MAGYARORSZÁGI VETÜLETEK. Bácsatyai László

Átírás

1 MAGYAOSZÁGI ETÜLETE Bácsata László Sprn 5

2 Lktr: Dr Csprg Szablcs fıskla tanár Dr arga Józsf gtm ajunktus

3 Tartalmjgzék BEEZETÉS TÉÉI ETÜLETE A térkép A fölflszíntıl a térkép síkjág A vtítés Alapflültk A g A föl llpsz A fölgömb A síkvtült tült krnátarnszrk A géza fıflaata a vtült krnátarnszrbn tült trzulásk és rukcók tült trzulásk A lnármulus általáns gnlt Azmut ltérés a képflültn A fkhálózat vnalak mrılgsségénk fltétl A lnármulus vzsgálata a szélsıértékkr tült fıránk Trzulás llpszs (Tsst-fél nkatr) Összfüggésk lnármulusk között Apllnus tétl Trült mulus Mamáls szögltérés Az alapflült szögtartó trülttartó és általáns trzulású ábrázlása a vtültn Az alapflült szögtartó ábrázlása Az alapflült trülttartó ábrázlása Az alapflült általáns trzulású ábrázlása Trzulás llpszsk különbözı trzulású vtültkr tültk csprtsítása aló és képzts vtültk Csprtsítás a képflült alakja szrnt Csprtsítás a képflült Fölhöz vszníttt lhlzés szrnt Érntı és süllszttt vtült özvtln és közvttt vtítéső vtült tült rukcók Elsı rán- és szögrukcó Az ránmulus Hssztrzulás ténzı és hsszrukcó Trülttrzulás ténzı és trült rukcó Másk rán- és szögrukcó Gömb szögfölöslg tült mránknvrgnca MAGYAOSZÁG SAJÁT ETÜLETEI A sztrgrafkus vtült tült gnltk Invrz vtült gnltk A sztrgrafkus vtült rukcó Hssztrzulás ténzı és hsszrukcó Másk ránrukcó tült mránknvrgnca A sztrgrafkus vtült szlvénhálózata A magarrszág analóg rıtrv (részt üzm) térképk szlvénzés rnszr

4 A frtnglő hngrvtültk tült gnltk Invrz vtült gnltk A frtnglő hngrvtültk rukcó Hssztrzulás ténzı és hsszrukcó Másk ránrukcó tült mránknvrgnca A frtnglő hngrvtültk szlvénhálózata Egségs Országs tült tült gnltk A mtszı gömb körök és a Gllérthg pnt lhlzés Invrz vtült gnltk A Egségs Országs tült rukcó Hssztrzulás ténzı és hsszrukcó Másk ránrukcó és vtült mránknvrgnca Az Egségs Országs tült szlvénhálózata GAUSS-FÉLE SZÖGTATÓ GÖMBI ETÜLET tült gnltk A Gauss-fél szögtartó gömb vtült állanó l Λ l Λ A és a ffrncálhánask mghatárzása Az n k állanók és a Gauss-gömb sugarának mghatárzása Invrz vtült gnltk A magarrszág gömb vtültk jllmzı aata Számpélák a Gauss-fél gömb vtült alkalmazására NEMZETÖZI ETÜLETE MAGYAOSZÁGON A Gauss-rügr vtült A szögtartóság alapgnlt tült gnltk Az llpsz mránív hssza Invrz vtült gnltk A Gauss-rügr vtült rukcó Hssztrzulás ténzı és hsszrukcó A lnármulus mghatárzása llpsz fölrajz krnátákból A lnármulus mghatárzása vtült krnátákból Másk ránrukcó tült mránknvrgnca A mránknvrgnca mghatárzása llpsz fölrajz krnátákból A mránknvrgnca mghatárzása vtült krnátákból Számpélák a Gauss-rügr vtült alkalmazására A Gauss-rügr vtült szlvénhálózata UTM vtült tült gnltk Invrz vtült gnltk Az UTM-vtült rukcó Hssztrzulás ténzı és hsszrukcó Másk ránrukcó tült mránknvrgnca A nrmál-llpszsk fölrajz hsszúsága Az UTM-vtült sáv- és rétgbsztása

5 5 5 Az UTM-vtült krnáta aznsítás rnszr ÁTSZÁMÍTÁSO ETÜLETI ENDSZEE ÖZÖTT Összfüggésk az llpsz térbl és az llpsz fölrajz krnáták között Ellpsz térbl krnáták számítása llpsz fölrajz krnátákból Ellpsz fölrajz krnáták számítása llpsz térbl krnátákból A térbl hasnlóság transzfrmácó A transzfrmácós összfüggés lvztés A transzfrmácós paramétrk mghatárzása A térbl plnms transzfrmácó A síkbl hasnlóság transzfrmácó A síkbl plnms transzfrmácó A krnáta-mószr Átszámítás a buapst sztrgrafkus és a magarrszág frtnglő hngrvtültk között Átszámítás a különbözı közép-mránú Gauss-rügr és UTM vtült sávk között Iralm FÜGGELÉ

6 6

7 7 Bvztés Géza vtültkt tárgaló könv Magarrszágn lıször 95-bn jlnt mg Haza István tllából A kaást késıbb több s kövtt A BME Fölmérı és Gnfrmatkus szaks hallgató számára arga Józsf írt gtm jgztkt míg a NME Gnfrmatka szaks hallgató Némth Gula fıskla jgztébıl tanulnak Jln könv a Magarrszág vtültk c a Mzıgazaság és Szaktuás aónál 99-ban mgjlnt tankönv jlntısn mósíttt és krszrősíttt váltzata Elıjéhz hasnlóan a Magarrszágn alkalmaztt vtült rnszrkkl fglalkzk flépítés léngébn mggzk a krábbéval: az lsı részbn a vtültk trzulásaval a másk részbn a kzárólag Magarrszágn klgztt a mnnkr magarrszág trült sajátsságkat magukn hrzó a magarrszág térképzés céljára kválaszttt géza vtültkkl fglalkzk A harmak rész a Gauss-fél szögtartó gömb vtültt a ngk rész a Magarrszágn s használt nmztköz vtültkt a Gauss-rügr és az UTM vtültt smrtt A könv utlsó ötök fjzténk tárga a vtült rnszrk között átszámításk Úg érztm hg a könvm mgjlnés óta több mnt év ltltévl - az utóbb ıbn nagn fntssá vált a mőhlas hlmghatárzás ltrjésér s tkntttl - nm fölöslgs a magar géza szakralmnak zt a részét újra átgnln s a vtültk általáns törvénszrőségn túl a csak Magarrszágn használats vtültkrıl matmatka szmpntból mgalapztt és gbn új szmléltmóú áttkntést nújtan E tankönv nm pótlhatja és nm s hlttsítht Dr Haza Istvánnak a géza vtültk trén Magarrszágn mnmág alapmőnk tknthtı munkásságát és nm vrsntársa hanm kgészítıj kíván lnn az témában g mgjlnt ralmaknak Törktm arra hg a számítástchnka ma színvnalának mgfllı anagt állítsak össz Ezért többk között a Gauss-rügr és az UTM vtültk kvétlévl mn a vtült gnltknél mn a vtült rukcóknál lhagtam a vtült srkat és a lgtöbb stbn számítógépn különösbb nhézségk nélkül prgramzható zárt képltkt fgalmaztam mg Az gs anagrészkt számítás pélákkal gészítttm k a számításkat végzı sualbasc frrásnlvő prgramrészkt a lgtöbb stbn a könv Függlékébn mllékltm Az 99-as kaáshz képst jlntısn mósítttam a vtült trzulásk és rukcók általáns lmélténk lírását A GIS és a GS tchnka ma fjlttség szntjénk kövtkztébn mósítanm klltt a vtült rnszrk között átszámításk flfgásmóját s bmutatva hg az átszámításkat a térbn kll lvégzn: a GS méréskbıl a térbn krnátát kapunk g középpntjával a Föl tömgközéppntjába hlztt vnatkztatás llpsz térbl ll llpsz fölrajz krnátarnszrébn A különbözı rszágk vtült (és magasság) rnszrnk összkapcslása zn krsztül lhtségs Mnzkn túlmnın száms szóhasználat mósításra s sr krült javítttam az lızı kaásban

