Hibajavító kódok május 31. Hibajavító kódok 1. 1
|
|
- Mária Törökné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Hibajavító kódok május 31. Hibajavító kódok 1. 1
2 Témavázlat Hibajavító kódolás Blokk-kódok o Hamming-távolság, Hamming-súly o csoportkód o S n -beli u középpontú t sugarú gömb o hibajelzı képesség o minimális távolságú dekódolás o hibajavító képesség o Hamming-korlát, tökéletes kód Lineáris kódok o Generátor- és paritásellenörzı mátrix o Kódolás lineáris kóddal o Singleton-korlát, maximális távolságú kód o Hamming-kód o BCH-kód o Polinomkódok Irodalomjegyzék május 31. Hibajavító kódok 1. 2
3 Hibajavító kódolás A csatornán áthaladó jelsorozat szükségszerően idınként meghibásodik. Hibajavító kódolás esetén a szükségesnél több jelet rendelünk hozzá az üzenetekhez, és ez a redundancia teszi lehetıvé, hogy felismerhessük, ha hiba történik, illetve a keletkezı hibát kijavíthassuk. A hibafelismerés, illetve a hibajavítás mindig csak bizonyos számú hibáig mőködik helyesen. Definíció: K blokk-kód, ha A, S véges halmazok, f: A S* injektív leképezés, K=f(A) S n. K elemei a kódszavak május 31. Hibajavító kódok 1. 3
4 1. példa Az üzenetek bináris jelsorozatok, az S={0,1} halmaz elemeibıl épülnek fel. Rendeljünk hozzá a kettı hosszú üzenetekhez öt hosszú kódokat a következı szabály szerint. (0 0) ( ) (0 1) ( ) (1 0) ( ) (1 1) ( ) Négy elembıl álló blokk-kód. Ha a csatornán a ( ) jelsorozat érkezik, tudjuk, hogy hiba történt, hiszen ez a szó nem szerepel a kódszavak között május 31. Hibajavító kódok 1. 4
5 Az n hosszú jelsorozatok halmazán távolságot definiálunk. Definíció. S véges halmaz, u, v S n, K S n. u és v Hamming távolsága u és v különbözı komponenseinek a száma. d(u,v)= {i 1 i n, u i v i }. Legyen az elıbbiek mellett még K 2. K (minimális) távolsága az egymáshoz legközelebbi két kódszónak a távolsága. d(k)=min{d(u,v) u,v K, u v}. Blokk-kód jelölése: (n, M), vagy (n, M) s illetve (n, M, d) s, ahol M= K és d=d(k). A továbbiakban kizárólag blokk-kódokkal foglalkozunk május 31. Hibajavító kódok 1. 5
6 Tétel. A Hamming-távolság metrika az S n halmazon: bármely két S n -beli vektornak létezik Hamming-távolsága, egy valós szám, amely kielégíti az alábbi három tulajdonságot: 1. d(u,v) 0, és d(u,v)=0 u=v. 2. d(u,v)=d(v,u). 3. d(u,v) d(u,w)+d(w,v). (Háromszög-egyenlıtlenség.) Definíció. Legyen S Abel csoport és 0={0,...,0}, ahol 0 az S egységeleme. u S n Hamming súlya az u nem nulla komponenseinek a száma. w(u)= {i 1 i n, u i 0}. Ha K-nak van eleme a 0 -n kívül, akkor K (minimális) súlya a nem nulla elemei közül a minimális súlyúnak a súlya. w(k)=min{w(u) u K, u 0} május 31. Hibajavító kódok 1. 6
7 2. példa. (0 0) ( ) (0 1) ( ) (1 0) ( ) (1 1) ( ) Az u=( ) és v=( ) kódszavak távolsága d(u,v)=4 A kód távolsága: 3 A z=( ) sorozat súlya: w(z)=4 A kód súlya: május 31. Hibajavító kódok 1. 7
8 Definíció. Legyen K blokk-kód. K csoportkód, ha S Abel-csoport és K S n (K részcsoport S n -ben, a mővelet a komponensenként végzett S-beli mővelet.) május 31. Hibajavító kódok 1. 8
