Császár Attila: Példatár (kezdemény) gyakorlathoz

Átírás

1 Császár Attila: Pélatár kzmé a Fizikai kémiai számítások gakorlathoz. ősz

2 Tartalomjgzék I. Ismétlés számok művltk izikai miségk és mértékgségk II. III. IV. Valós üggvéta határérték oltoosság r Dirciálszámítás irciál tljs irciál Itgrálszámítás itgrálási tchikák ívhossz itgrál voalitgrál többszörös itgrál V. Vktoraalízis I skalárszorzat vktoriális szorzat hármas szorzatok VI. Dirciálgltk lsőrű másorű közöségs parciális VII. Vktoralgbra II VIII. Liáris algbra trmiások és mátriok IX. Szélsőérték számítás

3 I. Ismétlés I. Számok Fogalmak a valós számok R gész számok I pozitív gatív ; páros páratla; prím racioális számok r/s s ; végs végtl irracioális számok pl és π b kompl számok C z a ib ahol i a képzts imagiáris gség Rz a Imz b polárkooriátás alak: z rcosθ isiθ Arga iagram Elr-él pociális alak: z z p iϕ c számok skalár miségk közötti viszook: agság lőjl sorrb állítás: < > << >> tomáos jlölés: ± a Mitalaatok Lg z i. Határozzk a zz* szorzat értékét. z i z* i Mgolás: zz* i i i p 3

4 I. Művltk Fogalmak a számok közötti művltk: összaás kivoás szorzás osztás b pociálisokra voatkozó szabálok: m m m m ; ; ; / m m / m m m ; ; / m-ik gök; / m / m m ; zk a szabálok irracioális számokra is igazak. c a számítástchikába az absztrakt aattíps g ola halmaz ml tartalmazza az absztrakt aatokat a vizsgálat tárgát képző iormáció ormai mgjlés élkül valamit a rajtk végzhtő művltkt. Gakorló laatok Atomok illtv molklák átlagos sbsségér a gáz ázisba lvzthtő hog 3/ M RT c 4π. Mtassa mg hog πrt M 8RT c πm /. 4

5 I.3 Fizikai miségk és mértékgségk Fogalmak a A izikai miségk kijzhtők mit g mriks érték és g mértékgség 7 szorzatai: izikai miség mriks érték mértékgség. Pl.: λ 5896 m 5896 m. b A izikai miségk között hét alapmiségt külöbözttük mg: Fizikai miség Jlölés SI mértékgség hossz l métr m tömg m kilogramm kg iő t másoprc s lktromos áram I ampr A trmoiamikai hőmérséklt T klvi K aagmiség mól mol érősség I v kala c Mi további izikai miség ú. származtatott miség. c Mi izikai miségél létzik staar lvzés jlölés szimbólm iíció valamit SI mértékgség: Elvzés Jlölés Diíció SI mértékgség Dscarts kooriáta z m szögsbsség ω ω φ / t ra s s rkált tömg μ μ m m / m m kg kitiks rgia oprátor Tˆ Tˆ h / m J ioizációs rgia E i J kémiai ltolóás NMR δ 6 δ ν ν / ν hllámszám vákmba ~ ν ~ ν ν / c m hő q Q J mka w W J blső rgia U U q w J imzióaalízis qatit calcls Ola algbrai rszr mlb a szimbólmok horozzák mcsak mriks értékükt ham mértékgségükt is azok szorzataival olgozk. Egs szavak jltés világosa rögzíttt a izikai kémiába: tzív: ola miség mlk agsága az alrszrkr ézv aitív pélál tömg m térogat V Gibbs-rgia G itzív: ola miség mlk agsága a rszr mértétől üggtl pélál hőmérséklt T omás p kémiai potciál parciális moláris Gibbs rgia μ spciiks: g tzív miség v lőtt jlzőkét haszálva azt jlti hog azt a tömggl losztottk péál térogat V spciiks térogat v V / m / ρ 5

6 ahol ρ a tömgsűrűség illtv izobár hőkapacitás C p és spciiks izobár hőkapacitás c C m p p / moláris: g tzív miség v lőtt állva általába azt jlti hog a miségt osztottk az aagmiséggl pélál térogat V moláris térogat V m V / illtv talpia H moláris talpia H m H / Javasolt iroalom IUPAC: Qatitis its a smbols i phsical chmistr 3r itio Mitalaatok 7 A átrim sárga voaláak λ hllámhossza λ 5896 m vagis 7 λ / m Há Å-él jlik mg a szíképb z a voal? Mgolás: Az atomi imziókba haszálatos ågstöm mértékgség iíciója: Å Å m vag m/å A két glt gmásba hlttsítésévl 7 λ / Å λ / mm / Å vagis λ 5896 Å. Eg régi takövb azt találjk hog a vízgőz omása C-o ph O C 75 torr. Ajk mg már mértékgségkb a omásértékt! Mgolás: A omás mértékgségik átszámítási aktorai: torr 333 Pa bar 5 Pa atm 35 Pa. Íg ph O C 75 torr 333 Pa/torr 33 kpa 33 3 / 5 bar 33 mbar 33 3 Pa /35 atm/pa 3 atm Eg lktrolit Λ moláris vztőképsségér áll hog Λ κ / c ahol κ az lktrolit olat vztőképsségék és a tiszta olat vztőképsségék a külöbség és c az lktrolit koctrációja. Az lktrolit olatok vztőképsségét többir S cm -b S sims míg a koctrációt mol m 3 -ba szokás kijzi. Pélál ckcl 5 mol m 3 sté κkcl Scm. Azaz a moláris vztőképsségt a kövtkzőképp kapjk mg: Λ S cm / 5 mol m S mol cm m S mol cm Miképp krüli kll az ola kijzésk haszálatát mlk csak valamil mértékgségrszr stéb tljsülk pl. a sajos gakra lőorló Λ κ / c kijzést aml csak akkor igaz ha a moláris vztőképsségt S mol cm -b a vztőképsségt S cm -b míg a koctrációt mol m 3 -b írjk l. Jl pélába a moláris jlző m a mgszokott értlmb szrpl ham az aagmiség koctrációval törtéő osztásra tal z a hlzt a moláris abszorpciós koicis stéb is. 6

7 Gakorló laatok 4 m Számítsk ki E-t amib E és m 99 3 kg 6 9 8h ε C h Js és ε 8854 CV m. Eg cm 3 bzol mkkora lültt oglal l ha g molklái vastagságba moolar trül l a lült? Bcsülj mg maj számítsa ki az rmét. A számításhoz szükségs aatok: sűrűség ρ 879 kg/m 3 g molkla lült 5 9 m valamit a bzol molklatömg 78 g mol. 7

8 II. Valós üggvéta Alapvtő bb a jztb is lmi matmatikai ismrtkről lsz szó az ismrtk alapos készségszitű bgakorlása ml stlg túlmg az itt közölt laatok mgolásá lghttlk tűik a továbbiakba tárgalaó ogalmak és pélák mgértéséhz. Fogalmak a rcpt/szabál ; lggszrűbb azt lht moai hog a üggvé mlt rprztál g számhoz g másik számot rl b a üggvék lírhatók: ormla ábra rztt pár { : } R valós számok lképzés az R csoportra üggvé mit lőírás pl. azt jlti hog ha> -ha< c értlmzési tartomá: üggtl változó lhtségs értékik halmaza értékkészlt: üggő változó lhtségs értékik halmaza gértékű üggvé: mi gs értékhz csak gtl tartozik többértékű üggvé: több mit g érték tartozhat -hz páros üggvé: páratla üggvé: m mi üggvé páros vag páratla mi üggvé lírható mit páros és páratla üggvék összg algbrai racioális és irracioális üggvék: poliomglt mgolásai traszcs üggvé: m poliomglt mgolásai pl. pociális logaritms trigoomtriks és hiprboliks üggvék ilk pociális üggvék pl. bomlási olamatokba logaritms üggvék: b trmészts móo lépk l övkési és két otos alap: log és l azaz log log és l log tlajoságok: g ivrz üggvé log b logb logb ; logb logb ; logb / logb logb alkot az pociális és az szimmtriksak az gsr : és lcsrélésévl gmásba alakíthatóak pl. ivrz párt h trigoomtriks és ivrz trigoomtriks üggvék trigoomtriks azoosságok: si ± si cos ± cos si cos ± cos cos m si si l logaritms üggvé ábráik 8

9 ta ± ta ta ± m ta ta si cos cos cos si si si cos az ivrz trigoomtriks üggvék pl. lcsrélésévl i hiprboliks üggvék sih cosh tah coth j spciális üggvék szorzatüggvé Krockr-lta: δ Γ-üggvé:... i ij i t Γ : t t j i i j i j arcsi si mgkaphatók és Javasolt iroalom CRC Staar Mathmatical Tabls a Formlas Mitalaatok Jllmzz az üggvét a tartomáo. Mgolás: Az üggvé gértékű értlmzési tartomáa [ ] zárt itrvallm értékkészlt [4] zárt itrvallm. Mi az üggvé ivrz üggvé? Mgolás: ±. A két kijzést külö kll tkiti az értlmzési tartomát is mg kll ai. Mtassa mg hog arcsi ta ha <. 9

10 Mgolás: Lg α si siα. Egségi bogójú rékszögű háromszög sté siα és taα azaz α si ta. A gömb térogata r sgár sté üggvééb. Mgolás: r 3V / 4π / 3. V 4 3 g r πr. Fjzzük ki a sgárt a térogat 3 Bizoítsa b hog mi üggvé lírható mit páros és páratla üggvék összg. Mgolás: Számítsa ki az i gségvktorok bázisá értlmztt és vktorokra voatkozó skalárszorzatot a Dirac-él bra-kt jlöléstchika sgítségévl. Mgolás: Gakorló laatok * * i k i k i kδ ik ik ik E / RT A kémiai rakciókitika ú. Arrhis-glt k A stéb mi a kapcsolat lk és T között? l l Mi az üggvé ivrz üggvé? Mtassa mg hog δ ijδ jk δ ik. j i * i i

11 II. Határérték Ebb az aljztb a határral és a határértékkl kapcsolatos ogalmakat lvítjük l. Fogalmak a sorozato lazá g ola listát értük ahol a tagok sorrj rögzíttt potosabba pig végs sorozato a trmészts számok g végs részhalmazá végtl sorozato pig a trmészts számok halmazá értlmztt üggvét értük míg a sorozatok... a tagjaiak lggakoribb jlölési: a illtv { } a b a valós A szám R sorozatak ha mi ε > sté létzik ola N ε trmészts szám N ε N mlr mi > Nε sté A < ε a határérték jlölés pl.: lim A A potosa akkor a határérték a végtl { } c üggvék g a potba akkor létzik határérték ha a bal és jobbolali határértékk abba a potba azoosak határérték tétlk lim l lim lim a lim a l a a ± β α lim ± β lim a a lim lim ll a a [ α ] l ± l [ ] lim a l lim ha l a lim l a r r lim a a > a si g gakra lhaszált határérték: lim a valamit α β és r valós számok: a m jól mghatározott alakú / / illtv hasoló határértékk számításáál jó szolgálatot tht a l Hopital szabál aml kimoja hog amib a jobb olal létzik úg lim lim. g g Mitalaatok 3 4 Aja mg a P a b c grű poliom lső illtv másorű közlítésit. P a ο Mgolás: P a b ο. 3 Közlíts az F a b c poliomot harmarig. 3 Mgolás: F a 3a 3a b c bc b ο3.

12 Gakorló laatok Aja mg a kövtkző kijzésk határértékét amib : a b és c. 5 Számítsa ki a kövtkző határértékkt: a lim 4 b lim si c 8 lim 3. A kövtkző kijzés vizsgálatával aja mg aak határértékt: lim 3 3.

13 II. Foltoosság Fogalmak a a valós üggvék oltoossága lokális hli tlajoság a üggvé értlmzési tartomááak g potjába krül mghatározásra potbli oltoosság b g valós üggvé oltoos az a potba amib a kövtkző három ltétl gszrr tljsül:. a-ba iiálva va. a lim határérték létzik és 3. lim a ; a három tétlt összoglalva azt írhatjk hog a lim a lim a a c ha a ti három ltétl m tljsül a üggvét m-oltoosak vzzük és szakaással rlkzik ha a szakaási hl a üggvé határérték a ± akkor sziglaritásról bszélük amib a üggvé az a potba m iiált határérték ig pl. z áll az / üggvé stéb akkor a üggvé ltávolítható szakaással rlkzik amib és g oltoosak a-ba úg g g és /g is azok amib g a g az üggvé oltoos g aott itrvallmba amib aak mi potjába az < h a Havisi-él lépcsőüggvé H az gik azo üggvékk > mlk m oltoosak a tljs itrvallmo Mitalaatok Foltoos- az üggvé a itrvallmo? Mgolás: Flírhatjk hog ha és ha. Azaz oltoos a tljs tglr. 3

