A zsugorodási viszonyszám, illetve százalék Keylwerth - féle képletének levezetése

Átírás

1 1 A zsugorodási viszonyszám, illetve százalék Keylwerth - féle képletének levezetése Előző dolgozatunkban melynek címe: A faanyag nedvességtartalom - változás miatt fellépő méretváltozásairól szó volt a címbeli képletről, melynek alakja: ( K ) Ott csak az [ 1 ] szakirodalmi forrásra hivatkoztuk, ahol ezt szintén levezetés nélkül közölték. Most pótoljuk a levezetést, melynek alapját a [ 2 ] munka képezi. Ehhez először tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt azt mutatjuk be, hogyan térünk át egy fűrészáru tényleges évgyűrű - rajzolatáról az alkalmazandó modellére. Úgy vesszük, hogy az évgyűrűk irányát húrjaik átlagos irányával vesszük egyenlőnek. Ezen húr - egyenesek iránya a húr - vagy érintőirány, erre merőleges a sugárirány. Jelük: t, illetve r. Másodszor tekintsük a 2. ábrát! 2. ábra

2 2 A 2. ábra bal oldali részén feltüntettük az 1. ábra fűrészáru - keresztmetszetének egy a*b méretű téglalapját. Ennek O középpontjában vettük fel a fűrészáru - kereszmetszet éleivel párhuzamos Oxy derékszögű koordináta - rendszert. Továbbá felvettük az O középpontú, de a t - és r - irányítású Ox 1 y 1 derékszögű koordináta - rendszert, mely az előzőhöz képest φ szöggel elforgatott helyzetű. A faelem egy tetszőleges P pontját annak r P és α P poláris koordinátáival adjuk meg. A 2. ábra jobb oldali részén a felvett P pont száradási zsugorodás előtti helyzetét P 0 - val, a zsugorodás utáni helyzetét P 1 - gyel jelöltük. A δ elmozdulás komponensei δ t és δ r, vala - mint δ x és δ y, a két k. r. - ben. Most meghatározzuk az ismert P 0 ( x P0, y P0 ) pont koordinátáiból a keresett P 1 ( x P1, y P1 ) pont koordinátáit: ( 1 ) ( 2 ) A P 0 pont eredeti k. r. - beli koordinátái: ( 3 ) A P 0 pont elforgatott k. r. - beli koordinátái: ( 4 ) Most trigonometriai azonosságokkal: ( 5 ) ( 6 ) majd ( 3 / 1 ), ( 4 / 1 ), ( 5 ), ( 6 ) - tal: ( 7 ) Hasonlóan ( 3 / 2 ), ( 4 / 2 ), ( 5 ), ( 6 ) - tal: ( 8 )

3 3 Most felírjuk δ x és δ y kifejezéseit. A 2. ábra jobb oldali mellékábrája szerint: Majd felírjuk δ t és δ r kifejezéseit a t és r zsugorodási viszonyszámokkal: Ezután ( 7 ) és ( 10 / 1 ) - gyel: majd ( 8 ) és ( 10 / 2 ) - vel: ( 9 ) ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) Most ( 9 / 1 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel: ( 13 ) Hasonlóképpen ( 9 / 2 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel: ( 14 ) Most ( 1 ) és ( 13 ) - mal: ( 15 ) Hasonlóképpen ( 2 ) és ( 14 ) - gyel:

4 4 ( 16 ) Most megvizsgáljuk két, eredetileg egymásra merőleges szakasz hossz - és szögváltozását. Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra A két szakasz legyen az OA 0 és OB 0. Ezek eredeti zsugorodás előtti hossza a / 2 és b / 2, zsugorodás utáni hossza a 1 / 2 és b 1 / 2. Az eredetileg derékszögben álló szárak közbezárt szögei a zsugorodás végére megnövekedtek γ x és γ y értékkel. Most ezen megváltozott értékeket számítjuk ki. A ( 15 ), ( 16 ) képletekkel, valamint az A 0 ( a / 2 ; 0 ) adatokkal: ( 17 / 1 ). ( 17 / 2 ) ( 17 ) - tel: ( 18 )

