1. Egy intervallumon differenciálható F(x) függvény az f(x) függvény primitív függvénye, ha az intervallum minden x helyén.
|
|
|
- Virág Dudásné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 MAEMAIKAI KIEGÉZÍÉ: INEGRÁLÁ III. A atározatla itegrál a rimitív függvéy. Egy itervallumo differeiálató F(x) függvéy az f(x) függvéy rimitív függvéye a az itervallum mide x elyé F (x) f(x) Az f(x) függvéy rimitív függvéyeiek összességét valamely itervallumba az f(x) függvéy atározatla itegráljáak evezzük. Jele: f ( x ) dx Ha az F(x) függvéy az f(x) függvéy rimitív függvéye akkor. Néáy atározatla itegrál: f ( x) dx F( x) C x dx x dx x egész l x x 0 si x dx os x os xdx si x x e dx e x 3. Határozott itegrál kiszámítása a atározatla itegrál segítségével (Newto- Leibiz tétel): Ha az F(x) függvéy az [a b] itervallumo az f(x) függvéy rimitív b függvéye akkor az a ki: f x) dx ( atározott itegrált a következké fejezetjük b a b [ F( x) ] F( b) F( ) f ( x) dx a a XII/
2 A II. FÉEL KÖVEKEZMÉNYEI AZ EGYENÚLY KRIÉRIUMA ekitsük egy elszigetelt redszert: dw0 d0 du0 Ebbe a redszerbe is végbemeet változás l. fázisátalakulás kémiai reakió stb. Eek feltétele (isze a redszer adiabatikusa is izolált): Legye egy AB d0. C egyesúlyra vezet reakió. A és B összekeverése utá C folyamatosa termeldik ameddig az etróia övekszik. Elbb-utóbb elérük egy olya állaotot elegyet aol az etróia már em övekszik maximumot vesz fel. Ekkor beáll az egyesúly. ermészetese ez C-bl kiidulva is eléret. ÁBRA: Debig Általába az álladó eergiájú és térfogatú redszerekbe az egyesúly eléréséek feltétele az etróia maximumáak elérése! Az etróiát így is leet defiiáli! (Ld. Calle ) ebességrl em beszélük! XII/
3 REVERZIBILI FOLYAMAOK Az ABA folyamat reverzibilis a úgy viet végez ogy a folyamat teljes lejátszódása majd fordított iráyba törté végez vitele utá em marad változás semmilye más testbe seol másol a világegyetembe. Mit jelet ez a termodiamika yelvé? Reverzibilis folyamatba a redszer és köryezetéek teljes etróiája álladó marad. ermális egyesúly Egy X test sak t veesse fel vagy adasso le (ilye egy tartály is!). Ekkor: ddu. Ekkor d egyel egy állaotfüggvéy megváltozásával vagyis midig ugyaayi akármilye úto is ajtuk végre két adott állaot közötti folyamatot. Ezért: d/d akár reverzibilis a változás akár em. Legye egy testük mérséklet és törtéje d agyságú leadás egy másik testek mely mérséklet. Vegyük észre ogy d sak a agysága így ozitív meyiség. A folyamat sorá az etróia teljes megváltozása: d d d d XII/3 d d( ) udjuk ogy d ozitív ezért ( - )-ek is ozitívak kell leie azaz >. A leadás a magasabb mérséklet test fell törtéik az alasoyabb felé. Ez a folyamat addig tart amíg megaladja -et. Ekkor beáll a termális egyesúly.
4 (Az összes korábbi feltételezésükkel összagba vagyuk eddig azaz em borult még fel az axiómák által megalaozott éítméyük!) A változás (sere) akkor reverzibilis a sak ifiitezimálisa aladja meg -et így a folyamat etróiaváltozása dd/ agyságú s zérusoz tart. Ellekez esetbe a sere irreverzibilis etróia keletkezésével jár. Emlékeztet: (D. I. ftétel) H: a redszer és köryezete között a molekuláris ütközések által közvetített eergiasere. Ha ez a megváltozás végteleül lassú és egyesúlyi állaotok sorozatá keresztül törtéik reverzibilis serérl beszélük. zité beláttuk: Reverzibilis folyamatba a redszer által felvett agyobb mit az irreverzibilis esetbe illetve a redszer által leadott kisebb mit az irreverzibilis esetbe. Meaikai egyesúly Ha egy D-i redszer yomása és egy -d yomással szembe kitágul akkor a test által végzett muka (-d)dv. A test eredeti állaotba törté visszaállításáoz d küls yomás szükséges. A két muka sak akkor lesz egyel azaz akkor elégíti ki a reverzibilitás feltételét a d0. Emlékeztet: (D. I. ftétel) Muka: eergiasere a redszer és köryezete között mely em az idividuális molekulák közötti ütközésbl származik aem a redszer és köryezete atára tulajdoságáak (méretéek elektromos tulajdoságaiak) megváltozásából. Ha ez a megváltozás végteleül lassú és egyesúlyi állaotok sorozatá keresztül törtéik reverzibilis mukáról beszélük. Láttuk de em láttuk be: A redszer által végzett reverzibilis muka maximális a redszere végzett reverzibilis muka miimális! XII/4
5 MAXIMÁLI MUNKA (REVERZIBILI FOLYAMAOK) Vizsgáljuk meg X D-i redszerük melyek állaota A-ról B-re változik. A D. I. ftétele szerit: U B -U A w Ha a redszer d t vesz fel egy r mérséklet tartálytól akkor az etróia megváltozása (ezt már láttuk korábba): d d s aol d a keletkezett etróia mely ozitív vagy ulla. Az I. ftételbl: ezért vagy d r dσ ddu s -dw du dw s s r dσ - dw rd s du s dσ r Ebbl edig következik - dw d du. r s s Az egyeletbe dw a redszere végzett muka a redszer által végzett muka teát dw. Ha r álladó a folyamat sorá (azaz a tartály agy) akkor az egyelet itegrálásával - w r ( B A) ( U B U A) XII/5
6 Az egyelet jobb oldala egy adott érték függetle az AB úttól (állaotfüggvéyek). Így a redszer által végzett muka w irreverzibilis esetekbe midig kisebb az egyelet jobb oldaláál reverzibilis esetekbe (d0) ée egyel a jobb oldallal. Így a redszer által végzett muka maximális a két állaot közötti reverzibilis változások sorá! Az irreverzibilis utako a redszer által álladó mérséklete végzett kisebb muka következméye a kisebb felvétel (ld. I. ftételt). Ha a feti egyeletet míusz eggyel megszorozzuk világos lesz ogy a redszere végzett muka miimális a két állaot közötti reverzibilis változások sorá! Az irreverzibilis utako álladó mérséklete a redszere végzett agyobb muka következméye a agyobb leadás (ld. I. ftételt) eergia dissziálódik formájába. XII/6
7 AZ ENRÓPIA FÜGGVÉNY extezív meyiség itezív meyiség: moláris etróia Emlékszük még? I 3 f(i I ) Emlékszük még? D-i redszerek jellemzése állaotjelzkkel állaotfüggvéyek l. bels eergia U etalia H bevezetése kell még valami a. tíusú új kérdésekez: etróia bevezetése állaotfüggvéy (oteiálfüggvéy) egyszer D-i redszerekre: (V ) vagy ( ) vagy ( V ) vagy esetleg (U V ) vagy (H ) Ez utóbbiakról majd kisit késbb! melyik függvéykasolatot választjuk? amelyik valamilye szemotból kéyelmes az etróia teljes differeiálja (egyelre ökéyese) a második függvéyre: d d d d Ez a forma kedvezek éz ki de lesz még más aszálató alak is! XII/7
8 XII/8 a teljes differeiál egyszersödik bizoyos változók álladó értéke tartásával. Ha éldául az ayagmeyiség és a mérséklet is álladó (d0 d0) akkor: d d állaotfüggvéy (oteiálfüggvéy) boyolultabb D-i redszerekre: ( 3 A ) d d da A d d d d d A A A A A A Milye változásokat (folyamatokat) vizsgáluk majd: - meaikai folyamatok (térfogat felület változtatása) - termális folyamatok - ayagmeyiség változtatása (l. fázisátmeet: olvadás árolgás ) - elektromos töltés meyiségéek változtatása - kémiai reakió ( függ -tl is) Emlékezzük meg a bels eergia és az etalia függvéyrl is!
9 FOLYAMAOK ENRÓPIAVÁLOZÁAI Az etróia mérsékletfüggése A D. II. ftételébl d(d/) rev Reverzibilis folyamatokra a defiiáló egyelet itegrálásával (egy változót modjuk -t rögzítük!) ( ) ( ) drev Az álladó yomású kaaitás defiíiójából tudjuk (a is egyéb muka) Így álladó yomáso Hasolókée álladó térfogato d C d. C d ( ) ( ). Cvd ( ) ( ). Visszatérve az álladó yomáso alkalmazott egyeletez az egyelet tovább egyszersödik a a vizsgált tartomáyba C em függ a mérséklettl (vigyázat ez em az általáos eset!): ( d ) ( ) C ( ) C l ermészetese a C -t és a C v -t tartalmazó egyeletek arra utalak ogy az (V ) vagy ( ) felírás aszos leet. XII/9
10 Az etróia teljes megváltozását és vagy a V és függvéyébe a teljes differeiál itegrálásával kaatjuk meg. Erre késbb még visszatérük a és a V ariális differeiáláyadosok kiértékelése utá. Fázisátalakulások etróia változása a fázisátalakulási mérséklete A folyamatok: fagyás árolgás szublimáió A termokémiai vizsgálataikál láttuk (és ez következik az etalia defiíiójából is) ogy a fázisátalakulási mérséklete álladó yomáso moláris ayagmeyiség fázisátalakulását kísér trs H a fázisátalakulási (moláris) etalia. Eze a mérséklete a fázisátalakulás reverzibilis folyamat így a folyamatot kísér moláris etróia változás: trs trs H / trs. Vegyük észre ogy exoterm folyamatokra (fagyás kodezálódás) a fázisátalakulást kísér etróiaváltozás egatív edoterm folyamatokra (olvadás árolgás) ozitív. aulságos taasztalati szabály a routo-szabály mely szerit számos folyadékra a stadard árolgási etróia változások közel azoosak. Az etróia mérsékletfüggése fázisátalakulással álladó yomáso térfogato Hasolóa az etaliaváltozásokoz az (s)(l) változásra voatkozó stadard etróia számítása (természetese álladó yomáso!): m ( l ) m tr C m( s) ( s ) d fus Az etróia számítása álladó térfogato: tr C m ( l) d m ( l ) m tr Cv m( s) ( s ) d fus tr C v m ( l) d XII/0
11 Ha ismerék az etróia értékét a 0 mérséklete akkor az etróiát bármely mérséklete meg tudák adi a kaaitások ismeretébe. A kaaitások méretk kalorimetriása az itegrálás grafikusa vagy oliom illesztéssel elvégezet: ÁBRA: Atkis 4.0 A legalasoyabb mérsékleteke (aol e mérés már roblematikus) az ú. Debye-extraoláiót alkalmazzák mely szerit C ~ 3. Mi is az etróia értéke 0 mérséklete? Errl szól majd a D. III. ftétele! A kérdést egyelre yitva agyjuk Kémiai reakiókat kísér etróiaváltozások tadard etróiákkal: 0 ( B r ν B m ) B XII/
12 A D. II. FÉELE: NÉHÁNY PRAKIKU KÉRDÉ A ergéek atásfoka ÁBRA: Atkis. kiadás 4.6 A Carot körfolyamatál már defiiáltuk a atásfokot: w η aol >. Az egyelet jeletsége ogy rámutat egy motor em tudja a t 00 % atékoysággal mukává alakítai. Az egyelet levezetet az etróia övekedés megkövetelésével is! > 0 A feltétel teljesül a. XII/
13 Ezért w max mi Ebbl edig ugyaazt az eredméyt kajuk mit a Carot-iklusál. Ha 0 akkor. Eek elleére a gyakorlatba a atásfok öveléséez a mködési mérsékletet ( ) emelik. Érdekes megjegyzés: a 0 K mérséklet tartály léteze akkor em léteze a világo az eergiaiáy kifejezés! (elzetes a D. III. ftételéez) Egy tiikus erm 550 C-ra túlevített vízgzt és kb. 00 C mérséklet gyjtt tartalmaz. A atásfok így kb. 55% a teljes átadott 45%-a a gyjtbe (majd a köryezetbe) kerül. Ez biztosítja ogy a folyamat ökét végbe meje és etróia termeldjö. XII/3
14 A tés termodiamikája Htés: átvitele idegebb köryezetbl melegebbe. A folyamat befektetett mukát igéyel. ÁBRA: Atkis. kiadás 4.8 A folyamat sorá t vouk el a idegebb tartályból s azt a melegebb tartály veszi fel. Ekkor a idegebb tartály etróiája sökke a melegebbé de kevesebbel: < 0 XII/4
15 Ez teát em sotá folyamat. Aoz ogy etróiát termeljük mukát kell végezi ami vé alakítva a melegebb tartályba jut s így elég etróiát állít el aoz ogy a teljes etróiaváltozás most már ozitív legye. Példa a tgéekbe a komresszor mukája mely összeyomja a már kitágult gázt. A gáz kitáguláskor lel t vo el a tszekréy belsejétl majd a komresszor a gázt összeyomja s a felszabadult a köryezetbe távozik a küls trásrl. A folyamat atékoyságát a teljesítméytéyez () jellemzi: w Ha kevesebb a befektetett muka akkor a mködés atékoyabb. Eek agyobb érték felel meg. Reverzibilis atáresetbe megmutatató: rev Ha és között kisi a külöbség akkor kisi mukával eléret a traszfer. A mérsékletkülöbség övekedésével a teljesítméytéyez sökke. A szivattyú Fordított tgé: eltávolítása a idegebb tartályból és átvitele a melegebb tartályba. Célja a ftés a meleg oldalo. Melegebb tartály: lakás. Hidegebb tartály: köryezet talaja. Hatástéyezje: s ebbl a reverzibilis esetre: w rev. XII/5
Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.
ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli
A FUNDAMENTÁLIS EGYENLET KÉT REPREZENTÁCIÓBAN. A függvény teljes differenciálja, a differenciális fundamentális egyenlet: U V S U + dn 1
A FUNDAMENÁLIS EGYENLE KÉ REPREZENÁCIÓBAN A differeciális fudametális egyelet A fudametális egyelet a belső eergiára: UU (S V K ) A függvéy teljes differeciálja a differeciális fudametális egyelet: U S
2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
A KÉMIAI POTENCIÁL A KÉMIAI POTENCIÁL A KÉMIAI POTENCIÁL A KÉMIAI POTENCIÁL I. A TÖKÉLETES GÁZ KÉMIAI POTENCIÁLJA
kémiai oteciál fogalma és számítása egy- és többkomoesű redszerekbe. I. tökéletes gázok kémiai oteciálja II. reális gázok kémiai oteciálja. Fugacitás. III. Folyadékok kémiai oteciálja. IV. kémiai oteciál
A BELS ENERGIÁRA VONATKOZÓ ALAPVET EGYENLET. du=w+q
AZ I. É II. FÉEL EGYEÍÉE A BEL ENERGIÁRA ONAKOZÓ ALAPE EGYENLE ekintsük a D. I. ftételét: Mi a jelentése? wq a egy egyszer zárt (nincs anyagcsere) D-i renszert vizsgálunk és a renszer változásai (h és
Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
A KÉMIAI POTENCIÁL A KÉMIAI POTENCIÁL A KÉMIAI POTENCIÁL A KÉMIAI POTENCIÁL A KÉMIAI POTENCIÁL I. A TÖKÉLETES GÁZ KÉMIAI POTENCIÁLJA
kémiai oteciál fogalma és számítása egy- és többkomoesű redszerekbe. I. tökéletes gázok kémiai oteciálja II. reális gázok kémiai oteciálja. Fugacitás. III. Folyadékok kémiai oteciálja. IV. kémiai oteciál
A matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Kalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya
II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve
Az átlagra vonatkozó megbízhatósági intervallum (konfidencia intervallum)
Az átlagra voatkozó megbízhatósági itervallum (kofidecia itervallum) Határozzuk meg körül azt az itervallumot amibe előre meghatározott valószíűséggel esik a várható érték (µ). A várható értéket potosa
Fourier sorok FO 1. Trigonometrikus. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
Fourier sorok FO Trigoometrikus Fourier sorok FO Trigoometrikus redszer Defiíció: trigoometrikus redszer Az {, cos x, si x, cos x, si x, cos 3x, si 3x, } függvéyekből álló (végtele sok függvéyt tartalmazó)
Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
számot a Z felosztáshoz tartozó integrálközelít összegnek nevezzük. Jelöljük Z-vel a s i -számok leghosszabbikát.
MEMIKI KÖZBEEÉ: INERÁLÁ I. Bronstejn-zemengyajev: Matematikai Zsebkönyv Elsfajú görbementi integrálok Legyen K szakaszonként sima görbedarab, kezdontja, végontja B és uf(x,y) a K görbét tartalmazó tartományban
A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
A statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
EGY FÁZISÚ TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK: AZ ELEGYEK KÉPZDÉSE
EG FÁZISÚ ÖBBOMPONENS RENDSZERE: AZ ELEGE ÉPZDÉSE AZ ELEGÉPZDÉS ERMODINAMIÁJA: GÁZO Általáos megfotolások ülöböz kéma mség komoesek keveredésekor változás törték a molekulárs kölcsöhatásokba és a molekulák
Axiomatikus felépítés az axiómák megalapozottságát a felépített elmélet teljesítképessége igazolja majd!
Hol vagyunk most? Definiáltuk az alapvet fogalmakat! - TD-i rendszer, fajtái - Környezet, fal - TD-i rendszer jellemzi - TD-i rendszer leírásához szükséges változók, állapotjelzk, azok csoportosítása -
Termodinamikai bevezető
Termodinamikai bevezető Alapfogalmak Termodinamikai rendszer: Az univerzumnak az a részhalmaza, amit egy termodinamikai vizsgálat során vizsgálunk. Termodinamikai környezet: Az univerzumnak a rendszeren
Átfolyó-rendszerű gázvízmelegítő teljesítményének és hatásfokának meghatározása Gazdaságossági számításokhoz
Átfolyó-redszerű gázvízmelegítő teljesítméyéek és hatásfokáak meghatározása Gazdaságossági számításokhoz Szuyog Istvá 005 Készült az OTKA T-0464 kutatási projekt keretébe A Gázipari oktatási laboratórium
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
A TERMODINAMIKA I. AXIÓMÁJA. Egyszerű rendszerek egyensúlya. Első észrevétel: egyszerű rendszerekről beszélünk.
A TERMODINAMIKA I. AXIÓMÁJA Egyszerű rendszerek egyensúlya Első észrevétel: egyszerű rendszerekről beszélünk. Második észrevétel: egyensúlyban lévő egyszerű rendszerekről beszélünk. Mi is tehát az egyensúly?
Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
V. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
A figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal
Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe
LOGO. Kvantum-tömörítés. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar
LOGO Kvatum-tömörítés Gyögyösi László BME Villamosméröki és Iformatikai Kar Iformációelméleti alaok összefoglalása A kódolási eljárás Az iformáció átadás hűsége és gazdaságossága a kódolástól függ Az iformáció
Méréstani összefoglaló
PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKAI INTÉZET Méréstai összefoglaló (köryezettudomáyi szakos hallgatók laboratóriumi mérési gyakorlataihoz) Összeállította: Dr. Német Béla Pécs 2008 1 Bevezetés
Matematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
du=tds pdv Izolált rendszerre, du=0, dv=0. Ez azt jelenti, hogy ds=0? Csak egyensúlyi izolált rendszer létezik? Nem!
ÚJ ÁLOZÓK A POENCIÁLFÜÉNYEKEN: AZ ANYAMENNYIÉ A KÉMIAI POENCIÁL Az elméletüket eg egysze D- eszeeke éítettük fel! Péla: a bels eega fuametáls egyelete. Izolált eszee 0 0. Ez azt jelet hogy 0? Csak egyesúly
A Kvantum Fizikától a Lélekig
Kiss Zoltá J: A Kvatum Fizikától a Lélekig Az Ortega y Gasset Társaság 013.01.31-i redezvéyéek előadás vázlata A Kvatum Fizikától a Lélekig Hiv. 1. A Kvatum Tér körülvesz beüket Ez az a tér amibe élük.
Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!
Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk
Függvényhatárérték-számítás
Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről
REOIL. növeli a transzformátorok élettartamát. www.ekofluid.sk/hu/
5 öveli a traszformátorok öveli a traszformátorok A techológia előyei A költségek csökketéseek folyamatos kéyszere és a zavartala eergiaellátás ehézségei szükségessé teszik a traszformátorok tervezett
8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
6 A teljesítményelektronikai kapcsolások modellezése
6 A teljesítméyelektroikai kapcsolások modellezése A teljesítméyelektroikai beredezések vagy már ömagukba egy bizoyos szabályzott redszert alkotak, vagy egy agyobb szabályozott redszer részét képezik.
f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x
Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy
MIKROELEKTRONIKA, VIEEA306
Budaesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Elektroikus Eszközök Taszéke MIKROELEKTRONIKA, VIEEA306 Félvezető fizikai alaok htt://www.eet.bme.hu/~oe/miel/hu/03-felvez-fiz.tx htt://www.eet.bme.hu Budaesti
Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága
Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba
EGY FÁZISÚ TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK: BEVEZETÉS
EGY FÁZIÚ ÖBBOMPONEN RENDZERE: BEEZEÉ ERMODINMII ÁLOZÓ Eg: egy komoes egy fázs (olt egy komoes több fázs s Általáos eset: több komoes több fázs öztes eset: több komoes egy fázs Ezek az elegyek szta fázs
Hiba! Nincs ilyen stílusú szöveg a dokumentumban.-86. ábra: A példa-feladat kódolási változatai
közzétéve a szerző egedélyével) Öfüggő szekuder-változó csoport keresése: egy bevezető példa Ez a módszer az állapothalmazo értelmezett partíció-párok elméleté alapul. E helye em lehet céluk az elmélet
(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.
. feladatsor () Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott téglalapoko: ( (x + y) dx dy, ahol T : x, y 3. ( T T x si y dx dy, ahol T : x, 2 y 3. (2) Határozzuk meg a következő területi
Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során
Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség
SOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
Hőtan I. főtétele tesztek
Hőtan I. főtétele tesztek. álassza ki a hamis állítást! a) A termodinamika I. főtétele a belső energia változása, a hőmennyiség és a munka között állaít meg összefüggést. b) A termodinamika I. főtétele
1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?
1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai
PELTON TURBINA MÉRÉSE
idrodiamikai Redszerek Taszék PELTON TURBINA MÉRÉSE 1. A mérés célja A mérés célja egy, a gyógyszer- és vegyiparba eergia visszayerés céljára haszálatos saválló jelleggörbéiek felvétele. A turbia jellemzői:
7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés
7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció
A biostatisztika alapfogalmai, konfidenciaintervallum. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet
A biostatisztika alapfogalmai, kofideciaitervallum Dr. Boda Krisztia PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Iformatikai Itézet Mitavétel ormális eloszlásból http://www.ruf.rice.edu/~lae/stat_sim/idex.html
ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,
A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés
Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)
Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat
KÜLSŐGERJESZTÉSŰ EGYENÁRAMÚ MOTOR MECHANIKAI JELLEGGÖRBÉJÉNEK FELVÉTELE
KÜLSŐGERJESZTÉSŰ EGYENÁRAÚ OTOR ECHANIKAI JELLEGGÖRBÉJÉNEK FELVÉTELE A mérés célja: az egyik leggyakraa alkalmazott egyeáramú géptípus =f() jelleggöréiek megismerése és méréssel törtéő felvétele: A felkészüléshez
Cserjésné Sutyák Ágnes *, Szilágyiné Biró Andrea ** ismerete mellett több kísérleti és empirikus képletet fel-
ACÉLOK KÉMIAI LITY OF STEELS THROUGH Cserjésé Sutyák Áges *, Szilágyié Biró Adrea ** beig s s 1. E kutatás célja, hogy képet meghatározásáak kísérleti és számítási móiek tosságáról, és ezzel felfedjük
ÖSSZEFOGLALÁS HŐTANI FOLYAMATOK
ÖSSZEFOGLALÁS HŐTANI FOLYAMATOK HŐTÁGULÁS lineáris (hosszanti) hőtágulási együttható felületi hőtágulási együttható megmutatja, hogy mennyivel változik meg a test hossza az eredeti hosszához képest, ha
5. SZABAD PONTRENDSZEREK MECHANIKAI ALAPELVEI, N-TESTPROBLÉMA, GALILEI-
5. SZABAD PONTRENDSZEREK MECHANIKAI ALAPELVEI, N-TESTPROBLÉMA, GALILEI- FÉLE RELATIVITÁSI ELV m, m,,m r, r,,r r, r,, r 6 db oordáta és sebességompoes 5.. Dama Mozgásegyelete: m r = F F, ahol F jelöl a
Termodinamika (Hőtan)
Termodinamika (Hőtan) Termodinamika A hőtan nagyszámú részecskéből (pl. gázmolekulából) álló makroszkópikus rendszerekkel foglalkozik. A nagy számok miatt érdemes a mólt bevezetni, ami egy Avogadro-számnyi
Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1
Lieáris kódok Defiíció. Legye SF q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. K lieáris kód, ha K az S k-dimeziós altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor.
FIZIKA I. Ez egy gázos előadás lesz! (Ideális gázok hőtana) Dr. Seres István
Ez egy gázos előadás lesz! ( hőtana) Dr. Seres István Kinetikus gázelmélet gáztörvények Termodinamikai főtételek fft.szie.hu 2 Seres.Istvan@gek.szie.hu Kinetikus gázelmélet Az ideális gáz állapotjelzői:
A statisztika részei. Példa:
STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,
Matematikai statisztika
Matematikai statisztika PROGRAMTERVEZŐ INFORMATIKUS alapszak, A szakiráy Arató Miklós Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2019. február 18. Arató Miklós (ELTE) Matematikai statisztika
Taylor-sorok alkalmazása numerikus sorok vizsgálatára
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai Taszék Taylor-sorok alkalmazása umerikus sorok vizsgálatára Szakdolgozat Készítette: Témavezet : Walter Petra
SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo
SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő
Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.
Számsorozatok 2015. december 22. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az a 2 + 7 5 2 + 4 létezik. sorozat határértékét, ha Megoldás: Mivel egy tört határértéke a kérdés, ezért vizsgáljuk meg el
ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
2.6. Az ideális gáz fundamentális egyenlete
Fejezetek a fzka kéából.6. Az deáls gáz fudaetáls egyelete A legegyszerűbb terodaka redszer az u. deáls gáz. Erre jellező, hogy a részecskék között az egyetle kölcsöhatás a rugalas ütközés, és a részecskék
9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA
9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA 9.. Legedre-éle traszormáció x x h x, p= p x x Milye x-él maximális? pl.= x alulról kovex h x =0: d p= dx x=x p a példába: p=x ; h= p x x Mekkora a maximuma? g p= p x p x p g=
6. Termodinamikai egyensúlyok és a folyamatok iránya
6. ermodinamikai egyensúlyok és a folyamatok iránya A természetben végbemenő folyamatok kizárólagos termodinamikai hajtóereje az entróia növekedése. Minden makroszkoikusan észlelhető folyamatban a rendszer
PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK
Eegeikai gazdasága MKEE. gyakola PROJEKTÉRTÉKELÉSI ALAPOK A gyakola célja, hogy a hallgaók A. megismejék az alapveő közgazdaságai muaóka; B. egyszeű pojekéékelési számíásoka udjaak elvégezi. A. KÖZGAZDASÁGTANI
Piacmeghatározás. Hipotetikus monopolista teszt. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása. Hipotetikus monopolista teszt alkalmazása
Moder iacelmélet Moder iacelmélet A iaci erő mérése ELTE TáTK Közgazdaságtudomáyi Taszék Selei Adrie ELTE TáTK Közgazdaságtudomáyi Taszék Készítette: Hidi Jáos A taayag a Gazdasági Verseyhivatal Verseykultúra
Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova
Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok
Reakciómechanizmusok leírása. Paraméterek. Reakciókinetikai bizonytalanságanalízis. Bizonytalanságanalízis
Megbízható kémiai modellek kifejlesztése sok mérési adat egyidejő feldolgozása alajá uráyi amás www.turayi.eu ELE Kémiai Itézet Reakciókietikai Laboratórium Eddig dolgoztak eze a témá: (témavezetık: uráyi
Munka- és energiatermelés. Bányai István
Munka- és energiatermelés Bányai István Joule tétele: adiabatikus munka A XIX. Sz. legnagyobb kihívása a munka Emberi erőforrás (rabszolga, szolga, bérmunkás, erkölcs?, ár!) Állati erőforrás (kevésbé erkölcssértő?,
Kutatói pályára felkészítı modul
Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
3.1. A Poisson-eloszlás
Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a
NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.
NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a
Nevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
Követelmények: f - részvétel az előadások 67 %-án - 3 db érvényes ZH (min. 50%) - 4 elfogadott laborjegyzőkönyv
Fizikai kémia és radiokémia B.Sc. László Krisztina 18-93 klaszlo@mail.bme.hu F ép. I. lépcsőház 1. emelet 135 http://oktatas.ch.bme.hu/oktatas/konyvek/fizkem/kornymern Követelmények: 2+0+1 f - részvétel
2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;
Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:
f (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
1. feladatlap megoldása. Analízis II. 1. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) n 2 n = 1 1X 1
. feladatlap megoldása Aalízis II.. Vizsgálja meg az alábbi sorokat kovergecia szempotjából! a) X Alkalmazva a gyökkritériumot ("egyszer½usített változatát"): Azaz a sor koverges. b) p a!! p < : X 000
Sorok és hatványsorok vizsgálata Abel nyomán
Sorok és hatváysorok vizsgálata Abel yomá Szakdolgozat Készítette: Vákovics Mária Matematika BSc, Matematikai elemz szakiráy Témavezet : Pfeil Tamás adjuktus Alkalmazott Aalízis és Számításmatematikai
Kémiai reakciók sebessége
Kémiai reakciók sebessége reakciósebesség (v) = koncentrációváltozás változáshoz szükséges idő A változás nem egyenletes!!!!!!!!!!!!!!!!!! v= ± dc dt a A + b B cc + dd. Melyik reagens koncentrációváltozását
MATOLCSI TAMÁS ANALÍZIS V.
MATOLCSI TAMÁS ANALÍZIS V. Itegrálás 3 Tartalom A. VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGÁLÁSA I. MÉTÉK AZ INTEVALLUMOKON 1. Az itervallumok félgyűrűje................... 7 2. Az itervallumok gyűrűje...................
Miért érdekes? Magsugárzások. Az atommag felépítése. Az atom felépítése
Miért érdekes? Magsugárzások Dr Smeller László egyetemi taár Semmelweis Egyetem Biofizikai és Sugárbiológiai Itézet Radioaktív izotóok ill. sugárzások orvosi felhaszálása: - diagosztika (izotódiagosztika)
Megjegyzések (észrevételek) a szabad energia és a szabad entalpia fogalmához
Dr. Pósa Mihály Megjegyzések (észrevételek) a szabad energia és a szabad entalpia fogalmához 1. Bevezetés Shillady Don professzor az Amerikai Kémiai Szövetség egyik tanácskozásán felhívta a figyelmet a
18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
Lineáris programozás
Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek
(L) Lamellás szivattyú mérése
(L) Lamellás szivattyú mérése A mérésre való felkészülés sorá a Hidraulikus tápegység mérésleírás Hidrosztatikus hajtásokról c részét is kérjük elsajátítai 1 A mérés célja, a beredezés ismertetése 11 A
Integrálás sokaságokon
Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,