Ferde hatásvonalú csuklóval megtámasztott rúd stabilitási vizsgálata

Átírás

1 MISKOCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOGOZAT Ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd stabilitási visgálata egyel Ákos Jósef I. éves gépésméröki MSc sakos hallgató Koules: Dr. Ecsedi Istvá egyetemi taár Mechaikai Tasék Miskolc, 00

2 Tartalomjegyék Beveetés A rúdra voatkoó alapegyelet-redser és megoldása Ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd stabilitási visgálata egy köelítő módserrel Alkalmaás éháy példá kerestül Midkét végé ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd Egyik végé befogott, másik végé ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd Egyik végé ferde hatásvoalú csuklóval, másik végé gömbcsuklóval megtámastott rúd Midkét végé ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd.... Össefoglalás

3 BEVEZETÉS A silárdságtai oktatás egy kiemelt fejeete hossú cetrikusa yomott rudak kihajlási visgálatával foglalkoik. A rugalmas stabilitás problémáját elősör a XVIII. sáad egyik legagyobb matematikusa, eoard Euler visgálta. A stabilitás problémájával mid elméletileg, mid kísérletileg jeleleg is soka foglalkoak. Külöféle serkeetekbe ige gyakra alkalmaak egyees köépvoalú vékoy rudakat (vagyis a rúd két iráyú mérete, a vastagság és a sélesség a rúd hossáho képest kicsi). A ilye rudak sajátossága, hogy már kis rugalmas alakváltoások is jeletőse megváltotathatják a igéybevételeket. A rugalmas egyesúlyi visgálat at mutatja, hogy bioyos esetekbe léteek a külső erőkek olya, ú. kritikus értékei, amelyekél a terheléshe több egyesúlyi alak is tartohat. Jele diákköri dolgoat tárgyát álladó kerestmetsetű, cetrikusa yomott vékoy (karcsú) rudak kritikus terheléseiek a meghatároása képei. A kritikus terhelések meghatároása a ú. másodredű elmélete alapulak, a kerestmetsetek igéybevételét dötőe befolyásolja a meggörbült rúd egyesúlyi alakja. A hagyomáyos egyetemi oktatásba a rúd kihajlása valamelyik fősíkjába törtéik. E a rúdál alkalmaott geometriai megtámastások követkeméye. Ilyekor a kihajlott egyesúlyi alak mide esetbe síkgörbe. Jele diákköri dolgoatba ferde hatásvoalú csuklókkal megtámastott, cetrikusa yomott karcsú rudak kritikus terheléséek meghatároásával foglalkouk. A kritikus terheléshe tartoó görbe voalú egyesúlyi alak általába térgörbe feltéve, hogy a iercia tulajdoságai aiotrópak, ami at jeleti, hogy külöböek a kerestmetset fő másodredű yomatékai. A kritikus teher meghatároására egy egyesúlyi módsert alkalmatuk, a deformált alak meghatároása dötőe a Euler-Beroulli rúdelmélete [] alapul. Általáos esetbe a kritikus teher meghatároásáho egy yolcadredű determiás formájába megfogalmaott trascedes egyelet legkisebb gyökét kell meghatároi. A dolgoat több kokrét példá semlélteti a kritikus teher meghatároásáak módserét, amely dötőe a már említett trascedes sajátérték egyelet megoldásá alapul

4 . A RÚDRA VONATKOZÓ AAPEGYENET-RENDSZER ÉS MEGODÁSA. Ee dolgoatba a ferde hatásvoalú csuklókkal megtámastott rudakkal foglalkouk. A ferde hatásvoalú csukló at jeleti, hogy a csukló tegelye, amely körül a kerestmetset elfordulhat, a csuklós megtámastásak alávetett kerestmetset egyik főtegelyével sem esik egybe. A rudat két síkba visgáljuk (. ábra) a x -x - koordiátaredserbe. Feltételeük, hogy a rúd fősíkjai a x - és x - síkokkal esek egybe. A rúd fősíkja a rúdkerestmetsetek egyik súlypoti főiráyát és a rúd tegelyét tartalmaa. A rúd tegelye a kerestmetsetek súlypotjait köti össe, és jele esetbe a tegellyel esik egybe. x u u u x u + + u u. ábra A rúdra ható erők és yomatékok iráyát a. ábra semlélteti, a rúd kerestmetsete a 3. ábrá látható. x x T T M M.. ábra A fetiekek megfelelőe írhatjuk, hogy: x da x da 0, x x da 0. (.) A A A A visgálataik sorá a Euler-Beroulli rúdmodell össefüggéseit alkalmauk. A rúdmodell alapjá a elmodulásmeő a követkeőképpe é ki (a elmodulási koordiáták x iráyba u, x iráyba u, iráyba w): - 4 -

5 e x e e e P (x, x ) A x 3. ábra e u u (), u u (), (.) u u w x x (.3) Kiematikai egyeletek: a elmodulásmeővel fel tudjuk íri a alakváltoásmeőt, mely a rúdmodell segítségével a követkeő: w u u x x. (.4) A sögelfordulás vektor: du du U e e e, U ue u e. (.5) d d A sögtorulások (a Euler-Beroulli rúdmodell alapjá 0-ak kell leiük): u u x x 0, (.6) mert u és u is csak függvéye, u w u u x u w u u x 0, (.7) 0. (.8) Ayagegyeletek: Feltételeük a geometriai és a ayagi liearitást, vagyis érvéyes a egyserű Hooke-törvéy, ahol E a ayagra jellemő rugalmassági modulus, melyek értéke a rúd meté álladó. Ismerve a alakváltoásmeőt felírhatjuk a fesültségmeőt: - 5 -

6 u u E E x x. (.9) A rúdra ható axiális erő a követkeőképp sámítható (mivel hajlított-yírt rudakat visgáluk, ilye erő em lép fel): u u N da E x da E x da 0. (.0) A A A A hajlítóyomatékokat is meghatárohatjuk: M x da E x x u x u da u EI A A, (.) u ahol E xx da 0 A Hasolóa a (.) feltétel miatt, valamit I = x da. A M x da E x u x x u EI u A A, (.) ahol u E xx da 0 A a (.) feltétel miatt, valamit I x da. A Egyesúlyi egyeletek: A egyesúlyi egyeletek felírásáho megvisgáljuk a rúd egy elemi sakasára ható erőket, melyeket a 4. ábra mutat. x T + dt x T + dt M + dm M + dm F M d du F F M d du F T T 4. ábra A ábrák alapjá a követkeő egyesúlyi egyeleteket tudjuk felíri: dt 0 d, (.3) - 6 -

7 dt 0 d, (.4) dm du T F 0, d d (.5) dm du T F 0. d d (.6) Átredeve a (.5)-ös egyeletet, majd behelyettesítve a (.)-es össefüggést: 3 dm du d u du T F EI F. (.7) 3 d d d d Átredeve a (.6)-os egyeletet, majd behelyettesítve a (.)-es össefüggést: 3 dm du d u du T F EI F. (.8) 3 d d d d Ismerve T -et és T -őt, eeket vissaírhatjuk a (.3)-as és (.4)-es egyeletekbe: 4 d u d u EI F 0, 4 d d (.9) 4 d u d u EI F 0. 4 d d (.0) E a modellre érvéyes alapegyelet-redser, mely két egymástól függetle egyedredű homogé differeciálegyeletből áll. A együtthatókat a követkeő helyettesítésekkel egyserűbb alakba írhatjuk fel: F F,, (.) EI EI így a (.9) és (.0) egyelet a követkeő alakú les: d u d d u d d u 0, (.) d d u 0. (.3) d Ee két homogé differeciálegyelet megoldásáho fel kell íruk a karakteristikus egyeleteiket:, (.4) 4 0. (.5)

8 Midkét karakteristikus egyeletek két darab kétseres gyöke va, melyek köül a egyik gyökpár komplex. Így a megoldásfüggvéyeket a követkeő alakba írhatjuk fel: u A B C si D cos, (.6) u A B C si D cos, (.7) további ismeretleek a (.6)-os egyelethe kapcsolódóa:, M, T, a (.7)-es egyelethe kapcsolódóa:, M, T. A együtthatók meghatároásáho peremfeltételi előírásokra va sükségük. Ehhe visgáljuk meg a csuklót, mely a = 0 helye va (5. ábra): e e O e e 5. ábra A csukló em eged ormál iráyú elmodulást, és em eged körüli elfordulást sem, ee kívül a csukló em tud felvei e iráyú erőt, és yomatékot sem. Vagyis a peremfeltételek: u u u si u cos 0, (.8) si cos 0, (.9) Me M e M cos M si 0, (.30) T T e T cos T si 0. (.3) e Tudjuk, hogy du du, d d. (.3) Vagyis össefoglalva a elmodulásokra érvéyes megoldásfüggvéyek: u A B C si D cos, (.33) - 8 -

9 u A B C si D cos. (.34) A sögelfordulásokat a (.33)-as és (.34)-es (.3)-be törtéő behelyettesítésével kapjuk: B C cos D si, (.35) B C cos D si. (.36) Ha a (.) és (.)-es össefüggésbe behelyettesítjük a (.33)-at és (.34)-et, majd alkalmauk a (.)-es össefüggést, megkapjuk a yomatékokat: M EI C si D cos F C si D cos, (.37) M EI C si D cos F C si D cos. (.38) Ha pedig a (.33) és (.34)-et behelyettesítjük a (.7) és (.8)-as egyeletekbe, alkalmava a (.)-es össefüggést, megkapjuk a yíróerőket: T EI C cos D si 3 F B C cos D si FB, (.39) T EI C cos D si 3 F B C cos D si FB. (.40) Ismerve ee meyiségeket, behelyettesítve őket a peremfeltételi előírásokba [(.8), (.9), (.30), (.3)], 4 egyeletet kapuk. Ha a rúdo alkalmauk egy másik ferde hatásvoalú csuklót is a = helye, mely a tegelyekkel söget ár be, akkor arra a csuklóra is előírható a 4 peremfeltételi előírás [(.8), (.9), (.30), (.3)-he hasolóa], melyekből 4 újabb egyelet yerhető. Így a 8 ismeretle együtthatóra egy 8 egyeletből álló redsert kapuk, melyek megoldásából kisámítható 7 együttható, mit a maradék egy függvéye. A egyeletek tehát a követkeők ( = 0): a (.33) és (.34) behelyettesítve a (.8)- ba: Asi Dsi A cos D cos 0. (.4) A (.35) és (.36) behelyettesítve a (.9)-be: B cos C cos B si C si 0. (.4) A (.37) és (.38) behelyettesítve a (.30)-ba, alkalmava a (.)-et: EI D si EI D cos 0 D si D cos 0. (.43) - 9 -

10 A (.39) és (.40) behelyettesítve a (.3)-be: FB cos FB si 0 B cos B si 0. (.44) Hasolóa a = helye a egyeletek [a (.8), (.9), (.30), (.3) egyeletek itt is érvéyesek, csak a tegelyekkel beárt sög helyett ]: si A B C si D cos cos A B C si D cos 0, (.45) cos B C cos D si si B C cos D si 0, (.46) si C si D cos cos C si D cos 0, (.47) B cos B si 0. (.48) A (.4)-(.48) egyeletek által alkotott redser triviálistól eltérő megoldását keressük, vagyis a együtthatók mátrixáak determiása érus kell legye (a mátrix oslopai A, B, C, D, A, B, C, D együtthatói ebbe a sorredbe): det - si si cos 0 0 cos 0 cos cos 0 0 si si si cos 0 cos si si - si - si si - si cos cos cos cos si cos cos 0 cos cos cos - cos si 0 si si cos - si si si si - si cos 0 0 cos si cos cos 0 cos si (.49) Speciális esetbe a csukló hatásvoala (tegelye) egybeesik valamelyik koordiátategellyel, általába e a tegely a x tegely. Ha a rúd midkét végé lévő csukló tegelye párhuamos a x tegellyel, akkor iga: 0, 0, (.50) vagyis a együtthatók mátrixáak determiása a követkeő egyserű alakba írható fel: - 0 -

11 si cos cos si si cos 0. (.5) Vagyis a követkeő egyeleteket kapjuk a együtthatókra: A D 0, (.5) B C 0, (.53) D 0, (.54) B 0, (.55) A B C si D cos 0, (.56) B C cos D si 0, (.57) C si D cos 0. (.58) Ha a egyeleteket össevetjük, a követkeőket kapjuk: Vagyis felírható, hogy: A B B C D 0, (.59) D si C si 0. (.60) amiből megkapjuk a kritikus terhelés értékeit: si 0, (.6) illetve vagyis k k F k EI, k,,... (.6) si 0, (.63) m m F m EI, m,,... (.64) - -

12 . FERDE HATÁSVONAÚ CSUKÓVA MEGTÁMASZTOTT RÚD STABIITÁSI VIZSGÁATA EGY KÖZEÍTŐ MÓDSZERRE A stabilitás visgálatho érdemes a meyiségeiket vektorosa felíri. A elmodulásmeő koordiátáit a. fejeetbe már felírtuk [(.) és (.3)], így eek segítségével a elmodulásvektor a követkeőképpe é ki: u u U U(x,x,) u () e u () e x x e U() Re, (.) ahol a R-rel jelölt helyvektor a 6. ábrá látható. x R x,x A x 6. ábra Kiematikai egyelet: a (.4)-es egyelet felírva vektorosa: U R. (.) Ayagegyeletek: a (.)-ből felírva a húófesültséget: U E E R. (.3) A rúdra ható axiális erő: U N da E da 0 R, (.4) (A) (A) mert R da 0. (.5) (A) - -

13 A hajlítóyomatékot a követkeőképpe írhatjuk fel: da da E U M R e R e R e R da. (.6) (A) (A) (A) Hogy a yomaték két koordiátáját meg tudjuk határoi, vektoriálisa megsorouk elölről a (.6)-os egyeletet e -vel: U e M RdA E R da (A) (A) R U U E R RdA EJ, (.7) (A) ahol A sögelfordulásvektor: J x x x I 0 R RdA da (A) (A) x 0 I. (.8) x x du du du e e e. (.9) d d d Egyesúlyi egyeletek: Ee egyeletek felírásáho a 7.ábra yújt segítséget. x x M T dt Fe O Fe M dm 7. ábra T - 3 -

14 A ábra alapjá a követkeő egyelet írható fel: A (.0)-es egyeletből követkeik: dm du e d Fe du e d T 0. (.0) Mivel d U d T eredméye e iráyú, eért: dm du du F e T e T 0. (.) d d d így besorova et a egyeletet vektorikusa e -vel: illetve felírható még: d d Ha behelyettesítjük a (.3)-at a (.4)-be, kapjuk: d d du e T 0, (.) d du e M F T 0, (.3) d dt d 0. (.4) d U e M F 0. (.5) d Ebbe behelyettesítve a (.7)-est, kapjuk a modell alapegyeletét: 4 d d E U F 4 d U J d 0. (.6) A 5. ábrá látható csukló alapjá a követkeőket tudjuk felíri: e e, (.7) cos, si, si, cos e. (.8) - 4 -

15 Eekívül feltételeük, hogy a elmodulás a vektor iráyába törtéik: Így felírva a alapegyeletet: U V. (.9) 4 d V d V EI F 0, (.0) 4 d d ahol V U, (.) I J I si I cos. (.) A együtthatókat a követkeő helyettesítéssel írjuk fel: F, (.3) EI így a alapegyelet a követkeő alakra egyserűsödik: 4 d V d V 4 0. (.4) d d Eek a egyeletek a megoldásáho peremfeltételekre va sükségük. Itt is érvéyesek ugyaaok a peremfeltételi előírások, mit a. fejeetbe, vagyis: V(0) V() 0, M (0) M () 0. (.5) e e A e iráyú yomaték: d V d V Me e M e M e M EJ EI, (.6) d d ahol I I si I cos, I I. (.7) A. fejeetbe láthattuk, hogy ha a csukló tegelye valamelyik koordiátategellyel esik össe, hogya kapjuk a megoldást. A ferde hatásvoalú csukló esetébe a megoldásfüggvéy hasolóa é ki a csukló saját redserébe (, e, e koordiátaredser). Így a megoldások a követkeők: Vi Ci si i. (.8) - 5 -

16 A = helye ismerve a peremfeltételeket tudjuk, hogy: illetve i, (.9) i Fi EI i i. (.30) Így et a egyeletet átredeve a kritikus terhelések a követkeők: i F i EI. (.3) Például a első kritikus terhelés (i = ): F EI. (.3) kr A koordiáta tegelyekre eső erők a követkeők: Sejtésük serit: P EI EI P. (.33) P Fkr P. (.34) - 6 -

17 3. AKAMAZÁS NÉHÁNY PÉDÁN KERESZTÜ 3.. Midkét végé ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd Elősör visgáljuk meg egy rudat, melyek midkét végé ferde hatásvoalú csuklót alkalmatuk. A két csukló eltérő söget ár be a x tegellyel. A rúd kerestmetsete téglalap (8. ábra), hossa. x x a x b 8. ábra Adatok: 5 a = 30 mm, b = 50 mm, = 000 mm, E 0 MPa. A = 0 helye a csukló és a x tegely söge: = 30. A = helye a csukló és a x tegely söge: = 45. A sámításokho sükségük va még a két tegelyre sámított másodredű yomatékra is: a b 30 mm 50 mm mm, (3.) I I ab 30 mm 50 mm mm. (3.) A első fejeetbe erre a esetre veettük le a alapegyelet-redser megoldását, így itt alkalmaható a (.49)-es össefüggés. E a egyeletredser egaktul em oldható meg, eért umerikus módser segítségével keressük a megoldását. Ee feladat, valamit a további feladatok megoldásáál egy egyserű umerikus módsert, a ú. sakasfeleő vagy itervallumfeleő módsert hasáltuk. A determiás a (.)-es össefüggések alapjá léyegébe csak a F erőtől függ, így at kerestük, mely F érték esetébe les a determiásuk értéke elősör 0, mert ee értékre adódik a rúd első kritikus terhelése. A itervallumfeleő módser léyege, hogy a függvéy érushelyéek keresésekor kihasáljuk, hogy a függvéy a érushelye előjelet vált. Előetes sámítások alapjá kijelölük egy [c,d] itervallumot. Ee itervallum két végpotjá vessük a függvéy értékét (eekek eltérő előjelűekek kell lei). Eutá megvisgáljuk a itervallumot feleő potot, vagyis a függvéy értékét a c d helye. A itervallumot eel a új határral sűkítjük, és megvisgáljuk, - 7 -

18 hogy a függvéy értékéek előjele ebbe a feleőpotba a eredeti itervallum alsó, vagy felső határá vett behelyettesítési érték előjelével egyeik-e meg. Amelyikkel megegyeik, ahelyett vessük új határkét, majd újra kijelöljük a új itervallum feleőpotját, és újra elvégeük a eljárást. Addig folytatjuk a itervallum sűkítését, míg egy adott potosságot el em érük. A feladatokba 0,-es potossággal határotuk meg a F értékeit. Erre a kokrét példára bemutatjuk a első pár lépésbe vett itervallumokat, és aokál a (.49)-es determiás értékeit.. tábláat épés F a (itervallum alsó határa, N) ,5 Determiás F b (itervallum értéke F a -ál felső határa, N), , , , ,5 4, ,5, ,5 Determiás értéke F b -él 6,366 0,86 0,86 0 6,758 0,053 0,053 0 Jól látsik, hogy a determiás értéke egyre jobba köelíti a 0-át. További sámításokkal a követkeő eredméyt kaptuk a első kritikus terhelésre: F N. (3.3) A kritikus terhelést a. fejeetbe meghatároott össefüggés alapjá is kisámítottuk [(.3)-es össefüggés]: 5 N 4 Fkr EI mm 8090,54 N, (3.4) mm 000 mm ahol a (.7)-es össefüggés alapjá: I I si I cos mm si 50 mm cos 6500 mm. (3.5) A kétféle sámítási móddal meghatároott kritikus terhelések hasoló eredméyre veettek, a eltérés 5,9 %-os. Sejtésük, melyet a (.34)-es össefüggés mutat, ebbe a esetbe helytálló: 5 N 4 P EI mm 54,57 N, (3.6) mm 000 mm - 8 -

19 5 N 4 P EI mm 5556,5 N. (3.7) mm 000 mm Tehát: P Fkr P. 3.. Egyik végé befogott, másik végé ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd Most visgáljuk meg a rudat úgy, hogy a = 0 helye befalaást, a = helye pedig egy ferde hatásvoalú csuklót alkalmauk. A rúd geometriai méretei ugyaaok, mit a 3.. esetbe, a = helye vett csukló söge: = 45. Erre a feladatra eekkel a adatokkal új peremfeltételi előírásokat írtuk fel, tehát itt em alkalmaható a (.49)-es össefüggés. A peremfeltételek a = 0 helye a követkeők: u (0) u (0) (0) (0) 0. (3.8) Ebből kapuk égy feltételi egyeletet, melyek a (.33), (.34), (.35) és (.36) alapjá a követkeők: u A B C si D cos A D 0 (3.9) u A B C si D cos A D 0 (3.0) B C cos D si B C 0 (3.) B C cos D si B C 0 (3.) A = helye található sögű csuklóra előírható 4 feltételi egyelet itt ugyaa, mit a (.45), (.46), (.47) és (.48)-as egyeletek. A egyeletek együtthatói mátrixáak determiása itt is 0 kell legye, hogy megkaphassuk a kritikus terheléseket. A determiás a követkeő: det 0 -si -si -si si -si cos cos cos cos si cos cos 0 cos cos cos - cos si 0 si si cos - si si 0 0 -si si -si cos 0 0 cos si cos cos 0 cos si 0 0 (3.3) Et a determiást is a előő példáho hasolóa itervallumfeleő módserrel megoldva kapjuk a első kritikus terhelést: F 79684,6 N (3.4) A. fejeetbe meghatároott képletüket is arra a esetre veettük le, amikor a rúd midkét végét csuklóval támastottuk meg. A = 0 helye aoba más - 9 -

20 peremfeltételi előírásokat kell teük. A elmodulásmeőre felírt általáos megoldás itt is érvéyes: V A B Csi D cos. (3.5) E alapjá a peremfeltételeik a követkeők: V(0) A D 0, (3.6) V (0) B C 0, (3.7) V() A B Csi D cos 0, (3.8) M e() C si D cos 0. (3.9) EI E 4 egyelet 4 ismeretle kostasra. Ha a egyeletredsert megoldjuk, a követkeőt kapjuk: cos D 0 si. (3.0) Ha a D kostas értéke 0, akkor a többi kostas értéke is 0-ra adódik, ekkor ics elmodulás. Így at a esetet visgáljuk, amikor a árójeles kifejeés érus, melyből a követkeő egyelet adódik: vagyis tg, (3.) Ebből meghatárohatjuk a k, k 0,,,.... (3.) értékét: k. (3.3) Et behelyettesítve (.3)-as össefüggésbe kapjuk: F k. (3.4) k EI Et átredeve, a első kritikus teher meghatároásáho beírva k = -et: F EI. (3.5) k - 0 -

21 Tehát ugyaat a össefüggést kaptuk, mit a midkét végé csuklóval megtámastott rúd esetébe. Vagyis a ott kapott első kritikus terhelés értéke itt is ugyaa a érték: Fk 8090,54 N. (3.6) Et össevetve a (3.3)-as eredméyükkel a eltérés kicsiy, 0,63 %-os Egyik végé ferde hatásvoalú csuklóval, másik végé gömbcsuklóval megtámastott rúd Visgáljuk meg ugyaet a rudat úgy, hogy a = 0 helye ferde hatásvoalú csuklót alkalmauk, a = helye pedig gömbcsuklót. A rúd méretei és rugalmassági modulusa ugyaa, mit a előő példákba is. A = 0 helye lévő csukló söge = 30. Mivel erre a rúdra is új peremfeltételeket írtuk elő, eért a (.49)-es össefüggés itt sem alkalmaható. A = 0 helye vett = 30 -os csuklóra felírható peremfeltételi egyeletek megegyeek a (.4) (.44)-es egyeletekkel. A = helye felvett gömbcsuklóra a követkeő peremfeltételi előírások érvéyesek: u () u () 0, M () M () 0. (3.7) Így felírva a elmodulásokra és yomatékokra érvéyes megoldásfüggvéyeket a = potba [(.33), (.34), illetve (.37) és (.38)] a követkeő egyeleteket kapjuk: A B C si D cos 0, (3.8) A B C si D cos 0, (3.9) C si D cos 0, (3.30) C si D cos 0. (3.3) Így megit egy yolc egyeletből álló redsert kaptuk, mely együtthatóiak determiása a követkeő alakba írható fel: si 0 0 si cos 0 0 cos 0 cos cos 0 0 si si si cos 0 cos si 0 0 det 0. (3.3) si cos si cos si cos 0 0 si cos

