Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása õsz

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz"

Átírás

1 Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység hartley. Ha 2-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység bit. Ha természetes (e) alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység nat. A legfontosabb váltószám e mértékegységek között: 1 bit = 3,322 hartley. További váltószámok: 2. bit nat hartley bit 1 0,693 0,301 nat 1, ,434 hartley 3,322 2,303 1 Egy kéteseményes eseményrendszer entrópiájának maximuma van, amikor az egyik esemény valószínûsége: p 1 = A másik esemény valószínûsége pedig: p 2 = Az entrópia maximumának értéke ekkor: H max = 1 bit / szimbólum Mi a jelforrás hatásfoka, és mi a redundancia? Mi köze ezeknek a relevanciához? Hatásfok: e = H(x) / H max, azaz a forrásentrópia és annak lehetséges maximumának aránya Redundancia: R = 1 - e, azaz a forrás által kibocsájtott többletinformáció Relevancia: az információ szubjektív fontossága valamely szemlélõ számára. Nincs köze a hatásfokhoz és a redundanciához. Sorolja fel az entrópia függvény négy alapvetõ tulajdonságát. a. Minden változójában folytonos - a változókban bekövetkezõ kis változás a függvény értékének kis mértékû változását okozza. b. c. d. Szimmetrikus - a független változók tetszõlegesen felcserélhetõk, a függvény értéke nem függ azok sorrendjétõl. Additív - a függvény érték nem függ a független változók csoportosításától Szélsõérték - a függvénynek maximuma van, ha az egyes esemény ek valószínûségei valamennyien megegyeznek. Fogalmazza meg saját szavaival, hogy illesztõ kódolásnál mit jelent a kódolási arány! 6. A kódolási arány azt fejezi ki, hogy az egyes szimbólumok hoz rendelt - illesztõ -kód mennyire "rontotta el" az eredeti szimbólumok információ hordozõ képességét. Az átlagos szóhossz és a bit/szimbólumban kifejezett forrásentrópia hányadosa. Szokás a kódolás hatásfokának is nevezni. Az alapelvek tekintetében miben különbözik a Shanonn-Fano féle illesztõ kódolás a Huffmann-féle illesztõ kódolástól. A Shannon-Fano féle kódolás esetében az alapelvekbõl következik, hogy valamennyi szóhoz különbözõ hosszúságú kódot rendel, míg a Huffmann féle kódolás esetében alapelv, hogy a két legritkábban elõforduló szóhoz ugyanolyan hosszúságó kódot kell rendelni. 1 of :56

2 7. Van-e a Huffmann féle kódolásnak tömörítési tulajdonsága? (Feltétlenül indokolja és jellemezze!) 2. Feladat Igen, van tömörítési tulajdonsága. A Huffmann kód ugyanis a szóhosszúság tekintetében optimális kódot állít elõ, azaz bármely más kódolási stratégiáva l összevetve megállapíthatju, hogy az azzal elõállítható átlagos szóhossz legfeljebb olyan rövid, mint a Huffmann kódolással kapott átlagos szóhossz. Ebbõl következik, hogy a Huffmann kódolás bármely más kódoláshoz képest nem kevésbé "tömör" - általában tömörebb - kódot állít elõ, azaz tömörít. Rajzolja le egy kéteseményes eseményrendszer entrópia függvényét az egyik esemény valószínûségének függvényében. 3. feladat 1. Egy diszkrét információforrás hatelemû ábécéjének betûgyakoriságai a következõk: Betû Gyakoriság Valószínûség Egyedi információ A 53 C 80 D 97 E 81 Töltse ki a táblázat hiányzó oszlopait, azaz számítsa ki az egyes szimbólumok elõfordulási valószínûségeit, és a hozzájuk tartozó egyedi információ értékét. Számítsa ki a forrás entrópiát, a forrás hatásfokát és redundanciáját. (A számításokat legalább három tizedesjegy pontossággal végezze!) Valószínûség = Egyedi gyakoriság / szumma gyakoriság Egyedi információ = -log p i Betû Gyakoriság Valószínuség Egyedi információ A 53 0,141 0,850 Hartley 2,823 bit 0,067 1,176 Hartley 3,907 bit C 80 0,213 0,671 Hartley 2,229 bit D 97 0,259 0,587 Hartley 1,951 bit E 81 0,216 0,666 Hartley 2,211 bit 0,104 0,983 Hartley 3,265 bit 2 of :56

3 H(x) = - p i * log p i = 0,740 Hartley/betû = 2,457 bit/betû H max = log n = 0,778 Hartley/betû = 2,585 bit/betû e = H(x) / H max = 95,037 % R = 1-e = 4,963 % A kerekítésbõl származóan elképzelhetõk eltérések - pl. valaki 3 tizedesjegynél pontosabban pontosabban számolt, vagy kerekítés helyett csonkította az eredményt. Ez nem hiba. Az egy százalék potosságon belüli eredményeket elfogadtam. Szerkesszen ehhez a forráshoz Huffmann féle illesztõ kódot. (Ti.: a Huffmann fát és a kódkiosztást táblázatosan) A fa generálálásának lépései: a.) F és B összevonása D E C A b.) Újrarendezés - [F,B] és A megcserélése. [F,B] és A összevonása. D E C A c.) Újrarendezés - [F,B, A] legfelülre kerül. C és E összevonása A D E C d.) Újrarendezés - [E,C] legfelülre kerül. [F,B,A] és D összevonása. E C A D e.) Újrarendezés - [F,B,A,D] legfelülre kerül. 3 of :56

4 A D E C f.) A kód kiosztása a generált táblázat alapján: F B A 001 D 01 E 10 C A táblázat alapján még egy kódkiosztást létre lehet hozni: ebben a '0' és '1' bitek szerepe felcserélõdik, azaz minden egyes kódszó a fenti táblázatban szereplõ megfelelõ kódszó negáltja. A dolgozatokban mindkét kódkiosztást helyesnek fogadtam el - de csakis ezeket! Határozza meg az illesztõ kód entrópiáját, hatásfokát és redundanciáját, valamint a kódolási arányt. A számításokat legalább három tizedesjegy pontossággal végezze. a.) A kódolási arány kiszámításához 2. pontban generált kód alapján meg kell határoznunk meg az egyes kódszavak hosszát és elõfordulási gyakoriságukat vagy valószínûségüket. Emellett az illesztõ kód karakterisztikájának meghatározásához szükségünk lesz az egyes kódszavak által tartalmazott '0' és '1' bitek számára is. Szükségünk lesz tehát az alábbi táblázatra: Betû Gyakoriság Valószínuség Kód Szóhossz 0 bitek 1 bitek A 53 0, bit 2 1 0, bit 3 1 C 80 0, bit 0 2 D 97 0, bit 1 1 E 81 0, bit 1 1 0, bit 4 0 Átlagos szóhossz: L = 2,483 bit/betû Kódolási arány: H(x) / L = 2,457 / 2,483 = 98,953 % 0 bitek elõfordulási aránya: 55,317% 0 bitek által hordozott információ: I 0 = 0,854 bit 1 bitek elõfordulási aránya: 44,683% 1 bitek által hordozott információ: I 1 = 1,162 bit Az illesztõ kódolás entrópiája: H ill = 0,55317*0, ,44683*1,162 = 0,992 bit / számjegy A kód lehetséges entrópiájának maximuma: H max = 1 bit/számjegy (mint az közismert) A kód hatásfoka: e = 99,2% A kód redundanciája: R = 1-e= 0,8% [Tóth Gergely] 4 of :56

5 Kódelmélet vizsga: 1. Felbontható-e a következõ kód? Indokold! {10,11,011,010,001} 2. Adj prefix kódot az ismert algoritmus szerint: {0.5;0.25;0.125;0.125} 3. Egészítsd ki lineáris kóddá: {1001,1100} 4. Adj kódot, mely nem prefix, de felbontható 5. Adj hibajavító kódot, mely 2 hibát javít 10 biten! 6. Adj ekvivalens prefix kódot a következõ kódhoz: {01,011,0111}. A tanult algoritmust használd! 7. Adj optimális kódot, ha a valószínûségek: {0.5;0.25;0.125;0.125}. A Huffman algoritmust használd! 8. Adj kódot az egyszerûsített Shannon-Fano kódra, ha a valószínûségek {0.51;0.25;0.124;0.125} 9. Add meg egy generátor mátrixát a következõ lineáris kódnak: {1000,0001,1001,0000} 10. Mekkora minimum a következõ valószínûségekhez tartozó kód költsége?: {0.51;0.25;0.124;0.125}

6 Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása október 1. feladat - Fogalmak és definíciók - 20 pont Válaszoljon röviden az alábbi kérdésekre: a. Mit jelent az diszkrét véges valószínûségi modell? Mikor alkalmazható? Léteznek-e ezen kívül más forrásmodellek is? (Indokolja.) (2 pont) Diszkrét, véges valószínûségi modellben a lehetséges események száma véges, és a rendszer mûködését diszkrét pillanatokban vizsgáljuk. Ráadásul kikötöttük, hogy az egyes események egymástól függetlenül következnek be. Igen, léteznek más forrásmodellek is. Például tekinthetünk egy olyan információ forrást, amely folytonosan bocsájt ki magából "szimbólumokat", vagy olyat, ahol az egyes események nem függetlenek egymástól. Utóbbira jó példa például a képek tömörítésénél használt modell, amikor a szomszédos képpontok színe nem független egymástól. b. Mikor teljes egy eseményrendszer? (2 pont) Egy eseményrendszer teljes, ha az egyes elemi események bekövetkezési valószínûségeinek összege 1. Más szóval, ha az az esemény, hogy a felsorolt események valamelyike bekövetkezik, a biztos esemény. Más szóval, ha nincs olyan nem nulla valószínûségû esemény, amelyet az eseményrendszer megadásakor nem vettünnk figyelembe. c. Mi a Shannon-féle egyedi információ definíciója (képlettel), mi a mértéke és hogyan függenek össze a különbözõ egységei? (2 pont) Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység hartley. Ha 2-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység bit. Ha természetes (e) alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység nat. A legfontosabb váltószám e mértékegységek között: 1 bit = 3,322 hartley. d. Mi a jelforrás hatásfoka, és mi a redundancia? (2 pont) 1 of :16

7 Hatásfok: a tényleges entrópia és lehetséges maximumának viszonya: A "többletinformáció" - vagyis a lehetséges maximum eléréséhez szükséges információ - és az entrópia lehetséges maximumának arányát nevezzük relatív redundanciának. e. Sorolja fel az entrópiafüggvény négy alapvetõ tulajdonságát! (8 pont) i. ii. iii. iv. Minden változójában folytonos - a változókban bekövetkezõ kis változás a függvény értékének kis mértékû változását okozza. Szimmetrikus - a független változók tetszõlegesen felcserélhetõk, a függvény értéke nem függ azok sorrendjétõl. Additív - újabb független változók - események - bevezetésével az entrópia nem csökken Szélsõérték - a függvénynek maximuma van, ha az egyes esemény ek valószínûségei valamennyien megegyeznek. f. Fogalmazza meg saját szavaival, hogy illesztõ kódolásnál mit jelent a kódolási arány! (2 pont) A kódolási arány azt fejezi ki, hogy az egyes szimbólumokhoz rendelt - illesztõ - kód mennyire "rontotta el" az eredeti szimbólumok információ hordozõ képességét. Az átlagos szóhossz és a bit/szimbólumban kifejezett forrásentrópia hányadosa. Szokás a kódolás hatásfokának is nevezni. g. Melyek a Shannon-Fano féle illesztõ kódolás alapelvei? Miben különböznek ettõl a Huffman-féle illesztõ kódolás elvei? (2 pont) A Shannon-Fano kódolás két alapelve: 1. A forrásszimbólumokhoz változó hosszúságú (bináris) kódszavakat rendel, méghozzá a gyakoriságok függvényében (Gyakoribb szimbólumhoz rövidebb kódszó tartozik) 2. A kódnak irreducibilisnak (azaz egyértelmuen megfejthetonek, szeparábilisnak) kell lennie akkor is, ha a kódszavakat semmilyen megkülönbözteto jel nem választja el egymástól. Az irreducibilitás feltétele, hogy egyik kódszó se forduljon elõ más kódszó kezdeteként. A Huffmann kódolás még egy alapelvvel egészül ki:. 3. A két legkisebb gyakoriságú forrásszimbólumhoz azonos hosszúságú kódszavakat kell hozzárendelni 2. Feladat - Számítási példa - 30 pont Egy diszkrét információforrás ötelemû forrásábécével rendelkezik és a forrásábécé egyes 2 of :16

