VEKTORSZÁMÍTÁS. Vektorok és vektorműveletek

Átírás

1 VEKTORSZÁMÍTÁS Vetoro és vetorművelete Fza meysége: salár vetor polárvetor axálvetor: valamlye szmmetra em teljesül ráju (testtürözés, töltéstürözés, dőtürözés) (de a velü foglalozó fza törvéyere ge (godoltá századug)) Művelete vetoroal: szorzás salárral: λ a b összeadás: a+ b c a vetoro leárs teret alota a valós számo teste fölött salárszorzat: ab c a b cosα vetoráls szorzat: a b c c a b sα S c ab a, b, c jobbredszert alot vegyesszorzat: ( a b) c ( abc,, ) d Művelet tulajdoságo vetorora: művelet ommutatvtás asszocatvtás dsztrbutvtás az összeadásra ézve szorzás salárral teljesül teljesül teljesül összeadás teljesül teljesül értelmetle salárszorzat teljesül em teljesül teljesül vetoráls szorzat atommutatív em teljesül teljesül vegyes szorzat clus permutácóra értelmetle teljesül geometra összefüggése: merőlegesség: a b ab párhuzamosság:

2 a b a b oplaaltás: c a, b, c S ab paralelogramma területe: T a b p paraleloppedo térfogata: V ( abc,, pp ) salárszorzat dsztrbutvtásáa bzoyítása: xy Def.: x x cosα y Eor bzoyítadó: c( a+ b ) c ( a + b ) Ha c, aor gaz. Ha c, aor bzoyítadó: ( a+ b) a + b a S a+b b S c a b (a+b) Q. E. D. vetoráls szorzat dsztrbutvtásáa bzoyítása: a+ b c a c + b c tétel: legye e tetszőleges: e( ( a+ b) c) ( ea, + bc, ) ( a+ bce,, ) ( a+ b)( c e) a( c e) + b( c e) ace,, + bce,, eac,, + ebc,, e a c + eb c e a c + b c Q. E. D. lalmazáso: cosustétel vetoro fölbotása ompoesere (Cramer-szabály): F α a+ βb+ χc (leáls ombácó) ( abc,, ) ( Fbc,, ) α ( abc,, ) több együttható hasolóéppe

3 Vetoro reprezetácója derészögű oordátaredszerbe Vetorreprezetácó, bázs: bármely vetor felírható bázs: ( ) f - ( ) r r f alaba, ha háromdmezós vetoroat veszü, tehát,, 3 adott bázs és adott r eseté r - és r bjetíve ( ) vetorreprezetácó: r ( r, r, r 3 ) (adott f bázso) () (,, 3 ) f f f Vetorreprezetácó Descartes-féle bázsba (derészögű oordátaredszer): ( ) bázsvetoro: e - () ( ) ( 3) e, e, e ( ) e e δ δ (Kroecer-delta) ( ) a a e a ae ( ) Szorzás salárral: b λa: b λa Összeadás: a+ b c: a + b c Salárs szorzás: ab a b Vetoráls szorzás: a b c j j Művelete vetorreprezetácóal: () (, j, ) c ab e e e j j () ( j) ( e, e, e ) εj j jobbredszer (Lev-Cvta-szmbólum) j balredszer c ε ab j j j Vegyesszorzat:

4 a a a abc,, εjabc j b b b j c c c (determás) ettős vetorszorzat fejtés tétele εjεjl δl εjεm δmδ j δδ jm ( a ( b c) ) εjaj( b c) εjεmajbmc δmδ jajbmc j jm jm δ δ abc abc abc b ac c ab ac b ab c jm j m j j j j jm j j a ( b c) ( ac) b ( ab) c a ( b c) ( ac) b ( ab) c ugyaígy: ( b c) a ( ab) c ( ac) b Recpro vetorredszere (bortogoáls vetorredszer) Defícó ( abc,, vetorredszer recproa BC):,,,, v ( abc) ( b c ) v B ( c a) v C ( a b ) v Egy általáosabb összefüggés: () l e E δ l a bzoyítása, hogy recpro vetorredszer recproa az eredet redszer: V (, B, C) (( b c) ( c a 3 ))( a b) 3 ( c( b( c a) ) b( c( c a) ))( a b) v v 3 ( vc)( a b) v v c a a b a c, a, b c a, a, b a v( ) v hasolóéppe B b és C c vetor: bárm, am vetorteret alot ( ) leárombácó: r α a dmezó fogalma ( ) a vetoro leársa függetlee, ha ( ) α a : α

5 ha ez em áll fö az ( ) a vetoro egye fejezhető a több vetorból a hozzá tartozó α -val leosztva és átredezve dmezó: az adott vetortére a leársa függetle vetoro maxmáls száma a szám -ese dmezós vetorteret alota Fourer-sorbafejtés: végtele dmezós vetor ompoesere botása Leárs operátoro operátor: vetorváltozós vetorfüggvéy f αa+ βb α f a + β f b f ( a ) leárs operátor, ha: jelölés: r példá: f r ( ar) f ( r) a r b ( a, b adott) ulloperátor: Nr dettásoperátor: Er r (yújtás: λ E ) forgatás (t forgásvetor örül ϕ t szöggel), ortogoáls operátor: O türözés (síra, egyeesre, potra): T ( ( r) egyeesre türözés: Tv ( v) v T T Er) em az orgó átmeő egyeesre türözés ( a az egyees egy potjába mutató vetor): + projecó, vetítés (síra, egyeesre): P ( P( Pr) egyeesre vetítés: Pv ( v) Tv v v a ae e (em leárs operátor) ét projetor összege s projetor ortogoáls projetorredszer: P P δl P δl P pld.: recpro vetorredszereél: teljes projetorredszer: a türözés és projecó apcsolata: TP PT P P l l E Pr, E P s projetor) ( ) Pv ve e egy projecó defál egy türözést: P ( E+ T) egy türözés defál ét projecót: P ( E+ T), Q ( E T) tt: P+ Q I és P Q T Művelete leárs operátoroal: egyelőség: B, ha r: r Br szorzás salárral: B Br λ r λ :

6 összeadás: ± B C: Cr r + Br ommutatív: + B B+ asszocatív: + ( B+ C) ( + B) + C + B+ C szorzás: B C : B ( r) Cr C leárs, mert: C ( αr + βr ) B ( αr + βr ) B αr + βr αb r + βb r αcr + βcr em ommutatív: B asszocatív: ( BC) ( B) C BC B ( PO OP ellepéldával gazolható) ( ) ( ) ( ) BC r BC r B Cr B Cr B C r PP P, TT E, E E, N N N, dsztrbutív: ( B+ C) B+ C ( B+ C ) r ( ( B+ C) r) ( Br+ Cr) ( Br) + ( Cr) ( B) r+ + C r B + C r ( B)( B) B ( B N N B N ) +, mert em ommutatív ellepélda: verz: E b PP j N em mdegy operátora va 3 dmezóba, ha egy operátora va bal verze, aor va jobb s és eze egyelőe Vetoro dadus szorzata: a b r a br a b em ommutatív: a b b a P P ( ) Pr e e r a b reprezetácója a b ( ) a ae b a ae a e Operátoro reprezetácója () ()

7 ( ) () b be a e e a ahol: eor: () e e () e e, mert. () ( ) 3*3-as mátrx () () () e e a e a e a e be.. 3 a b mátrx szorzása vetorral: 3 a b a 3 b3 orét operátoroat reprezetáló mátrxo: () E, E e e δ ab ab ab a b ab ab ab 3 ab 3 ab 3 ab 3 3 a3 a ha r a r, aor a3 a a a N egyeesre vetítés: P egyeesre türözés: T E tegelyere vetítés recpro vetorredszereel (ferdeszögű oordátaredszereél): P E e cosϕ sϕ F ϕ sϕ cosϕ F δ cosϕ+ cosϕ + sϕ ε dmezós forgatás: 3 dmezós forgatás: Művelete mátrxoal: összeadás: ha ± B C, aor C ± B salárral szorzás: ha λ B, aor b l l l ml m m ( λ ) () ( ) B e e λ

8 szorzás 3*3-as mátrxo esetébe: em ommutatív ha B C, aor () ( ) ( ) () ( j ) ( j ) C j j e e e Be e e e Be jb j j j szorzás *m-es mátrxo esetébe ( m: égyzetes mátrx, ülöbe téglalap mátrx): B C m m b c : 33 B3 C3 B C : 33 B33 C33 ab c : 3 B3 C a b C: 3 B3 C3 3 3*3-as mátrxo esetébe: a a a3 ha b b b3, aor c c c 3 a a a a b c Determás () ( ) ( 3) det b b b a b c a, b, c e, e, e c c c a b c det : előjeles térfogatövelés fator det ( B) det det B det Bdet det ( B) orét operátoro determása: det E det P dett det O det det det det b ha det cs verze -a *-es mátrxo esetébe: det ε j, j,, p j p j p ha páros számú permutácóval apható vssza az eredet sorred ε j p ha páratla számú permutácóval apható vssza az eredet sorred ha az dexe em md ülöbözõ

9 a determás tulajdosága: λ λ λ λ det ( λ) λ det j j j j j j j + B + B + B B + λ + λ j j j j j a determás számítása:

10 ( ) ( ) ha egy főátlóba lévő elem, aor oszlopcsere, ha egy sor lesz, aor más sor hozzáadása, majd sorcsere

11 evezetes determáso: a b b b a b D a b a b a b (, ) + ( ) b b a Va der Made determás: V ( x,, x ) ( x x ) > l x x x x x x Wrosy-féle determás: f x f x f x f x f x f x W ( f( x),, f( x) ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x sávmátrx: otuáls mátrx: 3 szélességű sávmátrx a b c a b c a homogé otuáls mátrx: a b c a b c a a b b a b szmmetrus homogé otuáls mátrx: b a a b b a b b a x átalaítva: Csevsev polom: ( x) x x l

12 α π ha x 4s : α, ahol Z traszpoált mátrx: ha + B C, aor + B C ha λ B, aor λ B ha B C, aor B C B B B B mert j j j j j j szmmetrus mátrx: atszmmetrus mátrx: mde mátrx fölbotható egy szmmetrus és egy atszmmetrus mátrx C+ C C C összegére: C + det det, mert: det ε ε ε det j l j l j l I J L IJ L I J L j l j l IJ L azért mert εj l ε IJ L, mvel az oda- és vsszaredezés partása szüségéppe ugyaay determáso fejtés tétele: + ( ). l l l l + ( l ) legye: ( l ) ( l )( ) ( l )( ) ( l+ ) + + ( ) +,, det mátrxo szorzatáa determása: N D det det det B B B E B B B

13 B E N det det B det B ( + D det ) det ( B) det ( B ) tehát Mátrxo vertálása: (,) (,) (,) (,) legye adj (előjeles aldetermásoból alotott mátrx traszpoáltja) ( ) ( ) (, ) adj adj adj det E + legye (j-ed sorba beírom az -ed sort) + (, ) ( ) adj adj det j ( j, ) + j adj adj det ( j) j más oldalra hasolóa adj b j det ha det, aor mvel j b cs lye verz va, mert X E X és Négyzetes hpermátrxo: B alaúa, ahol eze *-es mátrxo C D B E F E+ BG F + BH C D G H CE+ DG CF + DH det E a mátrxa cs verze X E X B N E B D C B D C B C D C E N D C B fölcserélhető blooból álló hpermátrxra: B D CB C D