8 8 észr nm vtt szövgzés- és képlthbákat Csak rmélhtm hg zzl gjőlg nm kltkztk újabb hbák Jlntısn mgváltztak az ábrák s A rég kaás száms ábráját kcsréltm E térbn mgszrkszttt ábrák síkban sajns nm mng azt mutatják amt térbn látn lhttt a síkban a könv ábrájaként sajns szgénbbé válnak rmélm aznban hg jbbak mnt az lsı kaásban és mgfllı fglmml jól kövthtık Néhán azóta mgjlnt publkácó kvétlévl léngébn váltzatlanul marat az lsı kaás ralmjgzék Ez rménm szrnt sgít a krább ralmban való lgazást lhtıvé tsz a krább anagkban való tájékzóást A könv mgírásakr kml támgatást és sgítségt kaptam Dr Áám Józsf gtm tanár akaémkustól ak tanácsaval végg sgíttt munkámat Hálámat fjzm k könvm lktranak Dr arga Józsf gtm ajunktusnak és Dr Csprg Szablcs fıskla tanárnak akk részltkb mnı hlnként szgrú ítéltükkl rmélhtılg mgakaálzták hg könvmbn tsztázatlan fgalmak fnícók matmatka lvztésk marajanak mélm hg a könv újszrő tárgalásmójával néhán a téma magarrszág és nmztköz szakralmában újnak tknthtı összfüggésévl valamnt számpélával haszns kgészítıj lsz nmcsak a magarrszág fölmérı mérnök-képzésnk hanm az trültn lgzó szakmbrk tvábbképzésénk látásmójuk tvább bıvülésénk s A könvt hasznnal frgathatják az agrár trültn tvéknkı szakmbrk a vtülttan után érklıı kutatók mélbb lmélülést kívánó ktranusk gtm és fıskla hallgatók a térnfrmatkával fglalkzó szakmbrk s akk valamln más szakma trültrıl érkzv a gtáls térképkkl kapcslatba krülnk Ezk száma nm kvés rmélhtı hg a könnbb ksbb lmélülést génlı és látvánsabb ránk mlltt könv tanulmánzásával s hasznsan töltk maj jükt Sprn 5 márcus Bácsata László

9 9 Térkép vtültk A térkép A térkép a fölflszín mgsmrésénk lgfntsabb sgészköz és mnn trvzés alapja lan aathrzó aml g hsszú lmélt és gakrlat tvéknségkt garánt magában fglaló flamat végtrmék A flamat lmélt rész lsısrban a Föl alakjának és mértnk mghatárzására ránul bb kll maj bllsztnünk szőkbb körnztünkt A Föl alakján tt nm a fzka fölflszínt a szárazfölkt tngrkt értjük hanm g alzált fölflültt aml nm tartalmazza a Föl rnkívül váltzats kmlkést bmélést ll zk váltzásat Szó szrnt értlmbn a térkép a térnk a kép lan síkbl alktás aml az alzált fölflszín matmatka törvénszrőségknk lgt tvı vtítésévl jön létr és a körülöttünk lévı hármmnzós vlágt lltv annak ksbb-nagbb részt különbözı mértékő kcítésbn ábrázlja A kcítés mértékét térkép mértaránnak nvzzük és a késıbbkbn M -ml fgjuk jlöln A mértaránt törtszámmal fjzzük k ahl a tört számlálójában a nvzıbn pg a kcítés mértékét kfjzı a tvábbakban a -val jlölt - mértaránszám áll Jlölés pl :5 vag /5 általánsságban :a vag /a A mértarán és a mértaránszám gmással fríttt aránban vannak nagbb mértaránhz ksbb mértaránszám tartzk és frítva Az :5 mértarán thát ksbb mnt az : A térkép mértarán lsı közlítésbn a térkép síkjában ttszılgs két pnt között távlság és a két pnt rt távlságának hánasa A mértarán szmpntjából aznban g síkbl és g térbl távlság csak akkr hasnlítható össz ha párhuzamsak Ez még az alzált fölflszínn lévı távlság stén cs íg zért a mértarán fgalmát a fölflszín vtítésénk matmatka mgfgalmazása után pntsítan fgjuk (- képlt) A kész térkép lht analóg vag gtáls Az analóg térképk papírra vag mérttartó anagra (asztraln lapra fólára) készülnk a gtáls térképkt a számítógépk háttértárlón kólt frmában tárlják A gtáls térkép lan számítógéps aatállmán amlnk a flhasználásával mgfllı szközökkl (rajzgép plttr) lıállítható az analóg térkép Az analóg térképpl llntétbn a gtáls térkép mértarán-függtln abban az értlmbn hg a térkép aatk ábrázlható sőrőségénk nm rajz krlátk hanm a számítógéps rajz mgjlnítés szmpntjából kalakíttt észszrőség szab határt Utóbbt a térkép lvashatósága a jlkulcs és a térkép összvnásk (gnralzálás) mérték bfláslja A gtáls térkép mgbízhatósága lméltlg ttszılgsn nag lht Ez alatt azt értjük hg a gtáls térképt kzárólag a géza mérésk és számításk hbá trhlk az éppn aktuáls grafkus mgjlnítés mértarána nm Mnz csak az új trp flmérés rménbıl készült gtáls térképr gaz a gtalzálás útján készült gtáls térképr nm mrt a térképgtalzálás srán az rt analóg trmék hbára még a gtalzálás srán lkövttt hbák s rárakónak Mn a mértarán-függtlnség (a ttszılgs térkép aatsőrőség) mn az lméltlg krlátlan ábrázlás mgbízhatóság khasználása g számítógéps térkép aatbázsban ptmáls aml a térkép rajz és mnmáls szövgs nfrmácón túl a térkép lmkhz rnlt ttszılgs mnnségő numrkus és szövgs nfrmácót (ún attrbútumkat) s tartalmaz A gtáls térkép és a hzzárnlt szövgs aatbázs trmttt mg az alapját a számítástchnka ma már Magarrszágn s szélskörőn ltrjt lhtıségénk a Fölrajz Infrmácós nszrk (anglul: Ggraphcal Infrmatns Sstm GIS) kalakításának A tchnka szköznk ptmáls khasználását a térképkészítés szgrú matmatka alapja tszk lhtıvé amlkr támaszkva a térkép lgalább lméltlg - bztsítja a fölflszín lhtı lgksbb trzuláskkal trhlt ábrázlását Ezn alapk tárgalása jln könvünk tárga

10 A fölflszíntıl a térkép síkjág A térkép ábrázlás mgkönnítés végtt a fölflszín pntk térbn lfglalt hlét két részr bntjuk: grkkrunk óta kalakult szmléltmóunknak mgfllın az ábrázlanó pntkat vízsznts függılgs (magasság) hlztükkl ajuk mg (- ábra) A hagmáns gézában a fzka fölflszín pntjat g fzka értlmbn mghatárztt flülthz a vízsznts flülthz képst értlmzzük A pnt vízsznts hlztét két aattal a függılgs hlztét g aattal ajuk mg A fölflszín síkrajzát a vízsznts flültn lévı pntk mbrzatrajzát a görb vnalú szakaszk (m m m ) öszszsség aja - ábra: A föl pntk hlzténk mgaása A vízsznts flült a nhézség rıtérbn értlmztt alzált flült más névn tngrsznt vag g A g matmatkalag zárt frmában nm írható l zért a kzlhtıség érkébn a tngrszntn lévı pntkat g llpszra az ún vnatkztatás llpszra végül g síkra a vtült síkjára vtítjük A vtült mértarán szrnt kcítésévl jön létr a térkép síkja Eszrnt a térkép mértarána az alább: térkép hssz M térkép mértarán (-) vtült hssz

11 A hagmáns géza mérésk mérımőszrk trmészt lan hg a vízszntsbn lévı pntk hlzténk és a tngrsznt fltt magasságk mghatárzása két részr választható szét és mnkét rész külön kzlhtı A ma már üzmszrőn használt GS vvık mérés rménbıl vsznt a Föl tömgközéppntjában rögzíttt llpsz krnátákat kapunk zért a könv címébn vállalt flaat a vízsznts hlzt értlmzés - mlltt a magasság értlmzéssl s fglalkznunk kll A vtítés Ha g mt az gk flültrıl a máskra vtítünk akkr az tt létrjött m kép az lıbbnk Azt a flültt amlrıl vtítünk alapflültnk amlr vtítünk képflültnk nvzzük Az llpszról a síkra történı áttérésnél az llpsz az alap- a sík pg a képflült Utóbb stbn a képflült ún síkvtült vag gszrőn vtült Elıfrul hg az llpsz és a sík közé gömböt ktatnak kkr az llpszról a gömbr való áttérésnél a képflült a gömb A vtítés matmatka összfüggéskkl történht gmtralag mgszrkszthtı és szmléltthtı gmtralag nm szmléltthtı món Az lsı stbn a vtítést valamln vtítés középpntból végzzük és vtítısugarakkal közvtítjük Ha a vtítés középpnt a végtlnbn van és a vtítısugarak a képflültr mrılgsk rtgnáls vag rékszögő vtítésrıl (-/a ábra) ha a vtítısugarak párhuzamsak a képflültr nm mrılgsk klngnáls vag frszögő vtítésrıl (-/b ábra) bszélünk Ha vtítés középpnt a végsbn van a vtítés cntráls (- /c ábra) C a) b) c) - ábra: títés vtítısugarakkal a) rtgnáls vtítés b) klngnáls vtítés c) cntráls vtítés A másk stbn a vtítés középpnt és a vtítısugarak hlzt gmtralag nm szmléltthtı a vtíttt pntk gmtralag nm szrkszthtık

12 Alapflültk A g Az - ábrán szmléltttt vízsznts flült mnts a fzka fölflszín rnkívül váltzatsságától a ksbb-nagbb kmlkésktıl vag bmélésktıl és a Föl gészér érvéns tulajnságkkal bír Nugalmban lévı nag vízflültk tavak tngrk szmléléskr z az lképzlésünk valósággá válk Tkntttl arra hg az ócánk és a tngrk flszín a Fölflszín közl /5- trmészts hg z a flült a nugalmban lévı tngrsznt flült amlt gnlatban mghsszabbítunk a fzka fölflszín a szárazfölk alatt úg hg az a Föl gészér ktrjı flamats flültt alkssn Ezt a flültt (- ábra) Lstng némt fzkus 87-ban gnak nvzt l Fzka fölflszín ócán g - ábra: A fölflszín és a g A nugalmban lévı tngrk flszínét a nhézség rı alakítja A nhézség rı az az rı aml mnn tstt a Fölhöz vnz A nhézség rı a szaban sı tstr ható nhézség grsulással mérhtı A nhézség grsulás gség a gal: m s - gal Az gségn tömgr ható nhézség rı számértékbn mggzk a nhézség grsulással zért két fgalm között általában nm tsznk különbségt Az SI rnszrbn a nhézség rı gség az rıgség N (Nwtn) átlags érték pg : kg m g 98 N 98 gal kg s É f g k C - ábra: A nhézség rı

13 Fltétlzv hg Fölünk flszín közlébn a kzmkus sugárzásból lltv a Nap a Hl a blgók tömgvnzásából aóó rıhatásk lhanaglhatók a nugalmban lévı tstr ható nhézség rıt két rı rıjként határzhatjuk mg (- ábra): - A Föl Nwtn-fél tömgvnzása (f) - A Föl tngl körül frgásából származó cntrfugáls rı (k) amlnk rána mnn pntban mrılgs a Föl frgástnglér g f k (-) A cntrfugáls rı nagsága az gnlítıtıl a sarkk flé csökkn am a tömgvnzás rıvl llntéts ránú hatás és a Föl lapultsága kövtkztébn - azt jlnt hg a nhézség rı érték az gnlítıtıl a sarkk flé nı Mnt mnn rı a nhézség rı s vktrmnnség A nhézség rıtér ttszılgs más rıtérhz hasnlóan mgaható rıvnalaval azaz az rıtér mnn pntjában smrn kll a nhézség rıvktr ránát és nagságát A nhézség rıtér kzlés gszrőbbé válk ha bvztjük a ptncál mnt skalárs mnnség fgalmát A g nhézség rı ptncálján lan W skalár mnnségt értünk amlnk g r lmzulás vktr szrnt lsı rváltja a nhézség rı vktra: Az (-) alapján az lm ptncál: W g (-) r W g r (-) Az (-) kfjzés két vktr skalárs szrzata A skalárs szrzat smrt mghatárzása szrnt: W ( gr) g r cs( g ) g r g r cs r (-) r ahl g g a nhézség rı vktr r r az lmzulás vktr abszlút érték g g cs( g r) a g rıvktr lmzulás ránú kmpnns ( g r) r - rl pg a két vktr által közbzárt szögt jlöljük A ( g r) szög értékér válasszunk két szélsı stt: ( g r) 9 és ( r) g Az ( g r) 9 stbn cs ( g r) s íg W g r Fltétlzv hg g érték állanó a ptncált az alább összfüggés szlgáltatja: W W g r g r cnst (-5) Az (-5) összfüggés az azns ptncálú pntk mértan hlét fjz k azaz g lan flültt amlnk mnn pntjában a r lmzulás vktr rána mrılgs a nhézség rı vktrának ránára

14 -g r Wcnst - ábra: A nhézségrı-vktr rána mrılgs a szntflültr A nhézség rı rána az att pntban mng mrılgs rr a flültr (- ábra) E flült nv szntflült vag gnlı ptncálú kvptncáls flült Ugancsak zn összfüggés szrnt a W ptncál mnt rınk és útnak a szrzata munka jllgő mnnség Eszrnt ha a W cnst ptncálú flültn g tömgt mzgatunk nm végzünk munkát a nhézség rı llnébn g r stbn a r lmzulás-vktr rána azns a g vktr ránával A ( ) vags cs ( g r) g ahnnan a (-) képltbıl kövtkzk hg W g r (-6) épzzük mst az (-6) határztt ntgrálját a W ptncál értékő g és g ttszılgs W ptncálú szntflült között (- ábra) W g r g r és W p W g r r ) ( g m (-7) Az Q r r m érték a szntflültén bárhl lévı pntnak a g vag a tngrsznt fltt abszlút magassága Az (-7) összfüggésbn a ngatív lıjl arra utal hg míg a nhézség rı a Föl blsj flé mutat ag a magasságt frítva a középtngrsznttıl flflé értlmzzük pztívnak g függıvnal g g - ábra: A tngrsznt fltt magasság a függıvnal mntén értlmztt távlság

15 5 Az (-7) összfüggés lvztéskr fltétlztük hg a két szntflült között a nhézség rı sm nagságát sm ránát nm váltztatja Mvl z valójában nncs íg a magasságt szgrú értlmbn vév nm gns hanm g ún kttıs csavarású térbl görb vnal a függıvnal mntén kll értlmznünk önnn blátható hg a függıvnal ttszılgs pntjában húztt érntı mgaja nhézség rı ránát Tkntsünk a tvábbakban két szmszés szntflültt! Mvl mnkét szntflült mnn pntjáhz uganazn ptncál tartzk nlvánvaló hg a két szntflült között W ptncálkülönbség állanó azaz a -vl és Q-val jlztt ttszılgs szntflültr az (-7) összfüggés szrnt fnnáll: Q ( W W ) ( W W ) W W W (-8) Q A szntflültk közt távlságt jlöljük m m Q m -vl kkr (-5 ábra): W g m (-9) Q szntflült W Q m m Q szntflült W W m g A -5 ábra: A magasságkülönbség értlmzés m m Q m érték két ttszılgs szntflültnk vag a vag a Q pntn átmnı függılgs mntén vtt távlsága özl és Q pntk stén a két érték ltérés lhanaglható A m érték kkr a különbözı szntflültkn lévı és Q pntk magasságkülönbség (rlatív magassága) Hagmánsan mng két pnt között magasságkülönbségt mérünk Ha smrjük az gk szntflültn (pl ) lévı pnt abszlút magasságát akkr a másk (pl Q) szntflültn lévı pnt abszlút magassága m Q m m (-) Mvl a nhézség rı érték az gnlítıtıl a sarkk flé nı azaz g > g vsznt W állanó z csak úg képzlhtı l hg a két szntflült között m távlságkra m > áll fnn azaz a szntflültk nm párhuzamsak gmással hanm a sarkk kv m pl flé összhajlanak (-6 ábra) ugans W g mkv g m kv pl pl pl kv

16 6 g pl m pl W Q W Egnlítı m kv g kv -6 ábra: A szntflültk a sarkk flé összhajlanak m m A gn g kv 978 g pl 98 Ha a m nagsága az Egnlítın pl s s m úg 978 m m pl 995 m 98 azaz mntg 5 m-rl ksbb Alsó-géza mérésnkbn a szntflültk nm párhuzams vltától éppúg mnt a függıvnal görbségétıl általában ltknthtünk Írjuk fl végül az (-6) összfüggést W r (-) g alakban A g érték végs mnnség W érték pg nm zérus thát r smmln körülménk között nm lht zérus Ez azt jlnt hg a szntflültk nm mtszhtk gmást Ttszılgs fölflszín pnt hlztét g a Fölhöz kapcslt krnátarnszrbn az m abszlút magasságával a szntflült fölrajz szélsségévl és a Λ szntflült fölrajz hsszúságával aják mg (-7 ábra) A Föl frgástngl függıvnal szntflült nrmáls ( Λ m ) m g pnt szntflült Λ Egnlítı síkja -7 ábra: Fölflszín pnt szntflült krnátá

17 7 A föl llpsz A föl llpsz a Föl való alakját hlttsítı frgás llpsz (- ábra) frgástngl b q a mrán-llpszs a Egnlítı - ábra: A föl llpsz a nag féltngl és b ks féltngl A föl llpsz alakját nm bfláslják a Föl tömglrnzıésénk rnllnsség a rá értlmztt ún nrmál nhézség rıtér jól llszkk a Föl nhézség rıtréhz és gszrőn számítható Íg a föl llpszt gmtra mért mlltt a Föl gütts tömg és szögsbsség s jllmz A föl llpsz ún szntllpsz am azt jlnt hg az llpsz flült önmaga nhézség rıtrénk szntflült Mnbbıl kövtkzk hg a ghz az lméltlg lgjbban smuló llpsz s attól ksbb-nagbb mértékbn ltér Szárazfölknél általában a g alatt a tngrknél pg a g fltt hala (- ábra) kntnns g föl llpsz - ábra: A föl llpsz lhlzkés Ha az llpszt a frgástnglén áthalaó síkkal lmtsszük az ún mránllpszshz jutunk A föl llpsz mértét és alakját az llpsz fél nagtnglévl a- val és fél kstnglévl b-vl aják mg (- ábra) Az a és b értékkbıl lvzthtık a föl llpszra vnatkzó alább paramétrk: q - mránkvaráns a b α - az llpsz lapultsága (-) a a b - lsı a fél nagtnglr vnatkzó numrkus cntrctás a (-)

18 8 a - b - másk a fél kstnglr vnatkzó numrkus cntrctás b Összfüggésk a két numrkus cntrctás között: (-) ; (-) Mghatárzásuk jétıl hlétıl és mójától függın az gs föl llpszk mért különböznk gmástól Az - táblázatban összfglaljuk a Magarrszágn s használats llpszk lgfntsabb paramétrt - táblázat: Magarrszágn s használats llpszk paramétr Az llpsz özlésénk a (m) b (m) α nv év Bssl :995 raszvszkj :98 IUGG/ :987 WGS :9857 Ttszılgs fölflszín pnt hlztét az llpszhz kapcslt krnátarnszrkbn aják mg: llpsz X Y Z térbl krnátával vag h llpsz fltt magasságával llpsz fölrajz szélsségévl és Λ llpsz fölrajz hsszúságával (- ábra) A két rnszr között az átszámítás zárt képltkkl történk (5 fjzt) Z θ llpsz nrmáls ( Λ h) szntflült nrmáls Grnwch llpsz mrán h α Λ Q A pnt llpsz mránja Y X (Grnwch) Ellpsz gnlítı síkja - ábra: Hlmghatárzó aatk a föl llpszn Az llpsz flültébıl az llpsz frgástnglén átfktttt síkk a mránkat az Egnlítı síkjával párhuzams síkk a szélsség körökt mtszk k alaml llpsz pnt fölrajz szélsségén a pnt nrmálsának (aml a póluskban és az Egnlítı pntjan mlt nrmálsk kvétlévl - nm mg át az llpsz középpntján) az llp-

19 9 sz gnlítı síkjával bzárt szögét Λ fölrajz hsszúságán a pntn átmnı mránnak g a vtült szmpntjából ttszılgsn választtt ún kzı-mránnal bzárt szögét értjük A vtültknél íg pl a Magarrszágn s használatban lévı Gauss-rügr vtültnél a kzı-mrán gakran az smrt grnwch mránnal sk gb pl az Ausztrában érvéns Gauss-rügr vtült ún frr kzı-mránja mntg 7 -cl sk nugat flé a grnwch mrántól Dfnícószrőn srljunk fl néhán tvább fnts fgalmat: alaml Q llpsz ív (- ábra) fölrajz azmutja a pntban az ívnk a pntn átmnı mrán észak ágával bzárt α szög a mrán és az ív pntbl érntı között az óramutató járásával mggzı ránban értlmzv a a c a - pólusgörbült sugár (-5) b (Ellpsz fölrajz szélsségtıl függı) sgémnnségk: cs ; W ; M N a ( ) ( ) a a ( ) ( cs ) a ( ) ( cs ) apcslatk a sgémnnségk között: - az llpsz mrán ránú görbült sugara (-6) - az llpsz harántgörbült sugara ( ) (-7) c a N W ; (-8) c a N W (-9) a stén vags az gnlítın M N a ; 9 stén vags a pólusn M N a c Innn származk c r a pólusgörbült sugár lnvzés A és Q pntk távlsága az llpszn a pntkat összkötı lgrövbb llpsz ív a géza vnal Az llpsz pntbl nrmálsán és a Q pntn átfktttt sík valamnt a Q pntbl nrmálsán és a pntn átfktttt sík által az llpsz flültébıl kmtsztt nrmálmtsztk nm aznsak (- ábra) mvl az llpsz lapultsága matt a nrmálsk nm snk g síkba hanm ktérı gnsk (kvév ha a és Q pntk g mránn vag g szélsség körön hlzknk l) A géza vnal / és / aránban sztja a két nrmálmtsztt és flamatsan kövt a ktérı gnsk váltzását mnn gs pntjában a görbült sugár rána gbsk a flült nrmálssal Mvl érték cskél ( km-s távlságn s csak mntg ") tulajnságnak csak az llpszn mnt alapflültn végztt számításk gértlmőség szmpntjából a fölrajz krnáták és a fölrajz azmutk számításánál van jlntıség

20 Q nrmálmtszt Q nrmálmtszt - ábra: Nrmálmtsztk és a géza vnal Tkntsük az -7 és a - ábrát! Az ábrák alapján a g és a föl llpsz ltérést az alább fgalmakkal rögzítjük: Függıvnal-lhajlás (a szntflült és az llpsz nrmáls által bzárt szög): ( ) ( Λ Λ) cs θ (-) Gunulácó (az llpsz és a tngrsznt fltt magasság különbség): Q N h m (-) E két mnnség smrt lhtıvé tsz a gról az llpszra történı áttérést A függıvnal-lhajlás a gakrlat stk többségébn lhanaglható a függıvnalak kkr az llpsz nrmálsa A haza és nmztköz szakralm a harántgörbült sugarat és a gunulácót garánt N-nl jlöl A jlöléskt m s mgtartttuk A két jlölés uganazn összfüggéskbn shasm kvrk s mng vlágs lsz mkr mlkrıl van szó Azt az llpszt amlr az gs rszágk térképzés rnszrükt vnatkztatják vnatkztatás llpsznak vag vnatkztatás rnszrnk nvzzük (- ábra) A vnatkztatás llpsz lan föl llpsz amlnk fölflszín kzıpntja és tájékzása van valamnt smrt a gunulácó a kzıpntban A vnatkztatás llpsz mértt a kzt ıszakban a fkmérésk sgítségévl határzták mg A fkmérés srán az llpsz mránív g szakaszát valamnt az ív két végpntjának fölrajz szélsségét ( ) mérték A mránszakasz hsszából és a két szélsség fkértékbn att különbségébıl vztték l a mránív hsszát és az llpsz géb paramétrt Mvl mnt láttuk az M mrán ránú és az N harántgörbült sugár az llpszn pntról pntra váltzk az llpszk mért attól függ hg a fnt aatkat a Föl ml részén határzták mg Az íg mghatárztt llpsz a mghatárzás hlén smul lgjbban a ghz íg g att rszág számára annak az llpsznak a használata célszrő amlt a hzzá mnél közlbb sı hln határztak mg A mőhlak sgítségévl végztt llpsz-mghatárzásk és a GS ltrjés az gész vlágn uganazn vnatkztatás llpsz használatát kövtl mg az arra vnatkzó rménkt mnn rszágnak át kll számítana a saját vnatkztatás rnszrér (5 fjzt) Magarrszágn a plgár célú géza munkáknál és térképknél skág a Bsslfél vnatkztatás llpszt használták 975-tıl az Egségs Országs Térképrnszrr történı áttéréskr a Nmztköz Géza és Gfzka Unó által 967-bn lfgatt IUGG/967 llpszt vztték b A GS mérésk rmén a WGS8 llpszra vnatkznak A rnszrváltás lıtt a arsó Szrzıés krtén blül katna térképt Magarrszág s a raszvszkj-fél llpszra vnatkztatta

21 A vnatkztatás llpszk rszágnként különbözık még uganazn rszágn íg Magarrszágn - blül s a különbözı ıszakkban váltztak A vnatkztatás rnszr lnvzés hltt gakran használják a géza átum lnvzést s Ebbn az értlmbn használats Magarrszágn az IUGG/967 vnatkzás llpsz hltt a HD-7 (Hungaran Datum 97) lnvzés A fölgömb A Föl mértt Nwtng vsszamnın gtln paramétrrl a sugárral jllmzték A rsztus lıtt százaban élt Eratsthns vlt az lsı ak a fölgömb sugarát mgállapíttta (- ábra) frgástngl 7 Nap Alanra Sn (Asszuán) Gömb gnlítı - ábra: A fölgömb sugarának mghatárzása Eratsthns mgfglt hg a nár napfruló jén élbn Snébn (a ma Asszuán) a napsugarak g kút fnkét mgvlágíttták vags mrılgsn érkztk a Föl flültér míg g tljsn hasnló ıpntban Alanrában a tljs kör mntg /5- részévl ltértk ( 7 ) Az Alanra és Sn között gömb mránív hsszára a két hl között áthalaó karaván halaás jébıl és sbsségébıl kövtkztttt (ma hsszmértékbn z a távlság mntg 67 km) Ez nlvánvalóan pntatlan hszn Alanra és Sn nncsnk uganazn a mránn és a napsugarak nm pntsan függılgsk Az sugarú körbn az ív és a sugár hánasa gnlı a középpnt szög raánban kfjztt értékévl ahnnan: km π 7 Ez az érték mntg 6%-kal ksbb a ma smrt 67 km körül értéknél A fölgömbön g pnt hlét a ϕ gömb fölrajz szélsség és a λ gömb fölrajz hsszúság határzzák mg (- ábra) A fölrajz szélsség és hsszúság valamnt a fölrajz azmut mghatárzása mggzk a föl llpsznál mgfgalmaztt mghatárzáskkal az llpsz kfjzést a gömb kfjzéssl hlttsítjük

22 A gömb frgástngl (ϕ λ) gömb nrmáls Gömb kzımrán Q α g λ ϕ A pnt gömb mránja Gömb gnlítı síkja - ábra: Hlmghatárzó aatk a fölgömbön A és Q gömb pntk között lgrövbb vnal a lgnagbb gömb kör két pnt közé sı ív a gömb géza vnal Az - ábrán két tvább gömb vnalat ábrázlunk: az rtrómát és a lrómát rtróma α α α azmut lróma - ábra: Ortróma és lróma Az rtróma görög szó szó szrnt frításban gns futást jlnt Az a hajó aml vnal mntén törkszk céljának lérésér a lgrövbb utat vags a lgnagbb gömb körívt kövt Az rtróma és a gömb géza vnal kvvalns kfjzésk Látjuk hg a mránkat mng más-más szög alatt mtszk az szrnt tájékzóás nm gszrő A lróma fr futást jlnt és azmutja állanó a mránk és az gnlítı mntén a lgnagbb gömb kör a szélsség körök mntén gömb kör Más ránban g lan csavarvnal aml aszmpttkusan közlk csavark a pólushz A rég hajósk csak arra ügltk hg rántőjük sgítségévl zt a szögt tartsák A navgálás íg gszrő ıvsztségs vlt a lróma ugans hsszabb mnt az rtróma sbb ktrjéső rszágkban mnt amln Magarrszág s az llpsz flülténk g arabját g ún smulógömbbl hlttsíthtk Ez a gömb az llpszt az ábrázlanó trült közp táján mgválaszttt pnt körnztébn érnt Az llpsz és a smulógömb flült lan közl snk gmáshz hg a mérés rménkt közvtlnül gömb

23 aatknak tknthtjük Ezt az llpsz flültéhz lgjbban smuló gömböt Gaussgömbnk nvzk A Gauss-gömb sugara g mgfllın kválaszttt pntban az llpsz mrán ránú és harántgörbült sugarának mértan közp ( pnt): c M N (-) A gömb és a sík között összfüggésk skkal gszrőbbk mnt az llpsz és a sík közöttk am a számítástchnka rég fjlttség szntjén különösn fnts vlt Magarrszágn a Gauss-gömböt 857 óta az ún kttıs vtítés stén alkalmazzák A vtítés lsı lépés az llpszról a Gauss-gömbr a másk a Gauss-gömbrıl a síkra történı vtítés Az llpszról a Gauss-gömbr vtítés rmén a Gauss-fél gömb vtült amlnk számítás összfüggésr és tulajnságanak smrttésér a fjztbn térünk vssza A síkvtült tült krnátarnszrk A síkban vag a síkba tríthtı képflültn (tvábbakban: vtült - ábra) g pnt hlét g sík rékszögő krnátarnszrbn a vtült krnátarnszrbn értlmzzük Eg rszág vtült krnátarnszrénk kzıpntját célszrőn az rszág közp táján választják mg Az alkalmazanó vtült mgválasztását alapvtın az rszág alakja a Fölön való lhlzkés trült és hsszant ránú ktrjésénk mérték bfláslja Más vtültt választanak pl a mrán ránában hsszan lnúló rszág pl Chl vag a különbözı ránkban nagjából azns ktrjéső Francarszág stébn Nag ktrjéső rszágk stén általában több - hasnló típusú és tulajnságú vtült krnátarnszrt használnak mngkt külön kzıpnttal A vtült krnátarnszr tngl a kzıpntn áthalaó mránnak a kzı-mránnak tngl a kzıránra az alapflültn s mrılgs alapflült vnalnak a vtültbn gnsként jlntkzı kép A tvábbakban a krnátákat srrnbn használjuk A matmatkában mgszktt sík rékszögő krnátarnszrrl llntétbn a vtült krnátarnszrbn az tngl pztív ágát az tngl pztív ágától jbbra az óramutató járásának mgfllı ránban kapjuk E krnátarnszr használatának ka flthtın az a hagmáns szmlélt amlll összhangban a gézában használats szögmérımőszrkn a vízsznts szögt az óramutató járásával mggzı ránban növkvı fkbsztásn lvassuk l mrt mnt a jbblal közlkést zt érzzük trmésztsnk Ebbn a rnszrbn mnn a matmatkában mgszktt krnáta-gmtra összfüggés érvénbn mara Q δ Q Q Q Q δ Q Q Q δ Q δ Q Q Q Q Q a) b) - ábra: tült krnátarnszrk a) élnugat tájékzás b) északklt tájékzás

24 A vtült krnátarnszrk tnglénk pztív ága (a tngl) él vag észak lé mutat Dél flé mutató tnglnél élnugat észak flé mutató tnglnél északklt tájékzású vtült krnátarnszrrıl bszélünk (- ábra) A vtült krnátarnszrbn a pnt hlét és rékszögő krnátával ajuk mg A δ ránszög alatt azt a és 6 közé sı szögt értjük amlt g vtült síkn lévı pntból g másk uganazn síkn lévı Q pnt flé mnı rán a tngl ránával az óramutató járásával mggzı ránban bzár Az - a) és b) ábrákból láthatóan a Q pntból a pntba mnı llntéts rán ránszög ttıl 8 -kal különbözk: δ Q δq ± 8 (-) Az alap- és a képflült között a kapcslatt a vtült gnltk trmtk mg Utóbbak az és vtült krnátákat fjzk k az llpsz fölrajz szélsség és a Λ llpsz fölrajz hsszúság függvénébn Szmblkus jlöléssl: f ( Λ) f ( Λ) (-) A vtült gnltkkl szmbn az alább fltétlkt kívánják mg: az alapflült mnn pntjának csak g és csaks g pnt flljn mg a képflültn a vtült gnltk fltnsak és ffrncálhatók rváltjak szntén fltnsak lgnk klégítsék a trzuláskra ( pnt) mgatt kövtlménkt Frítva kfjzhtjük a és Λ llpsz fölrajz krnátákat a vtült krnáták függvénébn: Λ f f Λ ( ) ( ) (-) Utóbbak az ún nvrz vtült gnltk A vtült gnltkt nm mnn térképznı pntra használják Az llpszn krlátztt számú pnt fölrajz krnátá és a szmszés pntk között fölrajz azmutk mghatárzása után azkat a vtült gnltk sgítségévl számítják át vtült krnátákká és ránszögkké Az l món fnált vtültbn tvább mmár ttszılgs számú pntt már a sík rékszögő krnátarnszrbn érvéns összfüggésk flhasználásával határznak mg a vtült gnltk alkalmazása nélkül A géza fıflaata a vtült krnátarnszrbn Elsı géza fıflaat: Eg vtült krnátarnszrbn att pnt rékszögő krnátából és g másk pnt flé mnı gns szakasz δ ránszögébıl és hsszából mghatárzzuk a másk pnt vtült krnátát Attak: a pnt vtült krnátá δ Q a pntról a Q pntra mutató rán ránszög a és Q pntk távlsága a vtült krnátarnszrbn rssük: A Q pnt Q Q vtült krnátát

25 5 A - ábrából mn az északklt mn a élnugat tájékzású krnátarnszrr: Q Q Q Q δ csδ Q Q (-) Másk géza fıflaat: alaml vtült krnátarnszrbn att két pnt rékszögő krnátából mghatárzzuk a két pnt között gns szakasz hsszát (a két pnt távlságát) és az gns szakasz δ ránszögét Attak: Q Q a és Q pntk vtült krnátá rssük: δ Q a pntról a Q pntra mutató rán ránszögét a és Q pntk távlságát a vtült krnátarnszrbn Ugancsak a - ábrából tan δ Q Q Q Q Q (-5) Q Q ( ) ( ) (-6) Q Q Q I I I ( ) Q I Mvl 6 ( ) Q III < 6 - ábra: Az ránszög lıjl < δ Q zért Q csδ és δ Q s íg az (-5) kfjzésbıl számítható δ Q lıjls mnnség attól függın hg az ránszög mlk (I II III I) szög ngb sk A szögngk értlmzését és a krnátakülönbségk ( ) lıjlt az - ábrán szmlélttjük tült trzulásk és rukcók III II 8 ( ) A g a magasságk szmpntjából nm a síkrajz térképzésénk mnnnaps gakrlata szmpntjából lfgaható mértékbn hlttsíthtı az llpszal Az llpsz görb vnalak és flültk síkba vtítéskr aznban nm lhanaglható trzulásk lépnk fl A térképalktás srán arra kll törknünk hg a síkrajzt és a síkban ábrázlt mbrzatt alktó trmészts és mstrségs trptárgakat lhtılg való alakjukban δ Q Q II 9 ( ) Q Q

26 6 vag ahhz mnél közlbb mutassuk b Ebbıl a szmpntból a trzulásk annál nagbbak szmbtőnıbbk és zavaróbbak mnél nagbb a fölflszínnk az a rész amlt a térképn ábrázln akarunk Szélsı stbn ha pélául az gész Fölt g térképn kívánjuk ábrázln az - ábrán vázlt hlzt állhat lı amkr az gs fölrészk térkép trült jlntıs mértékbn llntmn a valóságs trült aatknak - ábra: A fölflszín alakzatk trzulnak a síkban Frítva mnél ksbb a térképn ábrázln kívánt fölflült annál ksbbk a trzulásk míg végül ljutunk g akkra trülthz amlnk térkép ábrázlásakr a térképzés gakrlat szmpntjából a trzulásk mérték már lhanaglható E trült nagsága a térkép mértaránától és a térkép ábrázlás lıírt mgbízhatóságától függ s matt rlatív Határzzuk mg azt a - a mértarántól függı - lgnagbb trültt amln blül a trzulásk fglmn kívül haghatók A trült krlátk btartása stén vtítésr nncs szükség Inuljunk k abból hg a grafkus térképn az gmáshz mm-nél közlbb sı pntkat már nm tujuk gmástól mgkülönbözttn Ez pl : mértarán stén a trpn (pntsabban a vtültn) mm mm m -nk fll mg Az - ábrán a vízsznts flültt az gszrőség kvéért gömbbl hlttsítjük - ábra: A trzulás mérték a flült nagságától függ A fölgömb sugara mntg 68 km A γ az s gömb hsszhz tartzó középpnt szög Az s hssznak az érntés síkra más szóval a pnt vízsznts síkjára vtíttt érték

27 7 A kttı különbség az s hssz trzulásának a trpn mgnghtı mérték stünkbn m km Az ábrából s s tan γ s s s tan s (-) s s 68 tg s 68 Az (-) gnltt az s 5 km érték légít k azaz a trzulást a pnt körnztébn mntg 5 km-s sugarú körbn haghatjuk fglmn kívül sbb mértaránnál s érték nagbb nagbb mértaránnál ksbb l nagbb : mértaránnál s km A vtítés srán a trültk és hsszak trzulásával általánsságban a szögk s trzulnak A vtült gnltk aznban mgválaszthatók úg hg valamlk mnnség a másk rvására a vtítéssl n váltzzn A képflültn jlntkzı trzulásk matt a térkép ábrázláskr a mért távlságkat szögkt és trültkt krrgálnunk kll A krrkcóra szlgáló mnnségkt vtült rukcóknak nvzzük tült trzulásk A hsszak l nm krülhtı váltzása a vtültn azt jlnt hg a vtítéskr az alapflült mértk pntról pntra a hltıl függın különbözı mértkbn képzınk l a képflültn E különbségk rögzítésér az ún vtült mértarán kfjzés szlgál Ezt a váltzást a hsszak trzulását jllmzı lnármulussal értlmzzük: l (-) s A lnármulus azt fjz k hg g alapflült s hssz végtln ks s váltzásának a vtült hssz (- ábra) mkkra végtln ks váltzása fll mg Általáns stbn s A szögk trzulását a γ γ γ (-) szögltéréssl s annak υ γ ma mamáls értékévl jllmzzük (8 pnt) Az (-) összfüggésbn γ két ttszılgs rán közbzárt szög a képflültn γ a mgfllı ránk által bzárt szög az alapflültn A vtültn lévı végtln ks T trült és a mgfllı alapflült F flült T τ (-) F hánasát trült mulusnak nvzzük A trülttrzulás függvén a hsszak és szögk trzulásának A hsszak szögk és trültk fnt trzulásanak mértékszáma mnısítk a vtültk használhatóságát alkalmazásuk fltétlt A tvábbakban amkr alapflültrıl bszélünk llpszt vag gömböt ha képflültrıl síkvtültt (vtültt) értünk alatta

28 8 A lnármulus általáns gnlt r Λ Λ Λ M s α β Λ a) b) - ábra: égtln ks flültk az alapflültn és a képflültn Általáns stbn az llpszra mnt alapflültr vnatkzóan a lnármulus gnltét g ttszılgs Λ fölrajz krnátájú pntban az alább lvztésbıl kaphatjuk mg (- ábra) : Az ábra szrnt a vtültr az llpszra gaz ahl s ( M ) ( r Λ) r N cs és (-) M a mrán ránú görbült sugár (-6 képlt) N a harántgörbült sugár (-7 képlt) Hlttsítsük és s kfjzést az (-) képltb maj mljük négztr! apjuk: Az l ( ) ( s) ( M ) ( r Λ) (-5) f f ( Λ) ( Λ) (-) vtült gnltk tljs rváltja: Λ Λ Λ Λ Az (-) összfüggés bznítása az 5 Ellpsz térbl krnáták számítása llpsz fölrajz krnátákból c pntban található

29 9 Az (-5) képlt jbblala számlálójában kjlölt négztr mlés és a öszszgbıl kmlés után Λ G Λ F E írható ahl és Λ Λ G Λ Λ F E az ún Gauss-fél állanók Hlttsítsünk vssza az l -r flírt (-5) összfüggésb! apjuk: Λ r M Λ G Λ F E l Osszuk l a számlálót és a nvzıt s Λ -tl maj vzssük b az Λ u sgéfüggvént! Írhatjuk: r u M G u F u E l (-6) Az - ábrából u M r M Λ r tanα aók ahnnan ctα M r u Az u t az l -r flírt (-6) kfjzésb hlttsítv írhatjuk: ( ) ct ct ct ct ct ct α α α α α α r G M r F M r E r M r M G M r F M r E l ct α α és ct ct cs α α α zért

30 E F G l cs α α csα α M M r r E F G zssük b a a Q és a T jlöléskt! Ekkr α α csα M M r r hlttsítéssl a lnármulus négztér kapjuk: éla: l cs α Q α T α (-7) A fölgömbr vnatkzó vtült gnltk lgnk az alábbak: Határzzuk mg a lnármulust! épzzük az alább parcáls rváltakat: λ ϕ Tvábbá ; ; ; λ ϕ ϕ λ M N és az (-) képlt szrnt r csϕ a föl- mrt a fölgömbr gömb sugara E ; F ; G ; Q ; T cs ϕ Az (-7) összfüggésb hlttsítv a lnármulusra írhatjuk: l cs α α cs ϕ Számítsuk k az l lnármulusnak a gömb mrán és a gömb szélsség kör ránába sı m ll n értékt! g A gömb azmut a mrán ránában α értékt az l képltéb hlttsítv kapjuk: a szélsség kör ránában l ( ) m l α ( α 9 ) n csϕ g α 9 A gömb mrán hssza a vtültbn nm sznv trzulást a szélsség kör hssza az gnlítıtıl való távlság függvénébn -tıl -g váltzk Azmut ltérés a képflültn Az - ábra szrnt az α fölrajz azmutnak a vtültn a β szög fll mg Határzzuk mg β-t és ltérését az α fölrajz azmuttól (azmutrukcó: α β α pnt (-) képlt)! Az g α

31 ét ttszılgs alapflült görb képénk közbzárt szög a vtült síkjában lgn χ (- ábra) - ábra: Az alapflült görbék kép a vtültn s görb A ffrncálgmtrából két ttszılgs görb közbzárt szögér smrt képlt (pl Brnstjn-Szmngajv 96 l) alapján a ( ) cs Λ Λ G Λ Λ F E χ (-) összfüggés írható fl ahl E F és G a Gauss-fél állanók Λ és a pnt Λ és és Λ a pnt és Λ fölrajz krnátának végtln ks váltzása az lızı pnt hasnló képlt szrnt pg Λ G Λ F E és Λ G Λ F E Ha a pnt a mránn van knstans Λ (a mrán mntén nncs váltzás - a) ábra) zért Λ és β χ Az (-) képlt kkr a cs E Λ G Λ F E Λ F E β ( ) Λ G Λ F E E Λ F E alakt ölt A -l gszrősítv és az lızı fjztbıl smrt Λ u sgéfüggvént hlttsítv írhatjuk: G u F u E E F u E cs β (-) Fjzzük k a β -t s! apjuk: χ