A projekt keretében elkészült tananyagok:

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A projekt keretében elkészült tananyagok:"

Átírás

1 VÉGESEEM-MÓDSZER

2 A pojt tébn lésült tananago: Anagtchnológá Matals tchnolog Anagtdomán Áamlástchna gép CAD tanönv CAD Boo CAD/CAM/CAE ltons példatá CAM tanönv Mééstchna Ménö optmalácó Engnng Optmaton Végslm-analís nt Elmnt Mthod

3 Bdapst Műsa és Gadaságtdomán Egtm Gépésménö Ka Óbda Egtm Bán Donát Gépés- és Btonságtchna Ménö Ka Snt István Egtm Gépésménö Ka VÉGESEEM-MÓDSZER Egtm tananag Ssttt: KOVÁCS ÁDÁM Íta: MOHAROS ISVÁ ODA ISVÁ SZEKRÉYES ADRÁS

4 COPYRIGH: -7 d Kovács Ádám d Séns Andás Bdapst Műsa és Gadaságtdomán Egtm Gépésménö Ka Mohaos István Óbda Egtm Bán Donát Gépés- és Btonságtchna Ménö Ka d Oldal István Snt István Egtm Gépésménö Ka EKORÁA: Hováthné d Vaga Ágns d Kppl István d Pomá ajos d Uj Jósf Catv Commons oncommcal-odvs CC BY-C-D A ső nvén fltünttés mlltt nm sdlm céllal sabadon másolható tjsthtő mgjlntthtő és lőadható d nm módosítható ISB KÉSZÜ: a pot Kadó gondoásában EEŐS VEZEŐ: Vots Zssa ÁMOGAÁS: Késült a ÁMOP--8//A/KMR-9-9 sámú KMR Gépésménö Kao nfomata háttű anaga és tatalm dolgoása című pojt tébn KUCSSZAVAK: Végslm-móds ASYS COSMOS/M údfladat hajlított úd sífsültség síalaváltoás údst fogássmmts lm héj ÖSSZEOGAÁS: A tananag smtt a végslm-móds alalásána töténtét matmata alapjat és spét a gépésménö tvő mnában ágalja a móds mgétéséh süségs ontnmmchana alapfogalmaat és gnltt Bmtatja a tvő mnában lggaabban hasnált lmtípsoat úd gnda sí tnglsmmts véon lm és héjlm A tljs potncáls nga mnmm lvéből ndlva tatalmaa a tébn dstált lnásan galmas tst vonatoó mát gnsúl gnlt lvtését és a ülönfél modll vonatoó güttható máto flépítését Rúdfladatonál bmtatja a mogásgnlt flépítését és a sajátfvncá sámítás módját A lmélt fjt mgétését nagban lősgít a sámos dolgoott mntapélda és a pa gaolatból vtt valós fladato mgoldásána éslts tágalása

5 ARAOMJEGYZÉK A VÉGESEEM-MÓDSZER KIAAKUÁSÁAK ÖRÉEE A MÓDSZER EJŐDÉSE EERJEDÉSE SZEREPE A GÉPÉSZMÉRÖKI ERVEZŐI MUKÁKBA Óo alalmaás Vaácósámítás alalása alapfogalma Bachstochon lgövdbb dő-pobléma nconálo vaácó Dt móds 6 Rt-móds 8 Modn véglm-móds alalása Eőmóds Mogásmóds 5 Végslm-móds a műsa gaolatban 6 Mllélt 6 Vaácósámítás művlt sabála 6 El-agang dffncálgnlt Bblogáfa KOIUUMMECHAIKAI AAPOGAMAK A RUGAMASSÁGA DIERECIÁEGYEE-REDSZERE ÉS PEREMÉRÉK PROBÉMÁJA 5 Kontnmmchana alapfogalma 5 Rgalmasságtan dffncálgnlt-nds és pmété poblémája Egnsúl gnlt Gomta gnlt 6 Anaggnlt Pmfltétl 5 Pmété pobléma Bblogáfa A RUGAMASSÁGA EERGIAEVEI VARIÁCIÓS EVEI VÉGESEEM- MÓDSZER MEREVSÉGI EGYEE MEGHAÁROZÁSA ÉS MEGODÁSA SÍKBEI HÚZO RÚDEEMRE Kölítő mő Knmatalag lhtségs lmodlásmő Statalag lhtségs fsültségmő Vtáls mna lv Potncáls+ nga mnmm lv 5 agang-fél vaácós lv 7 5 Mogásmódsn alapló végslm-móds 8 5 Vtomő bvtés 8 5 Rgalmasságtan pobléma és mgoldás móds 5 5 Végslm ölítő lmodlásmő 5 6 Mvség gnlt mghatáoása és mgoldása síbl húott údlm 55 6 Mvség gnlt D húott údlm 55 6 Példa 6 Bblogáfa 6 Mohaos István Oldal István Séns Andás wwwtanonvtah

6 6 Végslm-móds SÍKBEI HÚZO RUDAK VIZSGÁAA VÉGESEEM MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZER SEGÍSÉGÉVE 6 Síbl údst 6 A údst modlléséh alalmaott végslm 65 RUSS lm tlajdonsága 65 A BEAM lm tlajdonsága 66 ladat mgoldás 67 Mgjgés 76 5 SÍKBEI HAJÍO RUDAK VARIÁCIÓS EADAA MEREVSÉGI EGYEEEI MEGODÁSA VÉGESEEM-MÓDSZERRE 77 5 Síbl hajlított údlm vaácós fladata 77 5 ladatmgoldás végslm-módsl 79 5 A lm mvség máta 79 5 A st tljs mvség máta 85 5 A tljs gnltnds és mgoldása 86 5 Mgjgés 87 6 SÍKBEI HAJÍO RUDAK VIZSGÁAA VÉGESEEM MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE 88 6 údst 88 6 A modllés soán alalmaott végslm 88 6 A BEAM lm tlajdonsága 89 6 A níásból sámaó alaváltoás fglmbvétl 89 6 ladat mgoldás 9 6 Mgjgés 7 A POECIÁIS EERGIA MIIMUM EVÉEK AKAMAZÁSA ÉRBEI HAJÍO RÚDEEMRE RIZ-MÓDSZER ÉS VÉGESEEM MÓDSZER AKAMAZÁSA 6 7 ébl údlm vaácós fladata 6 7 ladatmgoldás végslm módsl 7 Mgjgés 8 ÉRBEI HAJÍO RUDAK VIZSGÁAA VÉGESEEM MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE 5 8 ébl údst 5 8 A modllés soán alalmaott végslm 5 8 A BEAMD lm tlajdonsága 6 8 A BEAMD lm spcáls tlajdonsága 8 8 ladat mgoldás 8 Mgjgés 6 9 RÚDSZERKEZEEK DIAMIKÁJA A ÖMEGMÁRIX BEVEZEÉSE SAJÁREKVECIA MEGHAÁROZÁSA 7 9 A végslm-móds tjstés 7 9 Rgalmas tst sajátgés fladatána végslms mgfogalmaása 7 9 Síbl údst sajátlngésn sámítása végslm módsl 9 9 A lm tömgmátána mghatáoása 9 A lm mvség mátána mghatáoása 9 A nds tljs tömg- és mvség máta 9 Mgjgés 5 wwwtanonvtah Mohaos István Oldal István Séns Andás

7 atalomjgé 7 ÉRBEI RUDAK DIAMIKAI VIZSGÁAA SAJÁREKVECIA MEGHAÁROZÁSA VÉGESEEM-MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE 7 Bvtés 7 A alalmaott végslm tlajdonsága 7 A fladat smttés 8 A fladat végslms mgoldása 9 5 Mgjgés 58 BEVEZEÉS SÍKEADAOK ÉMAKÖRBE SÍKESZÜSÉGI SÍKAAKVÁOZÁSI ÉS ORGÁSSZIMMERIKUS EGEYSZIMMERIKUS MODEEK AKAMAZÁSA 59 Sífladato alaptípsa 59 Egnsúl gnlt lmodlás és alaváltoás 6 Konstttív gnlt 6 Sífsültség állapot 6 Síalaváltoás állapot 6 Sífladato alapgnlt 65 Kompatbltás gnlt 65 A A-fél fsültségfüggvén 66 A av-fél gnlt 67 Pmété-fladato 68 5 Példá sífsültség állapota 69 5 égt alaú lm pmthlésén mghatáoása 69 5 angncálsan thlt lm vsgálata 7 6 Sífladato alapgnlt poláoodnátá sgítségévl 7 7 nglsmmts sífladato 76 7 ömö öhng és vastagfalú cső 77 7 ogó tácsá 79 Bblogáfa 8 SÍKESZÜSÉGI ÁAPO MODEEZÉSE VEM PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE MODEEZÉS KIÉRÉKEÉS PROBÉMAKÖRÉEK EEMZÉSE 85 Sífladato végslms mgoldása 85 nás háom csomópontos háomsöglm 87 A lmodlásmő ntpolácója 87 A mvség mát sámítása 9 A thlés mgadása 9 Kdolgoott példa lnás háomsöglm sífsültség állapot 9 Kvadats hat csomópontos háomsöglm 5 Iopaamts nég csomópontos négsöglm 5 A gomta ntpolácója 5 A lmodlásmő ntpolácója 6 5 A alaváltoás jllmő sámítása Jacob mát és Jacob dtmnáns6 5 A Jacob dtmnáns jlntőség példa 9 55 A fsültségmő sámítása 56 A mvség mát sámítása 57 A thvto sámítása 6 ms ntgálás a Gass-fél sabál Mohaos István Oldal István Séns Andás wwwtanonvtah

8 8 Végslm-móds 6 Egdmnós Gass-sabál 5 6 Kétdmnós Gass-sabál 6 7 Kdolgoott példa a opaamts négsöglm alalmaásáa 9 8 Kvadats opaamts négsöglm 5 Bblogáfa 7 ORGÁSSZIMMERIKUS ÁAPO MODEEZÉSE VEM PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE MODEEZÉS KIÉRÉKEÉS PROBÉMAKÖRÉEK EEMZÉSE 8 nglsmmts fladato végslms mgoldása 8 ogássmmts lnás háomsöglm Kdolgoott példa tnglsmmts háomsöglm ogássmmts opaamts négsöglm 7 5 Kdolgoott példa tnglsmmts opaamts négsöglm Bblogáfa 8 VÉKOYAÚ HÉJAK EMEZEK MODEEZÉSE A VÉGESEEM HÉJMODEEK EMÉEÉEK BEMUAÁSA 9 m és héjmodll 9 A Kchhoff-fél lmlmélt alapgnlt 9 A lmodlásmő 9 A alaváltoás jllmő 5 A fsültségmő és a öépflült génbvétl 5 A gnsúl és mogásgnlt 5 Véon lm végslms mgoldásána gnlt 55 A tchna héjlmélt alapgnlt 57 Gomta össfüggés 57 Élő és élnomatéo gnsúl gnlt 6 Elmodlásmő alaváltoás jllmő 6 Kölítés a tchna héjlmélt tn blül 6 5 Héja végslms modllésén főbb lépés 6 Bblogáfa 66 5 SÍKBEI ÉS SÍKRA MERŐEGES ERHEÉSŰ SÍKBEI VÉKOYAÚ HÉJAK MODEEZÉSE VÉGESEEM-MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE 67 5 Hajlított lmlm 67 5 Háomsög alaú sí lmlm vag och-fél háomsöglm 67 5 Kdolgoott példa a och-fél háomsög alaú lmlm alalmaásáa 7 5 Inompatbls téglalap alaú lmlm Kdolgoott példa a nompatbls téglalap alaú lmlm 8 56 Kompatbls téglalap alaú lmlm 8 57 Síbl és sía mőlgs thlésű lm 86 Bblogáfa 86 6 ÉRBEI VÉKOYAÚ HÉJAK MODEEZÉSE VÉGESEEM-MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE 87 6 Egsű síhéj-lm 87 6 A lnás símmbán és a och-fél hajlított háomsöglm sppoícója 87 6 Kdolgoott példa a lnás símmbán és a och-fél hajlított háomsöglm össapcsolásáa 9 Bblogáfa 99 wwwtanonvtah Mohaos István Oldal István Séns Andás

9 atalomjgé 9 7 EGYSZER ÉS KÉSZER GÖRBÜ HÉJAK MODEEZÉSE VÉGESEEM- MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE 7 Göbült héjlm 7 Véon öhng-héjlm 7 ogássmmts héjfladato úpos héjlm 7 7 Vastagfalú héjlm 75 Átmnt lm héjlm és tébl lm össapcsolásáho 9 Bblogáfa 8 ÉRBEI EADAOK VIZSGÁAA VÉGESEEM-MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE D-S EEMEK BEMUAÁSA 8 Haéd lm 8 8 csomópontú haéd lm 8 csomópontú haéd lm 8 csomópontú haéd lm 5 8 Pntaéd lm 7 8 taéd lm 7 8 csomópontú ttaéd lm 8 csomópontú ttaéd lm 8 csomópontú ttaéd lm 8 Hachs alafüggvén 5 8 Mvség mát és csomópont thlés lőállítása 5 8 Gass-fél nms ntgálás 5 8 D-s lm mvség mátána lőállítása 6 8 Csomópont thlés lőállítása téfogat thlésből 7 8 Csomópont thlés lőállítása flült thlésből 7 Bblogáfa 9 9 ÉRBEI EADAOK VIZSGÁAA VÉGESEEM-MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE D-S EEMEK AKAMAZÁSA 9 Gomta modll léthoása 9 Edt gomta gésítés 9 Él sao modllés 9 hltln és modllés 9 Smmts alatés modllés 9 Végslm-modll léthoása 9 Hálóás bállítása 9 Elmmét hatása 9 Elmtíps hatása 5 9 Pmfltétl 7 9 hlés 8 9 Kéns 5 MODEEZÉSI POOSSÁGI AKAMAZHAÓSÁGI KÉRDÉSEK A KÜÖBÖZŐ VÉGESEEM MODEEK ÖSSZEHASOÍÁSA EREDMÉYEK VIZSGÁAA 5 ató modllés 5 Kö stmtstű tató vsgálata 5 Véon falú át slvénű úd modllés 55 Véon falú ntott slvénű úd modllés 57 Vastag falú cső modllés 6 Mohaos István Oldal István Séns Andás wwwtanonvtah

10 Végslm-móds Bblogáfa 67 SZÁMÍÁSI EREDMÉYEK KIÉRÉKEÉSE ÉS AKAMAZÁSA A GÉPÉSZMÉRÖKI ERVEZÉSI ÉS MIŐSÍÉSI EADAOK MEGODÁSÁBA VÉGESEEM SZÁMÍÁSOK ÉS SZABVÁYOS MÉREEZÉSI EJÁRÁSOK KAPCSOAA 68 Véglm-móds pontossága 68 Hbabcslés h típsú ölítéso 7 Hbasámítás h típsú ölítéso 77 p típsú ölítés 8 Konvgnca snglás hln 8 5 Modllés hbá 8 Sámított dmén étélés 8 oláshatánál magasabb fsültség 8 Snglás hl 8 Sabvános ljááso és a VEM 8 Bblogáfa 8 wwwtanonvtah Mohaos István Oldal István Séns Andás

11 A VÉGESEEM-MÓDSZER KIAAKUÁSÁAK ÖRÉEE A MÓDSZER EJŐDÉSE EERJEDÉSE SZEREPE A GÉPÉSZ- MÉRÖKI ERVEZŐI MUKÁKBA Óo alalmaás Végs lm: alalmaásal bonollt és adott öülmén öött nm mgoldható fladatoat gsűsítün l A gsűsítés alapja hog a tst gomtáját végs sámú sbb gsűbb alaú lm bontj íg mgoldhatóvá vál a pobléma Eo a vsbb d bonolltabb sámítás hltt több d gsűbb sámítást ll lvégnün A dstácó alalmaása gomta poblémá mgoldásáa ö ült tült ába hng gömb téfogata géb bonollt gomtá a b ába: Kö tültén ölítés A ö tültén sámításao a ölapot n daab gnlő sáú háomsög bontj a ába snt Eo a ölítő étéén és hbájána alalása a flostás függvénébn látható a ábán ahol 6 6 ncos sn 6 6 ncos sn és n n hba % n n Oldal István SZIE wwwtanonvtah

12 Végslm-móds hba[%] n hba p ába: π sámított été és hbája a flostás növléso s Csang Cs ína ménö s 8-ban fltétlhtőn téglalapo sgítségévl mgállapította hog été 596 és 597 öött van Vaácósámítás alalása alapfogalma Bachstochon lgövdbb dő-pobléma 696-ban Bnoll fogalmata mg a poblémát aml mgoldásána sés lndította a vaácósámítás fjlődését A pobléma: adott ét ülönböő magasságban és nm g függőlgsn gnsn lhldő pont Vgü aoat a ét pont által jlölt függőlgs síban lévő göbét amln a magasabb pontból dősbsség és súlódás nélül ndítva ljthat g anag pont a alacsonabban fvő pontba Kédés hog lét- öött a göbé öött olan amlt a pont mnmáls dő alatt ft b és ha gn hogan lht mghatáon? P P ába: Bachstochon-pobléma A stt függvén gafonja átmg P és P pontoon thát: és wwwtanonvtah Oldal István SZIE

13 A végslm-móds alalásána tötént Engamgmaadás tétl adott st: mv mg A sbsség: ds v dt A lm úthoss: ds d d tömggl gsűsítv és hlttsítv és -t: d dt d dt g 5 ndv: d dt d d dt d g 6 d d g 7 d dt Sétválastva a váltoóat a út mgtétléh süségs dő: ' d 8 g Kssü at a függvént aml lgt ts -n és aml 8-na mnmma van A mgoldás g clos: 9 t c acsn c c c ahol c c állandó a fltétlből mghatáoható E a pobléma ahol g salá mnnség mnmalálásáho függvént lltt sn ánította a fglmt a vaácósámítás flé és ndította l anna fjlődését Oldal István SZIE wwwtanonvtah

14 Végslm-móds nconálo vaácó A bachstochon poblémáho hasonló a tmést- és tásadalomtdománoban soso lőfodl alálon olan mtatóal mnnségl aml étéét függvén hatáoá mg ggsűbb st g hatáoott ntgál été aml a válastott függvéntől függ D ln g ívhoss flült téfogat vag g tató potncáls ngája s A ln mnnségt a fnconálna nvü Valaml halmana a valós sámo halmaába való lépését valós fnconálna vag opátona nvü A általános matmata dfnícóna g spcáls st amo a függvén halmaát a valós sámo halmaába való lépését nvü fnconálna gn: f R R adott függvén és R R mgngdtt függvén aml étlmés tatománán foltonosan dválható C[ ] és átmg a tatomán séln ögíttt P P pontoon: Eo mndn függvénh ndljü hoá a I [ ] f ' d valós sámot Íg étlmü a I fnconált A fladat lgtöbbsö a fnconálo sélsőétéén mghatáoása A sélsőété lht absolút vag loáls Ha I fnconál tljs étlmés tatománán fnnáll ~ függvén hog I I ~ I ~ absolút mnmm ao Ha I fnconál étlmés tatománána g ésén fnnáll hog I I~ I ~ loáls mnmm ao A vaácós pobléma lasss étlmés analógát mtat a dffncálsámítással agang a dffncál mntájáa bvtt a vaácót a jl és mgadta a vl való művlt sabáloat Vsgálj a lasss étlmést: ~ függvén vaácója amlől tdj hog és a tatomán és végpontjaban smt függvénéténél ltűn öt ttsőlgs Eo g függvénsgt mgngdtt függvén ad aml tatalmaa a mgoldást A fnconál vaácóját úg étlmü hog wwwtanonvtah Oldal István SZIE

15 A végslm-móds alalásána tötént 5 P P ába: Vaácó agang-fél lasss étlmés I f d A fladat ~ mgoldását ao apj ha a fnconálna mnmma van Vaácós mgfogalmaásban I E a sélsőété süségs fltétl A absolút és loáls mnmm analógájáa g fnconál pl potncáls nga mnmmon alapló móds stébn dfnálhatj g pobléma gat és ölítő mgoldását Egat mgoldás ha a össs lhtségs függvén öül válastj at aml a fnconál mnmáls Enn lőállítása csa nagon gsű stbn lhtségs A lgtöbb stbn a gat mgoldást nm tdj mgtaláln mvl analtsan nm tdj mgoldan a gnltt a végtln sámú függvén öül mndt mgvsgáln sntén nm lhtségs A poblémát ao s mg ll oldan ha nm tdj a pontos mgoldást lőállítan o ölítő mgoldást sün Kölítő mgoldás ha nm a össs lhtségs függvén öül válastj at aml a fnconál mnmáls Oldal István SZIE wwwtanonvtah

16 6 Végslm-móds A ölítő mgoldáso mgsésé jött lét a dt móds A El-fél töött vonala El vaácós módsén lm volta A móds a matmata modn sön btoában úja lőtéb ült és a vaácósámítás dt módsén alapja Dt móds A fnconál sélső étéét adó tmáls függvén mghatáoása volt a vaácósámítás lső poblémána g El módsén léng: vssü vssa a poblémát végs so váltoótól függő függvén sélsőétén vsgálatáa Aa mgngdtt függvénn végs so n sámú adattal líható függvént vsün és a fnconálént dfnált ntgált g ölítő össggl hlttsítjü Ha n tat végtlnh a ölítő össg tat a ntgál étééh El mgoldása: saasonént lnás foltonos függvén El-fél töött vonala hasnálata Oss fl ntvallmot n gnlő saasa és adjn mg ttsőlgs n valós sámoat Eo a saaso hossa: t n A t t nt pontoat össötő tötvonala n g foltonos függvént alotna amln ét végpontja a ögíttt P és P P P t +t Eo a fnconált módosíthatj: 5 ába: El-fél töt vonala I n n f t t t wwwtanonvtah Oldal István SZIE

17 A végslm-móds alalásána tötént 7 : n Ha a fnconál I n ölítő été valaml El-fél töt vonalon sélsőétét vs fl t t nt pontoban ao a n I n j j n 5 Vssü b a pacáls dválta a függvén alsó ndént a váltoót am snt dváln: f f : f ' f : ' és a alapfüggvén a f j : j j f j t j t jlölést Íg: I n j f t f ' f ' j j j 6 5 és 6-ból ndv: f f ' j ' j f 7 j t Ha n t és a töt vonala sooata tat g éts foltonosan dválható függvénh ao 7-ből lőáll d f ' f ' ' 8 d vag más fomában f d d f 9 ' Oldal István SZIE wwwtanonvtah

18 8 Végslm-móds dffncálgnlt aml a f alapfüggvénh tatoó El-agang dffncálgnlt Mgoldása aml a fnconál mnmmát adja Íg a és 8 fjés g adott fnconál sélsőété sés pobléma ülönböő mgfogalmaását jlnt Et a gnltt a matmatában gpaaméts függvénsg sélsőétéén vsgálatából apj 6 mllélt aonban El töt vonala a dt móds alapját ép ét vsgált a lasss étlmést sooatát és a ab- A tötvonala alapján vgü a mgngdtt függvén valaml solút sélsőété vonatoó pobléma -ad lépésbn a a össgt aml mndn lépésbn g függvént ad A íg apott függvénsooat hatáfüggvénén ha onvgns a tmáls voltát vsgálj Et a módst flhasnálhatj: vaácós fladato ölítő mgoldásáa ha a hatáfüggvén sélsőétét vs fl ao légít 8-at íg g dffncálgnlt mgoldását vthtjü vssa vaácós poblémáa Et hívj a vaácósámítás dt módsén Rt-móds A Rt-módsbn a vaácósámítás dt módsét alalma ölítő mgoldás sésé a végslm-módstől ltéőn tt még a tljs tatománt g függvénnl íj l n Dfnícó: gn n sooat g lnás nomált tén és sooat tljs ha mndn lmh lét a n sooat valós sámoon a a n n sooat aml ttsőlgsn mgölít Dfnícó: gn I fnconál és n sooat nn étlmés tatománán At mondj hog I mnmalálható lnás ombnácóna halmaán ha tljsül: n lét olan lnás nomált té amln és I étlmés tatomána és aml tljs n n mndn lnás ombnácója I étlmés tatománában van mndn n stébn lét I n mnmáls lm ahol n : DI n a wwwtanonvtah Oldal István SZIE

19 A végslm-móds alalásána tötént 9 Rt tétl snt ha I fnconál n sooat lnás ombnácóna halmaán mnmalálható I -n lét mnmáls lm és foltonos ao a I n fnconál mnmáls függvénből álló n sooat I fnconál mnmaláló sooata Rt móds a galmasságtanban Válass fnconálna a galmas tst potncáls ngáját n sámú végs paamét sgítségévl lőállítn g nmatalag lhtségs dfnícó a és fjtbn lmodlásmőt ölítő függvént A potncáls nga mnmm lv mondja hog a potncáls nga a valós lmodláso stébn mnmáls A nmatalag lhtségs lmodlásmőt g függvénsoal ölítjü: a an a a an n A bből flít potncáls nga s gant a n sámú paamétt tatalmaa: n a a a A potncáls nga g fnconál íg sélsőétéét stbn vs fl Aa: a a an 5 a a a n Mvl paaméttől függő ntgál a sélsőétét a paamét snt dválta és étéénél vs fl: a a n daab lnás algba gnlth jtn aml a flvtt n függvén gütthatót adja méstsn mvl a függvénsot flvssü íg ölítő mgoldást a n apn Oldal István SZIE wwwtanonvtah

20 Végslm-móds A móds fontos lm hog a lmodlásmő nmatalag lhtségs lgn aa légíts a nta pmfltétlt Iln függvént bonolltabb stbn nhé találn ét gsűbb fladato mgoldásáa alalmas a móds A végslmmóds abban jlnt lőlépést hog a tst gomtáját gsű lm bontja íg ölítő függvén önnn lőállíthatóa Modn véglm-móds alalása Eőmóds 9-s évbn mgjlnn a sgáhajtású pülőgép A nag sbsség matt bonolltabb gomtájú st jlnn mg csapott és dlta sána E sámításáa a oább móds nm flln mg A pülésnél nm lht a sámítás bontalanságoat nag btonság ténől ompnáln mt a flhasnált anago s dágábba valamnt a ümlttés öltség s mgnövdn lmült a gén g bonollt gomtáat s mgfllő pontossággal lő sámítás móds v alalmata lősö a őmódst aml a lasss galmasságtan alapjan a ő gnsúlából ndl és bből sámít lmodlásoat 97-bn csapott sánú pülőgép pblálta mgoldását Dlta sán stébn poblémá mült fl a őmóds alalmaásával más mgölítés volt süség a mgoldásáho Mogásmóds A őmódsl páhamosan tatáso folta a lmodlásoon alapló móds fjlstésé és alalmaásáa A Bong cég g n által vttt tatócsopotja 956-ban pblált g új módsl mgoldott poblémát Enn léng g fltétltt lmodlásoal flít mvségmáton alapló móds gaolat alalmaása volt am a modn végslm-móds léngét má tatalmata A övtő évtdbn mgsültt a ét és háomdmnós alalmaáso nag lhajlás és géb gomta és anag nmlnás mgoldáso A onvgnca vsgálata és a mátgnlt és galmasságtan lv analógájána flsmés tán a 6-as évbn a galmasságtan vaácós lvn alapjáa hlté a végslm-módst Eo tjdt l séls öbn a vtáls lmodláso lvén alapló móds és snt gdalodóvá vált A alalmaott matmata poblémá és dolgoás a sámítástchna fjlődés folamatosan tat A végslm-módst ma má st hő- áamlástan ltomos mágnss lnás és nmlnás fladatoa és ombnácóa apcsolt fladatoa s alalmaá A sámítógép tljsítmén és a pacon mgtalálható softv lhtőség ljtott aa a snt hog a ménöö éb g önnn tanlható és flhasnálóbaát söt adna Aonban a lmélt smt hánában a pmfltétl modll nm mgfllő válastásával a apott mgoldás so stbn nm a valóságos fladat mgoldása 5 Végslm-móds a műsa gaolatban A végslm-móds ltjdés a gaolatban mgváltotatta a lasss gátás folamatot 6 ába bépült a gátás láncba wwwtanonvtah Oldal István SZIE

21 A végslm-móds alalásána tötént vés Pototíps lgátása Póbaüm mgfll Gátás nm fll mg 6 ába: Klasss gátás modll gsűsíttt folamatábája A gátás öltség jlntős és a ísélt daabo lgátása és póbaümén véghajtása Mvl h süség van anaga anna mgmnálásáa a póbaümh süségs pmfltétl btosításáa ísélt söö méstsn süség van mnd a pototíps-gátás mnd a póbaüm lvégéséh sasmélt En öltség csa nag daabsám és/vag magas tméá stén téüln mg Et a öltségt csönt jlntős métébn a végslms smlácó 7 ába vés Végslm smlácó mgfll Pototíps süségs nm Gátás nm fll mg gn Pototíps lgátása nm fll mg Póbaüm mgfll 7 ába: Végslms smlácóval sgíttt gátás modll A süségs pototípso sámát csönt a végslms smlácó amnnbn jól modllhtő poblémáól van só ao aá l s hagható a pototíps lgátása Eo má a sooatgátása lht aonnal bnddn és lgndő a nllséán póbaümt végn A smlácó nmcsa a sládság vsgálato tültén nújt sgítségt hanm a tchnológa tvéso s étn olan célsoftv s amll g föccsöntés ovácsolás mélhúás stb folamatot tdn smláln íg a magas ssámöltségű gátás móds s olcsóbbá válna Elmondhatj hog a tvéso alalmaott végslm-modllés több tült s tjd: tmé sládság hőtan áamlástan ltomos mágnss vsgálata hasnálat öülmén öt aml a tmé mnőségét javítja öltségét pl súl csönt tmé gátás öbn smlácója gátástchnológa smlácója a optmáls öltségű d mgfllő tmé gátástvéséh ssámo smlácója aml ao élttatamát optmáls üm fltétlt adja Oldal István SZIE wwwtanonvtah

22 Végslm-móds A végslm-móds tméstsn nmcsa a gépgátásban tjdt l hanm géb tdomántültn s A gépgátás analógájáa lmondhatj hog a süségs pototípso ísélt modll sáma csönthtő íg a tvés össsségébn olcsóbb gosabb pontosabb 6 Mllélt 6 Vaácósámítás művlt sabála függvén ' fnconál A függvén vaácója anna smétéű mgváltotatása jl: A fnconál lső vaácója: ' 6 ' tljs dffncája: ' d d d' 7 ' fnconál stén fnnáll: 8 9 n n n d d függvén fnnáll: d d d d wwwtanonvtah Oldal István SZIE

23 A végslm-móds alalásána tötént 6 El-agang dffncálgnlt gn: f R R adott függvén alapfüggvén és R R mgngdtt függvén aml étlmés tatománán foltonosan dválható C[ ] és átmg a tatomán séln ögíttt P P pontoon: Eo mndn függvénh ndljü hoá a I [ ] f ' d valós sámot Kssü at a függvént aml I [] fnconál staconás Egéb fltétl mlltt sélső étét vs fl gn: R R ttsőlgs függvén ögíttt pontoal 5 és R valós sám Eo dfnálható g R R gpaaméts függvénsg: 6 = P P -ba 6-ot hlttsítv: 8 ába: A vaácós fladat mgoldása és vaált göbé Oldal István SZIE wwwtanonvtah

24 Végslm-móds I f ' d f ' ' d 7 Adott függvén stén I fnconál csa függvén I ao ls staconás tljsít a sélsőété süségs fltétlét ha di 8 d és 9 di d A paaméts ntgálo dffncálás sabála snt: f f f f ' d ' ' d d ' f ' ntgáljáa alalma a pacáls ntgálás sabálát: ' f f d f ' d d ' ' d ' jobb oldalána lső tagja és 5 snt nn mgfllőn -b hlttsítv: f d f d d ' f d f Mvl ttsőlgs íg a ntgál csa ao lht és ha d ' Et El-agang dffncálgnltn nvü Bblogáfa [] Páclt István Végslm-móds a ménö gaolatban I ött Msolc Egtm Kadó Msolc 999 [] Égt János Kppl István A végslmmóds mchana alapja Unvstas- Gő Kft Gő 7 [] Kósa Andás Vaácósámítás anönvadó Bdapst 97 wwwtanonvtah Oldal István SZIE

25 KOIUUMMECHAIKAI AAPOGAMAK A RUGAMASSÁGA DIERECIÁEGYEE-REDSZERE ÉS PEREMÉRÉK PROBÉMÁJA Kontnmmchana alapfogalma Modll: a vsgált jlnségh hasonlóan vsldő anna gsűsíttt mása Sládságtan poblémá mgoldásáho süségün van: gomta anag- apcsolat thlés éns modll A gomta modll dmnó snt lhtn: dmnós: pontsű tst ha lhanagolj a össs gomta métét dmnós: ha g mét a más ét tjdéséh épst lhanagolható A lasss da tató ácsos st és a végslm-módsbn hasnált vonallm dmnós: g mét lhanagolható a más ét météh épst m héja dmnós: tstmodll g métét sm hanagolj l Aonban lgtöbbsö nm jlnt a tljs gomtát mt a mchana smpontból lhanagolható d a sámítás gén növlő ést fölöslgs a modllbn mgjlnítn Kontnm tst modll: foltonos foltonosan dválható függvénl líható ttsőlgs sámú végtln és flostható modll A ontnm tst pontjat adott oodnátandsbn j vtoal íj l ontnm tst lm téfogat d d d j ába: Kontnm tst és lm hasáb Oldal István SZIE wwwtanonvtah

26 6 Végslm-móds Elm tst: g ontnm tst lm ttsőlgsn s métű és modlltől függőn lm tömg vag lm téfogat Mv tst: olan tst aml báml ét pontjána távolsága állandó üggtlnül a thlés nagságától Rgalmas tst: alaváltoása éps tst hlés hatásáa pontjana távolsága válto násan galmas anagmodll: a thlés és alaváltoás öt lnás függvénapcsolat van mlnásan galmas anagmodll: a thlés és alaváltoás öt nmlnás függvénapcsolat van Képlén anagmodll: a anag a thlés mgsűnés tán nm n vssa dt alaját Sámos éplén anagmodll lét a lnás és nmlnás ll galmas és éplén tlajdonságo domnancájától függőn lnásan galmas nmlnásan galmas éplén ába: Anagmodll Iotóp anag: a anag vsldés ántól függtln báml ánban aonos tlajdonságoat mtat Elmodlásvto: a tst g pontjána lmodlásvtoa a tst adott pontjána thlés lőtt P és tán P ' hltén hlvtoána ülönbség P v j w P P P Elmodlásmő: a tst össs pontjána lmodlásvtoa a hlvto függvénébn v j w wwwtanonvtah Oldal István SZIE

27 Kontnmmchana alapfogalma 7 thlés lőtt P P P P thlés tán P ába: Elmodlásvto Ks lmodlás: a tst pontjana lmodlása lhanagolhatóan cs a tst gomta méth épst Knmata pmfltétl: a tst smt vag lőít lmodlása Dnama pmfltétl: a tst smt vag lőít thlés Alaváltoás: a tst gs pontjana gmásho épst töténő fajlagos gségn hossa vonatoó lmodlása fajlagos núlás: a vto hossána mgváltoása sögtolás: a gmása mőlgs tngl sögváltoása b ába a sögtolás smmts A mvtst-sű mogást a ába nm vssü fglmb Oldal István SZIE wwwtanonvtah

28 8 Végslm-móds P P = + P a b ába: Mvtst-sű mogás és alaváltoás - síban Alaváltoás vto: adott ánú gségvto ltolódását líó vto gségvtooal téd étlmv: j a a j j 5 a j 6 ahol A vtoo oodnátána tlajdonsága: fajlagos núláso: métégség nélül jllmő a hoss növs a hoss csön sögtoláso: métégségü adán a sög csön a sög növs wwwtanonvtah Oldal István SZIE

29 Kontnmmchana alapfogalma 9 Alaváltoás állapot: adott pontban a össs ánho tatoó alaváltoás vtoo össsség íása lhtségs: gségoca tédén alaváltoás vtoaval alaváltoás tnoal Moh-öön j no: lnás homogén vto-vto függvén íása dads fomában vag adott oodnátandsbn dfnált mátsal Alaváltoás tno: galmas tst adott pontjána alaváltoás állapotát íja l úg hog ttsőlgs ánho hoándl a adott án alaváltoás vtoát Adott oodnátandsbn lít vtohámassal dfnálható dads vag mátos fomában Dads fomában: a a j a 7 5 ába: Alaváltoás állapot alaváltoás vtooodnátáal Mátos fomában: 8 aml oslopaban ánho tatoó alaváltoás vtoo oodnátá spln n gségvtoal dfnált ánho tatoó a alaváltoás vto: n a n n 9 Oldal István SZIE wwwtanonvtah

30 Végslm-móds Alaváltoás tnomő: a tst össs pontjána alaváltoás tnoa a hlvto függvénébn sültség: a tst blső flültén mgosló őnds sűűségvtoa nttása Métégség: Pa m sültségvto: a fsültségt fsültségvtoal adj mg Adott pontban n ánho da flültlmh ndlt fsültségvto: n d n da Adott flültn a fsültségvto flült mőlgs oodnátáját nomál fsültségn nvü jl: húás stén nomás stén A fsültségvto flülttl páhamos oodnátát csústató fsültségn nvü jl: j vtooal dfnált flültn a fsültségvtoo: j j j ahol sültségállapot: adott pontban a össs ánho tatoó fsültségvtoo össsség íása lhtségs: lm hasábon fsültségvtoo oodnátával fsültség tnoal Moh-öön wwwtanonvtah Oldal István SZIE

31 Kontnmmchana alapfogalma sültség tno: galmas tst adott pontjána fsültségállapotát íja l úg hog ttsőlgs ánho hoándl a adott án fsültség vtoát Adott oodnátandsbn lít vtohámassal dfnálható dads vag mátos fomában Dads fomában: j 5 Mátos fomában: 6 n gségvtoal dfnált ánho tatoó fsültségvto: n n 7 n sültség tnomő: a tst össs pontjána fsültségtnoa a hlvto függvénébn 6 ába: sültségállapot lm hasábon 8 Oldal István SZIE wwwtanonvtah

32 Végslm-móds A fsültség és alaváltoás tno lmn ndlésé a bmtatottho épst fodított sond s hasnálatos Eő mnája: g ő d lmodlása soán d lm mnát vég a 7 ábán látható a salá soat gomta étlmés a őt a ő ánú lmodlás omponnssl soo Végs lmodlás soán a végtt mna a lm mná össg: W d 9 d +d d dw= d =cos =d 7 ába: Eő mnája Blső nga: alaváltoás nga a blső ő mnája U V dv lnás st U Előállítható a fsültség és alaváltoás tno ttős salá soataént: V dv Hamlton-fél opáto: nabla opátovto olan vto amln mndn oodnátája a adott oodnáta snt pacáls dválás tasítás Désögű dscats- oodnátandsbn: j Hng polá oodnátandsbn: wwwtanonvtah Oldal István SZIE

33 Kontnmmchana alapfogalma R R R Rgalmasságtan dffncálgnlt-nds és pmété poblémája Egnsúl gnlt A gnsúl gnlt a tst ható tnomő öt apcsolatot íjá l q téfogat thlésmő és a fsültség dv q j a b 8 ába: Elm tst thlés Ha g tst blsjébn válastott lm tst ngalomban van ao ülső 8a ába és blső 8b ába thlés gnsúlban vanna A ánú thlést mgvsgálva 9a ába láthatj hog ha nncs ülső thlés ao a blső ő fsültség a tst mgfllő oldalan gfoma nagságúa és llntéts étlmű A váltoást a tst ható ülső téfogat thlés ooa A fsültség flültn mgosló blső ő ét át ll sámítan a lm téfogata A a dd flültn ébd téfogat thlés ao ls ha d élhossal lostj Ehh hasonlóan a fsültségt d a fsültségt d élhossal ll ostan Eo a lm tst ható össs ánú téfogat ő gnsúlban van: d d d d d d q Oldal István SZIE wwwtanonvtah

34 Végslm-móds + d + q + d a b d 9 ába: Elm tst ánú thlés A fsültség váltoása a adott ánú pacáls dválttal íhatóa l: d d amlt -b hlttsítv apj: d q 5 Enn analógájáa a más ét ánban: q 6 q 7 A 5-7 gnlt a dscats- désögű oodnátandsbn flít gnsúl gnlt A gnsúl gnlt általános mgfogalmaásáho vgün g tstn blül V téfogatést a ábána mgfllőn wwwtanonvtah Oldal István SZIE

35 Kontnmmchana alapfogalma 5 V A blső téfogatés dv n da q n A dv téfogatú lm tst ható téfogat thlésből sámaó lm ő: d qdv a b ába: stn blül V téfogatés flült és téfogat thlés A da lm flültn a fsültségvtoból sámított lm ő: n d da nda n A V blső tst gnsúlban van thát a á ható flült és téfogat thlésből sámaó ő össg és: qdv nda 8 V A A A Gass-Ostogadsj-fél ntgálátalaítás tétl snt: nda dv V Et hlttsítv 8-ba: qdv dv V V a tagonént ntgált össg ntgáljává alaítva: Oldal István SZIE wwwtanonvtah

36 6 Végslm-móds q dv 9 V Mvl a V téfogat ttsőlgs lht ét 9 csa a ntgands és été mlltt ga aml össfüggés a galmasságtan gnsúl gnlt q Gomta gnlt A gomta nmata gnlt a lmodlás vtomő és a alaváltoás tnomő apcsolatát íjá l Dscats- désögű oodnátandsbn síban g lm oca dfomácóját látj a ábán d Q dv dv dv Q d d = + dv P P d d d d ntsün l a mvtst-sű mogástól és csa a P és Q ponto gmásho épst lmodlását vsgálj Egmása vtítv a P és a váltoása a QQ ' vto amlt d P ' pontoat a PQ saas hossána d dv j dw lm lmodlásvtoal jlölün Síban nn ét oodnátája d és dv Mndét oodnáta ét és bontható d d d dv dv dv d : a d él núlásából függvén d : a d él tolásából függvén ét ába: Alaváltoáso gomta ntptácója wwwtanonvtah Oldal István SZIE

37 Kontnmmchana alapfogalma 7 d d és d d dv : a d él núlásából függvén dv : a d él tolásából függvén ét v v v dv d és v v v dv d A ába alapján a fajlagos núláso d d dv d dv d dv d actan actan d d d d lhasnálva a lmodlásvtoa flít pacáls dváltaat: v v és a sögtolás: E mndháom síban lvéghtő amn dménént mgapj dscats- désögű oodnátandsbn a gomta gnltt: v w v v w w A gomta gnltt általános fomában s mg tdj fogalman Ehh vsgálj mg g slád tst ét gmástól dtbn d d d j d lm távolsága lévő pontjána hltét thltln és thlt állapotban A alaváltoás dfnícója snt n ét pont gmásho épst hltén mgváltoását ll línn Oldal István SZIE wwwtanonvtah

38 8 Végslm-móds thltln állapot Q d P P Q P d Q P thlt állapot P ába: Elmodlás és alaváltoás Q Q = Q P d d d P P P ába: Elmodlás és alaváltoás vtoo A P és Q ponto latív lmodlása a ét pont lmodlásána ülönbség: Q P P Ebből Q lmodlása: P A P pont öntébn a lmodlásfüggvént ölítsü P - ít aloso sgítségévl: wwwtanonvtah Oldal István SZIE

39 Kontnmmchana alapfogalma 9 P d d d d P P P P P d A és -ből övt hog P pont öntébn a lmodlás dffncája és dffncáltja ölítőlg mgg Ks lmodláso stén a magasabb ndű tagoat lhanagolva: d d d d P glmb vév P P d d d j d d d gnlőségt valamnt a salás és dads soat öt a b c a bc lm mgváltoása: csopotosíthatóság sabált a lmodlásmő d P P P d j d d j d P P P d lhasnálva a Hamlton-fél opátot: d 5 Ahol a lmodlásmő dvált tnoa aml flbontható smmts és antmts fdsmmts tno össgé A smmts és a lm tst alaváltoását íja l a antmts és pdg a lm tst söglfodlását A alaváltoás tno lmodlásmőből töténő sámatatását líó gnltt 6 gomta gnltn nvü A tnognltn mgfllő salás gnlt a dscats- désögű oodnátandsbn a má oábban flít és gnlt A gomta gnlt g más alaja a Sant-Vnant-fél ompatbltás gnlt: A ompatbltás vonato a somsédos lm és s mt a anag foltonossága mlltt a somsédos lmodlásona mg ll gnü Oldal István SZIE wwwtanonvtah

40 Végslm-móds Anaggnlt A anaggnlt a fsültség és alaváltoás állapot öt apcsolatot íjá l A ábán látható lnásan galmas anaga a Hoo-tövén événs Egtnglű fsültségállapot stén a gsű Hoo-tövén E ahol E Yong-modls galmasság modls a aánosság ténő a fajlagos núlás és a fsültség öött sta húás stébn ahol csa g ánban van fsültség a núlás nmcsa g ánban tötén ába A húás ánában a anag mgnúl á mőlgsn hossa csön A ötü lévő aánosságot a dmnó nélül Posson-ténővl íj l: öbbtnglű fsültségállapot stébn a ülönböő fsültség és núláso öt össfüggést g tnognlttl a általános Hoo-tövénnl íj l Két alaja otóp lnásan galmas anagoa: G E 7 E 8 G Ahol G : csústató galmasság modls aml ga: G E : gségmát E : a mgfllő tnoo lső salá nvaánsa a főátló össg A 7 anaggnltn mgfllő salá gnlt: G ába: úláso Posson-ténő wwwtanonvtah Oldal István SZIE

41 Kontnmmchana alapfogalma G G G G G Pmfltétl p A p A Rgalmasságtan pobléma stébn étfél pmfltétlt ll dfnálnn: Knmata pmfltétl: a lőít lmodláso éns a mgoldása fnnáll: Dnama pmfltétl: a lőít p thlés a s d tatona mt aona smt és thlés van A mgoldása fnnáll: aa n p A flültn A A p flültn a thltln flült p p Egéb pmfltétl s lőfodlna d a lggaabban a fnt mlíttt ét típs fodl lő 5 Pmété pobléma 5 ába: Pmfltétl A galmasságtan pmété poblémája a galmasságtan dffncálgnltből és a pmfltétlből áll: Oldal István SZIE wwwtanonvtah

42 Végslm-móds q gnsúl gnlt gomta gnlt G E anaggnlt nmata pmfltétl A n p dnama pmfltétl A p A íg dfnált pmété poblémána boníthatóan lét mgoldása gstnca és csa g mgoldása lét nctás Bblogáfa [] Csmada Béla ándo Enő Mchana ménöön Sládságtan anönvadó Bdapst 999 [] Égt János Kppl István A végslmmóds mchana alapja Unvstas- Gő Kft Gő 7 wwwtanonvtah Oldal István SZIE

43 A RUGAMASSÁGA EERGIAEVEI VARIÁCIÓS EVEI VÉGESEEM-MÓDSZER MEREVSÉGI EGYEE MEGHAÁROZÁSA ÉS MEGODÁSA SÍKBEI HÚZO RÚDEEMRE Kölítő mő A galmasságtan pobléma ölítő mgoldását a lmodláso vag a ő fsültség ölítésévl oldhatj mg A galmasságtan gnlt sgítségévl mndét ánból lndlva a tst lmodlás- alaváltoás és fsültségmőj lőállítható Knmatalag lhtségs lmodlásmő Knmatalag lhtségs a lmodlásmő ha: légít a nmata pmfltétlt 5 ába foltonos és dválható tljsüln á a gomta gnlt A nmata pmfltétl: d d ába: Bfogott tató nmatalag lhtségs lmodlásmő -ból lőállítható a nmatalag lhtségs alaváltoás mő A alaváltoás mőből a anaggnlt általános Hoo-tövén sgítségévl lőállítható a nmatalag lhtségs fsültségmő G E Eg galmasságtan poblémána gtln mgoldása van pdg végtln sámú lht íg általában nm légít a gnsúl gnltt és a dnama pmfltétlt Statalag lhtségs fsültségmő Statalag lhtségs a fsültségmő ha: légít a dnama pmfltétlt 5 ába n p Ap Oldal István SZIE wwwtanonvtah

44 Végslm-móds tljsüln á a gnsúl gnlt q Előállítható blől a statalag lhtségs alaváltoás mő a anaggnlt sgítségévl E E és a bből lőállított lmodlásmő általában nm légít G a gomta gnltt és a nmata pmfltétlt Vtáls mna lv Vtáls lmodlás: éns által mgngdtt smétéű ttsőlgs lmodlás Előállítható g nmatalag lhtségs és a valód lmodlásmő ülönbségént A : ; ába: Knmatalag lhtségs és vtáls lmodlásmő Vtáls mna lv: dálsan galmas nds tst gnsúl galmasságtan pobléma stébn a thlés és éns által mghatáoott hltéből való vtáls modításao a ülső ő vtáls mnája mgg a nga vtáls váltoásával: W U A téfogat és flült ő vtáls mnája: W q dv p da V A p A vtáls blső nga: U dv V V dv V dv wwwtanonvtah Oldal István SZIE

45 A galmasságtan ngalv vaácós lv végslm-móds 5 -ban flhasnált a fsültség és alaváltoás öt fnnálló anaggnltből lvthtő össfüggést A vtáls mna lv hlttsítv a és össfüggést: V dv q dv p da V Potncáls+ nga mnmm lv A p Eg tst tljs potncáls ngája a alaváltoás ngána és a ülső ő mnájána ülönbség: U W 5 V dv V q dv A p Ahol a alaváltoás nga: p da 6 U V dv a ülső ő mnája: W q dv p da V A p Állíts lő g nmatalag lhtségs lmodlásmő stén a potncáls ngát: U W 7 Rgalmas tst stébn a ülső ő flült és a téfogat thlés mnája nmatalag lhtségs lmodlásmő stébn: W V q dv p da q dv p da Ap V A p V q dv V q dv p da A p A p p da q dv p da q dv p da W W 8 V A V A p p Oldal István SZIE wwwtanonvtah

46 6 Végslm-móds Knmatalag lhtségs alaváltoás mő: 9 A galmas tstbn flhalmoódó blső nga a nmatalag lhtségs lmodlásmő stébn alalmava össfüggést: U V dv dv V V dv V dv V dv V dv dv dv dv U U U V V V Eg nmatalag lhtségs lmodlásmő stén a potncáls nga 7 8 -ből: UW U U U W W U W U W U ahol a valóságos lmodlásho mgoldásho tatoó potncáls nga: U W a potncáls nga lső vaácója U W a potncáls nga másod vaácója: U A potncáls nga lső vaácója a vtáls mna lv U snt és: W wwwtanonvtah Oldal István SZIE

47 A galmasságtan ngalv vaácós lv végslm-móds 7 a másod vaácó nga jllgű mnnség ét báml stén ga: 5 Eo g nmatalag lhtségs és a valós lmodlásmő ülönbség: 6 A 6 össfüggés a tljs potncáls nga mnmm lv: a össs nmatalag lhtségs lmodlásmő öül a potncáls nga a valóságos lmodlásmő stén mnmáls agang-fél vaácós lv A potncáls nga mnmm lv vaácós mgfogalmaása a agang-fél vaácós lv A tljs potncáls nga vaácós mgölítésbn g lmodlásmőtől függő fnconál: U W ahol a nmata pmfltétl vaácós alaban: A A sélsőété süségs fltétl: U W 7 Rgalmas tst stén mgg vtáls mna lvévl A lső vaácó és été stén a fnconál lht staconás mnmm vag mamm Estünbn a másod vaácó potív vag és étét vht fl íg stac- onás vag stabl mnmm hlől van só Oldal István SZIE wwwtanonvtah

48 8 Végslm-móds nncs sélsőété nncs gnsúl stacon st nm stabl a gnsúl valód sélsőété stabl gnsúl állapot ába: Potncáls nga nta smlélttés A potncáls nga vaácó nta pobléma stébn smléltt a állapot stabltását a ábán 5 Mogásmódsn alapló végslm-móds A mogásmódsn alapló végslm-móds jlnlg a lgltjdtbb a végslmpogamo döntő többség n a lvn alaps A móds léng hog lm bontj a tstt Elmnént nmatalag lhtségs lmodlásmőt fltétlün általn flvtt függvénl Majd a gomta és anaggnlt valamnt a pmfltétl flhasnálásával lnás algba gnltndst ín fl Enn mgoldása g ölítő lmodlásmő A bből sámított fsültségmő a gnsúl gnlt ölítőlg fogna tljsüln A módsbn a tnoo hltt a gsűbb fomalms édébn vtooat oslopmátoat alalman 5 Vtomő bvtés sültségomponns vtoa oslopmáta: a fsültségtno lmt tatalmaó vto tébn: síban: wwwtanonvtah Oldal István SZIE

49 A galmasságtan ngalv vaácós lv végslm-móds 9 Oldal István SZIE wwwtanonvtah Alaváltoás jllmő vtoa oslopmáta: a alaváltoás tno lmt tatalmaó vto tébn: síban: A mogásmóds stébn süségün van a gomta és anaggnlt Et át ll ín vtoos fomáa Hlttsítsü b a gomta gnlt désögű dscats- oodnátandsbn flít salá gnltt v w v w v w a alaváltoás vtoba majd alaíts soattá: w v w w v v w v Íg a alaváltoás vtot lőállított a lmodlásvto és g dffncálás tasításoat tatalmaó dffncálopáto mát soataént A anaggnltt E G flhasnálva hlttsítsü b a fsültségvtoba a mgfllő lmt: G G G G

50 5 Végslm-móds wwwtanonvtah Oldal István SZIE G G G G G G G G G G G majd alaíts soattá: G G G G G G G G G G G G C G G G G G G G G G G G G Íg lőállított a fsültségvtot a alaváltoás vto és g C anagállandó máta soataént Bvtv a vtomőt gsű soatént lőállított a gomta gnltt: 8 és a anaggnltt: C 9

51 A galmasságtan ngalv vaácós lv végslm-móds 5 A anaggnltb hlttsítv: C íg a lmodlásmő a smtln a alaváltoáso és fsültség blől övtlnül sámíthatóa 5 Rgalmasságtan pobléma és mgoldás móds A végslm-módst galmasságtan pobléma mgoldásáa mtatj b a általános galmasságtan pobléma a övtő: p V q P A p A Adott ába snt: a tst gomtája a tst anagjllmő thlés éns Mghatáoandó: A mgoldás mnt: ába: Rgalmasságtan pobléma A tstt végs sámú éstatomána ún végs lm bontj és a lmn tüntttt pontoat ún csomópontoat vsün fl A lm a tst tljs téfogatát lfd gomtalag mgjlnítv hálót alotna A gs lm öös csomópontoon stül llsdn gmásho A lmodlásmőt lmnént ölítjü általában polnommal amlt a csomópontoa llstün A somsédos lm lmodlásmő a csomópontoon stül llsdn és lsn a gés tst foltonos függvén A ölítő lmodlásmőből a gomta és anaggnlt sgítségévl lőállítható a ölítő alaváltoás és fsültségmő amlből a agang-fél vaácós lv flhasnálásával g lnás algba gnltndst apn a csomópontoa ún mvség gnlt A algba gnltnds ao ls mgoldható ha a össs flült csomópont stébn mgadn g thlés vag lmodlás paamétt a nmata és dnama pmfltétlből Íg a csomóponto lmodlása a smtln Oldal István SZIE wwwtanonvtah

52 5 Végslm-móds A gnltndst mgoldva mgapj a ölítő csomópont lmodlásoat amből lőállítható a ölítő lmodlásmő alaváltoás és fsültségmő 5 Végslm ölítő lmodlásmő A tstt flostj ttsőlgs alaú és métű éstatomána végs lm méstsn fglmb vév at hog a adott lm ölítő függvént ll flínn p V n V q j : lm sosáma j n: csomóponto sosáma 5 ába: lostás végs lm A lm lmodlásmőjét foltonosan dffncálható függvénnl ölítjü A függvén típsát lő mghatáo és a dfnálásáho süségs sámú pontot lnás függvénnél ét pont másodfoúnál háom pont élnént stb csomópontot vsün fl a lm hatáán Majd a lmodlásmőt a csomóponto lmodlásaval flíj A lm - d csomópontjána lmodlása: v w a lm lmodlásvtoa j n csomóponto lmodlásaból: v w n vn wn j n wwwtanonvtah Oldal István SZIE

53 A galmasságtan ngalv vaácós lv végslm-móds 5 n sámú smtlnt tatalma A lm lmodlásvtoát lmodlásmő a csomópont lmodlásvtoból ntpolácóval állítj lő: ahol appomácós mát ntpolácós függvén máta -as blooból áll mndn blo g-g csomópont ntpolácós függvént tatalmaa A lm csomópontjána lmodlásából a lm lmodlása: v w ahol lm ntpolácós függvén A nd étlmés: függvén a csomópont ánú lmodlásána hatásáa a lm báml pontjáho anna ánú lmodlását ndl hoá möbn a lm csomópont lmodlás vtoána több lm és A függvént úg ll mgadn hog tljsüljön: a függvén dválhatóa lgn E a függvén csomópontban adja vssa a csomópont lmodlás étéét a függvén a több csomópontban tűnjön l j n A mát n sámú a lm össs csomópontjáho tatoó j n bloból áll mét n: j n A lm lmodlásmőjén ölítés flhasnálásával -at 8-ba hlttsítv lőállítható a alaváltoás mő ölítés s: bvtv a dffncálopátoo és a appomácós mát soatáa B alaváltoáscsomópont lmodlás mátot: B A lm fsültségmőj: C CB A lm 6 snt potncáls ngája: Oldal István SZIE wwwtanonvtah

54 5 Végslm-móds V dv q dv p da V Ap Átíva a össfüggést a salá és ttős salá soatoat mátsoattá alaítva a blső nga ténő flcsélv tnoo hltt a bvttt vtooat hasnálva: V dv q dv p da V Hlttsítv -t és a onstansoat a ntgálból mlv: K Ap B CB dv V Bvtjü a lm mvség mátát: V B CB dv q dv p da V és a téfogat és flült thlésből sámaó csomópont thlésvtooat: q p V q dv A p p da 5 Ap : q p Íg a lm potncáls ngája: K A ngalvt csa a gés tst alalmahatj mt lmnént nm événs A tst potncáls ngáját a tst Q sámú lm potncáls ngána össg adja mg Q U KU U A agang-fél vaácós lv snt a potncáls nga lmodlás snt lső vaácója és: wwwtanonvtah Oldal István SZIE

55 A galmasságtan ngalv vaácós lv végslm-móds 55 U KU U KU Átndv a mvség gnlth jtn: KU 6 ahol: K : a tst mvség máta U : a tst csomópont lmodlásvtoa : a tst csomópont thlésvtoa A 6 fjés g lnás gnltnds amlt mgoldva mgapj a galmasságtan fladat mgoldását A gnltbn splő tagoat gsű stata pobléma sté ít fl hőfsültség galmas támas stén a mvség mát és a thlésvto bővül lltv dnama pobléma stébn a mvség gnltn lsn pls tagja 6 Mvség gnlt mghatáoása és mgoldása síbl húott údlm 6 Mvség gnlt D húott údlm A húott-nomott daból álló st ácsos tató jllmőj hog a gs daat csa tnglánú thlés é A úd tngléh loáls oodnátandst vsün fl A 6 ábán látható hossúságú údlm thlés a csomópontoban lévő thlés j j j j j 6 ába: Két csomópontú síbl údlm A csomópontban a j csomópontban a lmodlás A údlm j j 7 lmodlásmőjét lnás függvénnl ölítjü: a a 8 a lmodlásmő a lm csomópontjaban a ottan lmodlásoat adja vssa: Oldal István SZIE wwwtanonvtah

56 56 Végslm-móds a a a a j Ebből a gütthatóat fjv és hlttsítv 8-ba: j Et a 7 össfüggésb hlttsítv: j soattá alaítva mát alaban: v v j v j a údlm appomácós máta a csomópont lmodláso vtoa A appomácós mát ét bloból áll a és a j csomópont vtooho tatoó ntpolácós függvénl: ahol j j ntpolácós függvén a övtlménn mgflln foltonos saját csomópontban gségn a több csomópontban ltűn a 7 ábán láthatóa j j j 7 ába: Intpolácós függvén wwwtanonvtah Oldal István SZIE

57 A galmasságtan ngalv vaácós lv végslm-móds 57 Oldal István SZIE wwwtanonvtah Rúdlm stébn csa tnglánú núláso vanna íg a gomta gnlt: j j B v v d d d d A B lmodlás-alaváltoás mátna állandó lm vanna thát a úd fajlagos núlása állandó Egtnglű fsültségállapotban a gsű Hoo-tövén alalmaható a fsültség sámításáa: CB C Eo a anagjllmő máta: E E C A lm mvség máta: V Ad CB B dv CB B K d A E E E E Ad E E K AE K 9 Eo a lm mvség gnlt: K ahol j j v v a lm csomópont lmodlásvtoa j j a lm csomópont thlésvtoa

58 58 Végslm-móds A ácsos tató údjaho ötött loáls oodnátands általános stbn ülönbön íg a mvség gnltt át ll tansfomáln g öös úgnvtt globáls absolút oodnátandsb aét hog a mvség máto össghtő lgn a tljs tst v v = 8 ába: Vto lfogatott oodnátandsbn Eg a 8 ábán látható vto oodnátát söggl lfogatott oodnátandsbn a övtőéppn sámítj: ' cos v sn v ' sn v cos Mát alaban: ' cos ' v ' sn sn cos v ahol : tansfomácós mát A mát a ét vtoból álló bloban íható fl ahol g blo g vtoa vonato: és vtooa ét cos sn sn cos cos sn sn cos Állíts lő a lm mvség mátát g söggl lfogatott oodnátandsbn! Ehh a gnlt lfogatott alaját ll lőállítann: wwwtanonvtah Oldal István SZIE

59 A galmasságtan ngalv vaácós lv végslm-móds 59 K ' ' ' snt: ' ' hh hasonlóan: ' Et hlttsítv -ba: K ' ' Soo balól -vl: K ' ' E K ' ' mlt -mal össvtv a övtő adód: K' K fdsmmts ét ao: K' K 5 Sámíts a 5 fjéssl étlmtt globáls oodnátandsbl mvség mátot síbl údlm a 9 össfüggéssl mgadott loáls oodnátandsbl mvség mát flhasnálásával: cos sn cos sn AE K cos sn cos sn K' K cos AE cos sn cos cos sn cos sn sn cos sn sn cos cos sn cos cos sn cos sn sn cos sn sn 6 Eg st stébn a össs úd mvség mátát aonos oodnátandsb tansfomálj és össgü Etán flíható a st a mvség gnlt aml mgoldása a össs csomópont ő és lmodlás Oldal István SZIE wwwtanonvtah

60 6 Végslm-móds 6 Példa 9 ába: Rácsos st A 9 ábán látható háom údból álló ácsos st smt adata: m o 5 A A A A mm E GPa Sámíts a őt és a lmodlásoat! Rúdhossa: tg mm mm cos A úd mvség máta a loáls aml aonos a absolúttal oodnátandsébn 9 snt: K AE mm wwwtanonvtah Oldal István SZIE

61 A galmasságtan ngalv vaácós lv végslm-móds 6 Oldal István SZIE wwwtanonvtah A csomóponto snt -s bloo flső nd a lm sáma alsó nd a ét csomópont sáma aml öt a blo a apcsolatot líja: K K K K K A úd mvség máta a loáls oodnátandsébn: mm AE K A úd a absolút oodnátands mőlgs íg át ll sámítan absolút oodnátandsb 6 snt: sn sn cos sn sn cos sn cos cos sn cos cos sn sn cos sn sn cos sn cos cos sn cos cos AE K K ahol o 9 mm AE K A csomóponto snt -s bloo: K K K K K A úd mvség máta a loáls oodnátandsébn: mm AE K

62 6 Végslm-móds A úd a absolút oodnátandsl sögt á b íg át ll sámítan absolút oodnátandsb: K K cos AE cos sn cos cos sn cos sn sn cos sn sn cos cos sn cos cos sn cos sn sn cos sn sn o ahol 5 K mm A csomóponto snt -s bloo: K K K K K A mvség mátoat össadj úg hog a aonos csomóponto öt apcsolatot líó blooat össadj íg a st mvség máta: K K K K K K K K K K K K K mm KU A st mvség gnlt: wwwtanonvtah Oldal István SZIE

63 A galmasságtan ngalv vaácós lv végslm-móds v 68v v hlttsítv a smt ő és lmodlás pmfltétlt: v A soat g hat smtlns lnás gnltnds mgoldása: 6857mm 5986mm v 659mm Bblogáfa [] Páclt István Végslm-móds a ménö gaolatban I ött Msolc Egtm Kadó Msolc 999 [] Égt János Kppl István: A végslmmóds mchana alapja Unvstas- Gő Kft Gő 7 Oldal István SZIE wwwtanonvtah

64 SÍKBEI HÚZO RUDAK VIZSGÁAA VÉGESEEM MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZER SEGÍSÉGÉVE Síbl údst A mchana több fjtébn találohattn olan stl amln lm n stata da E fő jllmőj hog csa a végn és ott s csa aáls ől vanna thlv övtéséppn húotta vag nomotta A ln daból építtt tps st a ácsos tatóst aml öül továbbaban a síbll foglalon Et a stt úg dfnált hog: a da tngl g öös síban fs a da dáls sícslóal apcsolódna gmásho a g cslóba bftó da gomta tngl g pontban mts gmást dáls cslós énsl apcsolódna a mv talajho valamnt ötöttü hog ülső őhatáso csa a cslópontoban hathatna és a ő hatásvonala a tató síjában van A g adott ülső őndsl thlt síbl ácsos tató vsgálata soán általában a övtő édés ssü a válast: a énsbn ltő acóő nagsága és ána a gs daban ltő ő nagsága és ánítása a ő hatásáa a daban ltő húó lltv nomó fsültség nagsága a st gs pontjaban ltő lmodláso lltv a gs da dfomácója ovább általában hajlított daat s tatalmaó tatóst éttámasú- és onolos tató tst göb da stb stébn vsgálato tágát épht a st stabltásána és dnama vsldésén a nomott da ts őn lltv a sajátfvncána a mghatáoása s El a tananag 5-8 fjtbn lltv a nomott da stabltásvstésévl a 9- fjtbn foglalon A statában a acóő mghatáoásao fontos édés volt hog a st ülsőlg statalag hatáoott vag hatáoatlan mléttőül a síbl hatáoottság fltétl a volt hog a ülső éns pontosan lm mogáslhtőségt: síbl lmodlást tanslácót és g a sía mőlgs tngl öül lfodlást otácót ájana aa a t mgvalósító acóomponns flvétlé lgn alalmasa mvl bfolásolta a mghatáoásho alalmaható módst A údő mghatáoása smpontjából pdg a ácsos tató blső stata hatáoottságána volt sp mléttőül a síbl hatáoottság fltétl hog a stbn található da sáma gnlő lgn a csló sámána étss míns háommal =c- sntén a alalmaható móds mgválastása matt A dfomácó és lmodláso sámításáa nagon gsű ülsőlg és blsőlg hatáoott st stén gomta mgölítést míg bonolltabb sttúá lltv statalag hatáoatlan st stébn nga lvt Btt és Castglano tétl alalmatn wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

65 Síbl húott da vsgálata 65 Mnt látn fogj a végslm-módsn alapló mgoldás soán mndét stbn léngtln hog a ácsst ülsőlg vag blsőlg hatáoatlan a ljáást nm bfolásolja A údst modlléséh alalmaott végslm Rúdst modllésé a végslm pogamndsbn általában étfél lmtíps áll ndlésün A lőőbn tágalt ácsst modlléséh RUSS míg a hajlított nít csavat da modlléséh BEAM lm hasnálható A végslm mndét stbn étdmnós tjdésű aa gtln vonallal jllmhtő RUSS lm tlajdonsága A RUSS lmt tovább csopotosíthatj attól függőn hog síbl vag tébl ácsst modllésé hasnálj aoat Enn alapján mgülönbötthtün RUSSD ába és RUSSD ába lmt A RUSSD lm étcsomópontos gtnglű lm two-foc lmnt mndét csomópontjban ét-ét lmodlás sabadságfoal A lmh ötött oodnátands tngl a lsőtől a másod csomópont ánába mtat a tngl pdg a globáls oodnáta-nds X-Y síjával páhamos síban a tngl mőlgsn Y X ába RUSSD lm A lnás stata vsgálatoho süség van a gdmnós lm és a valóságos háom dmnós tjdésű úd öött apcsolatot tmtő állandó mgadásáa am a RUSSD lm stébn a stmtst tült E nm csa a lm galmas tlajdonságana sámításáho hanm a önsúl mghatáoásáho s süség vana lasss mchanában s süségün van a adata hsn a údő mghatáoása tán a fsültség nélül mghatáohatatlano lnnén Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

66 66 Végslm-móds Süségün ls továbbá a úd anagána jllmő s Ebbn a stbn mvl a RUSSD lm mndn pontjában csa gtnglű fsültségállapot lt lgndő mgadn a anag galmasság modlsát lltv ha a sámításo soán a st saját súlát s fglmb ll vnn mnt thlést ao a anag sűűségét s A RUSSD lm a lnás stata vsgálatoon ívül alalmasa a gs da hajlásána vsgálatáa valamnt véghtő vlü hőtan sámításo s hh aonban tovább állandó lltv anagjllmő mgadása süségs ml fladatoal fjtbn nm foglalon A RUSSD lm sntén étcsomópontos gtnglű lm d mndét csomópontjban háom-háom lmodlás sabadságfo flvtés süségs A lmh ötött oodnáta-nds és tnglén állása mgg a RUSSD lmnél smttttl tngl pdg mőlgs a - sía Y Y X ába RUSSD lm A sámításoho süségs állandó és anagjllmő mggn a RUSSD lmnél mgadottaal A RUSSD lm a s alalmasa stabltásvstés lltv hőtchna lmés lvégésé A BEAM lm tlajdonsága A BEAMD lm s étcsomópontos gtnglű lm d a RUSS lmtől ltéőn mndét csomópontban háom ét lmodlás és g lfodlás sabadságfoal ndln íg alalmasa síbl hajlított da modllésé s A BEAMD lm s étcsomópontos gtnglű lm d a RUSS lmtől ltéőn mndét csomópontban hat háom lmodlás és háom lfodlás sabadságfoal ndln El a lml tébl údst húott-nomott hajlított és csavat údja modllhtő A BEAM lm ésltsbb smttés a 6 fjtbn található wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

67 m Síbl húott da vsgálata 67 ladat mgoldás A végslm fladato mgoldása soán a övtő ljáást övtjü: fladat lmés gomta léthoása a végslmháló gnálásáho a végslm tlajdonságana mghatáoása lmtíps fa tlajdonságo anagjllmő pmfltétl thlés mghatáoása a sámításo lfttatása a apott dmén étélés A ábán látható ét végén alátámastott ácsos tatót a jlölt ét csomópontban gnént nagságú a tató síjába ső ő thl A da Cső stmtstű acélcsöv Mghatáoandó a daban ltő fsültség nagsága és ána valamnt a tató lhajlása = m ába A vsgálandó ácsos tató A végslm pogamo általában bépíttt D gomta modllőt gafs p- és postpocssot tatalmana Íg lhtőség van aa hog a gomta modllt a pogam saját modllőjébn ába ésítsü l Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

68 68 Végslm-móds ába A végslm pogam saját gomta modllőj E a bépíttt gomta modllő nm mndg nújtjá at a énlmt amt a osű ajsstő és paamts modllő nds lltv mvl nagon gaan má mglévő modll alapján ll a modllést lvégn aét hatéon és énlms mgoldás lht a adatcs más CAD ndsl valamln léhtő sabvános ajcs fomátmban példál: SA IGS DX stb 5 ába 5 ába Gomta modll mpotálása m sabad aonban lfljtn hog a gomta modll jln stbn csa a végslm háló léthoását sgít sm a műsa ábáolás sabálaho és gaan a st valóságos mgjlnéséh sncsn ö Ebbn a fladatban s ga hsn a mm átméőjű csöv csa mnt a ábán bmtatott vonala jlnn mg E pdg at jlnt hog a má és ltons fomátmú műsa domntácó a végslm modllés lőtt alapos átalaítása süség snt gsűsítés vag gésítés solna átható a 6 ábán am a mpotált gomta modllt mtatja A dtlg nlvánvalóan g daabból ésült övda a modllbn csomópontonént ülön-ülön gomta lmént jlnn mg mvl a ésőbbbn sgít a végslm háló gnálását m sabad lfldn aól sm hog a végslm modll léthoása soán valamln métégség ndsh ll gaodnn Ha a SI-t válastj ao a gomta modll átvtl soán a g aj gségn g métn ll majd mgflln Rajan ésítés soán aonban általában g aj gség g mllmét Még a gafs sstő- wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

69 Síbl húott da vsgálata 69 bn gondosodnn ll aól hog a métégség öött mgfllőség létjöjjön am célsűn annt jlnt hog a ajcs fomátm léthoása lőtt a gomta modllt a dé ll csnítn 6 ába A mpotált gomta modll átható a s hog a lm a X-Y síban fsn A övtő lépés a lmtlajdonságo mghatáoása 7 ába A fjt ljén tstát hog lnás vsldésű RUSSD lmt hasnáln 7 ába Elmcsopot mghatáoása Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

70 7 Végslm-móds Mg ll hatáon a végslm anagtlajdonságat s A RUSS lm stébn lgndő mgadna a galmasság modls étéét 8 ába üglv aa hog a válastott és a gomta modll léthoásao má alalmaott métégség nds alapgségt hasnálj E stünbn étlm sűn a SI nds ahol a métt métbn a galmasság modlst pdg Pa-ban aa /m -bn hatáo mg 8 ába A anagtlajdonságo mghatáoása Kövtő fladat a lm fa tlajdonságana mghatáoása hsn gtln vonallal a csöv tébl tjdés nm modllhtő 9 ába Mvl a bonolltabb végslm modll többfél lmtípst lltv gfél típson blül többfél tlajdonságú lmt s tatalmahatna a m modllünbn s lhtn többfél stmtstű cső am mnd RUSSD lmtípssal modllhtő lnn ét mg ll hatáon hog a mgadn ívánt tlajdonságo ml lmcsopota vonatona A lőőbn líta snt a RUSSD lmh csa a lm stmtst tültét ll mgadn fljtsü l most sm hog agasodnn ll g adott métégség ndsh íg a stmtst tültt s a SI snt m -bn ll mgadn 9 ába a tlajdonságo mghatáoása A hálóás tlajdonságo mgadása tán övtht a végslm háló gnálása am a pogamo többfél mgoldást s ínálna ába Mvl jln fladatban a RUSS lmbn a údő a da hossa mntén nm váltona íg lgndő mndn gs gomta objtmon g-g lmt lhln wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

71 Síbl húott da vsgálata 7 ába Paamts hálógnálás Mvl a végslm háló gomta objtmonént ülön-ülön jön lét süség van a gs údvégn lévő csomóponto össapcsolásáa ába A modllbn a valóságban a tötén hog a öös pontba bftó da végn lévő csomóponto öül a magasabb sosámúa tölődn és mndn d bftó úd g öös csomópontho ndlőd ába A údvég össapcsolása El létjött a végslm háló Kövtő lépésbn a pmfltétl dfnálása övt am jln stbn a tató ét végén mnt lmodlás éns mgadását jlnt A tató bal sélén ét sabadság fo - és ánú lmodlás éns- mgötését mtatja a ába Hasonlóan ján l a tató más végén s aal a ülönbséggl hog ott csa ánban ögítjü a pontot ába Elmodlás éns mgadása Végül mg ll adn a thlést am a ábán bmtatott válat snt ét -os oncntált őt jlnt ába fldün mg aól hog a ő ánát a globáls oodnáta-ndsbn ll mgadn aa a lflé mtató thlés ngatív lőjlll spln Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

72 7 Végslm-móds ába Koncntált ő dfnálása El flépült a végslm modll övtht a sámítás ába ába nás stata vsgálat fttatása A ss fttatás tán övt a dmén mgjlnítés és étélés A daban ltő fsültség mgjlnítés 5 ába többféléppn s töténht A RUSS lm stébn a fsültségadato csa a lmn és csa anna oodnátandsébn étlmhtő htőség van aa hog a dmént dfomált alaon jlnítsü mg A dfomácó tméstsn nm valós at a pogam g mghatáoott nagítással ábáolja hog a thlés hatásáa végbmnő folamato flsmhtő lgn 5 ába sültség mgjlnítés wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

73 Síbl húott da vsgálata 7 A apott dmént 6 ába étlmn és étéln ll A ngatív fsültségadato a sládságtanban tanltana mgfllőn nomó fsültségt jln gljü mg hog a da a génbvétl soán gns maadta aa hajlítónomaté nm lt bnnü 6 ába sültségadato dfomált alaon Céll tűtü a tató lhajlásána vsgálatát 7 ába 7 ába Dfomácó vsgálata Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

74 7 Végslm-móds A dfomácó a gs csomóponto ét ánú lmodlása lhtn A globáls oodnáta-ndsbn a lhajlást a ánú lmodlás jlnt 8 ába A apott dmén a ngatív lmodláso tméstsn a lflé töténő lmodlást jlnt A sálán jlölt été válastott alapgségün snt aa m-bn étndő 8 ába A lhajlás vsgálata A pontos sámsű dmén mgjlnítésé lhtőség van a csomópontoban lltv daban ltő ő- és lmodlás omponns lstáásáa s 9- ába Mvl a RUSS lmbn csa húó-nomó fsültség ltn ét a tábláat s csa a lmh ötött oodnáta-nds snt n fsültségt tatalmaa wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

75 Síbl húott da vsgálata 75 9 ába sültségomponns lstáása A lmodláso a globáls oodnáta-ndsbn csomópontonént étlmtt ába ába A csomóponto lmodlásana lstáása Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

76 76 Végslm-móds Mgjgés A fladat mgoldása soán nm foglalotn a nomott da hajlásával Eg valós fladat stén t vag végslms mgoldással vag a nomóő smtébn a lasss údlméltbn tanlta alapján llnőn lln A fladat mgoldása soán a mntg 859 önsúlból sámaó génbvétlt lhanagolt am gan g nagságnddl sbb mnt a ülső thlés d fglmn ívül hagása vséls Mndét lőő poblémáa találn mgoldást a tananag ésőbb BEAM lml foglaloó fjtébn ovábbá nm vsgált és l a modlll nm s vsgálhatnán a gs lm apcsolatat A apcsolato alaításával vsldésévl és métésévl a sttvés ülön fjt foglalona Ehh a fladatho hasonló fladat mgoldását találj Mttnáns Ádám Sládságtan című önvén 6 példájában A fladat hagomános módsl töténő mgoldása so tanlsággal solgál wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

77 5 SÍKBEI HAJÍO RUDAK VARIÁCIÓS EADAA MEREVSÉGI EGYEEEI MEGODÁSA VÉGESEEM- MÓDSZERRE 5 Síbl hajlított údlm vaácós fladata Vsgálj a 5 ábán bmtatott síbl gns tatót A tató thlés q mgosló thlés oncntált ő és M oncntált nomaté A mgoldás soán a Bnoll hpotést flhasnálva fltétlü hog a úd alaváltoása soán a stmtst a smlgs sála mőlgs maadna aa a níás hatását lhanagolj Íg a tljs potncál flíható mnt a v lhajlás-függvénn étlmtt fnconál 5 ába A vsgált tató A hajlított tató lhajlás-függvén a sládságtanból smt galmas sál dffncálgnlt: Mh v" 5 I E Sntén a sládságtanból smt a hajlított úd alaváltoás ngája: Mh U d 5 E I A galmas sál dffncál gnltéből M h -t fjv és bhlttsítv: U v E I v" d 5 A tljs potncáls nga mnt fnconál flíásao süség van a ülső ő mnájáa am háom tagból áll; a úda mőlgs oncntált ő mnája: v 5 Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

78 78 Végslm-móds a oncntált hajlító nomatéo mnája: M j v' j 55 a úda mőlgs mgosló thlés mnája pdg: b a v qd 56 El a tljs potncál: v E I v" d vqd v M jv' j b a 57 A 57 potncál lső vaácójáa vonatoó fltétl dmén a adott fladat alapgnltét és a tmésts pmfltétlt E fladat ölítő mgoldása a fnconál adott stbn a tljs potncáls nga övtln mnmalálása E snt a fladat a hog ssü a v potncál mnmmát és a hh tatoó v függvént E sélsőété fladat mgoldásána g lhtségs módja Rt-móds Walt Rt alalmaása mln soán a smtln v függvént a övtő alaban ssü: n v a 58 ahol olan póbafüggvén am légít a nmata pmfltétlt aa a támaso hlén a lmodlásoa és bfogáso hlén a söglfodlásoa ' tljsül El a hlttsítéssl a v potncál a a a a n paamét többváltoós függvén ls mln mnmma van ha: a 59 Mvl a Rt-móds ölítő ljáás a mgoldás pontossága függ attól hog a póbafüggvén hán tagú Egsű fladato stébn lgndő gtln tag íg a fnt gnltnds csa a -tól függ aa gváltoós A gnltnds mátos mgfogalmaása és mgoldása vt a végslm-móds alapgnltéh: K 5 wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

79 5 Síbl hajlított da vaácós fladata mvség gnlt mgoldása 79 5 ladatmgoldás végslm-módsl Vgü a 5 ábán látható síbl údstt A stt ét a tató síjába ső oncntált ő thl A ábából s látható hog a st údjában nomó és hajlító míg a údban csa hajlító génbvétl lt íg a fjtbn bmtatott lml a fladat nm mgoldható 5 ába A vsgált síbl údst A stt alotó mndét úd S6 négsögslvén A slvén stmtst tlajdonságat sabván tatalmaa: A=869 cm I =8 cm A stt thlő ét ő pdg gnént A fladat mgoldásáho a Bnoll lméltn mgfllő hajlított údlmt hasnálj fl A oábbaban látt hog a végslms mgoldás a K 5 gnltnds mgoldását jlnt Ehh lősö lő ll állítan a lm majd a tljs st mvség mátát 5 A lm mvség máta A lőő gnltndst gtln lm flíva: Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

80 8 Végslm-móds wwwtanonvtah Mohaos István ÓE M M v v 5 A mvség mát gs oslopana fa jlntés snt a oslop gs lmn été a gségn lmodlásho lltv a pmfltétl btosításáho süségs ő és nomatéo été Enn flhasnálásával a údlm stébn a mvség mátot önnn lőállíthatj úg hog a lmodlásvto - lmét nd gségn válastj a több lmt pdg -na tntjü E snt a mvség mát lm a = lmodlásho tato és a általános ljáás snt: M M 5 A gnltnds mgoldása: = 5 = M = = = 5 M = 6 Enn a stn a fa tatalmát a 5 ába mtatja 5 ába A mvség mát lső oslopána fa étlmés

81 5 Síbl hajlított da vaácós fladata mvség gnlt mgoldása 8 A ába alapján a úd údlm tsta nomásána fll mg íg flhasnálva a Hootövént: l E E 55 A A l été gségn íg átndés tán: AE 56 A pmfltétl légítéséh tméstsn süségs még hog: 57 aa: 58 A mvség mát lső oslopána több tagja pdg nd és étéű Hasonlóan jáhatn l a mvség mát másod oslopával s Ebbn a stbn a gnltnds: M 66 M 59 A gnltnds mgoldása pdg: = 5 = M = = = 5 M = 6 Enn a stn a fa tatalmát a 5 a ába mtatja A ábán bmtatott lmodlás g a végpontján oncntált ővl 5 b ába és g a végpontján hajlító nomatéal 5 c ába thlt thlt onolos tató lmodlásana sppoícójával állítható lő Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

82 8 Végslm-móds 5 ába A mvség mát másod oslopána fa étlmés Et a stt jól smjü a sládságtanból íg a hajlított tató galmas sál dffncál gnltén mgoldása soán apott jálééplt sgítségévl flíhatj: M v 5 IE IE valamnt a söglfodlása: M 5 IE IE A étsmtlns gnltnds mgoldása: IE 5 M 6IE 5 ovábbá a gnsúl fltétlt btosítva: 55 5 és a nomatéo a ponta flíva: 6IE IE 6IE M M M M M K 6 56 A mvség mát másod oslopána lső és ngd lm pdg A mvség mát hamad oslopána lmt hh hasonlóan hatáo mg úg hog a lmodlásvto tagját gn a többt pdg -na válastva: wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

83 5 Síbl hajlított da vaácós fladata mvség gnlt mgoldása M 66 M 57 A gnltnds mgoldása pdg: = 58 = M = = = 5 M = 6 Enn a stn a fa tatalmát a 55 ába mtatja 55 ába A mvség mát hamad oslopána fa étlmés A ábán bmtatott lmodlásoat most s ét lmodlás sppoícójával állítj lő íg: M v 59 IE IE valamnt a söglfodlása: M 5 IE IE A étsmtlns gnltnds mgoldása: 6IE 5 Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

84 8 Végslm-móds wwwtanonvtah Mohaos István ÓE IE M 5 ovábbá a gnsúl fltétlt btosítva: 5 5 és a nomatéo a ponta flíva: 6 6 K IE M IE IE M M M M 5 A mvség mát hamad oslopána lső és ngd lm pdg A mvség mát -6 oslopána tagjat tljsn hasonlóan hatáohatj mg íg végül a lm tljs mvség máta: E I E 6I E I E 6I E 6I E I E 6I E I A E A E E I E 6I E I E 6I E 6I E I E 6I E I A E A E 55 Mg ll jgn hog a lm mvség mátána lőállítását általában a V dv B C B K 56 össfüggés alapján végü ahol C a anagjllmő máta B pdg lmodlásalaváltoás mát E a mgoldása láthattn példát a tananag fjtébn A fnt bmtatott mgoldás bonolltabb lm stén nhésn lnn vtlhtő tt s csa a mvség mát fogalmána mgétését solgálja A lm mvség tlajdonságat csa a hoá ötött loáls oodnáta-ndsbn hatáot mg A globáls oodnáta-ndsbn a gs lm lhldésétől függőn a mvség été mgváltona A lm globáls oodnáta-ndsbn étlmtt tlajdonságana lőállításáho a fjtbn 5 össfüggés bmtatott tansfo-

85 5 Síbl hajlított da vaácós fladata mvség gnlt mgoldása 85 mácós mátot hasnálj aal a mgjgéssl hog at gésítjü íg a lm sabadságfoana mgfllőn a övtő 66-os mátt apj cos sn sn cos 57 cos sn sn cos A tansfomácós mát lm a lm csomópont oodnátána smtébn önnn sámítható: cos 58 sn 59 5 El a lm mvség máta a globáls oodnáta ndsbn: 5 A st tljs mvség máta A st tljs mvség mátána mét mgg a tljs st sabadságfoána sámával Íg most a tljs nds mvségét g 99-s mát íja l mvl a ndst ét lm alotja csomóponttal gnént sabadságfoal A tljs mvség mát léthoásao a lm öös csomópontjaho tatoó lm mvség össadódna íg: Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

86 86 Végslm-móds wwwtanonvtah Mohaos István ÓE K 5 5 A tljs gnltnds és mgoldása M v v R R R A gnltnds mgoldása soán a mgfogás lmodlás hlt haghatj aa a mvség mát hlh tatoó soat és oslopat töölhtjü Estünbn a lső háom so és oslop Íg apj a n ondnált mvség mátot és l a mgoldandó gnltnds: v v A adatoat bhlttsítv a gnltndst mgoldva apj a lmodlásvtot:

87 5 Síbl hajlított da vaácós fladata mvség gnlt mgoldása 87 7 m v 79 m 76 ad U 55 7 m v 87 m 7 ad A dmén smtébn a acóő sámítható a tljs nds gnltndsén a acóőhö tatoó gnltből am jln stbn a lső háom so: R 5 6 v 56 R 5 v 6 MR 5v 6 8 m 5 Mgjgés A végslm alapú pogamnds nm csa a Bnoll lméltn mgfllő daat hanm hajlított tató níásból sámaó alaváltoásat s éps ln A sládságtanban tanltana mgfllőn ln stbn mg ll hatáon a úd stmtstén níás alaténőjét Mg ll jgn at s hog a alaténő csa lnás stata vsgálato stén hasnálható mgbíhatóan gans gs tatáso bonítottá hog nmlnás hatáso stén ténő módosítása sol Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

88 6 SÍKBEI HAJÍO RUDAK VIZSGÁAA VÉGESEEM MÓD- SZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE 6 údst A fjtbn tágalt síbl húott-nomott daból álló ácsos tatóént a údstn g és vsgálható A st jlntős ésébn a daban ébdő hajlítást nm lht lhanagoln E a hlt áll lő ha a stt alotó da öött olan s van aml nm áólag a végn műödő aáls ől van thlv nm stata úd és övtéséppn a végslms modllj nább tató BEAM mnt úd noha a sama nlv a ln lmt s údna nv Iln st lhtn: a ét- vag többtámasú tató onolos st sígöb da ha a st önsúlát nm lht lhanagoln síbl tst stb A tananag n fjt l a tatóstl foglalo A tébl hajlított és csavat údst modllésévl a tananag övtő 7-8 fjtbn lltv a nomott da stabltásvstésévl a 9- fjtbn foglalon A g adott ülső őndsl thlt síbl údst stébn a fjtbn lítaho épst a mgválasolandó édés sáma s bővül: a énsbn ltő acóő nagsága és ána a gs daban ltő húó- nomó- és níóő valamnt hajlító nomatéo nagsága és ána a ő hatásáa a da gs pontjaban ltő sífsültség állapotot jllmő és τ fsültség nagsága a st gs pontjaban ltő lmodláso lltv a gs da dfomácója A fjtbn lítaho hasonlóan jln stbn s tovább vsgálato tágát épht a st sajátfvncájána mghatáoása és a nomott da hajlásána lmés amvl a ésőbbbn foglalon A lőő fjtbn foglalotn a ácsos tató ülső és blső stata hatáoatlanságával átn fogj hog a ott lítaho hasonlóan a síbl hajlított údst végslm-módsn alapló vsgálata soán s léngtln hog a st statalag hatáoatlan a mgoldás mntét nm bfolásolja 6 A modllés soán alalmaott végslm A fjtbn tstát hog a údst modllésé a végslm pogamndsbn általában étfél lmtíps áll ndlésün a csa húó-nomó génbvétl vsgálatáa alalmas RUSS lm és a níó hajlító lltv csavaó génbvétl vsgálatáa s alalmas BEAM lm A végslm mndét stbn étdmnós tjdésű aa gtln gns vonallal jllmhtő A RUSS lm tlajdonságat a mlíttt fjtbn má lít wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

89 Slvén magasság 6 Síbl hajlított da vsgálata 89 6 A BEAM lm tlajdonsága A BEAM lmt s ét csopota osthatj a sífsültség állapottal jllmhtő údst ln általában a smmts stmtstű daból álló síbl csa saját síjban thlt údst modlléséh BEAMD lm és a tébl fsültség állapottal jllmhtő BEAMD lm E tóbba általában a tébl údst a saját síja mőlgsn thlt síbl údst és ao a síbl údst aml stébn a thlés gan saját síjban lt d a stmtst tlajdonsága asmtája vag antsmmtája matt a st és thlés güttsén modllj tébl A BEAMD lml a tananag övtő 7-8 fjtbn foglalon majd A BEAMD lm étcsomópontos gtnglű lm mndét csomópontjban háomháom ét lmodlás és g lfodlás sabadságfoal A lmh ötött oodnátandst a 6 ába mtatja A oodnáta-nds tngl a lsőtől a másod csomópont ánába mtat a tngl pdg a globáls oodnáta-nds X-Y síjával páhamos síban a tngl mőlgsn a tngl pdg a globáls oodnáta-nds Z tnglévl páhamos Y A-A A A 6 ába BEAMDD lm X A lnás stata vsgálatoho süség van a gdmnós lm és a valóságos háomdmnós tjdésű úd öött apcsolatot tmtő állandó mgadásáa am a BEAMD lm stébn a stmtst tült a lm stmtstén a tnglé sámított másodndű nomatéa a slvén magassága lásd a 6 ábán és a slvén alajától függő ténő am fglmb vs a slvén níásából sámaó galmas nga váltoást s Süségün ls továbbá a úd anagána jllmő Ebbn a stbn -mvl a BEAMD lm mndn pontjában csa síbl fsültségállapot lt- lgndő mgadn a anag galmasság modlsát és a Poson ténőt lltv ha a sámításo soán a st saját súlát s fglmb ll vnn mnt thlést ao a anag sűűségét s A BEAMD lm a lnás stata vsgálatoon ívül alalmasa a gs da hajlásána vsgálatáa valamnt véghtő vlü hőtan sámításo s hasonlóan a RUSSD lmh Ehh aonban tovább állandó lltv anagjllmő mgadása süségs 6 A níásból sámaó alaváltoás fglmbvétl A lasss mchanában a hajlított tató dfomácójána sámításánál a níás oota dfomácóat általában lhanagolj A végslm modllés soán a pontosabb dmén léésén édébn lhtőség van nn fglmbvétlé Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

90 9 Végslm-móds A níás által ooott alaváltoást a sládságtanban a blső ő mnájából vttü l A níóő mnája a síbl údlmn: V S GI b Wnt ddd A össfüggésből mlv a stmtst alajától és méttől függő ést és mgsoova a stmtst tülttl apj a níás alaténőt: A S fs da I A b A állandó stmtstű údlm stébn nn flhasnálásával a níóő mnája: W nt f s l V d GA Et a údlm alajától függő ténőt lltv nn cpoát hasnálj a végslms mgoldáson alapló pogamndsbn A 6 ábán néhán gaan hasnált slvén ténő étét foglalt öss A stmtst f s A általn hasnált Sha facto Désögű négsög 6/5= 5/6=8 Kö /9= 9/=9 Véonfalú cső 5 6 ába Slvén Sf ténőj wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

91 6 Síbl hajlított da vsgálata 9 A műsa gaolatban gaan alalmaott olan slvénnél ahol a alapvtőn húásnomásna ttt öv és a alapvtőn nít gnc jól lülöníthtő 6 ába ténő ölítő étéént alalmahatj a övtő össfüggést: A stmtst f s A általn hasnált Sha facto Gnc Öv A/A gnc A gnc /A 6 ladat mgoldás 6 ába A Sf ténő gsűsíttt mghatáoása A végslm fladato mgoldása soán a övtő ljáást övtjü: fladat lmés gomta léthoása a végslm háló gnálásáho a végslm tlajdonságana mghatáoása lmtíps fa tlajdonságo anagjllmő pmfltétl thlés mghatáoása a sámításo lfttatása a apott dmén étélés A 6 ábán látható ntott tstt a jlölt pontban nagságú a tató síjába ső ő thl A da S stmtstű hdgn hajlított acél négsögslvén Mghatáoandó a acóő valamnt a daban ltő fsültség nagsága a tató lhajlása a nomaté és níóő ábá 6 ába A vsgálandó tst A végslm pogamo általában bépíttt D gomta modllőt gafs p- és postpocssot tatalmana Íg lhtőség van aa hog a gomta modllt a pogam saját modllőjébn 65 ába ésítsü l Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

92 9 Végslm-móds 65 ába A végslm pogam saját gomta modllőj E a bépíttt gomta modllő nm mndg nújtjá at a énlmt amt a osű ajsstő és paamts modllő nds Mvl nagon gaan má mglévő modll alapján ll a modllést lvégn aét hatéon és énlms mgoldás lht a adatcs más CAD ndsl valamln léhtő sabvános ajcs fomátmban példál: SA IGS DX stb 66 ába 66 ába Gomta mpotálása más CAD ndsből wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

93 6 Síbl hajlított da vsgálata 9 m sabad aonban lfljtn hog a gomta modll jln stbn csa a végslm háló léthoását sgít a műsa ábáolás sabálaho és gaan a st valóságos mgjlnéséh nncsn ö Ebbn a fladatban s ga hsn a mm-s négsögslvén csa mnt a 6 ábán bmtatott vonala jlnn mg E pdg at jlnt hog a má és ltons fomátmú műsa domntácó a végslm modllés lőtt alapos átalaítása süség snt gsűsítés vag gésítés solna átható a 67 ábán am a mpotált gomta modllt mtatja 67 ába A mpotált gomta modll átható a s hog a lm a X-Y síban fsn A övtő lépés a lmtlajdonságo mghatáoása 68 ába Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

94 9 Végslm-móds 68 ába Elmcsopot mghatáoása A fjt ljén tstát hog BEAMD lmt hasnáln 69 ába 69 ába BEAMD lm válastása és tlajdonsága mghatáoása Kövtő fladat a lm fa tlajdonságana mghatáoása hsn gtln vonallal a négsögslvén tébl tjdés nm modllhtő 6 ába wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

95 6 Síbl hajlított da vsgálata 95 6 ába a tlajdonságo mghatáoása A lőőbn líta snt a BEAMD lmh a lm stmtst tültét a tngl sámított másodndű nomatéát a slvén magasságát és a níás dfomácó fglmbvétléh a stmtst alajáa jllmő ténőt Sha facto ll mgadn 6 ába fljtsü l hog agasodnn ll g adott métégség-ndsh íg a hossmétt a SI snt m-bn a stmtst tültt m-bn lltv a másodndű nomatéot m-bn ll mgadn 6 ába A fa tlajdonságoho ndlt lmcsopot válastása Magaáatot génl a ngd és ötöd fa tlajdonság End-las cod A BEAM lm apcsolódó csomópontjaban mv apcsolatot fltétlün aa a öös csomópontban apcsolódó lm mnd a hat sabadságfoa gmásho ötött Süség lht aonban aa hog bn a öös csomópontoban valaml sabadságfo snt gmástól függtln lgn Íg modllhtün példál ötlt vag valamln lssával gmásho apcsolt daat A End-las cod valójában g hat dgts loga váltoó A dgt a hat lmodlás és a hat lfodlás sabadságfoot jlép a oodnáta-nds tngln sondjébn étéü ha a sabadságfoo ötött és ha sabado Íg példál a ód a tngl öül lfodlást mgngd a lm apcsolódó csomópontjaban A -s és -s sosám a lm ljét és végét jlnt a 6 ábán bmtatott étlmés snt A htd és nolcad fa tlajdonság csa hőtchna vsgálatoho süségs íg most l nm foglalon méstsn tt s lhtőség lnn többfél tlajdonságú BEAM lm alalmaásáa amt több sosámoott fa tlajdonsággal íhatnán l Háta van még a lm anagtlajdonságana mgadása 6 ába Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

96 96 Végslm-móds 6 ába A anagtlajdonságo mghatáoása A lnás stata vsgálatoho lgndő mgadn a anag galmasság modlsát és a Posson ténő étéét am a fladat alapján acél anagoa a 6 és 6 ábá snt 6 ába A galmasság modls mgadása 6 ába A Poson ténő mgadása Ahog a fa tlajdonságo líásánál mgjgtü hog a végslm modllbn többfél stmtstű dat hasnálhatn úg ga a anagtlajdonságoa s Süség stén a modllbn többfél anagú dat dfnálhatn A hálóás tlajdonságo mgadása tán övtht a végslm háló gnálása am a pogamo többfél mgoldást s ínálna 65 ába A fladat mgoldása soán m a atomats hálóást válastj A lm métét a dmén mgívánt pontossága a ndlés álló sámítógép tlajdonsága és a lmés fodítható dő és őfoáso hatáoá mg A fladat mgoldása soán a átlagos lmmétt m- válastj wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

97 6 Síbl hajlított da vsgálata ába Végslm háló gnálása A létjött végslm hálót a sosámoott csomópontoal mtatja a 66 ába 66 ába A végslm háló A modlln látható hog a háom úd öös pontjában mndháom údvégn létjött gg gmástól függtln csomópont Mvl a végslm háló gomta objtmonént ülön-ülön jön lét süség van a gs údvégn lévő csomóponto össapcsolásáa 67 ába Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

98 98 Végslm-móds 67 ába A údvég össapcsolása Kövtő lépésbn a pmfltétl dfnálása övt am jln stbn a ét mgtámastás mgadását mnt lmodlás énst jlnt 68 ába A éns mgadásao a tató mndét mgtámastásában és ánú mgfogást alalman a tngl öül lfodlást mgngdjü 68 ába Elmodlás éns Végül mg ll adn a thlést am a válat snt 5 -os oncntált őt jlnt 69 ába A thlés mgadásao n fldün mg aól hog a ő ánát a globáls oodnáta-ndsbn ll mgadn aa a lflé mtató thlés ngatív lőjlll spln 69 ába Koncntált ő dfnálása A lésült végslm modllt mtatja b a 6 ába wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

99 6 Síbl hajlított da vsgálata 99 6 ába A lésült végslm modll A lésült a végslm modlln lnás stata sámítást fttatn 6 ába 6 ába nás stata vsgálat fttatása A ss fttatás tán övtht a dmén mgjlnítés és étélés A daban ltő fsültség mgjlnítés 6 ába többféléppn s töténht A RUSS lmh hasonlóan a BEAM lm stébn s a fsültségadato csa a lmn és csa anna oodnáta-ndsébn étlmhtő 6 ába sültség mgjlnítés Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

100 Végslm-móds A apott dmént mtatja a 6 ába A dfomácó tméstsn nm valós at a pogam g mghatáoott nagítással ábáolja hog a thlés hatásáa végbmnő folamato flsmhtő lgn gljü mg hog a da a génbvétl hatásáa mggöbült am a hajlításna ösönhtő 6 ába A mgjlníttt fsültség dfomált alaon htőség van a lmbn ltő fsültség omponnsnént töténő mgjlnítésé A mgjlnítés bállításoat és a apott dmént a 6 ába mtatja A sládságtanban tanltana mgfllőn a ngatív dmén a nomófsültség talna 6 ába sültség omponns vsgálata wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

101 6 Síbl hajlított da vsgálata Kövtő lépésbn a tató lhajlását aa ánú lmodlásat vsgálj 65 ába 65 ába A lhajlás vsgálat A apott dmént a 66 ábán találj A ngatív sámo a tngl ánával llntéts lflé töténő lmodlást jlnt étéü pdg mgfll a általn válastott métégség ndsn aa jln stbn m-bn étndő 66 ába Dfomácó vsgálata A BEAM lm stébn lhtőség van a nomaté és níóő ábá mgjlnítésé s 67 ába Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

102 Végslm-móds 67 ába omaté ába mgjlnítés A hajlítónomaté ábát 68 ába mtatja A statában általában a úd húott sáláa ajolj a hajlítónomaté ábát A végslms mgoldáson alapló pogamnds stébn nm mndn stbn tljsül A nomaté ába gan léptéhls d sámsű adato lolvasásáa nm ad lhtőségt Mégs jól hasnálható ülönösn a s génbvétlű hl mghatáoásáho am példál hossú gtln slvénből nm gátható da stébn lht süség a toldás hlén jlöléso 68 ába Hajlítónomaté ába htőség van a támasoban ltő acóő és nomatéo sámsű mgjlnítésé E mtat példát a acóő mghatáoásával és a apott dmén bmtatásával a 69 ába wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

103 6 Síbl hajlított da vsgálata 69 ába A támasoban ltő acóő A lmbn ltő ő- és nomaté omponns sámsű mgjlnítés található a 6 ábán 6 ába A lmbn ltő ő- és nomaté omponns A csomópontoban átadódó ő és nomatéo mgjlnítését és a apott dmént a 6 ába mtatja Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

104 Végslm-móds 6 ába A csomópontoon átadódó ő és nomatéo A lmbn ltő fsültségomponns mgjlnítését mtatja a 6 ába 6 ába A lmbn ltő fsültség A sámsű dmént mgjlnítő tábláato hánosna tűnhtn több omponns été Enn magaáata hog a BEAMD lm stébn a tató síjáa mőlgs níóő és a tató síjába ső hajlítónomaté nm jöht lét lltv stünbn csavaónomaté nm thlt a tatót a ülső ő pdg nm oohattá a lm lcsavaodását 6 Mgjgés A fladat mgoldása soán nm foglalotn a nomott da hajlásával Eg valós fladat stén t vag végslms mgoldással vag a nomóő smtébn a lasss údlméltbn tanlta alapján llnőn lln A fladat mgoldása soán a önsúlból sámaó génbvétlt lhanagolt wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

105 6 Síbl hajlított da vsgálata 5 A lőő ét pobléma mgoldásáa a tananag BEAM lml foglaloó tovább fjtbn adn mgoldást ovábbá nm vsgált és l a modlll nm s vsgálhatnán a gs lm apcsolatat A apcsolato alaításával vsldésévl és métésévl a sttvés ülön fjt foglalona Ehh a fladatho hasonló fladatban a statalag hatáoatlan stbn a acóő mghatáoását találj mg Mttnáns Ádám Sládságtan című önvén példájában A fladat hagomános módsl töténő mgoldása so tanlsággal solgál Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

106 7 A POECIÁIS EERGIA MIIMUM EVÉEK AKAMAZÁSA ÉRBEI HAJÍO RÚDEEMRE RIZ- MÓDSZER ÉS VÉGESEEM MÓDSZER AKAMAZÁSA 7 ébl údlm vaácós fladata A tananag 5 fjtébn síbl húott-hajlított údlm vsgálatával foglalotn En lm csomópontjana háom-háom sabadságfoa volt a síban töténő étánú lmodlás és a síban töténő söglfodlás Ebbn a fjtbn a ott lítaat bővítv háomdmnós údlmt vsgáln A lm lhldését a loáls oodnáta-ndsbn valamnt a alalmaott jlölést a 7 ába mtatja 7 ába A lm lhldés a loáls oodnáta-ndsbn A ábán s látható hog a csomóponto sabadságfoa bővül a - síban töténő lmodlással a - síban töténő söglfodlással és új lmént a tngl öül söglfodlással aa lcsavaodással A oábbaat gésítv a úd lcsavaodása és a csavaó nomaté öött lnás a apcsolat íg a csavaó nomaté mnája: W M t 7 Mt 7 I G íg: p Mt W 7 G I p A lőő fjtbn látt hog a végslm móds alapgnlt a övtő lnás gnltnds: wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

107 7 A potncáls nga mnmm lvén alalmaása 7 Mohaos István ÓE wwwtanonvtah K 7 aml jln stbn a ét csomópontú sabadságfoú lm: X Y Z S X Y Z S M M M M M M w v w v 75 A tananag fjtébn látottaho hasonlóan a lm dfomácóját ntpolácós függvénl íj l Eg pont lmodlásána oodnátá l módon: A ntpolácós függvén légít a pmfltétlt = stén étéü = stén pdg továbbá snt dválható A Bnoll hpotésn mgfllő údlm stébn a úd tngl ánú lmodlásat mgnúlás és tngl öül lcsavaodását lnás ntpolácós függvénl ölíthtjü:

108 8 Végslm-móds wwwtanonvtah Mohaos István ÓE A lm - és - síban töténő hajlításána ölítésé pdg hamadfoú ntpolácós függvént alalman: 7 l E a függvén lőállítható g Bnoll hpotésn mgfllő végpontjan oncntált ővl és oncntált nomatéal thlt úd lmodlásana analts mgoldásával A tljs potncáls nga a alaváltoás nga és a ülső ő mnájána ülönbség a slád tst gnsúl hltébn mnmáls vags lső vaácója és: U Ebből övt hog tétl alalmaása a alaváltoás nga váltoásána vsgálatán alapl övtéséppn a gs thlés sth tatoó alaváltoás nga fjés flíása ndoolt Hossánú alaváltoáso mgnúlás stén a alaváltoás: ' 77 Íg állandó stmtstű úd stén a potncáls nga: d EA d EA U ' 78 A lm mvség mátána j-d j lm a = és =7 st: d EA d EA j j j ' ' ' 79

109 7 A potncáls nga mnmm lvén alalmaása 9 Mohaos István ÓE wwwtanonvtah A tngl öül csavaás stén a alaváltoás: ' 7 Íg állandó stmtstű úd stén a potncáls nga: p p d GI d GI U ' 7 A lm mvség mátána j-d j lm a = és = st: d GI d GI j p p j j ' ' ' 7 A údlm hajlítása stén a potncáls nga a söglfodlás függvén a níás által ooott alaváltoást a Bnoll lmélt alapján lhanagolj A - síban töténő hajlítás stén: " 7 Íg állandó stmtstű úd stén a potncáls nga: d EI d EI U " 7 A lm mvség mátána j-d j lm a = =6 =8 és = st: d EI d EI j j j " " " 75 Könnű blátn hog a údlm - síban töténő hajlítása a fnttől csa abban ülönbö hog a údlm stmtstén tngl sámított másodndű nomatéa I hltt a tngl sámított I -nal ll sámoln Íg a lm mvség mátána - d j-d j lm a = =5 =9 és = st: d EI d EI j j j " " " 76 El a lm mvség máta:

110 Végslm-móds wwwtanonvtah Mohaos István ÓE EI EI EI EI EI EI EI EI GI GI EI EI EI EI EI EI EI EI AE AE EI EI EI EI EI EI EI EI GI GI EI EI EI EI EI EI EI EI AE AE K p p p p A lm mvségét a globáls oodnáta-ndsbn a 5 fjtbn lítaho hasonlóan g tansponálás mát sgítségévl állítj lő A tansponálás mát jln stbn métű a 7 ába snt jlölésl: c s s c s c s s s c c c c s s c s c s s s c c c c s s c s c s s s c c c c s s c s c s s s c c c ahol: c cos s - sn El a lm mvség máta a globáls oodnáta ndsbn: K K 77

111 7 A potncáls nga mnmm lvén alalmaása 7 ába A lm lhldés a globáls oodnáta-ndsbn 7 ladatmgoldás végslm módsl Eg sabadté öldés út fltt lhltt nfomácós táblát a 7 ábán bmtatott tatóa hlün A tábla tömg 5 g A önt hatásoból sél a tató síjáa mőlgs -os őhatás lt =5 = 7 ába A vsgálandó tató A végslm modllt a sbb sámítás gén matt a 7 ába snt a - síban ho lét íg a fnt líta snt csa a úd tansfomált mvség mátát ll lőállítann Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

112 Végslm-móds = 6 =5 7 ába A vsgálandó tató lhlés a globáls oodnáta-ndsbn A lm mvség mátáa bvtv a övtő jlölést: a lm mvség máta a globáls oodnáta-ndsbn: wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

113 7 A potncáls nga mnmm lvén alalmaása A ét lm mvség mátát ombnálva a öös csomópontban a mvségété össadódna Íg a ndst líó mgoldandó gnltnds: R R R MR MR MR v w v 8 w 9-78 A gnltnds mgoldása soán a mgfogás lmodlás hlt haghatj aa a mvség mát hlh tatoó soat és oslopat töölhtjü Estünbn a lső hat so és oslop Íg apj a n ondnált mvség mátot és a mgoldandó gnltndst A adatoat bhlttsítv a gnltndst mgoldva apj a lmodlásvtot: Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

114 Végslm-móds U v w m v w A dmén smtébn a acóő sámítható a tljs nds gnltndsén a acóőhö tatoó gnltből am jln stbn a lső hat so: R R v R w M R m 7 M R w m M R v -5 m Mgjgés m foglalotn a fjtbn a nm ö vag ögűű slvénl A ln slvén bonos stmtst tlajdonsága csa ölítő ljáásoal hatáoható mg A polás másodndű nomaté mghatáoásáa ln móds a véonfal át slvén stébn a Bdt fomla ntott véonfalú slvén stébn pdg a Wb ölítő ljáás Sntén nm foglalotn asmmts slvénl amln pl: a hajlított és hnglt U slvén En slvén stébn a níás öéppont és a súlpont nm s gb a súlvonal fölött thlés stén a slvén jáléos csavaásna s vanna tév Elhanagolt továbbá a hajlított tatóban a níásból sámaó alaváltoásoat s aal hog fltétltü a Bnoll lméltn mgfllő dat A végslm alapú pogamnds mndháom poblémát éps ln a slvén gomta tlajdonságana pontosabb vag gsűsíttt mgadása évén wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

115 8 ÉRBEI HAJÍO RUDAK VIZSGÁAA VÉGESEEM MÓD- SZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE 8 ébl údst A 6 fjtbn tágalt síbl hajlított daból álló tatóst lmn alaváltoása csa a tató síjában jöhtn lét A gaolat éltbn so olan sttl találohatn ahol fltétl tljsülésévl alotott síbl modll nm ad mgfllő pontosságot a fladat tébl modll mgfogalmaását génl Iln st lhtn: a síbl d asmmts slvénből álló údst a síbl d a tató síjáa mőlgsn thlt údst tébl tjdésű ttsőlgsn thlt údst A tananag fjt l a tatóstl foglalo A nomott da stabltásvstésévl a 9- fjtbn foglalon A údst nomott övébn végbmnő hopadás lltv a gnc níás hopadása ülön vsgálatot lltv sámítást génl amvl tananag tjdlm ooból nm foglalohat A oább údstl foglaloó fjtbn flttt édést tovább bővítv válast sün: a énsbn ltő acóő nagságáa és ánáa a gs daban ltő húó-nomó és níóő valamnt a hajlító és a csavaó nomaté és omponnsn nagságáa és ánáa a ő hatásáa a da gs pontjaban ltő fsültség állapotot jllmő és τ fsültség omponnsn nagságáa a st gs pontjaban ltő lmodlásoa lltv a gs da dfomácójáa A oább fjtbn lítaho hasonlóan jln stbn s tovább vsgálato tágát épht a st stabltása és dnama vsldés s: sajátfvnca mghatáoása és a nomott da hajlásána lmés amvl a ésőbbbn foglalon A lőő fjtbn foglalotn a ácsos tató ülső és blső stata hatáoatlanságával átn fogj hog a ott lítaho hasonlóan a tébl hajlított údst vonatoó fladato végslm-módsn alapló mgoldása soán s léngtln hog a st statalag hatáoatlan a mgoldás mntét nm bfolásolja 8 A modllés soán alalmaott végslm A fjtbn tstát hog a údst modllésé a végslm pogamndsbn általában étfél lmtíps áll ndlésün a csa húó-nomó génbvétl vsgálatáa alalmas RUSS lm és a níó hajlító lltv csavaó génbvétl vsgálatáa s alalmas BEAM lm aml mndét típsából a ttő- lltv háomdmnós fladato mgoldásáho ülön-ülön lmtíps tato A végslm mnd a nég stbn étdmnós tjdésű aa gtln vonallal jllmhtő A RUSS és a BEAMD lm tlajdonságat a oább fjtbn má tágalt Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

116 Slvén magasság 6 Végslm-móds 8 A BEAMD lm tlajdonsága A BEAMD lm tlajdonságaval a 6 fjtbn má foglalotn A tébl fsültség állapottal jllmhtő BEAMD lm általában a tébl údst a saját síja mőlgsn thlt síbl údst és ao a síbl údst aml stébn a thlés gan saját síjban lt d a stmtst tlajdonsága asmtája vag antsmmtája matt lmodlása tébl A BEAMD lm ét- vag háom csomópontos gtnglű lm mndét csomópontjban hat-hat háom lmodlás és háom lfodlás sabadságfoal A lm hamad csomópontja a lmh ötött oodnáta-nds tnglén ánát jlöl En hamad csomópont mgadása hltt lmtlajdonságént dfnálható g ontácós sög s amn fncója mgg a hamad csomópont mgadásával M a fladat mgoldása soán a háom csomópontos mgadást válastj mvl ölbb áll a ménö gondolodásho és modllalotásho A lmh ötött oodnáta-ndst a 8 ába mtatja A oodnáta-nds tngl a lsőtől a másod csomópont ánába mtat a tngl pdg a lm cntáls főtnglé mőlgsn a stmtst lső nagobb étéű főmásodndű-nomatéána ánába mtat a tngl pdg a - sía mőlgsn l a tngll jobbsodású oodnáta-ndst alot Y Sélsség X Z 8 ába BEAMDD lmh ötött oodnáta-nds A lnás stata vsgálatoho süség van a gdmnós lm és a valóságos háomdmnós tjdésű úd öött apcsolatot tmtő állandó mgadásáa am a BEAMD lm stébn általában a 8 ába snt: a stmtst tült a stmtst tnglé sámított másodndű nomaté a stmtst tnglé sámított másodndű nomaté a stmtst lgnagobb magassága a stmtst lgnagobb sélsség wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

117 8 ébl údst 7 a apcsolódó lm csomópontjana sabadságfoa össsn ét adat a stmtst polás másodndű nomatéa lásd még 8 a níás oota dfomácót fglmb vvő állandó a tngl lásd még 8 a níás oota dfomácót fglmb vvő állandó a tngl lásd még 8 a stmtst ontácós sög csa ha nm a lm hamad csomópontjával dfnálj alaténő a stmtstbn a csavaásból ltő lgnagobb níófsültség sámításáho lásd még 8 a stmtst súlpontjána és a végslm csomópontjána -- ánú lőjls távolsága mndét végponton össsn hat adat a stmtst súlpontjána és a stmtst níás öéppontjána - ánú lőjls távolsága mndét végponton össsn nég adat a stmtst súlpontjána és a fsültségsámítás smpontjából météadó pontna a - ánú lőjls távolsága össsn ét adat a stmtst cntfgáls másodndű nomatéa ovábbá a végslm pogamndsbn általában lhtőség van a hoss mntén váltoó stmtstű sűülő-tapd és hőtchna sámításoho hasnált lm tlajdonságana mgadásáa s El a tlajdonságoal fjtbn nm foglalon A pogamndsbn általában mgadható a ménö gaolatban gaan hasnált stmtst mnt: tömö négsög pl laposvas las négsög pl hdgn hajlított négsögslvén tömö ö pl gömbvas las ö pl cső I slvén tapé stmtst stb tmésts métl A osű paamts tvő nds a modll gsűsítésé gaan ínáljá lhtőségént hog a modllbn húással vag tgnátoal lőállított objtmoat BEAMD lmé alaítjá l őfoásoat taaítva mg a modllésh Ebbn a stbn a stmtst adato mgadásáa nncs süség mvl aoat a pogam a valód D modll mét alapján gnálja 8 ába BEAMD lm tlajdonsága Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

118 8 Végslm-móds A modllalotásho süségün ls még a úd anagána jllmő Ebbn a stbn s lgndő mgadn a anag galmasság modlsát és a Poson ténőt lltv ha a sámításo soán a st saját súlát s fglmb ll vnn mnt thlést ao a anag sűűségét s A BEAMD lm a lnás stata vsgálatoon ívül alalmasa a gs da hajlásána vsgálatáa valamnt véghtő vlü hőtan sámításo s hasonlóan a RUSS lltv a BEAMD lmh hh aonban tovább állandó lltv anagjllmő mgadása süségs A BEAMD lm stébn a apott dmén s magaáata solna A níóő és hajlítónomatéo étlméséh nújt sgítségt a 8 ába Ms Ms Vs Vs Vt Vt Mt Mt 8 ába Eő és nomatéo a BEAMD lmn 8 A BEAMD lm spcáls tlajdonsága agságnd oo matt a dfomácó sámításánál a hajlítással páoslt níás stébn a níást általában lhanagolj A tananag 6 fjtén 6 pontjában bmtatt hog a végslm modllés soán hogan lht t fglmb vnn Sntén abban a fjtbn mgadt néhán gaan hasnált stmtst l össfüggő tlajdonságat oglalotn a níás alaváltoást fglmb vvő ténő gsűsíttt mghatáoásával a 8 ábán mgadott össfüggéssl Et a lvt bbn a fjtbn s fl fogj hasnáln A stmtst f s A általn hasnált Sha facto Gnc Öv A/A gnc A gnc /A 8 ába A Sf ténő gsűsíttt mghatáoása wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

119 8 ébl údst 9 Mvl a csavaásból sámaó fsültség sm gnltsn oslana mg a stmtstbn ét sámításanho süség ls még a csavaásból sámaó lgnagobb τ fsültség mghatáoásáho g alaténő Cto mgadásáa Kö lltv véonfalú ögűű stmtst stén a lgnagobb τ fsültség a ült mntén lt íg: ma I P m ö stmtstű da csavaásao a sío nm maadna sío vtmdn a gns oldalél s dfomálódna A úd dfomácója és a ltő lgnagobb τ fsültség nagsága és lhldés alapvtőn a stmtst alajától függ A galmasságtanban mgsmt gat sámítás ljááso a st nm állna ndlés íg csa ölítő össfüggést hasnálhatn Iln példál Constantn Wb ölítő móds ahol: ma Cto I W K W ahol: I W : a Wb-fél polás másodndű nomaté K W : a Wb-fél polás stmtst ténő C to : a alaténő Kö stmtst stén tméstsn IW=IP KW=KP és Cto= Olan ntott stmtstnél 85 ába ahol h>>v alalmahatj a és bontást és íg: I W v h K W I v W ma Cto v ma Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

120 Végslm-móds h h v v v h 85 ába tott stmtst és bontása A η a és bontás hbáját ogáló ténő étéét néhán stmtst a 86 ába tatalmaa Slvén alaja η ába A η ténő été néhán stmtst wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

121 8 ébl údst 8 ladat mgoldás Mntafladatént tntsü a 87 ábán látható sabvános U slvénből ésült tstt am g lőjáda lhlésé solgáló fala slhtő onol A lőjádá hasnos théből a g onola jtó météadó thlés 5 am gnltsn mgosl a onol flső élén A lőjádán töténő mogásból a jáda ánába ső vísnts ő s ltn Et a hasnos th 6%-ával a tst flső élén gnltsn mgosló thlésént vssü fglmb A tató mgfogása csavaötéssl tötén a függőlgs oslop mndét végétől - mm távolsága Mghatáoandó a acóő valamnt a daban ltő fsültség nagsága a tató lhajlása továbbá a nomaté és níóő ábá 5 87 ába A vsgálandó tst A fladat mgoldása soán most s a övtő ljáást övtjü: fladat lmés gomta léthoása a végslmháló gnálásáho Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

122 Végslm-móds a végslm tlajdonságana mghatáoása lmtíps fa tlajdonságo anagjllmő pmfltétl thlés mghatáoása a sámításo lfttatása a apott dmén étélés A tstbn flhasnált U mlgn hnglt domacél stmtst tlajdonságat és a 88 ábán bmtatott gomta métt sabváno hatáoá mg E a adato műsa tábláatoban lltv tvés sgédltbn mgtalálható 88 ába A flhasnált slvén gomta mét A BEAMD lm tlajdonságana mgadásao süségün ls olan adatoa ml a tábláatoban nm spln Elsőént hatáo mg a lm és tnglé sámított níás alaténőt A sámításho a tananag 6 pontjában bmtatott a 8 ábán látható gsűsíttt sámítást hasnálj Enn a gsűsíttt sámításna a alapja a hog a S f ténő ölítő été úg sámítható hog a stmtst alapvtőn níásna ttt ésn a 6 fjt snt a stmtst gnc tültét lostj a slvén tljs tültévl A sládságtan foglalo hajlított tatóban ltő níófsültség stmtstn blül loslásával A Zsavsj-fél össfüggés alapján a slvén adott pontjában ltő níófsültség: ' S ahol: a níóő si S a slvén adott pontjától flé ső tült stata nomatéa a slvén tnglé wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

123 8 ébl údst I s a slvén tngl sámított másodndű nomatéa a slvén sélsség a adott pontban A fsültségloslás tméstsn függ a slvén és a níóő latív hltétől íg a lm és tnglé ülön-ülön ll mghatáon Enn alapján a általn hasnált U slvénbn ltő níófsültség loslását smjü t smléltt a 89 ába 89 ába íófsültség loslása a U slvénbn A ábából mgállapítható hog a slvénn ml és a níásna lgnább ttt E tültét sstéssl mghatáohatj majd alapján sámítható a alaténő: S S f f A A nít A A nít ovábbá süség ls a csavaás stmtst ténő amt a oábbaban bmtatott Wb módsl a slvén 85 ába snt és bontásával hatáon mg I W v h cm A csavaásból sámaó lgnagobb τ fsültség mghatáoásáho pdg Wb össfüggés alapján: C to v ma 9 cm A süségs adato mghatáoása tán dődht a fladat sámítógéps mgoldása Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

124 Végslm-móds A gomta modll nagon gsű önndén léthohatj a végslms modllő saját gafa sstőjébn A st modll jln stbn s a X-Y síban ésül d a thlés és a alaváltoáso tébl lsn A slvén súlpont tnglét pntáló gns mgadását mtatja a 8 ába 8 ába Egns mgadása a végslms pogamban A BEAMD lm ontácójána mgadása lhtségs úg hog a lm hamad csomópontját úg vssü fl hog a a stmtst nagobb főmásodndű nomatéána ánába ssn Ehh süségün ls g gomta ponta Mvl a lőbb mgadott gns a slvén súlpont tnglét hatáotá mg és a főmásodndű nomaté n a tngln stül mtat a lm tnglén ánába íg t a gomta pontot s a X-Y síon vhtjü fl A st alaítása matt a da súlpont tngl g síba sn aét a gtln gomta pont lgndő ls mndháom úd ontácójána mgadásáho A gomta pont mgadását mtatja b a 8 ába 8 ába Pont lhlés végslm pogamban A lésült gomta modll a 8 ábán látható wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

125 8 ébl údst 5 8 ába A gomta modll A övtő lépés a lmtlajdonságo mghatáoása A fjt ljén tstát hog BEAMD lmt hasnáln 8 ába 8 ába Elmcsopot mghatáoása A lm fa tlajdonságana mghatáoásao 8 ába agasodn a SI métégségnds alapgségh aa m-bn hatáo mg a métt A műsa táb- Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

126 6 Végslm-móds láato a slvén métét általában mm-bn a stmtst jllmőt cm -ban lltv cm -bn a tömgadatoat pdg g/m-bn adjá mg 8 ába a tlajdonságo mghatáoása Süség van még a anagtlajdonságo mgadásáa 85 ába A lnás stata vsgálatoho otóp anago stébn lgndő a anag galmasság modlsána és a Poson ténőn a mgadása Ha a st önsúlát s fglmb stnén vnn ao a anag sűűségét ha pdg hőmésélt hatásoból sámaó génbvétll stnén sámoln ao a anag hőtáglás gütthatóját s mg lln adn Más típsú anago alalmaásao lltv más típsú lmés lvégéséh tovább anagtlajdonságo mgadásáa süség 85 ába A anagtlajdonságo mgadása A most mgadott tlajdonságú végslm léthoásáho paamts hálóást válastn 86 ába íg mndn údon aonos métű d ltéő sámú lmt hohatn lét wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

127 8 ébl údst 7 86 ába A végslm háló gnálása A gs daon a végslm háló ülön-ülön jön lét íg a údvég apcsolódása nm btosított 87 ába 87 ába A léthoott végslm háló A údvég bötéséh öss ll vonnn a údvégn található csomópontoat a más úd mgfllő csomópontjaval 88ába Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

128 8 Végslm-móds 88 ába A údvég össapcsolása A lésült végslm hálót mtatja b a 89 ába 89 ába A lésült végslm háló A lésült végslm hálón lhlü a lmodlás énst A fladat líásában splő falho lltv oslopho töténő ögítést mndn ánba mvn tntjü d a ét mgfogás öött a függőlgs úd sabadon alaváltohat úg mntha ét távtató lml hgstnén hoá g tljsn mv oslopho A mgfogáso mgadásáa példa a 8 ába wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

129 8 ébl údst 9 8 ába A lmodlás éns mgadása Kövtő lépésbn a vísnts úda mgosló thlésént mgadj a 87 ábán bmtatott thlést A thlés mgadásánál tstán ll hog a mgadott thlés a válastott össs objtmon gnltsn mgostva vag mndn válastott objtmon mgostva vag a válastott objtmoho tatoó össs csomóponton jön- lét A végslm modllő t a lhtőségt gaan opcóént ínáljá d van hog talás sm tötén a őlostás módsé El létjött a végslm háló A m stünbn a válastott lmh tatoó össs csomóponton létjön a mgadott nagságú és ánú ő íg a ő nagságána mgadásáho tméstsn smn ll a válastott údon lévő csomóponto daabsámát s A ét mgosló thlés mgadását mtatja a 8 ába 8 ába A mgosló thlés mgadása Célsű llnőn hog mln thlés jött lét E lstáó paancso solgálna a végslm pogamndsbn 8 ába Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

130 Végslm-móds 8 ába A léthoott thlés lstáása A apott dménből mgállapítható hog valóban a fladat íásában splő mgosló őndst hot lét A íg lésült végslm modllt mtatja b a 8 ába wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

131 8 ébl údst A modll mgoldása övt 8 ába 8 ába A lésült végslm modll 8 ába nás stata vsgálat fttatása A dmén mgjlnítését djü a lmbn ltő dált fsültség mgjlnítésévl a dfomált alaon 85 ába Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

132 Végslm-móds 85 ába Rdált fsültségdmén mgjlnítés A apott fsültségt a 86 ába mtatja 86 ába Rdált fsültség A lmbn ltő fsültség sámsű mgjlnítéséh lstáó paancsoat hasnálhatn 87 ába wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

133 8 ébl údst 87 ába sültségomponns mgjlnítés Vsgálj mg a stbn a ltő hajlítónomatéoat s 88 ába 88 ába A nomaté ábá mgjlnítés Mvl a da ét ánban hajlította ét a függőlgs és vísnts thlés által ooott hajlítást ülön-ülön vsgálj 89 ába Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

134 Végslm-móds 89 ába M t és M s hajlítónomaté ábá Vsgálj mg a tató lhajlását vags a Y ánú lmodlásoat 8 ába 8 ába A lmodláso mgjlnítés A apott dmén 8 ába alapján mgállapíthatj hog a fncótljsítést avaó lhajláso nm jönn lét wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

135 8 ébl údst 5 8 ába A tató lhajlása A lmodláso sámsű mgjlnítésé s van lhtőség 8 ába Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

136 6 Végslm-móds 8 Mgjgés 8 ába A lmodláso lstáása A fladat mgoldása soán nm foglalotn a nomott da hajlásával Eg valós fladat stén t vag végslms mgoldással vag a nomóő smtébn a lasss údlméltbn tanlta alapján llnőn ll A fladat mgoldása soán a önsúlból sámaó génbvétlt lhanagolt Mndét lőő poblémáa találn mgoldást a tananag ésőbb BEAM lml foglaloó fjtébn ovábbá nm vsgált és l a modlll nm s vsgálhatnán a gs lm apcsolatat A apcsolato alaításával vsldésévl és métésévl a sttvés ülön fjt foglalona wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

137 9 RÚDSZERKEZEEK DIAMIKÁJA A ÖMEGMÁRIX BEVEZEÉSE SAJÁREKVECIA MEGHAÁROZÁSA 9 A végslm-móds tjstés Mnt ahog a a tötént áttntésből s dült a végslm-móds fltalálása nm öthtő gtln dőpontho Célsű nm s fltalálásól nább fjlstésől vag fjlődésől bséln E a fjlődés a 9-5-s évbn vtt dtét és a ma napg s tat A lső ss galmasságtan poblémamgoldáso tán flmült anna lhtőség hog más fa poblémá mgfogalmaása s lhtségs a végslm-móds flhasnálásával Íg napjanban má végslms mgoldásoat aphatn olan nm vag csa nhn stlg csa dva ölítéssl mgoldható poblémáa ml a hőtchna a ltomágnss sgááso a fáadás és a lngő nds vsldésén líása soán müln fl A n a tültn alalmaott matmata mgoldáso ltén a galmasságtan poblémánál lítatól d öös abban hog g fa tatománt s és ostva és n s ésn a bonollt gnltt gsűbbl hlttsítv g lnás gnltnds mgoldásáa vtn A st-dnama sámításo végslms mgoldását a 96-as év ljén dté dolgon amo végslm-módsl sült mghatáon adott lm tömgmátát és össgttn a mvség mátsal 9 Rgalmas tst sajátgés fladatána végslms mgfogalmaása A tananag ddg fjtbn gnsúlban lévő galmas tstl foglalotn A mgoldásho flhasnált a lmodlásmő függvénént flít tljs potncált: : dv qdv pda 9 V V A A potncál a tst ngalm állapotában a dfomácó soán a bnn flhalmoódott galmas alaváltoás nga és a dfomácót léthoó ülső őnds mnájána gnlőségét aa a stata gnsúl állapotot fj D Alambt volt a wton II tövénént smt gnltt átndv at a ma alaban íta fl íg a m a soat má nm mogásmnnségént hanm thttlnség őént étlmtt A D Alambt lv étlmébn a mogó tst ható ő a thttlnség ől gnsúlban vanna Et a gnsúl állapotot nta gnsúlna nvü A lvt övtv ha a fnt fnconált gésítjü a thttlnség ő mnájával ao a mogó fjtbn lngő mogást végő- nds nta gnsúlát líó potncálho jtn: Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

138 8 Végslm-móds v : dv qdv pda üdv 9 V V A ahol: ü a lmodlásvto dő snt másod dváltja aa a goslásvto a anag sűűség V A végslms mgoldás soán a galmas tstnél bmtatott módst övtjü aal a gésítéssl hog a tst mogását líó függvén háom téoodnátája mllt a dő mnt ngd oodnáta s mgjln: t 9 Et a függvént a oábban tágalt galmas tst gnsúl lmodlásanál bmtatott fomafüggvénl ntpolálj: t t 9 Íg a goslásvto: ü t ü t 95 El a potncált gésítő a thttlnség ő mnáját fjő tag g lm: üdv üdv dvü M ü 96 V V V A fjésbn splő M a lm onstns tömgmáta aml a lm thttlnség tlajdonságat tatalmaa A oábbaho hasonlóan a tljs potncált mgfogalmahatj mát alaban: U KU U U MÜ 97 A mn mm fltétlt légítő gnltnds pdg: MÜ KU t 98 lnás dffncálgnlt-nds A gnltnds jobb oldalán álló ülső ő vtoa állandó és dőbn váltoó aa lőfsítő és gjstő őhatásoat tatalmahat A műsa gaolatban nagon so olan lngéstan vsgálattal találon ahol nncsn ülső őhatáso Gondoljn csa a ménö gaolatban lőfodló lggaobb lngéstan poblémáa a fogó tngl ts sögsbsségén mghatáoásáa A ts sögsbsség ölítőlg gnlő a tngl wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

139 9 Rúdst dnamája a tömgmát bvtés sajátfvnca 9 lgsbb sajátöfvncájával Enn mgfllőn a ülső őhatáso nélül csllapítatlan lngő nds végslm gnlt gsűsöd: MÜ KU 99 A tst hamons lngőmogást vég ét a dffncálgnlt mgoldása: U Asn t 9 ahol: A a nds csomópontjana ampltúdó vtoa a sajátfvnca fássög A U-t és anna másod dő snt dváltját a alapgnltb hlttsítv a: M KA 9 homogén algba gnltndst apj A mgoldandó fladat a A sajátétén és a hoáj tatoó sajátöfvncána a mghatáoása A fnt gnltndsn csa ao van tválstól ltéő mgoldása ha a güttható mát dtmnánsa és aa: dt M K 9 Mvl a gnltbn splő M és K máto a nds végslm modlljén sabadságfoa snt nn métű a gnltndsn - n gö lét A gao- latban alalmaott végslm modll sabadságfoa a néhán sától aá több mllóg s tjdht Enn sajátétét és sajátöfvncát mghatáon étlmtln gaolat jlntőség csa a lső és a at övtő néhán étén van 9 Síbl údst sajátlngésn sámítása végslm módsl Vgün g a ét végpontján sögmvn tnthtő módon pl étsoú hnggögős csapága vtl csapágaott tnglt mln öbnső pontjáa g tácsát élün A tngl modlljét a 9 ába mtatja Kssü a tngl ts fodlatsámát Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

140 Végslm-móds 9 ába A vsgált tató A tngl mm átméőjű tömö acélanagból ésül A tácsa tömg g A tngl tljs hossa mm =5 mm és =5 mm A fladat mgoldásáho süségün ls a M KA gnltbn splő M tömgmát és K mvség mát mghatáoásáa 9 A lm tömgmátána mghatáoása Mnt látt a lm tömgmátána mghatáoásáho a galmas tst vsldését líó ntpolácós függvént hasnálj fl Ehh lősö a lmt hlü l g a hosstól függtln a lm tnglévl gb ső "s" oodnáta-ndsb A 9 a ába a lm lhldését a globáls oodnáta ndsbn míg a b ába nn a lmn a lhldését a új loáls "s" oodnáta ndsbn mtatja 9 ába A lmh ötött s oodnáta nds wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

141 9 Rúdst dnamája a tömgmát bvtés sajátfvnca A fnt össfüggés alapján a lm tömgmáta a: M Ad 9 alapján hatáoható mg A údánú lmodlásoat a: / / 9 fomafüggvénl lnásan a úda mőlgs lmodlásoat pdg a: 5 6 / 8 / 8 95 fomafüggvénl öbösn ntpolálj A lnás tagoa: ln 96 Ha a údlm sűűségét és stmtstét állandóna vssü ao a h tatoó tömgmát: M A ln lnd A ln 6 97 A öbös lmh tatoó fomafüggvén: öb és a hoáj tatoó tömgmát: Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

142 Végslm-móds 56 5 M A öböbd A 99 öb 5 56 Et a mátot bővítjü a lnás tagoho tatoó mátsal úg hog a lső és hamad soa lé llstjü a lnás tago tömgmátana lmét Íg apj a lm tljs tömgmátát: M A A lm mvség mátána mghatáoása A údlm mvség mátát sntén a fnt ntpolácós függvénből sámatatj A lm tnglánú fajlagos núlásáa: d d d s 9 ds d ds A hossánú lmodlásoa a vto: B ' 5 J ln ' 5 ds J jlölést bvtv a lmodlás-alaváltoás d 9 a lm n lmodlásaho tatoó mvség mát pdg: K ln BEB Ads AE BEB AJd 9 Ehh hasonlóan a öbös ntpolácóval ölíttt údtngl mőlgs lmodláso és söglfodláso: wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

143 9 Rúdst dnamája a tömgmát bvtés sajátfvnca Mohaos István ÓE wwwtanonvtah " ' " ' 6 5 J B öb 9 és l a mvség mát: E I Jd EB BI ds EB BI K öb A ét mvség mát ombnácójával lőállítható a lm mvség máta: E I E 6I E I E 6I E 6I E I E 6I E I AE AE E I E 6I E I E 6I E 6I E I E 6I E I AE AE K 9 A nds tljs tömg- és mvség máta A 9 ábán splő "m" tömgpontna nncs hasonló tömgmáta a tömgt mnt thttlnségt a tljs nds tömgmátánál vssü fglmb mnt g csomóponta hltt tömgt Íg jánán l ao s ha a pontsűn lhltt tömg g tébl tjdésű tácsát modlln aal a gésítéssl hog lno a csomópontban nm csa a lm tömgét hanm anna valaml tngl sámított thttlnség nomatéát s fl lln vnn E tán a 9 ábán váolt nds tljs tömg máta:

144 Végslm-móds wwwtanonvtah Mohaos István ÓE A M valamnt a tljs nds mvség máta: E I E 6I E I E 6I E 6I E I E 6I E I AE AE E I E 6I E I E I E 6I E 6I E I E 6I E 6I E I E 6I E 6I E I E I E 6I E I AE AE AE AE E I E 6I E I E 6I E 6I E I E 6I E I AE AE K ontos mgjgn hog ha a lm tngl nm páhamos a globáls oodnáta nds X tnglévl ao a lm globáls oodnáta ndsbn étlmtt mvség és tömgmátát s a lőő fjtbn bmtatott tansfomácós mát sgítségévl állíthatj lő és csa tán hohatj lét a tljs nds líásáho süségs mátoat A gnltnds most s gsűsíthtő úg hog a támasonál a lmodlásoho és söglfodlásoho tatoó sooat és oslopoat aa stünbn a - és 7-9 sooat és oslopoat tööljü Íg a gnltndsbn splő máto:

145 9 Rúdst dnamája a tömgmát bvtés sajátfvnca 5 Mohaos István ÓE wwwtanonvtah A A A m A 56 m A M * * E I E I E 6I E 6I E 6I E 6I E I E I AE AE K A ndst líó máto smtébn a mgoldandó fladat a dt * * K M gnltnds mlből apj a: mgoldást Ebből valós gö: Mgjgés A gaolatban alalmaható a lm gsűsíttt tömgmáta: M A

146 6 Végslm-móds am at fj hog a lm tömgét ét gnlő és bontva mnt tömgpontot a ét végpontban hlü E mgfll anna a analts sámításonál alalmaott ljáásna ml snt a úd tömgét l a ljáással dálj anna ét végpontjába a dat pdg tömg nélül galmas lmn ácsos st stén gsűn góna tntjü Végslms mgoldáso stén llőn pontos dmén l a ljáással ao apható ha a dat llőn so végslm ostj fl wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

147 ÉRBEI RUDAK DIAMIKAI VIZSGÁAA SAJÁREKVECIA MEGHAÁROZÁSA VÉGESEEM- MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE Bvtés A ménö alotáso mndg g lngő nds A épült-építmén gépalapo jáműv gépalatés mgmnáló gép és ssámo mndg vég lngést El a lngésl vag csn lhanagolható météü vag a gaolatban átalmatlan nag fvncáj matt általában nm foglalon a st fncóját nm avajá vag jlntétlnül csn hatással vanna á Aonban so olan st s van amo t a lngést nm lht vag nm célsű fglmn ívül hagn Mndn által smt a acoma-híd acoma aows Bdg atastófája A híd blngését majd a tljs tönmntlg tató lmodlását a oota hog a sél által lttt Kámán-fél övénso lválás fvncája mggtt a st sajátfvncájával D mndnnap éltünbn s találn példát a lngő nds smtén fontosságáa A gépjáműv ftóműv g bonollt lngést végő st ml a út gntlnség által folamatosan gjsttt A t ndssn cntíotatj aa gondosodn a stats és dnams gnsúloásól ssü t a énlms vtésn és ománáson ívül aét s mt a é gnsúloatlanságából sámaó lngés a tnglt csapágaat ománművt és a gmaboncsot s áosíthatjá D ndssn llnőttjü a lngéscsllapító állapotát s sntén nm áólag a énlm matt hanm aét s mvl btosítjá hog a a gntln útflülttl folamatosan éntésb lgn E nélül mgfllő féhatás a több st lm hbátlan állapota stén sm lnn léhtő A gátástchnológa tültén s sámtalan példa van aa hog a gép géplm lngést nm lht fglmn ívül hagn A galmasan ágaott nhégép alapo g fladata hog mggátoljá hog a gép műödés soán ltő lngés a öntb ülönösn a gép öntébn lévő épültstb átjssana D a mgmnáló gép és ssámo lngés s fglmt édmln A lngés soán létjövő lmodláso mnt hbá másolódna a mnadaaba növlv a mgmnálás sljtt Vanna aonban olan ménö alalmaáso s ahol a lngést nm lüln vag csllapítan ll hanm éppn llnőlg ősítn aoat Gondoljn példál a anagmogatás tültén alalmaott áócsatonáa vag a n lvn műödő ostáloó és adagoló gép vag a építőpaban és öntéstbn alalmaott tömöítő bndés A alalmaott végslm tlajdonsága A tébl údst modlléséh hasnált BEAMD lm tlajdonságat a tananag 8 fjtébn má smtttü Most hh csa annt fűün hoá hog a lngéstan vsgálato soán a csa a fsültségsámítás smpontjából fontos állandóat mnt példál a súlpont és a csavaófsültség sámítása smpontjából météadó pont latív hltét nm fltétlnül süségs mghatáon hsn mnt a lőő fjtbn látt a sajátfvnca sámításao gnltnbn nm spln Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

148 8 Végslm-móds Mg ll aonban smdnün g új lmml s A végslm modllő pogamoban a tjdéssl nm ndlő tömgt g dmnós MASS lm tömg vag célsűbbn thttlnség lm jlnít mg Enn a lmn gtln csomópontja van bb a pontba halmoód a lm tljs tömg és thttlnség nomatéa A fladat mgoldása soán majd látn fogj hog a tömg ánfüggő aa lét a MASS lmn X Y és Z ánú tömg A tméstsn tűn hog a thttlnség nomaté s háom tngl étlmtt A valóságban tméstsn ln nncs a opcó mndöss at ts lhtővé hog D poblémá stébn valaml ánba a tömg thttlnségéből sámaó hatásoat fglmn ívül hagj A fladat smttés A gépésménö gaolatban a fogó tngl hajlító és csavaó lngésn vsgálata a lggaobb fladat Most g a ábán váolt ét cntsan élt tácsát hajtó fogó tngl vsgálatát végü l ába Kéttácsás fogó tngl A poblémát a gépésménö tanlmáno géplm tágána tngl-tnglapcsoló és a mchana tág lngéstan fjt s tágaltá E a tága bmtattá hog a tnglbn hajlító és csavaó lngés ltn At s tstátá hog a lngés a st smpontjából ao lhtn vséls ha a tngl fogásána sögsbsség mgg a lngő nds lső saját-fvncájával mvl bbn a stbn csllapítatlan lngést fltétlv a téés lmodláso és nn övttébn a tnglbn ltő fsültség s végtln naga nőhtnén A ábán váolt st stén a nds hajlító lngésn saját öfvncájáa a Dnl fél gsűsíttt össfüggés alapján a övtő dmént apj: wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

149 ébl da dnama vsgálata 9 α m m ahol: A modllt jllmő jálééplt alapján: α a öfvnca η a tngl lhajlása a tácsa hlén flvtt gségn adáls th hatásáa góállandó mghatáoásáa a lngéstan tanönvbn található bővbb magaáat 8 a 8 a m m 8 IE 8 IE Enn alapján a tngl saját öfvncája: α=7676 /s am n=686 fod/mn fodlatsámna fll mg A csavaó lngés a többsabadságfoú lngő ndst líó aatsts gnlt alapján: c ahol: Θ a tácsá thttlnség nomatéa a Y tngl c a csavaó-úgóállandó: a c I G p ahol: I p a stmtst polás másodndű nomatéa G - a anag csústató galmasság modlsa Enn alapján a tngl csavaó lngésén saját öfvncája: α =587 /s am n=69 fod/mn fodlatsámna fll mg A fladat végslms mgoldása A ábán váolt st gomta modllj nagon gsű a tnglt gtln vonal jllm amt a végslm háló léthoása céljából célsű háom ülön saasént sstn El btosítható hog a MASS thttlnség lmt a saaso végén gomta pontoon hohatj lét A saaso ajolásáa mtat példát a ába Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

150 5 Végslm-móds ába Saaso léthoása a gomta sstőbn A gomta modll léthoása tán övtht a tnglt líó végslm-háló tlajdonságana mgadása Elsőént válastj a fladat mgoldásáho süség lmtípst ába ml stünbn a BEAMD lm ába A lmtíps válastása Kövtő lépésbn mg ll adn a süségs anagtlajdonságoat a galmasság modlst és a csústató galmasság modlst ába wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

151 ébl da dnama vsgálata 5 ába A anagtlajdonságo mgadása Végül mg ll adn aoat a fa tlajdonságoat ml a gdmnós gomta modll és a háomdmnós valós tjdés öött tmtn apcsolatot A lőő fjtbn má mlítttü hog a végslms modllő a műsa gaolatban lggaabban hasnált stmtst ln a fladatban a tömö tngl ö stmtst tlajdonságana mgadásáa gsűsíttt ljáásoat ínálna E mtat példát a 5 ába ahol a "" jlű stmtst jlöl a alalman ívánt ö stmtstt 5 ába A tngl stmtst jllmőn mgadása Ha tngl végslm hálójána össs tlajdonságát mgadt ao a lésült gomta flhasnálásával övtht a végslm háló léthoása a 6 ába alapján A gs tnglsaasoon - lmt hon lét gnlts ostásban Spacng ato = A BEAMD lm jln stbn étcsomópontos mvl a tngl ösmmts íg a hamad csomópontot dfnáló gomta pont mgadásáa nncs süség Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

152 5 Végslm-móds 6 ába A tngl végslm hálójána léthoása Süségs még a ét tácsa tlajdonságana mgadása Ebből a célból lét ll hon g új lmtípst a má lőőbn lít MASS thttlnség lmt 7 ába 7 ába A MASS lmtíps léthoása Ehh a lmtípsho étlmsűn nm tato anagtlajdonság íg lgndő a pontsű nlla dmnós lmn a tácsa valóságos háomdmnós tjdését líó tlajdonságo mghatáoása En tlajdonságoat a lső tácsáa vonatoóan a 8 ába mtatja A tácsa X és Z tngl sámított thttlnség nomatéa a fladat mgoldása smpontjából fglmn ívül hagható íg été 8 ába A tácsa fa tlajdonságana mgadása A tácsa a végslm hálóban gtln pontho ötött lmént és a hoá tatoó gtln csomópontént jln mg Enn a léthoásáa mtat példát a 9 ába wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

153 ébl da dnama vsgálata 5 9 ába A tácsa mnt végslm léthoása A másod tácsa a végslm típsában mgg a lőővl íg új lmtípst nm ll dfnálnn csa a tácsa fa tlajdonságat ll mgadnn ába ába A tácsa fa tlajdonságana mgadása A tácsa mnt végslm léthoása a lőőhö hasonlóan tötén csa a gomta modll más pontján A ddg lésült végslm háló öt a háom tngl saas és a ét tömgpont gmástól függtln végslm modllt taa Ahho hog t gtln modllé gsítsü a háló csomópontjat öss ll apcsolnn Et a oább fjtbn má smtttt módon thtjü mg ába ába A végslm háló gsítés A végslm pogamnds által a háttébn flépíttt matmata modll mgoldhatósága édébn most s süség van a pmfltétl mghatáoásáa aa a ábán jlölt csapága modllésé Et a oább példáho hasonlóan a tngl ét végén léthoott mndháom lmodlás éns ögítésévl adhatj mg Enn léthoásáa mtat példát a ába Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

154 5 Végslm-móds ába A tngl csapágaásána mgadása mnt lmodlás éns El léthot a tljs végslm modllt ába ába A és végslm modll a csomóponto sámoásával A végslm modll mgoldása lőtt lhtőség van a mgoldás mntén sabáloásáa példál a sámítandó sajátfvncá sámána mgadásáa ába Célsű több hamons sámítását céll tűn hsn a modll alapján a étánú hajlító és a csavaó lngés dmén ülön-ülön étét dménhtn A fladatban a lső hamons mghatáoását tűü céll wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

155 ébl da dnama vsgálata 55 ába A sajátfvnca lmés bállítása A paamét bállítása tán övtht a modll mgoldása 5 ába 5 ába A sámítás fttatása A ss fttatás tán mgjlníthtjü a dmént Elsőént a sámított lső nolc hamons öfvncáját tábláatos fomában a 6 ába mtatja 6 ába A sámított sajátlngés öfvncája Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

156 56 Végslm-móds A lstában mgfglhtjü hog a lső önlngéssám öfvncája -5 /s nagságndű am a műsa gaolatban lhanagolhatóan cs E mgfll a lngéstanban tanlt mgállapításna msnt a több-sabadságfoú lngő nds lső sajátfvncája nlla Mgfglhtjü hog a - és -5 sajátfvncá mggn Később látn fogj hog a ét sajátlngés a ösmmts alaítás matt a X és Z tngl ánában jön lét A 6 sajátfvncána nncs a lőőhö hasonló pája E ls a ét tácsa öött tnglsaas csavaólngésén öfvncája A végslm pogamo a lngésépt gafsan s mg tdjá jlnítn A mgjlnítés mnt a tngl dfomált alaja étlmtt 7 ába 7 ába A lngésép mgjlnítés mnt dfomált ala A dfomált ala mgjlnítéséh a végslm pogamo g nagítás ténőt ajánlana hog a váltoáso éélhtő lgn d n lgn avaóan ltúlotta Édms aonban t a nagítás ténőt néha flülín és a vsgált lngésépn aonos étét hasnáln Et tssü a 8 ábán ahol a és 6 önlngésh tatoó lngésépt gségsn 5-s nagítás ténővl jlnítjü mg 8 ába A és 6 sajátlngésh tatoó lngésép A ábán mgfglhtjü hog a tngl lső hamons hajlítólngéséh a lngéstanban tanltana mgfllőn g csomópont tato Mgfglhtjü hog nnél a lngésépnél wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

157 ébl da dnama vsgálata 57 sbb a tngl dfomácója mnt a hajlító önlngésnél aa sládság smpontból vésbé vséls E mgfll a lngéstanban lltv a géplm tágban tanltana Mgfglhtő továbbá hog a 6 sajátfvncáho tatoó lngésépn ln nagítás mlltt nncs "lmodlása" a tngln Pontosítva csa a mgjlnítésn látható lmodlása nncsn mvl a Y tngl öül lcsavaodás bbn a ábáolásban nm láts ovább sámsű dménh jthatn ha a gs lngéséph tatoó lmodlásoat s mgvsgálj A 9 ábán a és lngéséph tatoó lmodláso látható 9 ába A és sajátlngésh tatoó été A tábláatoban mgfglhtő hog a X Y Z tngl ánú lmodláso öül csa g tatalma étlmhtő étét a több lmodlás ~ - nagságndű E a végslm modll mgoldása soán ltő sámítás hbá Ugan ga a tngl öül lfodlásoa s aal a gésítéssl hog étlmsűn csa a lmodlás síjáa mőlgs tngl öül jönn lét valód lfodláso éü mg a 6 sajátlngés lngésépéh tatoó lmodlásoat s ába Mohaos István ÓE wwwtanonvtah

158 58 Végslm-móds ába A 6 sajátlngésh tatoó été A tábláatból mgállapítható hog a lmodláso a 8 ába apcsán ttt fltétlésn mgfllőn nlla étéű és csa a Y tngl öül lfodláso mtatna étélhtő dmént A s látható hog a csavaó lngés csa a ét tácsa öött jön lét a tácsá és a csapága öött tnglsaason a lcsavaodás été nm váltona méstsn s mgfll váaoásanna és a lngéstanban tanltana 5 Mgjgés A ménö gaolatban csavaó lngés lmésé általában csa hossú galmas tngl lltv galmas tnglapcsoló alalmaása stén van süség A fogó tngl hajlító lngés vsgálható BEAMD lm alalmaásával s aal a ötéssl hog a tngl ösmmts stmtstű wwwtanonvtah Mohaos István ÓE

159 BEVEZEÉS SÍKEADAOK ÉMAKÖRBE SÍKESZÜSÉGI SÍKAAKVÁOZÁSI ÉS ORGÁSSZIMMERIKUS EGEYSZIMMERIKUS MODEEK AKAMAZÁSA Sífladato alaptípsa Sífladato stén étdmnós vag étváltoós poblémáól bsélün a galmasságtan alapgnlt o jlntősn gsűsödn a tébl fladatoho épst A galmasságtan sífladatat alapvtőn ét atgóába soolhatj []: sífsültség - véon állandó vastagságú st síjában thlv a ába síalaváltoás - hossú állandó stmtstű alatés a palástján thlv b ába Mgjgü hog a általánosított sífsültség állapot sntén a étváltoós fladato témaöb tato amnnbn mndnt átlagété vonatotatn ába Sífsültség a és síalaváltoás b állapot smlélttés Sífladato stén a lmodlás-vtomő csa és függvén: v Kövtésépp a alaváltoás és fsültség tnomő s csa -től és -tól függn: A övtőbn néü mg hog a fnt mnnség öött mln össfüggés íható fl Séns Andás BME wwwtanonvtah

160 6 Végslm-móds Egnsúl gnlt lmodlás és alaváltoás A gnsúl gnlt g dffncáls sílm blső gnsúlát fj A ába alapján flíható a és ánú ő gnsúla []: d d d d d d d q dd d d d d d d d q dd ahol a nomál- a csústatófsültség q és q pdg a téfogata ható ő sűűségvtoána omponns A gnlt gsűsítésévl jtn l a alább gnlth: q q ába Dffncáls sílm gnsúla A gnsúl gnlt vtognltént a övtőéppn íható fl []: q 5 ahol q = q a téfogat ő sűűségvtoa pdg a Hamlton-fél dffncálopáto vtoopáto étdmnós váltoata: j 6 A alaváltoás és lmodlásmő öött apcsolat líásáho vsgálj mg g dffncáls sílm pontjana lmodlásat és alaváltoását a ába alapján! A lm AB saasána és AD saasána ánú fajlagos mgnúlása és sögváltoása: wwwtanonvtah Séns Andás BME

161 Bvtés sífladato témaöb 6 A' B' AB A' B' d A' D' AD A' D' d AB d AD d 7 A ába alapján gancsa flíható a övtő: v A' B' d amből: [ d ] d d 8 v 9 A fnt össfüggés alalmas a ún nag alaváltoás stén a ánú fajlagos núlás sámításáa A galmasságtanban aonban a lgtöbbsö mgfllő pontosságú dmén apható a fnt össfüggés lnaálásával A ánú fajlagos núlás hasonlóan adód A magasabb ndű tagoat lhagva apj a lnaált össfüggést: v A ába alapján a sög s flíható: v / d d / d Séns Andás BME wwwtanonvtah

162 6 Végslm-móds ába Dffncáls sílm lmodlása és dfomácója ltétlv hog s sögől van só: v Íg 7 alapján: v A és össfüggést tnognltb foglalva apj a ún gomta gnltt aml általános tébl fladatoa s ga []: ahol a aa a dads soás jl Konstttív gnlt A homogén lnásan galmas otop tst anag vsldését aa a fsültségalaváltoás apcsolatot a Hoo-tövén íja l []: wwwtanonvtah Séns Andás BME

163 Bvtés sífladato témaöb 6 G I E G I E 5 ahol a Posson-ténő E a galmasság modls G = E/+ a csústató galmasság modls E a gségtno I és I pdg lső salánvaánso Sífsültség állapot Sífsültség állapot stén a fsültségomponns: és 6 vags a - sía mőlgs nomálfsültség valamnt a nomálsú síon műödő csústatófsültség éso A fsültség és alaváltoás tnoo alapján a övtő fomát vs fl: / / 7 Eo 5 lső gnltéből apj: E 8 E E E A ánú fajlagos núlás pdg: E E 9 E Mgjgü hog nm spl a gnltbn d a más ét fajlagos núlás sgítségévl mndg fjhtő A fnt éplt sgítségévl a fsültségt s fjhtjü: E E E A fsültség-alaváltoás apcsolatot úg s lht fjn ha a omponnst vtoba foglalj: Séns Andás BME wwwtanonvtah

164 6 Végslm-móds Eo a össfüggést g mát sgítségévl tdj lín: C ahol C a galmasság állandó máta A - alapján a C mát sífsültség állapot stén: C sf E A mát nv lltv dtmnánsa: C sf E dt C sf E A fsültség-alaváltoás tóbb fomáját végslms sámításonál sotá alalman Síalaváltoás állapot Síalaváltoás állapot stén a ndló fltétlün: = aa a - sía mőlgsn a fajlagos núlás és A fsültség és alaváltoás tnoo o: / / 5 A Hoo-tövén alapján apj hog: E E 6 E A fsültség-alaváltoás apcsolatot lőállítva a C épltből apj: wwwtanonvtah Séns Andás BME

165 Bvtés sífladato témaöb 65 Séns Andás BME wwwtanonvtah E C sa 7 és: E C sa dt E C sa 8 Sífladato alapgnlt Sífladato stén a össs smtln sáma mndg nolc: és v Sífsültség állapotnál a síalaváltoás állapotnál pdg a omponns mndg sámolható a és ánú mnnségből Kompatbltás gnlt A és éplt ombnálásával jthatn l a ún ompatbltás gnlth []: 9 A fnt fjés mnd sífsültség mnd pdg síalaváltoás sté s ga A ompatbltás gnltt a fsültségl s lht fjn Sífsültség állapota fjü a 9 gnltt a fsültségl a 9 éplt alapján: G E Etán fjü a csústató fsültség vgs dváltját a gnltből: q q A ttőt össombnálva apj:

166 66 Végslm-móds q q ahol: Síalaváltoás stén ganln módon jthatn l a q q gnlth átható hog ha nncs téfogat ő ao sífsültség és síalaváltoás állapotban a ompatbltás gnlt ganolan fomájú Abban a stbn ha a őté onvatív ao lét g olan U potncálfüggvén amlnn gadns mgadja a téfogat ő sűűségvtoána omponnst aa: q U és q U 5 A A-fél fsültségfüggvén A gnsúl gnlt és a ompatbltás gnlt gtln gnltté dálható a ún A-fél fsültségfüggvén sgítségévl gn = a A-fél fsültségfüggvén amt a övtőéppn dfnáln []: U U 6 Et vssatév a gnsúl gnltb látható hog a gnlt tljsüln A fsültségfüggvént mndn olan fsültségmő lő lht állítan aml tljsít a gnsúl gnltt és ahol a téfogat ő potncálos A fsültségfüggvén sgítségévl a ompatbltás gnlt : U 7 ahol: 8 wwwtanonvtah Séns Andás BME

167 Bvtés sífladato témaöb 67 Séns Andás BME wwwtanonvtah a bhamons opáto A 7 gnlt a sífsültség állapot alapgnlt onvatív téfogat ő stén Ha a = függvént sül lőállítan am tljsít 7-t és a lőít pmfltétlt s ao mgtalált a fladat mgoldását A fsültség- és alaváltoás mő a 6 és 9 gnltből hatáoható mg Ha a téfogat ő onstans vag pdg a U potncálfüggvén hamons függvén ao a alapgnlt a övtő ls: 9 am g pacáls dffncálgnlt lltv bhamons gnlt A av-fél gnlt E tán fjü a alapgnltt a lmodlásmővl sífsültség állapota! A és 9 gnlt ombnálásával jtn a övtőhö []: E E v G v Átndés tán apj hog: v E v E v E A fnt fsültségépltt vssatév a gnsúl gnltb apj a avfél gnltt: q v E G q v E v G Síalaváltoás állapota hasonlóan vthtő l a av-fél gnlt o a övtőt apj: q v E G q v E v G Sífsültség állapot stén a fsültség tno lső salánvaánsa:

168 68 Végslm-móds I Pmété-fladato m alaú st öépsíjáa név smmts ülső őloslás stén a fsültségfüggvén gat mgoldása aml tljsít a gnsúl és a ompatbltás gnltt s a övtő []: 5 ahol: 6 am tljsít a 7 gnltt A 5-bn a másod -től függő tag lhanagolható ha a lm véon bbn a stbn: 8 Véon lm stén a 5 gnltből sámolt valóságos fsültségloslást nagon jól mgölítjü 8 alapján s oglalj öss hog mln fltétl vanna a sífsültség állapotna! A vsgált tstn véon lmn ll lnn a lm ét nomálsú flült thltln lgn a ülső ő csa vag ánúa lhtn a vastagság mntén a thlés smmts lgn a és tngl név A sífladato alapgnlt-nds g pacáls dffncálgnlt-nds gnsúl gnlt gomta gnlt és anagtövén amh pmfltétl s tatona A dnama pmfltétl a fsültség tno és a ülső thlés vtoa öött össfüggés a pmgöb bonos pontjaban: n p 9 ahol p valaml pmflültn mgosló thlés sűűségvtoa n pdg a pmflültől vag anna g éséől flé mtató nomáls vto aml páhamos a - síal A nmata pmfltétl adott pont vag ponto lőít lmodlását jlnt: b 5 wwwtanonvtah Séns Andás BME

169 Bvtés sífladato témaöb 69 ahol b a lőít lmodlás vtoa és pdg a adott pont oodnátá A alapgnltndst és a hoá tatoó dnama és nmata pmfltétlt gütt pmétéfladatna nvü Mgjgü hog a sífladato alapgnlt-ndsét és pmfltétlt tljsítő mgoldáso lvtés analtsan öl lhttln fladat A fladato mgoldását nv vag fél-nv módon sotá mgsn [] A nv móds léng hog válastn g mgoldást és tán mgssü hog l a mgoldással mln pmfltétlt lht maadétalanl légítn aa lősö a mgoldást vtjü l és tána fogalma mg a hoá tatoó fladatot A fél-nv móds léng hog g adott fladat stén fltétlün g éslgsn smt mgoldást A éslgsn smt mgoldás a függtln váltoó smt és smtln függvén A éslgs mgoldást vssahlttsítv a alapgnlt-ndsb g gsűbb dffncálgnlt-ndst apn a smtln függvén név A fladatot tán a mgfllő pmfltétl alapján dt módsl tdj mgoldan 5 Példá sífsültség állapota 5 égt alaú lm pmthlésén mghatáoása A ábán váolt négt alaú véon lm adott a A-fél fsültségfüggvén a - oodnáta-ndsbn []: p 5 a 6 ahol p vonal mnt mgosló th ntntása A téfogat ő lhanagolható fltétlün sífsültség állapotot ába Sífsültség állapotú négt alaú lm Mln őnds thl a lm pmét? Elősö állíts lő a fsültségmőt: p p 5 a a Séns Andás BME wwwtanonvtah

170 7 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME a p A pmthlést a dnama pmfltétl flhasnálásával és a pmgöbé töténő loalálással tdj sámítan Ehh süség van a pmgöbéből flé mtató nomálsoa: pmgöb onstans oodnáta nomáls n = - =a = -j = a j valamnt 9- és 5- aml alapján a övtőt apj: a p p 5 a p a a p a a a a a a p j p p a p a a a a a a j p A pmthlést úg apj mg hog a fnt vtoo omponnst mnt függvént a pm mntén ábáolj Et mtatja a 5 ába ahol a 5a ábán a nomál ánú pmgöbé mőlgs a 5b ábán a tangncáls pmgöbéh épst éntőlgs fsültségloslásoat ábáolt

171 Bvtés sífladato témaöb 7 5 ába Sífsültség állapotú négt alaú lm nomáls a és tangncáls b pmthlés 5 angncálsan thlt lm vsgálata A 6 ábán váolt h métű véon lmbn a téfogat ő lhanagolható fltétlün sífsültség állapotot A ábán látható thlés stén adott a A-fél fsültségfüggvén []: pt 5 h h h h 6 ába Sífsültség állapotú tangncálsan thlt lm Egat mgoldása- a adott függvén a fnt fladatna? Eg függvén gat mgoldása a fladatna ha tljsít a sífladato alapgnltét és a dnama pmfltétlt A fnt függvén alapján blátható hog sífladato alapgnlt 9-s gnlt bbn a stbn tljsül hsn a pacáls dffncálgnlt ngdndű a függvén pdg lgfljbb hamad hatvánát tatalmaa Vs- Séns Andás BME wwwtanonvtah

172 7 Végslm-móds gálj mg a dnama pmfltétlt! A lőő fladatho hasonlóan sámíts a fsültségmőt: pt 55 h h pt h h E alapján fjü a pmthlést: = : p t 56 h h = h: pt = -h: Végül ttől függtlnül íj fl a 6 ába alapján a dnama pmfltétlt! A dnama pmfltétl snt a pmgöbén lhtségs fsültségn mg ll gn a thvto mgfllő nomáls vag tangncáls omponnsévl E alapján: = : 57 = h: pt = -h: A pmfltétlt össhasonlítva a pmthlésl látható hog g fltétl nm tljsül mégpdg a = pmn a nm nlla aa séül a pmfltétl öül g Vanna aonban tüntttt ponto A éplt snt: p t h h h h h h 58 amn mgoldása = /h és = h aa ét pontban tljsül a dnama pmfltétl A mgadott függvén thát nm gat mgoldása a 6 ábán látható fladatna mt a dnama fltétl öül g séül E aonban lfogadható mnt ölítő mgoldás hsn a 9 alapgnlttl gütt tí fltétlből lnct tljsít Mg ll jgn hog a = pm g bfogott pm am nmata pmfltétlt jlnt bbn a fladatban t ét nm vsgált wwwtanonvtah Séns Andás BME

173 Bvtés sífladato témaöb 7 6 Sífladato alapgnlt poláoodnátá sgítségévl A galmasságtanban több olan fladattíps s van amln mgoldását hngoodnátandsbn célsű flín A 7 ába alapján flíható a övtő össfüggés []: cos sn 59 actan 7 ába Poláoodnáta-nds paamét A poláoodnátá és snt dváltja 59 tolsó éplt alapján: cos sn 6 sn cos A és snt dválást a láncsabál alapján íhatj fl: sn cos 6 cos sn A alapgnlt flíásáho flhasnálj a fsültség-tansfomácós épltt [] A nomál- és csústatófsültségt a övtő épltl tdj tansfomáln g öül -val lfogatott oodnátandsb: Séns Andás BME wwwtanonvtah

174 7 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME n n n mn m n 6 ahol: sn cos n cos sn m 6 amvl apj: sn sn cos 6 sn cos sn sn cos cos sn Hasonló tansfomácós éplt vthtő l a alaváltoás jllmő s A 6 épltt vssatév a gnsúl gnltb valamnt fltétlv hog téfogat ő s műödn apj hog []: q 65 q ahol a lőbb a adáls tóbb pdg a tangncáls ánú gnlt A tansfomácós össfüggést flíva a alaváltoás tno omponns s lltv a lmodlásomponns lvthtő a övtő éplt: 66 ahol és a adáls és tangncáls ánú lmodláso A lmodlás-omponns üsöbölésévl jtn l a ompatbltás gnlth: 67 A Hoo-tövén stén nncs süség tansfomácóa mvl a poláoodnáta-nds otogonáls Eét pl a sífsültség állapota vonatoó épltbn a -t -l a -t -val ll hlttsítn: E E E 68

175 Bvtés sífladato témaöb 75 Séns Andás BME wwwtanonvtah E E E Ugan a éplt síalaváltoás stén 6 alapján: E E E 69 E E E Síalaváltoás stén a alaváltoás tno lső salánvaánsa: I 7 A fsültség- és alaváltoás omponnst vssahlttsítv a 65 gnsúl gnltb síalaváltoás és bhlttsítv a lső salánvaánst apj a av-fél gnltt poláoodnátáal []: I q G G 7 q G G I ahol 7 a tngl öül fogás a pdg a amé-fél paamét: E 7 A sífladato alapgnltét a Hamlton-opáto sgítségévl tdj flín poláoodnátáal A 8 és 6 éplt alapján: 7

176 76 Végslm-móds A fsültség épltt a dffncálhánadosoat mgadó 6-s és a 6 tansfomácós éplt sgítségévl fjhtjü : 75 A tóbb háom éplt mnd sífsültség mnd pdg síalaváltoás stén ga A gnsúl gnltt alaváltoás-lmodlás apcsolatot nfntmáls lm poláoodnáta-ndsbn való vsgálatával s l lht vtn [] 7 nglsmmts sífladato A poláoodnátá hasnálata ülönösn hasnos fogássmmts vag más névn tnglsmmts fladato mgoldásao Eo a lmodláso fsültség függtln a sögoodnátától íg a snt dválta mndnhol ltűnn A sífladato alapgnlt a övtő ls 7 alapján: d d d d d d d d 76 Et a gnltt át lht alaítan onstans gütthatós dffncálgnltté g új váltoó bvtésévl: 77 Íg 76 a övtő ls: d d d d d d 78 amln általános mgoldása: A B C D 79 Vssatév -t: A ln B C ln D 8 ahol A B C és D onstanso A fsültségéplt 75 alapján: 8 wwwtanonvtah Séns Andás BME

177 Bvtés sífladato témaöb 77 A mgoldásfüggvént vssatév apj: C C Aln A B ln A A B 8 7 ömö öhng és vastagfalú cső éün néhán példát a fnt gnlt éplt alalmaásáa []! ömö öhng stén a fsültség = -nál nm lhtn végtln ét A C 8 hát a fsültség g tömö öhng stén: B 8 E g nomáls ánban a ülső paláston B nomással thlt öhng mgoldása atos öhng vag vastagfalú cső 8a ába stén nm lgndő a dnama fltétl vsgálata nmata pmfltétlt s lő ll ín 8 ába Előít pm-lmodlású öhng a véon fogó tácsa b A alaváltoás jllmő a övtő lsn 66 alapján: d d 85 A 68 fsültség-alaváltoás apcsolat sgítségévl jthatn l a alább össfüggésh: d d K K K K 86 Séns Andás BME wwwtanonvtah

178 78 Végslm-móds ahol: K E K 87 sífsültség állapota lltv K K 88 E síalaváltoás állapota E flhasnálásával fjü a fajlagos núlásoat: d d C C K Aln A B K Aln A B 89 C C K Aln A B K Aln A B A lőbb gnlt ntgálásával apj: C C K A ln A B K A ln A B H 9 ahol H ntgálás onstans A fnt épltt -l ostva és gnlővé tév a 89 másod gnltévl a övtőt adja: A H 9 Mvl aonban a fnt gnltn mndn été tljsüln ll ét a tváls mgoldást ll vnn: A H 9 A más ét onstans B és C pdg a ülső és blső pm lőít nmata fltétlből hatáoható mg A általános mgoldás thát: C KB K K 9 A fatos öhng a av-gnlt alapján s mgoldható Ha a lmodlásmő függtln a oodnátától ao = aa a 7-7 gnltből apj: d d d d 9 wwwtanonvtah Séns Andás BME

179 Bvtés sífladato témaöb 79 amn általános mgoldása: c c 95 átható hog matmatalag aonos 9-al Eg ülső pmn mgfogott blső pmn nomással thlt fatos öhng nmata pmfltétl: b 96 A mgoldásfüggvén alapján a onstanso: c b c 97 b b b valamnt a mgoldás: b 98 b A alaváltoás jllmőt a 85 a fsültségt a 68 éplt sgítségévl lht sámítan 7 ogó tácsá Ha a öhng vastagsága cs ao tácsáól bsélün 8b ába Ha a tácsa foog ao téfogat ő s ébd a tácsáho ötött vonatotatás ndsbn A adáls ánú gnsúl gnlt 65 o a övtő ls []: d d q és q 99 ahol a tácsa sögsbsség pdg a tácsa anagána sűűség A gnltt átndv apj hog: d d Et a gnltt lht légítn ha a fsültségfüggvént a övtőéppn vtjü b: d d Séns Andás BME wwwtanonvtah

180 8 Végslm-móds A alaváltoás jllmőt a fatos öhngnél má lvttü a 85 gnltből üsöbölv -t apj hog: d d Sífsültség állapotot fltétlv és flhasnálva a 68 épltt apj: d E E d E d E d Et vssahlttsítv a épltb jtn a övtőhö: d d d d aa a fsültségfüggvén g másodfoú dffncálgnltt apn amn mgoldása: 8 A B 5 A fsültségomponns pdg alapján: 8 A B 8 A B 6 ahol a A és B ntgálás onstanso amt a pmfltétlből lht mghatáon A lmodlásmő lvtéséh flhasnálj a 85 épltt amből: d d E E 8E A B 7 amn ntgálásával jtn a E E 8E A B 8 éplth A fogó tácsa alapgnlt össfoglalva a alábba: wwwtanonvtah Séns Andás BME

181 Bvtés sífladato témaöb 8 A B C 9 A B C c ahol: a b 8 8 C C a A b B c E E 8E éün g példát a fnt éplt alalmaásáa! A 9 ábán váolt galmas tácsát túlfdéssl sl a mv tngl [] Adato: b = m = m h = m = - m = 78 g/m E = GPa = a Moa lht a tácsa mamáls sögsbsség ha at aaj hog a tácsa n laljon mg? b Sámíts a tngl és a tácsa öött éntésből adódó ontatnomást ao amo nm foog a st! 9 ába ogó tácsa mv tngln A a pontho lősö íj fl a fladat pmfltétlt! A adáls lmodlás a blső faton a túlfdés étéévl ll hog mggn am g nmata fltétl: Séns Andás BME wwwtanonvtah

182 8 Végslm-móds b ab b c b b A tácsa ülső hngpalástja sabad flült aa á mőlgsn a adáls fsültség a dnama pmfltétl snt és: A B C Ha a tácsa mglal a tngln ao ott sabad flült lt matt a adáls fsültségn tt s nllával ll gnlőn lnn aa: b A B C b b A mgoldandó gnltndsbn háom smtln van: A B és hsn a és b nm függtln A-tól és B-től Vonj a és gnltt gmásból: B C b B Cb 5 b Et vssahlttsítv a épltb: A C b 6 és íg: a C b E b E C b 7 A nmata fltétlb vssatév a onstansoat: C E b b C E b b 8E b 8 A C onstans bíásával és a gnlt átndésévl a mamáls sögsbsség a övtőt apj: 885 ad / s 9 ma A sögsbsség smtébn a onstanso s sámítható: 8 9 A 8 Pa B 995 C 95 / m wwwtanonvtah Séns Andás BME

183 Bvtés sífladato témaöb 8 C 9 6 / m a 5 b 59 7 m c 9 / m A b pont mgoldásáho flíj hog ha a tácsa nm foog ao = és íg: C = C = c = Eo a adáls lmodlás a blső faton a túlfdés étéévl ll hog mggn: b ab b c b b A tácsa ülső hngpalástja továbba s sabad flült aa: A B C A fladat mgoldása: 6 A 5 Pa B a 556 b m A étfél állapotho tatoó adáls és tangncáls fsültségloslásoat a ába mtatja ába A adáls és tangncáls fsültség loslása tácsastbn fogó a és ngalm b állapotban Bblogáfa [] P Ch Cho cholas J Pagano Elastct nso dadc and ngnng appoachs D Van ostand Compan Inc 967 Pncton w Js oonto ondon Séns Andás BME wwwtanonvtah

184 8 Végslm-móds [] S moshno J God ho of lastct McGaw-Hll Boo Compan Inc 95 w Yo oonto ondon [] Uj Jósf Rgalmasságtan és VEM c tág lőadása és gaolata Bdapst Műsa és Gadaságtdomán Egtm Gépésménö Ka Műsa Mchana ansé 998/999 ős félév Bdapst wwwtanonvtah Séns Andás BME

185 SÍKESZÜSÉGI ÁAPO MODEEZÉSE VEM PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE MODEEZÉS KIÉRÉKEÉS PROBÉMAKÖRÉEK EEMZÉSE Sífladato végslms mgoldása A végslm-móds alalmaásao a gés st síbl tatománát dsét lm ostj fl mtat példát a ába [] ába A végslm-móds alapgondolata símodll és sílm stén A móds alalmaása soán a tljs potncáls nga mnmm-lvét hasnálj fl a végslms gnsúl gnlt lvtéséh A tljs potncáls nga g sílm a övtőéppn íható fl []: U W V Ap V n dv pda qdv ahol a fsültségomponns pdg a alaváltoás jllmő vtoa: továbbá = + vj a lmodlás-vtomő p a flült q a téfogat thlés sűűségvtoa a lm műödő oncntált ő vtoa támadáspontjána oodnátá és A p a sílm flült ől thlt pmflült-és V pdg a lm téfogata A lmodlásmőt ntpolácó sgítségévl állítj lő: Séns Andás BME wwwtanonvtah

186 86 Végslm-móds ahol a ntpolácós függvén máta amln mét a lm sabadság foától függ a lm csomópont lmodláso vtoa A galmasságtan alapgnlt alapján a alaváltoás tnomő és a lmodlásmő apcsolata mát alaban: ahol a dffncálopátoo máta aml és alapján íható fl: 5 A tóbb össfüggés ombnácója adja hog: B 6 ahol B a alaváltoás-lmodlás mát A fsültségmő sámítható a övtő éplttl: C CB 7 aholc a galmasság állandó máta sámítását a fjtbn má lvégtü sífsültség és síalaváltoás állapota A alaváltoás nga g végslm: U V dv B C B vdd K 8 ahol K a lm mvség máta: K B C BdV V B C Bvdd 9 amln mét a lm sabadság foától függ Sílm stén a lm dffncáls téfogata: dv vda vdd alaban íható ahol v a lm vastagsága A lm ható ülső ő mnája flhasnálásával: W Ap pda V qdv n pda qdv c Ap V wwwtanonvtah Séns Andás BME

187 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 87 ahol c a lm csomópontjaban műödő oncntált ő vtoa A tljs potncál o a övtő alaban íható fl: K ahol: pda qdv c b p c Ap V a lm ható ő vtoa A tljs potncáls nga mnmm-lvén alalmaása sgítségévl jtn l a lm vonatoó végslms gnsúl gnlth: K A tljs st lőállítva a mvség mátot valamnt a lmodláso és csomópont ő vtoát apj a st gnsúl gnltt: K U ahol K a st mvség mátu a st csomópont lmodlásvto pdg a st ővto vag thvto A végslms gnlt thát g algba gnltndsh vt amln mgoldása a csomópont lmodláso été E sgítségévl a csomópontoban ébdő blső ő fsültség s sámítható A sífladato mgoldásáa többfél lmtíps lét E öül a továbbaban a lggsűbbt tntjü át nás háom csomópontos háomsöglm A lnás háomsöglm n tangl [] vag más névn háomsög alaú símmbán lm lltv onstans alaváltoású háomsöglm constant stan tangl - CS válatát a ába mtatja Mndn csomópontban ét sabadság fo van A tljs lm thát össsn hat sabadság fon van A lm öpén lévő níl a ontácóa tal aa mndn lmnél van g öüljáás án aml alapján a csomóponto övt gmást A lmodlásmő ntpolácója A csomóponto oodnátát és a csomópont lmodlásoat vtooal íj fl: 5 v v v Séns Andás BME wwwtanonvtah

188 88 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME ába nás háomsöglm Csomópont oodnátá és lmodláso A háomsög tült dtmnánsént fjhtő: A 6 A lm vonatoó lmodlásmő és v omponnst és lnás függvénént íj fl: a a a 7 b b b v ahol a a a b b és b smtln onstanso A alaváltoás jllmő vtoa: 8 ahol a és éplt alapján: a b v a b v 9 A és v függvénn vssa ll adn a csomópont lmodlásoat ao ha g adott csomópont oodnátát hlttsítjü b a 7 épltb aa: a a a b b b v

189 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 89 Séns Andás BME wwwtanonvtah a a a b b b v a a a b b b v A fnt gnltndst mgoldva a onstansoa apj: A a A a A a A v v v b A v v v b A v v v b ahol: A fnt mgoldást vssatév a lmodlásmő 7 ét omponnséb apj hog: ] [ A ] [ v v v A v glmb vév hog a háomsöglm háom ntpolácós függvénün van ld íhatj hog: v v v v v A éplt alapján a ntpolácós függvén a övtő fomában íható fl: A = 5

190 9 Végslm-móds A ntpolácós polnomo máta thát a össfüggés alapján: 6 A ntpolácós függvén sntvonalat a ába mtatja aml alapján ao néhán tlajdonsága: - a csomópontoban : - a oldala flőpontjaban : / / / / / / - a súlpontban : / / / - aa látható hog mndn pontban: - végül:! j!! j da A 7 j! A ába A ntpolácós függvén sntvonala lnás háomsöglm A mvség mát sámítása A lm mvség mát dfnícója 9 alapján: K B C Bvdd 8 ahol a má mlíttt alaváltoás-lmodlás mát 5 és 6 alapján: wwwtanonvtah Séns Andás BME

191 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 9 Séns Andás BME wwwtanonvtah A B 9 hát a B mát lm függtln a és váltoótól csa a csomópont oodnátától függn A mvség mát thát flíható mnt: BV C B BvA C B K ahol A a lm tült V = A v pdg a lm téfogata A mvség mát lnás háomsöglm stén thát vsonlag gsűn át fomában sámítható A thlés mgadása éfogat ő gn a téfogat ő vtoa: q q q amből: A A b vda q q q q q q vda q q qvdd lhasnálva a ntpolácós függvén 7 éplttl mgadott tlajdonságát pl ha = j = és = ao: A A da

192 9 Végslm-móds El: b Av q q q q q q A lm ható téfogat őt pl tljs súlát és a abból adódó őt thát a háom csomópontba ostj sét aonos aánban A téfogata ható ő sámahat pl a gavtácóból vag goslásból thttlnség ő Mgosló ő a lm él mntén A él mntén mgosló ő sámításáho vsgálj mg a ábán látható lm - élét A él mntén flvsün g dmnótlan paamétt A lm mntén étlmtt ívhoss thát: s l és l d 5 ds ába nás háomsöglm ánú mgosló ővl a - él mntén A ánú lnásan mgosló ő flíható a övtő lnás függvénnl: p p p 6 A ánú lmodlás-függvén a lm - él mntén hasonlóan íható fl: 7 A mgosló ő mnája dfnícósűn a mgosló ő soova a lmodlásfüggvénnl ntgálva a pm mntén: wwwtanonvtah Séns Andás BME

193 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 9 Séns Andás BME wwwtanonvtah l l p p p p p p v l vd l p p vd l p p vd l p vds p W 8 hát a lnásan mgosló őből a övtő ővto adód: p p p p p v l 9 Ha a mgosló ő onstans ao p = p = p és o: p p p v l A lm él mntén műödő ánú mgosló őből hasonlóan lvthtő a végslms gnltbn mgjlnő ővto Koncntált ő Koncntált ő csa csomópontban műödht A ővto gsűn flíható a csomóponto alapján: c A tljs ővto a lőbb pontoban lít vtoo össgént íható fl aa: c p b A végslms gnlt mgoldását a mvség mát és a ővto sámítását g példán stül mtatj b Kdolgoott példa lnás háomsöglm sífsültség állapot A 5a ábán látható modllt mgosló ől thljü Sámíts a csomópont lmodlásoat és őt ao ha ét lnás háomsöglm sgítségévl építjü fl a lmt! Sámíts a alaváltoás jllmőt és a fsültségt []!

194 9 Végslm-móds 5 ába Símodll mgosló ől thlv a ét háomsöglmből álló végslm modll b Adato: p = MPa E =5 GPa a = mm c = mm p =6 MPa =5 b= mm v=5 mm A sámítás soán a métt [mm]-bn a őt pdg []-ban sámolj A lm modlljét a 5b ába alapján bonts sét ét háomsöglm A csomópont oodnátá thát: csomópont [mm] [mm] A lm-csomópont tábláat: lm csomópont A mgoldandó végslms gnsúl gnlt: KU ahol: v v v v U wwwtanonvtah Séns Andás BME

195 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 95 a csomópont lmodláso st vtoa A pmfltétl v = v = = = matt aonban: U v v 5 A mvség mát sámításáho süség van a galmasság állandó mátáa sífsültség állapota ld : C C sf 6 E MPa 6 A ntpolácós függvén güttható a lső lm: mm mm 7 mm mm mm mm valamnt a másod lm: mm mm 8 mm mm mm mm A lm tült: A mm A 5 mm 9 A B mát thát a lső lm: B A mm 5 Séns Andás BME wwwtanonvtah

196 96 Végslm-móds a másod lm: B A mm 5 A lm mvség máto alapján: K B C B V / 5 57 / 6 5 / / 6 5 5/ 5 / / / 8/ 5 mm 5 K B C B V / / / 5 5/ mm ahol V = A v = 5 = 5 mm és V = A v = 55 = 75 mm a lm téfogata A st mvség mát lőállításáho a lm mátoat gésítjü a hánó sabadság fooho tatoó sooal és oslopoal A 5 ába és a lm-csomópont tábláat alapján látható hog a lső lmh a és csomóponto tatona övtésépp a csomópontho tatoó sooat oslopoat ll gésítn nlláal: K A másod lmnél l smbn a lső csomópontho tatoó sooat és oslopoat töltjü fl nllával: wwwtanonvtah Séns Andás BME

197 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl K A st mvség mát a ét lőő mát össgéből sámolható: K K K A vonalmnt thlésből adódó ővtoo a 9 éplt alapján: lv p p p 56 lv p p p ahol l m és l = mm a lm élhossúsága a ndbn splő csomóponto öött A lm vtooat mgfllő sabadságfooho tatoó és étéű omponnsl gésítv jthatn hoá a st ővtooho: lv p p l l v p p 5 5 l 57 A acóőt oncntált őént vssü fglmb a mgtámastott csomópontoban: Séns Andás BME wwwtanonvtah

198 98 Végslm-móds c 58 glmb vév hog a -s sámú csomópontban nncs ülső ő és a sma flült matt = = apj: c 59 A st ővto thát: p p c 6 A KU végslms gnsúl gnlt: / 5 57 / 6 5 / / / 5 / / 5 5/ / 5 / v 5 / 6 v 5 A csomópont lmodláso a mátgnlt 6 7 és 8 soából össaott gnltnds mgoldása: v 6 5/ 6v 5v 5 5 v 5v / 6v 5 A fnt gnlt tlajdonéppn 6 ondnálásából adódna A mátondnácó soán aoat a omponns gnltt hagj mg aml áólag a lmodlásoa név tatalmana smtlnt a gnlt jobb oldalán lltv a thvtoban nncs smtln A mgoldáso: mm v 997 mm mm v 6 mm wwwtanonvtah Séns Andás BME

199 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 99 A csomópont lmodlásoat vssatév a mátgnlt és 5 soába sámítj a csomópont őt: 5 5 / v v 5 5v 5 / v 5 / v 5v 5v A mgoldáso: A alaváltoás jllmőt a 9 éplt alapján sámítj : v v a b a b 66 Ehh a lső lm apj: a A 67 b v v v A a 9 A b v v v v 8 55 A A alaváltoás jllmő vtoa a lső lm thát: Séns Andás BME wwwtanonvtah

200 Végslm-móds A másod lm íhatj: a A 5 69 b v v v v v A 5 a A b v v v v A 5 amből: Mvl sífsültség állapotban van a lm ét a 9 éplt alapján íhatj: A núláso és sögváltoáso g lmn blül thát állandóa taltn a háomsöglm lvtésénél s A fsültség sámítása a Hoo-tövén és a onstttív mát sgítségévl lhtségs 6 alapján: sf C 7 A fnt éplt sgítségévl a lm vonatoó fsültségt apj mg A végslm pogamoban a dmén általában lmnt stss mgnvés alatt éhtő l A lső lm íhatj: MPa MPa wwwtanonvtah Séns Andás BME

201 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl MPa Hasonlóan a másod lm: MPa MPa MPa A fsültség tnttébn csomópont mgoldás s lőállítható A ét lm öös csomópontjaban a lm adódó fsültségt átlagolj íg apj a ún nodal stss vag átlagolt avag stss mgoldást: csomópont: 6 MPa 88 MPa 87 MPa 75 csomópont: 65 MPa 7865 MPa 8786 MPa csomópont: 658 MPa 5 MPa 5685 MPa csomópont: 65 MPa 7865 MPa 8786 MPa A pontban öölt példát ASYS végslm softvl llnőtü és gant a dmént apt A fladat végslms mgoldása ln dva lmflostás mlltt tméstsn gn pontatlan dmént ad Séns Andás BME wwwtanonvtah

202 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME Kvadats hat csomópontos háomsöglm A lnás háomsöglm továbbfjlsttt váltoata a hat csomópontos vadats háomsöglm ahol a gs oldala flőpontjában s flvsün g csomópontot [5] A pls csomóponto matt hat smtln gütthatójú függvén van süség aml: 5 a a a a a a 76 5 b b b b b b v A mvség mát és a ővto sámítása hasonlóan véghtő l a lnás háomsögnél bmtatottho A lmn blül a alaváltoás és fsültség omponns lnásan váltona Uganaon lmflostás mlltt a vadats lm jobb ölítéssl oldja mg a fladatot mnt a lnás lm 5 Iopaamts nég csomópontos négsöglm A opaamts négsöglm 6a ába a g lgfontosabb végslm típs sífladatoa [5] Eg lmt ao nvün opaamtsna ha a loáls gomtát és a lmodlásmőt ganaal a ntpolácós függvénndsl íj l 5 A gomta ntpolácója A négsöglmt a gsűbb sámítás matt g négtté épü l g tmésts - oodnátandsbn t mtatja a 6b ába A lmél és oodnátát mgadó függvén: 77 ahol: 78

203 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 6 ába Iopaamts négsöglm globáls a és tmésts b oodnátandsbn Mvl nég csomópontn van ét a ntpolácós függvénbn lgfljbb nég smtln lht: a a a a P A 79 ahol A a güttható vtoa P pdg a bás-polnomo vtoa: A a a a a P 8 A 79 függvén a övtő fltétlt ll hog tljsíts: a a a a 8 a a a a a a a a a a a a Mát fomában íva: M A 8 ahol: Séns Andás BME wwwtanonvtah

204 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME M 8 A gütthatóat thát a 8 -ből tdj sámítan: M A és: M P A P 8 A mgoldás a gütthatóa: a a 85 a a Et vssatév 79-ba apj hog: 86 A 86 alapján a ntpolácós polnomo thát: 87 A oodnátáa gant a sámítást véghajtva gant a ntpolácós függvént apj A függvént ábáolva vonalflültt apn amln a - d csomópontban gségn a été a többbn pdg és ahog t a 7 ába s mtatja

205 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 5 Séns Andás BME wwwtanonvtah 7 ába Iopaamts négsöglm ntpolácós függvén A gomta ntpolácóját össfoglalhatj a övtő épltl: R 88 ahol: R 89 a csomópont oodnátá vtoa és: A ntpolácós függvén tömö fomája:

206 6 Végslm-móds 9 ahol és a saoponto oodnátá a 6b ába snt 5 A lmodlásmő ntpolácója A lmodlás-vtomő a opaamts négsöglm a övtő fomában íható fl: v 9 ahol: 9 v v v v v amvl a ntpolácós függvén máta és a csomópont lmodláso vtoa: 9 v v v v A lmodlásmőn vssa ll adn a csomópont lmodlásoat ao ha a adott csomópont oodnátát hlttsítjü b aa tljsítn ll a alább fltétlt: 9 Matmatalag thát a lmodlásmőn ganat a fltétlndst ll tljsítn mnt a gomta paamétn hát a sámítás ganaoho a ntpolácós függvénh vt mnt a 87 épltbn mgadotta Mvl a lmodlásmő és a loáls gomta líásáho ganaoat a fomafüggvént hasnálj ét a lmt opaamts négsöglmn nvü 5 A alaváltoás jllmő sámítása Jacob mát és Jacob dtmnáns A alaváltoás jllmő vtoa alapján a övtő: wwwtanonvtah Séns Andás BME

207 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 7 Séns Andás BME wwwtanonvtah B v v 95 ahol a pacáls snt v pdg v pacáls snt dváltját jlnt ovábbá: B 96 A B alaváltoás-lmodlás mát a ntpolácós függvén és snt dváltjat tatalmaa A 87 épltből látható hog a ntpolácós függvén csa mnt és függvén smt A dffncálás láncsabál snt a övtőt íhatj: 97 A 77 alapján a loáls gomta valamnt a és snt dválta: 98 Mát fomában íva:

208 8 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME J 99 ahol J a ún Jacob mát: J J J J J A Jacob dtmnáns pdg: J J J J J A nv Jacob mát sgítségévl tdj lőállítan a és snt dváltaat: J J J J J J J valamnt: J amből fjhtjü a övtőt: J J J J J J Enn sgítségévl a B mát thát:

209 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 9 J B J J J J J J J J J J J J J J J J 5 J J J J J J J J J J J J J J J J Ehh süség van a fomafüggvén dváltjaa és a Jacob mát lm s: lltv: J J J J 6 A Jacob mát tóbba alapján flíható a övtő fomában s: 7 J J J J J 8 5 A Jacob dtmnáns jlntőség példa Hatáo mg a Jacob mát lmt a 8 ábán látható négsög! A csomópont oodnátá: Séns Andás BME wwwtanonvtah

210 Végslm-móds a a a a a 9 8 ába Elfajló lépést ooó gomta opaamts négsög stén A Jacob mát lm 7 alapján: J J J J a a a a a 6 a a a a 6 6 a a a a a 6 6 a a a a 6 amből a Jacob dtmnáns: J JJ JJ a A Jacob dtmnáns ha pl = - és = vag = és = - Ilno lfajló lépésől bsélün Ha J = ao a Jacob mát nv nm lét a adott pontban ovábbá a lm paamétvonala a négsög tatománon ívül mts gmást Ematt a négsöglm össs blső sögén 8-nál sbbn ll lnn vags a lm nm lht onáv négsög wwwtanonvtah Séns Andás BME

211 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 55 A fsültségmő sámítása A fsültségt tatalmaó vto a 7 épltből sámolható C CB ahol fjt sf C C sífsültség állapot stén és sa C C síalaváltoás állapot stén ld 56 A mvség mát sámítása A mvség mát sífladato stén a övtő éplttl sámolható 9 alapján: K B C Bvdd A opaamts négsöglmnél a B mát lm a fomafüggvén dváltjat tatalmaá Kövtésépp a mvség mát sámításáho süség van a flült ntgálo tansfomácójáa A sámításho süségs vtooat és paamétt a 9 ábán láthatj A c és c paamét ntvallma: c c 9 ába A flült ntgálo tansfomácója opaamts négsöglmnél A sbtűs dffncáls vtooat a övtő fomában íhatj flhasnálva -at: d d d d J d d d d d d J 5 onst onst Séns Andás BME wwwtanonvtah

212 Végslm-móds valamnt: d d J d d d d J 6 onst A lm flült dfnícója: da d d j abs Jd Jd JJ JJ dd dd 7 J d J d aa: da dd Jdd és: dd Jdd 8 A mvség mát thát: A K A B C Bvdd B C BvJdd 9 aa g flült ntgál sgítségévl tdj a mvség mátot sámítan A sámításho analts vag nms módst alalmahatn A végslm pogamo általában nmsan a Gass-fél vadatúa sgítségévl vég l a sámítást Eől a 6 fjtbn ls só 57 A thvto sámítása Vonalmnt mgosló thlés A ábán látható lmél mntén műödő mgosló őből adódó ővto a övtőéppn íható fl: v p p ds ahol: s l és ds l d valamnt a l a lm -s és -s csomópontja öt élhossúság wwwtanonvtah Séns Andás BME

213 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl Séns Andás BME wwwtanonvtah ába Iopaamts négsöglm él mntén műödő vonalmnt thlés dj továbbá hog a - él mntén = és ld 6 ába Mnd alapján íhatj: d p p p p p p p p vl d l p p v ds p v l p A tovább sámításho süség van a fomafüggvén étélésé a = - paamétvonalon:

214 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME El: p p p d p d p p p p d p d p Vssatév a dmént a ővtoba a övtőt apj: p p p p p vl 5 A gnltsn mgosló ő dőjét thát mgflü hasonlóan a údlmh és a símmbán háomsöghö és a lmélh tatoó ét csomópontba hlü A sámítás lnásan váltoó mgosló ő stén s lvéghtő a dmén ps más ls éfogat ő A téfogat őből adódó ővto: qjdd v b 6 amln sámításáho smét a flült ntgál étélésé van süség Hasonlóan a mvség mátho tt s a Gass-fél vadatúát fogj alalman Koncntált thlés Sífladato stén oncntált ő a csomópontoban műödhtn nomatéo nncsn A oncntált ő és ánú omponnst a övtőéppn foglalj vtoba: c 7 A tljs thvto a lőő háom stből adódó vtoo össgént íható fl: c b p 8 6 ms ntgálás a Gass-fél sabál A opaamts négsöglm mvség mátána valamnt a téfogat őből adódó thvto sámításáho a végslms softvbn nms ntgálás sémát alalmana A lggaobb a Gass-fél sabál alalmaása mt mnmáls mntavétl pontot génl és latív pontos [6]

215 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 5 6 Egdmnós Gass-sabál A gdmnós Gass-sabál stén a ábán látható függvén alatt tült ölítő d latív pontos mghatáoása a cél ába Egdmnós Gass-fél ntgálás séma mntavétl pontja A göb alatt tült ölítő éplt: p d w 9 A mntavétl ponto oodnátát és a w ntgálás súloat a tábláat mtatja A gdmnós sabál p- fosámú polnom stén pontos mgoldást ad p w / / / 5 / 5 = - = - 6/5 / 7 6/5 / 7 5/9 8/9 5/9 / 5/ 6 / 6 / 5/ 6 / 6 w = w w = w tábláat A gdmnós Gass-fél sabál paamét éün g példát a Gass-fél sabál alalmaásáa! Sámíts a Séns Andás BME wwwtanonvtah

216 6 Végslm-móds I d ntgál pontos étéét valamnt a Gass-fél sabál alapján g ttő és háom ntgálás alappont stén! Pontos mgoldás: ln ln ln 986 I Gass-fél sabál p = gn = - Íg ha = ao = ha pdg = ao = - thát: I d d és: A ntgál ölítő été: I w Eo 99%-os hbát övtün l a gat mgoldásho épst Gass-fél sabál p = Most I w w 999 A ntgál été 7 %-al té l a pontos mgoldástól Gass-fél sabál p = I w w w A ölítés hba mndöss 5% 6 Kétdmnós Gass-sabál A étdmnós Gass-fél vadatúa sgítségévl flült ntgálo ölítő étéét tdj sámítan A ntgált a övtő éplttl ölítjü: b d f dd f Jdd j a c n n w w f J 6 j j j wwwtanonvtah Séns Andás BME

217 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 7 ahol w és w j ntgálás súlo és j pdg a ntgálás alapponto oodnátá valamnt - - j Attól függőn hog hán ntgálás alappontot vsün fl ülönfél Gass-fél vadatúa lét ahog t a ába s mtatja ába -s -s -as és -s Gass-fél vadatúá ntgálás alappontja A -s vadatúa stén ntgálás alappontn van -snél má és íg tovább A -s -s és -as Gass-vadatúáho tatoó paamétt a tábláatban foglalt öss a / b / 5 w w j = = -a = -a = -b = -b 5/9 5/9 = = a = -a = b = -b 5/9 5/9 w = = a = a = b = b 5/9 5/9 = -a = a = -b = b 5/9 5/9 5 = 5 = -b 8/9 5/9 w = w = 6 = b 6 = 5/9 8/9 w = w = 7 = 7 = b 8/9 5/9 8 = -b 8 = 5/9 8/9 9 = 9 = 8/9 8/9 tábláat A Gass-fél vadatúa paamét Példa a Gass-fél vadatúa alalmaásáa Sámíts a Séns Andás BME wwwtanonvtah

218 8 Végslm-móds I da 7 A ntgál étéét a -s Gass-fél vadatúa sgítségévl a ábán látható paallogamma tatománon! Hasonlíts öss a dmént a gat ntgálás dménévl []! ába Példa a Gass-fél vadatúa alalmaásáho A csomópont oodnátá adotta: = = = = = = = = 8 A -s Gass-fél vadatúa ölítő éplt alapján íhatj: I da A j w w j f J 9 j j A sámításho süség van a Jacob mát lm Ehh a csomópont oodnátá és a fomafüggvén dváltja s lln ld : J J J J A Jacob mát thát: wwwtanonvtah Séns Andás BME

219 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 9 J J J J J lltv a Jacob dtmnáns: J onst A és paamét a 77-bn mgadott ntpolácó alapján: A f függvén: f 5 5 A ntgál ölítő étéét a ába valamnt a tábláat alapján a övtőéppn íhatj: I [ f a a f a a f a a f a a] A ntgál gat été: I f dd dd átható thát hog a Gass-fél vadatúa bbn a stbn a pontos mgoldást adja A lgtöbb sdlm végslm softv s a -s vadatúát hasnálja 7 Kdolgoott példa a opaamts négsöglm alalmaásáa Oldj mg a pontban bmtatott példát opaamts négsöglmml s! A fladat paamét ganao mnt a lnás háomsöglmnél Alalman g daab végslmt a ába alapján [] Sámíts a csomópont lmodlásoat és a acóőt! Séns Andás BME wwwtanonvtah

220 Végslm-móds ába Példa a opaamts négsöglm alalmaásáa A mgoldandó végslms gnsúl gnlt a övtő: KU 7 Mvl csa g lmün van ét stbn 7 mgg a lm vonatoó gnsúl gnlttl: K 8 ahol: v v v v U 9 a csomópont lmodláso vtoa A pmfltétl v = v = = = matt aonban: U v v 5 Hasonlóan thát a lnás háomsöglmh tt s g nég smtlns gnltndsün ls A lm mvség mát sámításáho a Gass-fél vadatúát alalma aa a övtőt íhatj: K B C BvJd d v j p p j j w w B C B J 5 j j A sámításho süség ls a Jacob mát lm: wwwtanonvtah Séns Andás BME

221 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl J J J J A Jacob mátot össava: 5 5 J J J 5 J 5 5 J 5 amből a Jacob dtmnáns: 5 75 J 5 Blátható hog ha ao J > mndn stbn thát nm lfajló a lépés aml gébént a 5 ábából s látható A nv Jacob mát sntén lőállítható: J J 5 J 55 J J J 5 5 Kövtő lépésént sámíts a B mátot ld 96 ahol 5 alapján: Séns Andás BME wwwtanonvtah

222 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME J J J 56 J J J J J J J J J J J J J J J J J J 5 J J J El a B mát: 5 5 B 57 Sámíts a mvség mát [] lmét a Gass-fél vadatúával Ehh lősö néü mg a övtőt:

223 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 6 B C B és: 58 K v B C B v Jdd dd v f J dd 59 ahol v = 5 mm a st vastagsága A sámítást háomféléppn végü l: a -s -as Gass-fél vadatúa alapján és gat ntgálás útján I -s Gass-fél vadatúa: K v { f a a J a a f a a J a a f a a J a a f a a J a a} mm 6 II -as Gass-fél vadatúa: v f b b J b b f b b J b b f b b J b b f b b J b b K v f b J b f b J b f b J b f b J b v f J mm 6 III Egat ntgálással: 5 K mm A mvség mát omponnst gat ntgálás útján sámítva apj: K mm 6 A csomópont ő vtoát ganúg állítj lő mnt a háomsöglmnél: Séns Andás BME wwwtanonvtah

224 Végslm-móds lv p p p l v p p 5 5 p 6 A acóőt mnt oncntált őt vssü fglmb a mgtámastott csomópontoban: c 65 glmb vév hog a flült smá és a -s sámú csomópontban nncs ülső ő = = = = ls és íg apj: c 66 A st ővto thát: p p c 67 A végslms gnsúl gnltt össava apj: v v 5 68 A mvség mátban lhagj aoat a sooat és oslopoat amlh a lőít jln stbn és étéű lmodláso tatona Il módon apj a ún ondnált mvség mátot amlll a lmodlásoa mgoldandó gnltndst tdj fjtn: v v A mgoldáso: mm v 999 mm 7 wwwtanonvtah Séns Andás BME

225 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl mm v 5 mm A acóat íg a lmodláso smtébn a 68 gnlt és 5 omponns gnltből tdj sámoln A mgoldáso: A lm vonatoó alaváltoás és fsültségmőt paamétsn és függvénént mgaphatj a 95 és 5 éplt sgítségévl A adott csomópont loáls oodnátát bhlttsítv a alaváltoás jllmő és fsültségomponns sámolható A fnt példát ASYS végslm softvl s llnőtü 8 Kvadats opaamts négsöglm A gns oldalú négsöglm továbbfjlsttt váltoata a vadats négsöglm ahol a oldalaat és a lmodlásmőt s -bn és -ban s másodfoú függvénnl ölítjü [7] Mndn lméln flvsün g öbülső csomópontot ahog t a 5 ába mtatja által 8 csomópont lltv 8 smtln güttható ls pl a paamét ölítő függvénbn: a a a a a a5 a6 a7 7 A csomópont fltétl alapján a vadats lm ntpolácós függvén ganúg sámítható mnt a csomópontú négsöglmnél A ntpolácós függvén: Séns Andás BME wwwtanonvtah

226 6 Végslm-móds 5 ába Kvadats opaamts négsöglm A ntpolácós függvén tömö ompat fomában s mgadható: = = 6 8 ahol és a csomóponto oodnátá A ntpolácós függvén öül 5 és 8 a 6 ábán látható 6 ába Kvadats opaamts négsöglm ntpolácós függvén A csomópontho tatoó függvén été bbn a csomópontban g a többbn pdg nlla A mvség mát és a thvto ganúg állítható lő mnt a gns oldalú négsöglm stén A vadats lm stén s süség van a Jacob-dtmnánsa lltv a Gass-fél vadatúáa wwwtanonvtah Séns Andás BME

227 Sífsültség állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 7 Bblogáfa [] Vöös Gábo nt lmnt analss Mchancal Engnng Modlng sa Bdapst Műsa és Gadaságtdomán Egtm Gépésménö Ka Műsa Mchana ansé otatás sgédlt 8/9 tavas félév [] Uj Jósf A mchana nms móds c tág lőadása Dotoands épés Bdapst Műsa és Gadaságtdomán Egtm Gépésménö Ka Műsa Mchana ansé / ős félév [] Sngs S Rao h fnt lmnt mthod n ngnng foth dton Elsv Scnc & chnolog Boos [] Edogan Madnc Ibahm Gvn h fnt lmnt mthod and applcatons n ngnng sng ASYS Spng Scnc+Bsnss Mda Inc 6 w Yo USA [5] Bojtá Im Molná Gög ag amás A végslm-móds alalmaása síbl fladatoa Műsa Könvadó 988 Bdapst [6] Kovács Ádám Uj Jósf A végslm móds alapja Bdapst Műsa és Gadaságtdomán Egtm Gépésménö Ka Műgtm Kadó 7 Bdapst [7] Klas-Jügn Bath nt lmnt pocds Pntc Hall Upp Saddl Rv 996 w Js 758 Séns Andás BME wwwtanonvtah

228 ORGÁSSZIMMERIKUS ÁAPO MODEEZÉSE VEM PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE MODEEZÉS KIÉRÉKEÉS PROBÉMAKÖRÉEK EEMZÉSE nglsmmts fladato végslms mgoldása nglsmmts fladato stén mnd a gomta mnd pdg a thlés függtln a sögoodnátától E mtat példát a ába ába Blső nomással thlt vastagfalú cső a a cső tnglsmmts modllj b valamnt a gsűsíttt végslm fladat c A ln fladato a tst mdán mtstébn síban dfnálható és étváltoós matmata fladatént oldható mg A tnglsmmts fladato lm tlajdonéppn gűű alaú lm El függ öss a hog a ln fladatoban nncs oncntált ő vév ha a éppn a tnglb s Koncntált őént láts a flhasnáló smpontjából a palást g sgaú öén mgosló onstans vonalthlés nglsmmts fladato stén a lmodlásmő a övtő alaú []: w A gomta gnlt: ahol a Hamlton opáto hng-oodnátandsbn HKR Enn lőállítása a 6 éplt sgítségévl lhtségs A adáls és tangncáls ánú bás-gségvtoo a 7 ába alapján []: wwwtanonvtah Séns Andás BME

229 ogássmmts állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 9 cos sn j sn cos j t A nabla-opáto a -- oodnáta-ndsbn: j lhasnálva a 6 épltt és bhlttsítv -b jthatn l a övtőhö: t 5 A alaváltoás jllmő HKR-bn a övtőéppn íható fl [] ld 66: w w t 6 Vtoba foglalva: t 7 A alaváltoás jllmő vtoa flíható a övtőéppn: 8 ahol a dffncálopátoo máta 6 alapján g tovább lmml gésül a sífsültség vag síalaváltoás állapotho épst: 9 A fsültségt s vtoba foglalj: t A Hoo-tövén oodnátandstől függtlnül íható a övtő fomában: Séns Andás BME wwwtanonvtah

230 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME E G I t t / / amből: ] [ t t E E ] [ t t t t E E ] [ t t E E E A onstttív mát C alapján thát []: E C A lm mvség mát sámítása a övtő össfüggés alapján lhtségs []: V BdV C B K 5 ahol a B mát mét a lm sabadság foától függ A thvto a sífladatonál lítaho hasonlóan hatáoható mg A tnglsmmts tst téfogattatománát gűű alaú lml háló b A lmt a mdán mtstbn adhatj mg aa síban A végslms pogamndsbn ganao a lmtípso állna ndlés mnt a sífladato mgoldásáa általában a asmmtc opcó sgítségévl lht a lm tnglsmmts vsldését bállítan A végslms dstácó soán ganaoat a ntpolácós függvént alalma mnt a sífsültség és síalaváltoás állapot stén A lgtöbb végslms

231 ogássmmts állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl Séns Andás BME wwwtanonvtah softvnél a modllt a - síban ll lésítn a fogástngl ld c ába A övtőbn néü mg a lnás háomsöglm és a opaamts négsöglm alalmaását ogássmmts lnás háomsöglm A fjtbn a lnás háomsöglm stén ésltsn mgmtatt a végslms dstácó lépést nglsmmts alalmaásnál néhán átalaítása van süség A lmodlásmő ntpolácója soán a és paamétt - cséljü aa []: w 6 ahol a lmodlás-omponns ntpolácós függvénl flít alajáho úg jtn hoá hog a épltbn a oodnátát - a oodnátát pdg - cséljü: 7 w w w w amvl a ntpolácós függvén máta valamnt a csomópont lmodláso vtoa: 8 w w w A alaváltoás jllmő sámítását a sífladatoho hasonlóan véghtjü l: B 9 ahol a alaváltoás-lmodlás mát 9 és 8 alapján:

232 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME B ahol a másod soban a / fjés jln mg glmb vév hog fogássmmts fladatoól van só íhatj hog: dd B C B BdA C B K A A thvto tnglsmmts fladato stén s háom tagból áll A flült mgosló th stén a éplt: ds p p ahol p a adáls és tnglánú nomás étéét tatalmaó vto: p p p éfogat ő stébn a thvto éplt: dd q b ahol: q q q 5

233 ogássmmts állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl a fajlagos téfogat ő vtoa Végül a csomópontoban műödő oncntált thlés vtoa: c 6 A tljs thvto a lőő háom tag össgéből adód: 7 p b c A fladat mgoldásáho öss ll an a lm lltv a st mátoat A st gnsúl gnltből lősö a csomópont lmodlásoat majd pdg a acóat és a alaváltoás jllmőt valamnt a fsültségt hatáo mg éün g példát a lm alalmaásáa! Kdolgoott példa tnglsmmts háomsöglm A ábán látható háomsög stmtstű fatos tácsát blső nomással thljü A tácsa = 5 ad/s sögsbsséggl foog Vgü fglmb a tácsa önsúlát s! Sámíts a csomópont lmodlásoat és a acóat! ába Háomsög stmtstű tácsa végslm modllj Adato: p = KPa E = GPa d = 6 m D = 8 m g = 98 m/s = h = m Oldj mg a fladatot g daab tnglsmmts háomsöglm sgítségévl []! A távolságoat [m]-bn a őt []-ban fogj sámítan A csomópont oodnátá: csomópont [m] [m] Séns Andás BME wwwtanonvtah

234 Végslm-móds Mvl csa g lmün van ét a lm vonatoó gnsúl gnlt mgg a st vonatoó gnsúl gnlttl: K 8 ahol: w w w 9 A pmfltétl matt csa nég smtln maad aa: w A onstttív mát alapján: E C Pa A ntpolácós függvén güttható és a ába alapján: m m m m m m A háomsög tült íg: A m A ntpolácós függvén a A wwwtanonvtah Séns Andás BME

235 ogássmmts állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 5 Séns Andás BME wwwtanonvtah fjés alapján: 5 A mát thát: 6 El a B alaváltoás-lmodlás mát: B 7 A mvség mát a övtő: m dd B C B K 8 amlt gat ntgálás útján Mapl softvl lvégv aptn A lső ntgálás flső hatáa a háomsög átfogójána gnlt: = - A csomópont ő vtoát háom tagból ll össállítan A lső tag a - él mntén mgadott flült őből adód aml alapján: ds p p KPa p p p 9 Mvl aonban a - él mntén a sgá = m állandó valamnt a ívoodnáta mgg -vl ét íhatj hog:

236 6 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME 6 6 d pd p A fogásból és a önsúlból adódó ővtoho süségs q vto flíható a g és alapján: g q q q Etán sgítségévl sámítj b -t: b dd g qdd aa: b Végül a tolsó tag a smtln acóőt tatalmaa A pmfltétl matt: c A végslms gnsúl gnlt thát: w 5

237 ogássmmts állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 7 A mgoldás a 5 és 6 omponnsgnlt alapján lhtségs A más móds a ondnált mvség mát sgítségévl flít mátgnlt amlt a fjtbn má bmtattn A mgoldáso: m m 675 m w m 6 A acóő a végslms gnltnds és gnlt alapján: A fnt példát ASYS végslm softvl llnőtü Mgjgü hog hasonlóan a fjt példáho a acóat tt s a ülső ő vtoában vttü fglmb A háomsöglmnél mg ll jgn hog a B mát másod soában mgjlnő / omponns a ntgálás soán gondot oohatna ha g lm g él a fogástngl s tt = Enn lülés édébn a ntgálást a lm loáls oodnátandsébn sotá lvégn vag pdg a étéévl a nllát csa ölít [] ogássmmts opaamts négsöglm A opaamts négsöglmt sífladatoa a fjtbn má bmtatt A lm fogássmmts fladato mgoldásáa s alalmaható A lmél loáls és oodnátát mgadó függvén []: 8 ahol a 77 épltbn a oodnátát - a oodnátát pdg - cséltü Kövtésépp a ntpolácós függvén s ganao lsn: 9 A lmodlásmő a övtőéppn íható fl: w 5 ahol: Séns Andás BME wwwtanonvtah

238 8 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME 5 w w w w w amvl a ntpolácós függvén máta valamnt a csomópont lmodláso vtoa: 5 w w w w 5 A alaváltoás jllmő sámításáho a má jól smt alaváltoás-lmodlás máta van süség: B 5 ahol: B 55 A mát sámításáho a fomafüggvén és snt dváltjaa van süség Mvl a függvén a tmésts oodnátands és oodnátá alapján smt ét tt s süség van a Jacob máta lltv anna dtmnánsáa alapján []: J J J 56 J J J

239 ogássmmts állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 9 Séns Andás BME wwwtanonvtah ahol: J 57 J J J Etán a B mát a 5-hö hasonlóan állítható lő aal a ülönbséggl hog a másod soban a / tag jln mg Enn sámítása a 8-9 éplt alapján lhtségs A oodnátát a és η paamét függvénént 8 snt ll mgadn A mvség mát éplt a övtő ls: d BJd C B K 58 A thvto lőállításáho süségs háom tag pdg: Jd p p Jd p p 59 attól függőn hog a mgosló ő ml lméln műöd valamnt d qjd b 6 c 6 Végül a tljs ővto: c b p 6 A övtőbn g példát mtatn b a lm alalmaásáa

240 Végslm-móds 5 Kdolgoott példa tnglsmmts opaamts négsöglm Oldj mg a 6 fjtbn analtsan mgoldott tácsafladatot ét daab opaamts négsöglm flhasnálásával A tácsa végslm modllj a ábán látható a A tácsa fodlatsáma lgn = 885 ad/s llnőü hog o mglal- a tácsa! b Sámíts a fsültségt ao amo nm foog a st aa = vsont a túlfdés = - m! Adato: b = m = m h = m = 78 g/m E = GPa = ába ogó tácsa gsű végslm modllj A távolságoat [m]-bn a őt []-ban fogj étlmn A csomópont oodnátá: A lm-csomópont tábláat: csomópont [m] [m] csomópont [m] [m] 5 6 lm csomópont 5 6 A st csomópont lmodlásvto a pmfltétl smtébn a övtő: U 6 w w w 5 w5 6 w6 A onstttív mát alapján: wwwtanonvtah Séns Andás BME

241 ogássmmts állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl C Pa J J J J A Jacob mát lmt mndét lm lő ll állítan 57 alapján: 5 65 és: J J J J A Jacob mát lm és íg a dtmnáns thát mndét lm onstans és aonos: J J J 9 67 Etán sámítj a fomafüggvén és snt dváltjat a 56 éplt snt Mvl a Jacob dtmnáns a ét lm aonos ét a dválta s aonosa lsn a Jacob mát omponnsnél s lhaghatj a flső ndt: J J J Séns Andás BME wwwtanonvtah

242 Végslm-móds J J J J J J J J J J J J J J 5 5 J J J 5 5 J J J 5 5 J A sgá-oodnátát mndét lm ülön mgadj 8 alapján: ahol a lm ontácóját a lm csomópontjana loáls sámoását s fglmb vttü A övtő lépésbn a alaváltoás-lmodlás mátot ll lőállítan mndét lm 55 alapján A máto lm a és paamét függvén lsn és mvl lég bonollta tt nm ööljü őt A B máto sgítségévl tán sámítj a lm mvség mátoat: wwwtanonvtah Séns Andás BME

243 ogássmmts állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl K 6 B 5857 C B Jdd m 7 K 8 B 79 C B Jdd m Mvl a csomóponto sámoása nm gaod a lm ontácójáho ét a st mvség mát sámítása lőtt a sabadság foo sosámana mgfllőn átndü a lm mvség mátoat gn a lm lmodlásvtoo a övtő w w w w 7 w w 5 w5 6 w6 Enn mgfllőn a dt mátoat a övtőéppn ll átndn: K Séns Andás BME wwwtanonvtah

244 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME A csomóponto alapján a másod lmnél s hasonlóan ll lján: K 7 Etán lht a st mvség mátot lőállítan A ét öös csomópont a hámas és a négs Enn mgfllőn a ét mát ombnácója: K 75 Mgjgü hog a st mvség mátot a végslm pogamoban a má mgadott lm-csomópont tábláat alapján sotá lőállítan A nms été 7 alapján sámolható A thvto a téfogat őből és a oncntált ő vtoából áll A fajlagos téfogat ővto: q q és: q q 76 amvl: 5 b d Jd q b d Jd q

245 ogássmmts állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 5 A mvség mátho hasonlóan a thvtoo omponnst s áthlü a csomópont sámoásna mgfllőn: b 686 b b b b7 686 b7 b8 5 b és b8 5 b 78 b b b b b5 5 b b6 b6 A st ővto a ttő ombnálásával adód: b b b b7 b8 b b b b b5 b7 b6 b8 b b b5 b6 79 A acóőt tatalmaó vto: 8 c A st ővto: b c 8 Végül a st gnlt: KU 8 A mgoldandó gnltnds tnét gnltből áll A csomópont lmodlásoat a és - gnltből tdj sámítan A mgoldáso: 68 m w w 9 m 8 68 m w 65 m w m m w 5 m w 98 m átható hog a analts modllből sámított mamáls sögsbsség stén a blső fatnál a végslm modll snt még nm éjü l a - m-s túlfdést aa a tácsa 6 Séns Andás BME wwwtanonvtah

246 6 Végslm-móds nm fog mglaln a tngln Enn oa hog a fladat végslms mgoldása daab lnás lmml még nagon pontatlan A st dfomált alaját a dt állapotho épst a ába mtatja A lmodlásoból tán össaj a lm csomópont lmodlásvtooat: w w w 8 w 5 w5 6 w6 w A ét lőő vtonál a dt lmontácóna mgfllőn ll a omponnst lhln hsn a B mát s vonato A lm vonatoó alaváltoás jllmő a B mát sgítségévl sámolható: B B 85 Végül a fsültségmő a lm: C C 86 ába ogó tácsa végslm modlljén dfomált alaja A dmént a és tábláatoban foglalt öss A tábláatoban a csomópont mgoldáso spln A lm mgoldásoat a -as és -s átfdő csomópontoban tdj lőállítan ahol a csomópont mgoldásoat átlagolhatj A tábláatból látható hog a dnama pmfltétl séüln hsn a -s -s 5-ös és 6-os csomópontoban a adáls fsültség nm és Enn oa a dva lmflostás és a lnás ntpolácó Ellnbn a tangncáls fsültség stébn a a ábával össhasonlítva a blső és ülső pmn gésn jól gn a fsültség A példát ASYS softvl llnőtü wwwtanonvtah Séns Andás BME

247 ogássmmts állapot modllés VEM pogamnds sgítségévl 7 lm csomópont [ - ] t [ - ] [ - ] [ - ] tábláat ogó tácsa alaváltoás jllmő = 885 ad/s stén lm csomópont [MPa] t [MPa] [MPa] [MPa] tábláat ogó tácsában ébdő fsültség = 885 ad/s stén Abban a stbn amo nncs fogás a st csomópont lmodlásvto a övtő ls: U w w w w w A mvség mát váltoatlan a thvto pdg: 88 c A mgoldáso o: m w w 9 m m w 56 m w m 8 m w m w 7 m Séns Andás BME wwwtanonvtah

248 8 Végslm-móds A ngvó állapotho tatoó fsültségt a tábláatban adt mg A analts mgoldásho épst a fsültség lég nagmétébn ltén am gancsa a dva lmflostásna és a lnás lmtípsna tlajdonítható lm csomópont [MPa] t [MPa] [MPa] [MPa] Bblogáfa tábláat A tácsában ébdő fsültség = stén [] Uj Jósf A mchana nms móds c tág lőadása / ős félév Dotoands épés Bdapst Műsa és Gadaságtdomán Egtm Gépésménö Ka Műsa Mchana ansé [] Davd V Htton ndamntals of fnt lmnt analss st dton McGaw-Hll w Yo [] OC Znwc R alo h fnt lmnt mthod ffth dton Volm : h bass Bttwoth-Hnmann Ofod Acland Boston Johannsbg Mlbon w Dlh [] Edogan Madnc Ibahm Gvn h fnt lmnt mthod and applcatons n ngnng sng ASYS Spng Scnc+Bsnss Mda Inc 6 w Yo USA wwwtanonvtah Séns Andás BME

249 VÉKOYAÚ HÉJAK EMEZEK MODEEZÉSE A VÉGESEEM HÉJMODEEK EMÉEÉEK BEMUAÁSA m és héjmodll mn nvü aoat a sí stt amln vastagsága léngsn sbb a több méth épst és a síjáa mőlgsn thlt A lmt pm mntén ttsőlgs gomta alaat hatáolhatja mgtámastás vsona gancsa váltoatosa lhtn pontsűn alátámastott él mntén mvn vag galmasan alátámastott cslósan mgfogott stb [] A lm a úd étdmnós váltoatána s tnthtő hsn mndttőnél a hajlítás dfomácó a domnáns lltv a tansváls thlés a lggaobb Mndmlltt jlntős ülönbség s vanna hsn példál a úd smlgs sála lht gns és göb s a lm öépsíja vsont mndg sí alaú Ha a lm öépflült göbült flült ao má héjól bsélün [] A övtőbn néü mg a véon lm és héja lméltén lgfontosabb ésltt A Kchhoff-fél lmlmélt alapgnlt A Kchhoff-fél lmlméltt a véon lm lméltén s sotá hívn Mgjgü hog ha a lm latív vastag ao a níás dfomácóból adódó pls dfomácót s fglmb lht vnn Et a mgoldást lm vonatoóan a Mndln-fél lmlmélt tágalja [] A lmodlásmő A ába alapján vsgálj mg g galmas lm g pontjána lmodlását [] A lmodlásmő háom mnnség sgítségévl íható l: a tngl mntén töténő tansváls lmodlás valamnt a és tngl öül töténő fogáso alapján aa: w ahol = a tngl öül fogás = a tngl öül fogás és w = w a tansváls lmodlás ába Véon lm öépflültén lévő pont lmodlása Séns Andás BME wwwtanonvtah

250 5 Végslm-móds A alaváltoás jllmő A alaváltoás jllmő s alaváltoást fltétlv a fjtbn mgadott gomta gnlt sgítségévl fjhtő []: v v w v w w w ahol a és snt dváltaat a gsűség édébn a alsó ndbn jlöltü A továbbaban fltétlü hog a sío a dfomácó tán s sío maadna és a stmtstből flé mtató nomáls a dfomácó tán s mőlgs maad a adott stmtst síjáa a ún Kchhoff-ov hpotés [] Utóbbból övt hog a lm öépflülté mőlgs síoban a fajlagos sögváltoáso éso: w és w E flhasnálásával -ből apj hog: w w w A alaváltoás jllmő o: 5 w w w Ebből a s övt hog a öépflültn = A Kchhoff-fél lmlmélt snt thát s alaváltoás stén a lmodlásmő és a alaváltoás mő omponns g daab w függvén sgítségévl líható A fsültségmő és a öépflült génbvétl ltétlv hog a lm sífsültség állapotban van a 8 és 5 gnltl fjü a fsültségt: E w w A E 6 E w w B E wwwtanonvtah Séns Andás BME

251 Véonfalú héja lm modllés 5 E E w C ahol E = E/- A B és C pdg onstanso A da hajlításáho hasonlóan a fsültséglosláso lnás függvén a vastagság mntén Et mtatja a ába ába A fsültség loslása véon lmből vágott dffncáls lm vastagsága mntén A lm öépflültén génbvétlt a fsültség ntgálásával apj mg a övtő éplt sgítségévl []: M t / t / d A d I E w w 7 t / t / M t / t / d B d I E w w t / t / t / t / M d C d IE w t / t / t / t / M d C d IE w t / t / ahol M a tngl mntén étlmtt hajlító élnomaté M a tngl mntén étlmtt hajlító élnomaté M és M pdg a ún csavaó élnomaté ovábbá: Séns Andás BME wwwtanonvtah

252 5 Végslm-móds t I 8 a daho hasonlóan a stmtst másodndű nomatéa A öépflült génbvétlt mtatja a a ába A génbvétlből sámítható fsültség thát a 6 és 7 éplt alapján: M 9 I I I M M A lmlm gnsúláho süség van a níóő fglmbvétlé s Et mtatja a b ába A níó élő a övtőéppn sámolható []: t / Q d t / t / Q d t / ába Véon dffncáls lmlm öépflültén génbvétl a és gnsúla níóő és mgosló th stén b A gnsúl és mogásgnlt A fsültségmő vonatoó homogén gnsúl gnltt a fjtbn má tágalt []: amlt fjtv a lső omponnsgnlt apj hog: A gnltt gs ntgálj snt Eo adód hog: wwwtanonvtah Séns Andás BME

253 Véonfalú héja lm modllés 5 Ad majd: Cd A C végül: 5 A 5 gnltt ntgálj t/ és t/ öött: t / t t / t / d d d 6 / t / t / ahol ntgálás onstans A fsültség g a dnama pmfltétlt tljsítő mgoldás []: 7 t A 7 éplt g paabola és g téglalap tültén ülönbségét adja aml a tljs tült /-a hát ha t ttővl soo ao matmatalag gnétéű dmént apn a paabola alatt tülttl aa a 6-os gnltből: t / t / t / d d Q 8 t / am nm más mnt a tngl mntén étlmtt níóő snt A gnsúl gnltb vssatév a 6 9 és 8 épltt apj: M M Q 9 A másod omponnsgnlt és a abból lvthtő gnsúl gnlt: Séns Andás BME wwwtanonvtah

254 5 Végslm-móds M M Q és: M M Végül hamad omponnsgnltéből apj a övtőt: Et ntgálj lősö t/ és t/ öött snt: t / t / és: d t / t / d t / t / d t / t / t / t / d d d t / t / A lső ét tag a alapján a Q és Q níóő a hamad pdg a dnama pmfltétl étlmébn a lm öépflülté mőlgs mgosló ő ntntása p aa: Q Q p 5 Össfoglalva a gnsúl gnltt apj a övtőt: M M Q 6 M M Q Q Q p A lmgnlt lvtéséh átndü a lső ét gnsúl gnltt: Q M M 7 Q M M wwwtanonvtah Séns Andás BME

255 Véonfalú héja lm modllés 55 Et vssatév a 6 hamad gnltéb apj a övtő gnltt: M M M p 8 lhasnálva a 7 épltt a övtőt íhatj: I E w w w w w p 9 amt átndv és össvonva a övtő fomáa hohatn [5]: w w w p I E vag: p I E w hát a véon lm hajlításáa vonatoó gnlt g ngdndű pacáls dffncálgnlt amlh nmata és dnama pmfltétl s tatona aa g pmété-fladatól van só Véon lm végslms mgoldásána gnlt A véon lm hajlítás fladatána végslms mgoldásáho a alaváltoás és fsültségmő omponnst s vtoba foglalj ahol sífsültség állapotot fltétlün [6]: A alaváltoás jllmőt íhatj a övtőéppn 5 alapján: ahol a göbültt tatalmaó vto: w w w Séns Andás BME wwwtanonvtah

256 56 Végslm-móds A anagtövént flhasnálva a fsültség vtoa: sf C 5 A alaváltoás jllmő g étváltoós w függvénből sámolható a w függvén végslms ölítés a lmtípstól és a válastott csomópont sabadság footól függ d mndg flíható a övtő alaban: w A 6 ahol A a smtln güttható pdg a báspolnomo vtoa A csomópont lmodláso vtoa: M A 7 aml pl g háom csomópontos háomsöglm stén: w 8 w w A 7 épltbn a M mát a ölítő w függvén és alapján sámolható A és paamét a és tngl öül fogáso a gs csomópontoban ahol = A 7 épltből: A M 9 A alaváltoás jllmő vtoa általánosan a alaváltoás-lmodlás mát sgítségévl íható fl: B ahol a 5 7 és 9 sgítségévl a övtőéppn s íható: RA RM ahol a R mát a alaváltoás jllmő és a smtln güttható vtoa öött apcsolatot adja mg nn mét lmfüggő Íg: B RM A lm mvség mát 9-bn lít dfnícója snt: wwwtanonvtah Séns Andás BME

257 Véonfalú héja lm modllés 57 K B C BdV V sf A mvség mát mét a csomóponto sámától és ao sabadság foana sámától függ A ővto hasonlóan a símmbán lmh több tagból tvőd öss A lggaobb a mgosló flült ő és a oncntált thlés A mgosló őből sámaó thvto sámítása a ülső ő mnájából lhtségs: Ap W p w da p ahol p a lm flülté mőlgs mgosló ő ntntása w pdg a dfomácós flült ölítő függvén 6 snt A p vto a csomópont lmodláso vtoa alapján hatáoható mg Koncntált thlés stén pl g háom csomópontos háomsög alaú lmlmnél mndn csomópontban műödht a flült mőlgs ő lltv a és tngl ánába ső oncntált nomaté: c M M M M M M 5 A thvto thát: 6 p c Végül a végslms gnsúl gnlt gtln lm valamnt a gés st: K KU 7 A símmbán lmh hasonlóan a hajlított lmnél s többfél lmtíps lét Et a 5 fjtbn tágalj A tchna héjlmélt alapgnlt Abban a stbn ha a véonfalú st öépflült nm sí hanm göbült ao héjól bsélün A héja analts vsgálata mglhtősn bonollt matmata sámításoat génl ét a övtőbn csa a lgfontosabb össfüggést mtatj b Gomta össfüggés Mvl a héja öépflült göbült ét a héja vsgálatáho süség van a göbvonalú oodnátands alalmaásáa s amt a ába s smléltt Séns Andás BME wwwtanonvtah

258 58 Végslm-móds ába Héj öépflültén göbvonalú oodnáta-vonala és bás-gségvtoa A héj öépflültén étpaaméts vtognlt flíható a övtőéppn []: R R q q 8 ahol: X X q q Y Y q q Z Z q q 9 a globáls oodnátá R a flült g pontjána hlvtoa q és q pdg a flült általános vag göbvonalú oodnátá ld ába A flültn lévő q = állandó és q = állandó göbé a q és q oodnátavonala A oodnátavonala éntő gségvtoa és a ds ívhosslm: R R Hdq H q H ds 5 ahol: H R = 5 a ún amé-güttható [] vag mts güttható [] A övtőbn fltétlü hog a flült oodnátavonala désögű hálóatot alotna aa = A flült nomáls gségvtoa o: n 5 A [ n] vtohámas a P pontban g loáls göbvonalú otogonáls oodnátandst hatáo mg A oodnátavonala göbültét és toóját a nt-éplt adjá mg [7]: wwwtanonvtah Séns Andás BME

259 Véonfalú héja lm modllés 59 R R R n n n R = 5 S H q H R R n n R S S H H ahol R és R a göbült sgaa Ha R = ao a q és q vonala a öépflült főgöbült vonala valamnt a és gségvtoo ána főgöbült áno A flült göbült tnomnnség Ha a és nm főgöbült áno ao a főgöbült ánt mgadó sög a övtőéppn sámolható: ' / R tg 5 / R / R ' ' A főgöbült été pdg [7]: R cos sn sn 55 R R R ' ' ' R sn cos sn R R R R ' ' ' A továbbaban at a stt vsgálj amo a és gségvtoo ána a főgöbült ánoba mtatna A flült oodnáta-nds básvtoana dváltja []: H H H R j j j n j j j H H H j n j j j j = 56 R A öépflülttl páhamos flült P * pontja a n nomáls mntén távolsága van a P ponttól A P * pont hlvtoa a ába alapján: j R * R n 57 A bás gségvtoo a oodnátától függtln aa: * 58 A P* pont hlvtoána dváltja flíható a övtőéppn: * R R n H 59 R Séns Andás BME wwwtanonvtah

260 6 Végslm-móds gn: H * * H és ds ds = 6 R R ml a P* pontho tatoó amé-güttható és ívhossa Élő és élnomatéo gnsúl gnlt A 5 ába g dffncáls héjlm hatáoló síjan ébdő fsültségt a 6 ába pdg g ds ds métű flültn műödő élőt és élnomatéoat mtatja 5 ába Dffncáls héjlm síjan ébdő fsültségomponns 6 ába Dffncáls héjlm öépflültén génbvétl A t vastagságú dffncáls héjlm műödő fsültségomponns és a öépflült génbvétl öött apcsolat flíásao fglmb ll vnn a ds és ds * ívhossa öött 6 által mgadott apcsolatot s A nomálsú vonala műödő élő és élnomatéo: wwwtanonvtah Séns Andás BME

261 Véonfalú héja lm modllés 6 t / R t / t / d d Q R d R t / R t / t / t / t / t / M d M d M 6 R t / ahol a síbl nomál élő és a síbl níó élő Q a tansváls ánú níó élő M a hajlító élnomaté M és M pdg a csavaó élnomatéo glmb ll vnn at s hog bá a daltás matt = a fnt épltbn és M M mvl a göbült sgaa általában nm gnlő aa R R A héjst ható ülső thlés és a blső ő öött apcsolatot líó gnsúl gnlt lvtés sntén nagon bonollt ét csa a végdmént ööljü A gnsúl gnlt a élő stén [7]: Q H H H H HH p R Q H H H H HH p R H Q HQ HH p R R 6 ahol p és p a -s és -s ánoban étlmtt tangncálsan mgosló ő p pdg a héj öépflülté mőlgsn mgosló ő A gnsúl gnlt a élnomatéo stén: H M H M M H M H H H Q 6 H M H M M H M H H H Q M R M R 6 ahol a alsó ndbn lévő vsső tán sám a mgfllő oodnáta snt dválást jlnt Elmodlásmő alaváltoás jllmő A héj öépflültén g P pont lmodlás és lfodlásvtoa a 7 ába alapján a övtő fomában íható fl: v wn n 65 Séns Andás BME wwwtanonvtah

262 6 Végslm-móds 7 ába Véonfalú héj öépflültén lévő pont lmodlása Eg öépflültn ívül P * pontban a vto omponns a héjlmélt nmata hpotés snt [7]: * * v w w 66 * v aa a öépflült mőlgs anag vonal a alaváltoás soán gns maad A öépflült alaváltoását és göbültváltoását líó éplt [7]: H v w 67 H H R H H v w H H R H H H v H H H H H H H H H H H H H H H H H H R R ahol és a q és q oodnátavonala mntén étlmtt fajlagos núláso a és básvtoo öött désög fajlagos mgváltoása a dfomácó soán és a q és q paamét ánába étlmtt göbült pdg a stánú göbült A nomáls és a áno fajlagos sögváltoása pdg [7]: wwwtanonvtah Séns Andás BME

263 Véonfalú héja lm modllés 6 w R H v w 68 R H étlü fl hog a alaváltoás soán a öépflült mőlgs anag vonal mőlgs maad a göbült öépflült aa a 68-bn adott fajlagos sögváltoáso éso A héjlmélt nmata hpotését és a lőő hpotést gütt Kchhoff ov hpotésn hívj Eo: w R H R H v w 69 Máséppn fogalmava a níófsültségből adódó pls dfomácót hasonlóan a véon lm Kchhoff-fél lméltéh nm vssü fglmb A -tngl öül söglfodlás flíható a övtő éplttl [7]: [ H v H ] 7 H H A lgtöbb stbn aonban a söglfodlás été lhanagolhatóan cs íg t a fogást általában nm vssü fglmb Kölítés a tchna héjlmélt tn blül A héj véonna tnthtő ha a vastagsága t cs a sbb főgöbült sgáho épst aa []: R 7 Ematt a amé-güttható és a ívhossa été öl aonos a öépflültn és aon ívül aa: H * H és: ds ds = 7 * Enn mgfllőn a 6 éplt s gsűsödn: t / d d Q d 7 t / t / t / t / t / t / M d M d M t / t / t / Séns Andás BME wwwtanonvtah

264 6 Végslm-móds átható hog o a níó élő és a csavaó élnomatéo été aonos am sét a 6 éplttl mgadott gnsúl gnltt Et a ölítést tchna héjlmélt tn blül mgngdjü 5 Héja végslms modllésén főbb lépés A héja végslms dstácója soán - hasonlóan a sí- és lmfladatoho a gomta és a lmodlásmő ntpolácójából ndln [7] A héj öépflültén g pontjában a lmodlás- és lfodlásvto a övtőéppn íható fl: v w 7 A ét vto omponns nm függtln gmástól A 67 épltből sámítj a öépflült ala- és göbültváltoásat: 75 A élőt és élnomatéoat s vtooba foglalj: 76 M M M M A tansváls ánú Q Q níóőt nm vssü fglmb a dfomácó sámításánál Végül flíj a flült thlés és a ülső thlés vtoat: p p p p 77 Q M M M ahol p a héj öépflültéh aa a q és q oodnátáho épst éntő ánú valamnt a héj öépflülté mőlgs mgosló őt tatalmaa és M pdg a csomópontoban műödő oncntált őt és nomatéoat tatalmaa A tljs potncáls nga a s épltbn mgadott vtoo sgítségévl a övtőéppn íható fl: A M HH dqdq phh dqdq A S M ds 78 wwwtanonvtah Séns Andás BME

265 Véonfalú héja lm modllés 65 ltétlü hog a véon héj anaga homogén otop és lnásan galmas Eo a élő és élnomatéo vtoa a övtőéppn sámolható: sf t sf tc M C 79 ahol sntén sífsültség állapotot fltétlv a onstttív mát: C sf E 8 El thát at apj 78-a hog: A t C A sf t C ph H dq dq sf H H S dq dq ds M 8 A lm mvség mát és a lm csomópont thlésvto bvtésévl jthatn l a K 8 fjésh amből a lm vonatoó végslms gnlt 7 lső gnlt vthtő l A lm vonatoó potncáls ngáat tán össgü: U KU U 8 és végül a mnmm-lv alalmaásával a st gnsúl gnlth jtn: KU 8 A héja végslms modlléséh gn sofél lmtíps áll ndlés Eléhtő a síhéj lm aml lgnább sűűbb lmflostás stén adna pontosabb dmént d mgtalálható a gssn pl: öhnghéj-lm és étssn göbült lmtípso s aml mnd a gomtát mnd a lmodlásmőt pontosabban ölít aonos lmsám stén A ülönfél lm és héjlm típsoat a 5-7 fjtbn tágalj Séns Andás BME wwwtanonvtah

266 66 Végslm-móds Bblogáfa [] Bojtá Im Vöös Gábo A végslm-móds alalmaása lm- és héjst Műsa Könvadó 986 Bdapst [] Robt D Coo nt lmnt modlng fo stss analss John Wl and sons Inc 995 w Yo Chchst Bsban oonto Sngapo [] Vöös Gábo Rgalmasságtan és végslm móds c tág lőadása és gaolata éat Bdapst Műsa és Gadaságtdomán Egtm Gépésménö Ka Műsa Mchana ansé Bdapst [] P Ch Cho cholas J Pagano Elastct nso dadc and ngnng appoachs D Van ostand Compan Inc 967 Pncton w Js oonto ondon [5] S moshno S Wonows-Kg m és héja lmélt Műsa Könvadó 966 Bdapst [6] Sngs S Rao h fnt lmnt mthod n ngnng foth dton Elsv Scnc & chnolog Boos [7] Edad Vntsl hodo Kathamm hn plats and shlls ho analss and applcatons Macl D Inc w Yo Basl wwwtanonvtah Séns Andás BME

267 5 SÍKBEI ÉS SÍKRA MERŐEGES ERHEÉSŰ SÍKBEI VÉKOYAÚ HÉJAK MODEEZÉSE VÉGESEEM- MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE 5 Hajlított lmlm A sí lmlmt lm alaú stbn alaló blső ő génbvétl vsgálatáa hasnálj A lmlm a údlm tjstés olan módon hog a hajlítás níás csavaás gmása mőlgsn ét síban és gs gmása való ölcsönhatás soán övt b A lm modllésé a símmbán fladatoho hasonlóan léhtő a háomsög és négsög alaú lm A általános háomsög alaú lm jobban hasnálható olan stbn amo a st sabáltalan vag háomsög lltv ahho hasonló alaú Ebbn a fjtbn lsősoban a sía mőlgs thlésű lmlmt tntjü át Abban a stbn amo a lm síbl és sía mőlgs thlésű s ao a símmbán és a hajlított lmlm ombnálásával tdj a fladatot mgoldan áthatt a éplt alapján hog a níóő lhanagolása matt a lm g pontjában a söglfodlásoat a w és w 5 össfüggésből tdj sámítan A hajlítás dfomácót líó göbült pdg: w w és 5 w Véon lmnél sífsültség állapotot sotn fltétln aa: 5 A Kchhoff-fél lmlmélt bmtatása soán láthatt hog a dfomácós flültt g étváltoós w függvén íja l l mnd a göbült mnd a alaváltoás jllmő sámolható A lmfladato soán t a w függvént ll ntpolácós polnomoal lőállítan majd pdg nn sgítségévl fl ll építn a lm mvség mátát és a thvtot A övtőbn néün mg néhán hajlított lm-lmtípst 5 Háomsög alaú sí lmlm vag och-fél háomsöglm A lm alaú st végslm dstácója soán a lm síjáa mőlgs lmodlást mnd mnd pdg snt hamadfoú polnommal ölítjü []: Séns Andás BME wwwtanonvtah

268 68 Végslm-móds w a a a a a a a5 a6 a7 8 5 E a mgölítés g volt a lső háomsögalaú végslmn amlt lősö och pblált [] A lmt a 5 ába mtatja A dfomácós flült vto fomában: w A 55 ahol A a smtln güttható pdg a báspolnomo vtoa: a a a a a5 a6 a7 a8 A a 56 5 ába A och-fél lnc sabadság foú háomsög alaú lmlm A smtln güttható a csomópont fltétl alapján sámolható aa a adott lmodlásfüggvénn a gs csomópontoban vssa ll adn a csomópont lmodlásétét Ematt a 5 épltbn mndg csa ann tagot tdn fglmb vnn ahán csomópont sabadságfon van A och-fél háomsöglm stén a és tagoat össvonj A A vtoban jlnlg lnc smtln güttható van A lm vonatoó csomópont sabadságfoo vtoa a 5 ába alapján: w 57 w w ahol w a lm flülté mőlgs lmodlás és pdg a és tngl öül fogáso A och-fél lmlm thát lnc sabadság foú A güttható mghatáoásáho süségs csomópont fltétl []: wwwtanonvtah Séns Andás BME

269 5 Síbl és sía mőlgs thlésű síbl véonfalú héja modllés 69 Séns Andás BME wwwtanonvtah w w w w 58 w w w w w w w w A güttható sámításáho valamnt a alaváltoás jllmőhö süség van thát a w függvén és snt dváltjaa aa 5 alapján íhatj: 7 6 a a a a a w a a a a a w a a a w a a a w a a w Et bíva 57-ba a apott gnltnds mát alaban a övtőéppn íható []: M A 5 ahol:

270 7 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME M 5 A ntpolácós polnom güttható a 5 gnltnds mgoldásával adódna: M A 5 A gütthatóa nagon bonollt éplt adódna ét aoat tt nm ööljü A alaváltoás jllmő vtoa 5 és 55 alapján: RA w w w 5 ahol a R mát: 6 6 R 5 Bhlttsítv a 5 épltt 5-ba jtn l a B alaváltoás-lmodlás mátho: B RM A R 55 glmb vév hog a véon lm sífsültség állapotot fltétltün íhatj hog: sf C sf B C 56 ahol a sf C mát sífsültség állapota vonato A lm mvség mát dfnícója snt:

271 5 Síbl és sía mőlgs thlésű síbl véonfalú héja modllés 7 Séns Andás BME wwwtanonvtah BdV C B K V sf 57 A 55 flhasnálásával a övtőhö jtn: / / M da Rd C R M K A t t sf 58 A fnt fjésbn a öépső tag []: 6 6 } 8 8 { 6 6 / / da E I da Rd C R A A t t sf 59 ahol I = t / és E = E/- A mvség mát sámításáho süség van a M mát nvé Mvl nagon bonollt tt nm foglalon vl A 59 épltbn a mát omponnsn flült ntgáljáho flhasnálható a övtő össfüggés []: ] [ A dd da A 5 A dd da A A dd da A 6 A dd da A 6 A dd da A

272 7 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME A dd da A 6 A dd da A 6 A dd da A A dd da A A dd da A ahol A a háomsög tült és = pdg a csomóponto oodnátá A ővto általában ét tagból áll A mgosló őből sámaó thvto sámítása a ülső ő mnájából lhtségs: p A da pw W p 5 A p tag sámítása lég bonollt mvl a M mát nv lltv a flült ntgálo gsűsítés s süségs hoá A oncntált ő nomatéo a sabadság foona mgfllőn íható g vtoba: c M M M M M M 5 ahol a flült mőlgs oncntált ő M és M pdg a és ánú oncntált nomatéo A övtőbn g példát mtatn b 5 Kdolgoott példa a och-fél háomsög alaú lmlm alalmaásáa Sámíts a 5 ábán látható bfogott lm lmodlását és acót []!

273 5 Síbl és sía mőlgs thlésű síbl véonfalú héja modllés 7 5 ába Háomsög alaú bfogott lm oncntált ővl thlv Adato: E = GPa = t = 5 mm = a = mm b = 75 mm A csomópont oodnátá: csomópont -b/ a b/ A övtőbn a métt [mm]-bn a őt pdg []-ban sámolj A nmata éns bfogás matt a csomópont lmodláso vtoa a övtő ls: w 5 A mvség mát sámításáho süségs a onstttív mát aml nmsan: C C sf E GPa A M mátot a csomópont oodnátá alapján tdj sámítan 5 flhasnálásával: Séns Andás BME wwwtanonvtah

274 7 Végslm-móds M A M mát dtmnánsa 86 aa a mát nm snglás lét nv A mvség mátho süségs R mátot ld 5 éplt lőállítva és a flült ntgáloat sámítva apj: K M RddA M t / sf R C t / A mm A mvség mát mndg smmts ét csa a gmástól függtln tagoat tüntttü fl bnn A ővto a oncntált ő alapján: c 57 M M M M A ondnált mvség mát és a csomópont lmodláso sámításáho süségs gnlt a övtő ls: w A csomópont mgoldáso: w 76 mm 76 ad 77 ad 59 wwwtanonvtah Séns Andás BME

275 5 Síbl és sía mőlgs thlésű síbl véonfalú héja modllés 75 átható hog bá a gomta és a thlés s smmts a tngl név mégsm smmtsan dfomálód a háomsöglm A csomópont lmodlásoat a dt gnltb vssatév sámítj a acóat: 555 M 785 mm M mm 5 A alaváltoás jllmő és a fsültség vtoa 55 alapján: RM C sf A fnt épltb [mm]-bn bhlttsítv a oodnátáat báml pontban sámolható a alaváltoás jllmő és a fsültség A fnt példát g Matlab softvbn mgít végslm pogam sgítségévl llnőtü [] és aonos dmént aptn A och-fél lmlm általában nm légítő pontosságú és a dmén onvgncája s oss Enn üsöbölésé fjlsttté a ún dált háomsöglmt amlnél tültoodnátáat vtt b [] A och-fél lnc sabadság foú háomsöglm mlltt több más lmtíps s lét pl: Adn vag Cowp-fél háomsöglm Adn- Clogh-Mlosh-fél Bogn-o-Scmt-fél négsöglm stb [] A övtőbn néün mg néhán téglalap alaú lmlmt s 5 Inompatbls téglalap alaú lmlm A 5 ábán a g lglső téglalap alaú lmtíps látható g globáls loáls és tmésts oodnátandsbn Séns Andás BME wwwtanonvtah

276 76 Végslm-móds 5 ába églalap alaú nompatbls lmlm globáls a loáls b és tmésts c oodnáta-ndsbn A loáls dmnótlan és oodnátá: és: d d d d 5 a b a b Süség ls a alább dffncálhánadosoa s: d d d a d d d 5 d b d A 5b ába snt loáls - oodnáta-ndsbn mndn csomópontban háom sabadság foot vsün fglmb a w lmodlás a lmlm síjáa mőlgsn valamnt a és tngl öül söglfodláso A lm vonatoó csomópont lmodláso vtoa thát: w 5 w w w aa össsn sabadság foú a lm ahol a söglfodláso 5 alapján sámolható a Kchhoff-ov hpotés snt A ánú lmodlás és a söglfodláso thát gmástól nm függtln a ntpolácós függvén lgfljbb smtln paamétt wwwtanonvtah Séns Andás BME

277 5 Síbl és sía mőlgs thlésű síbl véonfalú héja modllés 77 tatalmahat A él mntén a w- mgadott fjésn öbösn ll lnn a nomálsánú dváltna nn mgfllőn lnásan ll váltona [] Eg tljs öbös függvén tagot tatalma a csomópont paamét sáma matt aonban még ét gésítő tagot fglmb ll vnn A alább háom lhtőség öül válasthatn: és vag: és vag: és 55 Bámlt s válastj öbös váltoást fogn apn a nomáls ánú dváltaban a lnás hltt [] Ematt a lm nm ompatbls vag más névn nompatbls A lső lhtőségt válastva apj: w a a a a a a a 7 8 a a a a a A smtln güttható mghatáoásáho süségs csomópont fltétl: w w w b w 57 a w w w b w a w w w b w a w w w b w a A gütthatóa apott fjést vssatssü a 56 függvénb valamnt flhasnálj hog a lmodlás-függvén flíható a ntpolácós függvén és a csomópont lmodláso soatana össgént: w w 7 8 w w w 58 amből at apj hog a ntpolácós függvén a övtő alaúa: 59 b a Séns Andás BME wwwtanonvtah

278 78 Végslm-móds 5 b a 6 7 b 8 a 9 b a és: w 5 ahol: a ntpolácós polnomo vtoa jü tán a alaváltoás jllmő vtoát 5 alapján: w w w ahol: 5 wwwtanonvtah Séns Andás BME

279 5 Síbl és sía mőlgs thlésű síbl véonfalú héja modllés 79 5 ahol és a ntpolácós függvén mgfllő dváltjat tatalmaó vtoo 5 snt El a alaváltoás jllmő és a fsültség vtoa: 5 sf C C sf A hajlító és csavaó élnomatéoat s vtoba foglalhatj aml 7 és 5 alapján sámolható: M M M M IE 55 A tljs potncáls nga épltéb vssatév a má sámolt vtooat apj hog: V sf dv pda C dv pw da 56 Ap V Ap A lm téfogatáa vonatoó ntgálást flbontva és snt ntgálása valamnt a másod tagban fltétlv hog a lmlm műödő mgosló ő állandó a övtőt íhatj: K p 57 t sf ab C dd p abdd ahol a lm mvség máta: K t ab C sf dd 58 és a gnltsn mgosló őből adódó thvto: Séns Andás BME wwwtanonvtah

280 8 Végslm-móds p p abdd pab b a 6 6 b 6 a 6 b 6 a 6 b 6 a 6 59 aa hasonlóan a síbl hajlított údlmh a mgosló őt a csomópontoban oncntált ő és nomatéo pntáljá hsn dstácós ljáásól van só A sámításnál fglmb ll vnn hog a csomópontoban oncntált th s mgjlnhtn aa: c és íg: M M M M M M M M c p A lm vonatoó végslms gnsúl gnlt a mnmm-lv alalmaásával: K 55 aml aonban csa ao événs ha a st gtln lmből áll öbb lm stén a potncáls ngá össgésévl jtn l a st gnlth: KU 55 E tán néün g példát a nompatbls téglalap alaú lmlm s! 55 Kdolgoott példa a nompatbls téglalap alaú lmlm Sámíts a 5 ábán látható bfogott lm csomópontjana lmodlását és acót! 5 ába Példa a nompatbls lmlm alalmaásáa wwwtanonvtah Séns Andás BME

281 5 Síbl és sía mőlgs thlésű síbl véonfalú héja modllés 8 Adato: E = GPa = t = mm = 5 a = 6 mm b = mm A övtőbn a métt [m]-bn a őt pdg []-ban sámolj A csomópont oodnátá a övtő: csomópont a a b b A nmata éns matt íhatj a csomópont lmodláso vtoáa hog: w w 55 Uganao a thvto a oncntált thlésből és a acóból adódóan: c 555 M M M M A onstttív mát sífsültség állapota: 6 E C sf 6 GPa A mvség mátho süségs mátot sámítva apj: Séns Andás BME wwwtanonvtah

282 8 Végslm-móds A mvség mát -s métű ét tt at nm ööljü Hltt mgadj a 55-s mátgnltből adódó gnltndst: 7w 5 8α- 87β-96 5w 58 6α - 69β w w 885 M 87w 6 69w 87 M 96w w w w w w 7-75w w w 65-7w 5-5 wwwtanonvtah Séns Andás BME

283 5 Síbl és sía mőlgs thlésű síbl véonfalú héja modllés 8 9w 7 557w w w w w 59 M 69w 87 87w 6 M A csomópont lmodlásoat a és 9 gnltéből sámolva: w 655 m 9 ad 59 ad 559 w 8 m 65 ad ad A 556 és gnltből fjhtjü a acóat: 5 M 7 m M 79 m 56 M m M m A hajlító és csavaó élnomatéo a 55 épltből a lmbn ébdő fsültség pdg a 5 épltből sámolható a csomópont oodnátá bhlttsítésévl A 55 példát ASYS softvl llnőtü és aonos dmént aptn 56 Kompatbls téglalap alaú lmlm Ha ompatbls lmlmt aan lőállítan ao a 56 ntpolácós függvént a övtőéppn ll módosítan []: w a a a a 9 a a a a a a a 5 6 a a a a a Íg a smtln csomópont paamét sáma 6-a mld Ematt mndn csomópontban ngd sabadság foént a stánú w dváltat vssü fglmb A csomópont lmodláso vtoa thát: w w w w w w w w 56 A smtln güttható mghatáoásáho süségs fltétl: w w w b w a w ab w 56 Séns Andás BME wwwtanonvtah

284 8 Végslm-móds w w w b w a w ab w w b w a w ab w w w w w w b w a w ab w A dfomácós flült ölítő függvén úttal 6 ntpolácós függvénnl építhtő fl: w w 9 w w w w w w w 6 56 A ntpolácós függvén a hajlított danál s bmtatott Hmt-fél polnomo ld 55 ába sgítségévl íható fl []: f f f 565 f amvl a tnhat daab ntpolácós függvén a övtő alaú ls: f f 9 f f 566 b f f b f f a f f a f f a b f f a b f f f f f f 5 b f f b f f 6 a f f a f f 7 5 a b f f a b f f 8 6 wwwtanonvtah Séns Andás BME

285 5 Síbl és sía mőlgs thlésű síbl véonfalú héja modllés ába A Hmt-fél ntpolácós polnomo ábáolása A ntpolácós polnomo sgítségévl a mvség mát ganaal a módsl építhtő fl mnt amt a nompatbls lm stén bmtattn aal a ülönbséggl hog most 66-os mátot apn A thvto állandó ntntású mgosló őből adódó össtvőj: p p abdd pab b a ab b 6 a 6 ab 6 b 6 a 6 ab 6 b 6 a 6 ab aa hasonlóan a síbl hajlított údlmh a mgosló őt a csomópontoba ostj sét oncntált ő és nomatéo fomájában A sámításnál fglmb ll vnn hog a csomópontoban oncntált th s mgjlnhtn aa: c M M M M M M M M M M M M 568 A 55 példát a ompatbls téglalap alaú lmlmml s mgoldott A csomópont lmodláso o a övtő: w 658 m 6 ad 65 ad ad w 569 m w 5 m ad 8 ad ad w 5 m A acó a alábba lsn: Séns Andás BME wwwtanonvtah

286 86 Végslm-móds 55 M 676 m M 8 m M 8 m 57 5 M 7 m M 55 m M 5 m A ét mgoldás öött nm jlntős a ülönbség 57 Síbl és sía mőlgs thlésű lm Ha a lm thlés gs síbl és sía mőlgs ao a símmbán és a hajlított lmtípso sppoícójából lőállított lm van süség E a fladat a ddg gés pontosan a és 5 fjt alapján vsonlag gsűn lvéghtő Elősö a csomópont lmodlásoat ll a mgfllő sondbn lhln g vtoban majd nn mgfllőn a mmbán és hajlítás dfomácóho tatoó mvség mát lmt g újabb mvség mátba hln A thvtoo sntén a lm ombnálásával aható öss E a tchna alalmas síbl lm modllésé Ha aonban a lmt úg aj öss hog gmással 8-tól ülönböő sögt báóan g göbült flültt ölítün ao a ombnált mmbán-hajlított lm tébl héja héjst modllésé s alalmas lmtíps gsű alaítását ts lhtővé Mvl a síbl és tébl véonfalú héja modllésénél hasonló lépést ll lvégn ét l ésltsn a 6 fjtbn foglalon Bblogáfa [] Sngs S Rao h fnt lmnt mthod n ngnng foth dton Elsv Scnc & chnolog Boos [] Bojtá Im Vöös Gábo A végslm-móds alalmaása lm- és héjst Műsa Könvadó 986 Bdapst [] Al Ogl Edg ods of angla Kchhoff Bndng hn Plat EM Adn och BCIZ Ag 6 Updatd 5 Sp 6 [] OC Znwc R alo h fnt lmnt mthod ffth dton Volm : h bass Bttwoth-Hnmann Ofod Acland Boston Johannsbg Mlbon w Dlh wwwtanonvtah Séns Andás BME

287 6 ÉRBEI VÉKOYAÚ HÉJAK MODEEZÉSE VÉGESEEM-MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE 6 Egsű síhéj-lm A síhéj-lm mvség máta vsonlag gsűn sámítható a símmbán és a hajlított lmlm mvség mátaból Iln módon a ndlés álló háomsög és téglalap alaú lmből a síhéj-lm ülönböő váltoatat lht lőállítan [] A göbült flült ölítését sí lml a 6 ába mtatja E a ölítés újabb hbafoás a lmodlásmő ölítésén ívül A lmsám növlésévl csönthtjü a gomta pontatlanságot Aét célsű gsűbb lmtípsoat hasnáln mvl a magasabb ndű lm lőn a nagobb lmmét nm hasnálható A övtőbn néü mg a lnás símmbán háomsöglm és a och-fél hajlított háomsög lmlm ombnálását 6 ába Háomsög alaú síhéj-lm globáls és loáls oodnáta-ndsbn 6 A lnás símmbán és a och-fél hajlított háomsöglm sppoícója E a lm nm onfom mt a lmodláso a somsédos lm hatáán nm foltonosa [] Mvl aonban a lggsűbb ét a síhéj-lm bmtatásáa t alalma A lnás símmbán háomsöglm ld ába mndn csomópontja ét sabadság foal ndl mvség máta pdg a loáls lmh ötött oodnátandsbn a övtőéppn íható: Séns Andás BME wwwtanonvtah

288 88 Végslm-móds wwwtanonvtah D Séns Andás BME ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 6 6 m m m m m m m m m m K 6 ahol a gs almáto m j ~ a -d és j-d csomópontho tatoó mvség mát omponnst jlnt A mát fölött lévő hllámjl a loáls oodnáta-nds a flső nd m pdg a mmbánlm tal A végslms gnlt thát: ~ ~ ~ m m m K 6 ahol a lnás háomsöglm csomópont lmodlás- és thvtoa oncntált ő stén: 6 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ v v v m 6 6 ~ m c ahol a loáls tnglll páthamos v a tnglll páhamos lmodlás A lmodlásvtooban a loáls jllmőt sntén hllámjl alapján aonosíthatj A thvtoo stén a loáls ndsbn sbtűvl ít -vl fogj aonosítan a omponnst E a mgülönböttés ddg nm volt süség hsn a ddg gsű példánál a loáls nds mggtt a globálssal A och-fél lmlmn ld 5 ába mndn csomópontjában háom sabadság fo van a mvség mát thát lnc sot és lnc oslopot tatalma: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 6 6 h h h h h h h h h h K 6 ahol a flső h nd a hajlított lm tal A och-fél háomsög lmlm csomópont lmodlás és thvtoa oncntált ő stén a loáls oodnáta-ndsbn:

289 6 ébl véonfalú héja modllés 89 Séns Andás BME wwwtanonvtah 9 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ w w w h 65 9 ~ h c M M M M M M A ombnált lmt és sabadság foat a 6 ába mtatja A mvség máto ombnálásánál a övtőt ll fglmb vnn []: a s lmodláso stén a mmbán és hajlító mvség nm apcsolódna öss függtln b a loáls - síban töténő fogás nm süségs gtln lmml töténő modllésnél vsont ha több lmt apcsoln öss lltv a síhéj-lmt más lmtípsoal apcsolj öss ao fglmb ll vnn -t valamnt a hoá tatoó oncntált M nomatéot s 6 ába A lnás símmbán háomsög és a och-fél hajlított háomsöglm ombnácója A ombnált lm csomópont lmodlásana vtoa thát a loáls ndsbn: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 8 w v w v w v h m 66 A thvto pdg oncntált th stén: ~ 8 h m c M M M M M M M M M 67

290 9 Végslm-móds Enn mgfllőn a síhéj-lm mvség máta a övtőéppn épül fl []: ~ m ~ m ~ m ~ h ~ h ~ h ~ m ~ m ~ m ~ mh K = ~ h 88 ~ h ~ h ~ m ~ m ~ m ~ h ~ h ~ h 68 A fnt mvség mát thát a loáls oodnáta-ndsbn événs Mgjgü úja hog a flső hllámjl mndnhol t jl ébl st végslm analísénél a lm ontácója s ülönböő ét mndn gs lm vég ll hajtan a globáls oodnáta-ndsb való tansfomácót A globáls oodnáta-ndsbn étlmtt mnnség a hllámjl nélül lsn A lm vonatoó mvség mát tansfomácóját a övtő össfüggés íja l: mh ~ mh K K ahol a 8 8-as tansfomácós mát: 6 és: wwwtanonvtah D Séns Andás BME

291 6 ébl véonfalú héja modllés 9 Séns Andás BME wwwtanonvtah 6 A mát a loáls oodnáta-nds és bás-gségvtoat ld 6 ába oslopvtoént tatalmaa a globáls oodnáta-ndsbn flíva: Z Z Z Y Y Y X X X 6 A mát tlajdonéppn a loáls és globáls tngl öött sög ánosnsat tatalmaa Eg ttsőlgs A vtoa a ánosnso dfncója a 6 ába alapján []: cos A A A A l 6 cos A A A A m cos A A A A n 6 ába Eg ttsőlgs A vto ánosnsa Mvl a és básvtoo gségvtoo ét nm nhé blátn hog ao omponns mag a ánosnso A st mvség mát össállításáho a loáls oodnátandsbn sámított mnnségt át ll tansfomáln a globáls nd-

292 9 Végslm-móds sb A globáls ndsb áttansfomált csomópont lmodlás- és thvtoo a övtő: mh mh ~ 6 mh ~ mh Héjst stén a lggaobb thlés a állandó p nomás aml a síhéj lm flülté mőlgs aa loálsan ánú Eo fltétlhtőn mmbánállapot alal íg a csomópont thvto []: A ~ mh p p 65 ahol A a háomsög tült Ha a flült nomás nm állandó d a váltoása a lm tültén cs ao még lht a fnt vtot hasnáln d a p hlé a nomás csomópont étéből sámított átlagot célsű ín: p p p p 66 Végül össfoglalj a végslms gnltt A loáls ndsbn a hllámjlll llátott mnnség événs aa: ~ K mh ~ mh ~ mh 67 A tansfomácós mát sgítségévl a 67 gnltt a globáls XYZ ndsb tansfomálj: K mh mh mh 68 ahol a globáls oodnáta-ndsbn étlmtt mnnségt a 69 és 6 alapján sámítj A gés st vonatoó K mh U mh mh 69 végslms gnlt mgoldása a U m+h vto lm aml a csomópont lmodláso a globáls ndsbn étlmv Ebből lht a gs lm vonatoó globáls m+h vtooat össállítan majd a loáls ndsb tansfomáln a övtő össfüggéssl: mh mh ~ 6 wwwtanonvtah D Séns Andás BME

293 6 ébl véonfalú héja modllés 9 Mvl a tansfomácós mát otogonáls ét és E aa: m h m h ~ 6 Etán a loáls étéből tdj sámítan a mmbánfsültségt és a hajlító génbvétlt A síhéj-lm nag lőn hog a má mglévő lmtípsoho tatoó pogamoból vsonlag gosan össállítható g újabb pogam am jól hasnálható ménö sámításo végésé [] A sámításho csa a mát smté van süség A dmén pontossága függ a lm mététől Sűűbb lmflostást ll alalman ott ahol a flült göbült nagobb vag ahol a fsültség váható váltoása jlntősbb A sámítás váható hbája nagobb a pm és vágáso lltv a ülönböő típsú flült csatlaoás öntébn éün mg g gsű példát a móds alalmaásáa! 6 Kdolgoott példa a lnás símmbán és a och-fél hajlított háomsöglm össapcsolásáa Oldj mg a 6 ábán látható héjfladatot! Sámíts a csomópont lmodlásoat acóat a loáls oodnáta-ndsbn majd tansfomálj át aoat a globáls oodnáta-ndsb! 6 ába Háomsög alaú síhéj-lm a loáls és globáls oodnáta-ndsbn a alalmaás példa a síhéj-lm b Adato: a = 8 m b = 5 m t = mm E = GPa = = 6 = 8 p = /m A távolságoat [m]-bn a őt [] fogj bhlttsítn A csomópont oodnátá a loáls oodnáta-ndsbn: csomópont -b/ a b/ Séns Andás BME wwwtanonvtah

294 9 Végslm-móds A csomópont oodnátáat a globáls oodnáta-ndsbn s mgadj Mgjgü hog attól függ hog g adott stbn a adott lm hogan ül bépítés csomópont X [m] Y [m] Z [m] A csomópont lmodláso és thlés vtoa a loáls oodnáta-ndsbn a övtő: m h 8 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ v~ ~ ~ v ~ 6 ~ mh c 8 A mgosló őből sámaó tagot a 5 fjtbn lít ntgáléplt alapján tdj sámítan A och-fél lmlmnél a ülső mgosló ő mnáját adó fjés alapján tdj vssasn a mgfllő tagoat: W ~ pw da ~ 6 Ap p A 6 éplt és a 5 ntgál-gsűsítő éplt alapján apj: 7 / ba /8b 669 /ab / ba 6 /ab / 8b 6 / ba 6 ~ h p p /ba p /b 7 / ba /8b 7 /ab / ba 97 /ab / 8b 69 Mgjgü hog a och-fél háomsög lmlmnél a mgosló őből adódó oncntált th nm ganaoa súllal ostódna sét a gs csomópontoba ahog a thvtoból láts s vsont a ánú ő és ánú nomatéo össgés tán a övtőt apj: ~ h ~ h ~ h p p p pa pab 65 7 wwwtanonvtah D Séns Andás BME

295 6 ébl véonfalú héja modllés 95 Séns Andás BME wwwtanonvtah 5 ~ ~ ~ 8 5 b pa A pa h p h p h p ~ ~ ~ 8 5 pab A a pb h p h p h p aml a ánú dő ő lltv a dő és tngl öül nomatéo A 8 sabadság foú síhéj-lm thvtoa a loáls oodnáta-ndsbn íg: ~ ~ ~ h m p h m c h m p 66 A símmbán háomsöglm mvség máta a 5 fjt sámítása alapján: m ~ m K 67 ahol a smmta matt csa a gmástól függtln tagoat tüntttü fl A och-fél hajlított háomsöglm mvség máta a loáls ndsbn:

296 96 Végslm-móds ~ h K A 68 éplt alapján a ét mát ombnácója: ~ mh K Etán össaj a végslms gnltt a 67 éplt alapján A csomópont lmodláso a gnltnds és 7 gnltből sámolható A mgoldáso: ~ ~ 6 ad 78 ad 6 ~ 87 m v ~ 68 m ~ ~ 98 ad 9 ad wwwtanonvtah D Séns Andás BME

297 6 ébl véonfalú héja modllés 97 v ~ 77 m ~ 8 ad ~ 99 ad A acó a lmodláso smtébn a 9 és 5 gnltből sámolható: Mgjgü hog a 6 dmén a 66 thvto lső oncntált tht tatalmaó és valamnt hog a 6 és 8 omponnsgnlt nm ült flhasnálása mvl a loáls tngl öül fogásoho öthtő amln a loáls ndsbn és a étéü A tljs ővto 6 és 66 sgítségévl pdg: ~ mh Most tansfomálj át a dmént a globáls XYZ oodnáta-ndsb A globáls oodnáta-ndsbn a csomóponto hlvtoa a globáls oodnátá alapján: R m R 5 m R 5 m Séns Andás BME wwwtanonvtah

298 98 Végslm-móds A loáls oodnáta-nds ogójána hlvtoa a globáls ndsbn pdg: 975 R R R 5 m 6 5 A bás-gségvtooat a hlvtoo alapján a globáls ndsbn sámítj a 6 ába alapján: 685 R R R R 875 Hasonlóan a és gségvtoo: 959 R R 66 R R 8 97 R R 688 R R 9659 A básvtoo és 6 alapján a mát thát: Ebből tán össaj a 88-as tansfomácós mátot A 6 6 és 6 éplt sgítségévl a csomópont lmodláso a globáls oodnáta-ndsbn: v w 68 ad 85 ad 5 ad 66 m v 75 m w 88 m 5 ad 958 ad 5 ad wwwtanonvtah D Séns Andás BME

299 6 ébl véonfalú héja modllés m v 7 m m w 8 ad 587 ad 7797 ad átható hog bá a loáls oodnáta-ndsbn a öül fogáso nllá a globáls oodnátandsbn a tansfomácó matt Z öül fogáso s létn A csomópont thlés pdg a övtő lsn: X 886 Y 77 Z M X 6 m M Y 8859 m M Z 68 m X 9769 Y 575 Z 98 M X 87 m M Y 55 m M Z 7856 m 765 X Y 77 Z 79 M X 99 m M Y 965 m M Z 98 m A globáls ndsbn thát Z tngl öül hajlítónomatéo s ébdn aml tlajdonéppn a loáls és tngl öül hajlítónomatéo Z- ső vtült A fnt mgoldás móds téglalap alaú lm stén s alalmaható Bblogáfa [] Sngs S Rao h fnt lmnt mthod n ngnng foth dton Elsv Scnc & chnolog Boos [] Bojtá Im Vöös Gábo A végslm-móds alalmaása lm- és héjst Műsa Könvadó 986 Bdapst [] Klas-Jügn Bath nt lmnt pocds Pntc Hall Upp Saddl Rv 996 w Js 758 [] P Ch Cho cholas J Pagano Elastct nso dadc and ngnng appoachs D Van ostand Compan Inc 967 Pncton w Js oonto ondon Séns Andás BME wwwtanonvtah

300 7 EGYSZER ÉS KÉSZER GÖRBÜ HÉJAK MODEEZÉSE VÉGESEEM-MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE 7 Göbült héjlm A göbült héjlm alalmasa a öépflült gomtájána pontosabb modllésé Egs flült példál öhng stén a dt flült pontos övtését s jlntht Bonolltabb stbn a flült göbültét a lmodlás-oodnátáho hasonlóan básfüggvénl ölítjü Iln étlmbn a lm s a n paamts lm öé tatona [] 7 Véon öhng-héjlm A véon öhng-héjlm a 7 ábán látható A tchna héjlmélt alapgnltn mgfllőn a öhng flült gomta jllmő a övtő []: q H R 7 q H R R R 7 ába Véon öhng-héjlm paamét A v és w lmodlás-omponns mlltt a tchna héjlmélt gomta gnltt a 69 és 7 éplt alapján átíva apj a söglfodlásoa hog: w 7 w R H wwwtanonvtah Séns Andás BME

301 7 Egs és éts göbült héja modllés Séns Andás BME wwwtanonvtah w v R w H R v Rv R A alaváltoás jllmőt sntén sámítj a öhng flült jllmő alapján ld 67 éplt: w R v H H H H 7 w R w R H H H v H v R H v H H H H H w H H H H w v R H H H H v w R R R H H H H H H A lm hat sabadságfoú tébl mv tst-sű mogását líó lmodlás vtomő a övtő alaban íható []: sn cos cos R a R a a 7 cos sn cos cos cos sn 6 5 a a R a a a v sn cos cos sn sn cos 6 5 a a R a a a w Mát fomában íva: 75 ahol:

302 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME w v 76 sn cos cos sn sn cos cos sn cos cos cos sn sn cos cos R R R R 6 5 a a a a a a ahol a mv tst-sű mogásoho tatoó básfüggvén máta pdg a smtln güttható vtoa A tljs lmodlásmőt a mv tst-sű mogáso és a alaváltoást ooó dfomácó össgént állítj lő: w v 77 ahol: w v 78 a a a a a v a a a a a a a a a a a a a w Mát fomában íva: 79 ahol a dfomácót ooó mogásoho tatoó básfüggvén máta: 7 pdg a smtln güttható vtoa:

303 7 Egs és éts göbült héja modllés a 7 a 8 a 6 a 9 a a 7 a a 8 a a 9 a a a a a a 5 a a 7 A fnt fjésbn smtln güttható van Mghatáoásho lmodlás paamét süségs lgn a övtő: ~ ~ ~ ~ ~ v w ~ v~ w~ ~ ~ w~ ~ ~ w~ v~ w~ ~ ~ v~ w~ ~ ~ w~ ~ w~ 7 aa mndn csomópontban lhtségs a básvtoo ánába töténő mogás a és básvtoo öül fogás a hatod csomópont sabadságfona pdg a stánú w dváltat válastj A öhng héjlm dfomácóját líó sabadság foo thát 7 és 77 alapján: v v v w w w 7 w a 9 a a cos a a sn a a a a a 5 a 6 a a 7 v w ar a a R R a a a a w 9 a a sn a cos a a 6a a 6 6a a a 7 a a a a 9a a 9 6 a A a = paamét mghatáoásáho süségs fltétl: / ~ / / ~ / ~ v / v~ v / v 7 a ~ 7 ~ v / v~ v / v~ w / w~ ~ w / w w w~ w / w~ / 8 Séns Andás BME wwwtanonvtah

304 Végslm-móds ~ / ~ / ~ ~ / / ~ ~ / / ~ ~ / / w w ~ w ~ / w / w ~ w ~ / w / w A csomópont lmodláso vtoát hasonlóan a 5 fjtbn bmtatott lmlmh flíhatj a övtőéppn []: ~ M A 75 ahol a A vto a és vtoo lmt tatalmaa gmás tán aa: A a a a a a a a a 5 5 a a 6 6 a 7 a 7 a 8 a 8 a 9 a 9 a a a a a a a a 76 A ntpolácós polnomo gütthatót M nvtálásával hatáo mg: A M ~ 77 A gütthatóa nagon hossú fjést apn ét aoat tt nm ööljü Aal a ölítéssl élv hog a söglfodlás ölítőlg és a alaváltoás jllmőt a övtőéppn íhatj: w v 78 R R w v w w v R R A alaváltoás jllmőt ét és bontj: fajlagos núlásoa és sögváltoása valamnt göbült Íg íhatj hog: wwwtanonvtah Séns Andás BME

305 7 Egs és éts göbült héja modllés 5 Séns Andás BME wwwtanonvtah A R A R 79 ahol a R és R máto a lmodlásfüggvén dváltja alapján: cos sn sn cos cos sn sn cos cos sn R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R cos sn 6 R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R 7 A mvség mát és a ülső őből adódó thvto sámításáho flíj a tljs potncált g végs lm a övtő fomában Mgjgü hog tt csa a alaváltoás ngát és a mgosló ő mnáját adt mg: A p V da p dv 7 A lnásan galmas anag tövén: C 7 ahol a lmh hasonlóan sífsültség állapotot fltétlün aa sf C C lhasnálva a 77 és 79 épltt apj hog:

306 6 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME B M R A R ~ ~ 7 M R B CB C ~ valamnt: B M R A R ~ 75 M R B CB C ~ A lmodlásmő pdg 77 alapján: M A ~ 76 ahol: 77 7 a élőből 75 a élnomatéoból adód A tljs potncáls nga íg: p A V V da p M dv C dv C ~ 78 mlt tovább ndv apj: ~ ~ ~ ~ ~ / / / / / / d d R p M d d B R C B t d d R B C B t 79 Mg ll jgn hog a 79-s össfüggésbn nncs bnn a oncntált thlés mnája aa a végslms gnltbn a oncntált thlés vtoát még ülön lő ll állítan E aonban a csomópont sabadságfoo alapján gsűn flíható a övtőéppn: ~ c M M M M M M M M M M M M 7 amvl a tljs potncáls ngát s gésíthtjü:

307 7 Egs és éts göbült héja modllés 7 ~ ~ ~ ~ ~ ~ K p c 7 7-bn K ~ a lm sntű mvség mát a loáls oodnáta-ndsbn: ~ K / / t t B C B B C B R d d 7 A mgosló őből adódó thvto: ~ p / / M p R d d 7 Végül a má jól smt végslms gnlt a loáls ndsbn: ~ K ~ ~ 7 aml g lm stén alalmaható A globáls ndsbn a gnlt tansfomácó sgítségévl íható fl öbb lmből álló st stén st gnlt van süség aml fomalag mgg a 86-os gnlttl A véon öhng-héjlm lőn hog a hngs st gomtáját pontosan íja l által sbb lmsám mlltt s pontos dmént ad 7 ogássmmts héjfladato úpos héjlm A fogáshéja öépflült fogásflült aml a ún mdángöb álló tngl öül fogatásával jön lét [] E mtat példát a 7 ába 7 ába ogássmmts héj Séns Andás BME wwwtanonvtah

308 8 Végslm-móds A flültn a mdángöbé és a á mőlgs övonala a főgöbült vonala Ha a st thlés s fogássmmts ao a ln típsú fladatonál a lmodlásmő csa a mdángöb ívhossána függvén A mdángöbét gns saasoal modllhtjü íg a dt héjstt úpos héjlml ölítjü A 7 ábán látható úpos héjlm gomta jllmő a tchna héjlmélt gnlt snt: q s H R 75 q H R cos ahol s a ívhoss a sögoodnáta a P pont sgaa a úp fél nílássög A alaváltoás jllmő sámításáho süség van a s apcsolata am a 7 ába alapján: d s ssn és sn 76 ds 7 ába ogássmmts úpos héjlm és csomópont paamét A tchna héjlmélt és 7 éplt alapján a alaváltoás jllmő: 77 s w s s s sn wcos sn s w ss w s A P pont éntőánú lmodlása v = a fogássmmta matt A lm lhtségs mvtst-sű mogása a Z ánú d étéű lmodlás amh = -dcos és w = dsn lmodláso tatona ld 7 ába Eg csomópontban háom sabadság foot vsün wwwtanonvtah Séns Andás BME

309 7 Egs és éts göbült héja modllés 9 Séns Andás BME wwwtanonvtah fglmb: mdán ánú lmodlás w mdángöbé mőlgs ánú lmodlás és s a mdángöbé mőlgs án öül fogás a 7 ába snt aa a lm hat sabadság foú A mdán ánú lmodlást lnás a nomáls ánú lmodlást hamadfoú függvénnl ntpolálj a ívoodnáta függvénébn: s s s s w 78 ahol a smtln güttható vtoa: 6 5 a a a a a a 79 A csomópont lmodláso vtoa: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ s s w w 7 A smtln mghatáoásáho süségs fltétl: ~ s a a s ~ w s a s a s a a s w 6 5 ~ s s s a s a a s ~ s a a s 6 5 ~ w s a s a s a a s w 6 5 ~ s s s a s a a s A mgoldáso a gütthatóa ssé bonollt épltt adna ét aoat tt nm ööljü A lmodlásfüggvén flíható a övtőéppn s: ~ ~ s ~ ~ ~ ~ s s w w s w ahol = 6 ntpolácós függvén: s s s s s s s s 7

310 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME s s s s s s s s s s s s s 5 s s s s s s s 6 s s s s s s és: w ~ ~ A alaváltoás jllmőt sámítva és mátba foglalva a övtőt apj: s B 75 ahol a alaváltoás-lmodlás mát: s s B cos cos sn cos cos sn A göbültt s fjü mát fomában: s H ~ 77 ahol: s s s s s s s s H sn sn sn sn 78 A anagtövén alapján a fsültség: CB C ~ 79 CH C ~

311 7 Egs és éts göbült héja modllés Séns Andás BME wwwtanonvtah Mvl mnd a fajlagos núláso mnd a göbült vtoa csa étlmű ét a onstttív mát s gsűsöd: E C 75 A tljs potncálba t btév hasonlóan a öhng-héjlmh a mvség mát a loáls oodnáta-ndsbn: l s s ds s H C H t B C B t ds H C H t B C B t K sn ~ 75 Itt fglmb vttü hog s = és s = l és íg = ssn A mvség mát gat sámítása lég bonollt ét a végslm pogamoban nmsan pl a fjtbn bmtatott Gass-fél sabál alalmaásával sotá sámítan a lmt A thvto tt s ét tagból állítható lő A oncntált thlés a gs sabadság foo alapján a övtő: ~ M M n s n s c 75 ahol a oncntált őt M a s lfodlással aonos ánú oncntált nomatéot jlöl A mgosló őből adódó thvto a ő mnájából sámolható: p l n s l n s ds p p ds w p p W ~ ~ ~ 75 thát: l n s p ds s p p sn ~ 75 glmb vév hog lsn = - valamnt fltétlv hog p s és p n s állandó a övtőt apj:

312 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME 7 7 ~ l p l p l p l p l p l p n n s n n s p 755 A loáls oodnátandsbn a csomópont lmodlásoat és a acóat a soásos: K ~ ~ ~ 756 gnltből hatáohatj mg ahol: p c ~ ~ ~ 757 öbb lm stén a 86 st gnlt van süség Mvl a lm nm éntőlgsn csatlaona ét több lm össapcsolásao a flült loáls oodnátandsbn étlmtt lmodlás-oodnátáat a globáls Z hosstnglű hngoodnáta-ndsb ll tansfomáln A tansfomácó a 7 ába alapján: w w s s ~ ~ ~ ~ cos sn sn cos 758 A mvség mát tansfomácója alapján: K K ~ 759 ahol: 76 g otogonáls tansfomácós mát A thvto tansfomáltja: ~ 76

313 7 Egs és éts göbült héja modllés A végslms gnlt a globáls ndsbn g lm: K 76 valamnt a gés st: KU 76 A végslms saodalomban géb pl göbült fogássmmts héjlm s mgtalálható [56] aml hasonlóan műödn a úpos héjlmh 7 Vastagfalú héjlm A háomdmnós fladato mgoldásáa a tébl SOID típsú lmt s alalmahatj A 7 ábán g csomópontos opaamts lm látható A opaamts lmnél a gomtát és a lmodlásmőt ganaoal a ntpolácós függvénl íjá l [5]: v w v 76 w 7 ába Másodfoú háom- és étdmnós lm A vastaghéj-lmt nn mntájáa épü ötjü hog a opaamts lm öépflült mőlgs oldala lgn gns vags a lépés bbn a ánban lnás Íg a lmt a = öépflültn lévő 8 csomópont hatáoa mg Ahog a a 7 ábán látható a básvtoo ána pontól ponta válto ét a csomópont sosámot a ndbn fogj jlöln A vastaghéj-lm öépflültén lévő ponto oodnátá: Séns Andás BME wwwtanonvtah

314 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME n t ahol n a öépflült csomópont nomáls gségvtoána oslopmáta t a falvastagság a adott csomópontban pdg a ntpolácós függvén A ntpolácós függvén mggn a vadats opaamts símmbán lm függvénvl ld fjt A ntpolácós függvén tömö vag más névn ompat fomája: = = 6 8 ahol és a csomóponto loáls oodnátá A öépflültn a és oodnátavonala nm otogonálsa ét a básvtooat a övtő épltből sámítj : R R R R n R R n 767 A csomópont lmodlás paamét a v w lmodláso és a és söglfodláso Íg nolc csomópont stén a lm sabadság foú A n vto flíható a söglfodláso és a básvtoo sgítségévl: n ~ ~ 768 am a níás dfomácóból adódó pls söglfodláso és által a és v növménét ooó tag Íg a lmodlásmő éplt a opaamts lvn mgfllőn: ~ ~ ~ ~ ~ 8 8 t w v w v 769 A lm mvség mátána sámításáho íj fl a alaváltoás és lmodlás apcsolatát A lmodlás paamét loáls oodnátá snt dváltja: t t t t t t 8 ~ ~ ~ ] [ ] [ ] [ 77

315 7 Egs és éts göbült héja modllés 5 Séns Andás BME wwwtanonvtah A más ét lmodlásomponns stén hasonló gnltt apn A tovább sámításoho süség van a Jacob máta és anna dtmnánsáa [5]: J és: J 77 A Jacob mát lm a 765 fjés alapján flíható A globáls oodnátandsbn a lmodlásomponns dváltja íg má sntén flíható Példál a omponns dváltja mát fomában: J J J J J J J J J 77 ahol a J j - a nv Jacob mát lm A 77 gnlt alapján a övtőt apj: ~ ~ ~ ~ ~ ~ 8 8 g g G J J J t J J J t J J 77 ahol: J J J G 77 és: t g t g 775 A más ét dváltat alapján flíva:

316 6 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME ~ ~ ~ ~ ~ ~ 8 8 g g G J J J t J J J t J J 776 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 8 8 g g G J J J t J J J t J J ahol: J J J G 777 J J J G Mát fomában íva: g G g G g G g G g G g G A más ét omponns dváltja hasonló módon lőállítható A dválta alapján tán sámítj a B mátot am a alaváltoás jllmő és a csomópont paamét öött apcsolatot adja mg: ~ B ~ 779 ahol ~ a csomópont paamét vtoa a loáls oodnáta-ndsbn A alaváltoás jllmő és a fsültség vtoa a globáls ndsbn: 78 A loáls ndsbn a Hoo-tövén jól smt fomája:

317 7 Egs és éts göbült héja modllés 7 ~ C ~ 78 ahol C a galmasság állandó máta: E C 78 A fnt mát a övtőbn té l a általános tébl sth épst A öépflült mőlgs fsültség so oslop és Mvl vastag héjlmől van só ét a lm a vastagság mnt níófsültség hatását s fglmb vs d csa mnt átlagétét A 5 so 5 oslop valamnt a 6 so 6 oslop lmnél a = 5/6 g níás ocós fato [5] Enn oa hog a valóságban a níófsültség fltétlhtőn paabols loslásúa és nm állandó mnt ahog a héjmodllbn t fglmb vssü A ocós ténő a étfél loslásho tatoó alaváltoás ngá vsona ansfomálj át a loáls fsültség és alaváltoás vtooat a globáls ndsb A fsültség és alaváltoás jllmő tansfomácója alapján flíható a övtő: ~ ~ 78 ~ ~ ahol a tansfomácós mát tébl fsültség és alaváltoás állapota nn sámítása a 6-s éplt sgítségévl lhtségs 78-at vssatév a Hoo-tövénb: C 78 Mgsoova a össfüggést -l: C 785 Mvl otogonáls mát ét: E és aa: C 786 A tansfomácós mát []: Séns Andás BME wwwtanonvtah

318 8 Végslm-móds wwwtanonvtah Séns Andás BME l n l n n m n m m l m l n n m m l l l n l n n m n m m l m l n n m m l l l n l n n m n m m l m l n n m m l l l n n m m l n m l l n n m m l n m l l n n m m l n m l 787 ahol a l m és n paamét a bás-gségvtoo ánosnsa a adott pontban [7]: cos l cos j m cos n 788 cos l cos j m cos n cos l cos j m cos n A tansfomácós mátot ll sámítan a csomópontoban valamnt a nms ntgálás matt a ntgálás pontoban s A mvség mát a globáls oodnátandsbn a 57 éplt alapján sámítható: V V d d BJd C B BdV C B K 789 ahol J a Jacob dtmnáns aml 765 és 77 alapján sámolható A thvto sámításáho a lmodlásmőt íj fl a övtő fomában: ~ 79 ahol a ntpolácós polnomo máta E alapján a téfogat flült és vonal mnt ő vtoa a loáls oodnáta-ndsbn: V b V b b d d Jd p dv p ~ 79 A p A p p d Jd p da p ~ S l l ds p ~ amlt a 6 fjtbn bmtatott tansfomácóho hasonlóan ll a globáls ndsbn flín A csomópontoban oncntált ő s műödhtn nn vtoa hasonlóan

319 7 Egs és éts göbült héja modllés 9 Séns Andás BME wwwtanonvtah flíható mnt a lmlmnél A magas csomópont sám matt tt t nm ööljü Végül a végslms gnsúl gnlt g lm a má jól smt fomában íható fl: K 79 ahol a téfogat flült vonal mnt és oncntált thlés vtoána össgént sámítandó Végül a st gnlt: U K Átmnt lm héjlm és tébl lm össapcsolásáho Össttt stnél süség lht tébl és vastag héjlm gdjű hasnálatáa s E övtlnül nm csatlaotatható mt a csomópont sabadságfoo nm aonosa Iln stbn lht süség a tébl és vastag héjlm öött átmnt lm [5] Eg vadats átmnt lmt mtat a 75 ába ahol a -8 csomóponto a tébl oldalon a - csomóponto pdg a vastag héj oldalán hldn l 75 ába Átmnt lm héjlm tébl lm és össapcsolásáho A lm gomtáját líó függvén a övtő: n t A = 8 ndh tatoó básfüggvén a 76-l mgadott tébl SOID lm a = 9 ndh tatoó básfüggvén pdg a 765-l mgadott vastag héjlm mgfllő básfüggvén lsn A íg össállított függvénnds tljsít a övtő fltétlt []:

320 Végslm-móds ha j j j j ha j ha j j j ha j ahol j j és j a csomópont oodnátá a loáls ndsbn Hasonlóan a vastag héjlmh a lmodlásmő éplt: v w 8 ~ v~ w~ ~ ~ v w~ ~ t ~ A -8 csomópontoho háom a 9- csomópontoho öt sabadság fo tato A lm thát össsn 9 sabadság foú A tovább sámításo a vastag héjlmnél líta alapján véghtő l Bblogáfa [] Bojtá Im Vöös Gábo A végslm-móds alalmaása lm- és héjst Műsa Könvadó 986 Bdapst [] Vöös Gábo Alalmaott mchana lőadáso 978 I félév Bdapst Műsa és Gadaságtdomán Egtm Gépésménö Ka Műsa Mchana ansé [] Sngs S Rao h fnt lmnt mthod n ngnng foth dton Elsv Scnc & chnolog Boos [] Klas-Jügn Bath nt lmnt pocds Pntc Hall Upp Saddl Rv 996 w Js 758 [5] homas J Hghs h fnt lmnt mthod na statc and dnamc fnt lmnt analss Pntc Hall Inc A dvson of Smon & Schst Englwood Clffs 987 w Js 76 [6] OC Znwc R alo h fnt lmnt mthod ffth dton Volm : Sold mchancs Bttwoth-Hnmann Ofod Acland Boston Johannsbg Mlbon w Dlh [7] P Ch Cho cholas J Pagano Elastct nso dadc and ngnng appoachs D Van ostand Compan Inc 967 Pncton w Js oonto ondon wwwtanonvtah Séns Andás BME

321 8 ÉRBEI EADAOK VIZSGÁAA VÉGESEEM- MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE D-S EEMEK BEMUAÁSA Eg st vag tst gomtája so stbn nm modllhtő vonalént vag flültént o tstént ll modllnün Eg ln tst gomtája csa D-s lml ölíthtő úg hog n lljn lhanagoln léngs ésltt Bonollt gomta lőfodl gsűbb stnél s Példál amo g hgsttt údstt modllün ao hasnálhatn gndalmt am a da fsültségállapotát éps modlln Ha a csomópontoban a da csatlaoás pontjána fsültségállapotát s modlln aaj ao héjmodllt ll alalmann Ha a hgstés vaatoat s vsgálj ao tstmodllt alalman méstsn a ésltsbb modllés a csomóponto és l gütt a sámításo mnnségét s jlntősn növl A D-s lm lhtn haéd ttaéd tábban pntaéd a haédből éphtő lső- másod- vag magasabb foú alafüggvénl líható típsa 8 Haéd lm A haéd lmt ét gség élhossúságú ocáa épü l Attól függőn hog mln fosámú polnommal aaj a alaot lín 8 csomópontú lmt alalman C c c b - - C b C - a a C 8 ába: Haéd lm loáls oodnátands Oldal István SZIE wwwtanonvtah

322 Végslm-móds A loáls oodnátandst a globáls oodnátából és a lm ho lét amln oodnátá: a b c élhossaból C 8 a C és b 8 C 8 c Eo a dválta: d d 8 a d d és b 85 d d 86 c 8 8 csomópontú haéd lm 8 ába: 8 csomópontú haéd lm és a léptt oca Ha a modlln ívánt tst gomtáját lnás haédl íj l ao 8 csomópontú lmt alalman A lm alaját a wwwtanonvtah Oldal István SZIE

323 8 D-s lm bmtatása 87 és össfüggésl ölítjü ahol a jlű csomópontho tatoó alafüggvén: 8 8 ahol a jlű csomópont loáls oodnátá A alafüggvén globáls és loáls dváltja öt a J Jacob-mát íja l a apcsolatot: lo J glob ahol 8 J 8 A alafüggvén a gnlth hasonló ntpolácós függvén Aoat flhasnálhatj a lm lmodlásána ölítésé íg nm ll bvtün új ntpolácós függvént hanm nolc csomópontú haéd lm stén a 8 alafüggvént hasnálj v v w w A íg lít lmt opaamts lmn nvü Oldal István SZIE wwwtanonvtah

324 Végslm-móds 8 csomópontú haéd lm 8 ába: csomópontú haéd lm és a léptt oca Ha a modlln ívánt tst gomtáját másodfoú haédl íj l ao csomópontú lmt alalman A lm alaját a és össfüggésl ölítjü ahol a csomópontho tatoó alafüggvén csomópontú oca stébn mg ll ülönböttnün a saoban lévő csomóponto és a él öpén lévő csomópontoat A saoban lévő csomóponto stébn a alafüggvén: 8 8 ahol a saopont loáls oodnátá A él öpén lévő csomóponto stébn a alafüggvén ha ao 8 wwwtanonvtah Oldal István SZIE

325 8 D-s lm bmtatása 5 Ha ao 85 Ha ao 86 ahol a élöéppont loáls oodnátá Hasonlóan a 8 csomópontú lmh a alafüggvén globáls és loáls dváltja öt a J Jacob-mát íja l a apcsolatot: lo J glob J ahol Ha a 8-86 alafüggvént hasnálj a hús csomópontú haéd lm lmodlásána ölítésé s ao a lmt opaamts lmn nvü 8 csomópontú haéd lm 8 ába: csomópontú haéd lm és a léptt oca Ha a modlln ívánt tst gomtáját hamadfoú haédl íj l ao csomópontú lmt alalman A lm alaját a Oldal István SZIE wwwtanonvtah

326 6 Végslm-móds és össfüggésl ölítjü ahol a csomópontho tatoó alafüggvén csomópontú oca stébn mg ll ülönböttnün a saoban lévő csomóponto és a él mntén lévő csomópontoat A saoban lévő csomóponto stébn a alafüggvén: ahol a saopont loáls oodnátá A él hamadoló pontjaban a alafüggvén ha ao Ha ao Ha ao ahol a jlű élmnt csomópont loáls oodnátá Hasonlóan a lőőh a alafüggvén globáls és loáls dváltja öt a J Jacobmát íja l a apcsolatot: lo J glob ahol wwwtanonvtah Oldal István SZIE

327 8 D-s lm bmtatása 7 J Ha a 87-8 alafüggvént hasnálj a hamncét csomópontú haéd lm lmodlásána ölítésé ao a lmt opaamts lmn nvü 8 Pntaéd lm Pntaéd lm öül a pma és a gúla típsú fodl lő végslm alalmaásoban ahol a haéd dgnácójával anna alapján líható 8 taéd lm taéd lmnél a alafüggvént étfél loáls oodnátandsbn lht dfnáln: gségn élhossúságú ttaédt alotó oodnátandsbn és téfogat oodnátandsbn tóbbt alalmaa pl a ASYS Mndét líást smttjü A lső stbn a ttaéd g saát jlöljü a loáls oodnátands dőpontjána 85 ába c A b A a 85 ába: taéd gségn élhossúságú loáls oodnátands Ebből a pontból ndló a b c élhossa sgítségévl a loáls oodnátá: A 8 a Oldal István SZIE wwwtanonvtah

328 8 Végslm-móds A és b 8 A 8 c éfogat oodnátandst a övtő gnltndsl dfnálj: 8 A g blső pont globáls oodnátá a saoponto globáls oodnátá a téfogat oodnátá Mgoldva a 8 gnltndst a téfogat oodnátá: a b c d 6V a b c d 6V a b c d 6V a b c 6V d ahol a d onstanso V a ttaéd téfogata A össfüggés átalaításával a gs oodnátá g ttaédn blül P ponta mgaphatóa ha a P pontból ndlva nég ttaéd ostj fl a dt tstt wwwtanonvtah Oldal István SZIE

329 8 D-s lm bmtatása 9 P P P P 86 ába: taéd flostása téfogat oodnátáho Eo P gs saoho tatoó téfogat oodnátá a adott saoal smbn lévő s ttaéd és a dt ttaéd téfogatána hánadosaént adódna 86 ába: V P V V P V V P V V P V 85 Oldal István SZIE wwwtanonvtah

330 Végslm-móds 8 csomópontú ttaéd lm 87 ába: csomópontú ttaéd lm és lépés oodnátáa Ha a modlln ívánt tst gomtáját lnás ttaédl íj l ao csomópontú lmt alalman A lm alaját a oodnátandsbn: és össfüggésl ölítjü ahol a jlű csomópontho tatoó alafüggvén: éfogat oodnátandsbn a alaot: wwwtanonvtah Oldal István SZIE

331 8 D-s lm bmtatása és össfüggésl ölítjü ahol a jlű csomópontho tatoó alafüggvén: csomópontú ttaéd lm 88 ába: csomópontú ttaéd lm és lépés oodnátáa Ha a modlln ívánt tst gomtáját másodfoú ttaédl íj l ao csomópontú lmt alalman A lm alaját a oodnátandsbn: és Oldal István SZIE wwwtanonvtah

332 Végslm-móds össfüggésl ölítjü ahol a csomópontho tatoó alafüggvén saoban: Él öpén lévő csomópontoban: éfogat oodnátandsbn a alaot: és össfüggésl ölítjü ahol a jlű csomópontho tatoó alafüggvén Saopontoban a alafüggvén: wwwtanonvtah Oldal István SZIE

333 8 D-s lm bmtatása Élöépn: Ebbn a stbn má látható a téfogat oodnátands lőn ahol a alafüggvén fomalag gsűbb és gmásho hasonlóa Oldal István SZIE wwwtanonvtah

334 Végslm-móds 8 csomópontú ttaéd lm ába: csomópontú ttaéd lm Ha a modlln ívánt tst gomtáját hamadfoú ttaédl íj l ao csomópontú lmt alalman A gsűbb foma matt tt má csa a téfogat oodnátandsbn töténő líását mtatj b éfogat oodnátandsbn a alaot: és össfüggésl ölítjü ahol a csomópontho tatoó alafüggvén Saopontoban a alafüggvén: wwwtanonvtah Oldal István SZIE

335 8 D-s lm bmtatása 5 Élöépn: apöépn: Hachs alafüggvén A magasabb ndű lm stébn alalmahatóa a hachs alafüggvén aml a saoban dt fosámúa d a él vag lap mntén alacsonabb fosámú függvénből épüln fl 8 Mvség mát és csomópont thlés lőállítása 8 Gass-fél nms ntgálás A végslm-módsl töténő poblémamgoldásho süség van a mvség gnltt lmn mvség mát csomópont thlésvtoo lőállításáa Et ntgálással állítj lő a 5 fjtbn bmtatott módon A ntgáloat gaan nm lht át ala- Oldal István SZIE wwwtanonvtah

336 6 Végslm-móds ban lőállítan ét nms ntgálást ll alalmann A Gass-fél nms ntg- függvén sté: álás V téfogaton étlmtt háom dmnós dv ddd w wjw j V j ahol: w wj w j : súlfatoo : Gass fél oodnátá Ha loáls oodnátáa áttéün ao: ddd dt J ddd j j WW W dt J j j ahol: W W W : Gass fél súlfatoo j j : Gass fél loáls oodnátá J : Jacob-mát 8 D-s lm mvség mátána lőállítása A mvség mátot opaamts lm stébn a alafüggvénl állítj lő: K V B CB dv ahol a B gn függvén: B CB ao g haéd lm mvség máta: K V dv dt J ddd wwwtanonvtah Oldal István SZIE

337 8 D-s lm bmtatása 7 j WW W dt J j j 8 Csomópont thlés lőállítása téfogat thlésből j A csomópont thlést a téfogat és a flült thlésből sámítj snt a téfogat thlésből: f q q V q dv Bvtv f q q függvént: g haéd lm téfogat thlésből sámított csomópont thlés: q V f q j dv f dt J ddd WW W dt J j q f j 8 Csomópont thlés lőállítása flült thlésből 5 snt a flült thlésből: p A p p da q j a a a j 8 ába: lült nomáls mghatáoása Oldal István SZIE wwwtanonvtah

338 8 Végslm-móds A oodnátájú flült g ttsőlgs pontjában a és a éntő mghatáohatóa: a és a E smtébn a flült nomáls a vto: a a a A alafüggvént lsűítjü a flült: a a Eo a éntő: j Eo a lm flültn a ővto: j a a dd pa dd p da p d A p f p Et a 5-b hlttsítv: Ap p da Bvtv p p f függvént: p a pa dd g haéd lm flült thlésből sámított csomópont thlés: p f dd WW j f j q j q wwwtanonvtah Oldal István SZIE

339 8 D-s lm bmtatása 9 Bblogáfa [] Páclt István Végslm-móds a ménö gaolatban I ött Msolc Egtm Kadó Msolc 999 [] Znwc alo h fnt lmnt mthod fo sold and stctal mchancs McGaw-Hll Ofod 967 Oldal István SZIE wwwtanonvtah

340 9 ÉRBEI EADAOK VIZSGÁAA VÉGESEEM- MÓDSZERE AAPUÓ PROGRAMREDSZEREK SEGÍSÉGÉVE D-S EEMEK AKAMAZÁSA 9 Gomta modll léthoása A tst gomta modllj D-s lm hasnálatao mgg a dt alaal A ma sámítás apactáso mlltt snt bámln bonolltságú össttt st blátható dőn blül mgoldható lnásan galmas anag stata pobléma So stbn aonban fölöslgs a tljs éslts gomta modllés A sámítás gén csönthtő és nmlnás poblémá stébn a fladat mgoldhatóságána s fltétl lht a dt ala módosítása Enn néhán lhtőségét a övtőbn mtatj b ASYS Wobnch pogammal A tst gomtáját étfél módon vhtjü b a pogamba: a végslm softv saját gomta modllő modljával vag D tvősoftvből gomta modll mpotálásával 9 Edt gomta gésítés A gomta modll lésítéso általában nm lgndő csa a tst gomtájána dgtalálása lét ll hon aoat a flültt ahol: thlést énst adn mg hálót aan módosítan dmént aan ábáoln A ésőbbbn csa úg véghtjü l t a művltt ha lét olan flült am hvatohatn A 9 ábán láthatn g példát flült dfnálásáa A dt gomta léthoásao a hng flült össfüggő d tdj hog csa g és ap thlést At a flültt ülön ll válastan mt aa fogn hvaton a ő nomás lmodlás stb mgadásao 9 ába: lült léthoása hngpaláston wwwtanonvtah Oldal István SZIE

341 9 D-s lm alalmaása 9 Él sao modllés A D modll a él sao ltöést lítést tatalmaá Aonban a sámítás gén csöntés édébn édms válastan hog mlt süségs modllnün és mlt nm Általános lvént lmondhatj hog a thltln ésn flslgs vsont a fsültségcsúcso ölébn léngs a éslts modll A 9 ábán fltétlü hog a tngl ét végén vanna a thlés és éns Ebbn a stbn a possal jlölt él ltöésén ésltés csa a modll bonolltságát növl léngs nfomácót nm ad A ölddl jltt flült lítés vsont mghatáoó ls a tstbn ébdő mamáls fsültség íg anna lhagása a fsültségcsúcso sámítását mgbíhatatlanná ts Ennél a modllnél a öld flült lítés sgaát mgadj és a modllbn spl a possal jlölt él ltöését nm ábáolj a modlln saosan hagj 9 ába: Él sao modllés 9 hltln és modllés A tst thltln ést a modlléso lhaghatj Ha tdj hog a 9 ábán látható lépcsős tngl foastott lm g dísítő vag nfomácós táblát fogna csavaon ao anna hatása lhanagolható a fült lhaghatj modllünből Oldal István SZIE wwwtanonvtah

342 Végslm-móds a b 9 ába: hltln és modllés 9 Smmts alatés modllés Smmts tst modlléso hasnálhatj t a tlajdonságot ha a thlés s smmtsa Elgndő a tst flét ttős smmta stén a ngdét modlln 9 ába és a mtstt flültn a mgfllő énst alalman a lhagott és hatásána modllésé E a móds sládság vsgálato stébn jól stabltás és sajátfvnca poblémá stébn olátoottan hasnálható a gss smmta b ttős smmta 9 ába: Smmta tlajdonság hasnálása 9 Végslm-modll léthoása A tst gomtáját lm bontj a flostást a 8 fjtbn bmtatott lmtípso alalmaásával végü A lm bontást hálóásna nvü A hálóást a softv vég l a mgfllő dmén édébn néhán paamétt mg ll adnn vag módosítann a alapbállítást a ét lgfontosabb a lm típsa és mét wwwtanonvtah Oldal István SZIE

343 9 D-s lm alalmaása 9 Hálóás bállítása A lasss softvnél a lmtípst lltt válastan majd a lm métét vag sámát b lltt állítan és csa tán véghtjü l a hálóást A modn softv stébn ha nm állítn b gtln paamétt sm ao s lvéghtő a hálóás Eo a pogam g alapbállítást alalma am g hoávtőlgs sámításho mgfllht a dmén bbn a stbn csa tájéotató jllgűn fogadhatóa l A st döntő többségébn a adott fladata alalmas jó ölítést dménő hálót csa a mgfllő bállításo tán apj mg A övtőbn mgvsgálj a lm típsa és mét bállításana hatását 9 Elmmét hatása A lőő fjtbn bmtatott g végén bfogott g ővl thlt lépcsős tnglt vsgálj ülönböő bállításo mlltt A 95 ábán a alapbállításoal végtü l a hálóást átható hog ttaédl g dva hálót aptn A mamáls dált fsültség été 8MPa 95 ába: VEM háló alapbállítással és a sámított dált fsültség MPa Állíts b a átlagos lmmétt 5mm- a háló fnomabb és a sámított dált fsültség été 55MPa été növs 96 ába: 5mm-s átlagos lmmét és a sámított dált fsültség MPa Oldal István SZIE wwwtanonvtah

344 Végslm-móds A mndét stbn jól látható hog a ts és a átméőváltoásnál van a blső líttt saoban Iln stbn amo smjü a ts tatománt nm édms a tovább hálófnomítást a tljs gomtán lvégn Csöntsü tovább a lmmétt d má csa a ts ésn és vsgálj mg nn hatását A 5mm átlagos lmmét mlltt a ts ésn csöntsü a lmmétt mm- 97 ába: 5mm-s átlagos mm-s lmmét a ts ésnés a sámított dált fsültség MPa A 97 ábán látható hog a tovább lmmét-csöntés smét MPa fsültségnövdést dméntt a sámításoban Amíg a dmén ln één a hálóa addg btosan nm vagn a mgoldás ölébn ét tovább csöntjü a lmmétt mm a ts ésn A tovább hálófnomítás má nm ooott jlntős váltoást a dménbn thát a mgoldásn d onvgáln A mgoldást mgölítttü a tovább hálófnomítás má nm oo sámottvő váltoást a dménbn Mgjgü hog a lmmétt mgfltü am a lmsám hatvánoott növdését jlnt Háom dmnóban öl g nagságnddl mgnövl a lmsámot a ts ésn Ellnőésépp néün g soal fnomabb hálót a ts ésn 5mm lmméttl A 98 ábán látható hog vsbb mnt 5% váltoást oo a dménbn wwwtanonvtah Oldal István SZIE

345 9 D-s lm alalmaása 5 98 ába: 5mm-s átlagos 5mm-s lmmét a ts ésnés a sámított dált fsültség MPa 9 Elmtíps hatása Vsgálj mg hog a lőőbn bmtatott csomópontú ttaéd lmh épst am másodfoú ölítő polnomoat jlnt mln váltoást jlnt ha csomópontú ttaédt alalman lnás ölítő függvén Váhatóan a ölítő függvén fosámána csönés a dmén ngatív hatással ls A lmtíps ttaéd maadt csa a lmn blül csomóponto sáma csönt l Íg nm a hálót mtatj b aonos a 95-8 ábáal hanm a blőlü sámított dált fsültség étét hasonlítj öss a aonos háló és lmsám d váltoó csomóponto stén csomópontú ttaéd csomópontú ttaéd 99 ába: Sámított dált fsültség MPa ülönböő ttaéd stébn lmmét a alapbállításna mgfllő A 99 ábán látható hog a csomópontú ttaéd a hngs gomtát sm tdta jól ölítn mt a lnás ölítő függvén matt a gs lm oldala sío llntétbn a csomópontú lmml amln oldala lhtn göbült Oldal István SZIE wwwtanonvtah

346 6 Végslm-móds csomópontú ttaéd csomópontú ttaéd 9 ába: Sámított dált fsültség MPa ülönböő ttaéd stébn 5mm átlagos lmmét mlltt A lítés sgaa mm ét a csomópontú ttaéd stébn nm soat váltoott a mamáls fsültség a alapbállításho épst A övtő lépésbn a lítésnél mm- állítj a lmmétt am váhatóan javítja a dmén pontosságát csomópontú ttaéd csomópontú ttaéd 9 ába: Sámított dált fsültség MPa ülönböő ttaéd stébn 5mm átlagos mm lmmét a ts ésn A 9 ábán látható hog a lítés sgaánál sbb lm alalmaása soat javított a dmén pontosságán Amíg a csomópontú lm stébn má a valód dmén mgölítését jlnttt addg a csomópontú lmnél még jlntős a ltéés éü mg hog a tovább hálófnomítás am a csomópontú lmnél má a mgoldást jlnttt mln hatással ls a csomópontú lm wwwtanonvtah Oldal István SZIE

347 9 D-s lm alalmaása 7 csomópontú ttaéd csomópontú ttaéd 9 ába: Sámított dált fsültség MPa ülönböő ttaéd stébn 5mm átlagos mm lmmét a ts ésn A 9 és 9 ábáon látható hog a csomópontú lm nagon fnom háló stébn sm onvgál a mgoldásho A csomópontú ttaéd alalmaásao má ét nagságnddl vsbb lm stébn s lfogadható mgoldást aptn Ebből at a övtttést vonhatj l hog a csomópontú lm alalmaását l ll ülnün göbült gomtá stébn aa snt mndn stbn 9 Pmfltétl csomópontú ttaéd csomópontú ttaéd 9 ába: Sámított dált fsültség MPa ülönböő ttaéd stébn 5mm átlagos 5mm lmmét a ts ésn A VEM modllés léngs lm a pmfltétl hls bállítása A hálóáso nm övtün l hbát ha magasabb ndű modllt és fnomabb hálót válastn A sámítás gént flslgsn mgnövljü d a dmén jó lsn A pmfltétl bállítás hbája aonban a dménbn attól függtlnül mgjln hog mln jó maga a hálóás A pmfltétl hbáját so stbn a fnomabb háló tovább növl Oldal István SZIE wwwtanonvtah

348 8 Végslm-móds 9 hlés A valóságos tstt flültn és téfogaton mgosló thlés é Alacsonabb dmnójú modllés stén a thlés s lhtn oncntálta vag vonal mntén mgoslóa E alalmaása D modlln hba aml a háló fnomításao g fooottabban jlnt A 9 ábán g mm élhossúságú oca g oldalána öpét thljü nagságú oncntált ővl a ocát a más oldalon bfogj Vsgálj mg hog moa fsültségt apn a sámításból ülönböő lmmét mlltt Ha a ő a tljs lapon nomásént műöd ao A 5MPa mm mm 9 ába: apöépn thlt oca nomál fsültség ébd a tljs stmtstbn Ha hbásan a lap hltt pontba dfnálj a őt ao a ülönböő lmmét mlltt a övtő dált fsültségt apj 95 ába: Eg pontban thlt ocában sámított fsültség MPa-banmm lmmét wwwtanonvtah Oldal István SZIE

349 9 D-s lm alalmaása 9 96 ába: Eg pontban thlt ocában sámított fsültség MPa-ban5mm lmmét 97 ába: Eg pontban thlt ocában sámított fsültség MPa-banmm lmmét 98 ába: Eg pontban thlt ocában sámított fsültség MPa-banmm lmmét Mgfglhtő hog a lmmét csöntésévl a lmsám növlésévl a sámított dált fsültség monoton növs 99 ába A lmmét csöntésévl g jobban mgölítjü a lmélt pontsű thlésbvtlt amh végtln nagságú fsültség tato Hasonló dmén vt ha él mntén dfnáln thlést Oldal István SZIE wwwtanonvtah

350 Rd fs [MPa] 5 Végslm-móds D-s modll stébn csa flültn és téfogaton mgosló thlést alalmahatn Külön nm lmü d ha vonal- vag héjlmt övtlnül apcsoln a tsth a s hasonló poblémáat oo Elmsám 9 Kéns 99 ába Rdált fsültség a lmsám függvénébn A tst modlléso a éns dfnálását s öültntőn ll lvégn Mvl a éns végtlnül mv íg nm vát és a valóságban nm s létő fsültségt és alaváltoásoat oohatna a sámításoban A éns stébn nm mndg jlnt olan maánsan mnt a lőő fjtbn bmtatott oncntált ő stébn E aét oohat poblémát mt nm mndg önnű ésvnn Vsgáljn mg g g végén bfogott más végén ővl thlt dat 9 ába 9 ába: Eg végén bfogott ővl thlt tató és a sámított nomál fsültség MPa-ban mm-s haéd lm stébn wwwtanonvtah Oldal István SZIE

351 9 D-s lm alalmaása 5 Idáls hajlítás stén sámított fsültség: l K 6 mm mm 875MPa A tstbn sámított nomál fsültségt a ülönböő lmtíps lmsám csomóponto sámána függvénébn a övtő tábláatban foglalt öss: íps Mét Csomóponto sáma csomópontú ttaéd csomópontú ttaéd sttált csomópontú ttaéd 8 csomópontú haéd csomópontú haéd Elmsám Ma nomálfsültség [MPa] Ma dált fsültség [MPa] alap alap alap alap m hálóta b 5 6 alap A dmént mgvsgálva mgállapíthatj hog a dmén nm onvgál vsont a növdés nm aoa météű mnt a pontsű thlés stébn E bontalanságot oo a dmén étéléso mt a sámított magasabb fsültség nm valóságosa hanm a mv mgfogás ooa Még nagobb fsültségnövdést oo ha nm g tljs flültn hanm anna csa ésén dfnáln nmata pmfltétlt Oldal István SZIE wwwtanonvtah

352 5 Végslm-móds A dáls éns oota valóságban nm létő fsültséggűjtő hl hatása csönthtő ha nm fnomítj nagmétébn a hálót E csa süségmgoldás ha nncs lhtőségün a dáls éns hltt a valód apcsolat és a éntés fsültség modllésé wwwtanonvtah Oldal István SZIE

353 MODEEZÉSI POOSSÁGI AKAMAZHAÓSÁGI KÉRDÉSEK A KÜÖBÖZŐ VÉGESEEM MODEEK ÖSSZEHASOÍÁSA EREDMÉYEK VIZSGÁAA ató modllés Állandó stmtstű tató stébn a végslm-módsbn többfél modllt alalmahatn ömö tatóat D-s údént vag D-s tstént a véon falú slvént n ívül héjént s modllhtjü A övtőbn mgvsgálj hog a gs modll mln öülmén öt alalmahatóa A össhasonlítása gsű poblémáat oldn mg ülönböő modll flhasnálásával ASYS Wobnch pogammal Kö stmtstű tató vsgálata ntsün g 5mm átméőjű mm hossú dat A g flén a lfodlást és lmodlást mgaadálo a más véglapon nagságú őt műödttün Kssü a tatóban ébdő mamáls fsültségt Kétfél modllt alalman a mgoldásho Vonallm alalmaásao a tatót öépvonalával modllü a ába Ebbn a stbn a vonal g végét mgfogj a más végét oncntált ővl thljü D-s lm stébn a gomta modll g hng amt g végén flültn mgosló ővl thlün A más végén nm alalman bfogást mt a gátolt alaváltoás matt nmcsa a hajlításból sámaó fsültségt apnán hltt a thléssl llntéts flültn mgosló őt adn mg és mgaadálo a hossánú lmodlást b ába a b ába: ató gomta modllj thlés éns A D-s modllés VEM smpontból lgfontosabb lőn a vsbb sámítás gén Maga a lm s soal gsűbb mnt a D-s lm mlltt aonos pontosság mlltt soal sbb ls a lmsám s A bhálóott modll a ábán láthatóa Oldal István SZIE wwwtanonvtah

354 5 Végslm-móds Rúdlm stén lm és csomópont lgndő D-s lm stén 8 lm és 9 csomópont süségs a mgfllőn pontos modll lésítéséh A lmsám bbn a thlés stbn csönthtő ha a lmt a úd hosstngl ánában mgnújtj d mndnéppn nagságndl több ll mnt D-s lm stébn A ébdő fsültségt analtsan s mghatáo a ésőbb össhasonlítás végtt Eg bfogott tató stébn a hajlításból sámítható a lgnagobb fsültség été ö stmtst stébn: M h l mm MPa K d 5 mm ahol: : fsültség M h : lgnagobb hajlítónomaté : oncntált ő K : stmtst ténő d : stmtst átméőj a b ába: VEM háló D és D lml a b ába: Sámított nomálfsültség MPa-ban wwwtanonvtah Oldal István SZIE

355 VEM modll össhasonlítása 55 A ábán láthatj a sámított fsültségt A analts dménnl öl mgg a údmodlll sámított été A tstmodlll sámított fsültség vsbb mnt %-al több am gaolat smpontból lfogadható ltéés A údmodll alalmaása so stbn süségs lht ha g nag métű stnél a tstmodllt olan so lmml lht lőállítan amt a ndlés álló dő alatt nm tdn mgoldan vag ha valamln oból folólag csöntn aaj a sámítás dőt Ha a pmfltétlt mgfllőn állítj b a dmén s mgbíható stában ll lnnün aonban a údmodll olátaval A mgfogás módoat éntés fsültségt stmtst-átmnt gomtáját nm éps valóságosan modlln A sámított fsültségt sm tdj olan ésltsséggl lín a stmtstn blül mnt ahol a stmtst gomtája s ésltsn bnn van a modllünbn Véon falú át slvénű úd modllés ntsü a lőő fjtbn tágalt tatót úg hog nm ö stmtstű hanm véon falú 66-s át slvénű domacél Eo a g- és háomdmnós lm mlltt lhtőségün van héjlm alalmaásáa s a modlléso A ábán látható hog a tató gomtáját a gs modll a vonalént b flültént c tstént íjá l a b c ába: ató gomta modllj thlés éns A lőőh hasonlóan tt s csa a údmodll stén alalman bfogást A héj és tstmodll stébn őpát és hossánú mgfogást alalman mt csa a hajlításból sámaó fsültségt aaj sámítan A gs gomta modllből hálóás tán apj a végslm-modllt 5 ába Oldal István SZIE wwwtanonvtah

356 56 Végslm-móds a b c 5 ába: D-s D-s és D-s végslm-modll A 5a ábán látható vonallmből flépíttt modll lmből és csomópontból áll A 5b ábán a héjlmből flépíttt modll 5 lmből és 6 csomópontból épül fl am többsöös a vonallmh épst A 5c ábán látható tstmodll stébn g hossánban tább hálót alaítottn d nn llné lm és 97 csomópont alotja a modllt A hálóás tán a váaoásnna mgfllőn látható hog a magasabb dmnójú modll flépítéséh g több lm és csomóponta van süség a sámítás gén s nn mgfllőn növdn a b c 6 ába: D-s D-s és D-s végslm-modlll sámított nomál fsültség MPa-ban wwwtanonvtah Oldal István SZIE

357 VEM modll össhasonlítása 57 Hajlításból analtsan sámított fsültség: M h 6 l a 6 mm 6mm 76 8MPa I a a v 6 mm 5 mm ahol: : fsültség M h : lgnagobb hajlítónomaté : oncntált ő I : másodndű nomaté a : stmtst magassága sélsség v : stmtst vastagsága : sélső sál távolsága a stmtst súlpontjától A 6a ábán látható hog a údmodlll sámított fsültség mgg a analts dménnl am g a váaoásoal mt a analts modll s údmodll A 6b ábán látható héjmodlll sámított dmén öl % a 6c ábán látható tstmodlll sámított dmén 8% növdést mtat a údmodllh épst A ltéés anna a övtmén hog a véon falú slvénbn a fsültség nm dálsan gtnglű amlt csa a magasabb dmnójú modll éps lín Véon falú ntott slvénű úd modllés A övtőbn mgvsgálj hog mln hbát oo ha g véon falú ntott slvénű tató stébn údmodllt alalman A lgnagobb poblémát a gátolt csavaás ooa mt a lgtöbb údmodll nm éps nn líásáa Vsgáljn a lőőh hasonlóan g mm hossú bfogott és oncntált ővl thlt -s hdgn hajlított U-slvénű domacél tatót Elsőént analtsan hatáo mg a nomál fsültségt A csústató fsültségl most ülön nm foglalon d tdj hog ao tovább növdést oona a dált fsültségbn Hajlításból analtsan sámított fsültség M h mm 5mm 8 5MPa I 89mm ahol: : nomál fsültség M h : lgnagobb hajlítónomaté : oncntált ő I a a v a v mm : másodndű nomaté a : stmtst magassága sélsség v : stmtst vastagsága : sélső sál távolsága a stmtst súlpontjától Oldal István SZIE wwwtanonvtah

358 58 Végslm-móds Gátolt csavaásból analtsan sámított nomál fsültség Csavaás másodndű nomaté: I c vs mm 98mm 96mm 69mm ahol: v : a flostott stmtst gs ésn vastagsága s : a flostott stmtst gs és öépvonalána hossa Kétss ctült függvén: d d d s ahol: : a stmtst öépvonalána oodnátá B C -68 níás öéppont A 89 súlpont A étss ctült függvént a csavaás öépponttal mggő níás öépponta sámítj nn négtét a stmtst tültén ntgálj: da v ds v ds 8 98 A s s I 7 ába: függvén a níás öépponta sámítva mm -bn mm 9 6 s ds 76 8s ds 5 wwwtanonvtah Oldal István SZIE

359 VEM modll össhasonlítása 59 Bvtjü: G I 8GPa 69mm c 777mm 9 6 E I GPa 5 mm ahol: G 8GPa : csústató galmasság modls E GPa : Yong-modls A tató fajlagos lcsavaodása a hoss mntén [Csmada: Modllalotás]: M c c sh c ch ch G I ahol: M c : csavaónomaté a níás öépponta : a tató öépvonala mnt oodnáta c c : onstanso Enn dváltja: d M c c ch c ch sh d G I A tató sabad végén: d d A bfogásnál: bből: c M c bből: c G Ic ch l c A smt onstansoal a fajlagos lcsavaodás g végén bfogott tatóa: M c sh G Ic ch l A fajlagos lcsavaodás dváltja: c d M c d G I c sh ch l Oldal István SZIE wwwtanonvtah

360 6 Végslm-móds A gátolt csavaás hatásáa létjövő másodlagos hajlításból sámított nomál fsültség: B I ahol: B EI d : ttős nomaté d Estünbn: M c sh M c sh B EI G Ic ch l ch l nn mamma a bfogásnál l van: B 6667 mm 7 Eo a másodlagos hajlításból sámított fsültség a U-slvén saában 7 ába B pont 76mm : B 65 MPa a U-slvén végénél 7 ába C pont 68mm : C 86 5MPa Eo a hajlításból és másodlagos hajlításból sámított fsültség össg: B B 9 7MPa C C 58MPa VEM modlll sámított nomál fsültség A analtsan sámított fsültségt össhasonlítj a vonal- héj- és tstlml modlltt tató stén sámított étél A gomta modll a lőőh hasonlóan a öépvonalával 8a ába öépsíjával 8b ába és tljs stmtstévl 8c ába lít tató lsn wwwtanonvtah Oldal István SZIE

361 VEM modll össhasonlítása 6 a b c 8 ába: ató gomta modllj thlés éns A bfogást bbn a stbn s csa a údmodll stén alalmat a héj- és tstmodllnél őpát és csa hossánú mgfogást a b c 9 ába: D-s D-s és D-s végslm-modll A 9a ábán látható vonallmből flépíttt modll lmből és csomópontból áll A 9b ábán a héjlmből flépíttt modll 75 lmből és 6 csomópontból épül fl A 9c ábán látható tstmodll stébn lm és 8 csomópont alotja a modllt A ábán a sámított fsültségt láthatj MPa métégségbn ábáolva átható a údmodll alaváltoásánál hog a csavaással sámol d a másodlagos hajlítást nm Oldal István SZIE wwwtanonvtah

362 6 Végslm-móds éps modlln mj: lét gátolt csavaást s modllő údlm d csa gs softvbn alalmaásao a ő slvénn blül támadáspontját ülön ll dfnáln A héjés a tstmodll stébn a végslms smlácó a analtsan sámítottnál magasabb fsültségt dméntt Enn oa hog a analts modlll a öépsíoa sámított a fsültségt és a lm vastagsága mntén állandóna tntttü a modll vsont a vastagság mnt váltoást s övtté a b c ába: D-s D-s és D-s végslm-modlll sámított nomál fsültség MPa-ban Ha mgnéü a fsültségt a héjlm stébn a öépsíon ába ao láthatj hog a sámított B 9 7MPa C 58MPa fsültségl s hbával gn a dmén ába: Héjmodlll sámított nomál fsültség a öépsíon MPa-ban wwwtanonvtah Oldal István SZIE

363 VEM modll össhasonlítása 6 Vastag falú cső modllés Vsgálj mg hog g 6mm blső és mm ülső átméőjű MPa blső nomással thlt csövt mln modlll moa pontossággal tdn lín Analts modll Vastagfalú csőbn a fsültség hossánban állandóa a sgá mntén másodfoú hpbola függvén snt váltona A csődagamoat ét a fajlagos cpo sgá függvénébn soás ábáoln: b ahol: : a cső sgaa váltoó b : a cső blső sgaa Estünbn a ülső és blső falnál: 6 5 b b b b E sgítségévl a csődagam: [Mpa] b C 5 =-p = b =-p =- b ába: Csődagam A sgáánú fsültség a ülső és blső falon mgg a ülső és blső nomással Etán a aánosság flhasnálásával a ülső és blső falon a éntőánú fsültsé- Oldal István SZIE wwwtanonvtah

364 6 Végslm-móds g: b 5MPa MPa A tnglánú fsültség attól függőn hog ntott vag át a cső állandó C vag étét vsn fl Vsgálj mg hog a gs végslm-modlll mln étét apn a éntőánú fsültség! Végslm-modll Eg vastagfalú cső aml nomással van thlv D-s és D-s modll sgítségévl s mgfllőn líható D-s modll stébn s gsűsíthtün a dt gomtán anna flhasnálásával hog a hoss mntén állandóa a fsültség mt íg a dt csőből g s saast lgndő modllnün Ha a smmtát s hasnálj ao nn a flét vag a ngdét s lgndő modlln d ao a smmtána mgfllő énst ll alalmann a lvágott flültn D-s modll stén ét lhtőségün van a cső líásáa A cső mndn stmtst síalaváltoást snvd ét modllhtjü a csövt g stmtstévl síban Eo s hasnálhatj a smmtát íg a dt ögűű flült hltt alalmahatn fél vag ngd ögűű gomtát s tt s alalmava a smmta fltétlt a lvágott vonalaon A más lhtőség ha a tnglsmmts gomtát és thlést s hasnálj és tnglsmmts D-s modllt válastn Eo lgndő a csőfalból g hossánú félmtstt modllnün A össhasonlítás édébn válastn mndháom modllből gt és anna alalmaásával mgoldj a poblémát a b c ába: Vastagfalú cső modllés lhtőség thlés éns A a ábán a D-s modlll a cső g saasát modllü a lhagott ést lmodlásoal hlttsítjü: a cső ét mtstt flültén B nm ngdün tnglánú lmodlást A cső blső flültén MPa nomást dfnáln A b ábán a cső g stmtstén ngdét modllü Eo D-s síalaváltoásos modllt ll válastann A B és C vonalaon a vonala mőlgs wwwtanonvtah Oldal István SZIE

365 VEM modll össhasonlítása 65 lmodlást nm ngdjü mg íg hasnálva a smmts vsldést A A vonalon alalma a MPa-na mgfllő vonal mnt thlést A c ábán a úd hossmtstén g saasát modllü D-s tnglsmmts lml A gomta modllt úg ll mgajoln hog a fogástngltől blső sgána mm- lgn a A flült A B vísnts vonalaa függőlgs lmodlást nm ngdün íg modllü a cső tovább saasat A A vonala a MPa nomásna mgfllő vonal mnt thlést alalman A modllnél mghatáoott lmből flépíttt végslm-modll láthatóa a ábán A a ábán látható D-s lmből léthoott végslm-modll hálója 756 lmből és 695 csomópontból áll A b ábán látható D-s síalaváltoás lmből léthoott háló lmből és 55 csomópontból áll A c ábán látható tnglsmmts D-s lmből flépíttt háló 887 lmből és 588 csomópontból áll A össhasonlításo at édms fglmb vnn hog bbn a stbn a tnglsmmts modll vsbb lmből s ganln pontosságú dmént ad a b c ába: D-s D-s síalaváltoás és D-s tnglsmmts modll A ülönböő modlll sámított éntő ánú fsültség a 5 ábán láthatóa Oldal István SZIE wwwtanonvtah

366 66 Végslm-móds a b c 5 ába: D-s D-s síalaváltoás és D-s tnglsmmts modlll sámított éntő ánú nomál fsültség MPa-ban A dmént össhasonlítva gmással és a analts dménnl mgállapítható hog a lgjobb ölítést a tnglsmmts modll stébn aptn d g modll sm ét l még 5% hbát sm a analts dménh épst Jobban látható a gs modll öt ülönbség ha mndháom stbn a lmmétt úg válastj mg hog a dmén éppn a 5%-os hbahatáon blül üljön Ebbn a stbn a tstmodllnél s hasnálj a ttős smmtát a b c 6 ába: D-s D-s síalaváltoás és D-s tnglsmmts modlll sámított 5%-nál sbb hbájú éntő ánú nomál fsültség MPa-ban wwwtanonvtah Oldal István SZIE

367 VEM modll össhasonlítása 67 A 6 ábán látható fsültségt a háló módosításával apt addg fnomítva amíg a 5%-os hbahatáon blül ült a 5MPa lmélt mgoldásho épst A hh süségs lgdvább háló a 7 ábán láthatóa A gs modllh tatoó lmsámo és csomóponto sáma: Modlltíps Elmsám Csomóponto sáma st 87 D-s síalaváltoás 6 D-s tnglsmmts 6 E alapján aonos mgállapítást thtün mnt a lőő dmén alapján: a lgsbb sámítás gén mlltt a lgpontosabb dmént a tnglsmmts modll alalmaásával apj Bblogáfa a b c 7 ába: D-s D-s síalaváltoás és D-s tnglsmmts modll 5%-os hbáho tatoó mnmáls lmsámmal [] M Csmada Béla ándo Enő Mchana Ménöön Modllalotás mt anönvadó Bdapst Oldal István SZIE wwwtanonvtah

368 SZÁMÍÁSI EREDMÉYEK KIÉRÉKEÉSE ÉS AKAMAZÁSA A GÉPÉSZMÉRÖKI ERVEZÉSI ÉS MIŐSÍÉSI EADAOK MEGODÁSÁBA VÉGESEEM SZÁMÍÁSOK ÉS SZABVÁYOS MÉREEZÉSI EJÁRÁSOK KAPCSOAA Véglm-móds pontossága Végslm-módsl g pobléma ölítő mgoldását tdj lőállítan A ölítés süségs pontossága a st vag tst alalmaás és gátás öülméntől függ és a sámításo mnnségét mghatáoa A gaolat smpontjából általában 5% hbahatáon blül lgndő pontosságú a dmén bonos stbn nnél pontosabb mgoldása van süségün So stbn a thlést sm smjü pontosan o a sámítás módstől függtlnül a dménbn a hba mgjln Most aonban csa a adott pmfltétl mlltt sámítás pontosságot vsgálj A sámítás pontosságát önnn mghatáohatnán ha smnén a gat mgoldást aonban néhán nagon gsű sttől ltntv nm állítható lő íg a hbát bcsülnün ll Ha smjü a hba nagságát és nm fll mg a lváásona ao a dmén pontosságát javíthatj Két fő móds van a dmén javításáa A g a oábban s bmtatott móds a lm métén csöntés o h-típsú ölítésől bsélün A más a ölítő polnomo fosámána növlés o p-típsú a ölítés A lmmét csöntését és a polnomo fosámána növlését ombnálhatj s hp-típsú ölítés Adott pmété-pobléma mgoldásána a végslm-módsl léhtő pontosságát lgnagobb ésbn a hálóáso alalmaott paamét lm típsa mét hatáoá mg A dmén pontosságána líásáa a gat és a végslm-módsl mghatáoott ölítő VEM lmodlásmő ülönbségét ll mghatáon lmül a édés hog ha a gat mgoldás smtln hogan tdj a VEM hbát mghatáon? A poblémát úg tdj mgoldan hog a végslms modll sabadságfoa és a hba nomája öt apcsolatot vsgálj A lmodlásfüggvén nga nomáját a övtőéppn étlmü: U Ahol U a alaváltoás nga: U V dv lhasnálj a gomta gnltt: wwwtanonvtah Oldal István SZIE

369 Sámítás dmén étélés és alalmaása 69 és a anaggnltt: C C Ahol : dffncálás tasításo máta C : anagállandó máta Eo a alaváltoás nga: U dv C dv V V A gat mgoldás nga nomája: U C dv V A hba nga nomája: C dv V 5 dj hog a végslm-módsl a nmatalag lhtségs lmodlásmőn végs sámú váltoóval dfnált függvénsg ssü at aml mlltt a nga mnmmot vs fl Eét tljsül: VEM mn 6 aa: mn 7 ahol és 7 snt a a flbontástól és a lmn flvtt ölítő függvén fosámától függ és nn mgfllő sámú smtlnt tatalma Attól függőn hog a lmsámot vag a polnom fosámát növljü ülönböő módon onvgál a végs-lmmódsl apott dmén a gat mgoldásho Oldal István SZIE wwwtanonvtah

370 7 Végslm-móds Hbabcslés h típsú ölítéso A h típsú ölítésn at étjü amo a flbontás soán a lm métét csöntjü a ölítő függvén fosámát nm váltotatj Vsgálj mg hogan válto g l hossúságú úd stén a hba nomája a lmmét függvénébn! Oss fl a dat sámú aonos hossúságú lm o g lm hossa: l h 8 A gat lmodlásmő ölítő mgoldása VEM saasonént lnás függvén amlől tdj hog a ntpolácós pontoban mgg a gat mgoldással jh jh j 9 VEM A ölítés hbája a -d lmn: VEM h; h Ha a mgoldás foltonosan dválható ao a hbafüggvén s foltonosan dválható A 9 alapján a lm hatáan a hba és bből és a foltonosságból övt hog a lmn blül a hbafüggvénn ls sélsőété A hba mamm hlét -vl jlöljü ába Ebbn a pontban = =-h =h ába: Hbafüggvén a -d lmn VEM lnás ét VEM o d d h ; h wwwtanonvtah Oldal István SZIE

371 Sámítás dmén étélés és alalmaása 7 Ha C ao C h ; h és ma C h h; h jtsü alo-soba függvént pontban a agang-fél maadé tagot s flhasnálva: Ha a hbafüggvén mamma a lm másod flébn van h h 5 Ao: h h h ;h hlttsítv és -t: h h 6 6-ból flhasnálva és 5-t: ma h h ma C 7 8 Ha a hbafüggvén mamma a lm lső flébn van ao a alo-sot a h hln vsgálj ahol été sntén és íg o s a 7 gnlth jtn A úd alaváltoás ngája: l U AE d 8 Oldal István SZIE wwwtanonvtah

372 7 Végslm-móds A hba alaváltoás ngája: n h AE d AE l h d nhaec U h fglmb vév hog nh l és a onstansoat össvonva a hba nomája: U Ch 9 Ebbn a fjésbn a smt onstans a C a VEM dménén smtébn s hbával bcsülhtő h a lmmét Enn mgfllőn a dmén hbája a lmméttl aános Ha a fladat mgoldása lőtt aan hbabcslést végn ao a smtln onstansoat össvonj Eo a hba mamáls été a C smtln matt nm sámítható d a dmén onvgncája látható ls 9 és 8-ból: A gaolat példá stébn gaan lőfodl hog a lmodlásfüggvén nm sma függvén Eo a hba nomája és a lmsám öt össfüggés a övtőéppn alal: ahol a ölítő függvén p fosámától és a mgoldás jllgétől függő onstans mn p Sgoúbb fltétl ha nmcsa a hba nomáját hanm a hbát a tljs tatománon vsgálj Előfodl hog a hba nomája monoton onvgál d a mgoldás nm monoton t csa úg lht sűn ha nmcsa a globáls hanm a loáls hbát s vsgálj A ábán látható lm hajlításao vsgálj mg a nga és a mgoldás onvgncáját A mm vastagságú lmt m nomatéal thljü mvl síbl thlésű a lm sífsültség poblémaént modllü wwwtanonvtah Oldal István SZIE

373 Sámítás dmén étélés és alalmaása 7 R M ába: Hajlított lm A végslm-modllt a h típsú onvgnca vsgálatáa hasnálj ét a lm métét és 5 mllmét öött váltotatj möbn a ölítő függvén fosámát váltoatlanl hagj Első- és másodfoú ntpolácós függvén mlltt s vsgálj a onvgncát Oldal István SZIE wwwtanonvtah

374 7 Végslm-móds ába: VEM háló és nomál fsültség MPa-ban 5mm-s lmmét wwwtanonvtah Oldal István SZIE

Robotok irányítása. főiskolai jegyzet javított változat. írta: Tukora Balázs

Robotok irányítása. főiskolai jegyzet javított változat. írta: Tukora Balázs Robotok ránítása főskola jgt javított váltoat írta: Tukora Balás Pécs, 4 . Bvtés Jln jgt a Pécs Tudomángtm Pollack Mhál Műsak Főskola Karán foló Műsak Informatka képés Robotránítás rndsrk I-II. tantárgaho

Részletesebben

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot 5 modul: Silárdságtai Állapotok 53 lck: A fsültségi állapot A lck célja: A taaag flhasálója mgismrj a fsültségi állapot fogalmait valamit mg tudja határoi g lmi pot körték fsültségi állapotát Kövtlmék:

Részletesebben

Szervomotor sebességszabályozása

Szervomotor sebességszabályozása Srvomotor sbsségsabályoása. A gyaorlat célja Egynáramú srvomotor sbsségsabályoásána trvés. A motorsabályoás programváána flépítés. A sbsség rányítás algortms mgvalósítása valós dbn. 2. Elmélt bvt A motor

Részletesebben

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai Bojtár Imr Gáspár Zsolt A végslmmódszr matmatka alapja Elktronkusan ltölthtő lőadásvázlat építőmérnök hallgatók számára. http://www.pto.bm.hu/m/htdocs/oktatas/oktatas.php Kadó: BME Tartószrkztk Mchankája

Részletesebben

M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE

M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE M3 ZÁRT CSATORNÁBAN ELHELYEZETT HENGERRE HATÓ ERŐ MÉRÉSE. A mérés élja A mérés fladat égyzt krsztmtsztű satorába bépíttt, az áramlás ráyára mrőlgs szmmtratglyű, külöböző átmérőjű hgrkr ható ( x, y ) rő

Részletesebben

M7 KÖNYÖKIDOM ÁRAMKÉPÉNEK VIZSGÁLATA ÉS VESZTESÉGTÉNYEZŐJÉNEK MEGHATÁROZÁSA

M7 KÖNYÖKIDOM ÁRAMKÉPÉNEK VIZSGÁLATA ÉS VESZTESÉGTÉNYEZŐJÉNEK MEGHATÁROZÁSA M7 KÖNYÖKIDOM ÁRAMKÉPÉNEK VIZSGÁLATA ÉS VESZTESÉGTÉNYEZŐJÉNEK MEGHATÁROZÁSA. A mérés célja A csőztébn az áramlás rányáltozását önyödomoal, csőíl oldjá mg. Az rányáltozás jlntős áramlás sztségl jár, amlyn

Részletesebben

Szerkezetek numerikus modellezése az építőmérnöki gyakorlatban

Szerkezetek numerikus modellezése az építőmérnöki gyakorlatban Szrkztk numrikus modllzés az éítőmérnöki gakorlatban intéztigazgató hltts, tanszékvztő, őiskolai docns a Magar Éítész Kamara tagja, a Magar Mérnöki Kamara tagja a ib Nmztközi Btonszövtség Magar Tagozatának

Részletesebben

Országos Szilárd Leó fizikaverseny feladatai

Országos Szilárd Leó fizikaverseny feladatai Országos Szilárd Ló fizikavrsny fladatai I katgória döntő, 5 április 9 Paks A fladatok mgoldásáoz 8 prc áll rndlkzésr Mindn sgédszköz asználató Mindn fladatot külön lapra írjon, s mindn lapon lgyn rajta

Részletesebben

108. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2009. jú li us 30., csütörtök TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 1125 Ft. Oldal

108. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2009. jú li us 30., csütörtök TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 1125 Ft. Oldal A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapst, 2009. jú l us 30., csütörtök 108. szám Ára: 1125 Ft TARTALOMJEGYZÉK 158/2009. (VII. 30.) Korm. rn d lt A mzõgazdaság trmékk és az éllmszrk, valamnt a szszs

Részletesebben

Külső konzulens: Maza Gábor /E-ON Dél-dunántúli Áramhálózati Zrt./

Külső konzulens: Maza Gábor /E-ON Dél-dunántúli Áramhálózati Zrt./ Péc Tudoángt Pollack Mhál Műzak é Inoratka Kar Műzak Inoratka é llao Intézt Tudoáno Dákkör Dolgozat Középzültégű zabadvztékk lktroo trénk záítáa a gakorlatban / Practcal calculaton o th lctrc ld trngth

Részletesebben

12. Laboratóriumi gyakorlat MÉRÉSEK FELDOLGOZÁSA

12. Laboratóriumi gyakorlat MÉRÉSEK FELDOLGOZÁSA . Laoratórum gakorlat MÉRÉSK FLDOLGOZÁSA. A gakorlat célja Lgks égztk LS) módszré alapuló polom-llsztés proléma mutatása és a módszr alkalmazása mérés rdmék fldolgozására, lltv érzéklő karaktrsztkák aaltkus

Részletesebben

A hőmérsékleti sugárzás

A hőmérsékleti sugárzás A hőmérséklt sugárzás (Dr. Parpás Béla lőadása alapján ljgyzték a Mskolc gytm harmadévs nformatkus hallgató) Alapjlnségk Mndnnap tapasztalat, hogy a mlgíttt tstk hősugárzást (nfravörös sugárzást) bocsátanak

Részletesebben

FORGÓRÉSZ DINAMIKUS KIEGYENSÚLYOZÁSA I. Laboratóriumi gyakorlat elméleti útmutató

FORGÓRÉSZ DINAMIKUS KIEGYENSÚLYOZÁSA I. Laboratóriumi gyakorlat elméleti útmutató ZÉCHENYI ITVÁN EGYETEM MŐZKI TUDOMÁNYI KR LKLMZOTT MECHNIK TNZÉK 1. tög-kgnsúlozatlanság FORGÓRÉZ DINMIKU KIEGYENÚLYOZÁ I. Laoratóru gakorlat lélt útutató gépk rzgésénk okozóa sok stn a rndzés forgórészénk

Részletesebben

ő ő ř íź í łä ä ľť í ü ő ü ő ó ö ó ü ú í ó ó ó ĺ ő ő ő ĺ ó ő ő ő ö ö Í ő ö ő ő ó ő ü ĺ ő ő ó ĺ ö Ĺ ö ö ű ĺ í ö í ő ő ő ó ĺ í í Ę ĺ ó ö ű ĺ í ĺ ő ú ö ű ó í Ęö ő ű ÍÍ í ű ő ó ő ó í ő ő ő ĺ ő í ő ó ü ö ö

Részletesebben

Egyenlőtlen cellafelbontáson alapuló többszintű numerikus modellezési eljárások

Egyenlőtlen cellafelbontáson alapuló többszintű numerikus modellezési eljárások Egnlőtln llaflbontáson alapló többszintű nris odllzési láráso Írta: Gáspár Csaba ai az Inforatiai Tdoánágban az MTA dotori í lnrésér pálázi Gőr 7 TARTAOMJEGYZÉK. Egnlőtln flbontású llarndszr QT-háló...

Részletesebben

Méret: Végződés: Min. hőmérséklet: Max. hőmérséklet: Max. nyomás: Specifikációk:

Méret: Végződés: Min. hőmérséklet: Max. hőmérséklet: Max. nyomás: Specifikációk: L SZ 17 SÓS O L Z Ó ÉSTOL t: őd: in. hőmklt: x. hőmklt: x. nomá: Spcifikációk: Anok: -től -i ISO P kimák kö - C 0 C b -i m mlkdő oó ki kk tiánú ámlá tömít nh nomávt Öntöttv há n.hu v l n.hu v l Z ÉSTOLÓ

Részletesebben

Keszthely Város Önkormányzata Képviselő-testületének 32/2009. (X.15) rendelete Keszthely közigazgatási területének helyi építési szabályzatáról (továbbiakban: KÉSZ) ᔗ厇- ü ö ó ó ó 990. LX. ö ( ) 8.. ( )

Részletesebben

VoIP h á l ó z a t ok m á s s z e m s z ö g b ő l HBONE t á b o r 2003. n o v e m b e r 4-6. K e r e k e s T i b o r, L N X L I A S - N E T W O R X H Á L Ó Z A T I N T E G R Á C I Ó S R t. 1 Témák M ú

Részletesebben

A tapintó hőmérséklet érzékelő hőtani számítása, tekintetbe véve a környezet hőmérsékletterének a felület dőlésszögétől való függését

A tapintó hőmérséklet érzékelő hőtani számítása, tekintetbe véve a környezet hőmérsékletterének a felület dőlésszögétől való függését A apnó őméséle ézéelő őan számíása, enebe véve a önyeze őméséleeéne a felüle dőlésszögéől való függésé Andás Emese. Bevezeés n éépából álló almaz áll endelezésüne a (x) függvény analus fomájána megállapíásáa

Részletesebben

LVÉNY. SZERE Kft. 598/599

LVÉNY. SZERE Kft. 598/599 L RE 598/5 IITEL K I R I B GÖ n.hu v l n.hu v l EL RI KIIT I B GÖ EIFIKÁIÓK: Tlj fut. típu. Δp mx.: b HZNÁLT: Koóív köh indn köön foldk tbn. x. Hőmklt Átl: 0. x. Nomá Átl: 1 b DN-i 10 b fltt ÁLZTÉK: Rthtó

Részletesebben

Méret: Végződés: Min. hőmérséklet: Max. hőmérséklet: Max. nyomás: Specifikációk:

Méret: Végződés: Min. hőmérséklet: Max. hőmérséklet: Max. nyomás: Specifikációk: 1100 L LP GÓSZ N L L I P W t: őd: in. hőmklt: x. hőmklt: x. nomá: Spcifikációk: nok: DN 5-től 200 mm-i Kimák PN10 0 C 0 C 10 b DN 125-i 7 álláú ki k Wf típu Io 5211 hjtómű illtőpm há n.hu v l. n.hu v l.

Részletesebben

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül

Részletesebben

1. ábra A rádiócsatorna E négypólus csillapítása a szakaszcsillapítás, melynek definíciója a következő: (1)

1. ábra A rádiócsatorna E négypólus csillapítása a szakaszcsillapítás, melynek definíciója a következő: (1) Az antnna Adó- és vvőantnna Az antnna lktomágnss hullámok kisugázásáa és vétlé szolgáló szköz. A ádióndszkbn btöltött szp alapján az antnna a tápvonal és a szabad té közötti tanszfomáto, mly a tápvonalon

Részletesebben

Lambda szonda szimulátor szerelési útmutató

Lambda szonda szimulátor szerelési útmutató Lambda szonda szimulátor szrlési útmutató Műszaki adatok: Működési fszültségtartomány: 616V DC Áramflvétl: 20mA 1. Vágjuk l a káblkt a lambda szonda fj és a csatlakozója között, a gyári szondát hagyjuk

Részletesebben

PH.D. ÉRTEKEZÉS MAGASHŐMÉRSÉKLETŰ SZUPRAVEZETŐS ESZKÖZÖK NUMERIKUS ÍRTA: TIHANYI VIKTOR ROLAND TÉMAVEZETŐ: DR. VAJDA ISTVÁN

PH.D. ÉRTEKEZÉS MAGASHŐMÉRSÉKLETŰ SZUPRAVEZETŐS ESZKÖZÖK NUMERIKUS ÍRTA: TIHANYI VIKTOR ROLAND TÉMAVEZETŐ: DR. VAJDA ISTVÁN BUDPESTI MŰSZKI ÉS GZDSÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMTIKI KR PH.D. ÉRTEKEZÉS MGSHŐMÉRSÉKLETŰ SZUPRVEZETŐS ESZKÖZÖK NUMERIKUS MODELLEZÉSE ÍRT: TIHNYI VIKTOR ROLND OKLEVELES VILLMOSMÉRNÖK TÉMVEZETŐ:

Részletesebben

1 2 A Z E G O V I S S Z A V Á G A s o r s f o r d í t ó m e g b o c s á t á s e s z ü n k b e i d é z i, h o g y e m b e r i m e g t a p a s z t a l á s t á t é l, s p i r i t u á v a g y u n k, s á el

Részletesebben

Méret: Végződés: Min. hőmérséklet: Max. hőmérséklet: Max. nyomás: Specifikációk:

Méret: Végződés: Min. hőmérséklet: Max. hőmérséklet: Max. nyomás: Specifikációk: LNY EE 5 ELEP P KÚ t: őd: in. hőmklt: x. hőmklt: x. nomá: pcifikációk: Anok: DN 1/2 -től 2 -i BP blő mnt - 10 C 110 C 1 B ikomillimt báloá ltő conkok á há n.hu v l n.hu v l 5 ELEP KÚP PECIFIKÁCIÓK: Tt

Részletesebben

Félvezető eszközök és áramkörök I Analóg elektrónika jegyzetek

Félvezető eszközök és áramkörök I Analóg elektrónika jegyzetek Sapnta-M Maosvásály kaok Vllamosménök tanszék Gmán Zoltán Félvztő szközök és áamköök nalóg lktónka jgyztk tomatzálás és Számítástcnka év-. élév lktónks omátm (lső változat, nm tljs!!!) 005 Gmán Z. : Félvztő

Részletesebben

KÖZÖS UTASÍTÁSA. A BELÜGYMINISZTÉRIUM I. ÉS IV. FŐCSOPORTFŐNÖKÉNEK 004. számú. Budapest, 1965. évi március hó 1-én BELÜGYMINISZTÉRIUM

KÖZÖS UTASÍTÁSA. A BELÜGYMINISZTÉRIUM I. ÉS IV. FŐCSOPORTFŐNÖKÉNEK 004. számú. Budapest, 1965. évi március hó 1-én BELÜGYMINISZTÉRIUM BELÜGYMINISZTÉRIUM SZOLGÁLATI HASZNÁLATRA! 10-26/4/1965. Hatályon kívül helyezve: 17/73. min. par. A BELÜGYMINISZTÉRIUM I. ÉS IV. FŐCSOPORTFŐNÖKÉNEK 004. számú KÖZÖS UTASÍTÁSA Budapest, 1965. évi március

Részletesebben

Méret: Végződés: Min. hőmérséklet: Max. hőmérséklet: Max. nyomás: Specifikációk:

Méret: Végződés: Min. hőmérséklet: Max. hőmérséklet: Max. nyomás: Specifikációk: L E 15 PN1 PEN K É F S KAI IS 9001 : 08 PED 97/2/CE t: őd: in. hőmklt: x. hőmklt: x. nomá: Spcifikációk: Anok: DN 25-től 250-i PN 1 Kimák - C 00 C 1 B nliánú moá odmnt blő cővl odmnt cl hullám tt Acl kimák

Részletesebben

í ő ľ ü ó ľ ľ ő ľ ü Ü Ü Ł ľ ü ľ ü ľ ö ľü íľ ő ő ź ő í ó ü ľ ö ü ü ó ő ö ľĺ ó ľó ő ő ö ź í ö ő źą ö í ő ü ö ö ü ő í ľ ó ó ó ü ó ó ó ő ö í ó í ü ö í ő ę í ö ü ą í ľ ó ő í ú í ó ő ö ó ó ő ü í ó ľ í ľź ľ ú

Részletesebben

Kösd össze az összeillı szórészeket!

Kösd össze az összeillı szórészeket! há tor gyöngy tás mor kás fu ház ál rom á mos sá rus szo dály moz szít szom széd ol vad pond ró dí ves da dony ned rál süly lyed tom na ka bog ge gár bál dol lo bol bun bát bár da bo be kar pa e ca koc

Részletesebben

2. Koordináta-transzformációk

2. Koordináta-transzformációk Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,

Részletesebben

A művészeti galéria probléma

A művészeti galéria probléma A műészti galéria probléma A műészti galéria probléma (art galry problm): A műészti galéria mgfigylés kamrákkal / őrökkl. Hálózattrzés Alapjai 2007 8: Műészti Galéria Probléma Őrzési / Mgilágítási problémák

Részletesebben

172. szám II. kö tet. II. rész JOGSZABÁLYOK. A Kormány tagjainak A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA

172. szám II. kö tet. II. rész JOGSZABÁLYOK. A Kormány tagjainak A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2005. de cem ber 29., csütörtök 172. szám II. kö tet TARTALOMJEGYZÉK 125/2005. (XII. 29.) GKM r. A köz úti jár mû vek mû sza ki meg vizs gá lá sá ról szóló

Részletesebben

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése

A központos furnérhámozás néhány alapösszefüggése A közpotos furérhámozás éháy alapösszfüggés 1. ábra: A hámozás jllmző myiségi Az 1. ábra forrása: Dr. Lugosi Armad ( szrk. ) : Faipari szrszámok és gépk kéziköyv Műszaki Köyvkiadó, Budapst, 1987, 57. oldal.

Részletesebben

Feladatok megoldással

Feladatok megoldással Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A

Részletesebben

ő á ó á ź é ő ę ü é ő á á ő ő á á á Ü ĺá ő ĺ Ő É ő á á ú é é á á ó á á á ő ő ńá ő é í ó á á á íü ĺá á ü é ö é á é é é ĺ ő á á é á á é é á é é ó á á ó á é ń á ź ü é á ó é é í á ó é ő é é ĺ í Ü ő ú é ő é

Részletesebben

674/697. Méret: Végződés: Min. hőmérséklet: Max. hőmérséklet: Max. nyomás: Specifikációk:

674/697. Méret: Végződés: Min. hőmérséklet: Max. hőmérséklet: Max. nyomás: Specifikációk: L ZR 7/97 AP C Ó Y L O G NT t: őd: in. hőmklt: x. hőmklt: x. nomá: pcifikációk: Anok: DN 1/ -től 1/2 -i Külő Blő BP - C 90 C 1 b Záhtó k O-űű lpáon Fkt lumínium k á há n.hu v l. n.hu v l. P LYÓCA O G NT

Részletesebben

33. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. már ci us 27., hétfõ TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 3887, Ft

33. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2006. már ci us 27., hétfõ TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 3887, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2006. már ci us 27., hétfõ 33. szám Ára: 3887, Ft TARTALOMJEGYZÉK 62/2006. (III. 27.) Korm. r. Az egyes pénzbeli szociális ellátások elszámolásának szabályairól...

Részletesebben

A Coulomb-törvény : ahol, = coulomb = 1C. = a vákuum permittivitása (dielektromos álladója) k 9 10 F Q. elektromos térerősség : ponttöltés tere :

A Coulomb-törvény : ahol, = coulomb = 1C. = a vákuum permittivitása (dielektromos álladója) k 9 10 F Q. elektromos térerősség : ponttöltés tere : Villamosságtan A Coulomb-tövény : F QQ 4 ahol, Q = coulomb = C = a vákuum pemittivitása (dielektomos álladója) 4 9 k 9 elektomos téeősség : E F Q ponttöltés tee : E Q 4 Az elektosztatika I. alaptövénye

Részletesebben

GYAKORLÓ FELADATOK 3. A pénzügyi eszközök értékelése

GYAKORLÓ FELADATOK 3. A pénzügyi eszközök értékelése GYAKORLÓ FELADATOK 3. A pénzügyi szközök étéklés. fladat (kötvény) A vállalat 2 millió fointos buházása mgvalósításának finanszíozásához kötvénykibocsátást tvz, 5 Millió Ft étékbn. A jgyzést lbonyolító

Részletesebben

Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn

Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn Modrn piaclmélt ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Sli Adrinn A tananyag a Gazdasági Vrsnyhiatal Vrsnykultúra Központja és a Tudás-Ökonómia Alapítány támogatásáal készült az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi

Részletesebben

75. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2007. jú ni us 15., péntek TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 2478, Ft. Oldal

75. szám A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2007. jú ni us 15., péntek TARTALOMJEGYZÉK. Ára: 2478, Ft. Oldal A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2007. jú ni us 15., péntek 75. szám Ára: 2478, Ft TARTALOMJEGYZÉK 2007: LXI. tv. A cég nyil vá nos ság ról, a bí ró sá gi cég el já rás ról és a vég el szá

Részletesebben

Néhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343

Néhány pontban a függvény értéke: x -4-2 -1-0.5 0.5 1 2 4 f (x) -0.2343-0.375 0 6-6 0 0.375 0.2343 Házi ladatok mgoldása 0. nov.. HF. Elmzz az ( ) = üggvényt (értlmzési tartomány, olytonosság, határérték az értlmzési tartomány véginél és a szakadási pontokban, zérushly, y-tnglymtszt, monotonitás, lokális

Részletesebben

Szilárdságtan képletek

Szilárdságtan képletek Sáság kék ásoű oék: kvoás g sáío: ; ás gks sáío: oás o sáío: Sé: ' ; ; ' ' ' Kovás Áá őás já é v: áé Síkook ásoű oék: ég súo: ; ; 4 4 kö s: ; ; 64 4 fékö s: ; 64 4 4 gkö s: ; 4 64 8 éksögű áosög éksögű

Részletesebben

Mobilis robotok irányítása

Mobilis robotok irányítása Mobiis obotok iánítása. A gakoat céja Mobiis obotok kinematikai modeezése Matab/Simuink könezetben. Mobiis obotok Ponttó Pontig (PTP) iánításának teezése és megaósítása.. Eméeti beezet Mobiis obotok heátoztatása

Részletesebben

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. Sersámg mgépe 5. előad adás Misolc - Egyetemváros /.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. A sabályohatósági tartomáy övelésée módserei Előetes megfotoláso: S mi mi M S φ,

Részletesebben

Tartóprofilok Raktári program

Tartóprofilok Raktári program Tartóproflok Raktár program ThenKrupp Ferroglou ThenKrupp Nolcadk kadá 6. áprl Ötvözetlen é alacon ötvözéú lemeztermékek Betonacélok Szerzámacélok Melegen hengerelt rúdacélok Könnú - é zínefémek Rozdamente

Részletesebben

Készült a Gazdasági Versenyhivatal Versenykultúra Központjának támogatásával. 2010. november

Készült a Gazdasági Versenyhivatal Versenykultúra Központjának támogatásával. 2010. november A 2 -e g y b e n, 3-e g y b e n c s o m a g a j á n l a t o k f o g y a s z t ó i m e g í t é l é s e é s h a t áv se a r s a e n y r e a h í r k ö z l é s i p i a c o n Készült a Gazdasági Versenyhivatal

Részletesebben

1. Testmodellezés. 1.1. Drótvázmodell. Testmodellezés 1

1. Testmodellezés. 1.1. Drótvázmodell. Testmodellezés 1 Tstmodllzés 1 1. Tstmodllzés Egy objktum modlljén az objktumot rprzntáló adatrndszrt értjük. Egy tstmodll gy digitális rprzntációja gy létz vagy lképzlt objktumnak. trvzés, a modllzés során mgadjuk a objktum

Részletesebben

Méret: Végződés: Min. hőmérséklet: Max. hőmérséklet: Max. nyomás: Specifikációk:

Méret: Végződés: Min. hőmérséklet: Max. hőmérséklet: Max. nyomás: Specifikációk: L ZR 552 CAP Ó Y L O G T B - B N t: őd: in. hőmklt: x. hőmklt: x. nomá: pcifikációk: Anok: DN 1/ -től -i BP blő mnt - 10 C 120 C 25 b (DN 1"-i) Záhtó k PTF tömítl Tlj fut á n.hu v l n.hu v l AP 552 GOLYÓC

Részletesebben

Í ő ő ó ö ö ö ű ö Ĺ ö Í ü ő ö ő ő ý ü Í ő ö ö ó ü ö Ĺ ő ő ő ó ü ő ó ő Í ő Í ő ó ő ő ö ú Í ń ü ű ö Ü ő ű ó ü ő ő ő ö ő ű ö ü ö ü ó ö ő ó Í ó ő ő ő ű ö ü ű ö ó Ĺ Í ű ó Ĺ ö ó ó ü ű ű ő ü ó ő ö ő ü ű ü Ü ő

Részletesebben

Helyszükséglet összehasonlítás

Helyszükséglet összehasonlítás Hlyszükséglt összhsonlítás Hgyományos riálvntilátor A VAR rnszr összhsonlítás Hlios RADAX VAR Systm A VAR rnszr z lsony nyomás növkésű xiálvntilátorok és riál vntilátorok közötti szükségltkt légíti ki.

Részletesebben

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. jú ni us 25., szerda. 93. szám. Ára: 2400, Ft

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. jú ni us 25., szerda. 93. szám. Ára: 2400, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. jú ni us 25., szerda 93. szám Ára: 2400, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. jú ni us 25., szerda 93. szám Ára: 2400, Ft TARTALOMJEGYZÉK

Részletesebben

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai

Merev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) Merev test mogása Eddg olyan dealált "testek" mogását vsgáltuk, amelyek a tömegpont modelljén alapultak E aal a előnnyel járt, hogy nem kellett foglalkon a test kterjedésével

Részletesebben

ľ ľ ő ü ő ő ő ü ü ő ľ ń ő ő ü ľ ö ü É Íľ ľ É É ą Á É Ü É Ü ą Á É Í Ü É ľ É Ü É É ľ ľé ľ ü ź ź Í ő ő ľ ő ő ů ľ Ü ö ľ ö ź ö ö ő ľ ź ű ľ ö ö ö ő ő ľ ź ľ ő ť ľ ü ę ü ľ ľ ľ ľ ú ő ź ő ć úő ő ú ľ ú ť Ł Ż Á ľ

Részletesebben

53. sz. mérés. Hurokszabályozás vizsgálata

53. sz. mérés. Hurokszabályozás vizsgálata 53. sz. mérés Hurokszaályozás vizsgálata nagyszültségű alap- illtv losztóhálózat (4,, kv a hálózatok unkcióáól kövtkzőn hurkolt (töszörösn hurkolt kialakítású. sok csomóponttal, tö táplálási illtv ogyasztási

Részletesebben

Méret: Végződés: Min. hőmérséklet: Max. hőmérséklet: Max. nyomás: Specifikációk: Anyagok:

Méret: Végződés: Min. hőmérséklet: Max. hőmérséklet: Max. nyomás: Specifikációk: Anyagok: L E 15 P1 PE K É F S EEE IS 9001 : 2008 PED 97/2/CE t: őd: in. hőmklt: x. hőmklt: x. nomá: Spcifikációk: Anok: D 1/2 -től 2 -i nt BSP -20 C 00 C 1 B nliánú moá Külő vdlm Blő cő Acl lvn n.hu v l n.hu v

Részletesebben

ú ľ ľ ú ľ Ńř ó ľ ą öľ ő ń ö ú ľ Í ü ö ľ ó ľ ľ ř Ę Ę š ő ü ű ö ľ ő ő ő ľ ľ ö ľ ö ö ü ö ő ö ő ő ó ó ö ľ ľ ľ ó ő ó ľę ű ö ö ö ö ó ö ő ó ö ö ő ó Í ö ü ő ź ü ů ő ö ü ő ę ő ó ľ ľ ö ü ľ ó ľ Á ó ő ö ó ö ő ö ó

Részletesebben

Ě ŕ Ś đ ü ü ö ő ő ö ö ö ö ö ö ö ö ö ź ź ľ ą Ä ľ ľ ö ľ ľ ľ ľ Đ öľ ő ö ö ő ő ľ ő ő ý ľ ő ú ú ő ö ő ú ę ą ő ö ő ű ö ő ő Ü ö ö ľ ś ő ń ä ę ľ Ü ľ ő ü ő ú ľ ľ ö ö ő ü ő ú Á Á ľ ę ő ü ő Á ľ ő ő ü ľ Ę ő ü ö ú

Részletesebben

3. Szerkezeti elemek méretezése

3. Szerkezeti elemek méretezése . Serkeeti elemek méreteése.. Serkeeti elemek méreteési elvei A EC serint a teherbírási határállapotok ellenőrése során a alábbi visgálatokat kell elvégeni: - Kerestmetseti ellenállások visgálata, ami

Részletesebben

Villamos érintésvédelem

Villamos érintésvédelem Villamos érintésvédlm A villamos nrgia ipari mértű flhasználása a század ljén kzdtt gyr nagyobb mértékbn ltrjdni és zzl gyidőbn jlntkztk az áramütésből rdő balstk is. Ennk kövtkztébn nagyarányú kutatás

Részletesebben

Žłť š ęŕ ż ł ę ť ň ó ľ ľ ö ő Ą ť ľ ł ł ł ę Łô ý Č Ŕ Ą Ą Ŕ ł ę ł Ą ł í ó ó ł ź ő ü ó ľ ś Á ľ ľ ü ő ň Á É í Ęö ó ľ Á ö ź ó ő Ę ľ ť ä ľ ŕš ľ ł ľ ó Í Ĺ ä ä ł ľ ľ ů žäň í ÍÍ ľä ä Ę Ĺ íäŕ ä Ĺ ääľ Ĺ ą ę ź ľ ó

Részletesebben

ó ó ü ľ ó ü ó ľ ü ń ó ó ó ö ę ź ź ö ö ö ö ę ę ö ó ľ ó ę ź ó ö ó ź Ĺ ź ó ť ú ü ű ö ó ź ó ö ó ö ľ ö ľ ń ó ľ ź ű ö ń ó ź ź ť ľ ó ľ ź ü ť ź ó ü ť ö ó źů ý ťü ľ ú ó ď ľ ľ ľ ľ ó ó ľ ń ľ ľ ö ó ľ ó ľ ö ź ó ľ ľ

Részletesebben

csak csak4 csak3 csak1 sak csak2 NYERŐÁR

csak csak4 csak3 csak1 sak csak2 NYERŐÁR mn W FM K F v n d m n d K v d 3 p d 3p 0 d 0 0 0 ó vn g 0 p mb B x M hnő po pő 3 0 3 30 CLgnd 0 Mpo á E gán po á v p g őn gbó M 8 m 08 Nop nú ó K ú ó ú á mn nop n m o C pá bnph ó ü önbö ő m bn 8 0 P dá

Részletesebben

* 3 db bármilyen különálló Firefly, Etirel, vagy Magic M. márkájú bikinirész vásárlása esetén a legkedvezőbb árút ajándékba adjuk!

* 3 db bármilyen különálló Firefly, Etirel, vagy Magic M. márkájú bikinirész vásárlása esetén a legkedvezőbb árút ajándékba adjuk! A vn únu 8 V v dv n mőn üön bn* * 3 db bmn üön F E v M M mú bn v n dvőbb ú ndb du 3 P B üdőuő 538 BCun vő b nn ő B 53 3 BCu vő b nböő üdőuő BC 53 5 n üdőu 533 5 5 BCu üdőu 5333 n üdőu 53 3 m m An bn Pdd

Részletesebben

MAGYARORSZÁGI VETÜLETEK. Bácsatyai László

MAGYARORSZÁGI VETÜLETEK. Bácsatyai László MAGYAOSZÁGI ETÜLETE Bácsata László Sprn 5 Lktr: Dr Csprg Szablcs fıskla tanár Dr arga Józsf gtm ajunktus Tartalmjgzék BEEZETÉS----------------------------------------------------------------------------------------------

Részletesebben

ő ö ń ĺ ú ő ú ĺ Ż ó ú ő ł ĺ ű ó ť ź ö ó ő í ő ú í ú í ííé í ó łź ú ó ö ő ú ú ó ő ő ó ó ő ő ó ú ö ó ő í ő ú í ó Éł Ü í ö ű ö ő ö ó í ú ő ó ó ĺ ú źú í í ü í ö ĺ ó Í ú ú ő ő í í ő ő ő ź ő ó ű ö ő ö ü ű ó

Részletesebben

M Sulyok Gábor A HUMANITÁRIUS INTERV ENC IÓ EL MÉ L ETE É S G Y AK O RL ATA P h.d. é r t e k e z é s t é z i s e i i s k o l c 2 0 0 3. M I. A KUTATÁSI FELADAT A k u t a t á s a h u ma n i t á r i u s

Részletesebben

FOKOZAT NÉLKÜLI KAPCSOLT BOLYGÓMŰVES

FOKOZAT NÉLKÜLI KAPCSOLT BOLYGÓMŰVES ISKOLCI EGYETE GÉÉSZÉRNÖKI- ÉS INFORATIKAI KAR FOKOZAT NÉLKÜLI KACSOLT BOLYGÓŰVES SEBESSÉGVÁLTÓK TERVEZÉSI KÉRDÉSEI.D. ÉRTEKEZÉS KÉSZÍTETTE: Czégé Levente Ol. géészménö SÁLYI ISTVÁN GÉÉSZETI TUDOÁNYOK

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

ń ó ľ ó ę ľ Ĺ ü ľ ó ľ ľ ľ Í ü ľ ľ ó ľ ľ ü đö ź É É ó ł Á É ľ ľ É Íľ ľ Ü ľ łą É Ü É É ł ą ľ É Ł Á Á ł ťą łł ą ą ľ ü ź ź ü ę ę Í ź ü ü ú ó ľ ľ ľ ó ó ľ ó ľ ó ü ó ö ź ű ö öľ ü ü ľ ű ö ľ ó ű ź ű ü ę ö ó ľó

Részletesebben

Mechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése

Mechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése echanzmuso vegyes dnamáána elemzése ntonya Csaba ranslvana Egyetem, nyagsmeret Kar, Brassó. Bevezetés Komple mechanzmuso nemata és dnama mozgásvszonyana elemzése nélülözhetetlen a termétervezés első szaaszaban.

Részletesebben

HÜBNER Tervező KFT Munkaszám:/00. * Pécs, Mogyorós köz. ( /- HÜBNER Tervező KFT Munkaszám: /00. * Pécs, Mogyorós köz. ( /- S Z É K E S F E H É R V Á R R Á C H E G Y HELYI ÉPÍTÉSI SZABÁLYZAT ÉS SZABÁLYOZÁSI

Részletesebben

VII. Az Al kot m ny b r s g el n k nek v g z se

VII. Az Al kot m ny b r s g el n k nek v g z se VII. Az Al kot m ny b r s g el n k nek v g z se 711/I/2003. AB eln ki v gz s 1779 711/I/2003. AB eln ki v gz s Az Al kot m ny b r s g el n ke jog sza b ly alkot m ny elle ness g nek ut la gos vizs g la

Részletesebben

É Á Á Á Ö Á Á Á É É Á Á É É Á Á Á ő ő É É Á Á ő ú ő ö ú Á ú ő ü ő ö ő ö É Á É É Ú ú É Á Á Á Á Ú Ü É É Ü Ú É É Ö ú ü ű Á É É É Á Ú É É É É öú É É Á É Á ÁÉ ú Ú ö ü Á ő ő ő Ú ö É Á Á ő Ü É É Á Á Ó É É Ú ú

Részletesebben

SCHIEDEL QUADRO Építési utasítás

SCHIEDEL QUADRO Építési utasítás SCHIEDEL QUADRO Építési utasítás 2x '10 '11 Schiedel Kéménygyár Kft. 8200 Veszprém, Kistó u. 12. Tel.: 88 576 700 Fax: 88 576 704 E-mail: info@schiedel.hu www.schiedel.hu Part of the MONIER GROUP Általános

Részletesebben

σ = = (y', z' ) = EI (z') y'

σ = = (y', z' ) = EI (z') y' 178 5.4.. Váltoó kerestmetsetű rudak tsta hajlítása Enhén váltoó kerestmetsetű, tsta hajlításra génbevett rúdnál a eges pontok fesültség állapota - a váltoó kerestmetsetű rudak tsta nomásáho vag húásáho

Részletesebben

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. már ci us 17., hétfõ. 44. szám. Ára: 250, Ft

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA. Budapest, 2008. már ci us 17., hétfõ. 44. szám. Ára: 250, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. már ci us 17., hétfõ 44. szám Ára: 250, Ft A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2008. már ci us 17., hétfõ 44. szám TARTALOMJEGYZÉK 2008:

Részletesebben

Automaták. Tartalom. Automaták. Automaták Bevezetés I.2 I.1. Vezetékdaraboló automaták I.3. Csupaszoló automaták I.4

Automaták. Tartalom. Automaták. Automaták Bevezetés I.2 I.1. Vezetékdaraboló automaták I.3. Csupaszoló automaták I.4 Tartalom Bevezetés.2 Vezetékdaraboló automaták.3 Csupaszoló automaták.4 Csupaszoló és krimpelő automaták.6.1 Bevezetés A krimpelési fo lya ma tok és sze rû sí té se meg kö ve te li az egyes mun ka lé pé

Részletesebben

ů ą ľ ą ó ľ ľ ó ô ľ ó ź ô ę ú Ú ľ ô Ź ô ľ ô ą ó ó Ö ľ Đ ą ä ä Ú ä ę ä Ę Đ đ ř Ď ä Đ Đ ä Ý ż Ę ę Ý Ý ä ä ľ Đ ä Đ ľ ť Ä ô Ú Ś ď ś ó ó ľ ó ó ô ľ ô ô ľ ü ä ę ö ó ľ ś ď ę ď ľ ö ó ě ä ď ä Ś ľ ď ś ś ś đ ń śä

Részletesebben

A Tartószerkezeti Tagozat Minősítő Bizottságának ügrendje ᔇ劇SÍTᔇ劇 B ZOTTSÁG ( B) JOGKÖRE ó, pí, ő p ó ó, p í í í í í p, ő í pí í, pí, ő pí, ó í, ő í ő vezető teᔇ劇vezőᔇ劇 ᔇ劇ᔇ劇 ᔇ劇zᔇ劇ᔇ劇ᔇ劇ᔇ劇tőᔇ劇ᔇ劇 vezető ᔇ劇zᔇ劇ᔇ劇ᔇ劇ᔇ劇tőᔇ劇

Részletesebben

1. AZ MI FOGALMA. I. Bevezetés ELIZA. Első szakasz (60-as évek) Második szakasz (70-es évek) Harmadik szakasz (80-as évek)

1. AZ MI FOGALMA. I. Bevezetés ELIZA. Első szakasz (60-as évek) Második szakasz (70-es évek) Harmadik szakasz (80-as évek) 1. AZ MI FOGALMA I. Bvztés 1956 nyár. Darthmouth Collg-i konfrncia Kzdti cél: Az mbri gondolkodás számítógép sgítségévl történő rprodukálása. Grgorics Tibor Bvztés a mstrségs intllignciába 1 Grgorics Tibor

Részletesebben

=... =...e exponenciális alakú a felírása. komplex számok nagyságai és x tengellyel bezárt szögei. Feladat: z1z 2

=... =...e exponenciális alakú a felírása. komplex számok nagyságai és x tengellyel bezárt szögei. Feladat: z1z 2 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHANIKA - REZGÉSTAN ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK Eméet édése és váaso eyetem aapépésben (BS épésben) éstvevı ménöhaató sámáa (0) Matemata aapo A eméet édése öött seepehetne

Részletesebben

ą ľ ó ľ ő ü ĺ ü ą Ő É ľ ĺ ĺ ü ľ ľ ó ó ĺ ĺ ő É ľ ó ö ő ź ő ľ ĺ ľ ő ő ő ü ĺ ö ö ó ő ö Í ó ź ó ü ő ő ü ź ű ź ú ö ö ú ó ú ó ú ź ő ü ź ű Íź ú ĺ ź ő ľ ĺ ő ó ĺĺ ú ľ ó ö ĺ ź ĺ ő ľ ź ó ü ź ź ľ ő ń ö ö ó ü ź ű ö

Részletesebben

EGY KERESZTPOLARIZÁCIÓS JELENSÉG BEMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN

EGY KERESZTPOLARIZÁCIÓS JELENSÉG BEMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN Fiia Modern fiia GY KRSZTPOLARIZÁCIÓS JLNSÉG BMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN DMONSTRATION OF AN OPTICAL CROSS- POLARIZATION FFCT IN A STUDNT LABORATORY Kőhái-Kis Ambrus, Nag Péter 1 Kecseméti

Részletesebben

NÉGYROTOROS PILÓTANÉLKÜLI HELIKOPTER FEDÉLZETI REPÜLÉSSZABÁLYZÓJÁNAK ELŐZETES TERVEZÉSE LQG MÓDSZERREL BEVEZETÉS

NÉGYROTOROS PILÓTANÉLKÜLI HELIKOPTER FEDÉLZETI REPÜLÉSSZABÁLYZÓJÁNAK ELŐZETES TERVEZÉSE LQG MÓDSZERREL BEVEZETÉS óc ntal NÉGYROOROS PILÓNÉLKÜLI HELIKOPER FEDÉLZEI REPÜLÉSSZÁLYZÓJÁNK ELŐZEES ERVEZÉSE LQG MÓDSZERREL EVEZEÉS tóbb dőben a négotoos elendeésű helkopte a sabáloástechnka és a mkoelektonka fejlődésének kösönhetően

Részletesebben

Örvendjetek, mert Isten úgy szeret

Örvendjetek, mert Isten úgy szeret Örvendjetek, mert Isten úgy szeret il 4,4; Jn 3,16; Mt 24,42 Sz: r. Pálhegyi erenc : Pálhegyi ávid m é- két a- kar, Ör- vend- je- tek, m mert Is- ten úgy sze- ret. m m nem zord í- vend- té- le- tet! m

Részletesebben

ä ú á á á á á ú á á á ĺ ę ą ą ú á á á á ĺ á ĺ ĺ á á á ö í ů á á á í ł ü ü á á ĺź ĺ á á ó Źá ó á ű ö á á ó í á á ó á ä ü ú á á á á á ü ĺí ü ö áĺ ü á í á ó á ö á á á ó ü á ö á ĺ Ż Ż á í ö Á ź í á á á á ö

Részletesebben

Kosztolányi Ádám jegyzetfüzetéből

Kosztolányi Ádám jegyzetfüzetéből Kosztolányi Ádám jegyzetfüzetéből 68 Emlékek között Karinthy Gáborról Kö ze leb bi kap cso lat ba ti zen há rom éves ko rom ba ke - rül tünk egy más sal. Álom vi lág ban élt, ami ta lán nem lett vol na

Részletesebben

ő ü ó ľ ő ľ Ü Ő ľ ü ü ľ ľ ľ ő ź ő Ĺ ę ö ö ľ ľ ő ó ľ ľ ö Ĺ źýź ü ź ő ö ö ü ő ő ó ö ü źů ü ő ö ö ö ü ů ö ö ö Ĺ ő ü ö ö ü ů ź ó ý ű ö ę ő Ö ź ű ü ü ő ý ę ő ü ó ę ó ó ö ü ö ó ę ę Ü ö ü ź ü ń ľ ö ő ű ö ü ó

Részletesebben

ł ó á á é ő á á ő ő é é ő é ő ü é ö ł ľ áľ í í á é é ź ü é é á ź ę ęť ő í é é É Íľ É Á Ü ą É Í ľ ą ó Ü ľľľé ÉŃ Ü É ľ ń Á ąą ł Éľ É É Ą É ŹÁ ł Í á á á é é á é é á á á á é é á á á ź á á á é é ü áý á á á

Részletesebben

Teherhordó üveg födémszerkezet: T gerenda ragasztott öv-gerinc kapcsolatának numerikus vizsgálata

Teherhordó üveg födémszerkezet: T gerenda ragasztott öv-gerinc kapcsolatának numerikus vizsgálata Tudományos Diákköri Konrncia Thrhordó üvg ödémszrkzt: T grnda ragasztott öv-grinc kapcsolatának numrikus vizsgálata Készíttt: Gál Tamás F17JCS építőmérnök hallgató Konzulns: Dr. Vigh László Grgly Egytmi

Részletesebben

ő ľ ő Ą đ ü í ľ ľ ü ľ ľ í ľ ö í í ź í ľ ľ í ľ ő ő ő í í ü ö ü í ľ ü ľ ő ü ű ű ęľ ľ ľ ľ ü ľ ő ź ö ú ľü í ő ľ í í ő ź ö í ź í í ľ í ľ ľ ü ű ö ő ü ő ő ńź ő í ö ö ľ ű ö ö ű ő í ľ í ő ö ü ű ö ü ö źů ľ ľ ő í

Részletesebben

AZ EGÉSZSÉGÜGYI MINISZTÉRIUM HIVATALOS LAPJA FELHÍVÁS!

AZ EGÉSZSÉGÜGYI MINISZTÉRIUM HIVATALOS LAPJA FELHÍVÁS! LVII. ÉVFOLYAM 1. SZÁM 1-120. OLDAL 2007. január 9. AZ EGÉSZSÉGÜGYI MINISZTÉRIUM HIVATALOS LAPJA ÁRA: 1113 FT FELHÍVÁS! Fel hív juk tisz telt Ol va só ink fi gyel mét a köz löny utol só ol da lán köz zé

Részletesebben

Város Polgármestere ELŐTERJESZTÉS

Város Polgármestere ELŐTERJESZTÉS Város Polgármstr 251 Biatorbágy, Baross Gábor utca 2/a Tlfon: 6 23 31-174/233 mllék Fax: 6 23 31-135 E-mail: bruhazas@biatorbagy.hu www.biatorbagy.hu ELŐTERJESZTÉS Budapst Balaton közötti krékpárút nyomvonalával

Részletesebben

A MAGYAR TÖRTÉNELMI TÁRSULAT KIADVÁNYAI

A MAGYAR TÖRTÉNELMI TÁRSULAT KIADVÁNYAI A MAGYAR TÖRTÉNELMI TÁRSULAT KIADVÁNYAI 2 A MA GYAR TÖR TÉ NEL MI TÁR SU LAT KI AD VÁ NYAI A kö tet írá sai zöm mel a hu sza dik szá zad idõ sza ká ról szól nak, más részt pe dig át té te le sen ér vel

Részletesebben

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA

A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA A MAGYAR KÖZTÁRSASÁG HIVATALOS LAPJA Budapest, 2006. áp ri lis 19., szerda 46. szám I. kötet Ára: 1679, Ft TARTALOMJEGYZÉK 20/2006. (IV. 19.) BM r. A belügyminiszter irányítása alá tartozó szervek, valamint

Részletesebben

ő ľü ó Ö ľ ő ź ź ő ľ ő ľ ľ ľ ü í ľ ö ő ľ ő ó ő í ľ ü ľ ö ü í ú í ó ú ó ó ú ó ő í í ű ľó ü ľ ö ö ö ó í ü ű Íć ű ö ö ź ę ő ö ü ő ö ő ö ö í ő ü ľ ő ü ö ź ź ó ó ő ü ľ ľ ö źľő ő ő í ó ó Ł ł ü ű ü ú í ü ź ó

Részletesebben