8 betûihez rendelt valószínûségek a következõk: p A = 10%; p B = 15%; p C = 20%; p D = 25% és p E = 30% a. Állapítsa meg, hogy teljes-e ez az eseményrendszer. (Indokolja is!) (5 pont) 10% + 15% + 20% + 25% + 30% = 100% tehát az eseményrendszer teljes b. Számítsa ki a forrás karakterisztikáját, azaz a forrásentrópia értékét, a forrás hatásfokát és a redundanciát! (20 pont) p i I i = -log 10 p i I i = -log 2 p i A 10% 1,0000 hartley 3,3219 bit B 15% 0,8239 hartley 2,7370 bit C 20% 0,6990 hartley 2,3219 bit D 25% 0,6021 hartley 2,0000 bit E 30% 0,5229 hartley 1,7370 bit H(x) = 0,6708 hartley/szimb H max = 0,6990 hartley/szimb e = 95,96% R = 4,04% 2,2282 bit/szimb 2,3219 bit/szimb A dolgozatban akár a hartley-ben, akár a bitben kiszámított eredményt elfogadom: nem volt kötelezõ mindkettõben kiszámolni. A kerekítésbõl származóan elképzelhetõk eltérések - pl. valaki 4 tizedesjegynél pontosabban pontosabban számolt, vagy kerekítés helyett csonkította az eredményt. Ez nem hiba. Az egy százalék potosságon belüli eredményeket elfogadtam. c. Hogyan változnak meg ezek a számított értékek akkor, ha az A esemény és a D esemény valószínûségeit felcseréli? (Indokolja is szóban.) (5 pont) Mivel az entrópia függvény szimmetrikus, az eredményt nem befolyásolja a változók sorrendje. Tehát az A és D események felcserésélével az entrópia értéke és az abból számított többi érték (hatásfok, redundancia) változatlan marad. 3. Feladat - Számítási példa - 50 pont a. Egy diszkrét információforrás ötelemû ábécéjének betûgyakoriságai a következõk: Betû Gyakoriság Számítsa ki a forrás karakterisztikáját, azaz a forrásentrópia értékét, a forrás hatásfokát és a redundanciát! (20 pont) 3 of :16

9 Az egyedi valószínûségek kiszámításához a Valószínûség = Egyedi gyakoriság / szumma gyakoriság formulát kell használnunk BetûGyakoriság p i I i = -log 10 p i I i = -log 2 p i 0,20 0,6990 hartley 2,3219 bit 0,35 0,4559 hartley 1,5146 bit 0,10 1,0000 hartley 3,3219 bit 0,30 0,5229 hartley 1,7370 bit 0,05 1,3010 hartley 4,3219 bit 300 H(x) = 0,6213 hartley/szimb H max = 0,6990 hartley/szimb e = 88,89% R = 11,11% 2,0639 bit/szimb 2,3219 bit/szimb A részfeladat megoldását akár hartley-ban, akár bitben kifejezve elfogadom. Viszont felhívom a figyelmet, hogy a (c) részfeladatban a kódolási arány számításához az entrópia értékét mindenképpen át kell váltani bitbe! A kerekítésbõl származóan elképzelhetõk eltérések - pl. valaki 4 tizedesjegynél pontosabban pontosabban számolt, vagy kerekítés helyett csonkította az eredményt. Ez nem hiba. Az egy százalék potosságon belüli eredményeket elfogadtam. b. Szerkesszen ehhez a forráshoz Huffman féle illesztõ kódot - azaz adja meg a Huffman fát és a kódkiosztást. (20 pont) A fa generálálásának lépései: 1. Rendezzük a szimbólumokat gyakoriságuk szerint csökkenõ sorrendbe: 2. Vonjuk össze az utolsó két szimbólumot (C-t és E-t), majd a következõ két legisebb értéket (A-t és CE-t)! Rendezzük a táblát a jobb oldali oszlop értékei szerint csökkenõ sorrendbe, majd vonjuk össze a két legkisebb elemet! A rendezésnél teljesen mindegy, hogy a két azonos értékû elem (B és ACE) közül melyiket vesszük elõbbre. Így viszont két lehetséges fát kapunk, amelyek mindegyikét elfogadtam helyes megoldásnak! 4 of :16

10 1. változat: változat: Végül illik még egyszer rendezni a táblázatot: 1. változat: változat: A táblázatok alapján a kódkiosztás: 1. változat: A 0 C E 1 D 1 B változat: B 0 D 1 A 0 C 0 E A : 000 B : 1 C : 0010 D : 01 E : 0011 A : 10 B : 00 C : 110 D : 01 E : 111 c. Határozza meg az illesztõ kódolás hatásfokát, valamint a kód kiegyenlítettségét! (10 pont) Az átlagos kódszóhosszúság az egyes esetekben az alábbiak szerint alakul: L = 0,2*3 + 0,35*1 + 0,1*4 + 0,3*2 + 0,05*4 = 2,15 bit/kódszó L = 0,2*2 + 0,35*2 + 0,1*3 + 0,3*2 + 0,05*3 = 2,15 bit/kódszó Látható, hogy mindkét kódra ugyanaz az átlagos kódszó hosszúság, ezért mindketten lehetnek optimális kódszóhosszúságú kódok A kódolás hatásfoka: e kód = H(x)/L = 2,0639 / 2,1500 = 95,99% A kód kiegyenlítettsége: Betû p i kódszó 0 bitek 1 bitek Betû pi kódszó 0 bitek 1 bitek A 0, A 0, B 0, B 0, C 0, C 0, D 0, D 0, E 0, E 0, of :16

11 1,3 0,85 1,4 0,75 Innen a 0 és 1 bitek relatív gyakoriságára adódik: Innen a 0 és 1 bitek relatív gyakoriságára adódik: p 0 = 1,3 / (1,3+0,85) = 60,47% p 1 = 0,85 / (1,3+0,85) = 39,53 % Az egyes bitek által hordozott egyedi információ: I 0 = 0,7258 bit I 1 = 1,3388 bit p 0 = 1,4 / (1,4+0,75) = 65,12% p 1 = 0,75 / (1,4+0,75) = 34,88 % Az egyes bitek által hordozott egyedi információ: I 0 = 0,6189 bit I 1 = 1,5194 bit Az illesztõ kódolás entrópiája: H ill = 0,6047*0,7258Az illesztõ kódolás entrópiája: H ill = 0,6512*0, ,3953*1,3388 = 0,9682 bit / számjegy + 0,3488*1,5194 = 0,9330 bit / számjegy A kód lehetséges entrópiájának maximuma: H max A kód lehetséges entrópiájának maximuma: H max = 1 bit/számjegy = 1 bit/számjegy (mint az közismert) (mint az közismert) A kód hatásfoka: e = 96,82% A kód redundanciája: R = 1-e= 3,18% A kód hatásfoka: e = 93,30% A kód redundanciája: R = 1-e= 6,70% [Tóth Gergely] 6 of :16