5 5 Hasonlóképpen a ( 15 ), ( 16 ) képletekkel, valamint a B 0 ( 0 ; b / 2 ) adatokkal: ( 19 / 1 ) ( 19 / 2 ) ( 19 ) - cel: ( 20 ) A ( 18 ) és ( 20 ) képleteket más alakra is hozhatjuk, azonos átalakításokkal. Majd ( 18 ) és ( 21 ) - gyel: ( 21 ) ( 22 ) Ezután ( 18 ) és ( 22 ) - vel: ( 23 ) Teljesen hasonlóan eljárva:

6 6 ( 24 ) A szögváltozásokhoz a 3. ábra szerint, ( 17 / 2 ) és ( 23 ) - mal is: ( 25 ) innen: ( 26 ) Hasonlóképpen a 3. ábra alapján, ( 19 / 1 ) és ( 24 ) - gyel is: ( 27 ) innen: ( 28 ) Az O - nál lévő A 1 O B 1 szög nagysága a 3. ábra szerint: ( 29 ) vagy ( 26 ), ( 28 ) és ( 29 ) - cel: ( 30 ) Minthogy a természetes / tömör faanyag esetében t > r, ezért a ( 26 ) és ( 28 ) szögek pozitívak. Az x - tengely menti, azaz a t irányhoz képest φ szöget bezáró irányban vett zsugorodási viszonyszámra a 3. ábra alapján írhatjuk, hogy

7 7 ( 31 ) most ( 23 ) és ( 31 ) szerint:. ( 32 ) Most átalakítjuk a ( 32 ) képlet gyökös részét; a gyök alatti mennyiség: majd ( 32 ) és ( 33 ) - mal: Felhasználjuk, hogy ( 33 ) ( 34 ) ( 35 ) most ( 34 ) és ( 35 ) szerint: ( 36 ) A ( 36 ) képlet a t érintő - irányhoz képest φ szöget bezáró irány mentén adja meg a zsugorodási viszonyszámot. Az y tengely menti, azaz az r irányhoz képest φ szöget bezáró irány mentén a zsugorodási viszonyszám ld. 4. ábra!, a ( 37 ) szöggel, azaz ( 36 ) és ( 37 ) - tel:

8 8 4. ábra ( 38 ) ámde a 4. ábra szerint is az y irányra vonatkoztatott zsugorodási viszonyszámokra: ( 39 ) így ( 38 ) és ( 39 ) szerint a mondott viszonyszámra: ( 40 ) A zsugorodási százalékra: így ( 40 ) és ( 41 ) - gyel: most a jelöléseket is bevezetve, ( 42 ) és ( 43 ) - mal: ( 41 ) ( 42 ) ( 43 ) ( 44 ) most elvégezzük ( 44 ) - ben a φ θ, r s, t h betűcseréket, amivel máris előáll a keresett ( K* ) képlet, amely a sugárirányhoz képest θ szöget bezáró irányban adja meg a zsugorodási százalék közelítő kifejezését. Látjuk, hogy valóban előállítottuk a ( K ) képletet.

9 9 Megjegyzések: M1. Az as keltezésű eredeti Keylwerth - dolgozatot melynek címe: Beitrag zur Mechanik der Holzschwindung nem tudtuk megtekinteni, mert nem találtuk az interne - ten, fizetni pedig nem akartunk érte. M2. A [ 2 ] MacLean - féle kutatási jelentés előbb készült, mint a Keylwerth - írás. Ez azért is fontos, mert [ 2 ] elérhető, továbbá inkább az övé az elsőbbség. Persze, mások már korábban is foglalkoztak e témával, viszont ők sem elérhetőek számunkra. M3. Azért is beszélünk Keylwerth - képletről, mert az [ 1 ] műben és a [ 3 ] dolgozatban is így nevezik; utóbbihoz is csatlakoznak az itteni számítások. M4. A [ 3 ] dolgozatban a ( 36 ) és a ( 40 ) képletet illetve azok ottani megfelelőjét is Keylwerth - nek tulajdonítják. M5. A ( 3 ), ( 4 ) képletekben alkalmazott r P0 jelölés a P 0 ponthoz húzott r sugár / rádiusz és annak hossza, nem pedig radiális zsugorodási viszonyszám. M6. Az eddigiek során több mindent csináltunk, amik közvetlenül nem a címbeli képlet levezetésére szolgáltak. Most ezt az egyéb információ - tömeget fogjuk felhasználni. Először is készítsük el egy téglalap zsugorodás utáni képét 5. ábra! 5. ábra Az 5. ábra a 3. ábra kiegészítésével készült: ~ O - ra tükröztük az A 1 és B 1 pontokat; ~ párhuzamosokat húztunk a szakaszok végpontjai keresztül a szakaszok ferde egyeneseivel. Így a téglalap paralelogrammává torzult.

10 10 Ezt azért tehettük meg, mert ez a modell csak az ortotrópiát ( t > r ) veszi figyelembe, de az inhomogenitást nem. Emiatt minden P pontban ( a szijácsban és a gesztben, az évgyűrű korai pásztájában és a kései pásztájában ) ugyanúgy viselkedik e modell fája. Az 5. ábra szerint a metszéspontokban két megváltozott szög van, melyek képlete, ( 30 ) értelemszerű megváltoztatásával: ( 45 / 1 ) ( 45 / 2 ) M7. A ( 45 ) képletekből kiolvasható, hogy ω = ω* = π / 2, ha ~ t = r, vagyis a zsugorodó anyag izotróp tulajdonságú; tömör fánál nem ez a helyzet, tehát ez érdektelen eset; ~ φ = 0 ± 180, vagyis az egymásra merőlegesen felvett két szakasz éppen t és r irányú. Ekkor a zsugorodás előtti derékszögük a zsugorodás után is változatlan marad. A t és r irányt szilárdságtani szóhasználattal főirányoknak nevezzük. Az idevágó képletek ( 23 ), ( 24 ) és ( 45 ) - tel: ( 46 ) A 6. ábra a ( 46 ) szerinti esetet szemlélteti. 6. ábra Úgy tűnik, hogy e modell szerint a fatest egy tetszőleges O pontjában felvett Ox 1 y 1 k.r.: a faanyag természetes k. r. - e. Eszerint érdemes a φ szöget a t és r tengelyektől mérni, ahogyan azt a 4. ábra is mutatja.

11 11 M8. Az előző dolgozatban megmutattuk, hogy a zsugorodási és a dagadási százalék így függnek egymástól: ( 47 ) Most nézzük meg, hogyan alakul a dagadási százalék irányfüggése! Először ( 47 / 2 ) - vel: ( 48 ) Ha fennáll, hogy ( 49 / 1 ) akkor ( 48 ) és ( 49 / 1 ) szerint: Ha ( 49 / 1 ) - et nem kívánjuk megtartani, akkor a ( K* ) és ( 48 ) képletekkel: ( 49 / 2 ) ( 50 ) ámde ( 47 / 1 ) szerint: ( 51 ) így ( 50 ) és ( 51 ) szerint: azonban:

12 12 így: ( 52 ) Ha a ( 53 ) közelítésekkel élünk, akkor ( 52 ) és ( 53 ) szerint: ( 54 ) Mivel ( 51 ) szerint így az ( 53 ) közelítés szerint ekkor : ( 55 ) is fennáll. Ezek szerint a ( K* ) egyenletről az ( 54 ) egyenletre való formális áttérés azt hozza magával, hogy a ( K* ) levezetése során tett közelítéseket ( azaz: ( 55 ), valamint a ( 49 / 1 ) és ( 49 / 2 ) közelítésekkel is. ) ki kell egészíteni az ( 53 ) és M9. Nem feledkeztünk meg valami lényegesről? Hogy ( 32 ) a pontos képlet, ami nem is olyan nagyon bonyolult. Ezért a zsugorodási és a dagadási százalékok pontos kifejezései a fentiek szerint a korábbi jelölésekkel : ( 56 ) ( 57 )

13 13 ( 58 ) M10. A valóságos fűrészáru keresztmetszete gyakran olyan, hogy a fenti modell nem alkalmazható rá. Ekkor egy további, pontosabbnak tűnő közelítéssel a 7. ábra szerint járhatunk el. Eszerint a tényleges fűrészáru - keresztmetszetet felbontottuk olyan részekre, melyeken belül az érintőirány állandónak tekinthető. 7. ábra forrása: [ 2 ] M11. Látható, hogy bár a fenti modellel sok minden elérhető és megérthető, mégis szük - ség lehet egy pontosabb modell alkalmazására. Ezt a témát várhatóan a következő írá - sunkban dolgozzuk fel. M12. A gyanútlan Olvasónak furcsa lehet, hogy itt a faanyag alakváltozásaival kapcsolat - ban a fentiekhez hasonló bonyolult képletekbe botlik. Ennek az lehet a magyarázata, hogy míg pl. acélnál az 0,1 % - os fajlagos méretváltozás már nagynak számít, addig fánál a 10 % - os húrirányú fajlagos méretváltozás sem ritka. Látható, hogy az akár két nagyság - rend ~ eltérés valóban indokolhatja a pontosabb képletek használatát. Ezért is foglalkoz - tunk sokat az alkalmazott közelítésekkel, ezzel is figyelmeztetve a könnyedén tett elha - nyagolások okozta gondokra. M13. A előbbi megjegyzés is magyarázhatja, hogy miért nem intéztük el sokkal gyorsab - ban e témát. Ugyanis a lineáris rugalmasságtan könyveiben ld. pl: [ 4 ]! megtaláljuk az alábbi képletet is: ( 56 ) Ez pontos megfelelője a ( K ) képletnek: ( 56 ) adja meg az 1 főirányhoz képest θ szö -

14 14 get bezáró irányban a fajlagos hosszváltozás értékét, ahol ε 1 és ε 2 a fajlagos főnyúlások, melyek megfelelnek az itteni t és r zsugorodási viszonyszámoknak. ( A lineáris elmélet a relatíve kis alakváltozásokkal foglakozik. ) M14. A fent bemutatott, általunk MacLean - félének nevezett elméleti modell szerzőjének igen nagy érdeme, hogy nem bonyolult módon, akár egy középiskolás számára is érthetően tárja elénk az egyébként nem könnyen emészthető anizotróp rugalmasságtani összefüggé - seket. Jelen írás nem titkolt célja a már régebben született [ 2 ] munka népszerűsítése is. Igaz, a ( 30 ) és ( 32 ) alakú képletekkel nem a [ 2 ], hanem a [ 3 ] munkában találkoztunk először, utóbbi függelékében. Ezek azonban mint láttuk könnyen nyerhetők a [ 2 ] sze - rinti megalapozás után. Köszönjük, Mr. MacLean! Források: [ 1 ] Franz Kollmann: Technologie des Holzes, 1. Band 2. kiadás, Springer - Verlag, Berlin, [ 2 ] J. D. MacLean: Effect of direction of growth rings on the relative amount of shrinkage in width and thickness of lumber and effect of radial and tangential shrinkage on dimensions of round timbers US Forest Products Laboratory, Report No. R1473, vagy: [ 3 ] R. Booker ~ N. Ward ~ Q. Williams: A theory of cross - sectional shrinkage distortion and its experimental verification Wood Science and Technology, 26: , Springer-Verlag, [ 4 ] S. P. Timoshenko ~ J. N. Goodier: Theory of Elasticity 3. kiadás, McGraw-Hill, New York, Sződliget, Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár