4. A VÉGESELEM MÓDSZER ELMOZDULÁS MODELLJE

Átírás

1 4 VÉGESEEM MÓDSZER EMOZDUÁS MODEJE végslm módsr numrus lárás mérnö fa fladato ölítő mgoldására módsr a sámítástchna flődésévl párhuamosan alault Jlnlg unvráls nagon sofél fladat mgoldására alalmas végslm programrndsr állna rndlésr gépést trvőrndsr s tartalmana végslm sámításo végésér alalmas moduloat lárás alapgondolata: - rstt (smrtln) mőt réstartománonént ölítü gés tartománra (tstr alatrésr) érvéns mőt réstartománora flvtt mő össapcsolásával állítu lő - tűött rugalmasságtan fladat mgoldását valamln nrgalv alalmaásával állítu lő: - a agrang-fél varácós lvvl - a Castglano-fél varácós lvvl K - a vrtuáls lmoduláso lvévl En ívül más funconálo s sóba öhtn gnább a agrang-fél varácós lv alalmaása a ltrdt ahol a lmodulásmő a lsődlgs smrtln 4 lmodulásmőn alapuló végslm módsr flépítés mgoldás gondolatmnt: - tstt (alatrést) lvlg ttsőlgs alaú végs sámú réstartománra úgnvtt végs lmr bontu - lmodulásmőt lmnént ülön-ülön ölítü ölítő függvén általában polnomo Et nvü loáls ölítésn - lmn nvts (tüntttt) pontoat úgnvtt csomópontoat vsün fl lmnént flvtt ölítő függvént a csomópont (lmodulás) paramétr sgítségévl össllstü - agrang-fél varácós lv alalmaásával a csomópont paramétrr lnárs algbra gnltrndsrt apun - lnárs algbra gnltrndsrből mghatárou a csomópont (lmodulás) paramétrt - csomópont paramétr smrtébn a tst (alatrés) bárml pontában mghatároható a slárdságtan (lmodulás alaváltoás fsültség) állapoto 4 Jlölés lnvés továbbaban árólag a mátrxos lölés módot alalmau: u r u x u X Br Bx B X u x lmodulás vtormő oslopmátrxa: u X v x x alaváltoás- és fsültség mő oslopmátrxa: 4

2 X x x x x x x x x 6 5 X x x x x x x x x x Itt a alaváltoás és a fsültség tnor gmástól ülönböő oordnátát oslopmátrxba rndü és alaváltoás és fsültség vtorna nvü össfüggés áttnthtőség dvéért a mátrxo alá lgtöbbsör íru a mértt: soro sáma oslopo sáma 4 rugalmasságtan fladat tűés dott: a tst (alatrés) alaa mért (gomtráa) anaga a alatrés trhlés: x a V -n és p x a p -n a tst umgtámastása u -n Mghatároandó: - a u X lmodulásmő - a X alaváltoás mő - a X fsültség mő 4 rugalmasságtan fladat ölítő mgoldása tstt (alatrést) lvlg ttsőlgs alaú végs sámú lmr (réstartománra) bontu fl lmn tüntttt pontoat úgnvtt csomópontoat vsün fl x ábrán löl a lmt (réstartománt) a löl a lm csomópontat (pl a ábrán látható ttraédr csúcspontat) lmodulásmőt lmnént ölítü: ahol u X a lm lmodulásmő paramétrn vtora V u X X n n V 6 X a lm approxmácós mátrxa pdg a lm csomópont csomópont paramétr lmoduláso és söglforduláso lhtn amlt ért a továbbaban általánosított lmodulásona vag általánosított lmodulásoordnátána s nvün ölítő függvént a X approxmácós mátrx tartalmaa (approxmácó ölítés) approxmácós mátrxban srplő ölítő függvén általában polnomo fosáma határoa mg a csomópont paramétr n sámát n a lm össs csomópont paramétrn sáma a lm sabadságfoa

3 lű lm csomópont lmodulásvtora: N ahol N a lm csomópontana sáma érbl fladat stén a lű lm -d csomópontána lmodulásvtora: u v approxmácós mátrx bloora bontása: X X X X X N N N N approxmácós mátrxban aoat a lmt tntü a lmodulásoordnátáal soródna lm csomópontáho tartoó approxmácós mátrx-blo: xx X x X x X X x X X X x X X X approxmácós mátrx lmn nmata tartalma: X blona aml a Pl X a csomópont ránú gségn lmodulása hatására a lmbn lőálló u X x x ránú lmodulásmő Kövtlmén: - X függvénn a X hloordnátá srnt drválhatóana ll lnnü mrt a u X - n nmatalag mgngdttn ll lnn - csomópont lmodulásaból sármaó lmodulásmőből ll adódnu a csomópont lmodulá- sana: X E - csomópont lmodulásaból sármaó lmodulásmőből a több csomópontban nm léphtn fl N lmoduláso: X X X alaváltoás állapot lmnént ölítés: 6

4 X u x x v x x u v x x v x 6 u x x 6 össfüggést tömörn flírva: X D u X ahol D a dffrncálás utasításo mátrxa alaváltoáso fhtő a csomópont lmodulásoal: B n n 6 X D X B X n n X mátrxot alaváltoás - csomópont lmodulás mátrxna nvü fsültség állapot ölítés: Ebbn a össfüggésbn C függvén) X x X C X X X 6 x x 6 u X v X X X a anagllmő mátrxa (nhomogén anag stén a hloordnátá oslopmátrx pdg a hőtágulás hatására létrövő (dt) alaváltoásoat löl nársan rugalmas otróp anag stén a anagllmő mátrxa: c c c c c c c c c C c c c ahol c E c E és c E G nársan rugalmas ortotróp anag stén a anag főráno oordnáta-rndsrébn a anagllmő mátrxa: 7

5 E E E EE EE EE EE EE EE C EE EE EE G G G ahol Ortotróp anag stén a anagllmő mátrxána nvr önnbbn mgghtő és áttnthtőbb srtű: E E E E E E E E E C G G G anagállandó mátrx smmtráából övtőn a Posson ténő nm függtln: E E E E E E anag főráno oordnáta-rndsréből a rdmént vssa ll transformálnun abba a oordnátarndsrb mlbn vsgálatanat végü x x ransformácó! hőmérséltváltoásból sármaó alaváltoás fglmbvétléh süségün van a hőtágulás güttható oslopmátrxára s: Itt X X X 6 6 a smrt hőmérséltmő (a hőmérsélt függht a hltől) güttható vtora: oslopmátrx pdg a hőtágulás 8

6 x hőtágulás lht rántól függő d lggarabban a otróp st fordul lő: x rugalmas ágaás fglmbvétl: Fltétlü hog a tst a r flültén más rugalmas tsth apcsolód érntő flültn lnor mgosló rőrndsr adód át p p u d r dv r flültn fllépő p ahol r X flült trhlés arános a flültn lvő ponto lmodulásával: p X R X u X r cx R X c a rugóállandó / rugómrvség mátrxa c V c x c P x x c lm tls potncáls nrgáa: dv u dv u p d u p d r V V p r tls potncáls nrga össfüggésébn - dv a alaváltoás nrga V dv a térfogat rőrndsr munáa V - u p d a flült rőrndsr munáa p - u 9

7 - u p d a rugalmasan ágaott flültn fllépő muna r r Hlttsítsü b a tls potncáls nrga most flírt össfüggéséb a orábbaban a csomópont paramétr függvénébn flírt mnnségt: B X C X B X dv V B X C X X dv V X X dv X p X d V p X R X X d r Jlölés lnvés: lm mrvség mátrxa: K B X C X B X dv nn V 66 6n n6 lm mrvség mátrxa smmtrus össfüggésbn n a lm sabadság foa (a lm csomópont paramétrn sáma) mrvség mátrx bloora bontása: K K K K N K K K K N K K K K K N N K K K K N N N NN N mrvség mátrx g ttsőlgs bloa: mrvség mátrx lmn fa tartalma: Pl K K K xx x x x Kx K K K K K K K x lnt a lm lű csomópontában fllépő gségn ránú lmodulásho tartoó x ránú rő nagságát a lű csomópontban lm rugalmas ágaásból sármaó mrvség mátrxa: K X R X X r d r K sntén smmtrus mátrx rugalmas ágaásból sármaó mrvség mátrxban csa aoho a r csomópontoho tartoó bloo ülönbön nullától aml csomóponto rata vanna a lm rugalmasan ágaott flültén lm csomópont trhlésvtora három résből áll: - térfogat trhlésből sármaó csomópont trhlésvtor: 4

8 f X X dv V n n ahol a térfogaton mgosló trhlés X sűrűségvtora (ntntásvtora) a lmn smrt X lht Pl önsúl forgásból sármaó trhlés vag a tst gorsuló (lassuló) mogásából adódó thttlnség trhlés - flült trhlésből sármaó csomópont trhlésvtor: Itt p f X p p X d p X a lm valaml flültén mgosló (smrt) trhlés sűrűségvtora - hőmérséltváltoásból sármaó csomópont trhlésvtor: f B X C X X X dv V Ebbn a fésbn a C a a X X X adott smrt mnnség - lm csomópont trhlésvtora: f f f f p csomópont trhlésvtor bloora bontása: f f f N f N Eg ttsőlgs blo: f f x f f f a adott ülső trhlést (térfogat flült hőmérsélt) a csomópontban hlttsítő oncntrált rőn a ránú oordnátáát lnt flült trhlésből sármaó csomópont trhlésvtorban csa aoho a csomópontoho tartoó bloo nm nullá aml csomóponto rata vanna a lmn a flültn mgosló ről trhlt résén lm tls potncáls nrgáa a bvttt lölés flhasnálásával: gés tst tls potncáls nrgáát a K K f f f r p n nn n 4 n n (salárs) mnnség össgésévl apu: ahol Q a tstt alotó lm (réstartománo) sáma agrang-fél varácós lv srnt: Q

9 Q Q potncáls nrga mnmuma lv (a agrang-fél varácós lv) csa a gés tstr érvéns d a gs lmr ülön-ülön nm! d! potncáls nrga össgésénél fglmb ll vnn hog a lm öös (apcsolódó) csomópontana aonos a lmodulása Et fglmb vév a tst potncáls nrgáa a alább módon írható: Q K f f f p gés tst csomópont lmodulásvtora: ahol u v gés tst mrvség mátrxa: M M a tst csomópontana sáma M pdg a tst sabadságfoa K K K K K K K K K K K K K K K K K gés tst K mrvség mátrxa s smmtrus M M M M M M M M M M M M M M MM M M K blo lntés: mndn olan lm K bloát össgn ll aml lm a és csomópontot tartalmaa gés tst csomópont trhlésvtora: 4 f f f p f f f f f f f p p f f f M M M pm M M f blo lntés: mndn olan lm f trhlés vtor bloát össgn ll aml lm a csomópontot tartalmaa

10 nmata prmfltétl fglmb vétl: gn például és tst tls potncáls nrgáa: K K K K M K K K K M M K K K K M K K K K M M M MM M f f M f f M -val balról történő mátrxsorás hatására a K mrvség mátrx -d és -d blosora -val soród -tal obbról történő mátrxsorás hatására pdg a K -d és -d blooslopa soród érussal és nmata prmfltétl fglmbvétléh thát a K -d és -d blosorát blooslopát valamnt a f csomópont trhlésvtor -d blosorát töröln ll és paramétr nm fogna a (smrtln) csomópont lmodulás vtorban srpln Ha a mgmaradó smrtln csomópont lmodulásoat tartalmaó vtort K és f pdg at a mrvség mátrxot és csomópont trhlésvtort löl amln végrhatottu a prmfltétln mgfllő sor- és oslop törlést aor a agrang-fél varácós lv: K f f f p K f f f p K f mndn oordnátáa ttsőlgs (d nm nulla) hsn a nmata prmfltétlbn adott érusértéű lmoduláso -ban már nm srpln Mvl ttsőlgs ért a söglts árólbn álló fésn ll ltűnn: 4 K f csomópont lmodulásora nhomogén lnárs algbra gnltrndsrt apun: K f végslm sámításnál lövttt tpus adatbvtl hbá: - Nm adu mg a anagllmőt f

11 - Nm adu mg a nmata prmfltétlt Bárml hba lövtés stén a tst (rndsr) K mrvség mátrxa sngulárs ls Ha nm adun mg nmata prmfltétlt - aa nncs mgtámastás - aor a tst ttsőlgs nagságú mrvtstsrű mogásra ls éps Matmata smpontból at lnt hog lnárs algbra gnltrndsrn végtln so mgoldása ls nmata trhlés lés Knmata trhlés: a a trhlés mód amor a tst bonos pontana lmodulását íru lő aa nmata trhlés stén pl: adott érté l mnnbn csa nmata trhlést adun a srtr aor a ddg alapán a gnltrndsr obb oldalán f áll Knmata trhlés stén a agrang-fél varácós lv: K K l M l M Mvl és adott lmoduláso ért varácóa Eért a K mrvség mátrx l l K M blosora -val soródna aa t a gnltt lhaghatu Pl l u = áll Pl mm K és K mrvség mátrx K és K M l x l blo oslopa pdg a mgadott lmodulásoal soródna ért smrt érté lsn thát átrndhtő a gnltrndsr obb oldalára K K K K K l M l K K K K K M l l K K K K K M M MM M M Ml l smrt nmata trhlés stén mgoldandó gnltrndsr: K K K K K l M l K K K M K K l l K K K K K M M MM M M Ml l csomópont nmata trhlésvtor 44