Informatikai Rendszerek Alapjai

Informatikai Rendszerek Alapjai Informatikai Rendszerek Alapjai Dr. Kutor László A redundancia fogalma és mérése Minimális redundanciájú kódok 1. http://uni-obuda.hu/users/kutor/ IRA 2014 könyvtár Óbudai Egyetem, NIK Dr. Kutor László

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai

Az Informatika Elméleti Alapjai Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Az üzenet információ-tartalma, redundanciája Minimális redundanciájú kódok http://mobil.nik.bmf.hu/tantárgyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai

Az Informatika Elméleti Alapjai Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Minimális redundanciájú kódok Statisztika alapú tömörítő algoritmusok http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07 BMF

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai

Az Informatika Elméleti Alapjai Az Informatika Elméleti Alapjai Dr. Kutor László Az üzenet információ-tartalma és redundanciája Minimális redundanciájú kódok Statisztika alapú tömörítő algoritmusok http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai

Az Informatika Elméleti Alapjai Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Az üzenet információ-tartalma és redundanciája Tömörítő algoritmusok elemzése http://mobil.nik.bmf.hu/tantárgyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07

Részletesebben

2013.11.25. H=0 H=1. Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban,

2013.11.25. H=0 H=1. Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban, Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban, akkor a i (gyakorisága) = k i a i relatív gyakorisága: A jel információtartalma:

Részletesebben

KÓDOLÁSTECHNIKA PZH. 2006. december 18.

KÓDOLÁSTECHNIKA PZH. 2006. december 18. KÓDOLÁSTECHNIKA PZH 2006. december 18. 1. Hibajavító kódolást tekintünk. Egy lineáris bináris blokk kód generátormátrixa G 10110 01101 a.) Adja meg a kód kódszavait és paramétereit (n, k,d). (3 p) b.)

Részletesebben

dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa

dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa Kódelméletlet dolás dolás o Kódolás o Betőnk nkénti nti kódolk dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa o A kódok k hosszának alsó korlátja McMillan-egyenlıtlens tlenség Kraft-tételetele o Optimális

Részletesebben

Mohó algoritmusok. Példa:

Mohó algoritmusok. Példa: Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus sokszor olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Ezt gyakran dinamikus programozás alapján

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

13. Egy x és egy y hosszúságú sorozat konvolúciójának hossza a. x-y-1 b. x-y c. x+y d. x+y+1 e. egyik sem

13. Egy x és egy y hosszúságú sorozat konvolúciójának hossza a. x-y-1 b. x-y c. x+y d. x+y+1 e. egyik sem 1. A Huffman-kód prefix és forráskiterjesztéssel optimálissá tehető, ezért nem szükséges hozzá a forrás valószínűség-eloszlásának ismerete. 2. Lehet-e tökéletes kriptorendszert készíteni? Miért? a. Lehet,

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Hibajavító kódok május 31. Hibajavító kódok 1. 1

Hibajavító kódok május 31. Hibajavító kódok 1. 1 Hibajavító kódok 2007. május 31. Hibajavító kódok 1. 1 Témavázlat Hibajavító kódolás Blokk-kódok o Hamming-távolság, Hamming-súly o csoportkód o S n -beli u középpontú t sugarú gömb o hibajelzı képesség

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása 1 Információk 2 A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin Elérhetőség mesko.katalin@tfk.kefo.hu Fogadóóra: szerda 9:50-10:35 Számonkérés időpontok Április 25. 9 00 Május 17. 9 00 Június

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai

Az Informatika Elméleti Alapjai Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Törtszámok bináris ábrázolása, Az információ értelmezése és mérése http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07 BMF NIK

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Dinamikus programozás - Szerelőszalag ütemezése

Dinamikus programozás - Szerelőszalag ütemezése Dinamikus programozás - Szerelőszalag ütemezése A dinamikus programozás minden egyes részfeladatot és annak minden részfeladatát pontosan egyszer oldja meg, az eredményt egy táblázatban tárolja, és ezáltal

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Diszkrét matematika II. feladatok

Diszkrét matematika II. feladatok Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Középértékek és szóródási mutatók Matematikai alapok és valószínőségszámítás Középértékek és szóródási mutatók Középértékek A leíró statisztikák talán leggyakrabban használt csoportját a középértékek jelentik. Legkönnyebben mint az adathalmaz

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Shannon és Huffman kód konstrukció tetszőleges. véges test felett

Shannon és Huffman kód konstrukció tetszőleges. véges test felett 1 Shannon és Huffman kód konstrukció tetszőleges véges test felett Mire is jók ezek a kódolások? A szabványos karakterkódolások (pl. UTF-8, ISO-8859 ) általában 8 biten tárolnak egy-egy karaktert. Ha tudjuk,

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Felvételi tematika INFORMATIKA

Felvételi tematika INFORMATIKA Felvételi tematika INFORMATIKA 2016 FEJEZETEK 1. Természetes számok feldolgozása számjegyenként. 2. Számsorozatok feldolgozása elemenként. Egydimenziós tömbök. 3. Mátrixok feldolgozása elemenként/soronként/oszloponként.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI 19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél

Részletesebben

(Az 1. példa adatai Uray-Szabó: Elektrotechnika c. (Nemzeti Tankönyvkiadó) könyvéből vannak.)

(Az 1. példa adatai Uray-Szabó: Elektrotechnika c. (Nemzeti Tankönyvkiadó) könyvéből vannak.) Egyenáramú gépek (Az 1. példa adatai Uray-Szabó: Elektrotechnika c. (Nemzeti Tankönyvkiadó) könyvéből vannak.) 1. Párhuzamos gerjesztésű egyenáramú motor 500 V kapocsfeszültségű, párhuzamos gerjesztésű

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Ütemezési problémák. Kis Tamás 1. ELTE Problémamegoldó Szeminárium, ősz 1 MTA SZTAKI. valamint ELTE, Operációkutatási Tanszék

Ütemezési problémák. Kis Tamás 1. ELTE Problémamegoldó Szeminárium, ősz 1 MTA SZTAKI. valamint ELTE, Operációkutatási Tanszék Ütemezési problémák Kis Tamás 1 1 MTA SZTAKI valamint ELTE, Operációkutatási Tanszék ELTE Problémamegoldó Szeminárium, 2012. ősz Kivonat Alapfogalmak Mit is értünk ütemezésen? Gépütemezés 1 L max 1 rm

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ. Vizsgafejlesztő Központ PRÓBAÉRETTSÉGI 00. május-június MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Vizsgafejlesztő Központ Kedves Kolléga! Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Mit nevezünk nehézségi erőnek?

Mit nevezünk nehézségi erőnek? Mit nevezünk nehézségi erőnek? Azt az erőt, amelynek hatására a szabadon eső testek g (gravitációs) gyorsulással esnek a vonzó test centruma felé, nevezzük nehézségi erőnek. F neh = m g Mi a súly? Azt

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 9. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS

Részletesebben

1. Egy Kft dolgozóit a havi bruttó kereseteik alapján csoportosítottuk: Havi bruttó bér, ezer Ft/fő

1. Egy Kft dolgozóit a havi bruttó kereseteik alapján csoportosítottuk: Havi bruttó bér, ezer Ft/fő Figyelem! A példasor nem tartalmazza valamennyi típuspéldát. A dolgozatban az órán leadott feladatok közül bármely típusú előfordulhat. A példasor már a második dolgozat anyagát gyakorló feladatokat is

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 9 IX. ROBUsZTUs statisztika 1. ROBUsZTUssÁG Az eddig kidolgozott módszerek főleg olyanok voltak, amelyek valamilyen értelemben optimálisak,

Részletesebben

Informatikai Rendszerek Alapjai

Informatikai Rendszerek Alapjai Informatikai Rendszerek Alapjai Dr. Kutor László Minimális redundanciájú kódok (2) Szótár alapú tömörítő algoritmusok 2014. ősz Óbudai Egyetem, NIK Dr. Kutor László IRA 8/25/1 Az információ redundanciája

Részletesebben

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Bevezetés a programozásba. 5. Előadás: Tömbök

Bevezetés a programozásba. 5. Előadás: Tömbök Bevezetés a programozásba 5. Előadás: Tömbök ISMÉTLÉS Specifikáció Előfeltétel: milyen körülmények között követelünk helyes működést Utófeltétel: mit várunk a kimenettől, mi az összefüggés a kimenet és

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1.

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1. DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS A (nxn) kvadratikus (négyzetes) mátrixhoz egyértelműen hozzárendelhetünk egy D R számot, ami a mátrix determinánsa. Már most megjegyezzük, hogy a mátrix determinánsa, illetve a determináns

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor április 09. I. RÉSZ. 1. Hány fokos az a konkáv szög, amelyiknek koszinusza: 2

Próba érettségi feladatsor április 09. I. RÉSZ. 1. Hány fokos az a konkáv szög, amelyiknek koszinusza: 2 Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 010 április 09 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti fehér hátterű

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK

EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK dátum:... a mérést végezte:... EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK m é r é s i j e g y z k ö n y v 1/A. Mérje meg az adott hálózati szabályozható (toroid) transzformátor szekunder tekercsének minimálisan és maximálisan

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

MODULO ÖSZTÖNDÍJADATOK MEGTEKINTÉSE ÉS ÁTLAGMÓDOSÍTÁSI KÉRVÉNY ÜGYLEÍRÁS V.1.0.20140717. SZTE HSZI 2014. július 17.

MODULO ÖSZTÖNDÍJADATOK MEGTEKINTÉSE ÉS ÁTLAGMÓDOSÍTÁSI KÉRVÉNY ÜGYLEÍRÁS V.1.0.20140717. SZTE HSZI 2014. július 17. MODULO 2 ÖSZTÖNDÍJADATOK MEGTEKINTÉSE ÉS ÁTLAGMÓDOSÍTÁSI KÉRVÉNY ÜGYLEÍRÁS V.1.0.20140717 SZTE HSZI 2014. július 17. Tartalomjegyzék Kitöltés megkezdése 3 Személyes adatok 3 Tanulmányi ösztöndíj 4 Átlagmódosítási

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA

Számítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA SZDT-03 p. 1/24 Számítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

4. Fejezet : Az egész számok (integer) ábrázolása

4. Fejezet : Az egész számok (integer) ábrázolása 4. Fejezet : Az egész számok (integer) ábrázolása The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An Information Technology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Szélsőérték-számítás

Szélsőérték-számítás Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

3. gyakorlat. Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F}

3. gyakorlat. Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F} 3. gyakorlat Számrendszerek: Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F} Alaki érték: 0, 1, 2,..., 9,... Helyi

Részletesebben

Quine-McCluskey Módszer

Quine-McCluskey Módszer Quine-McCluskey Módszer ECE-331, Digital Design Prof. Hintz Electrical and Computer Engineering Fordította: Szikora Zsolt, 2000 11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

IBAN: INTERNATIONAL BANK ACCOUNT NUMBER. I. Az IBAN formái

IBAN: INTERNATIONAL BANK ACCOUNT NUMBER. I. Az IBAN formái IBAN: INTERNATIONAL BANK ACCOUNT NUMBER A EUROPEAN COMMITTEE FOR BANKING STANDARDS (ECBS) által 2001. februárban kiadott, EBS204 V3 jelű szabvány rögzíti a nemzetközi számlaszám formáját, valamint eljárást

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben