FIZIKA BSc, III. évfolyam / 1. félév Optika előadásjegyzet GEOMETRIAI OPTIKA. dr. Erdei Gábor,
|
|
- Adél Rácz
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 FIZIKA BSc, III. évfolyam /. félév Optika előadásjegyet GEOMETRIAI OPTIKA dr. Erdei Gábor, 6--4 AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: Klei-Furtak, Optics Richter, Beveetés a moder optikába Bor-Wolf, Priciples of optics Geometriai optika: köelítés, amely a féyterjedést és köeghatáro való áthaladást geometriai alakatok görbék segítségével írja le. Ee görbéket féysugarakak eveük. ÁLTALUNK ALKALMAZOTT KÖZELÍTÉSEK iráyfüggés helyfüggés térerő függés csak iotróp köegeket tekitük, pl. üveget (ekkor a. és. sugárdefiíció ugyaat adja, aa a féysugár ǁ k ǁ S, ld. alább) homogé és ihomogé köegeket tekitük (a féysugarak görbék is lehetek em csak egyeesek) csak lieáris köegeket tekitük (a féysugarak kölcsöhatás élkül kerestehetik egymást; a tér mide potjába aoos ω a gerjestés körfrekveciájával) hullámhoss függés mookromatikus eset (csak egy hullámhoss va a spektrumba, időbe koheres eset) polikromatikus eset (időbe ikoheres féy hullámhosskompoesekre botható) térbeli koherecia ELMÉLETI ALAPOK térbe koheres eset, pl. potforrás, síkhullám (va hullámfrot csillagféy, lée vagy térbe ikoheres eset (diffú féy potforrásokra botható) Maxwell egyeletek vektoriális hullámegyelet: E( r, t) E ( r, t) με ; = εrμr (Maxwell reláció) () t Ha mookromatikus, ω körfrekveciájú hullámot visgáluk, a megoldás általáos alakja lieáris köegekbe: E(r, t) = E( e iωt. () Mivel a gerjestés időbe harmoikus, a komplex formalimust hasáljuk a EM tér leírására (tehát E komplex, csak elhagytuk a hullámvoalat). Figyeljük arra, hogy ietől fogva a egyserűség kedvéért a fordított fáisterjestés móerét hasáljuk, aa a fáis siet a terjedés iráyába, és késik a idő függvéyébe. Eel a próbafüggvéyel a egyelet a időfüggetle, ú. Helmholt-egyelet alakot ölti: E( k E(. (3) /
2 Megoldások speciális esetekbe: Síkhullám: E( = E e i( k r + φ ) (4) Gömbhullám: E( = E e i(k r + φ ) / r, (5) ahol k π / λ. A Helmholt-egyelet megoldása általáos esetbe: E( = E( e i k S(. (6) Eikoál (εικών = kép görögül): a tér potjait a elektromágeses hullám fáisvisoyai serit jellemő skalár meyiség, jelölése: S(. A tér r és r helyvektorral jellemett potjai köött mérhető fáiskülöbség (Δφ) a eikoállal kifejeve: Δφ = k S( k S(. (7) A GEOMETRIAI OPTIKA ALAPEGYENLETE, ÉRVÉNYESSÉGI FELTÉTELEK A Helmholt-egyelet vektoriális, de mivel a Laplace-operátor skalár dimeiójú meyiség, a egyelet sétbotható függetle vektorkompoesekre (Ex, Ey, E). Csak a x-kompoest visgálva tehát: Ebbe behelyettesítjük a próbafüggvéyt: E ( k E (. (8) x ik S( ik S( E ( e k E ( e x x x. (9) Itt jól látható, hogy a vektoramplitudó (Ex) és a eikoál (S) helyfüggőek, tehát a továbbiakba et sem jelöljük. A alábbi vektoraoossággal a egyelet bal oldala átalakítható: A új egyelet így: a b a b a b b a. () iks iks iks iks Ex e E x e e Ex k Ex e. () A első tagál elvégük egy aoos átalakítást u u alapjá: iks iks iks ik S e ik e S k e S S S ik e iks e. () ahol felhasáltuk még (a b) ab + ba -et is. A második tag egyserűe átalakítható a lácsabály alkalmaásával: iks iks e ik e S. (3) ()-et, (3)-t vissahelyettesítve ()-be, és a mide tagba sereplő e ik S téyeővel egyserűsítve a követkeőt kapjuk: k Ex S S Ex S ik E x ik S Ex k Ex. (4) Eek a össefüggések va valós és képetes rése, midkettőek külö-külö egyelőek kell leie. A valós rések egyelősége alapjá: Ameyibe k Ex S Ex k Ex. (5) E x Ex k Ex 4 E / x (6)
3 Így (5) egyeletből kiesik a térerősség: k S k S. (7) E a geometriai optika alapegyelete, a ú. eikoál-egyelet. Egyserű alakja at fejei ki, hogy a geometriai optika érvéyességi feltétele eseté a EM tér fáisváltoásait em befolyásolja a térerősség váltoása, csupá a törésmutató-eloslás. A eikoál-egyeletből követkeik, hogy S( ( grad, (8) ahol ( a lokális törésmutató. A eikoál-egyeletet peremfeltételekkel együtt megoldva (aa a S értékét ismeri kell egy felület meté) megkaphatjuk a eikoál értékét a tér mide potjába. A (6) feltétel akkor teljesül, aa akkor vagyuk a geometriai optika érvéyességi köré belül, ha a térerősség-amplitudó relatív megváltoása (potosabba a második derivált) hullámhossyi sakaso elhayagolható mértékű. A állítás megfordítva talá még érthetőbb: akkor hasálhatjuk a geometriai optikát, ha a hullámhoss agyo kicsit a EM tér amplitudó-váltoásaiak jellemő térbeli kiterjedéséhe képest. Emiatt a geometriai optikát gyakra sokás ulla hullámhossúságú köelítések is evei, mely em teljesül pl. áryék sélé, vagy fókuspot köelébe, ahol a előbbi esetbe E-ek sakadása, utóbbi esetbe pedig sigularitása va. A (4) egyelet képetes réseiek egyelőségéből pedig a követkeő össefüggést kapjuk: Ex S E S, (9) x ami a ú. trasport-egyelet. Eek segítségével a eikoál ismeretébe a térerősség potról-potra meghatároható. Érdemes ésrevei, hogy ee egyelet felírásáál em hasáltuk a geometriai optikai köelítést! A eikoál-egyelet legfőbb alkalmaási területe a ihomogé köegek sámítása. Példák: légköri effektusok (aplemete, délibáb) féytörés gravitációs térbe lévő folyadékokba semlecse plaár hullámveető lecsék gradies lecsék sáloptikáho, léerdiódáho, leképeéshe elektrooptikák FÁZISVISZONYOK LEÍRÁSA A GEOMETRIAI OPTIKÁBAN Hullámfrot: S( = álladó (fáisfrot, kostas fáisú felület) tetsőleges g görbe P P r (helyvekto (7) alapjá, geometriai optikai köelítésbe, a követkeő itegrálással kaphatjuk meg a elektromágeses tér Δφ fáiskésését a tér két potja köött (ld. a feti ábra): / 3
4 S(P ) S(P ) k grad S( dr Δ (P,P ) k, () g ahol g tetsőleges görbe. Ameyibe a féy eljut P-ből P-be, értelemserűe kell léteie legalább egy olya g' görbéek, amelyre teljesül a, hogy éritője mide potba grad(s() iráyába mutat. Erre a görbére a fáiskésés: S( dr k ( dr k (P,P ) Δ(P,P ) k grad OPL g ahol felhasáltuk (3)-at, és OPL (Optical Path Legth) a optikai úthoss P és P köött. A feti egyeletet (4)-el össevetve: ΔS = OPL, g' meté törtéő itegrálás eseté! A g' speciális görbe további tulajdosága, hogy mide potba merőleges a hullámfrotra, mivel éritője grad(s) iráyú, amely vektor pedig defiíció serit merőleges a S = áll. felületekre, aa a hullámfrotokra. A fet defiiált g' görbéket féysugarakak eveük. A eikoál-egyelet éréketle a grad(s) előjelére (aa a féysugár iráyára), ami megfelel aak a állításak, hogy a féysugarak megfordíthatók. Féysugár defiíció I.: a féysugár olya görbe, amely mide potba merőleges a hullámfrotokra, illetve éritője grad(s) iráyába mutat. Mivel a a hullámsámvektor (k) defiíció serit merőleges a hullámfrotokra, a féysugár éritője k iráyába mutat. Ha a optikai úthossat féysugár meté mérjük ΔS = OPL. g, hullámfrot féysugár ENERGETIKAI VISZONYOK LEÍRÁSA A GEOMETRIAI OPTIKÁBAN Poytig vektor : S( r, t) E( r, t) H( r, t) (teljesítméy-sűrűség vektor, E = Re{Ẽ}! ) A teljesítméy-sűrűség vektor időátlaga mookromatikus tér esetébe dielektrikumba: E ( H ( k E ( S( r,t ). () E vektor hossát eveük I iteitásak. Egy ifiiteimális da felülete áthaladó teljesítméy a iteitás segítségével a követkeő képpe írható fel: dp( S ( r,t) da I( da cos( Θ) E( r, t) da Θ S( r, t) S( r,t) H( r, t) / 4
5 Ha a Maxwell-egyeletekbe beírjuk (6) próbafüggvéyt, akkor köye igaolható, hogy a geometriai optika érvéyességi feltételéek feállása eseté iotróp köegbe a Poytigvektor és a eikoál gradiese egy iráyba mutat (ld. pl. Richter, Beveetés a moder optikába, I. kötet,.3. fejeet). Féysugár defiíció II.: olya görbe, amelyek éritője mide potba a teljesítméysűrűség vektor iráyába mutat. A I. és II. defiíció iotróp köegbe egyeértékű. Poytig-vektor féysugár Féyyaláb: féysugarak által határolt csőserű tartomáy, amelyből a eergia em képes kilépi (a geometriai köelítés érvéyességi köré belül). Iteitástörvéy: A (9) trasport-egyelet egyserű aoos átalakításokkal a követkeő formára hoható (ld. Hartma Römer: Theoretical Optics 7.3 fejeet): S E x, () amelyből pl. a látsik, hogy homogé köegbe terjedő síkhullám eseté (S = cost.) a térerősség-amplitudó térbe em váltoik. A árójelbe sereplő tag aráyos a x- térerősségkompoes Poytig-vektoráak időátlagával, aa a iteitással, ld. (). Midhárom térerősségkompoesre fölírva és össegeve a követkeőt kapjuk: S S da. (3) Mivel a féysugarak párhuamosak a Poytig-vektorral, a (3) egyelet eqvivales a eergiamegmaradás törvéyéből is követkeő össefüggéssel, a ifiiteimálisa keskey féyyalábokra érvéyes ú. iteitástörvéyel: < S> da = < S> da, (4) mely olya (ú. reguláris ) tértartomáyba iga, ahol a féysugarak em keresteődek. < S> da da < S> / 5
6 A FÉNYSUGARAK EGYENLETE ÍVHOSSZ SZERINTI PARAMÉTEREZÉSBEN A féysugarakat a eikoállal defiiáltuk, eért egyeletüket a eikoál-egyeletből veetjük le. Féysugár = térgörbe, jelöljük g-vel. A g megadása, p paraméter függvéyébe: g: r = r(p) (5) alakú, amit a görbe paramétereéséek eveük. A feti egyeletbe r a féysugár pályáját letapogató helyvektor. Mivel a féysugár párhuamos grad S-el, valamit grads( S( = cost. (hullámfrot) és dr(p)/dp ǁ g görbe éritője (féysugá, felírható, hogy: dr( p) ~ grad S dp r. (6) g-ek végtele sok paramétereése léteik, mert ha r(p) paramétereés, akkor r(p(q)) is a, feltéve, hogy p(q) sig. mo., folytoos és a deriváltja is a. Emiatt a sugarak egyelete tartalma egy határoatla függvéyt. Egy görbe két paramétereéséek a deriváltja köött a követkeő össefüggés áll fö: dr( p) dr( q) dp dq dq dp, (7) ha q(p) jeleti a kapcsolatot a két függvéy köött. Mivel dq/dp skalár meyiség, a feti kifejeés at jeleti, hogy egy görbe külöböő paraméterek seriti deriváltvektorai mid ugyaabba a iráyba mutatak (a görbe éritője), csak a agyságuk eltérő. Eek serit bioyosa léteik egy olya r(q) paramétereés, amire iga, hogy dr( q) grad Sr. (8) dq A (7) össefüggést felhasálva, egy tetsőleges r(q(p)) paramétereésre e a követketőképpe é ki: dr( p) dq grad Sr f ( p) grad Sr, (9) dp dp ahol f(p) egy tetsőleges föggvéy, amely a r(p) görbe alakját em befolyásolja, csak a paramétereését. Ameyibe a f(p) = /( függvéyt válastjuk (9)-ből a követkeő les: r dr( p) grad S. (3) dp ( A eikoál-egyelet miatt e egy egységvektor, és matematikából tudjuk, hogy egy görbe ívhoss seriti seriti deriváltja a a éritő iráyú egységvektor. Vagyis ekkor p = s, ami a féysugár meté mért ívhoss. Et beírva a egyeletbe, és még egyser ívhoss serit deriválva a követkeőt kapjuk: d dr A egyelet jobb oldala a követkeőképp írható: d d S. (3) dr S S (3) dr(s)/ helyére beírva (3) egyeletet, a feti kifejeés a követkeőe alakul: / 6
7 S S S. df df ld. f dx dx A eikoál egyelet felhasálásával a kifejeés tovább egyserűsödik: grad (33) (34) Et egyelővé téve (3) baloldalával megkapjuk a sugarak ívhoss-seriti paramétereésbe felírt differeciálegyeletét: d dr grad, (35) ahol r(s) a megoldásgörbe paramétereése. Példa homogé köegek esete ( = cost.). Ekkor a sugarak differeciálegyelete a követkeő alakra egyserűsödik d r amiek a megoldását kétseres itegrálás utá megkapjuk:, (36) r = s a + b, (37) ahol a és b tetsőleges (a peremfeltételek által meghatároott) kostas vektorok. E at jeleti, hogy homogé köegbe a féysugár egyees voal, amely áthalad a b-vel megjelölt poto, és a iráyba mutat. FÉNYTÖRÉS KÖZEGHATÁRON Igaolható (ld. pl. Richter: Beveetés a moder optikába), hogy köeghatárho érve a geometriai optikai köelítésbe a féysugarakra érvéyes a Sellius-Descartes törvéy. Mivel a törési törvéy általáos érvéyessége síkhullámokra leveethető (ld. korábba), sokás a geometriai optikát lokális síkhullámú köelítések is evei. A GEOMETRIAI OPTIKA ALKALMAZÁSI TERÜLETEI képalkotó reerek (mi eel foglalkouk) megvilágító reerek Képalkotó / megvilágító reerek geometriai modelleéséél a tárgyat / féyforrást térbe koheres források (potforrások) össegére botjuk. GEOMETRIAI OPTIKAI KÖZELÍTÉSEK A KÉPALKOTÁSBAN elsőredű (paraxiális) köelítés agyítás, tárgy-kép helyet, féyerő, max. felbotás harmadredű köelítés (aberráció elmélet) képalkotási hibák aalíise valós sugárátveetés (törés, terjedés ismételgetése) képalkotási hibák, optimaliáció IDEÁLIS KÉPALKOTÁS egyserűsített defiíció potot potba képe le, aa a képpot és a tárgypot kojugáltjai egymásak a képalkotó reer forgásimmetrikus optikai tegelyre merőleges síkba lévő alakatok hasoló alakatokba képődek le (aa torításmetese) / 7
8 ELSŐRENDŰ (PARAXIÁLIS) KÖZELÍTÉS (GAUSS-OPTIKA) A paraxiális köelítés feltételei: α si(α) tg(α) y << r [α] = rad ; (eért elsőredű a köelítés) előjeles meyiségek! Aa féysugarak a optikai tegely köelébe, vele kis söget beárva haladak, és a felületek síkkal köelíthetőek. Eekből követkeik: gömbhullám ~ paraboloid felület. α y α - beesési sög α - törési sög y α α α r f Fókustávolság meghatároása egyetle törőfelület eseté: f r y ( ) y (féytörés) (felületormális) (ideális leképés) f r [α] = rad! (38) Tükör tárgyalása formálisa: =. Törőerő: P [dioptria m ] (39) f Két, követleül egymás mögé helyeett (. és. s.) felület eseté: P eredő P P (4) Paraxiális köelítésbe a féytörés ill. sabadtéri terjedés a X-Z és Y-Z síkokba egymástól függetleül sámolható! E a köelítés teljesíti a ideális leképés feltételeit! (A leveetést ld. Richter, Beveetés a moder optikába, I. kötet,.3.4 fejeet.) y θ y x d. felület. felület A paraxiális köelítés alapkérdése a, hogy ha egy adott. síko adott a féysugár poíciója és iráya (y ; θ), akkor egy további. síko mekkora (y ; θ). Mivel a köelítés lieáris, a válas mátrixos formába fogalmaható meg. A X-Z / Y-Z függetleség miatt csak a Y-Z iráyba felírva: / 8
9 y A C B y D (4) A féysugár iráyát leíró θ meyiséget optikai iráykosiusak eveük. Forgássimmetrikus reerbe a X-Z iráyba felírt egyeletreerek is ugyae a ABCD mátrixa a visgált.-. síkok köött. Pl. féytörés ABCD mátrixa (ha a két sík egy törőfelületél éppe egybeesik): R, (4) ahol P a felület törőereje (értelmeést ld. fetebb). Sabadtéri terjedés ABCD mátrixa: P d T (43) ahol d a. és. sík távolsága, a kööttük mért törésmutató. Egy N felületből álló össetett reer M mátrixát értelemserűe a feti elemi mátrixok sorata adja: VÉKONYLENCSÉK JELLEMZŐI M TN R... T R T. (44) s, s' tárgy-, képtávolság y, y' tárgy-, képmagasság α, α' tárgysög, képsög (törési törvéyből: α = ' α' ) m trasverális agyítás (m y'/y) ml logitudiális agyítás (ml s'/ s) mα sögagyítás (mα = θ'/ θ) f' képoldali fókustávolság (f' = s', ha s = ) NA tárgyoldali umerikus apertúra (NA si θ) e em paraxiális meyiség N y α y f' s' ' θ' s θ y' α' A távolságok és sögek előjeles meyiségek! Tehát s' >, de s <, és θ' > de θ <. IDEÁLIS LEKÉPEZÉS ÖSSZETETT RENDSZERREL Tétel: paraxiális köelítésbe mide forgássimmetrikus optikai reer ideálisa képei le egy homogé tárgytér mide potját egy homogé képtérbe, ha léteik legalább egy olya sugár, amelyik mid a tárgytérbe mid a képtérbe metsi a optikai tegelyt. (A em túl boyolult leveetés megtalálható pl. a Richter: Beveetés a moder optikába c. köyvbe.) Legye egy optikai reerél a és síkpár a, ahol e metsés bekövetkeik, és jellemeük e két sík köötti féyterjedést a ABCD mátrixsal. / 9
10 y +Δ +Δ ABCD T T ABCD Magyaráat A B C D felírásáho. (4) alapjá a féysugarak helykooriáta-trasformációja a követkeő egyelettel írható le: y A y B ( ) (45) Leképeés eseté a y helykooriáta midig függetle a féysugár idulási iráyától, ami csak akkor lehet iga, ha B =. (Leképeés eseté B értéke midig érus.) A - síkpárt refereciasíkokak tekitve most at visgáljuk meg, hogy egy tetsőleges másik + Δ helyetű tárgysíkho léteik-e képsík. Ee feltételeett képsík helye legye + Δ. Mivel a (; ) síkokho tartoó ABCD mátrixot tekitjük adottak, eel fejeük ki a eltolt síkpárho tartoó A B C D mátrixot: A BCD T ABCD. (46) T A sabadtéri terjedés mátrixáak (43) általáos alakja alapjá: T és Vagyis A B C D -re a követkeőt kapjuk: A C A B D C C T. (47) A A D C C. (48) Mivel a feti össefüggés alapjá C = C, értéke tárgy és képsík helyet-függetle, tehát C a visgált optikai reer egy jellemő paramétere, melyek jeletősége a követkeő alfejeetbe yer értelmet. Ha a Δ és Δ-vel eltolt síkok köött is leképeés áll fö, akkor B =, amiből: A C. (49) A E a lecsetörvéy általáos alakja, tetsőleges leképeést leíró refereciasíkokho képest. /
11 ÖSSZETETT LENCSERENDSZEREK TÁRGYALÁSA FŐSÍKOK SEGÍTSÉGÉVEL Fősíkok: a a tárgy-képsík pár, amelyre iga: m +. Ilye mide optikai reerél meghatároható. A fősíkok helyete egyértelmű. Ameyibe két síkpár köött leképeés áll fö, tehát a kööttük felírható mátrixba B =, ige köye belátható, hogy: A m D m Ha refereciasíkak a fősíkokat válastottuk, (49) a alábbi egyserű alakot ölti: (5) C. (5) Tartso Δ a végtelehe. Ekkor Δ defiíció serit a képoldali fókuspot helyetét adja: f ; C ; f P f, (5) ahol beveettük a törőerő fogalmát (P), valamit a tárgy és képoldali törésmutatókat: = és ' =. A f' képoldali fősíktól mért távolságot effektív fókustávolságak eveük. Eekkel megkapjuk a lecsetörvéy jól ismert, Gauss-féle alakját (s = Δ és s' = Δ): s s f s f s. (53) Ha tehát a fősíkoktól mérjük a tárgy és képtávolságot, illetve a fókustávolságot (effektív fókustávolság), akkor tetsőleges lecsereer eseté érvéyes a lecsetörvéy! feffektív Alapvető paraxiális törvéyserűségek: A fősíkok helyetéek grafikus meghatároása m L m m m (Lagrage - Helmholt - egyelet) (54) f f Speciális lecsereerek: teleobjektív, feffektív > serkeeti hoss (ld. féyképeőgép) iver teleobjektív, hátsó fókustávolság > feffektív (ld. projekto / képoldali fősík
GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET
ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(
RészletesebbenGEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET
FIZIKA BSc, III. évolam /. élév, Optika tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8.) AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek hullámegelet: E( r, t) E ( r, t) µ µ rε ε
RészletesebbenOptika. sin. A beeső fénysugár, a beesési merőleges és a visszavert, illetve a megtört fénysugár egy síkban van.
Optika Mi a féy? Látható elektromágeses sugárzás. Geometriai optika (modell) Féysugár: ige vékoy párhuzamos féyyaláb Ezt a modellt haszálva az optikai jeleségek széles köréek magyarázata egyszerű geometriai
Részletesebben26 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007
6 Győri Istvá, Hartug Ferec: MA4f és MA66a előadásjegyet, 006/007. A -trasformált.. Egy iformációátviteli probléma Legye adott egy üeetátviteli redserük, amelybe a üeeteket két alapjel modjuk a és b segítségével
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenAz Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő
SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p
RészletesebbenAZ OPTIKAI TERVEZÉS ALAPJAI ÓRAI JEGYZET
CÉLKITŰZÉS Alkalmaott fiika MSc, I. évfolam /. félév AZ OPTIKAI TERVEZÉS ALAPJAI ÓRAI JEGYZET Össeállította: dr. Erdei Gábor, BME, AFT, 5-.. ÓRA A előadások időtartama 3 45 perc A optikai terveés fogalom
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenFerde hatásvonalú csuklóval megtámasztott rúd stabilitási vizsgálata
MISKOCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOGOZAT Ferde hatásvoalú csuklóval megtámastott rúd stabilitási visgálata egyel Ákos Jósef I. éves gépésméröki MSc sakos hallgató Koules:
RészletesebbenOptika gyakorlat 5. Gyakorló feladatok
Optika gyakorlat 5. Gyakorló feladatok. példa: Leképezés - Fruzsika játszik Fruzsika több nagy darab ívelt üveget tart maga elé. Határozd meg, hogy milyen típusú objektívek (gyűjtő/szóró) ezek, és milyen
RészletesebbenAZ OPTIKAI TERVEZÉS ALAPJAI
AZ OPTIKAI TERVEZÉS ALAPJAI Dr. Erdei Gábor, egyetemi doces erdei@eik.bme.hu Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Természettudomáyi Kar, Atomfizika Taszék v. 08.0.07. TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK....
RészletesebbenMegjegyzés: Amint már előbb is említettük, a komplex számok
1 Komplex sámok 1 A komplex sámok algeba alakja 11 Defícó: A komplex sám algeba alakja: em más, mt x y, ahol x, y R és 1 A x -et soktuk a komplex sám valós éséek eve, míg y -t a komplex sám képetes (vagy
RészletesebbenSzerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév
Sersámgépe 5. előadás. Márcis. Sersámg mgépe 5. előad adás Misolc - Egyetemváros /.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. A sabályohatósági tartomáy övelésée módserei Előetes megfotoláso: S mi mi M S φ,
RészletesebbenKalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenEmlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ
Emlékeztető: az -dimeziós sokaság görbültségét kifejező meyiség a Riema-tezor (Riema, 1854: ' ( ' $ ' #µ $ µ# ahol a ú. koexiós koefficiesek (vagy Christoffel-szimbólumok a metrikus tezor g # x $ kompoeseiből
Részletesebben(2) Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: x sin y dx dy, ahol T : 0 x 1, 2 y 3.
. feladatsor () Határozzuk meg a következő területi itegrálokat a megadott téglalapoko: ( (x + y) dx dy, ahol T : x, y 3. ( T T x si y dx dy, ahol T : x, 2 y 3. (2) Határozzuk meg a következő területi
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
RészletesebbenTömegpont-rendszer mozgása
TÓTH A: Mechaka/5 (kbővített óraválat) Tömegpot-redser mogása Boyolultságba a tömegpot utá követkeő és gyakorlat sempotból s ge fotos eset amkor több tömegpotból álló redsert ú külső tömegpot-redsert (rövdebbe:
RészletesebbenGeometriai Optika (sugároptika)
Geometriai Optika (sugároptika) - Egyszerû optikai eszközök, ahogy már ismerjük õket - Mi van ha egymás után tesszük: leképezések egymásutánja (bonyolult) - Gyakorlatilag fontos eset: paraxiális közelítés
RészletesebbenGeometriai optika. Fénytani alapfogalmak, a fény egyenes vonalú terjedése
Az optka felosztása Geometra optka Fzka optka (hullámoptka) Kvatumoptka Geometra optka Féyta alapfogalmak, a féy egyees voalú terjedése Féyta alapfogalmak féyforrás féyyaláb féysugár F D F r O y x Potszerű
RészletesebbenOptika gyakorlat 2. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető
Optika gyakorlat. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető. példa: Fényterjedés planparalel lemezen keresztül A plánparalel lemezen történő fényterjedés hatására a fénysugár újta távolsággal
Részletesebben8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.
8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),
RészletesebbenIntegrálás sokaságokon
Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,
RészletesebbenKvantummechanika gyakorlo feladatok 1 - Megoldások. 1. feladat: Az eltolás operátorának megtalálásával teljesen analóg módon fejtsük Taylor-sorba
Kvatummechaika gyakorlo felaatok - Megolások felaat: z eltolás operátoráak megtalálásával teljese aalóg móo fejtsük Taylor-sorba a hullámfüggvéyt a változójába: ψr θ ϕ + ϕ ψr θ ϕ + ψr θ ϕ ϕ + ψr θ ϕ ϕ
RészletesebbenOptika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak
Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 2. Fényhullámok tulajdonságai Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007. Az elektromágneses spektrum Látható spektrum (erre állt be a szemünk) UV: ultraibolya
Részletesebben9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA
9. HAMILTON-FÉLE MECHANIKA 9.. Legedre-éle traszormáció x x h x, p= p x x Milye x-él maximális? pl.= x alulról kovex h x =0: d p= dx x=x p a példába: p=x ; h= p x x Mekkora a maximuma? g p= p x p x p g=
RészletesebbenOptika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reexió sík és görbült határfelületen. Fermat-elv
Optika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reexió sík és görbült határfelületen Kivonat Geometriai optika: közelítés, amely a fényterjedést, közeghatáron való áthaladást geometriai alakzatok görbék segítségével
RészletesebbenOptika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reflexió sík és görbült határfelületen
Optika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reflexió sík és görbült határfelületen Kivonat Geometriai optika: közelítés, amely a fényterjedést, közeghatáron való áthaladást geometriai alakzatok görbék segítségével
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenDr. BALOGH ALBERT. A folyamatképesség és a folyamatteljesítmény statisztikái (ISO 21747)
Dr. BAOGH ABERT A folyamatkéesség és a folyamatteljesítméy statistikái ISO 747 Folyamat sabályoott, ha csak véletle okú váltoásokat hibákat tartalma. Sabályoatla, ha aoosítható okú redseres váltoásokat
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
Részletesebben14. Előadás Döntött impulzusfrontú THz gerjesztési elrendezés optimalizálása
14. Előadás Dötött impulzusfrotú THz gerjesztési elredezés optimalizálása THz-es tartomáy: távoli ifravörös Hatékoy THz-es impulzus keltés: emlieáris optikai úto Ultrarövid impulzusok optikai egyeiráyítása
RészletesebbenFeladatok Oktatási segédanyag
VIK, Műsaki Informatika ANAÍZIS () Komplex függvénytan Feladatok Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műsaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján össeállította: Frit
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenStabilitás Irányítástechnika PE MI_BSc 1
Stabilitás 2008.03.4. Stabilitás egyszerűsített szemlélet példa zavarás utá a magára hagyott redszer visszatér a yugalmi állapotába kvázistacioárius állapotba kerül végtelebe tart alapjelváltás Stabilitás/2
Részletesebben1.2. Ütközés Ütközési modell, alapfeltevések Ütközés 3
.2. Ütközés 3 alkalmazásához azoba szükséges a kiematika ismerete, a kietikus és poteciális eergia megfelelő kifejezése és a tehetetleségi yomaték számítása, valamit helyese kell alkalmazi a differeciálási
RészletesebbenINTERFERENCIA - ÓRAI JEGYZET
FZKA BSc,. évfolya /. félév, Optika tárgy TERFERECA - ÓRA JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 8. AJÁLOTT SZAKRODALOM: ALAPFOGALMAK Klei-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a oder optikába Bor-Wolf, Priciples of
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
Részletesebben1. Sajátérték és sajátvektor
1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenA gradiens törésmutatójú közeg I.
10. Előadás A gradiens törésmutatójú közeg I. Az ugrásszerű törésmutató változással szemben a TracePro-ban lehetőség van folytonosan változó törésmutatójú közeg definiálására. Ilyen érdekes típusú közegek
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok
1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,
RészletesebbenKétváltozós függvények
Kétváltozós függvéek Tartalomjegzék Többváltozós függvéek... Kétváltozós függvéek... Nevezetes felületek... 3 Forgásfelületek... 3 Kétváltozós függvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós függvéek... 6
RészletesebbenFolytonos idejű rendszerek stabilitása
Folytoos idejű redszerek stabilitása Összeállította: dr. Gerzso Miklós egyetemi doces PTE MIK Műszaki Iformatika Taszék 205.2.06. Itelliges redszerek I. PTE MIK Mérök iformatikus BSc szak Stabilitás egyszerűsített
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenFizika A2E, 5. feladatsor
Fiika A2E, 5. feladatsor Vida György Jósef vidagyorgy@gmail.com. feladat: Mi a homogén E térer sség potenciálja? A potenciál deníciója: E(x,y, = U(x,y,, amely kifejtve a három komponensre: Utolsó módosítás:
RészletesebbenEUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei
Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenElektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során
Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
RészletesebbenMechanika. III. előadás március 11. Mechanika III. előadás március / 30
Mechanika III. előadás 2019. március 11. Mechanika III. előadás 2019. március 11. 1 / 30 7. Serkeetek statikája 7.2. Rácsos serkeet hidak, daruk, távveeték tartó oslopok, stb. 3 kn C 4 m 2 4 8 5 3 7 1
Részletesebben15. Többváltozós függvények differenciálszámítása
5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =
RészletesebbenMáté: Számítógépes grafika alapjai
VETÍTÉSEK Vetítések fajtái / Trasformációk amelek -imeiós objektumokat kisebb imeiós terekbe visek át. Pl. 3D 2D Vetítés köéotja ersektívikus A A B Vetítési B Vetítés köéotja a végtelebe árhuamos A A B
RészletesebbenAz optika tudományterületei
Az optika tudományterületei Optika FIZIKA BSc, III/1. 1. / 17 Erdei Gábor Elektromágneses spektrum http://infothread.org/science/physics/electromagnetic%20spectrum.jpg Optika FIZIKA BSc, III/1. 2. / 17
RészletesebbenA FUNDAMENTÁLIS EGYENLET KÉT REPREZENTÁCIÓBAN. A függvény teljes differenciálja, a differenciális fundamentális egyenlet: U V S U + dn 1
A FUNDAMENÁLIS EGYENLE KÉ REPREZENÁCIÓBAN A differeciális fudametális egyelet A fudametális egyelet a belső eergiára: UU (S V K ) A függvéy teljes differeciálja a differeciális fudametális egyelet: U S
RészletesebbenSorozatok A.: Sorozatok általában
200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,
Részletesebbenforgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden
Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg
Részletesebbenc v A sebesség vákumbanihoz képesti csökkenését egy viszonyszámmal, a törémutatóval fejezzük ki. c v
Optikai alapogalmak A ény tulajdonságai A ény elektromágneses rezgés. Kettős, hullám-, illetve részecsketermészete van, ezért bizonyos jelenségeket hullámtani, másokat pedig kvantummechanikai tárgyalással
RészletesebbenOptika gyakorlat 7. Fresnel együtthatók, Interferencia: vékonyréteg, Fabry-Perot rezonátor
Optika gyakorlat 7. Fresnel együtthatók, Interferencia: vékonyréteg, Fabry-Perot rezonátor Fresnel együtthatók A síkhullámfüggvény komplex alakja: ahol a komplex amplitudó: E E 0 exp i(ωt k r+φ) E 0 exp
RészletesebbenOPTIKA. Vastag lencsék képalkotása lencserendszerek. Dr. Seres István
OPTIKA Vastag lecsék képalkotása lecsereszerek Dr. Seres Istvá OPTIKA mechatroika szak. átrix optika Paraxiális sugármeet (
RészletesebbenA HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS
A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
RészletesebbenKényszereknek alávetett rendszerek
Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások
RészletesebbenA G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:
Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai
RészletesebbenA statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenKomplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós
Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.
RészletesebbenLineáris egyenlet. Lineáris egyenletrendszer. algebrai egyenlet konstansok és első fokú ismeretlenek pl.: egyenes egyenlete
Lieáris egyelet algebrai egyelet kostasok és első fokú ismeretleek pl.: egyees egyelete Lieáris egyeletredser y a b lieáris egyeletek csoportja ugya ao a váltoó halmao Lieáris egyeletredser B b B b B b
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenMinta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe
RészletesebbenLencse típusok Sík domború 2x Homorúan domború Síkhomorú 2x homorú domb. Homorú
Jegyzeteim 1. lap Fotó elmélet 2015. október 9. 14:42 Lencse típusok Sík domború 2x Homorúan domború Síkhomorú 2x homorú domb. Homorú Kardinális elemek A lencse képalkotását meghatározó geometriai elemek,
RészletesebbenMatematika M1 Gyakorlat
Matematika M Gyakorlat BME - Gépésmérnök MSc Gyakorló Feladatsor. Zh. Határoa meg a α paraméter értékét úgy hogy a vx y = αx y xy 4y 3 3 kétváltoós függvény egy reguláris komplex függvény képetes rése
RészletesebbenMágneses momentum mérése vibrációs magnetométerrel
Beveetés Mágneses momentum mérése vibrációs magnetométerrel A mérés célja megismerkedni egy makroskopikus minta mágneses dipólmomentumának mérésével, valamint megvisgálni egy lágymágneses anyag momentumának
RészletesebbenHéj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok
Héj / leme hajlítási elméletek felületi fesültségek / élerők és élnomatékok Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a héj és a leme definícióját! Tanulja meg a superpoíció elvét és a membrán állapot
RészletesebbenELTE II. Fizikus 2005/2006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Optika 8. (X. 5)
N j=1 d ELTE II. Fizikus 005/006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Optika 8. (X. 5) Interferencia II. Többsugaras interferencia Diffrakciós rács, elhajlás rácson Hullámfront osztás d sinα α A e = A j e i(π/λo)
Részletesebben3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)
3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát
Részletesebbenképzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal
5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve
RészletesebbenΨ - 1/v 2 2 Ψ/ t 2 = 0
ELTE II. Fizikus 005/006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Optika 7. (X. 4) Interferencia I. Ψ (r,t) = Φ (r,t)e iωt = A(r) e ikl(r) e iωt hullámfüggvény (E, B, E, B,...) Ψ - /v Ψ/ t = 0 ω /v = k ; ω /c = k o ;
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
Részletesebben2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya
II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve
RészletesebbenKomplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0
Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
RészletesebbenProjektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria
Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
Részletesebben3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
RészletesebbenMAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA
1 MAGASABBFOKÚ MÁTRIXEGYENLETEK MEGOLDÁSA Tuzso Zoltá Akár a régebbi, akár az alteratív XI. osztályos algebra taköyveket lapozva, akár példatárakba vagy matematikai verseyeke gyakra találkozuk egyél magasabb
RészletesebbenElektromágneses hullámok - Interferencia
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (d) Elektromágneses hullámok - Interferencia Utolsó módosítás: 2012 október 18. 1 Interferencia (1) Mi történik két elektromágneses hullám találkozásakor? Az elektromágneses
Részletesebben