12 oat a csomópont trhlést ml a mgadott (lőírt) lmodulásoat létrhoá csomópont nmata thrvtorna nvü 4 végslm módsr onvrgncáa mchana modllés végslm módsr alalmaása során ét érdés mrül fl: - végslm flostás sűrítésévl öldün- a fladat pontos (gat) mgoldásáho? - Mln fladat pontos mgoldásáról van só? - Valóságos mérnö fladat: tst (alatrés) alaa és mért tst anagllmő smrt trhlés (smrt rő) mgtámastáso (smrt lmoduláso) Egsrűsítés (mchana modllalotás) - Mchana fladat (mchana modll): - Gomtra modllés: Rúdsrt Sí-alaváltoás fladat Általánosított sí-fsültség Forgássmmtrus fladat m fladat Hé fladat D fladat stb - nag modllés: nársan rugalmas otróp anag nársan rugalmas ortotróp anag Rugalmas-éplén anag stb fladat D modll - trhlés modllés: érfogaton mgosló: önsúl forgásból gorsulásból sármaó Flültn mgosló Koncntrált - mgtámastás modllés: Flültn Vonal mntén Pontban Egsrűsítés/ölítés (végslms sámítás) - végslm módsr: alalmaott lm alaána mgválastása lmr bontás sűrűségén mgválastása lm ölítő függvénn mgválastása Válas a érdésr: mchana fladat gat (pontos) mgoldását srtnén mnél obban mgölítn Válas a érdésr: végslm módsr nrga értlmbn monoton onvrgns aor ha a lm légítn néhán fltétlt nrga értlmbn vtt monoton onvrgnca at lnt hog gr sűrűbb végslm flostással (végslm hálóattal) a ténlgs mnmumát gr obban mgölítő tls potncáls nrgát apun 45

13 monoton onvrgnca csa a vonatoásában áll fnn thát nm btos hog például a lmodulásmő vag a fsültségmő g adott pontban folamatosan öld a gat értéh u P g up g Q dagramoon g u P g a pontos mgoldásho tartoó potncáls nrga lltv lmodulás érté és Q a lm sáma am végslm flostás sűrűségét llm monoton onvrgnca fltétl: - lmhálóna és a ölítő lmodulásmőn ompatblsn ll lnn lm öött sm héag sm átfdés nm lht Kompatbls lmodulásmő: a approxmácós függvénn btosítanu ll a lm blsébn és a lm határan a lmodulásmő és a lmodulásmő funconálban srplő hl srnt drváltanál ggl sbb fosámú drváltana foltonosságát övtő ábra a lm héag- és átfdés-mntsség övtlménét smléltt végslm öött sm héag sm átfdés nm mgngdtt Q héag átfdés alább ábra a lmodulásmő foltonosság övtlménét smléltt ara a str amor a funconálban lgflbb lsőrndű drválta fordulna lő Eor a lmoldalon a lű lmről és a (+) loalált (adódó) lmodulásna aonosna ll lnn u u u ( ) ( ) u u - lmn tlsn ll lnn ls a lm ha a lmn flvtt ölítő függvén gat módon lírna g onstans alaváltoás állapotot és a lmbn mrvtstsrű mogás stén nm lt alaváltoás (fsültség) 46

14 E aor tlsül ha a ölítő függvén tartalmana g tls lnárs (lső foú) polnomot tls polnomo síbl stbn: tls foú: tls foú: tls foú: tls foú: x x x x x x Pl a tls harmadfoú polnom nmcsa a tls foú sorban álló hatvánoat hanm a lőtt lévő valamnn sorban található hatvánt s tartalmaa 4 Rúdsrt Rúdsrtént modllhtü például a vllamos távvté tartóoslopat gs hídsrtt árműv (autóbus vasút ocs) vásrtét stb Rúdsrt végslm modllés során a övtő fltétlésl élün: - srt gns öépvonalú rudaból áll (öépvonal S pont sál) - tngl a rúd rstmtstn S pont thttlnség főtngl - srt rúdaban sabad csavarás lép fl (a rúd ponta a csavarás során a rúd öépvonalána ránában sabadon lmodulhatna) 4 Rúdlmélt Brnoull-fél rúdlmélt Brnoull -fél rúdlmélt nm vs fglmb a rúdna a nírásból sármaó alaváltoását Hpotés: halításnál a rúd rstmtst sío maradna és mrőlgs maradna a alaváltoott öépvonalra Brnoull hpotés övtmén: F moshno-fél rúdlmélt moshno -fél rúdlmélt fglmb vs a nírás alaváltoást Hpotés: halításnál rstmtst sío maradna d nm maradna mrőlgs a alaváltoott öépvonalra moshno hpotés övtmén: G G x x (a fltétlés srnt) a gés rstmtst mntén állandó gnsúl gnltből sámított nm állandó a rstmtstn például téglalap rstmtst stén a loslás parabolus nírófsültség rdő (a nírórő): ψ x F Danl Brnoull (7-78) holland-svác matmatus Stpan Proofvch moshno (878-97) oros (urán) mérnö 47

15 nírás flült bvtésér égla- d Gx G x nírásból sármaó alaváltoás nrga sámításáho van süség a lap rstmtstű rudanál a nírás ténő érté 5 / 6 rúdlmélt össfüggésn össfoglalása rstmtst söglfordulásat a ábráon ttős níllal lölü - nírás flült u v végslm lárás lmodulás módsrénél mndn tovább mchana mnnségt a lmodulásoból/söglfordulásoból sármatatun rúd öépvonalán lévő ponto oordnátá: u u v v rúdrstmtst söglfordulása: Brnoull-fél rúdlmélt össfüggés: lmodulás és söglfordulás mő apcsolata a génbvétll: u halítás v húás-nomás dv d du d Függtln mő: u v halítás csavarás d húás-nomás össfüggés: E N E E d frd halítás (ét gns halítás suprpoícóa) össfüggés: d dv M d du h IE IEv d d M h IE IEu d d csavarás össfüggés: d d falagos söglfordulás M I G I G c c c Brnoull-fél rúdlmélt stén a potncáls nrgában a smrtln mő (amlr ölítő függvént vsün fl) lső drválta ( és ) és másod drválta ( u és v ) s srpln onvrgnca rtérumból övtőn: - Ha csa lső drválta srpln a -bn aor maguna a smrtln mőn ll a lm apcsolódásánál mggnü 48

16 - Ha másod drválta s srpln a -bn aor a mőn és lső drváltuna s mg ll gnü Brnoull-fél rúdlméltnél a másod st áll fnn ért a lmhatároon a mő és lső drválta foltonosságát s btosítan ll moshno-fél rúdlmélt össfüggés: Függtln mő: u v d Húás-nomás: N E E d d Halítás: Mh IE IE d d M h IE IE d dv dv Nírás: G v d d du du G u d d d Csavarás: Mc IcG IcG d Itt a potncáls nrgában a smrtln mő ( és v u srpln Eért a ölítő függvén flvétlénél csa a mő foltonosságát ll btosítan 4 érbl rúdsrt tartósrt-térbl rúdlm Fltétlés: a srt rúda gmásho mrvn apcsolódna a lmh ötött loáls (hl) oordnáta-rndsr lmr ható vonal mntén mgosló trhlés: Ismrt mnnség: - rúdlm rstmtst llmő: - a rstmtst trült I - a rstmtst csavarás másodrndű nomatéa c ) és a smrtln mő lső drválta f f f f I - a súlpont főtnglr sámított másodrndű nomaté I - a súlpont főtnglr sámított másodrndű nomaté - rúdlm anagána rugalmasság llmő: E G - rúdlm hossa: f rúdlm csomópontana l: térbl rúdlm össfüggést a Brnoull-fél rúdlméltr alapova építü fl rúdlm általánosított csomópont lmodulásvtora: 49

17 ahol általánosított lő arra utal hog a u v nm csa lmodulásoat hanm söglfordulásoat s tartalma 6 oslopmátrx (a lm csomópont általánosított lmodulásvtora) Mndn mnnség csa g váltoótól a rúd öépvonala mntén mért oordnátától függ általánosított lmodulásmő vtor: u u v lmodulásmő ölítés a lű lmn: lmhatároon ( csomópont) a mő stén csa a mő foltonosságát ll btosítan u és és 4 u a a a a 4 9 a a v a a a a a a v mő stén aonban nmcsa a lmoduláso hanm a söglforduláso (a uv lhalás lső drválta) foltonosságát s btosítan ll E a onvrgncánál mlíttt ompatbltás fltétlből övt Fa lntés: - Ha aor a és rúdlm gmásho mrvn apcsolód - Ha aor a és rúdlm gmásho csulóval apcsolód és tngl örül söglfordulásmő nm függtln a lmodulásmőtől: dv a6 a7 a8 d 5 du a a a4 d ölítő polnomo gütthatót fü a lm általánosított csomópont lmodulásaval: lű csomópontban: 5 9 u u a u v v a v a dv d a6 du d a

18 a lű csomópontban: u u a a a a u 4 9 v v a a a a v a a dv a6 a7 a8 d du a a a4 d a a fnt 6 6 gnlt nhomogén lnárs algbra gnltrndsrt alot a a a a smrtlnr lnárs algbra gnltrndsrt mgoldva a mgoldást a lmodulásmőb bhlttsítv és a apott össfüggést átrndv: u u u 4 v v v 4 össfüggésbn srplő 5 approxmácós függvén: 4 6 lmodulásmő ölítés mátrx alaban: u 4 v u 5 v lőő mátrx gnlt tömörn flírva: u 5 u v approxmácós függvén tuladonságat ésőbb résltsn mgvsgálu 6

19 lm alaváltoás vtora: ömörn írva: d d d u d v d d 4 d 4 d D D u D B lm általánosított blső rő - blső nomaté vtora: ömörn írva: C B M h IE M h I E C N E M c IcG C Rúdsrtnél a anagállandó mátrxa nm csa anagállandóat hanm rstmtst llmőt s tartalma lm mrvség mátrxa hl KR-bn: K D C D d 44 lm mgosló trhlésből sármaó általánosított csomópont trhlésvtora: f f f f v d v f f 4 v f v 4 mgosló trhlés a csomópontoban mndg ről hlttsíthtő (a hlttsítő nomatéo nullá): f rúdlm mrv össapcsolása: v F F F M M M v 5

20 x O Probléma: a hl KR-bn flépíttt rúdlm nm apcsolható öss Mgoldás: a össapcsolásho a rúdlm végslm llmőt (a általánosított csomópont lmodulásvtort) g (öös) vonatotatás x KR-bn ll lőállítan rúdlm hl KR-bn vtt végslm llmőt transformáln ll a vonatotatás oordnáta-rndsrb transformácót és a prmfltétl fglmbvétlét síbl str néü mg résltsn 4 Síbl rúdsrt tartósrt - síbl rúdlm artósrt rúdsrt Fltétlés: srtt alotó ruda gmásho mrvn apcsolódna vonatotatás (globáls) rndsr lgn a x KR hl (loáls) oordnátarndsr: ovább fltétlés: - ruda öépvonala g síba sn - srt trhlés a öépvonala síában ható rőrndsr - x tngl a rúdrstmtst thttlnség főtngl Eért a srt rúda gnsn halította F f rúd mchana modll: - tstt (a valóságos rudat) öépvonalával hlttsítü - rúd slárdságtan vsldését llmő mnnségt a öépvonalho ötü Ragadun a srtből g rúdsaast és vssü b a övtő lölést: v - a öépvonal pontana lmodulása N N Mh Mh - a blső rő (génbvétl) f f v M h N 5

21 Ismrt a rúdra ható vonal mntén mgosló rőrndsr: f f f Ismrt továbbá a rstmtst llmő: a rstmtst trült és I másodrndű nomatéa a rúd anagána E rugalmasság modulusa valamnt a rúd hossa síbl rúdlmt llmő mnnségt a Brnoull-fél rúdlméltr alapova építü fl f Mndn mnnség csa g váltoótól a rúd öépvonala mntén mért oordnátától függ: lmodulásmő: ahol u v v a lhalás ( ránú lmodulás) rúdránú) lmodulása pdg a rúd pontana öépvonal ránú (axáls ránú lmodulásmőt a hl KR-bn ölítü: Csomóponto l: v a a a a a a Általánosított csomópont lmodulásvtor (csomópont paramétr): 6 v f polnomo gütthatóna fés a csomópont paramétrl: 5 v v a v v a dv a d 5 6 v v a a a a v 4 a a dv a a a4 d lnárs algbra gnltrndsrt mgoldva a mgoldást a lmodulásmőb bhlttsítv és a apott össfüggést átrndv: v v v lmodulásmőr flírt gnltt mátrx alaban s mgadhatu: 54

22 v v v 6 ömörn írva: u össfüggésbn srplő approxmácós függvén: lm alaváltoás vtora: dv d d d v d d d d v d d d d 4 d d d d d5 d 6 d d B 6 v 6 ömörn írva: D B lm általánosított blső rő (blső rő/ nomaté) vtora: M h I Ev IE N E E C 55

23 ömörn írva: C B 6 6 lm mrvség mátrxa a hl KR-bn: 6 K B C B d 6 K 6 6 I I IE I I lű lm potncáls nrgáána flírása során a lm mrvség mátrxát célsrű bloora bontan: K K f K K f lm általánosított csomópont trhlésvtora a hl KR-bn: - Vonal mntén mgosló trhlésből: v 6 f f v f d f f 6 v csomópont trhlésvtor f c áll f c áll onstans mgosló trhlés stén: v 6 6 f f d f approxmácós mátrx ntgrála: d 6 csomópont trhlésvtor: - Koncntrált rőből v 6 f f f f f f d f f f 6 f f végslm hálóatot (flostást) mndg úg célsrű flvnn hog a oncntrált trhlés támadáspontára csomópont ssn 56

24 F f Ha a csomópont a oncntrált trhlés támadásponta: f F f f M lm llmő (mrvség mátrx trhlésvtor) a hl oordnátarndsrbn általában nm apcsolható öss ransformácó a globáls/vonatotatás oordnáta-rndsrb: lű csomópont általánosított lmodulásvtora a hl/loáls KR-bn: v lű csomópont általánosított lmodulásvtora a vonatotatás/globáls KR-bn: transformácó össfüggés: v V cos W sn V sn W cos Q V W transformácós össfüggést mátrx alaban s flírhatu: v V u W v cos sn V sn cos W lm csomópont lmodulásvtorána transformácóa: vag Q Q vag Q Q transformácós össfüggést a lm potncáls nrgáába bhlttsítv a lm mrvség mátrxa a vonatotatás KR-bn: ˆ K K lm csomópont trhlésvtora a vonatotatás KR-bn: ˆ f f gés srt mrvség mátrxána és csomópont trhlésvtorána lőállítása a orábban mgsmrt általános algortmus srnt történ prmfltétl fglmbvétl: Csulós mgtámastás: V W görgős mgtámastás: V vag W 57

