A Bolyai-Lobacsevszkij-féle nem-euklideszi geometria felfedezésének és hatásának története 6.

Átírás

1 A Bolyai-Lobacsvszkij-él nm-uklidszi omtria ldzésénk és hatásának történt 6. Tanács János y. adj. BME Filozóia és Tudománytörtént Tsz. MTA-BME Tudománytörtént és Tudományilozóia Kutatócsoport Eyáltalán: mi a jlntés? Fr válasza (Fr-Russll-Carnap stílusú szmantika) Mink az azonossáát állítja az Alkonycsilla azonos a Hajnalcsillaal állítás? A jlntés maa a mnvztt dolo, a rrncia. Mivl az Alkonycsilla és a Hajnalcsilla uyanarra az objktumra vonatkozik (uaz. a rrnciája), és a jlntés maa a mnvztt dolo, zért az Alkonycsilla és a Hajnalcsilla jlntés myzik Eyáltalán: mi a jlntés? Eyáltalán: mi a jlntés? Ha azonban az Alkonycsilla és a Hajnalcsilla rrnciája myzik, éspdi z, mint objktum azonos önmaával, akkor a Alkonycsilla és a Hajnalcsilla jlntés is myzik. Mí azonban Az Alkonycsilla azonos a Alkonycsillaal tautolóiának, és zért smmitmondónak tűnik, Ha azonban íy van, akkor az azonos jlntésű kijzésk salva vritat (az iazsáérték mváltozása nélkül) kicsrélhtők, lcsrélhtők. Thát: Az Alkonycsilla azonos a Alkonycsillaal állításra léphtünk addi az rdti Alkonycsilla azonos a Hajnalcsillaal állítás nm tautolóia, és nm smmitmondó, hanm tartalmas: y mpirikus tényt jz ki, mond valamit a viláról, amit l klltt ismrni vay dzni A jlntés inomabb szrkztű, l kll bontani két komponnsr: intnzió (Frnél értlm ) intraszubjktív, azaz a jbn van, introspktív, azaz maadba mélydv, blső miyléssl raadható m azonossáuk. xtnzió (Frnél jlntés) rrncia, intrszubjktív, azaz külsől is mnyilvánul, közösséil hozzáérhtő és llnőrizhtő, azonossáuk mpirikus miyléssl is tttn érhtő, mraadható. Vannak thát intnzionális és xtnzionális kijzésk és kontxtusok A jlntés két komponns: intraszubjktív (intnzió, introspktív) intrszubjktív (xtnzió, rrncia, jlölt) Eys xtnzionálisan yző kijzéskt (intnzionálisan) azonos jlntésűnk tartunk, másokat nm. Eyző xtnzió yző intnzió: 1. nős éri, érj, házas éri, husband, marrid man 2. alény, nőtln éri, unmarrid man, bachlor Eyző xtnzió különböző intnzió: 1. Tollatlan kétlábú vs. mbr 2. Szívs vs. Vsés

2 Az abszolút, a hiprbolikus és az uklidszi omtria axiomatikus lépítésbn 123. I. Illszkdési axiómák: I 1, I 2,, I 9. II. Rndzési axiómák: III. Eybváósái axiómák: IV. Folytonossái axióma(k): Co. (Olykor ) V. Párhuzamossái axióma: V1. Euklidszi párhuzamossái axióma: AX EP. V2. Hiprbolikus párhuzamossái axióma: AX BLP. A Bolyai-él abszolút omtria: az I-IV. axiómacsoport. Az uklidszi omtria: az I-IV.+ V1. axiómacsoport. A BL-él hiprbolikus omtria: az I-IV.+ V2. axiómacsoport. Az abszolút, a hiprbolikus és az uklidszi omtria 4. axiomatikus lépítésbn 124. BL-él hiprbolikus o. Bolyai-él abszolút o. Euklidszi o. + + AX BLP. AX EP. Bolyai-él abszolút Az o.: ys I-IV. axióma-csoportok axiómacsoport I. Illszkdési axiómák: I 1 : Két különböző ponthoz mindi tartozik y yns, amly mindkttőhöz illszkdik. I 2 : Két különböző ponthoz nm tartozik ynél több olyan yns, amly mindkttőhöz illszkdik II. Rndzési axiómák: O 1 : Ha a B pont az A és a C pontok között van, akkor A, B, C különböző pontok, és y yns pontjai. O 2 : Két ponthoz, A-hoz és C-hz létzik az AC ynsnk lalább y olyan B pontja, hoy C az A és B között van. III. Eybváósái axiómák: (Szakaszok, szök, valamint szök és szakaszok ybváósának ax.-i) C 1 : Ha két szakasz ybváó y harmadikkal, akkor ymással is ybváók. IV. Folytonossái axióma(k): Co. (olykor Co 1, Co 2 ) Co 1 : Arkhimédész-él szakaszlmérési ax. Co 2 : Cantor-él ymásbaskatulyázott intrvallumok ax A nm-uklidszi omtria loadásának kontxtusa: a Fr-Hilbrt vita David Hilbrt A matmatikailozóia ormalista irányzatának malapítója A matmatika ormális tudomány: a ormális, d nm jlntésnélküli szimbólumokkal A matmatikai iazsá és létzés (zisztncia) kizárólaos, szüksés és lésés kritériuma: az axiómák konzisztnciája. Hilbrt Gottlob Frhz intéztt dcmbr 29-i lvl: Ha az önkénysn kiválasztott axiómák nm mondanak llnt ymásnak vay bármly kövtkzményüknk, akkor iazak, és az általuk diniált dolok létznk. Ez számomra az iazsá és a létzés kritériuma A nm-uklidszi omtria loadásának kontxtusa: a Fr-Hilbrt vita Hilbrt a Grundlan dr Gomtri-bn is diniálásról bszél, például a második, úynvztt rndzési axiómacsoport (3. pararaus) közt lvés, között van oalma kapcsán. Ez az axiómacsoport diniálja azt az idát [oalmat], amlyt a között szó kijz Hilbrt szrint thát az axiómák dinícióként unkcionálnak ún. implicit dinícióként. Az axiómák implicit diníciók, amlyk diniálják a bnnük szrplő kijzésk (alapoalmak, primitív kijzésk) jlntését Fr llnvtési: Különbözők a Hilbrt-él axiómarndszr ys részcsoportjai kapcsán. A Hilbrt-él Grundlan második, azaz rndzési axiómacsoportja (3. parar.) kapcsán azzal érvlt, hoy: azt az azért nm tkinthtjük a között oalom diníciójának, mrt az axióma állításai nm képsk madni a jllmző tulajdonsáokat, azaz nm tljsítik azt, amit lvárunk a diníciótól, nvztsn, hoy képssé tyn bnnünkt annak ldöntésér, vajon y adott táry, dolo az úynvztt diniált oalom alá tartozik- vay sm

3 Hilbrt azonban kitartott amlltt, hoy A Hilbrt-él Grundlan lső axiómacsoportja (2. parar., az illszkdés [rajta lvés] axiómái) kapcsán pdi az volt a kioása, hoy a pont, yns, stb. szavak jlntését nm adhatják m az axiómák, hanm azoknak már lőztsn ismrtknk kll lnniük. az ys axiómacsoportok yüttsn képsk mhatározni azon kijzésk jlntését, amlyk bnnük szrplnk, és szüksé stén az axiómák lé biyszthtnénk pld., hoy a között olyan rláció, amly az yns pontjaira vonatkozik, és amlynk a kövtkző jllmző tulajdonsáai vannak: II.1. II.5. (Azaz itt yszrűn csak l kll sorolni a szóban oró axiómákat.) Ha yszr az axiómák konzisztnciája dönti l, hoy az általuk diniált dolok létznk és az axiómák iazak, akkor az axiómák yütts, mint rndszr határozza m (diniálja implicit) a bnnük szrplő kijzésk jlntését, kövtkzésképp: különböző axiómarndszrk különböző (implicit) diníciókat rdményznk, azaz különböző axiómarndszrk ormálisan azonos primitív kijzésink különbözők a jlntési A mondat a lkisbb, önmaában használható nylvi ysé: nm szavakat állítunk, hanm mondatokat, és az, amit l tudunk llnőrizni, amibn tudunk yt értni vay nm értni, az a mondat. Az lső, közvtlnül hozzáérhtő szintn a mondatoknak van, a mondatok kapnak jlntést, nm a szavak. A szavak jlntés közvttt, származtatott a mondat rammatikai szmntálása révén jön, hozható létr a szójlntés. A szmntálhatósá azonban nm yértlműn mhatározott, altrnatív ldarabolások is lképzlhtők, kövtkzésképpn a mondatjlntés lbontása szójlntésr nm yértlmű Ha a szavak címkék a oalmakon, akkor a szójlntés (azaz az intnzionális komponns) ll m a oalomnak, azaz a szójlntés ll m a oalmi taolásnak. Mivl azonban altrnatív taolások lhtsésk szavakra, zért altrnatív oalmi taolások lhtsésk nincs kivétlztt, hlys oalmi taolás, amlyhz képst a többi tévs, oalmi icamokat maában olaló. Ráadásul: Amikor y új, ddi nm használt mondatot alkotunk m, akkor viláos, hoy a mondat jlntés a bnn lőorduló szavak jlntésétől ü: abból hozzuk létr, abból alkotjuk m (kompozicionalitás). Uyanakkor a mondat használatának, iaznak tartásának körülményi hozzá is járulnak a bnn lőorduló szavak jlntéséhz A szavak jlntését az határozza m, hoy milyn iaz mondatokban ordulnak lő. A szavak kapcsolólmk: kapcsolatot trmtnk az ys ormaila, rammatikaila különböző mondatok között. Ennélova: y mondat jlntés, iazsáérték a nylv többi mondatához űződő viszonyán is múlik: a viszonyt a szavak hozzák létr, rdmény pdi az, hoy y adott mondat jlntését más, loikaila nm ütln mondatok jlntés, iazsáérték, iaznak tartásának körülményi is bolyásolnak. Összolalva: Ey nylvi ysé jlntés a nylv jlntésrndszrénk észébn lolalt hlyén múlik. Ha thát y mondat jlntés, iazsáérték mváltozik, akkor más mondatok jlntés, iazsáérték is változni o

4 Az abszolút, a hiprbolikus (nmuklidszi) és az uklidszi omtria ymáshoz való ormális viszonyai Bolyai-él abszolút omtria (AGB) axiómarndszrénk jlölés: AX AGB Az uklidszi omtria (EG) axiómarndszr: AX EG A hiprbolikus omtria (BL-omtria) axiómarndszrénk jlölés: AX BLG Az uklidszi párhuzamossái axióma jlölés: AX EP A hiprbolikus párhuzamossái axióma jlölés: AX BLP Az axiómarndszrk közötti viszony: AX EG = AX AGB + AX EP AX BLG = AX AGB + AX BLP A párhuzamossái axiómák közötti viszony ormálisan: AX EP = ~ AX BLP ~AX EP = AX BLP AX EP = AX BLP =1, szmbn azzal, hoy a klasszikus (kétértékű) loika szrint: ha p = 1, akkor ~p = 0, és ordítva Az axiómarndszrk holizmusa az abszolút, a B-L-él hiprbolikus és az uklidszi omtria axiómarndszrir Változás kövtkzik b y axiómarndszr által implicit mhatározott kijzésk jlntésébn, ha 1. az axiómarndszrt új, ütln (nm lvzthtő) axiómával bővítjük: AX AGB AX EG (=AX AGB + AX EP) átmnt, vay AX AGB AX BLG (=AX AGB + AX BLP) átmnt. 2. mváltozik az adott axiómahalmaz valamly lménk iazsáérték: AX EG AX BLG átmnt oda-vissza Az axiómarndszrk holizmusa Jlntésváltozás áll lő y adott axiómarndszr ütln axiómával történő kiészítés kövtkztébn: Mivl az uklidszi, illtv a BL-él hiprbolikus omtriát az abszolút omtria kitrjsztésiként kapjuk, zért az új (párhuzamossái) axiómák hozzáadása kövtkztébn az alapoalmak ormális azonossáa llnér jlntésük mváltozik; az uklidszi, illtől a BL-él hiprbolikus omtria alapoalmainak jlntés az abszolút omtria alapoalmainak jlntéséhz viszonyítva különböző. Jlntésváltozás az adott axiómahalmaz valamly lménk iazsáérték-változása kövtkztébn: Mivl a párhuzamossái axiómák ymásnak ormális taadásai, zért mindn további yzés llnér az uklidszi és BL-él hiprbolikus omtriában az alapoalmak jlntés ymáshoz viszonyítva a kijzésk ormális azonossáa llnér különböző Fr: Ha az axiómák diniálják a kijzésk jlntését, akkor az axiómarndszr y lménk ltávolítása, például a párhuzamossái axióma ltávolítása az uklidszi omtria axiómarndszréből, lkrülhttlnül mváltoztatja az általuk diniált kijzésk jlntését. Hilbrt: (Pontosan rről van szó.) ( ) loásom szrint lhttlnsé mkísérlni madni a pont dinícióját három sorban, mivl csak az axiómák tljs rndszr rdményz tljs diníciót. Mindn axióma hozzájárul a(z implicit) dinícióhoz, és záltal mindn új axióma változtat a oalmon. A pont az uklidszi, a nm-uklidszi, az arkhimédészi és a nm-arkhimédészi omtriák mindyikébn valamlyst különbözik Fr álláspontjának rkonstrukciója Az alapoalmak jlntés az axiómarndszrn kívülről származik, kívülről adott. A oalmak jlntés mhatározott, rözíttt és véérvénys (mir blépünk az ax. rsz.-b). A jlntés képssé tsz annak ldöntésér, hoy adott kijzés mir vonatkozik. (Ha a jlntés, ahoy Hilbrt mondja változik, akkor a BL-él hiprb. és az ukl. o. kijzési pl. az yns különbözők, ro nm uyanarra vonatkoznak, nm uyanazt írják l. Hilbrt álláspontjának rkonstrukciója Az alapoalmak jlntés nm az axiómarndszrn kívülről származik, nm kívülről adott, hanm az axiómák határozzák m implicit a jlntést. Az (alap)oalmak jlntés csak annyiban mhatározott, amnnyibn az ax. rsz. mhatározni képs. Különböző ax. rsz.-k különböző jlntést határoznak m: a jlntés változik. (Hoy mnnyir változik/ különböző, azt az ax. rsz. intrprtáción krsztül vizsálható: jlntést ténylsn az intrprtációban /modll/ nyrik l.) 139. Hoyan alkossunk újabb omtriákat? Nm is yt, Az abszolút omtria szközivl bizonyítható, hoy: Ha adott y yns és y hozzá nm illszkdő P pont, akkor az általuk mhatározott síkban létzik lalább y olyan yns, amly átmy P-n, és nm mtszi -t. Bizonyítható thát a nm mtsző ynsk létzés. Miért nm kll thát stszétválasztást csinálnunk a hiprbolikus omtria párhuzamossái axiómájának állításakor, amly az uklidszi omtria párhuzamossái axiómájának ormális taadása, és hlysn a kövtkzőképpn hanzana: Nm iaz, hoy ha adott y yns és y hozzá nm illszkdő P pont, akkor az általuk mhatározott síkban létzik pontosan y (y és csak y) olyan yns, amly átmy P-n, és nm mtszi -t

5 Hoyan alkossunk újabb omtriákat? Nm is yt, Az abszolút omtriában (a ormális taadás) thát csak az hayja nyitva, hoy pontosan y nm mtsző létzik, vay ynél több nm mtsző létzik. Kövtkzésképpn, az absz. o.-ban hamis az az állítás (llntmondásra vzt), hoy: (R) Nincsnk nm mtsző ynsk. Ha adott y yns és y hozzá nm illszkdő P pont, akkor az általuk mhatározott síkban létzik nm létzik olyan yns, amly átmy P-n, és nm mtszi -t. Nézzük m vázlatosan, hoyan lhtn bbizonyítani, hoy R hamis! 141. Hoyan alkossunk újabb omtriákat? Nm is yt, Külsőszö-tétl (T1): Az yik oldal mhosszabbításakor kltkző külső szö mindn háromszöbn nayobb, mint a két szmközti blső szö. 180º - α > ; 180º - α > γ. T2: Ha két, uyanabban a síkban kvő és ynst úy mtsz l y harmadik yns, hoy azoknak az és ynskkl alkotott llntéts irányítású (altrnáló) blső szö ynlő, akkor az rdti két és yns nm mtszi ymást. C α B γ A α 180º-α 142. Hoyan alkossunk újabb omtriákat? Nm is yt, T.. h., hoy és mtszi ymást a C pontban úy, hoy a által létrhozott α és szök ynlők. Ha és mtszné ymást a C pontban úy, hoy a által létrhozott α és szök ynlők lnnénk, akkor az yik külső szö () ynlő lnn y másik blső szöl (α): llntmondás. Thát: és nm mtszi ymást. T3: Ha két és yns mrőls uyanarra a ynsr, akkor a két yns nm mtszi ymást. C α B A 143. α * A B P α = * = 90º??? Hoyan alkossunk újabb omtriákat? Nm is yt, T4: 144. Ey adott ynshz y rajta kívül kvő pontból csak ytln mrőls yns húzható. Ha a P pontból lhtn lalább két különböző mrőlst húzni az ynshz, akkor a PAB háromszö * külső szö ynlő lnn a nm mlltt kvő α blső szöl T1 külsőszö-tétl. T5 (konstruktív bizonyítás): P-ből mrőlst bocsátva ynsr, majd P-bn az íy kapott ynsr mrőlst állítva (), és ynsk nm mtszik ymást. P Q Mit adjunk l? Mit adhatunk mé l konzisztnsn? 145. Mit adjunk l az axiómák közül, ha szrtnénk a kövtkzőt állítani és lvnni axiómáink közé? (R) Nincsnk nm mtsző ynsk. AX AGB + R yütt inkonzisztns rndszrt alkotnak. El tudunk- távolítani csupán ytln axiómát úy, hoy a mmaradók yütt konzisztns rndszrt alkossanak, azaz összérjnk az R állítással? Ki tudjuk- jlölni, vissza tudjuk- jtni az az axiómát (vay axiómákat), amly(k)től R iazsáa közvtlnül ü? 5