22 Et a determiást is itervallumfeleő eljárás segítségével oldottuk meg, melyek segítségével a első kritikus terhelésre a követkeő eredméy adódott: Fk N. (3.33) A. fejeetbe alkalmaott köelítő módserrel erre a esetre ugyaaokat a peremfeltételi előírásokat tudjuk felíri, mit a 3. példába, tehát alkalmaható a (.3)-es össefüggés, mellyel a kritikus terhelés értéke itt is: Fk 8090,54 N. (3.34) A eltérés ebbe a esetbe is kicsiy,,55 %-os Midkét végé ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd Visgáljuk meg még egy esetet. Most a rudat ismét két ferde hatásvoalú csuklóval támastjuk meg, de eddig a csukló tegelyiráyába eső elmodulást megegedtük. A = helye lévő csukló továbbra is egy ilye csukló = 45 -os söggel [ahogy a 3.. és 3.. példákba is, tehát a rá voatkoó 4 peremfeltételi egyelet itt is a (.45)-(.48)]. A = 0 helye található csukló söge legye = 30, de eél a csuklóál em egedjük meg a csukló tegelyiráyába eső elmodulást (9. ábra). Vagyis em egedjük meg a e iráyú elmodulást. A = helye lévő csuklóra érvéyes peremfeltételi egyeletek most a (.45) (.48)-as egyeletek írják le. A másik csuklóra érvéyes peremfeltételek a követkeők: ue u e u cos u si, (3.35) u u u si u cos, (3.36) si cos, (3.37) M M e M cos M si. (3.38) e e e e 9. ábra - -

23 Ha ebbe beírjuk a (.33) (.38)-as egyeleteket, valamit = 0 helyettesítést alkalmava kapjuk a követkeő egyeleteket: A cos D cos A si D si 0, (3.39) Asi Dsi A cos D cos 0, (3.40) B si C si B cos C cos 0, (3.4) D si D cos 0. (3.4) E egy újabb yolc egyeletből álló egyeletredser, melyek együtthatóiak determiása a követkeő: cos 0 0 cos si 0 0 si si 0 0 si cos 0 0 cos 0 cos cos 0 0 si si si cos det si si si si si cos cos cos cos si cos cos 0 cos cos cos cos si 0 si si cos si si 0 0 si si si cos 0 0 cos si cos cos 0 cos si 0 0. (3.43) Itt is sakasfeleő módsert alkalmatuk, eel a első kritikus teher értéke: Fk 7486,8 N. (3.44) 0 A. fejeetbe tárgyalt peremfeltételi előírások erre a példára is érvéyesek, tehát alkalmaható a (.3)-es össefüggés, vagyis a első kritikus teher így: Fk 8090,54 N. (3.45) A eltérés itt sem jeletős, mitegy 6,65 %-os

24 ÖSSZEFOGAÁS Jele dolgoat keretei köött ferde hatásvoalú csuklókkal megtámastott rudak stabilitási visgálatával foglalkotuk. Kétféle elméletet is bemutattuk a kritikus terhelések meghatároásáho, melyeket atá alkalmatuk is 4 esetre. Eekre a kokrét példákra at a követketetést vohatjuk le, hogy midkét módserből yert kritikus terhelés értékei köel aoosak, a eltérés kööttük em jeletős. At is megállapíthatjuk, hogy a első fejeetbe tárgyalt módserből kapott eredméyek alábecsülik a második fejeetbe meghatároott össefüggésből yert értékeket. Ee kokrét példák esetébe a is megfigyelhető, hogy a 4 külöböő megtámastású rúdra is köel aoos eredméyeket kaptuk. Vagyis a ferde hatásvoalú csukló hasolóa sigorú megkötést jelet, mit a befogás. IRODAOMJEGYZÉK Hivatkoások: [] J. N. Reddy, W. B. Bickford, K. H. ee: Shear Deformable Beams ad Plates, odo, Elsevier, old. További felhasált irodalom: K. J. R. Rasmusse, N. S. Trahair: Exact ad approximate solutios for the flexural bucklig of colums with oblique rotatioal ed restraits, Thi- Walled Structures 43, old