Diszkrét matematika 2.C szakirány
|
|
- Ildikó Kocsisné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz. Diszkrét matematika 2.C szakirány 9. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 207. tavasz
2 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 2. Betűnkénti kódolás Tétel (McMillan-egyenlőtlenség, NB) Legyen A = {a, a 2,..., a n } és B két ábécé, B elemeinek száma r 2, és ϕ : A B + injektív leképezés. Ha a ϕ által meghatározott betűnkénti kódolás felbontható, akkor l j = ϕ(a j ) jelöléssel n r l j. j= Tétel (McMillan-egyenlőtlenség,,megfordítása, NB) Az előző tétel jelöléseit használva, ha l, l 2,..., l n olyan pozitív egész számok, hogy n j= r l j, akkor van az A-nak a B elemeivel való olyan felbontható (sőt prefix) kódolása, hogy az a j betű kódjának hossza l j.
3 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 3. Betűnkénti kódolás Definíció Legyen A = {a, a 2,..., a n } a kódolandó ábécé, p, p 2,..., p n a betűk eloszlása, ϕ : A B + injektív leképezés, továbbá l j = ϕ(a j ). Ekkor l = n j= p jl j a kód átlagos szóhossza. Ha adott elemszámú ábécével és eloszlással egy felbontható betűnkénti kód átlagos szóhosszúsága minimális, akkor optimális kódnak nevezzük. Megjegyzés Az átlagos kódhossz valós szám, és valós számok halmazában nem feltétlenül van minimális elem (ld. { n n N}), ezért optimális kód létezése nem triviális.
4 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 4. Betűnkénti kódolás Álĺıtás Adott ábécé és eloszlás esetén létezik optimális kód. Bizonyítás Válasszunk egy tetszőleges felbontható kódot (Miért van ilyen?), ennek átlagos szóhosszúsága legyen l. Mivel p j l j > l esetén a kód nem lehet optimális (Miért?), ezért elég azokat a kódokat tekinteni, amelyekre l j l p j, ha j =, 2,..., n. Ilyen kód csak véges sok van, így van köztük minimális átlagos hosszúságú.
5 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 5. Betűnkénti kódolás Tétel (Shannon tétele zajmentes csatornára) Legyen A = {a, a 2,..., a n } a kódolandó ábécé, p, p 2,..., p n a betűk eloszlása, ϕ : A B + injektív leképezés, B elemeinek a száma r 2, továbbá l j = ϕ(a j ). Ha a ϕ által meghatározott betűnkénti kódolás felbontható, akkor H r (p, p 2,..., p n ) l. Bizonyítás = l H r (p, p 2,..., p n ) = n p j ( log r (r l j ) ) + j= n j= log r ( n j= n p j l j + j= ( p j log r p j r l j ) n p j log r p j = j= ) = n j= log r = 0 ( r l ) j p j log r p j
6 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 6. Betűnkénti kódolás Tétel (Shannon kód létezése) Az előző tétel jelöléseivel, ha n >, akkor van olyan prefix kód, amire l < H r (p, p 2,..., p n ) +. Bizonyítás Válasszunk olyan l, l 2,..., l n természetes számokat, amelyekre r l j p j < r l j +, ha j =, 2,..., n (Miért tudunk ilyeneket választani?). Ekkor n j= r l j n j= p j =, így a McMillan-egyenlőtlenség megfordítása miatt létezik prefix kód az adott l j hosszakkal. Mivel l j < log r p j (Miért?), ezért l = n p j l j < j= n p j ( log r p j ) = + H r (p, p 2,..., p n ). j=
7 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 7. Optimális kódkonstrukció: Huffman-kód Legyen {a, a 2,..., a n } az üzenetek halmaza, a hozzájuk tartozó eloszlás pedig {p, p 2,..., p n }, a kódábécé elemszáma r. Rendezzük relatív gyakoriság szerint csökkenő sorrendbe a betűket. Osszuk el maradékosan n 2-t r -gyel: n 2 = q(r ) + m 0 m < r, és legyen t = m + 2. Helyettesítsük az utolsó t betűt egy új betűvel, amihez az elhagyott betűk relatív gyakoriságainak összegét rendeljük, és az így kapott gyakoriságoknak megfelelően helyezzük el az új betűt a sorozatban. Ezek után ismételjük meg az előző redukciót, de most már minden lépésben r betűvel csökkentve a kódolandó halmazt, mígnem már csak r betű marad. Most a redukált ábécé legfeljebb r betűt tartalmaz, és ha volt redukció, akkor pontosan r-et. Ezeket a kódoló ábécé elemeivel kódoljuk, majd a redukciónak megfelelően visszafelé haladva, az összevont betűk kódját az összevonásként kapott betű már meglévő kódjának a kódoló ábécé különböző betűivel való kiegészítésével kapjuk.