9 3. példa. Az 1. példa S halmaza legyen F 2 a kételemő test. (0 0) ( ) (0 1) ( ) (1 0) ( ) (1 1) ( ) F 2 az összeadásra csoportot alkot. Az F 2 elemeibıl készített n hosszú vektorok is csoportot alkotnak az elemenkénti összeadásra nézve. A K kódhalmaz részcsoport S n -ben, így K csoportkód: bármely két kódszó különbsége is kódszó. F 2 -ben 1= -1, ezért elegendı azt megvizsgálnunk, hogy bármely két kódszó összege is kódszó-e május 31. Hibajavító kódok 1. 9
10 Definíció. Legyen S véges halmaz, n N +, t N, u S n. Az S n -beli u középpontú t sugarú gömb azokat a sorozatokat tartalmazza S n -bıl, amelyek u-tól legfeljebb t távolságra vannak. C t (u)={v v S n, d(u,v) t} május 31. Hibajavító kódok 1. 10
11 4. példa. Legyen K az 1. példabeli kód, u=( ), t=1. Az u körüli 1 sugarú gömbben a következı sorozatok vannak. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Figyeljük meg, hogy nincs a gömb elemei között a ( )-t leszámítva kódszó, ami összhangban van azzal, hogy a kód távolsága nagyobb 1-nél (3) május 31. Hibajavító kódok 1. 11
12 Definíció. Egy kód t-hiba jelzı, ha tetszıleges üzenetben elıforduló legfeljebb t számú hibát képes jelezni, pontosan t-hiba jelzı, ha t-hiba jelzı, de van olyan t+1 hiba, amit nem jelez. Egy kód t-hiba javító, ha tetszıleges üzenetben elıforduló legfeljebb t számú hibát képes javítani, pontosan t-hiba javító, ha t-hiba javító, de van olyan t+1 hiba, amit hibásan javít. Minimális távolságú dekódolásról beszélünk, ha minden S n -beli szóhoz a hozzá legközelebb esı (egyik) kódszót választjuk. A minimális távolságú dekódolás nem mindig a leghelyesebb stratégia. Ez a helyzet például, ha a minimális távolság nagyon nagy május 31. Hibajavító kódok 1. 12
13 5. példa. Az 1. példa kódját alkalmazva tegyük fel, hogy a ( ) hibás jelsorozat érkezik. Minimális távolságú dekódolás esetén a hozzá legközelebbi kódszót, a ( ) szót választjuk helyette május 31. Hibajavító kódok 1. 13
14 4. tétel. Legyen K blokk-kód, tehát K S n, és d(k)=d. A kód akkor és csak akkor t-hiba jelzı, ha t<d, pontosan t-hiba jelzı, ha t=d-1. Minimális távolságú dekódolás esetén a d távolságú kód t-hiba javító, ha 1 pontosan t-hiba javító, ha Bizonyítás. t d 2 t = d 2 Ha t<d, és t helyen romlik el valamelyik kódszó, nem kapunk másik kódszót, s így fel tudjuk ismerni, hogy hiba történt, tehát a kód minden t-hibát tud jelezni. Ha azonban d helyen történt hiba, elıfordulhat, hogy egy kódszó másik kódszóba megy át, s így nem érzékeljük, hogy hiba történt május 31. Hibajavító kódok
15 Ha t 1 d 2 és legfeljebb t helyen romlott el valamelyik kódszó, akkor a hibás szó az eredetihez van legközelebb a kódszavak közül, tehát minimális távolságú dekódolásnál a hibát helyesen javítjuk. Ha azonban a hibák száma > d 1 2 akkor elıfordulhat, hogy az elromlott szó az eredetitıl különbözı más kódszóhoz kerül közelebb, vagy több kódszótól is ugyanolyan távolságra van, és így minimális távolságú dekódolásnál a hibát rosszul javítjuk május 31. Hibajavító kódok 1. 15
16 6. példa. Legyen S=F 2 a közleményszavak pedig k hosszú sorozatok. Állapítsuk meg az alábbi kódok minimális távolságát, hibajelzıés hibajavító képességét. Kétszeri ismétlés kódja. A kódszót megkapjuk, ha a közleményszót kétszer egymás után leírjuk közleményszó: (α 1 α 2 α k ) kódszó: (α 1 α 2 α k α 1 α 2 α k ) A kódszavak n=2k hosszúak. Az n hosszú bináris szavak közül azok a kódszavak, amelyekre az i-edik és k+i-edik elem megegyezik minden 1 i k esetén. A kód távolsága d=2, 1-hibajelzı, hiba javítására nem alkalmas. (Bizonyos 2-hibák nem derülnek ki, pl. ha az elsı és a k+1-edik jegy hibás) május 31. Hibajavító kódok 1. 16
17 Háromszori ismétlés kódja. A kódszót megkapjuk, ha a közleményszót háromszor írjuk egymás után közleményszó: (α 1 α 2 α k ) kódszó: (α 1 α 2 α k α 1 α 2 α k α 1 α 2 α k ) A kódszavak n=3k hosszúak. Az n hosszú bináris szavak közül azok a kódszavak, amelyekre az i-edik, k+i-edik és 2k+i-edik elem megegyezik minden 1 i k esetén. A kód távolsága d=3, 2-hibajelzı, 1-hiba javító május 31. Hibajavító kódok 1. 17
18 Paritásvizsgálat kódja. A kódszót megkapjuk, ha a közleményszó végére az elemek összegét írjuk. közleményszó: (α 1 α 2 α k ) kódszó: α 1 α 2 α k β β k α i i = 1 A közleményszó végére a kódba 1 vagy 0 kerül aszerint, hogy a közleményszó jegyeinek az összege páratlan vagy páros volt. A kódszavak n=k+1 hosszúak. Az n hosszú bináris szavak közül azok a kódszavak, amelyek páros sok 1-est tartalmaznak. A kód távolsága d=2, 1-hibajelzı, hiba javítására nem alkalmas. Az 1. és 3. kód hibajelzı és hibajavító képessége megegyezik, ugyanakkor az 1. kód hossza k értékével sokkal gyorsabban nı, mint a 3. kód hossza, tehát a 3. alkalmazása gazdaságosabb május 31. Hibajavító kódok =
19 5. tétel.(hamming-korlát) t-hiba javító (n, M, d) S kód esetén (s= S ): M t n 1 i i = 0 ( s ) Bizonyítás. S n -ben egy adott kódszótól i távolságra azok a szavak vannak, amelyek pontosan i helyen különböznek tıle. Az i különbözı n helyet -féleképpen választhatjuk ki, mindegyik helyre (s 1) i i jel kerülhet. t n i Az adott kódszó körüli t sugarú gömbben ( s 1) i S n i = 0 -beli szó található, beleértve magát a kódszót is. M kódszavunk van. A kód t-hiba javító, ezért az M különbözı kódszó körüli t- sugarú gömbök diszjunktak kell legyenek. Összesen nem tartalmazhatnak több elemet, mint az S n halmaz, vagyis s n -et. i s n május 31. Hibajavító kódok 1. 19
20 Definíció. Az (n, M, d) S kód tökéletes (perfekt), ha a Hamming-korlát egyenlıséggel teljesül május 31. Hibajavító kódok 1. 20
21 7. példa. Állapítsuk meg, hogy van-e 5 minimális távolságú 13 hosszú perfekt bináris kód? d 1 = 2 n=13, d=6, és így a kód t=2-hibajavító. 2 Ha a közleményszavak k hosszúak, akkor a közleményszavak száma 2 k, ami megegyezik a kódszavak számával, M= 2 k. Ha a kód perfekt, akkor a Hamming-korlát egyenlıséggel teljesül: k = k = 2 2 k 2 92 = A jobb oldalon 2 hatványa áll, a bal oldalon szereplı 92 azonban nem 2 hatványa, ez az egyenlıség nem teljesülhet semmilyen k esetén. Ezért ilyen kód nem létezik május 31. Hibajavító kódok 1. 21
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Hamming-kód. Definíció. Az 1-hibajavító, perfekt lineáris kódot Hamming-kódnak nevezzük. F 2 fölötti vektorokkal foglalkozunk.