14 II.3 R oro Fogalmak R: poliomiális üggvék sté gakra élük azzal a közlítéssl hog a üggvé változását g aott okszámo lül m vsszük iglmb zt a lvágási szitt O-l vag O -l szokás jlöli; O azt szimbolizálja hog z r alatt a üggvé alakját plicit ajk mg ttől a okszámtól kzv azoba ics kokrét üggvéalak csak a lvágás közlítés rjét jlöljük. A matmatikába a övkési üggvék sté az oro szimbolika légs kitrjtbb ogalomkészlttl rlkzik és számos alst létzik. Gakorló laatok 3 4 Aja mg a P a b c poliomüggvé lla és lsőrű közlítésit. 3 Közlíts O3-ig a Q a b c poliomot. 4

15 III. Dirciálszámítás A irciálszámítás számkra lsősorba arra való hog mgállapítsk hoga változak a kémiába ag számba lőorló többváltozós üggvék. A irciálszámítás mgaja a változás sbsségét bárml kiszmlt potba. Hagsúlozaó hog m a változás agságát ham aak sbsségét kapjk mg. A / kijzés gtl miség m pig és aráa azért gakra lőorl hog jogosa írjk hog pl. ahol iiitzimális mgváltozása. Fogalmak a az riváltját a kövtkző kijzés iiálja: lim b irciálási szabálok: g a irciálás mit liáris oprátor: g és k k v szorzási szabál: ha v akkor v v v v v v v háaos szabál: ha / v akkor v v z lácszabál: amib z és z z úg z c alapvtő üggvék rivált üggvéi üggvé t rivált üggvé t rivált kostas cos t si t t t t t at t t at a l t /t si t cos t középérték tétl : amib oltoos a zárt [ab] itrvallmo és irciálható a itott a b itrvallmo valamit áll hog a b úg kll li lgalább g a -b mlr igaz hog ζ ζ potak b középérték tétl : amib és lső rivált üggvé oltoosak a zárt [ab] itrvallmo és létzik úg létzik lgalább g ola ζ potja az a itrvallmak mlr áll hog b b a a b a a b a! 3 a b a 3! 3... a b a! a b a! 5

16 aml a végs -lmű Talor-sor maraéktaggal! a b a R kibővíttt lírása parciális riválás: a irciálás mgismrt szabálai kitrjszthtők többváltozós üggvékr is pl. kétváltozós üggvé stéb amib a mgllő határok létzk lim és lim g tljs irciál: több-változós üggvé sté az alábbi móo iiáljk: φ φ φ φ... Mitalaatok Aja mg /-t a kövtkző üggvékapcsolat stér:. si Mgolás: si cos cos cos si. Ha ismrjük a kövtkző határértékt lim / b b b akkor bizoítsk b hog l. Mgolás: l lim l l lim l l lim l /. Bizoítsk b hog Mgolás: Ha akkor azaz v v l v v v v Gakorló laatok Bizoítsa b a háaosszabált a szorzatszabál sgítségévl! 6

17 Mtassa mg a lácszabál sgítségévl hog amib l úg. 7

18 III. Parciális irciálás Többváltozós üggvék stéb a irciálást mi gs változó szrit lvégzhtjük kkor parciális irciálástról parciális riválásról bszélük. Fogalmak a az kétváltozós üggvé lső parciális riváltját a kövtkző kijzés iiálja: h h h lim b a magasabb rű riváltak g lhtségs jlölés: stb. Mitalaatok Aja mg a kövtkző üggvékapcsolat stér az lső parciális riváltakat:. Mgolás: A síkbli polárkooriáták stéb ismrjük hog r. Képzzük az lső riváltakat. Mgolás: r r és k mgllő r r. Mithog tjk hog α cos r és α si r íg si cos α α r r azaz a parciális riváltak égztösszg ormált. A H-atom lktro alapállapotába a m ormált hllámüggvér áll hog p z z r ψ. Képzzük az gik lső riváltat. Mgolás: r z r r ψ a kissé vgs jlölés m igazá szép. 8