsbb reű etermiásr ugúg vihetjü ezt tovább mit z tételbe 3 H eg etermiás vlmeli sorát vg oszlopát összeg ljáb írju fel or etermiás eze szerit ét etermiás összegére bohtó Pélául hrmi oszlopr votozó: 3 3 ( 3 b3 ) ( 3 b3 ) ( b ) 33 ( b ) m 3 m m 3 m m m 3m m b 3 m b b 3 m m b 3 m Ez beláthtó h mihárom etermiást hrmi oszlop szerit ifejtjü 4 Eg etermiást úg szorzu meg eg állóvl hog vlmeli sorát vg oszlopát végigszorozzu vele Ez ifejtési tétel egees övetezmée 5 Eg etermiás értée em változi h egi sorához hozzáju eg mási sorá vlhászorosát Hsoló tétel érvées z oszlopor is Az állítás egszerűe övetezi z 3 és 4 tételből 6 A etermiás értée zérus h eg soráb vg oszlopáb csup zérus áll A etermiást szerit sor illetve oszlop szerit ifejtve mie tg triviális zérus ói 7 Eg etermiás értée em változi h főátlójár türözzü (vgis trszpoálju) A bizoítást mellőzzü A tételből övetezi hog et A et A T 8 Eg etermiás értée or és cs or zérus h sori (vg oszlopi) em lieáris függetlee (vgis lieáris összefüggő) 5

52 5 Mielőtt ezt belátá áltláb z állítást eg pélávl illusztrálju Az lábbi etermiást hrmi sor szerit fejtjü i: Ezutá hrmi sor helébe írju z első sort Eor etermiás z tétel értelmébe zérus Az íg pott etermiást szité hrmi sor szerit fejtjü i: Végül másoi sort írju hrmi sor helébe mj z íg pott etermiást ifejtjü hrmi sor szerit: Azt ptu tehát hog mátri három oszlop em lieáris függetle: vgis z egi oszlop ifejezhető mási ettővel: Ebbe péláb zt tláltu hog léteze ol em zoos zérus c l egütthtó meleel mátri l oszlopvetori özött feáll l l l c összefüggés Az előbbie mitájár belátju hog ez áltláb is igz h eta H ifejtési tételt mátri -ei sorár llmzzu or et A l l l l A ói H -i sort ( < ) z -ei sorb írju ettől z A l letermiáso em változ meg továbbá or z tétel szerit etermiás értée zérus

53 lesz H erre llmzzu ifejtési tételt zt pju hog z előző egelőség -re is feáll: l l l ( ) A l Ezt vetoros lb átírv látju hog mátri oszlopvetori vlób lieáris összefüggő: l c c l ( ) Al l l Nézzü ezutá mási állítást vgis tegü fel hog léteze ol em zoos zérus c egütthtó meleel l c l l Eor z egi oszlopvetor moju ifejezhető többie lieáris ombiációjét H tehát z első oszlopból ivoju többi oszlop ezt lieáris ombiációját z első oszlopb csup zérust pu vgis etermiás értée zérus Mivel z 5 tétel szerit ivoássl etermiás értée em változi igzoltu hog eta (vö 6 tétel) A most bizoított tétele övetezmée hog mi soro mi z oszlopo lieáris függetlee h eta 9 Két égzetes mátri szorztá etermiás ét etermiás szorzt: et AB et A et B A bizoítást mellőzzü A mátri iverzét z A ja et A éplet j 8 h eta H eta mátri sziguláris vgis z iverze em létezi Az állítás igzolásár iszámítju mátriból és jugáltjából épzett szorzt -i sorá j-ei elemét: l [ A ja] [ ja] ( ) j l lj l l l l j A A ifejtési tétel szerit ez eta mior j Amior zob j ez etermiás ifejtése melbe j-ei sor helébe -i sort írtu (mit ezt láttu 8 tétel bizoításáb is) Az tétel szerit ez zérus Azt ptu tehát hog vgis [ j ] A A et A δ j j jl 8 Ez persze em jeleti zt hog z iverzet gorltb eszerit számítju is i Erre ugis jóvl htéobb umerius mószere léteze 53

54 ja A et A E Alóg móo láthtju be hog z ja et A A E egelőség is feáll mivel igzoltu z iverz mátrir votozó feti épletet Be ell még látu hog z iverz mátri em létezi mior eta A 8 tételből övetezi hog léteze ol em zoos zérus c j egütthtó meleel feáll hog c j j vgis c j j Kiválsztu eg zérustól ülöböző egütthtót Lege ez c l Tegü fel hog et A elleére létezi mátri iverze és lege z iverz mátri megfelelő oszlop b b b l b továbbá z E egségmátri l-ei oszlopát jelöljü e l -lel Defiíció szerit eor feáll hog b el vgis b δ lj j j j j Ezt beszorozzu c j -vel és j-re összegezzü A jobb ollo ilvá c l -et pu melről feltettü hog zérustól ülöbözi A bl ollo zob zérust pu: c j b j b c jj c j j j Ez elletmoás tehát iiret móo igzoltu hog mátri sziguláris j Szorzt iverzét övetezőéppe pju: AB B A Vlób: ABB A AA E Lieáris egeletreszer megolás Az 54

55 A b lieáris egeletreszer megolásá mószereit övetező félévbe tulju Itt cs megolhtóság feltételeit tárglju Az egeletreszert homogée moju mior b H mátri létezi z iverze or ebbe z esetbe megolás A Ezt evezzü homogé egeletreszer triviális megolásá Ettől eltérő emtriviális megolás cs or létezhet mior z iverz em létezi vgis eta A 8 tételből övetezi ugis hog ileor mátri sori lieáris összefüggő tehát mátri v ol sor mel előállíthtó többi sor lieáris ombiációjét Tegü fel hog ez z első sor Eor ez feáll megfelelő egeletre is: többi egeletet llms egütthtól megszorozv és összev z első egeletet elő tuju állíti Más szóvl: z első egelet felesleges Mr tehát ( ) egelet ismeretlere íg z egi ismeretle értéét tetszőlegese meg lehet válszti Lege ez H z A letemiás -tól ülöbözi or ez z ( ) egelet többi ismeretlere votozó már megolhtó H A or eg további ismeretlet is tehát összese már ét ismeretlet is szbo válszthtu meg és többi ismeretlet megphtju h A -e v eg el em tűő letermiás H ics ile or ezt tovább foltthtju míg em tlálu eg el em tűő letermiást Végeremébe tehát homogé egelete vg egáltlá ics em-triviális megolás vg végtele so v Az ihomogé egeletreszer egetle megolás A b h eta Elleező esetbe vg egáltlá ics megolás vg végtele so v A homogé esethez épest zob v eg léeges ülöbség Legee mátri sorvetori z T vetoro ( ) Amior eta léteze ol c egütthtó mele özül z egi zérustól ülöböző és meleel c T illetve vetorlb c A Az egeletreszer megolhtóságá ilvávló feltétele hog b vetor ompoeseire is feálljo eg hsoló összefüggés: c b illetve vetorlb c T b Ez beláthtó h z A b vetoregeletet blról c T -vel beszorozzu H b ezt em elégíti i or z ihomogé egeletreszere ics megolás H viszot ielégíti or végtele so megolás v Sjátértée sjátvetoro Eg tetszőleges égzetes A mátri jobb és bl olli sjátvetorit z Au λ u illetve v A λ v T T T 55