25 V W V W Frd görgő: a görgő sía nm párhuamos a vag tnglll Frd görgő stén a csomópont lmodulásvtort a görgő síáho ötött nm KR-b ll transformáln lű csomópont lmodulásvtora a KR-bn: Q V W v lű csomópont lmodulásvtora a görgő síáho ötött mn KR-bn: n m ransformácó a globáls és a görgő mn oordnátarndsr öött: V cos sn v W sn cos vag Q transformácót a lű csomópontba bfutó mndn lű lm csomópont lmodulásvtorára l ll végn: Q Q vag Q Q E Ha a lm csomópontában s frd görgő van aor a E gségmátrx hltt a bloot ll bírn lm frd görgő fglmbvétléh módosított llmő: ˆ F ˆ f K K transformácós Példa: statalag határoatlan tartósrt alaváltoása végslm módsrnél a stata határoottság határoatlanság érdésévl nm ll foglalon E a mgállapítás nm csa rúdsrtr hanm mndn más srtr s érvéns dott: a ábrán látható tartó mért (gomtráa) és anaga: l E Ix F l C F 58 l B

26 Fladat: C rstmtst v C lhalásána és C söglfordulásána mghatároása végslm módsrrl Kdolgoás: Végslm flostás: vgün fl ét rúdlmt - csomóponto sorsáma (l): - lm lét (sorsámoását) baráással ülönböttü mg - rúdlm hossa: l - Koordnátarndsr: Nncs süség oordnáta transformácóra - Nncs ránú trhlés ért rúd öépvonalána ponta nm modulna l ránban a srtbn nm lép fl rúdrő F v Csomópont lmodulásvtor: 6l 6l IE 6l 4l 6l l K K x lm mrvség mátrxa: K K l 6l 6l K K 6l l 6l 4l mgoldandó lnárs algbra gnltrndsr: K K f K K K K f f K K f 6l 6l v F 6l 4l 6l l IE x l l l v F Résltsn lírva: l 6l l l 8l 6l l 6l 6l v F 6l l 6l 4l M támastó rőrndsr oordnátá: F F M (smrtln) Prmfltétl: v v prmfltétlt úg vssü fglmb hog a gnltrndsrből törölü a 5 és 6 soroat és oslopoat: gnltrndsr a prmfltétl fglmb vétl után: 4l 6l l IE x 6l 4 l v F l l l 8l gnltrndsr mgoldása: l F v 8 IE x apott mgoldás gat! 7 l F 96 IE x o l F IE x 59

27 F v slárdságtanból smrt hog oncntrált trhlésű tartósrtbn saasonént állandó N normál- és níró- valamnt saasonént lnársan váltoó végslm ölítéssl mghatároott mnnség stébn: - lnárs ölítés matt N lmnént állandó - M I Ev M hx halítónomaté génbvétl lép fl v harmadfoú ölítés matt hx x lmnént lnárs dm hx - v harmadfoú ölítés matt I xe v lmnént állandó d végslm ölítés thát tartalmaa a gat mgoldást nrga mnmuma lvből mgapu a gat mgoldást! 44 Síbl rácsos tartósrt F F Fltétlés: - ruda öépvonala g síba s - ruda gns öépvonalúa és a végpontaban csulóal apcsolódna gmásho - Külső trhlés csa a csulópontoban vag a rudara a öépvonallal mggő ránban műöd Kövtmén: a srtt alotó rudaban csa rúdrő ébrd N N rstmtst alaára nncs smmln orlátoás Húott nomott rúdlm: f f Ismrt: - a rúdlm axáls trhlés - a rúdlm rstmtstén trült - a rúdlm anagána E rugalmasság modulusa - a rúdlm hossa f ( ) Ebbn a stbn csa a rúdránú csomóponto l: lmodulásmőt ll ölítn: a a 6

28 lm csomópont lmodulásvtora: polnom gütthatóna fés a csomópont paramétrl: a a a gnltrndsr mgoldása: a a lmodulásmő a csomópont lmodulásoal fv: Mátrx alaban írva: approxmácós függvén (alafüggvén): ( ) alaváltoás vtor - a rúdránú falagos núlás ( db salár mnnség): d B d B fsültség vtor - a rúdránú normálfsültség ( db salár mnnség): lm mrvség mátrxa a hl KR-bn: sorást és a ntgrálást lvégv: E E B N lm csomópont trhlésvtora a hl KR-bn: - Vonal mntén mgosló trhlésből: K B C B d E B B d V V dv E K K K K K f f d v Ha f áll: f f f d f v 6

29 F - Koncntrált rőből: f F lm potncáls nrgáa: f K K K K f E f F F rúdlm össllstés: η η ζ ζ lmt llmő mrvség mátrxo és csomópont trhlésvtoro a hl oordnátarndsr ülönböőség matt a csomópontban nm apcsolható öss ransformácó a globáls oordnátarndsrb: V Q W V sn W cos ransformácós össfüggés a lű lmr mátrx alaban: V sn cos W Q sn cos V 4 W transformácó lvégés (lölés: sn s cos c): 6 V W 4 s ˆ c E s c K K s s c c s sc s sc Kˆ Kˆ E sc c sc c s sc s sc Kˆ Kˆ sc c sc c s s fˆ ˆ c f f c v f f v s s fˆ v c c

30 Példa: önsúlával és oncntrált rővl trhlt rúd alaváltoása dott: - a rúd rstmtstén trült - a rúd anagána E rugalmasság modulusa - a rúd hossa - a rúd anagána fasúla - a F oncntrált trhlés B B f áll f C C F F F c lmodulásána mghatároása végslm mód- Fladat: B rstmtst srrl B és a C rstmtst rúdmodll vonal mntén mgosló rőrndsrén sűrűség f áll hl és a vonatotatás KR aonos a lm a hl KR-bn s össllsthtő lű lm llmő: lű lm llmő: E K F E gés srt potncáls nrgáa: Illstés fltétl: ovább lölés: E K F E F E F agrang-fél varácós lv: 6

31 Knmata prmfltétl: -l sorott oslopot és a -l sorott sort töröln ll F E F mgoldandó lnárs algbra gnltrndsr: E F gnltrndsr mgoldása: F E E E F E Ha a rudat súltalanna tntü aor gat mgoldást apun Egat mgoldás: F E F o E Ha a rúd csa a saát súlával trhlt F aor ölítő mgoldást apun Ebbn a stbn a gat mgoldás másodfoú Kölítő mgoldás: E E támastórő mghatároása (vssahlttsítés a lső gnltb): E F V E F F F G F E E G Példa: Koncntrált rővl trhlt csulós rúdsrt dott: E E E Fladat: C csulópont uc VC WC lmodulás vtorána mghatároása végslm módsrrl o 45 C F o B 64

32 Kdolgoás: végslm modll létrhoása során a srtt ét húott-nomott lnárs rúdlmr bontu hl KR- flvétl: hl és a globáls KR- gmással bárt o o sög: 5 lm KR-bn vtt mrvség mátrxa: lű lm: cos 75; sn 5; sn cos 4 45 C F B Kˆ Kˆ Kˆ E Kˆ Kˆ lű lm: cos 5; sn 5; sn cos Kˆ Kˆ ˆ E Kˆ Kˆ K srt lnárs algbra gnltrndsr általános lölésl: Kˆ Kˆ Q f K ˆ ˆ K K K Q f f ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Q K K ˆ f lnárs algbra gnltrndsr résltv: V F W F E V F W V F W F Knmata prmfltétl: V W és V W E V F mgoldandó lnárs algbra gnltrndsr: 67 5 W gnltrndsr mgoldása: V 4 F W 7 F E E csomópont lmodulás-oordnátá a oordnáta-rndsrbn mgoldás gat mrt a ölítő mő tartalmaá a pontos mgoldást ˆ 65

33 44 Végslm programrndsr általános flépítés a) datbvtl rés/modul: - srt gomtra flépítésén mgadása: ponto vonala flült térfogato - srt végslm hálóatána mgadása: lm csomóponto Smponto: - oon a tartománoon lgn sűríttt a flostás ahol a mchana mnnség rőtlsbb váltoása várható - oncntrált rő/nomatéo támadáspontára ssn csomópont - mgtámastás hlr sntén lgn flvév csomópont - srt anagána mgadása anagllmő gomtra (vonal flült térfogat) vag végslm llmőhö (végs lm) s mgadható Spcáls st: - Rúdfladatonál tt ll mgadn a rúd rstmtst llmőt s Pl: I x - Hé- lm- és tárcsafladatonál tt ll mgadn a vastagság mértt - srt trhlésén mgadása (oncntrált mgosló trhlés hőmérsélt loslás ) - srt mgtámastásána mgadása - mgtámastás (nncs lmodulás) - rugalmas ágaás (rugóállandó) - lőírt lmodulás (nmata trhlés) b) végslm-sámítás rés/modul - lm mrvség mátrxana és csomópont trhlésvtorana lőállítása - gés srt mrvség mátrxána és trhlés vtorana (gsrr több obb oldal s lhtségs) lőállítása - nmata prmfltétl fglmbvétl (mgfllő soro és oslopo törlés) - srt lnárs algbra gnltrndsrén mgoldása a srt csomópont lmodulásana mghatároása - laváltoás fsültség (blső rő) sámítása lmnént a csomópontoban vag a lm blső pontaban alaváltoás llmő fsültség csomópont értét a gs lmről a adott csomópontba sámított érté átlagolásával soás lőállítan c) rdmén smlélttését végő rés/modul flhasnáló ldönt hog a srt slárdságtan állapota öül mt vsgál résltsn mt smléltt - srt pontana lmodulását (dformált ala) - Fsültségt (a gs fsültség-oordnátáat ülön-ülön vag a rduált fsültségt) génbvétlt támastórőt 66