6. SZILÁRDSÁGTANI ÁLLAPOTOK

Átírás

1 6 SZILÁRDSÁGTANI ÁLLAOTOK 6 Alapfogalmak Silárdságta: a trhlés lőtt és utá is tartós ugalomba lvő alakváltoásra képs tstk kimatikája diamikája és aagsrkti vislkdés Trhlés: ismrt külső rőrdsr Tartós ugalom: - a tstr ható rőrdsr gsúli - a tst mgtámastása m gd mg mrvtstsrű lmodulásokat Alakváltoás: trhlés hatására - a tst potjai gmásho képst lmodulak - a tst aagi gomtriai alakatai (hoss sög flült térfogat mgváltoak Kimatika: lírja a trhlés hatására bkövtkő lmodulásokat és alakváltoásokat Diamika: : lírja a trhlés hatására a tstb fllépő rőrdsrt Aagsrkti vislkdés: mgadja a alakváltoást jllmő miségk és a blső rőrdsr köötti kapcsolatot Rugalmas alakváltoás: A trhlés hatására alakváltoott tst a trhlés mgsüttés (lvétl utá vissari rdti alakját Képlék alakváltoás: A tst thrmtsítés utá m ri vissa rdti alakját Kis lmodulás: a tst potjaiak lmodulása agságrdkkl kisbb a tst jllmő gomtriai mértiél Kis alakváltoás: a tst alakváltoását jllmő miségk légs kisbbk mit ε Csak kis lmodulásokkal kis alakváltoásokkal foglalkouk Elmi kört / lmi tömg / tömgpot: Tömgpotokho vag lmi tömgkh úg jutuk hog a tstt godolatba sok kis résr botjuk Tömgpot a silárdságtaba g ola kis tstrés amlk mérti a tst mértih képst lhaagolhatóa kicsik Elmi kört: g potot magába foglaló lmi tömg 6 A lmodulási állapot r r u A trhlés utái állapotot vssővl külöböttjük mg A ttsőlgs pot lmodulása: u = u + v + w Tst lmodulása (a tst össs potjáak lmodulása lmodulás-mő: u ( = u ( + v ( + w (

2 A lmodulás-mő skaláris koordiátái: ur ( = u ( vr ( = v ( wr ( = w ( 63 A alakváltoási állapot Elmi triédr: A potba flvtt a trhlés lőtt gmásra kölcsöös mrőlgs gségvktor-hármas Fltétlük hog a gségvktorok a pot lmi körté blül hlkdk l A lmi triédr gségvktoraiak végpotjait A B C jlöli Elmi kört alakváltoása: A A B C potok lmodulása három résből áll: párhuamos ltolás + mrvtstsrű forgás + alakváltoás árhuamos ltolás: midhárom pot lmodulása aoos Mrvtstsrű forgás: a három pot lmodulása külöböő d a hossak és sögk m váltoak Alakváltoás: a hossak és a sögk mgváltoása ( + ε * C ( + ε α π π * A α ( + ε A Alakváltoási jllmők - fajlagos úlások: ε ε ε - fajlagos sögtorulások: C π B * B A mgváltoott hossak: A = + ε B C = + ε = + ε A mgváltoott sögk: π π π A sögváltoások a értlmésből kövtkő: = = = A alakváltoási jllmők lőjl: - ε > 0 mgúlás ε < 0 rövidülés - > 0 : a rdti π /-s sög csökk < 0 : a rdti π /-s sög övksik mm A alakváltoási jllmők mértékgség: rad mm Kis alakváltoások sté: ε = 0 0 = 0 0

3 A alakváltoási jllmők általáosítása: ( ( + ε M + ε m αm π N M m m α N A m gmásra mrőlgs gségvktorok: = m = m= 0 ε - a iráú fajlagos úlás m = m - a m trhlés lőtt gmásra mrőlgs iráokho tartoó sögváltoás A pot lmi körték alakváltoási állapotát a alakváloási tor jllmi gértlmű Alakváltoási tor: - Diadikus lőállítás: A = α + α + α ε - Mátrios lőállítás: A = ε - simmtrikus tor ε A alakváltoási tor oslopai a α α α alakváltoási vktorok koordiátáit tartalmaák α = ε + + A alakváltoási vktorok koordiátái: α = + ε + α = + + ε A alakváltoási állapot smlélttés: a lmi triédr végpotjaiba flmérjük a alakváltoási vktorok koordiátáit ε ε ε 3

4 Adott iráokho tartoó alakváltoási jllmők mghatároása a alakváltoási torból: α = A ε = α = A m = m = m A = A m 64 A fsültségi állapot Fsültségvktor: a tst g mtstflülté mgosló blső rőrdsr sűrűségvktora (ititásvktora Jlölés: ρ = ρ( r r - aak potak hlvktora aml a mtstflült va - a poto átmő mtstflült tstből kiflé mutató ormális gségvktora otbli fsültségi állapot (lmi kört fsültségi állapota: A adott potra illskdő össs lmi flült fllépő fsültségvktorok össsség (halmaa ρ = ρ( = ρ Ha rögíttt: ρ ( = ρ A fsültségvktor össtvői koordiátái: m da m l ρ l a lmi flült ormális gségvktora ml a lmi flült síkjába ső gmásra mrőlgs gségvktorok A fsültségvktor össtvői (vktorok: - a ormál fsültségvktor: = ( ρ = ρ = ρ - a csústató fsültségvktor: ( A fsültségvktor koordiátái (skalárok: - a ormál fsültségi koordiáta: = ρ = - a csústató fsültségi koordiáták: m = m ρ = m = l ρ = l l Mértékgség: SI alap mértékgség: N/m = a (ascal kijtés paskál A méröki gakorlatba sokásos: N/mm = MN/m = Ma 4

5 A pot lmi körték fsültségi állapotát a fsültségi tor jllmi gértlmű Fsültségi tor: A ρ fsültségvktor a homogé liáris függvé tor - Diadikus lőállítás: F = ρ + ρ + ρ F = - Mátrios lőállítás: - simmtrikus tor A fsültségi tor oslopai a ρ ρ l ρ - a ormálisú lmi flült ébrdő fsültségvktor - a ormálisú síko fllépő ormál- fsültség - a ormálisú síko fllépő iráú csústató fsültség ρ fsültségi vktorok koordiátáit tartalmaák Simmtria: = = = A F fsültségi tor hat gmástól függtl skaláris miséggl adható mg A ormálisú flült fllépő fsültségvktorok koordiátái: ρ = F = + + ρ = F = + + ρ = F = + + A fsültségi állapot smlélttés: A ρ ρ ρ fsültségvktorok koordiátáit ábráoljuk a potbli három gmásra mrőlgs síko (a pot körtéből kiragadott lmi kocka látható oldallapjai Más iráokho tartoó fsültségkoordiáták lőállítása a fsültségi torból: ρ = F = ρ = F = m ρ = m F = F m m Fsültségi főtglk főfsültségk: Dfiíció: Ha a gségvktorra mrőlgs lmi flült = 0 aa ρ = akkor a fsültségi főirá (főtgl főfsültség a -r mrőlgs lmi flült főfsültségi sík 5

6 Mgjgés:- Mid potba létik lgalább három főirá amlk gmásra kölcsöös mrőlgsk lht érus is: ρ = 0 - Fsültségi tor a főiráok koordiáta-rdsréb 0 0 F = Mgállapodás a jlölésr és sorsámoásra: 3 Főtglprobléma (sajátérték fladat: Fladat: aokak a főiráokak és főfsültségkk a mghatároása amlk lgt tsk a dfiícióba mgadott fltétlkk A főtglprobléma (sajátérték fladat aoos módo írható fl a fsültségi és a alakváltoási állapotra ρ = α = ε F = I A = ε F I = I A ε I = ( 0 A fti gltkb: 0 0 I 0 0 = - gségtor (idmtor 0 0 ( 0 ε - főúlás - főfsültség - fsültségi / alakváltoási főirá Midkét stb homogé liáris algbrai gltrdsrt kapuk a (főirá gségvktor koordiátáira: ( 0 ( 0 ( ε ε = 0 ( 0 ( ε ε 0 = 0 ( ε ε Mgjgés: - Midig va lgalább három főirá amlk kölcsöös mrőlgsk gmásra - A főfsültség / főúlás is lht ulla 6

7 A liáris algbrai gltrdsr mtriviális (m ulla mgoldásáak fltétl a hog a liáris algbrai gltrdsr güttható mátriáak lmiből álló dtrmiásak ulláak kll li: dt F I = 0 dt A εi = 0 Réslts kiírva: ( ε ε ( dt ( = 0 dt ( ε ε = 0 ( ( ε ε A mgoldás további lépésit csak a fsültségi állapotra mutatjuk b A dtrmiást kifjtv kapjuk a karaktristikus gltt: 3 I + II III = 0 A karaktristikus glt g harmadfokú algbrai glt A főfsültségk mghatároása: Karaktristikus glt mgoldásai: a 3 főfsültség A karaktristikus glt gütthatói a fsültségi tor skalár ivariásai: = + + = a fsültségi tor lső skalár ivariása I 3 = II = a második skalár ivariás III = = 3 - a fsültségi tor harmadik skalár ivariása Ivariás: koordiáta trasformációval smb álladó (koordiáta-rdsr válastásától függtlül ugaa a érték A fsültségi főiráok mghatároása: Vissahlttsítés a liáris algbrai gltrdsrb: főirá főirá 3 főirá A 3 főfsültségkt a liáris algbrai gltrdsrb külö-külö bhlttsítv at tapastaljuk hog a gltk m függtlk gmástól (a három köül g glt a másik kttő valamlikék kostas-sorosa ls Eért a mgoldást úg kapjuk hog a ismrtl i i i (i= 3 koordiáták köül gt ismrtk tkitük és a másik kttőt pdig a két függtl gltből a ismrtk tkittt koordiáta függvééb mghatárouk A ismrtk tkittt koordiáta végül abból a fltétlből sámítható hog a gségvktor: = = + + 7