8 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 8. Példa Huffman-kódra Legyen A = {a, b,..., j}, a relatív gyakoriságok 0, 7; 0, 02; 0, 3; 0, 02; 0, 0; 0, 3; 0, 02; 0, 7; 0, 06; 0, 09, a kódoló ábécé pedig {0,, 2}. 0 2 = 4 (3 ) + 0, így t = = 2. f 0,3 a 0,7 h 0,7 c 0,3 j 0,09 i 0,06 b 0,02 d 0,02 g e 0,02 0,0 } 0, 03 f 0,3 a 0,7 h 0,7 c 0,3 j 0,09 i 0,06 (g,e) b d 0,03 0,02 0,02 0, 07 f 0,3 a 0,7 h 0,7 c 0,3 j ((g,e),b,d) i 0,09 0,07 0,06 0, 22 f 0,3 (j,((g,e),b,d),i) 0,22 a 0,7 h 0,7 c 0,3 0, 47 (a,h,c) 0,47 f 0,3 (j,((g,e),b,d),i) 0,22
9 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 9. Példa Huffman-kódra folyt. (a,h,c) 0,47 f 0,3 (j,((g,e),b,d),i) 0,22 Kódolás: (a,h,c) 0 f (j,((g,e),b,d),i) 2 Entrópia:, 73. Átlagos szóhossz:, 79. a 00 h 0 c 02 j 20 ((g,e),b,d) 2 (g,e) 20 g 200 e 20 b 2 d 22 i 22
10 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 0. Betűnkénti kódolás Tétel (NB) A Huffman-kód optimális. Példa Shannon-kódra Az előző példában használt ábécét és eloszlást fogjuk használni. Rendezzük sorba az ábécét relatív gyakoriságok szerinti csökkenő sorrendben: f 0,3 a 0,7 h 0,7 c 0,3 j 0,09 i 0,06 b 0,02 d 0,02 g 0,02 e 0,0
11 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz. Példa Shannon-kódra folyt. Határozzuk meg a szükséges szóhosszúságokat: 9 0, 3; 0, 7; 0, 3 < 3, ezért f, a, h és c kódhossza , 09; 0, 06 < 9, ezért j és i kódhossza , 02 < 27, ezért b, d és g kódhossza , 0 < 8, ezért e kódhossza 5. Az f kódja 00, az a kódja 0, a h kódja 02, és ez utóbbihoz -et adva hármas alapú számrendszerben kapjuk c kódját, ami 0. Ehhez -et adva -et kapunk, de j kódjának hossza 3, ezért ezt még ki kell egészíteni jobbról egy 0-val, tehát j kódja 0. Hasonlóan folytatva megkapjuk a teljes kódot: f 00 a 0 h 02 c 0 j 0 i b 20 d 2 g 22 e 2000 Átlagos szóhossz: 2, 3 <, 73 +.
12 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 2. Betűnkénti kódolás Kódfa A betűnkénti kódolás szemléltethető egy címkézett irányított fával. Legyen ϕ : A B egy betűnkénti kódolás, és tekintsük rng(ϕ) prefixeinek halmazát. Ez a halmaz részbenrendezett a,,prefixe relációra. Vegyük ennek a Hasse-diagramját. Így egy irányított fát kapunk, aminek a gyökere az üres szó, és minden szó a hosszának megfelelő szinten van. A fa éleit címkézzük úgy B elemeivel, hogy ha β = αb valamely b B-re, akkor az α-ból β-ba vezető él címkéje legyen b. A kódfa csúcsait is megcímkézhetjük: az a A kódjának megfelelő csúcs címkéje legyen a A; azon csúcs címkéje, amely nincsen rng(ϕ)-ben, legyen,,üres. Megjegyzés Az előbbi konstrukció meg is fordítható. Tekintsünk egy véges, élcímkézett irányított fát, ahol az élcímkék halmaza B, az egy csúcsból kiinduló élek mind különböző címkéjűek, továbbá az A véges ábécének a csúcsokra való leképezését, amelynél minden levél előáll képként. Az a A betű kódja legyen az a szó, amelyet úgy kapunk, hogy a gyökértől az a-nak megfelelő csúcsig haladó irányított út mentén összeolvassuk az élek címkéit.
13 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 3. Kódfa Példa f 0 2 a h c j 0 2 i 0 b d g e A Huffman-kódos példában szereplő kódhoz tartozó kódfa. ϕ(a) =00, ϕ(b) =2, ϕ(c) =02, ϕ(d) =22, ϕ(e) =20, ϕ(f ) =, ϕ(g) =200, ϕ(h) =0, ϕ(i) =22, ϕ(j) =20. A kódszavak prefixeinek halmaza: {λ,, 00, 0, 0, 02, 20, 2, 22, 2, 2, 22, 200, 20, 20}
14 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 4. Kódfa Példa f a h c j i b d g 0 e A Shannon-kódos példában szereplő kódhoz tartozó kódfa. ϕ(a) =0, ϕ(b) =20, ϕ(c) =0, ϕ(d) =2, ϕ(e) =2000, ϕ(f ) =00, ϕ(g) =22, ϕ(h) =02, ϕ(i) =, ϕ(j) =0. A kódszavak prefixeinek halmaza: {0, 0, λ, 20, 2,,, 0, 2, 2000, 200, 20, 2, 00, 22, 02,, 0}
15 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 5. Hibakorlátozó kódolás Példa (ISBN (International Standard Book Number) kódolása) Legyen d, d 2,..., d n decimális számjegyek egy sorozata (n 0). Egészítsük ki a sorozatot egy n + -edik számjeggyel, amelynek értéke d n+ = n j d j mod, j= ha az nem 0, különben d n+ legyen X. Ha valamelyik számjegyet eĺırjuk, akkor az összefüggés nem teljesülhet: d n+ eĺırása esetén ez nyilvánvaló, j n-re d j helyett d j -t írva pedig az összeg j(d j d j )-vel nőtt, ami nem lehet -gyel osztható (Miért?). Azt is észrevesszük, ha j < n esetén d j -t és d j+ -et felcseréljük: az összeg jd j+ + (j + )d j jd j (j + )d j+ = d j d j+ -gyel nő, ami csak akkor lehet -gyel osztható, ha d j = d j+. Megjegyzés 2007 óta 3 jegyű. A személyi számnál is használják.
16 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 6. Hibakorlátozó kódolás Példa (Paritásbites kód) Egy n hosszú 0- sorozatot egészítsünk ki egy n + -edik bittel, ami legyen, ha a sorozatban páratlan sok -es van, különben pedig legyen 0. Ha egy bit megváltozik, akkor észleljük a hibát. Példa (Kétdimenziós paritásellenőrzés) b 0,0 b 0,j b 0,n b 0,n b i,0 b i,j b i,n b i,n b m,0 b m,j b m,n b m,n b m,0 b m,j b m,n b m,n Oszlopok és sorok végén paritásbit. Ha megváltozik egy bit, akkor a sor és az oszlop végén jelez az ellenőrző bit, ez alapján tudjuk javítani a hibát. Ha két bit változik meg, akkor észleljük a hibát, de nem tudjuk javítani.
17 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 7. Hibakorlátozó kódolás Definíció Egy kód t-hibajelző, ha minden olyan esetben jelez, ha az elküldött és megkapott szó legfeljebb t helyen tér el. Egy kód pontosan t-hibajelző, ha t-hibajelző, de van olyan t + -hiba, amit nem jelez. Példa ISBN - -hibajelző paritásbites kód - -hibajelző kétdimenziós paritásellenőrzés - 2-hibajelző Hiba javításának módjai ARQ (Automatic Retransmission Request) - újraküldés, FEC (Forward Error Correction) - javítható, pl.: kétdimenziós paritásell.
18 Kódolás Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz 8. Hibakorlátozó kódolás Definíció Legyen A véges ábécé, továbbá u, v A n. Ekkor u és v Hamming-távolsága alatt az azonos pozícióban lévő különböző betűk számát értjük: d(u, v) = {i : i n u i v i }. Példa = d(00,00)=4 A L M A A N N A = = d(alma,anna)=2
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2016.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2019. május 3. 1. Diszkrét matematika 2. 10. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2019. május
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAlapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból
Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból (A szakirány, 2015-2016 tavaszi félév) A számonkérés során ezeknek a definícióknak, tételkimondásoknak az alapos megértését is számon kérjük. A példakérdések
RészletesebbenA továbbiakban Y = {0, 1}, azaz minden szóhoz egy bináris sorozatot rendelünk
1. Kódelmélet Legyen X = {x 1,..., x n } egy véges, nemüres halmaz. X-et ábécének, elemeit betűknek hívjuk. Az X elemeiből képzett v = y 1... y m sorozatokat X feletti szavaknak nevezzük; egy szó hosszán
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika alapfogalmak
2014 tavaszi félév Diszkrét matematika alapfogalmak 1 GRÁFOK 1.1 GRÁFÁBRÁZOLÁSOK 1.1.1 Adjacenciamátrix (szomszédsági mátrix) Szomszédok felsorolása, csak egyszerű gráfok esetén használható 1.1.2 Incidenciamátrix
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
Részletesebbendolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa
Kódelméletlet dolás dolás o Kódolás o Betőnk nkénti nti kódolk dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa o A kódok k hosszának alsó korlátja McMillan-egyenlıtlens tlenség Kraft-tételetele o Optimális
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben2013.11.25. H=0 H=1. Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban,
Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban, akkor a i (gyakorisága) = k i a i relatív gyakorisága: A jel információtartalma:
RészletesebbenKódoláselmélet. (Humann kód, hibajavító kódok, véges testek konstrukciója. Reed-Solomon kód és dekódolása.)
Kódoláselmélet. (Humann kód, hibajavító kódok, véges testek konstrukciója. Reed-Solomon kód és dekódolása.) 1 Kommunikáció során az adótól egy vev ig viszünk át valamilyen adatot egy csatornán keresztül.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1. Gráfok alapfogalmai
1. Gráfok alapfogalmai Definiáld az irányítatlan gráf fogalmát! Definiáld az illeszkedik és a végpontja fogalmakat! Definiáld az illeszkedési relációt! Definiáld a véges/végtelen gráf fogalmát! Definiáld
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 6. előadás
Algoritmuselmélet 6. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Március 4. ALGORITMUSELMÉLET 6. ELŐADÁS 1 Hash-elés
RészletesebbenDiszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport
Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenHibajavító kódok május 31. Hibajavító kódok 1. 1
Hibajavító kódok 2007. május 31. Hibajavító kódok 1. 1 Témavázlat Hibajavító kódolás Blokk-kódok o Hamming-távolság, Hamming-súly o csoportkód o S n -beli u középpontú t sugarú gömb o hibajelzı képesség
RészletesebbenInformatikai Rendszerek Alapjai
Informatikai Rendszerek Alapjai Dr. Kutor László A redundancia fogalma és mérése Minimális redundanciájú kódok 1. http://uni-obuda.hu/users/kutor/ IRA 2014 könyvtár Óbudai Egyetem, NIK Dr. Kutor László
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenZárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz
Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenAz Informatika Elméleti Alapjai
Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Minimális redundanciájú kódok Statisztika alapú tömörítő algoritmusok http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07 BMF
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenFeladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a
Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenMohó algoritmusok. Példa:
Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus sokszor olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Ezt gyakran dinamikus programozás alapján
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
RészletesebbenDiszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot. Hány összefüggő, illetve reguláris van közöttük? 2. Hány olyan, páronként
RészletesebbenDiszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenAz Informatika Elméleti Alapjai
Az Informatika Elméleti Alapjai Dr. Kutor László Az üzenet információ-tartalma és redundanciája Minimális redundanciájú kódok Statisztika alapú tömörítő algoritmusok http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html
RészletesebbenKÓDOLÁSTECHNIKA PZH. 2006. december 18.
KÓDOLÁSTECHNIKA PZH 2006. december 18. 1. Hibajavító kódolást tekintünk. Egy lineáris bináris blokk kód generátormátrixa G 10110 01101 a.) Adja meg a kód kódszavait és paramétereit (n, k,d). (3 p) b.)
RészletesebbenGráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma
Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás Párosítási tételek Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Kovácsházi Anna
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás Párosítási tételek Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Kovácsházi Anna 2010. 10. 18. 2 7. Párosítási tételek.nb 7. Előadás Emlékeztető: Javító út, Javító
RészletesebbenDiszkrét Matematika 2 (C)
Diszkrét Matematika 2 (C) 2014-15 / őszi félév Jegyzet Az esetleges elírásokért, hibákért felelősséget nem vállalok! Javításokat, javaslatokat a következő címre küldhetsz: blackhawk1990@gmail.com Diszkrét
RészletesebbenPermutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
RészletesebbenVizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat
8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenAz Informatika Elméleti Alapjai
Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Az üzenet információ-tartalma, redundanciája Minimális redundanciájú kódok http://mobil.nik.bmf.hu/tantárgyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07
RészletesebbenHibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós
Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenShannon és Huffman kód konstrukció tetszőleges. véges test felett
1 Shannon és Huffman kód konstrukció tetszőleges véges test felett Mire is jók ezek a kódolások? A szabványos karakterkódolások (pl. UTF-8, ISO-8859 ) általában 8 biten tárolnak egy-egy karaktert. Ha tudjuk,
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Lineáris algebra alkalmazásai
Bevezetés az algebrába 2 Lineáris algebra alkalmazásai Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Alkalmazások H607 2017-05-10 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenAlap fatranszformátorok II
Alap fatranszformátorok II Vágvölgyi Sándor Fülöp Zoltán és Vágvölgyi Sándor [2, 3] közös eredményeit ismertetjük. Fogalmak, jelölések A Σ feletti alaptermek TA = (T Σ, Σ) Σ algebráját tekintjük. Minden
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. március 9. 1. Diszkrét matematika 2. 4. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. március 9. Gráfelmélet Diszkrét
Részletesebben5. A gráf, mint adatstruktúra Gráfelméleti bevezető
5. A gráf, mint adatstruktúra 5.1. Gráfelméleti bevezető Az irányított gráf (digráf) A G = ( V, rendezett párt irányított gráfnak (digráfnak) nevezzük. A rendezett pár elemeire tett kikötések: V véges
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 18. előadás
Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok
RészletesebbenSzámelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok
Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen
Részletesebben