Definíció. Hamming-kód Az -hibajavító, perfekt lineáris kódot Hamming-kódnak nevezzük. F fölötti vektorokkal foglalkozunk. Hamming-kód készítése: r egész szám (ellenırzı jegyek száma) n r a kódszavak hossza
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2019. május 3. 1. Diszkrét matematika 2. 10. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2019. május
FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest
FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-07-25 A 2. és a 4. fejezet feladatai megoldva megtalálhatók a Testb vítés, véges testek;
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2016.
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1
Lieáris kódok Defiíció. Legye SF q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. K lieáris kód, ha K az S k-dimeziós altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor.
A továbbiakban Y = {0, 1}, azaz minden szóhoz egy bináris sorozatot rendelünk
1. Kódelmélet Legyen X = {x 1,..., x n } egy véges, nemüres halmaz. X-et ábécének, elemeit betűknek hívjuk. Az X elemeiből képzett v = y 1... y m sorozatokat X feletti szavaknak nevezzük; egy szó hosszán
KÓDOLÁSTECHNIKA PZH. 2006. december 18.
KÓDOLÁSTECHNIKA PZH 2006. december 18. 1. Hibajavító kódolást tekintünk. Egy lineáris bináris blokk kód generátormátrixa G 10110 01101 a.) Adja meg a kód kódszavait és paramétereit (n, k,d). (3 p) b.)
Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós
Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Hibadetektáló és javító kódolások
Hibadetektáló és javító kódolások Számítógépes adatbiztonság Hibadetektálás és javítás Zajos csatornák ARQ adatblokk meghibásodási valószínségének csökkentése blokk bvítése redundáns információval Hálózati
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Kódelméleti és kriptográai alkalmazások
Kódelméleti és kriptográai alkalmazások Wettl Ferenc 2015. május 14. Wettl Ferenc Kódelméleti és kriptográai alkalmazások 2015. május 14. 1 / 11 1 Hibajavító kódok 2 Általánosított ReedSolomon-kód Wettl
Diszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden
Kódoláselmélet. (Humann kód, hibajavító kódok, véges testek konstrukciója. Reed-Solomon kód és dekódolása.)
Kódoláselmélet. (Humann kód, hibajavító kódok, véges testek konstrukciója. Reed-Solomon kód és dekódolása.) 1 Kommunikáció során az adótól egy vev ig viszünk át valamilyen adatot egy csatornán keresztül.
Lineáris kódok. sorvektor. W q az n dimenziós s altere. 3. tétel. t tel. Legyen K [n,k,d] kód k d (k 1). Ekkor d(k)=w(k)
Defiíci ció. Legye S=F q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. r. K lieáris kód, k ha K az S k-dimeziós s altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor. W
13. Egy x és egy y hosszúságú sorozat konvolúciójának hossza a. x-y-1 b. x-y c. x+y d. x+y+1 e. egyik sem
1. A Huffman-kód prefix és forráskiterjesztéssel optimálissá tehető, ezért nem szükséges hozzá a forrás valószínűség-eloszlásának ismerete. 2. Lehet-e tökéletes kriptorendszert készíteni? Miért? a. Lehet,
Az állítást nem bizonyítjuk, de a létezést a Paley-féle konstrukció mutatja: legyen H a
. Blokkrendszerek Definíció. Egy (H, H), H H halmazrendszer t (v, k, λ)-blokkrendszer, ha H = v, B H : B = k, és H minden t elemű részhalmazát H-nak pontosan λ eleme tartalmazza. H elemeit blokkoknak nevezzük.
A kódok típusai Kódolás: adatok megváltoztatása. Dekódolás: a megváltoztatott adatból az eredeti visszanyerése.
1. Hibajavító kódok A kódok típusai Kódolás: adatok megváltoztatása. Dekódolás: a megváltoztatott adatból az eredeti visszanyerése. Célok Titkosírás (kriptográfia). A megváltoztatott adat illetéktelenek
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz. Diszkrét matematika 2.C szakirány 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 207.
1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból
Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból (A szakirány, 2015-2016 tavaszi félév) A számonkérés során ezeknek a definícióknak, tételkimondásoknak az alapos megértését is számon kérjük. A példakérdések
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Miller-Rabin prímteszt
Az RSA titkosítás Nyílt kulcsú titkosításnak nevezünk egy E : A B és D : B A leképezés-párt, ha bármely a A-ra D(E(a)) = a (ekkor E szükségképpen injektív leképezés), E ismeretében E(a) könnyen számítható,
Bevezetés az algebrába 2 Lineáris algebra alkalmazásai
Bevezetés az algebrába 2 Lineáris algebra alkalmazásai Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Hamming-kódnak. Definíci Az 1-hibajav1. nevezzük. F 2 fölötti vektorokkal foglalkozunk. se: zleményszavak hossza A H (r n)
Hamming-kód Definíci ció. Az -hibajav hibajavító,, perfekt lineáris kódot k Hamming-kódnak nevezzük. F 2 fölötti vektorokkal foglalkozunk. Hamming-kód készítése: se: r egész szám m (ellenırz rzı jegyek
dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa
Kódelméletlet dolás dolás o Kódolás o Betőnk nkénti nti kódolk dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa o A kódok k hosszának alsó korlátja McMillan-egyenlıtlens tlenség Kraft-tételetele o Optimális
Az informatikai biztonság matematikai alapjai HIBAKORLÁTOZÁS
Az informatikai biztonság matematikai alapjai Gonda János HIBAKORLÁTOZÁS ELTE IKKK Budapest, 2007 A projekt az EU társfinanszírozásában az Európa terv keretében valósul meg. GVOP-3.2.2.-2004-07-0005/3.0
Gonda János KÓDOLÁS ÉS REJTJELEZÉS
Gonda János KÓDOLÁS ÉS REJTJELEZÉS Budapest, 2010 Kódolás és rejtjelezés Lektorálta xxxx Utolsó módosítás: 2009. december 3. 1. Elıszó Ez a jegyzet az ELTE-n tartott Kódelmélet és kriptográfia címő tárgy
Bevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Alkalmazások H607 2017-05-10 Wettl Ferenc ALGEBRA
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Kódolás. Informatika alapjai-3 Kódolás 1/9
Informatika alapjai-3 Kódolás 1/9 Kódolás A hétköznapi életben a mennyiségek kétféleképpen jelennek meg: Analóg érték: folyamatosan változó, például pillanatnyi idı, egy test tömege. A valóságot leíró
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma
Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes
1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Aleksziev Rita Antónia Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány. Golay-kódok
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Aleksziev Rita Antónia Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Golay-kódok Szakdolgozat Témavezető: Szőnyi Tamás Számítógéptudományi Tanszék
Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
Diszkrét matematika alapfogalmak
2014 tavaszi félév Diszkrét matematika alapfogalmak 1 GRÁFOK 1.1 GRÁFÁBRÁZOLÁSOK 1.1.1 Adjacenciamátrix (szomszédsági mátrix) Szomszédok felsorolása, csak egyszerű gráfok esetén használható 1.1.2 Incidenciamátrix
Gy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
Normák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot
Analízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Hibajavítás, -jelzés. Informatikai rendszerek alapjai. Horváth Árpád november 24.
Hibajavítás és hibajelzés Informatikai rendszerek alapjai Óbudai Egyetem Alba Regia M szaki Kar (AMK) Székesfehérvár 2016. november 24. Vázlat 1 Hibákról 2 Információátvitel diagrammja forrás csatorna
3. gyakorlat. Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F}
3. gyakorlat Számrendszerek: Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F} Alaki érték: 0, 1, 2,..., 9,... Helyi
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
Adatkapcsolati réteg (Data Link Layer) Számítógépes Hálózatok Az adatkapcsolati réteg lehetséges szolgáltatásai
(Data Link Layer) Számítógépes Hálózatok 2013 3. Hibafelismerés és javítás, Hamming távolság, blokk kódok Az adatkapcsolati réteg feladatai: Szolgáltatásokat rendelkezésre bocsátani a hálózati rétegnek
1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.
2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,
Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY
Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.
3. feladat Hány olyan nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2?
Varga Tamás Matematikaverseny iskolai forduló 2010. 1. feladat A tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a hajóba. Rögtön mőködésbe hoztak
Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport
Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Algoritmuselmélet 18. előadás
Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok
Számítógépes Hálózatok 2013
Számítógépes Hálózatok 2013 3. Adatkapcsolati réteg Hibafelismerés és javítás, Hamming távolság, blokk kódok 1 Adatkapcsolati réteg (Data Link Layer) Az adatkapcsolati réteg feladatai: Szolgáltatásokat
Számítógépes Hálózatok ősz Adatkapcsolati réteg Hibafelismerés és javítás, Hamming távolság, blokk kódok
Számítógépes Hálózatok ősz 2006 5. Adatkapcsolati réteg Hibafelismerés és javítás, Hamming távolság, blokk kódok 1 Adatkapcsolati réteg (Data Link Layer) Az adatkapcsolati réteg feladatai: Szolgáltatásokat
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik
3. előadás. Programozás-elmélet. A változó fogalma Kiterjesztések A feladat kiterjesztése A program kiterjesztése Kiterjesztési tételek Példa
A változó fogalma Definíció Legyen A = A 1 A 2... A n állapottér. A pr Ai projekciós függvényeket változóknak nevezzük: : A A i pr Ai (a) = a i ( a = (a 1, a 2,..., a n ) A). A változók jelölése: v i =
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
2013.11.25. H=0 H=1. Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban,
Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban, akkor a i (gyakorisága) = k i a i relatív gyakorisága: A jel információtartalma:
Számítógépes Hálózatok
Számítógépes Hálózatok 4. Előadás: Adatkapcsolati réteg Based on slides from Zoltán Ács ELTE and D. Choffnes Northeastern U., Philippa Gill from StonyBrook University, Revised Spring 2016 by S. Laki Adatkapcsolati
Formális nyelvek és automaták
Formális nyelvek és automaták Nagy Sára gyakorlatai alapján Készítette: Nagy Krisztián 2. gyakorlat Ismétlés: Megjegyzés: Az ismétlés egy része nem szerepel a dokumentumban, mivel lényegében a teljes 1.
Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra:
Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: C(T ) = (u,v) T c(u,v) Az F = (V,T) gráf minimális feszitőfája G-nek,
Jel, adat, információ
Kommunikáció Jel, adat, információ Jel: érzékszerveinkkel, műszerekkel felfogható fizikai állapotváltozás (hang, fény, feszültség, stb.) Adat: jelekből (számítástechnikában: számokból) képzett sorozat.
Shannon és Huffman kód konstrukció tetszőleges. véges test felett
1 Shannon és Huffman kód konstrukció tetszőleges véges test felett Mire is jók ezek a kódolások? A szabványos karakterkódolások (pl. UTF-8, ISO-8859 ) általában 8 biten tárolnak egy-egy karaktert. Ha tudjuk,
AST_v3\ 3.1.3. 3.2.1.
AST_v3\ 3.1.3. 3.2.1. Hibakezelés Az adatfolyam eddig megismert keretekre bontása hasznos és szükséges, de nem elégséges feltétele az adatok hibamentes és megfelelő sorrendű átvitelének. Az adatfolyam
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
Matematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
Metrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
Hálózati folyamok. A használt fogalmak definiálása
Hálózati folyamok Hálózat A használt fogalmak definiálása Ez összesen 4 dologból áll: - Egy irányított G gráf - Ennek egy kitüntetett pontja, amit forrásnak hívunk és s-sel jelölünk - A gráf még egy kitüntetett
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Diszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot. Hány összefüggő, illetve reguláris van közöttük? 2. Hány olyan, páronként
SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
1. Bevezetés A félév anyaga. Gyűrűk és testek Ideál, faktorgyűrű, főideálgyűrű Gauss-egészek, két négyzetszám tétel Az alaptételes gyűrűk jellemzése A számfogalom lezárása Algebrai és transzcendens számok
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Szakács Lili Kata megoldása
1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Mohó algoritmusok. Példa:
Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus sokszor olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Ezt gyakran dinamikus programozás alapján
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
A gyakorlati jegy
. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
26.B 26.B. Analóg és digitális mennyiségek jellemzıi
6.B Digitális alapáramkörök Logikai alapfogalmak Definiálja a digitális és az analóg jelek fogalmát és jellemzıit! Ismertesse a kettes és a tizenhatos számrendszer jellemzıit és az átszámítási algoritmusokat!