A szabályos sokszög keresztmetszetű rúd keresztmetszeti jellemzőiről

Átírás

1 1 A szabályos sokszög keresztmetszetű rúd keresztmetszeti jellemzőiről Már megint az történt, hogy egy képletgyűjteményt nézegetve furcsának találtunk pár képletet: hibára gyanakodtunk. Most erről lesz szó. A szabályos sokszögek geometriája nem tartozik a nagyon nehéz matematikai problémák közé, legalábbis ami a szabályos sokszög alakú síkidom egyszerűbb geometriai jellemzőit pl.: kerület, terület illeti. Mégis könnyű eltéveszteni az összetettebb képleteket, mind - járt az elején: a magyarázó ábra elkészítésénél. Először tekintsük az 1. ábrát!. 1. ábra forrása: olygon_8_annotated.svg Itt egy szabályos 8 - szöget láthatunk. A sokszög csúcsait a köré írt kör középpontjával összekötve olyan egyenlő szárú háromszögeket kapunk, melyek n darabszámával sok jellemző mennyiség kifejezhető. Jelölések 2. ábra : ~ a: a sokszög egy oldalának hossza, vagyis két szomszédos csúcs távolsága; ~ R: a sokszög köré írt kör sugara; ~ r: a sokszögbe írt kör sugara; ~ α: egy alkotó háromszög ( pl.: AOB ) középponti szöge.

2 2 2. ábra A 2. ábra alapján közvetlenül írhatjuk, hogy: ahol K a sokszög kerülete, A a sokszög területe. Továbbá: ( 1 ) ( 2 ) majd: ( 3 ) Ismét a 2. ábrából, vagy ( 2 ) és ( 3 ) hányadosával: ( 4 ) A T értékét kétféleképpen is felírva: ( 5 / 1 ) innen: A 2. ábráról is leolvasható, hogy: ( 5 ) ( 6 ) Most ( 2 ) - ből: ( 7 )

3 3 majd ( 5 / 1 ), ( 6 ) és ( 7 ) - tel: tehát: ( 8 ) Majd ( 1 / 2 ) és ( 8 ) - cal: ( 9 ) Ezután ( 6 ) és ( 9 ) - cel: ( 10 ) Most tekintsük a 3. ábrát! 3. ábra forrása: [ 1 ] Itt azt látjuk, hogy a képletekben α - t írtak α / 2 helyett, ha α ugyanazt jelenti, mint nálunk, ami pedig fennáll, ahogy az a 2. és a 3. ábra összehasonlításából adódik. Szóval: eltévesztették. Sajnos, ezt a tipikus hibát máshol is megtaláltuk. Most térjünk rá a másodrendű nyomatékok meghatározására! A 3. ábrán egy újabb hibát is felfedeztünk: a z és z tengelyek helyett y és y tengelyekre vett J - kről szól a képlet! Ennek valószínűleg az az oka, hogy az ábrát máshonnan vették át. Majd tekintsük a 4. ábrát! Itt azt látjuk, hogy a félszöget jelölték α - val. Ekkor már egyeznek a 3. és a 4. ábra eddig megbeszélt képletei.

4 4 4. ábra forrása: [ 2 ] Hogy a 4. ábra is tartalmaz képlethibát, az már bizonyos: ρ 2 képletében a helyett α - t írtak. Az 5. ábrán egy másik képlet - alak látható I y - ra, mely megtalálható [ 3 ] - ban is. 5. ábra forrása:

5 5 Látjuk, hogy a bizonytalanságok és az I - re vonatkozó eltérő képlet - alakok miatt célszerű levezetni saját képleteinket, majd azokat összevetni az irodalomból vettekkel. Előtte azonban megvizsgáljuk, hogy a 3. ábra szerinti I 3 egyezik - e az 5. ábra szerinti I 5 - tel. Tehát: ( 11 ) ( 12 ) ( 13 ) Először I 3 - at alakítjuk át: ( 14 ) most ( 4 ) - ből: ( 15 ) majd ( 14 ) és ( 15 ) - tel: tehát: ( 16 ) Másodszor I 5 - öt alakítjuk át, részeiben: ( 17 ) ( 18 ) ( 19 ) Most ( 12 ), ( 17 (, ( 18 ) és ( 19 ) - cel:

6 6 tehát: ( 20 ) Végül ( 16 ) és ( 20 ) összehasonlításával kapjuk, hogy Ezek szerint ( 11 ), ( 12 ) és ( 21 ) alapján: ( 21 ) ( 22 ) vagyis a 3. és az 5. ábrákon feltüntetett másodrendű nyomatékok egyenlők egymással. Ez jó, viszont még mindig nem tudjuk, hogy hogyan jött ki a valószínűleg helyes ( 22 ) eredmény. Ehhez el kell végeznünk a részletes levezetést. Most jön ez. 1. A síkidomok másodrendű nyomatékaira vonatkozó főbb tételek áttekintése Ehhez először tekintsük a 6. ábrát! 6. ábra forrása: [ 4 ] Most nézzük meg, hogyan változnak a síkidom inercianyomatékai a vonatkoztatási tengelyek elforgatásával v. ö. : [ 4 ]! Feltesszük, hogy adottak az x és y tengelyre vett ( 23 ) kiindulási mennyiségek. Keressük az α szöggel elforgatott u és v tengelyekre vett ( 24 )

7 7 jellemző mennyiségeket. Az integrálás a teljes keresztmetszeti síkidomra kiterjed. A 6. ábra alapján: ( 25 ) ( 26 ) Most ( 23 ), ( 24 ), ( 25 ), ( 26 ) - tal: tehát: ( 27 ) Hasonlóan eljárva kapjuk a többi összefüggést is: ( 28 ) ( 29 ) A 6. ábráról Pitagorász tételével: integrálva: hasonlóan: majd ( 31 ) és ( 32 ) - vel: Az olyan tengelykeresztet, melyre ( 30 ) ( 31 ) ( 32 ) ( 33 ) ( 34 ) főtengely - rendszernek nevezzük. Ha O = S, vagyis a tengely - kereszt origója a síkidom súlypontja, akkor súlyponti főtengelyrendszerről van szó. A továbbiak szempontjából fontos még az alábbi tétel is 7. ábra.

8 8 7. ábra forrása: [ 4 ] Ha a síkidomnak van szimmetriatengelye, az egyben főtengely is, mert rá is fennáll ( 34 ). Ugyanis ekkor az elemi centrifugális másodrendű nyomatékok egymást semlegesítik, így a teljes keresztmetszetre vett integrál zérus lesz. A fenti összefüggések a Szilárdságtanból általánosan ismertek, itt csak összefoglaltuk azokat, hogy a későbbiekben hivatkozni tudjunk rájuk. 2. A szabályos sokszögek másodrendű nyomatékaival kapcsolatos tételek [ 5 ] Most tekintsük a 8. ábrát is! 8. ábra forrása: [ 5 ] Legyenek az x és y tengelyek súlyponti főtengelyek! Ezen kívül tegyük fel, hogy létezik a síkidomnak még egy főtengely - párja, az u és v tengelyek, melyek nem esnek egybe az x és y tengelyekkel ( vagyis az α szög nem egész számú többszöröse π / 2 - nek ). Ha u és v főtengelyek, akkor ( 29 ) és ( 34 ) szerint: ( a ) Ámde x és y is főtengelyek, így ( 34 ) miatt is ( a ) - ból:

9 9 ( b ) mivel az előbb mondottak szerint ( c ) így következik, hogy ( d ) Mivel a szimmetriatengelyek főtengelyek, így kimondhatjuk: Ha egy síkidomnak van 2 szimmetriatengelye, melyek nem merőlegesek egymásra, akkor az x szimmetriatengelyre és a rá merőleges y tengelyre vett másodrendű nyomatékok egyenlőek. Ezután tekintsük a 8. ábrán feltüntetett, tetszőlegesen felvett u 1, v 1 tengelypárt, melyre ( a ) - ból: ( e ) Most ( 34 ), ( d ) és ( e ) - vel: ( f ) az α 1 szögtől függetlenül. Ez azt jelenti, hogy az u 1, v 1 is főtengelyek, a rájuk vett másodrendű nyomatékokra pedig ( 27 ), ( 28 ), ( 34 ) és ( d ) szerint: ( g ) ( h ) Ezek alapján kimondhatjuk: Ha egy síkidomnak van 2 szimmetriatengelye, melyek nem merőlegesek egymásra, akkor a síkidom minden súlyponti tengelye főtengely, a rájuk vett másodrendű nyomatékok egyeznek: ~ az axiális másodrendű nyomatékok egyenlő nagyságú pozitív mennyiségek, ~ a centrifugális másodrendű nyomatékok zérus értékűek. A szabályos sokszögek köré kör írható. A legkisebb oldalszámú a szabályos háromszög, ennek 3 szimmetriatengelye van. A többi szabályos sokszögnek háromnál több szimmet - riatengelye van. A szabályos sokszög oldalai akár görbe vonalúak is lehetnek.

10 10 9. ábra forrása: [ 5 ] Ilyet is láthatunk a 9. ábrán. Minthogy a szabályos sokszögekre teljesülnek a fenti feltételek vagyis van két szimmetriatengelyük, melyek nem merőlegesek egymásra a négyzetnél pl. ezek 45 fokos szöget zárnak be egymással, így kimondható, hogy A szabályos sokszögek minden súlyponti tengelyére vett axiális másodrendű nyomatéka ugyanakkora. Ekkor ( 33 ) - ból, kicsit átírt jelöléssel: ( 35 ) Szavakban: a szabályos sokszög bármely súlyponti tengelyére számított axiális másodrendű nyomatékának nagysága fele a súlypontra számított poláris másodrendű nyomatékának. Eszerint az első feladat: a súlypontra vett I p meghatározása. 3. A szabályos sokszög súlyponti tengelyre vett másodrendű nyomatékának meghatározása Itt a [ 6 ] mű alapján haladunk 10. ábra. Tekintsük az α középponti szögű felső háromszöget, és határozzuk meg az u, v tengelyek - re vonatkoztatott I u, I v és I p másodrendű nyomatékait! A 10 / a ábra - rész szerint: így: tehát: ( 36 ) Hasonlóan a 10 / b ábra - rész szerint: így:

11 ábra forrása: [ 6 ] ( 37 ) részletezve: ( 38 ) most ( 37 ) és ( 38 ) - val: azaz: ( 39 ) E háromszög poláris másodrendű nyomatéka ( 35 ) szerint: most ( 36 ), ( 39 ) és ( 40 ) szerint: ( 40 ) ( 41 ) A teljes síkidom n darab háromszögből áll, így

12 12 ( 42 ) majd ( 41 ) és ( 42 ) - vel: ( 43 ) Végül a keresett axiális másodrendű nyomaték ( 35 ) és ( 43 ) - mal: ( 44 ) Örömmel állapítjuk meg, hogy ( 44 ) megegyezik ( 11 ) - gyel, az érdektelen sorrendtől eltekintve. Ezzel feladatunkat megoldottuk. Megjegyzések: M1. A ( 44 ) megoldás más úton, az axiális nyomatékok összegzésével is elérhető. Ez talán kevésbé elegáns, nehézkesebb, mint a [ 6 ] - ban talált megoldási mód. M2. A ( 44 ) eredmény igazolta a ( 11 ) és ( 12 ) szerinti eredményeket is. M3. Az n oldalú szabályos sokszögnek n darab szimmetriatengelye van [ 7 ]. M4. Nem feledhetjük, hogy a cím szerint is a szabályos sokszög egy rúd kereszt - metszeti síkidoma, mely rúd különböző igénybevételeknek húzásnak / nyomásnak, nyírásnak, hajlításnak és csavarásnak lehet kitéve. Ezért van az, hogy e síkidom geo - metriai jellemzőit szilárdságtani számításokban látjuk viszont. Az egyre bonyolultabb szilárdságtani modellek egyre összetettebb keresztmetszeti jellemzőket igényelnek. Leggyakoribb ilyen jellemzők: a keresztmetszeti síkidom területe, első - és másodrendű nyomatékai. M5. További képlet - alakok is lehetségesek. Például: ( 2 ) ( 3 ) ( 5 )

13 13 most ( 2 ), ( 3 ), ( 17 ) és ( 44 ) - gyel: tehát: ( 45 ) Majd ( 6 ) - ból: ( 46 ) így ( 45 ) és ( 46 ) - tal: ( 47 ) vagy: ( 48 ) Nekünk leginkább a ( 45 ) képlet tetszik. Egyszerűsége meglepő. M6. A ( 47 ) képletből n, azaz ( 46 ) alapján α 0 esetén: ( 49 ) minthogy ( 50 ) ezért ( 49 ) és ( 50 ) szerint: azaz: ( 51 ) Az ( 51 ) képlet ismertnek mondható. Azt találtuk, hogy a szabályos sokszög középpontjára számított axiális másodrendű nyo - matékának határértéke kiadja a kör középpontjára számított axiális másodrendű nyomaté - kát, ahogyan azt vártuk is.

14 14 M7. Az I p poláris másodrendű nyomaték a csavarás szilárdságtani elméletében fordul elő a leggyakrabban. Ideje megbarátkozni a gondolattal, hogy a hajlítási elméletben is helye van, a hajlítással kapcsolatos másodrendű nyomatékok esetében, ahogyan az itt is kiderült. M8. A 10. ábra orosz szövegű; megjelölt forrása az eredeti orosz nyelvű kiadás mely az interneten is megtalálható angolra fordított változata. Hasznos segédkönyv. M9. Szövegünkben a középpont és a súlypont kifejezéseket azonos értelemben használtuk. Valóban: a szabályos sokszög alakú síkidom szimmetriatengelyei súlyvonalak, melyek a síkidom S súlypontjában metszik egymást. Ez egyben a köré írható körnek is az O közép - pontja. A sokszög csúcsai a középponttól egyenlő R, oldalai egyenlő r távolságra helyez - kednek el v.ö.: 2. ábra! M10. Talán meglepőnek tűnhet, hogy e dolgozatunkban ( is ) főleg a külföldi, ezen belül is leginkább az orosz nyelvű szakirodalomra támaszkodtunk. Ennek több oka is van: ~ az orosz nyelvű szilárdságtani szakirodalom bőséges, valamint kedvünkre való; ~ a magyar nyelvű szilárdságtani szakirodalommal időnként gondjaink vannak. Ezek gyakran nem olyanok, mint a fentebb bemutatott képlet -, illetve ábra - hibák, hanem mások: nem eléggé részletes, illetve sok fontos témát egyszerűen kihagyó. Jellemző, hogy az itteni témát még sehol sem találtuk magyarul, részletesen feldolgozva. Ilyenkor szokás mondani, hogy ez az egyetemi mechanika - gyakorlatok tárgyát képezheti, stb. Nyilván tudják, hogy nem mindeni jár(t) az ő gyakorlati foglalkozásaikra, így ez egy kevéssé elfo - gadható kifogás. Szemléltetésképpen vegyük az alábbi két példát! 1. A [ 8 ] régebbi műben ez olvasható: Ha a síkidomnak kettőnél több szimmetriatengelye van ( pl. kör, négyzet, stb. ), akkor minden tengely tehetetlenségi főtengely és így I x = I y = I 1 = I 2. Ez úgy - e? nem túl részletes tárgyalás. 2. A [ 9 ] újabb tankönyvben ez olvasható: Az ( itteni ( 27 ), ( 28 ), ( 29 ) képleteknek megfelelő, kicsit más alakú ) képleteket elemezve megállapítható: ha a síkidom olyan főtengelykereszttel rendelkezik, hogy a két főinercianyomaték egymással egyenlő, tehát I 1 = I 2, akkor minden tengely főtengely, azaz a centrifugális nyomaték zérus és mindegyikre vonatkozó inercianyomaték azonos értékű. Látható, hogy itt is rábízták az olvasóra / tanulóra az elemzés elvégzését. Ami akár félre is mehet, hiszen e szöveg után pár szimmetrikus keresztmetszetet megmutatva nem igazoltak semmit sem. Az ilyesmit nem kedveljük. Igaz, emlékeink szerint a mi mechanika ~ gya - korlatunkon is eléggé lazán kezelték az itteniek igazolásának kérdését. Ez más témákkal is megtörtént, vagyis közölték a tényeket / tételeket, de az igazolásukra már nem jutott idő.

15 15 Források: [ 1 ] Sz. P. Fjeszik: Szpravocsnyik po szoprotyivljenyiju matyerialov 2. kiadás, Bugyivjelnyik, Kijev, 1982., 263. o. [ 2 ] Warren C. Young ~ Richard G. Budynas: Roark s Formulas for Stress and Strain 7. kiadás, McGraw - Hill, New York, 2002., 812. o. [ 3 ] HÜTTE ~ A mérnöki tudományok kézikönyve Springer Verlag, Budapest, 1993., E 69. [ 4 ] V. I. Feodoszjev: Szoprotyivljenyije matyerialov 9. kiadás, Moszkva, Nauka, 1986., 128 ~ 130. o. [ 5 ] V. I. Feodosyev: Selected Problems and Questions in Strength of Materials MIR Publishers, Moscow, 1977., 136. o. [ 6 ] I. N. Miroljubov és tsai: An Aid to Solving Problems in Strength of Materials MIR Publishers, Moscow, 1983., 73 ~ 75. o. [ 7 ] Gerőcs László ~ Vancsó Ödön: Matematika Akadémiai Kiadó, Budapest, 2010., 226. o. [ 8 ] Anderlik Előd ~ Feimer László: Mechanika Pallas Irodalmi és Nyomdai R.t., Budapest, 1934., 168. o. [ 9 ] Becker Sándor: Szilárdságtan I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1990., 203. o. Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár