alapmátrix azon alapuló számítását. Az összefüggés igényli az L( A 1 esetére megadja a Wei-Norman egyenletet és a Φ (t) ) Lie-algebra A

Átírás

1 Bíráló véleméy SzabóZoltá: A Geometrc Approach or the Cotrol o Swtched ad LPV Systems (Kapcsolt és LPV redszerek ráyítása geometra megközelítésbe) c. MTA doktor (DSc) értekezésről Az értekezés az ráyíthatóság, stablzálhatóság, a robusztus varaca, a redszerverzó és a hbadetektálás kérdésevel oglalkozk külöböző redszerosztályok, köztük dőbe változó leárs (LTV), leárs változó paraméterű (LPV), kváz LPV (LPV), a LPV, leárs kapcsolt (LSS) és bmodáls (BM) redszerek eseté. A redszer jelet a haszos bemeet (u), a em mért hba bemeet (v) és a kmeő jel ( y ) alkotják, a jelek vektorkét értedők. Az értekezés tezíve épít az ráyíthatóság/elérhetőség és a meggyelhetőség/rekostruálhatóság Kalma-éle megogalmazására és klasszkus eredméyere. A tárgyalásmód másk alapja a Woham által az LTI redszerekre kdolgozott geometra módszer és eek általáosítása Szget által LTV redszerekre. A vzsgált problémák többsége u szempotjából korlátozás élkül és előjel korlátozott ( u vektor értelembe) esetekre botható. Az értekezés 2 ejezetből és 4 üggelékből (A-D) áll. A tézsek csoportosítását követve az értekezés égy őbb részre (I-IV) tagozódk, melyek a 3-2 ejezeteket strukturálta ogják össze. Az. ejezet bevezetés, amely rövde bemutatja az ráyításelmélet ejlődés ázsat és éháy kemelt ráyzatát az értekezés szempotjából. A 2. ejezet (kegészítve az A-B. üggelékekkel) az ráyításelmélet előzméyeket és az alapvető redszertechka deícókat célozta meg összeoglal. Az értekezés redszerosztályaak értelmezése a következő: x& (, x& ( ρ( y)) ρ( y)), A( = A B( = B x& ( σ ( ) σ ( ), y( = C( + ρ A + L + ρ A + ρ B + L+ ρ B σ : R ( LTV ) y s measured varable ( ae LPV ) + ( LPV ) {,2, K, s} pecewse costat ( LSS) Megadja a teljes ullába ráyíthatóság és a teljes ullából elérhetőség deícóját, valamt az ráyítható altér (C ) és az elérhető altér (R ) értelmezését. A meggyelhetőség (jövőbel adatokból) deícója szerepel, de em szerepel a rekostruálhatóság deícója (múltbel adatokból). Itt adja meg a Φ ( τ, σ ) állapotátmeet mátrx értelmezését, az azo alapuló koordáta-traszormácót, a Kalma-éle ráyíthatóság Gram-matrxot és aak tulajdoságat LTV redszer eseté, valamt az abból következő Slverma-Meadows ráyíthatóság tesztet. A A( = = ρ ( A dőüggés esetére megadja a We-orma egyeletet és a Φ ( alapmátrx azo alapuló számítását. Az összeüggés géyl az L( A, K, A ) Le-algebra A ˆ, K, Aˆ bázsáak K smeretét, amelyek számításáról (és [ A, B] értelmezéséről AB BA módo) em ylatkozk. A Peao-Baker ormulára hvatkozva megadja a ullából elérhető (tt reachable helyett attaable) állapotok azo tulajdoságát, hogy az R ( A, B) halmaz egy ktütetett R alterét alkotják, valamt képletet ad R ( A, B) számítására, amely a Kalma-éle ráyíthatóság rag eltétel általáosításáak tekthető (Lemma ).

2 Specálsa ú. c -gerjesztett redszer eseté R ( A, B) = R elégséges eltétel a teljes ráyíthatóságra. Itt szerepel Szget eredméye s kostas B eseté. Ezt követ az alapmátrx számtása c -gerjesztett redszer esesté, amely szté géyl a geerált Le-algebra bázsáak smeretét. Egy egyszerű llusztratív példa következk az alapmátrx számítására, amely azoba ksebb hbát tartalmaz, helyese g ( A g2 ( A Φ ( t ) = e e. Az I. rész (Part I, Cotrollablty) a 3-4. ejezetet oglalja magába, és az ráyíthatóság kérdésével oglalkozk leárs kapcsolt redszerek eseté. A 3. ejezet leárs kapcsolt redszerek ráyíthatóságával oglalkozk. A kapcsolt redszer x& ( σ ( ) σ ( ) alakú, ahol σ : R + S (matematka érte- m lembe) mérhető ú. kapcsolás üggvéy, S = {,2, K, s} és u ( U = R em korlátozott. Az ráyítás eladat sorá megválasztadó a σ ( kapcsolás üggvéy és az u ( beavatkozó jel, tehát az ráyító jel w( = ( σ (, ). Az értekezés eltételez, hogy a kapcsolás üggvéy szakaszokét kostas, a kapcsolás dőpotok em torlódak (véges mmáls T δ > tartózkodás dő, ú. dwell tme va érvéybe). Ezáltal az ú. Zeo vselkedés em léphet el, am jeletőse egyszerűsít a problémát (egyúttal csökket a módszerr általáosságá. A teljes ráyíthatóság úgy va értelmezve, hogy mde x, y állapot és mde t dőpot esesté létezk véges t > t és t < t < L < t < t = t kapcsolás dőpotok, σ ( t ) kapcsolás szekveca és u :[ t, t ] U beavatkozó jel, amelyek hatására x ( t ) = x és t ) = y. Itt szerepelek az értekezésbe otos szerepet játszó jelölések, mt a sma vektormezők F halmaza, az x -ből véges dő alatt elérhető állapotok A F (x) halmaza, az x & = ( x, u) redszerhez hozzáredelt V = { u U} vektormezők. Külööse o- u tos szerepet játszk a, ( )( T e u u x e Φ Le τ ω = x jelölés, ahol az e u t x szm- ) t bolkus alak jelöl & ξ = u ( ξ ), ξ () = x megoldását, τ = ( t, K, t), t, T = j = t j, = ( u, K, u ) U ω, u F t u t. A jelölés eltételez, hogy az u ( jel szakaszokét kostas, am a tárgyalást megköyít, egyúttal az általáosságot csökket. A kapcsolt redszer ebbe a elogásba x &( = (, w( ), ahol (, w) sma üggvéy. Kérdéses, hogy a vzsgálatok sorá a később részekbe M valóba egy sokaság (maold), vagy a külöéle varás alterek eseté umerkus okokból M kötelezőe egy altere U -ak. A továbbak a Le-algebra elogást llusztrálják az [, g] Le-bracket szert. A jelölésekbe Le (F ), az értő tér T M a emleárs redszerekél megszokott, azoba cs deálva Le (F ), mközbe a otos szerepet játszó ú. bracketgeeráló vektormezőhöz szükség va rá. Fotos szerepet játszk a Le Saturate LS (F ), amely az F vektormezővel szgorúa ekvvales vektormezők családja, és amely zárt kovex poztív kúp. Agrachev Sachkov eredméye alapjá ha F bracket-geeráló és az F által geerált poztív kovex kúp szmmetrkus, azaz coe ( F ) = coe( F ), akkor F teljese ráyítható. Jurdjevc szert ha v, v LS( F ), akkor ± v LS(F ). Erre alapozva kmodja a (teljes) A ráyíthatóság rak R, ) = eltételét és megadja R, ) alakját korlátozás élkül ( A B ( A B 2

3 kapcsolt redszer esetére (Poposto 3). Bzoyítása eltehetőe megtalálható a hvatkozott Stkkel-Bokor-Szabo (24) ckkbe. Tovább egyszerűsített jelölések következek Φ τ ( ω)( ) helyett, így rögzített, x T µ = ( u, K, u ) eseté Φ τ x és rögzített τ = ( t, K, t ) esesté Φ µ x. em vlágos, mt jelet a ktétel, hogy a jelölésbe σ = σ, K, σ ) el va yomva, etá lerögzített a ( jeletése? Több llusztrácót géyelt vola az ú. ormáls elérhetőség deícója, külööse az = dm M eltétel llusztrácója, mvel ez otos Proposto 4 bzoyításáál (globálsa ráyítható kapcsolt redszer véges számú kapcsolással ráyítható és létezk uverzáls kapcsolás soroza. A bzoyítás khaszálja, hogy létezk az orgót tartalmazó yílt köryezet ( r sugarú gömb), amelyek mde potja s ormálsa elérhető, amely azoba a korább deícókba vélhetőe t > eseté lesz csak gaz. A bzoyítás uverzáls kapcsolás szekvecára voatkozó része khaszálja, hogy a σ kapcsolás sorozat le va rögzítve és τ hossza megegyezk τ hosszával. A globáls ráyíthatóság valószíüleg a teljes ráyíthatóság szoímájakét értedő. yítva marad az uverzáls kapcsolás sorozat umerkus meghatározása, külööse ha a kapcsoladó redszerek s száma agy. Proposto 5 aalóg eredméyt ogalmaz meg Φ µ x esetére, bevezetve az ú. teljes ragú elérhetőség ogalmát. Az állítás korlátozás élkül esetre smert a dszkrétdejű redszerek területéről. Az előjel korlátozott (poztív) esetre s ktér a bzoyítás, azoba ott a Proposto -re törtéő hvatkozás (c-gerjesztett redszer esete) értelmetle. Két egyszerű llusztratív példa következk. Az első redbe va. A másodkba 2 helye hba va, evezetese x első képletébe az utolsó tag helyese T [ t3 ] u2, míg x másodk képletébe az első tag helyese A x 2. A két példa közé va ékelődve Proposto 5 bzoyítása az előjel korlátozott esetre, melyet jobb lett vola a példák elé te. A helyes eltételeket Corollary ogalmazza meg. A (3.8) egyeletbe megogalmazott techka a kapcsolás sorozat meghatározására agyszámú kapcsolt kompoes eseté eheze evezhető egyszerűek. Ezekívül kérdéses, hogy ZOH mellett bztosítható-e mdg és umerkusa meyre robusztus, hogy A vertálható (reverzbls). A 4. ejezet előjel korlátozott (poztív) bemeőjelű kapcsolt redszerek ráyításával oglalkozk derecáltartalmazáso (deretal cluso) alapuló megközelítéssel, khaszálva, hogy az eredet (3.) probléma megoldása körébe az x& A (x c ) kovexkált derecáltartalmazás megoldása sűrűek, és így az elérhetőség halmazok azoosak. Euler dszkretzácó alapuló sorejtéssel a ξ állapotból T dő alatt T elérhető állapotok R (ξ ) halmaza kejezhető. Proposto 6 ogalmazza meg kapcsolt redszer és előjel korlátozott ráyítás eseté a (teljes) ráyíthatóság eltételét k k Ac ( ) = ( A) c () = R, k alakba, és az eze alapuló általáos ráyíthatóság algortmust (GCA). Az algortmust egy példa llusztrálá, amely azoba cs véggvezetve, továbbá a végeredméy s előjel hbás, k = 4 eseté helyese A = A k k. A II. rész (Part II, Stablzablty) az 5. ejezetet oglalja magába, és az aszmptotkus stablzálhatóság kérdésével oglakozk leárs kapcsolt redszerek esesté, amely a zárt körbe törtéő ráyítás alapeltétele. Lemma bzoyítja, hogy a véges dő alatt teljese ullába ráyítható leárs kapcsolt redszer globálsa aszmptot- p m 3

4 kusa s ráyítható, azaz lm t =. A bzoyítás khaszálja, hogy a kapcsolás sorozat véges és az ráyítás szakaszokét kostas, valamt a olytoos leképezések tulajdoságát és az egységgömb kompaktságát. A lemmából következk Proposto 7, azaz (3.) zárt körbe való stablzálhatósága. Itt kell megjegyez, hogy a bzoyítással kapcsolatba Remark 3-ba említett Xe-Wag ckk reverzbls redszert eltételez dszkrét dőbe, hasoló modható Su-Ge ckkel kapcsolatba s. Ezt követőe deálja az általáosított szakaszokét leárs vsszacsatolt stablzálhatóság (GPLFS) ogalmát, ahol u = K x, S, és Proposto 8-ba bzoyítja, l hogy teljese ráyítható (3.) leárs kapcsolt redszer GPLFS. A bzoyítás khaszálja, hogy a eltétel mellett az orgó ormálsa elérhető tetszőleges potból, ezért tetszőleges x, y R \ {} potpár összeköthető az orgót elkerülő trajektórával, ezért Grasse és Sussma eredméye alapjá az A l + Bl Kl autoóm kapcsolt redszerekhez tartozó trajektórával s. Az eredméyt geometralag s szemléltet. L és Atsakls eredméye szert az ráyítás az állapottér egy kúpszerű partícójá va deálva, ahol a C kúpo a redszer A + B K, S alakú. Proposto 8 em l l kostruktív és em ad elvlágosítást a robusztusságról. Alkalmasa választott Schur-mátrxszal (sajátértéke az egységkör belsejébe vaak) a stabltás tartalék beolyásolható, másrészt az uverzáls σ kapcsolás szekveca peródkusa megsmételhető, ezért a megoldáshoz az (5.)-(5.2) approxmácós eladat ogalmazható meg, ahol A = ( c = A + s Bs K ) és A d = A. Egy ellepélda llusztrálja, hogy a eladatak cs mde emszgulárs A c d eseté megoldása. Egy approxmácós lehetőséget mutat be (5.4). A dszkrétdejű esetbe Proposto 9 mutat be egy módszert bzoytala x k + = A ( ) xk + B ( ) uk redszer robusztus stablzálására LMI techkával, ahol írja le a redszerbzoytalaságot. A eltétel az, hogy -tól üggetleül a redszer (teljese) ráyítható legye és létezze σ = s, K, s ) kapcsolás szekveca, hogy a l ( M ullából elérhető állapotokra R σ = R teljesüljö -tól üggetleül. Az LMI eltételek száma véges, ha A ( ), B ( ) poltópkus. Itt kell megjegyez, hogy a Proposto 9-be adott LMI alak (a külöbség csak a jobb alsó blokkba va) és bzoyítása szerepelt már a Xe-Wag ckkbe s A olytoosdejű esetre Proposto általáosítja a módszert Euler dszkretzácó alapuló derecáltartalmazást alkalmazva. A módszert (em bzoytala) stabl kapcsolt redszerre egy példa llusztrálja, amely azoba cs véggvezetve, továbbá em vlágos, hogy ha σ = (,,,2, ) 5-elemű, mért csak 4 állapot-vsszacsatolás T = (,,2 kezdet állapotból ullába ráyítást bemu- k, k2, k3, k4 va megadva. Az x ) tató szmulácós eredméy jeletős túllövéseket és csökkeő ampltúdójú oszcllácót mutat.s mtavétel dő és peródkusa olytatott kapcsolás szekveca eseté. l l A III. rész (Part III, Geometrc Theory o LPV systems: Robust Ivarace) a 6-7. ejezeteket oglalja magába, és LPV redszerek külöéle varás alterevel és azok számítás algortmusaval oglalkozk. A 6. ejezet LPV redszerek geometra elméletet oglalja össze. Ha a redszer T T em autoóm, akkor a szerző a redszert előbb ξ = ( t, x ) bővítéssel autoóm bemeet-a alakra hozza, majd a továbbakba az autoóm redszerrel oglalkozk. Ha a redszer x & x és a V altér A -varás, azaz A ( ρ ) V V, ρ P, A d 4

5 akkor (azoosítva az alteret az alteret keszítő bázsvektorokból álló mátrxszal) = x x x T ~, T = [ V V ] traszormácóval az LTI redszrekél megszokott alakra hozható. Az ( A, B) varás V altér úgy va deálva, hogy ρ P eseté m A ( V V + B és létezk F o ρ :[, T ] R állapot-vsszacsatolás, hogy ( A ( F( )V V, ahol rövde B jelöl Im B( -t. A korább R ( A, B) altér A ( varás. Ha a B -t tartalmazó mmáls ( A, B) varás alteret < A B > jelöl, akkor V =< A B > és u = F(ρ ) x + v választással az x & ρ ) x u redszer az LTI redszerekél megszokott ráyíthatóság lépcsős alakra hozható. A lépcsős alakba ~ x mdg emráyítható, de x csak a c- perzsztes tulajdoság teljesülésekor lesz garatálta ráyítható. Egy adott K altér által tartalmazott összes ( A, B) varás altérek létezk max- máls eleme, amelyet a V altér jelöl. A szerző szert célszerű az R paraméterváltozós ráyíthatóság alteret úgy deál, hogy létezk kostas K és F o ρ :[, T ] R, hogy m R =< A + BF Im BK >, ahol Im B( ρ ) = Im B értedő. Proposto -be em vlágos m Bˆ szerepe. Propozto 2 eltételt ad arra, mkor lesz egy R altér paraméterváltozós ráyíthatóság altér. Lemma 3 azt modja k, hogy rögztett R altér ) Z maxmáls eleme és Proposto 3 szert az R altér paraméterváltozós eseté a Γ = { Z Z = R ( = AZ + B osztályba Γ -ak létezk egyértelmű ráyíthatóság altér, ha ( A, B) varás és R =Z. A továbbakba duáls deícók és összeüggések szerepelek a W R eltételes varás altérre, evezetese C ( = Ker C( jelöléssal A ( ( W C ( ) W p és Go ρ :[, T ] R hogy ( A ( + G( C( )W W. A C által tartalmazott maxmáls A -varás alteret < C A > jelöl. A leárs kapcsolt redszer az LTI redszerhez hasolóa meggyelhetőség lépcsős alakra hozható koordátatraszormácóval, ahol ~ x emmeggyelhető, de x csak a c-perzsztes tulajdoság teljesülésekor lesz garatálta meggyelhető. A paraméterváltozós emmeggyelhető S altér S =< Ker HC A( + G( C > révé deált, ahol H kostas és G p o ρ :[, T ] R a kmeőjel jekcó. Eek az altércsaládak mmáls eleme S. A 7. ejezet a redszermátrxok A ( ρ ) = A + A = ρ a paraméterüggése és leársa üggetle ρ, K, ρ üggvéyek eseté ad meg véges lépésbe beejeződő algortmusokat. Lemma 4 szert A( ρ ) V W, ρ P A V W, =, K,. Az L alteret tartalmazó szupremáls A -varás altér, jelölése V, az AISAL algortmussal határozható meg. Proposto 4 szert L V és V mmáls tulaj- doságú, ha a paraméterek c -gerjesztettek, jelölése < A L >. A duáls összeüggés a K altér által tartalmazott máls altér, jelölése W, amely az AISAK algortmussal határozható meg. Proposto 5 szert W K és W maxmáls tulajdoságú, ha a paraméterek c -gerjesztettek, jelölése < K A >. 5

6 A K altér által tartalmazott ( A, B) varás alterek családjáak maxmáls eleme az ABISA algortmussal határozható meg. Eek duáls párja az L alteret tartalmazó ( C, A) varás alterek alterek családjáak mmáls eleme, amely a CAISA algortmussal határozható meg. Az LTI esesthez hasolóa a K altér által tartalmazott ráyítható alterek drekt összege zárt az alterek (drek összegére, és eek maxmáls eleme a CSA algortmussal határozható meg, jelölése R. CSA dításához szükséges V, amely az ABISA algortmussal számítható. Proposto 6 szert R a legagyobb paraméterváltozós ráyítható altér C = KerC -be. Rögzített ( A, B) varás R altér eseté a Γ család mmáls Z eleme (7.) szert számítható. Az L alteret tartalmazó emmeggyelhető alterek családja zárt az alterek metszetére, és eek a mmáls eleme az USA algortmussal határozható meg, jelölése S. USA dításához szükséges W, amely a CAISA algortmussal számítható. Az IV. rész (Part IV, Applcato o Geometrc Aalyss ad Desg or Hybrd ad LPV Systems) a 8-2. ejezeteket oglalja magába, és a geometra elmélet éháy alkalmazás kérdésével oglalkozk hbrd és LPV redszerek területé. A 8. ejezet szakaszokét leárs bmodáls kapcsolt redszerek ráyíthatóságával és stablzálhatóságával oglalkozk. Az állapotteret egy C = Ker C hpersík két részre ( C +, C ) botja, amelybe eltérő LTI redszerleírás ( A, B, C lletve A 2, B2, C ) va érvéybe, továbbá y s = Cx a dötés vektor. Az egyes alterekbe a relatív okszám r lletve r 2, amely ksebb az állapottér dmezójáál. Ezért létezk jobb verz, am bztosítja tetszőleges elegedőe sma y s megvalósíthatóságát alkalmas u bemeőjel megválasztásával. Ez a tulajdoság kapcsolatba áll S -gal, amely az Im B -t tartalmazó mmáls C, A ) varás ( altér. Másrészt bal vertálhatóság eseté mde megelelőe sma egyértelműe meghatározható u. Ez utóbb tulajdoság kapcsolatba áll amely a eseté ys -hez V -gal, Ker C által tartalmazott maxmáls A, B ) varás altér. Leárs redszer ( V hatása em jelek meg a kmeete, haem csaks V hatása. A jobb verz többértékűsége elszámolható CA r b = választással és alkalmas bázscserével u~ Im B -be. Ezáltal a bemeőjel M u = módo traszormálódk és az ( A,, ) w b C ~ ~ SISO redszer balról és jobbról s vertálható. Ez a tulajdoság V S = és ~ ~ V + S = R következméye. Az alredszerek a (8.2)-(8.3) alakra hozhatók, ahol η& üggetle ξ -től (csak ys -e keresztül ügg ξ -től) és bemeete y u s, ~, másrészt & ξ r üggetle η -től, bemeete v = CA x + w és ξ tegrátorsor, továbbá ys = Cr ξ. Specálsa r = r 2 = r eseté ξ = ξ 2 = ξ. A komplemeter alterek a zéró damkát írják le és η2 = T η = Tη traszormácóval a bmodáls redszer a (8.4)-(8.5) alakba dekompoálható. Ha r =, akkor a redszer az egyszerűbb (8.8)-(8.9) alakra hozható. Ha r r2, akkor az általáosabb (8.6)-(8.7) elbotás va érvéybe. 6

7 Korább eredméyek (Proposto 3) szert a redszer az ráyíthatóság szempotjából a (8.), (8.), (8.2) kompoesekre botható, melyek redre & η &, y& leírását adják, ahol (8.) ráyítható ole kapcsolásokkal. Itt, η2 y& s = v matt eltehetőe r = r2 = -ek kell teljesüle. Lema 5 szert ezért a bmodáls redszer teljese ráyítható, ha a maradék (8.)-(8.2) alredszer teljese ráyítható. A (8.)-(8.2) alredszer damkus kterjesztéssel a (8.4) alakra hozható, ahol w előjel korlátozott. Lemma 5 bzoyítja, hogy ha a (8.4) redszer w emegatív ráyítással η -ból η -be ráyítható, akkor sma emegatív ω ráyítással s η -ból η -be ráyítható, ahol ω -ra és derváltjara kezdet és végérté- kek írhatók elő. A bzoyításba jelölésbel potatlaságok vaak, w -ból több va ( -vel dexel kell). Proposto 7 (eltehetőe ez értedő a szeparácós tétel alat azt modja k, hogy a (8.)-(8.2) alredszer és a (8.4) előjel korlátozott bemeőjelű alredszer egyszerre leszek (teljese) ráyíthatók. Az eredméyt egy példa llusztrálja. Ha a bmodáls redszer olytoos damkájú, azaz P = P 2 = P, akkor Proposto 8 szert a (8.)-(8.2) alredszer és a (8.4) előjel korlátozott bemeőjelű alredszer egyszerre leszek stablzálhatók. Proposto 9 szert ha (8.)-(8.2) globálsa (teljese) ráyítható, akkor aszmptotkusa stablzálható s. A bzoyításba szerepel u, amely azoba em ordul elő (8.)-(8.2)-be. Eze túlmeőe azért, mert a redszer a ulla egyesúly potba va, még em bztos, hogy az egyesúly pot stabl. A 9. ejezet LPV redszerek verzójával oglalkozk. Balról vertálható redszer eseté egyorma kezdet állapot és külöböző bemeőjel üggvéyek eseté a kmeőjel üggvéyek külöbözek. Jobbról vertálható redszer eseté előírt kmeőjel üggvéyhez a hozzátartozó bemeőjel üggvéy meghatározható. Először a vektor relatív okszámmal redelkező emleárs redszerek bemeetkmeet learzácója kerül bemutatásra és az abból következő bal verz kostrukcó. Eek sorá bevezetésre kerül a Ker dh által tartalmazott Z maxmáls ráyított varás, amely a lokáls maxmáls kmeetet ullázó sokaság, és amely kapcsolatba áll a Ker dh -ba tartalmazott maxmáls ráyított varás dsztrbú- cóval, -gal, evezetese ( x) = TxZ. Mvel azoba a kostrukcó elvégzése parcáls derecálegyeletek szmbolkus megoldását géyelé, ezért a szerző ehelyett a geometra elmélete alapuló más megközelítést választ a poltopkus LPV redszer eseté, ahol a paraméterek eleget teszek a ρ ( [ ρ, ρ ] előírásak. LTI redszerek eseté T Z x =V, ahol V a maxmáls (, B) A varás altér Ker C -be. LPV redszerek eseté a paraméter üggvéyek perzszteca eltételéek teljesülésekor hasoló gaz, evezetese V a C = KerC -be tartalmazott maxmáls ( A, B) varás altér. A mmáls ( C, A) varás alteret B = Im B -be S jelöl. Proposto 2 szert az LPV redszer balról vertálható, ha V B =, és jobbról vertálható, ha S + C = R. Balról vertálható redszer eseté z = Tx, = V T, Λ B Λ koordáta-traszormácóval az LPV redszer a (9.7) alakra hozható, továbbá alkalmas u = F2 ( η + v állapot-vsszacsatolással a (9.9)-(9.2) alakot ölt. V max- maltása matt ξ és v kejezhető az y kmeettel és derváltjaval s 7

8 ~ ( r ) p p ( r ) p T y = ( y, K, y, K, y, K, y } = S( ξ szert, ahol S ( rekurzíva számítható. A bal verz redszer bemeete ~ y, kmeete u és alakja (9.2)-(9.22) szert. Ha létezk relatív vektorokszám, akkor az eredméyeket Proposto 2 tartalmazza. Kedvezőtle az alkalmazások szempotjából, hogy szükség va a kmeet derváltjara, valamt a ρ ( paraméterek derváltjara s. A duáls eredméyt jobb verz esetére Proposto 22 tartalmazza. Az előírt kmeethez tartozó u em egyértelmű, szokásos a V B -be eső kompoeseket ulláak választa. Ha a eladat az előírt y d ( kmeőjel követése, az smeretle kezdet állapot hatása megjelek az verz redszer η állapotába, amelyek kompezálására stablzáló szabályozást kell alakalmaz. A szabályozást (9.23), a hbadamkát (9.24)-(9.26) írja le. A 9.2 ábra em elel meg teljese a szabályozás algortmusak, pl. háyzk Γ e és dexcsere va a szabályozó állapotegyeletébe. A Γ = A2S választás modellérzékey lehet, amt talá csökket G 2 LMI techkával törtéő tervezése. Egy példa llusztrálja az LPV verzó lépéset. Előbb a bal verz képzése lett bemutatva az smeretleek eltételezett bemeet becslésére. Szmulácós eredméyek mutatják a vselkedést paraméterváltozás és mérés zaj eseté. A jobb verz eltétel em 5 teljesül, mvel S + Ker C R (a V -ra utalás hbása szerepel a példába), ezért csupá az első két kmeetre alapozva a jobb verz és ehhez egy kmeet követő szabályozó került meghatározásra. A. ejezet a hbadetektálás alapproblémájával (rezduál geerálás) és a zavarás szétcsatolással oglalkozk a LPV redszerek esesté, ahol a paraméterek eleget teszek a ρ ( [ ρ, ρ ] és & ρ ( ) [, ] t & ρ & ρ eltételekek. A redszermátrxok ugyaazo paraméterektől üggeek, a paraméterek száma. Hbadetektálásál (FPRG) a redszer x& ( ρ ) + L ( v ( j = j, y ( = C alakú, ahol v j ( em mért, és v ( ) előordulására kell becslést ad az r ( rezduál geerátorral. A rezduál geerátor egy damkus redszer, amelyek alakja w& ( = ( ρ ) w( G( y( + F(, r( = Mw( Hy(. A tárgyalásba C kostas. Proposto 23 az LTI redszerek köréből smert módszer általáosítása: Ha L U = Im L j j ( ρ és m = 2, akkor a rezduál geerátor megkostruálható, ha az 2 ) = L altéret tartalmazó mmáls t U paraméterváltozós emmeggyelhetőség altérre teljesül U L. A kostruktív bzoyításba kulcsotosságú a H mátrx, = melyek eleget kell tee a Ker HC = Ker C + U eltételek, de H és a P projek- có (az R /U aktortérre) umerkus meghatározása cs részletezve. Az ezek smeretébe már számítható és részbe megválasztható K mátrxszal a rezduál geerátorhoz G ( és F ( meghatározható. A módszer a rezduál geerátor stabltását általába em garatálja. A módszert egy példa llusztrálá, amely egy repülőgép LPV logtudáls damkájához vola hvatott bemutat a rezduál geerátor megválasztását = 2 eseté, azoba a számítás lépése és a rezduál geerátor cseek megadva, csupá a müködést demostráló szmulácós eredméyek szerepelek. Célszerű tt szól (az érthetetleül) a ejezet végére került kvadratkus stablzálás megközelítésről rezduál geerálás eseté. Az ( ρ ) = A ( + G( M választás ese- m j 8

9 té olya kostas P > mátrxot kell meghatároz, amely bztosítja, hogy teljesül T ( A ( ρ ) + G( M ) P + P( A ( + G( M ) <. Ie következk K ( = PG( jelöléssel (a dolgozatba hbása K ( ρ ) = G( P szerepel) egy eltételredszer, amely a P paraméter poltóp sarokpotjara krótt véges sok LMI eltételre vezet. Remark 5 szert G ( megválasztható úgy, hogy ( kostas legye előírható sajátértékekkel. A módszert em llusztrálja példa. A másk vzsgált probléma a zavarójel szétcsatolás (DDP), evezetese az x &( ρ ) + S(, y = Cx redszer eseté olya = F( állapot-vsszacsatolás meghatározása, amely eltütet az y ( kmeőjelből a em mért ( zavarás hatását és stabl redszert eredméyez. Gyakorlat megotolásból a javaslat S = Im S ( meghatározása és < A + B F S > KerC bztosítása. A módszer alapja Proposto 24, amely szert a DDP probléma me- ρ P goldásához el lehet jut úgy, hogy képez kell a Ker C által tartalmazott maxmáls V paraméterváltozós (, B) A varás alteret, és bztosíta kell, hogy teljesüljö S V. A módszert em llusztrálja példa. A. ejezet az új tudomáyos eredméyeket oglalja össze. Ezek elépítése megelel a magyar yelvű tézsüzetek. A 2. ejezet rövde értékel az eredméyeket az elmélet és az alkalmazások szempotjából. Utal a kutatás együttműködésekre és projektekre, amelyek keretébe az eredméyek elhaszálásra kerültek. Az alkalmazások elsősorba a járműráyítás részredszere, a torpedó ráyítás, a repülőgép hbadetektálás és az atomerőműv ráyítás területéről kerültek k. Az eredméyek team-muka keretébe születtek. Függelék A LTV redszerek alapvető összeüggéset oglalja össze. Igy az alapmárx és verzéek (elv) meghatározását, a We-orma egyeletet, a c- gerjesztett redszer ogalmát, az ráyíthatóság Gram-mátrx és R ( A, B) kapcsolatát, valamt a traszormácót, amely autoóm redszerre vezet, és a kapcsolódását a emleárs redszerekhez. Függelék B a vektorterekkel kapcsolatos alapogalmakat tekt át.alapdeícót a Le algebra területéről, valamt a ormáls ráyíthatóság és a kovex olyamat értelmezését és 2 tételt ezekkel kapcsolatba. Függelék C az LTI redszerek területéről ad éháy specáls áttektést, így deícókat a Bruovsky-alakról, az ráyított és varás alterekről, valamt a bal oldal és a jobb oldal vertálhatóságról. Függelék D az varás dsztrbúcókkal és kodsztrbúcókkal kapcsolatos összeüggéseket mutatja be egyszerű példák keretébe LTI, bleárs, LTI és specáls emleárs redszerek eseté. Forma észrevételek: Az értekezés terjedelme (38 oldal) dokolt a tág redszerosztályokra és a vzsgált probléma összetettségére való tektettel. Az értekezés agol yelvezete és stílusa jó. Gépelés hba csak elvétve akad (például p.55, p.68, p.69, p.73, p.77). Va éháy szómétlés (p.2, p.84) és zavaró megogalmazás ( se sgal helyett helyese sg sgal kell, p.65). Zavaró a többször s előorduló hbás j j, pl. { Aˆ j j j, j K} helyett { Aˆ j j J, J K} kell, lásd p.2. Itt kell megemlíte, hogy a magyar yelvű tézsüzetbe számos helye cseek elválasztva vesszővel összetett modatok eseté a mellékmodatok. 9

10 A tézsek értékelése: A tézseket az alább ormába és potosításokkal tudom elogad.. tézs: Az ráyíthatóság geometra elvű megközelítése alapuló eredméyeek általáosítása leárs dővarás kapcsolt (LSS) redszerekre. A teljes ráyíthatóság Kalma-éle általáosított rageltétele érvéyes marad. Teljese ráyítható redszer végesszámú kapcsolással ráyítható és a kapcsolás szekveca uverzáls rögzített redszer eseté. A poztív bemeőjelű kapcsolt redszer ráyíthatósága jellemezhető a hozzáredelt derecáltartalmazással, amely lehetővé tesz az elérhetőség halmaz meghatározását a GCA algortmussal. GCA a redszerjellemzőkből és a korlátozásból képzett halmazok kovex burkáak meghatározását géyl. Az eredméyek a yílt lácú ráyítások területé haszosíthatók. 2. tézs: Teljese ráyítható leárs kapcsolt redszer zárt hurokba aszmptotkusa stablzálható az uverzáls kapcsolás sorozat perodkus smétlésével. Az ráyítás választható szakaszokét leárs állapot-vsszacsatolásak. Poltópkus redszerbzoytalaság eseté az állapot-vsszacsatolás tervezése véges sok LMI-eltétel bevoásával elvégezhető, ha az elérhetőség halmaz a teljes állapottér üggetleül a redszerbzoytalaságtól. A kadódó stablzáló szakaszokét leárs állapotvsszacsatolás mellett a zárt redszer perormacája em beolyásolható. 3. tézs: Az varás altér ogalmáak kterjesztése leárs dővarás (LPV) redszerek esetére, és ezekre alapozva algortmusok kdolgozása a gemetra elmélet részeladataak megoldásához a paraméterüggés eseté. Az algortmusok szmbolkus számításokat géyelek és megalapozzák a robusztus paraméterváltozós állapotvsszacsatolás és állapotmeggyelő tervezését. 4. tézs: Eljárás kejlesztése vektor relatív okszámmal redelkező kváz leárs paraméterváltozós (LPV) redszer bal oldal és jobb oldal verzéek meghatározására, amely varás altér megközelítése alapul. A damkus verzek képzéséhez szükséges koordáta-traszormácók meghatározása. Erre alapozva smeretle bemeet becslésére szűrőtervezés és alapjelkövetésre szabályozótervezés módszer kdolgozása. A módszer géyl a kmeőjel mellett a kmeőjel derváltjaak a mérését, és szükség va a paraméterek mellett a paraméterek derváltjaak smeretére s. 5. tézs: Relatív okszámmal redelkező bmodáls redszer számára ráyíthatóság dekompozícó kejlesztése. A dekompozícó első alredszere ráyítható, a teljes redszer ráyíthatósága a másodk alredszertől ügg. Ez utóbb eltétel ekvvales egy emegatív bemeőjellel ráyított kapcsolt redszer ráyíthatóságával. A tézsek publkálása ragos emzetköz olyóratokba és emzetöz koerecák kadváyaba megtörtét, a tézsek megogalmazása a voatkozó publkácókat s megjelöl. Kérdések:. Proposto 9 dszkrétdejű kapcsolt redszer eseté az állapot-vsszacsatolás számítását egy LMI problémára vezet vssza. Ez az eredméy bzoyítással együtt szerepel Xe ad Wag (25) ckkébe. M az újdoság Proposto 9-be ehhez képest, és a jelölt mkor publkálta eredméyét? 2. A dszkrétdejű előzetes eredméyek, melyek az értekezésbe a bzoyításokál elhaszálásra kerültek, így Xe ad Wag (25), Su ad Ge (22) hvatkozott ckke, reverzbls redszert eltételezek. Továbbra s érvéyes ez a megszorítás az értekezésbe?

11 3. Az értekezés eháy algortmusa jeletős volumeű szmbolkus számítást géyel. Mvel a problémák komplex redszerekél agyméretűek, ezért szükség va kezelésükre specáls szmbolkus célrutokra, amelyek épülhetek a MATLAB Exteded Symbolc Toolboxra, a Maple-re vagy a Mathematca-ra. ) Szíveskedjék elvázol, hogy a IV. részbe szereplő algortmusok megvalósítására készültek-e lye célrutok, vagy kéz módszert haszált a szerző az értekezésbe. Működeke a módszerek akkor s, ha U em altér? ) A kovex burok (co) meghatározására mlye módszert haszált? ) Az uverzáls kapcsolás szakveca meghatározására Xe ad Wag (25) ír le egy kostruktív módszert. Készült-e program az uverzáls kapcsolás szekveca meghatározására, és ha ge, mlye algortmust haszál? v) Szükség volt-e solver alkalmazására a derecáltartalmazáso alapuló megközelítés matt? 4. Az ráyítástechka alkalmazások széles körébe a beavatkozó jelre az ul u H eltételt kell betarta, amhez képest az előjel korlátozott bemeőjelű ráyítások csak egy szűk osztályt alkotak ( u L =, uh = ). Ha továbblépük, már u L, uh = és = ul + δ traszormácó eseté s probléma lép el, mert x &( ρ ) δ ul utolsó tagja matt a traszormált redszer em stadard LPV. M modható az értekezés eredméyeek kterjeszthetőségéről általáos bemeőjel korlátozások eseté? 5. Az értekezésbe számos, a matematka elveket llusztráló (egyszerű) példa szerepel, de em szerepel egy átogó esettaulmáy az eredméyek alkalmazására reáls mérök probléma keretébe (a 9-. ejezetek próbálkozása géretes, de em látszk, hogy kötődk-e valamlye reáls műszak problémához). Másrészt teammuka keretébe számos ragos publkácó keletkezett, amt az az értekezésbe dokumetálva lett. Szíveskedjék ezek közül egyet kragad és a megoldását bemutat. Közbe határolja el a saját eredméyét az esettaulmáy keretébe a team más tagjaak eredméyétől, ha a eladat keretébe már születtek MTA doktor értekezések. Összeoglalva megállapítom, hogy az értekezés otos, a kutatások középpotjába álló redszertechka és ráyításelmélet kérdésekkel oglalkozott, és a emzetköz kutatások gyelembevételével s jeletős új saját eredméyeket ogalmazott meg a leárs paraméterváltozós és kapcsolt redszerek geometra elvű ráyítása területé, melyeket külöld és haza társszerzőkkel közöse ragos koerecáko és olyóratokba publkált, és amelyekre több ragos külöld hvatkozás törtét. Az értekezés hteles adatokat tartalmaz. A tézseket (korább észrevételem etartása mellet a et megogalmazásba elogadom. Az értekezés a korább matematka PhD okozat megszerzését követőe jeletős eredet tudomáyos eredméyel gyarapította az ráyításelméletet, hozzájárult a tudomáyág ejlődéséhez, ezért az értekezés elogadását, a ylváos vta ktűzését és az MTA doktora okozat odaítélését javaslom a műszak tudomáyok területé. Budapest, 2. december 3. Latos Béla a műszak tudomáy (MTA) doktora