14 Gauss-algortmus: Leárs egyeletredszere, Gaussalgortmus leárs egyeletredszer: a x + a x b am x+ amx b m x a a a b x felfogható úgy hogy: am am a m b m x tehát: x b legye ( b) -vel végrehajtható a megoldásoat em befolyásoló művelete: sor szorozható egy -tól ülöböző számmal sor felcserélhető bármely sor számszorosa hozzáadható egy más sorhoz ét oszlop felcserélhető, de aor az adott változó s cserélőde ezee a segítségével trapézmátrx alara tudju hoz, am három fajta lehet: b b. háromszögmátrx: b m b b. b b + b m ha b b b hams, aor elletmodásra jutottu + + m ha gaz, aor háromszögmátrxot apu

15 b b 3. b b + b m ha b b b hams, aor elletmodásra jutottu + + darab szabad paraméter lesz b b átalaítható a övetezőéppe: b b b ezt egységmátrxá alaítju: b r): Mátrxo ragja ( r( ) a fet módo trapézmátrxá átalaított mátrx soraa száma szgulartást mér r m, m egy mátrx ragja a legagyobb em aldetermás mérete r m, m em szgulárs (vertálható) mátrxoál: példá: r( N ) r( a b ) háromdmezós tér operátorat reprezetáló mátrxoál: térbe épez: r( ) 3 síba épez: r( ) egyeesbe épez: r( ) potba épez: r( ) operátoroat jellemző mátrxoál az számít, hogy háy dmezóba épeze r r B r + B r + r B r( B) m r( ), r( B) Mátrxo vertálása a Gauss-algortmus segítségével: x b

16 legye e b b e g δ ( ) ( ) ( ) e x bg ( ) ez a Gree-függvéyes módszer vetoroal ( ) legye: C g eor: l C l Operátoro bleárs alaja: mátrxo szorzása vetorral balról: y x x x j j j j j y x x Sajátérté-számítás operátoro szorzata vetorral: legye az az operátor, amt a mátrx reprezetál eor: x x bleárs ala (szedvcselés): ab, : a b b a b a ab ba ab Operátoro sajátértée és sajátvetora: alapprobléma: s λs s -t sajátvetoráa evezzü λ -t sajátértéée S : mdg jó, trváls sajátvetor ha s sajátvetora -a, aor α : α s s az (valójába sajátráyról va szó) ormált sajátvetor: s Mátrx sajátértée: reprezetálva a problémát: v λv ebből: v l l λv egy homogé leárs egyeletredszert apu: v trváls megoldás v l l λδlvl ( l λδl ) vl Bv l l ( λe) v Bv ( λ ) ( λ ) ( λ ) v + v + v 3 3 v+ v+ v 3 3 v+ v+ v

17 λ 3 B λ 3 λ aor va em trváls megoldása, ha a aratersztus polom: f B aratersztus egyelet: f ( λ ) ee darab omplex gyöe va, ezeet vsszahelyettesítve Gauss-módszerrel megapju a sajátvetoroat *-es és 3*3-as mátrxo aratersztus egyelete: Sp Tr *: f ( λ) λ λ bz.: Sp + det λ ( λ)( λ) λ 3*3: f( λ) λ λ λ ( ) λ λ+ λ λsp + det 3 Sp + Sp adj det λ det sajátértéeből reostruálható az eredet mátrx. Ha egy leárs operátort más bázsba reprezetálu a sajátértée ugyaazo lesze. a aratersztus egyelet együttható varás meysége Valós szmmetrus és omplex hermtus mátrx (teljesül, hogy ) ~ sajátértée valósa: s λ s ebből: s ~ s λ s ~ λss s s ss λ ss tehát: ( λ λ ) s, amből λ valós vagy a trváls megoldást apju Ha ~ l, és λ λl: s s : l ( l) ( ~ ( l) l λ s s s s s s s s λ s s ) ( l) l ebből: ( λ λ ) ( l s s ) l ( l) mvel λ λl: s s Baloldal sajátérté-probléma: mátrxo szorzása balról vetorral: a ez evvales azzal, hogy: ~ a b l l b l l ez alapjá defálható az operátoro szorzása balról vetorral: a a ~, ahol ~ az az operátor, amt az ~ mátrx reprezetál a baloldal sajátérté-probléma: v λ, reprezetálva: v λ a baloldal sajátérté-probléma megegyez a traszpoált mátrx jobboldal sajátérté-problémájával a sajátértée mdét problémáál ugyaazo szmmetrus (öadjugált, hermtus) mátrxo jobb- és baloldal sajátvetora egybeese mátrxo fajtá:

18 + ~. és a sajátértée egyszerese: a ormált sajátvetoro dmezós ortoormált bázst alota térjü át erre a bázsra (főtegely-traszformácó, dagoalzálás): ( ) ( ) s s λ s s λ δ λ λ λ 3 mde mátrx felbotható egy szmmetrus és egy atszmmetrus mátrx összegére a szmmetrus yújtja a tegelyeet az atszmmetrus vetorszoroz a jobb- és baloldal sajátértée egybeese + ~. de a sajátértée többszöröse: ha s és s l ( l) azoos sajátértéhez tartozó sajátvetoro, aor αs + βs l s sajátvetor és ugyaahhoz a sajátértéhez tartoz, mt ( s s l ) s s l ( s s l α + β α + β λ α + β ) darab ugyaazo sajátértéhez tartozó sajátvetor dmezós saját-alteret alot egy sajátértéhez mmum egy dmezós saját altér tartoz eor választhato a saját altérből leársa függetle egységvetoroat, úgy, hogy a több sajátvetorral ortoormált bázst alossaa + ~ 3. és a sajátértée egyszerese: eor em ortoormált, esetleg omplex elemű bázst apu a jobb és baloldal sajátértée recpro-vetorredszert alota: legye u λ u és v λ v l l l l λ v u v u λ v u ( l) ( λ λ ) v u l ha λ λ l (ebbe az esetbe egyeértéű azzal, hogy l): a sajátvetoro hosszát választhatom úgy, hogy: vu () l eor: v u δ l úgy ell őet ormál, hogy a fete teljesüljee + 4. és a sajátértée többszöröse: () l s v u a mátrx egy tagjához hozzáadu ε -t, majd elvégezzü az ε határátmeetet és megézzü, hogy a sajátvetoro hova tartaa ha egy vetorhoz több sajátvetor tart, aor em egyszerű strutúrájú mátrxoról beszélü (lye szmmetrus mátrxoál az ortoormáltság matt em volt) em egyszerű strutúrájú mátrxoál cs ay leársa függetle sajátvetor aháy dmezós a tér, tehát eze em defála bázst a em egyszerű strutúrájú mátrxo llpotes mátrxot ( K ) tartalmaza és s l

19 egyébét a saját altérből választható úgy bal- és jobboldal sajátvetoro, hogy egy ferdeszögű bázs alauljo a recpro vetorredszerével verzmátrx sajátvetora: ha Cs λs, aor C s s λ Projetorfelbotás: legye u λu és v λv P u v projetoro () () () () () l l () P P l u v u l v l u l v u v l δ u v l δ P (ortogoáls projetorredszert alota) ( ) P E legye λ λ v M P u λ () () () l l l M u λ u v u λ u δ λ u M λ v u () M v l v u v l λ v δ λ v ebből: M P λ () () l ha egybeese a sajátértée (egyszerű strutúrájú mátrxoál) a sajátvetoro em egyértelműe, de egy saját altérhez tartozó projetoro összege ge Mátrxfüggvéye: ( ) () l λ P és P P δ P l P l P λ λ λ P teljes ducóval: hatváyozóda) -ra: ( ) l l l l l l λ P (a sajátvetoro marada, a sajátértée vele λ N N P P E polomora: p N p x α x + β x + + µ x+ ν -ből N N N N N ( αλ ) P α + β + + µ + ν α λ P + β λ P + + µ λ P + ν + βλ + + µλ + ν p λ specáls eset: p ( x) f ( x) : ( λ ) P ( ) f f P

20 Cayley-Hamlto tétel: Mde mátrx elégít a saját aratersztus egyeletét. (Nem egyszerű strutúrájú mátrxora s gaz, de ezt em bzoyítju.) Hatváysorora ( F x cx ), ha F( x ) λ -ba értelmezve va: c F( λ ) F P ( )

21 Tehetetleség yomaté Ha egy merev test ω forgatóyomatéal forog meora lesz a perdülete? egy potra: a testre: () () () N r m v () () () () () () () ω ω ω ω N r m v m r r m r r r Θ Θ leárs operátor, Θ szmmetrus mátrx () () () ( ) Θ mr E r r () () () Ef mv ω r ωr ωθ ω Θ f főtegelyredszerbe: Θ Θ Θ3 Θ : ha, aor fő tehetetleség yomaté, ha em, aor devácós yomaté ( ) ráyú tegelyre: Θ Θ ha ω ω, aor N Θ matt ( e ) ω, de E f ( e ) Θ ω a étszeres szorzato Forgatáso, áttérés más Descartesredszerbe Forgatáso: leárs operátoro: r ϑr, :( ϑ )( ϑ ) ab a b ab ebből övetez, hogy a vetoro hosszát megtartja ab, : a ϑ ϑb ab ebből: ϑϑ E (a forgatás operátora ortogoáls operátor) a forgásmátrx ortogoáls mátrx: ϑ detϑ ϑϑ ϑϑ E ϑ ϑ ϑ ϑ δ l l l l l l ϑlϑl ϑlϑl δ l l ϑ a három oszlopvetor és a három sorvetor ortoormált bázst alot

22 () g () ( ) ( 3) ( ) ϑ f f f g ( 3) g () l () l f f δ l és g g δ l Áttérés egy ortoormált bázsról a másra: () r re és () r j re és ebből: r re r () ( j ) r e j j () ( j ) rj re e ϑjr ahol: r ϑr és ( j) () ϑ j e e ϑϑ ϑ ϑ ϑ ϑ e e e e e δ () () j j j j j j ebből: ϑ ϑ, vagys ϑϑ ϑϑ E ϑ a ét oordátaredszer vszoyára jellemző ortogoáls mátrx mde passzív szemléletű bázsforgatás megfelel egy elleező ráyú atív szemléletű vetorforgatása r ϑr ϑ r mátrxo reprezetálása ülöböző bázsoba: r t és r t ebből: ϑr ϑt tehát: t ϑ ϑr ϑϑr ebből: ϑ ϑ és: ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ m m j j m j j j j varás meysége (aratersztus polom együttható): det : det detϑdet det ϑ det Sp : Sp( B) ( B) B ( B) Sp( B) j j j Sp Sp Sp Sp ( ϑϑ) ( ϑϑ) Sp( adj ) főtegely traszformácó szmmetrus mátrxora ( ): térjü át a mátrx ormált sajátvetora által meghatározott ortoormált bázsra jj

23 () s ( ) () ( ) ( 3) s s s s ϑϑ ( 3) s () s λ ( ) () ( ) ( 3) s λs λs λ3s λ ( 3) s λ 3 em szmmetrus mátrxo esetébe: j j b b s λs és s s λs b () b jl úgy ell ormál, hogy: s s δ l teljesüljö eor áttérve a sajátértée által meghatározott ferdeszögű bázsra: b() s λ b( ) j() j( ) j( 3) s s s s CC λ b( 3) s λ 3 mátrx hatváyozása: λ C C ( CC ) λ λ 3 λ ebből: C λ C λ 3 Kvadratus alao étváltozós vadratus alao (síbel objetumo): általáosa fölírva: αx + βxy+ χy + δx+ εy+ c β x α legye x δ és b y β χ ε eor az egyelet így módosul: xx+ bx+ c azért választhattam -t szmmetrusa, mert az atszmetrus mátrxora xx, tehát csa szmmetrus része számít, am a fet mátrx λ végezzü főtegely traszformácót -: ϑ s ϑ, ahol ϑ λ ( ) s (a sajátvetoroat úgy választom, hogy jobbredszert alossaa) módosítsu az egyeletet: x ϑϑ ϑϑ x+ b ϑϑ x+ c legye x ϑ x, b ϑb és c c (elforgattu az x, y oordátaredszert) ()

24 xx+ bx+ c tegyü fel hogy λ, λ ha mdét sajátérté em vadratus, haem leárs ala (ha δ ε, aor salárs ala), ha csa az egy ( x és y szmmetrája matt elég megvzsgál az egy esetet): λ x + δ x+ ε y + c δ δ λ x + ε y + c 4 δ c δ λ x + ε y + (ha ε egyel evesebb dmezós ε 4ε probléma) δ legye x x és c δ y y + (eltoltu a oordátaredszert) ε 4ε λ x + ε y λ y x ε λ x + λ y + δ x+ ε y+ c δ ε δ ε λx + + λy + + c λ λ 4λ 4λ δ ε δ ε legye x x +, y y + és c + c (eltoltu az x, y λ λ 4λ 4λ oordátaredszert) λ x + λ y c tegyü fel, hogy c : ha c : λ x + λ y ha λλ <, aor x y ha λλ >, aor x y ± ± c c λ λ legye c p és λ λ λ x λ y c q : x y ± ± (aous egyelet) p q alazato: ++: ellpszs ( c határesetbe pot) -+: hperbola ( c határesetbe ét egymást metsző egyees)

25 --: cs lye leárs ala: egyees salárs ala: pot egy sajátérté ulla: parabola háromváltozós vadratus alao (térbel objetumo) aous egyelete: x y z ± ± ± jö p q r alazato: +++: ellpszod (ha ét sajátérté egybees, aor forgás ellpszod) ( c határesetbe pot) ++-: öpeyű ellptus hperbolod ( c határesetbe úp) (ha ét sajátérté egybees, aor forgás ellptus hperbolod vagy forgásúp) +--: öpeyű ellptus hperbolod ( c határesetbe úp) (ha ét sajátérté egybees, aor forgás ellptus hperbolod vagy forgásúp) ---: cs lye leárs ala: egyees salárs ala: pot egy sajátérté ulla: ellptus parabolod Mde dfferecálható felület egy adott potjáa megfelelőe cs öryezetébe másodredű felülettel özelíthető. Ellpszse és hperbolá: a fóuszpoto távolsága legye c az alazat geerálásáál haszált álladó (ellpszsél a fóuszpototól való távolság összege, hperboláál ülöbségü) legye a c ecccetrtás: ε a ε < : ellpszs ε > : hperbola a sí mde potjá átmegy egy ellpszs és egy ugyaazo fóuszpotohoz tartozó hperbola és eze merőlegese egymásra eze meghatározzá az adott pot távolságát a fóuszpototól Egy pottól és egy egyeestől megadott aráyú távolságra lévő poto: egyeestől való távolság legye cx pottól való távolság legye dx d eccetrtás: ε c ε < : ellpszs ε : parabola ε > : hperbola

26 Megjegyzés: a so szabadság foú redszere rezgésee leírását lásd a Hullámo és rezgése specél Vetorváltozós salárfüggvéye és salárváltozós vetorfüggvéye dfferecálása Salárváltozós vetorfüggvéye ( r( t ) ): példa: térgörbe ívhossz szert paraméterezése ( r( s ) ): s : ívhossz dr r s+ ds r s ebből: dr ds (a görbe mde potjába özelíthető egy egyeessel) r Κ oordátaredszerbe: r r r, marad, tehát: r 3 például: helyvetor az dő függvéyébe Dfferecálásu: r r () t lm t t, ahol r r( t+ t) r( t) r legye r v, eor v r, vagys v r r 3 ab ab ab + ab ab + ba ugyaígy gazolható: t () () () () r t r t r t r3 t a b a b+ a b és λ () t a λ a+ λa s térgörbé tulajdosága: egységvetor derváltja rá merőleges egységvetor: e -ből e derválva ee, tehát: e e r s e: értő és ( s ) ee e : görbület e r e ( ) : ormálvetor, ormáls egységvetor e és által feszített sí: smulósí R : görbület sugár e

27 R sugarú ör: smulóör e b ( b ): bormáls egységvetor b ( s) -ből torzó épezhető (sígörbére b ( s) Vetorváltozós salárfüggvéy ( φ ( r) ): ) például: hőmérsélet vagy potecál a hely függvéyébe φ r φ x, y, z sztfelületeel szemléltethető a térbe (ame φ álladó), példá: φ ar : a -ra merőleges felülete φ r r : ráymet dervált: φ φ r+ r φ r r özéppotú gömbö legye r e s ( e ), eor r s φ φ r+ e s φ r s s φ r+ e s φ r φ ( r) lm e s s grades: φ m r r+ ε r, ahol lm ε példa: r : m( r ) gradφ ( r) φ r -re φ r r r r r r dφ drgradφ dr gradφ cosα + +, tehát: gradφ r adott dr -re dφ aor maxmáls, ha α, vagys dr gradφ ebből gradφ ráya φ leggyorsabb öveedés ráya dφ ha α, aor gradφ, azaz gradφ agységa a leggyorsabb öveedés dr ráyba vett ráymet dervált dφ a étféle dervált apcsolata: φ r e e dr ha grad dr gradφ, aor dφ és φ r, tehát a grades mdg merőleges a sztfelületre r f r salármező gradese vetormező, de em mde vetormező írható fel salármező gradeseét derválás szabályo: ha φ f ( r), ahol r r : gradφ ( r ) grad λφ+ δψ λgradφ+ δ gradψ φ

28 grad ( φψ ) φ ( r+ dr) ψ ( r+ dr) φ ( r) ψ ( r) ψ r+ dr φ r+ dr φ r + φ r ψ r+ dr ψ r φgradψ + ψ gradφ ( ) a grades reprezetálása Descartes-redszerbe: φ φ( r+ r) φ( r) m( r) r+ ε( r, r) r, ahol r ε gradφ m( r) φ φ( x + xy, + yz, + z) φ( xyz,, ) m x+ m y+ m z+ ε x+ ε y+ ε z 3 3 grad φ ( m, m, m ) 3 legye y z φ( x + xyz,, ) φ( xyz,, ) eor: m+ ε x φ( x + xyz,, ) φ( xyz,, ) ebből: m lm x x φ φ tehát: m lm parcáls dervált x x áll. x ( gradφ ) y z áll. φ φ x voaltegrál Voaltegrál (voal-met tegrál): adott G görbét (végpotjat evezzü el -val (ezdőpot) és B-vel (végpot)) egyelő (em ell feltétleül, csa az szüséges, hogy az egyes potoal az tegrál számításaor egyeletese tartsu egymáshoz) részre osztu (az () osztópoto oordátát r -vel jelölve) B () lm G v r d r v r d r v r r G W F r dr példa: G voaltegrál zárt görbére: örtegrál pld: U Erd r G t G ( ()) () () () () a görbe megadása G r () t módo: r v( r) dr lm v( r) r lm v( r) t r r t lm v r t r t t v r t r t dt Első grades-tétel: t t, ahol () ( + ) () r r r

29 B : grad G ( φ) dr φ( B) φ( ) G bzoyítás: gradφdr lm gradφ r φ φ( B) ( ) G r φ mde zárt görbére: gradφ dr potecálos vetormező: φ v( r) ozervatív vetormező: v( r) dr : gradφ Egy vetormező, aor és csas aor potecálos, ha ozervatív bzoyítás ( v( r) dr ): B B, B: v r dr v r dr r G G r : v( r) dr φ ( r ) r r + r φ( r r ) φ( r ) v( r) dr v( r ) + ebből: gra dφ v( r ) r ha φ ( r) a potecálos eerga egy vetormezőbe (erőtérbe), aor: F( r) gradφ ( r) Youg-tétel: másod parcáls derválta: φ ( x, y) φ legye f ( x, y) f xy, eor:, x y x y φ ( x, y) φ legye g( x, y) g x, eor:, y y x y x r φ φ, ha eze a derválta léteze és folytoosa x y y x φ φ ha V gradφ : Vx és Vy x y V tehát: x V y y x Határozott tegrál számítása özelítő épleteel: téglalapformula trapézformula parabolaformula a függvéy értett szaaszát belefoglalju egy smert területű sídomba, aztá véletleszerűe geerálu potoat (számpáro formájába) a sídomból és elegedőe so utá megézzü, hogy mey es be a függvéy alá, az aráy az összes számpárral adjá az tegrál aráyát a sídomhoz épest

30 ha V ( r) grad átredezve: legye: W rotácó φ : V V, V3 3Vés V V3 W W V V 3 3 V V 3 3 V V V V 3 3 V V 3 V V 3 rot V W ( r) ( W, W, W3) ( V) W ε V 3 (rotácó, vagy örvéyerősség) rot j j j ha V ( r) grad φ : rotv (örvéymetesség) abla-vetor (abla-operátor): (,, 3),, x y z rotv V gradφ φ Youg-tétel matt: rotgradφ ( φ) ( ) φ rotácó szemléletes jeletése: V r ω r ahol ω adott legye ωx3 ω3x V ω3x ωx3 ωx ωx rotv V V ω 3 3 hasolóéppe: ( rotv ) ω és ( rotv ) ω 3 3 tehát: rot ( ω r) rotv ω a rotácó olya mtha a vízfelülete a sebességet tetve a duló vetormezőe, az egyes potoba a jégtáblá forgását vzsgálá példa a fza alalmazásra: áram által eltett mágeses tér, ahol j az áramsűrűség j( r) ~rotb( r ) egy érdees vetormező (így vseled pld. a fürdőádba a lefolyó víz):

31 V ( r) Vr és y x + y x x + y V r orgó özéppotú örre: O Vdr V r r π R általáosa: Vdr π x, ahol x -szer erüljü meg az orgót ( V) ( V) rot rot ( V ) x y x + y x + x + y y rot + 3 xx + y yx + y x + y tehát rotv o: V grad arctg y π erejég határozatla x az örvéymetes vetormező potecálos s ozervatvtás és örvéymetesség: x +, legye V y z rotv, tehát G: Vdr és v gradφ rotv, tehát Vdr (a majdem örvéymetes mező majdem ozervatív) egy x és y oldalú ( x, y ) oordátájú s téglalapra: x y x y Vdr V x+ V y V x V y Vx y + y Vx y Vy x + x Vy x Vdr x y+ x y y x V V x y + x y ( rotv) 3 y x tehát egy vetormező csas aor ozervatív ( Vdr ), ha örvéymetes ( rot V ) a rotácó defícója máséppe: legye az előző x és y oldalú téglalaphoz tartozó ráyított felületvetor (az ráyítás jobbcsavar szert az tegrál ráyától függőe) legye e eor erotv lm Vd r

32 a ablás írásmód: rotφa φa φ a+ φ a gradφ a+ φrot a rot ( a b) ( a b) ( b ) a+ b( a) + a( b) + ( a ) b ( b ) a ( bgrad) a Youg-tétel övetezméye: v r potosa aor írható fel v( r ) potosa aor írható fel dvergeca defícója: dvergeca v gradφ alaba, ha rot v v rot w alaba, ha dvv legye v rot w, eor v ε w, tehát v v w w 3 3 ebből: v w w 3 3 j j j v w w v, tehát v 3 3 w w 3 3 w w 3 3v3 3 w 3 w dvergeca (széttartás, forráserősség): dvv v v (salár) pld.: dv r 3 (táguló redszer) fza példa: dv E( r ) egy vetormező szemléltetése erővoalaal: vetormező ráya: értőráy agysága: egységy eresztmetszetű az ráyra merőleges felülete áthaladó erővoala száma csa a dvergecametes vetormezőt lehet erővoalaal szemléltet a dvergeca szemléletes jeletése folyadéáramlásál: v( r ) a sebességmező csy V térfogatból az egységy dő alatt áramló folyadé térfogata: v( z + z) v( z) v( z + z) v( z) z x y+ z x y+ z z v( z + z) v( z) v v x y v z + z x y V + + V dvv z x y z ugyaez gaz a mágeses fluxusra ( V dv B ) másfajta defícó: egy csy felületeel határolt s térfogatra: v V dvv( r ) lm v V V otutás (ayagmegmaradás) egyelet (a több megmaradás törvéy s hasoló formájú): m ρ ( rt, ) lm V V V ebből: dv v( r )

33 v( r, t): áramlás sebesség mt () ρ ( rt, ) Vés mt ρ (, ) ( rt, + t) ( rt, ) + t rt+ t V ρ ρ ρ mt ( + t) mt t V V t t t ρ V t m( t+ t) m( t) m ρv F t dv( ρv) t V t ρ ebből: dv( ρv) t + ha ρ térbe és dőbe álladó, aor: dvv (összeyomhatatla folyadé) Fza alalmazása (a Maxwell-egyelete dfferecáls alaja): egyed Maxwell-egyelet: mágeses fluxus: BdF Bd F dv B V ebből: dv B másod Maxwell-egyelet (Gauss-törvéy): Ed F Q ε dv E V ρ V ε dv E( r, t) ρ ( r, t) ε bzoyítás: gömb alaú ( R sugarú) homogé töltéseloszlású töltött test eletromos tere: Q r E( r) ha r > R, eor dv E 4πε r r Q Q E( r) r ha r > R, eor dv E dv r ρ 3 3 4πε R 4πε R ε tehát: dv E ρ ε több gömbre a térerősség dvergecá összeadóda, csaúgy, mt az áramsűrűsége és így gaz marad az egyelet folytoos töltéseloszlást fel tudo bota pc gömböre harmad Maxwell-egyelet (Faraday-törvéy): φ U Edr t B E r F t B rot E F F t

34 (, ) B rt rot E( r, t) t első Maxwell-egyelet (mper törvéy javítva): B r µ I µ j F rot B F j F µ rot B j (em gaz mdg, Maxwell javítja) µ olya vetort ell választa, ame dvergecája v j t ( dve) E ez: εµ t E r t tehát rot B( r, t) µ j( r, t) + ε µ t z dexes derválás: z dexes írásmód alapja: x y 3 z gradφ ( r) φ, gradφ ( r) dvv( r) v dvv r rot v( r), v v, v( r) φ ε rot j j dvgradφ ( φ) φ v (, ) d ε µ φ (Laplace operátor), dvgradφ φ Descartes-féle oordátaredszerbe: ( ) l l rotgradφ φ, ( rotgradφ) ε φ dvrot v ε v lm l m graddv v rotrot v+ v v v v j j graddv lvl, ( v) ráymet dervált: ( a ) φ a φ, lapösszefüggése: r x r r r e r x e r x x r ee xl δl ( a v) a vl l

35 r e δl ee l el r megoldás meete: átírás dexes alaba ostaso hozása előre derváláso elvégzése a művelete elvégzése vsszaírás vetoros alaba rot lm rot lm vd F vd F v r r v r d r F r Többszörös tegrálo bevezetése: egydmezós: eddg s smert tegrál b ρ lm ρ a x dx x x x Többszörös tegrálo étdmezós (felület tegrál): ρ x, y df lm ρ x, y F lm ρ x, y x y F F x y vetormező felület tegrálja: () F : F () () v r df lm v r F értelmezhető görbült felületre s v r df v r df sífelületre: F F háromdmezós (térfogat tegrál): ρ r dv ρ x, y, z dxdydz lm ρ x, y, z V lm ρ x, y, z x y z V x K K y z -dmezós: ( ) f ( x, x,, x) dv f ( x, x,, x) dxdx dx ( V ) : x ( ) ( V ) lm f x, x,, x x x x alalmazás (egy galaxsba a gravtácós potecál): ρ( xyz,, ) x y zρ( x, y, z ) x y z φ γ x x + y y + z z (,, ) ρ(,, ) ( x x ) + ( x x ) + ( x x ) ρ x x x x x x x x x x x x γ f x dv tört, egatív és omplex dmezójú tegrálora s terjeszthető, de ezeet em taulju ( 6)

36 többszörös tegrálo fajtá: egydmezós: f s ds φ ( r( s) ) v( r( s) ) φ ( r) dr v( r) dr v( r) v( r) dr ds ds dr hossz-számítás: ds étdmezós: φ r d φ v( r) v( r) v r d r df v r df df df felületszámítás: df háromdmezós: φ r dv v r dv S térfogatszámítás: dv F V em görbült többszörös tegrálo számítása: Két dmezós: téglalapba foglalás: az tegrácós felülete ívül a függvéyt defálju -a legye: x : a x b és y: c y d (, ) (, ) lm (, ) lm (, ) ρ x y df ρ x y df ρ x y y ρ x y x x x T T y y M b d b d b lm y ρ x, y dx ρ x, y dx dy dy dxρ x, y y a c a c a d b b d dy dxρ( x, y) dx dyρ( x, y) c a a c magual a határoal számolás: M N

37 ymax x y x max x y ρ ρ(, ) ρ(, ) T ym y x xm x y (, ) x y df dy dx x y dx dy x y Háromdmezós tegrál (a módszer hasoló): legye: x : a x b, y: c y d és z: e z f ρ( x, y, z) dv dx dy dzρ( x, y, z) Többdmezós tegrál: b d a c e b ( ) ρ( x) dv dx dx dx ρ( x, x,, x ) d f a c p dmezós gömb térfogata: dx dx dx b q d q a c p Más oordáta-redszere: görbült tegráloat lehet számíta és a em görbülteet egyszerűsíte, úgy, hogy más oordáta-redszerbe helyezem heger oordáta-redszer: r cosϕ r( r, ϕ, z) rsϕ z cosϕ df R sϕ dϕdz d Rdϕdz dv rdrdϕdz síbel polároordáta-redszer: x r cosϕ, y rsϕ r x + y, ϕ arctg y x térbel polároordáta-redszer: r sϑ cosϕ r rsϑ sϕ r cosϑ sϑcosϕ df r sϑ sϑsϕ dϑdϕ cosϑ d r sϑdϑdϕ dv r sϑdrdϑdϕ rsα cosϕ ztgϑcosγ spec. eset, úp: r rsα sϕ ztgαsϕ rcosα z síbel ellptus oordáta-redszer:

38 ét rögzített pottól vett távolságo összege és ülöbsége a oordátá ellpszod: ar sϑ cosϕ r brsϑ sϕ cr cosϑ dv abcr drdϑdϕ ellptus hperbolod (egyöpeyű): ar chϑ cosϕ r brchϑ sϕ cr shϑ ellptus hperbolod (étöpeyű): ars hϑ cosϕ r brshϑ sϕ cr chϑ tórusz: ( a+ rsϑ ) cosϕ r( r, ϑ, ϕ) ( a+ rsϑ) sϕ r cosϑ Felhaszálásu az tegrálásál: ét dmezóba: ( v) r r r( uv, + v) r( uv, ) v v ( u) r r r( u+ u, v) r( u, v) u u ( u) ( v) r r F r r u u v v r r r df r u v u v f u v dudv u v φ lm φ( (, )) (, ) u v r r u v ahol: f ( u, v) r( u, v) ( u) ( v) F r r zárt felületél a felületvetort egyezméyese fele ráyítju három dmezóba: ( u) r ( v) r ( w) r r u, r v és r w u v w r r r V,, u v w J u v w u v w r r r Jacoby-determás: J,, u v w

39 feladatmegoldás általáos meete:. dmezó számáa megállapítása. paraméterezés. határo megadása 3. szmbólumo feloldása dr r t dt () ds r () t dt r u, v r u, v d F dudv u v r( u, v) r( u, v) d dudv u v r uvw,, r uvw,, r uvw,, dv,, dudvdw u v w 4. derválás 5. vetorművelete 6. behelyettesítés az tegradusba 7. vetorművelete 8. tegrálás Gulde tétele (forgástestere): I. Kπ RK ( K a erülete a megforgatott sídoma, R K a erület súlypotjáa a távolsága a forgástegelytől) II. V Tπ RT (T a területe a megforgatott sídoma, R T a terület súlypotjáa a távolsága a forgástegelytől)

40 vetorszámítás tegráltétele: Gauss-Osztrogacj tétel: vd F dv v dv csa aor gaz, ha a dvergeca-mező a térfogat belsejébe em szgulárs () () () ( dv ) lm ( dv ) lm () V v dv v r V v F vdf : V F φ φ φ gradφ c: c r df c r df dv( c r ) dv c dv F F V V ebből: φ ( r) df grad φ dv (II. grades-tétel) F φ ( r) df F vdf x F V V V φ dv x v dv legye φ σ (σ másodredű tezor) F σdf ebből: ( dvσ ) V σ x σ x σdf ( dvσ) Stoes-tétel: v r dr rot vdf dv dv csa aor gaz, ha a rotácó-mező a felszíe em szgulárs övetezméy: rot v ozervatív s és fordítva) v r dr (az örvéymetes vetormező 6