A játékelmélet kölcsönhatásainak anatómiája

Átírás

1 Kivont játéklmélt kölsönhtásink ntómiáj Szbó György T EK F Honlp: H-55 Budpst POB. 49 Hungry tomoktól sillgokig ETE Budpst Evolúiós játéklmélt és izik kpsolt - Párkölsönhtás és mátriok - Koordinátrndszr lorgtás (új bázisvktorok és bázismátriok) -kttő- három- és n-strtégiás játékok komponnskr bontás - Összgzés: négy lmi játék tuljdonsági Jvsolt irodlom (honlpról ltölthtő): Phys. Rp. 64 (6) -6 PRE 9 (5) 8 PRE 95 (7) 3 Társk: Borsos István Király Blázs Bodó King Hódsági Kristó Bunth Grgly.

2 Kétstrtégiás volúiós játéklmélti modllk játékosok gy négyztrás pontjin vnnk (priodikus htárltétl N ) z kvivlns játékosok két lhtségs strtégi vlmlyikét hsználják zz s vgy és tljs rndszr állpot : S (s s Játéklmélti modllk Fiziki modllk Játékos: bktérium (mutáns vgy nm mutáns) kristálylült: tom vgy ürs élőlény (rgdozó vgy zsákmány) spin: vgy mbr (tisztsségs vgy élősködő) émhidrogén: H vgy ürs z játékos hszn (vgy iziki rndszr nrgiáj) s -től és szomszédoktól ügg: N ) U 4 δ s s δ hol b d nyrménymátri. potniáljátékoknál létzik gy V(S) potniál mink változás z s s strtégiváltásnál mggyzik z játékos nyrményénk változásávl zz V ~ (S ) V ~ (S) 4 δ s s 4 δ s δ s δ

3 Kétstrtégiás volúiós játéklmélti modll (olyttás) H nyrménymátri szimmtrikus (b vgy T ) kkor V ~ (S) s Vs hol párkölsönhtás potniálmátri: V δ δ V potniálmátri és zzl gyütt tljs rndszr potniálj zonbn kkor is létzht h T. Ezn potniáljátékoknál rndszr mimális potniál értékét gy olyn kitűntttt Nsh-gynsúlyi állpotbn éri l mi mgll iziki rndszrk lpállpotánk. H potniáljátékoknál z volúiós olymtot gy olyn (logit) olymt sorozt szbályozz minél véltlnül válsztott játékos strtégiáját s -ről s -r változttj w(s s ) p[u (s' ) / K] p[u (s ) / K] s vlószínűséggl (K zj rősség) kkor rndszr Boltzmnn-loszlásb jlődik zz z S állpot vlószínűség: Z ( ) p(v ~ (S)/ K) hol Z p S Kövtkzmény: trmodinmiki vislkdés s p(v ~ (S)/ K) Például: sim sim sim3 sim5 sim6

4 Koordinátrndszr Péld: kétdimnziós vktor tér z r(y) vktor grikus mgjlnítés z r(y) vktort líthtjuk ortogonális bázisvktorok összgként: r hol y y () Sklárszorzt(ok): () y() és y () r r y y (y) () (y) () y y y () () () () () () és

5 Koordinát rndszr lorgtás Φ szöggl z új bázisvktorok: u (osφsin Φ) és mibn r u u v v v ( sin ΦosΦ) z u és v komponnsk értékét sklárszorztok diniálják: u r v r u u v v u v u v (y) (osφsin Φ) (y) ( sin ΦosΦ) os os Φ sin Φ sin Φ és Φ és y bázisvktorok és gyütthtóik jlntés h ɸ45 o u () és v y y ( ) ill. r () ( ) számpár hlytt zok átlgát és különbségét hsználjuk jllmzésbn.

6 Kétstrtégiás játék lmi össztvői kölsönhtást z mátri írj l mi össztvőkr bonthtó. Például Egy másik lhtőség (koordinátrndszr lorgtás négydimnziós prmétrtérbn): d b d b Ezk z ortogonális lmi mátriok (játékok) didikus szorztként is értlmzhtők: második és hrmdik komponnst hlyttsíthtjük z lábbi két lmi játékkl hol két lmi vktor ortogonális gymásr mrt 4 d b 4 d b 4 d b 4 d b d b ( ) ( ) ( ) ( ) és

7 z új ortogonális bázisvktorok (bázismátriok) mlltt mgllő gyütthtók érték: (p) (p) αp hol αp és B (p) (p) p bázismátriok áltl diniált lmi játékok: Konstns járulék (irrlváns tg) V Koordináiós játék Játék mikor nyrményünk sk önmgunktól ügg i j ij B ij V Játék mikor nyrményünk sk másiktól ügg V Igzi kölsönhtást sk koordináiós játék képvisl. V T Ez viszont lht vonzó (kordináiós játék) vgy tszító (nti-koordináiós játék) jllgű Kövtkzmény: -s játékok potniáljátékok és lképzhtők z Ising-modllr Sokrészskés iziki modllk részhlmz z volúiós játéklméltbn

8 Hsonló módon bonthtó komponnsk (lmi játékok) összgér mindn szimmtrikus n-strtégiás mátrijáték n strtégi stébn γ p p (p) hol p K n Kérdés: Hogyn válsszunk hsznos lmi játékokt zz gy ortogonális (vgy nm-ortogonális d tljs) bázis mátri hlmzt? Cél: áthtóvá tnni jllgébn zonos illtv különböző kölsönhtásokt htőségk: - Fourir komponnskr bontás - didikus szorztr bontás - gyéb diszkrét sorjtésk - szimmtriák mgjlnítés (kár z ortogonlitás ldásávl)

9 szimmtrikus 33-s (nn-s) mátrijátékok gy lhtségs ortonormált bázis: j i ij (l) (k) (kl) d és d : szorzt didikus hol p(kl) és kl n (k) lht hgyományos Crtsin koordinátrndszr k-dik bázisvktor zz n3-nál gy élszrű válsztás: ) ( kkor () () () (3) () () (kl) (kl) (kl) kl () () () () () () (3) () () ) ( ) ( kkor γ

10 Tipikus kölsönhtások 33-s mátrijátékoknál: ) Irrlváns tg ( átlgnyrmény ): potniál: V (v) (v) () () () () (v) és γ ) Játék társüggő nyrménnyl: V (r) α α α3 (r) () () (3) γ γ γ3 α α α3 α α α3 n i j ij ) Játék önüggő nyrménnyl. potniál: V (sl) (sl) (sl)t (sl ) γ () γ () γ 3 (3) Nins igzi párkölsönhtás ugynkkor mindgyik potniáljáték. (v) rész (r) -nk és (sl) -nk is. Emitt zk gyütt gy 5-dimnziós ltrt lkotnk ( α α α3 3) d i α i i 3 i 3 3

11 Tipikus kölsönhtások 33-s mátrijátékoknál (olyttás) mrdék bázismátriok didikus lkj: mindgyiknk idtrtozik trnszponáltj is Ezn párokból képzhtünk szimmtrikus: és ntiszimmtrikus bázismátriokt: 3) szimmtrikus össztvők lkotják koordináiós játékokt (kl) (lk) (k) (l) (l) (k) (k) (l) (l) (k) [ ] [ ] (k) (l) (l) (k) kl > δ (oor) γ () γ 33 δ 3 ( γ (33) 3 γ 3 δ )[ 3 (3) (3) ] δ δ δ δ3 3 δ δ δ δ 3 3 δ δ δ δ 3 Tuljdonságok: mátri szimmtrikus potniál: V (oor) (oor) mátri mindn sorábn és oszlopábn z lmk összg null (z biztosítj z ortogonlitást z ön- és társüggő komponnskr) lmi komponns koordináiós kölsönhtás gy strtégipár között 3 strtégipár ill. 3 ilyn lmi koordináiós játék létzik

12 szimmtrikus nyrménymátri kövtkzményi Ekkor T d mindn mátri lbonthtó gy szimmtrikus és gy ntiszimmtrikus mátri összgér: Kövtkzményk: két játékos nyrmény zonos > gyéni érdk közösségi érdk V (s) (s) T T ( ) ( ) nins társdlmi dilmm h m(v ij ) i*j* kkor z (i*j*) strtégipár gy kitűntttt Nsh gynsúly mi zonos iziki rndszrk lpállpotávl h i*j* kkor mindnki z i* strtégiát válsztj > homogén (rndztt) lpállpot h i* j* kkor két kvivlns lrásrndztt lpállpot [(i*j*) vgy (j*i*)] vgy rusztráió sokszrplős rndszrkbn logit szbály > Boltzmnn-loszlás > trmodinmiki vislkdés

13 Tipikus kölsönhtások 33-s mátrijátékoknál (olyttás II) Egy ntiszimmtrikus bázismátri: 4) Ciklikus dominni Kő-ppír-olló játék Tuljdonságok: mátri ntiszimmtrikus: (yl) - (yl)t (zérusösszgű játék) nyrményk összg null mindn sorbn és oszlopbn (mitt ortogonális (yl) mindhárom lőző össztvőr nm létzik potniál mrt KP OP OK PK PO KO KP váltások során z ktív játékos mindig nyr. () (3) (3) () [ ] - kvrt Nsh gynsúly > sok strtégi gyüttlétzés (biodivrzitás) (yl) z komponns mgkdályozz trmodinmiki vislkdést n3-nál sk gy ilyn iklikus komponns létzik Ez bázismátri gy iklikus irányított grá szomszédsági mátri - (yl) : dominni irány llntéts Összsítv: (r) (sl ) (v) (oor) (yl) és nins potniál h (yl)

14 Szimmtrikus háromstrtégiás mátrijáték ntiszimmtrikus össztvői [ ] b b b T Grá rprzntáióbn: mrőlgs bázismátriok/gráok [ ] ε h h h 3 T z ön-és társüggő illtv iklikus komponnsk gyütts járulék: (h h h 3 ) 3 hirrhikus össztvő közül sk kttő üggtln! hirhikus komponnsk okozhtják társdlmi dilmmákt. z lső hirrhikus tg z () strtégipár válsztását diktálj mrt V ) (h

15 Szimmtrikus n-strtégiás mátrijáték lmi komponnsi Négyél kölsönhtás típus lináris kombináiój: Koordináiós kölsönhtás létzht n(n-)/ strtégipár között. Ezk z össztvők nm mrőlgsk gymásr d üggtlnk zz lináris kombináióik mgdják z össz lhtségs koordináiós játékot. (yl) (oor) (v) ) (sl (r) α α α α α α α α α (v) (v) n n n ) (sl n n n (r) O O O hol O O O δ δ δ 3 3 (oor)

16 Függtln iklikus össztvők szimmtrikus n-strtégiás mátrijátékbn Grá rprzntáióbn: z -s és bármlyik j>i> strtégihárms kő-ppír-olló játék Ez 3 grá diniálj z n4 st iklikus össztvőit Összsn (n-)(n-)/ ilyn háromstrtégiás kő-ppír-olló játék létzik. Ezk z össztvők nm mrőlgsk gymásr d üggtlnk zz lináris kombináióik mgdják z össz lhtségs irányított hurkot. (Kirhho törvény) Például:

17 Függtln hirrhikus össztvők szimmtrikus n-strtégiás mátrijátékbn Grá rprzntáióbn: z i-dik strtégi urlj z összs többit Nins kivétlzés: z urlkodó strtégi mindnki mástól zonos összgt vsz l. n ilyn össztvő létzik d zk összg null zz nm üggtlnk gymástól. Bármlyik (n-) össztvő zonbn kiszíti hirrhikus dominni prmétr-ltrt. átri rprzntáióbn z lső össztvő: és így tovább V (h) (h) O O O O Ez tg z gyéni érdkn krsztül hjtj játékosokt z () válsztásár nyrménnyl még kkor is h többi komponns lpján játékosok másik strtégipárt (i*j*) válsztnánk. Ez társdlmi dilmmák hjtórj ( potniáljátékokon blül)!

18 Kölsönhtások összonódás iklikus komponnsknél láttuk hogy bármilyn irányított hurok (vgy zok összg) összrkhtó olyn irányított háromszögkből mlyknk vn gy közös sús. közös sús lht grá bármlyik pontj. Kövtkzmény - h rndszrbn vn gy kő-ppír-olló komponns kkor sok ilyn vn (n>3); - h viszont gy üggtln bázisrndszr összs komponns hiányzik kkor (yl) stb. H nyrménymátri gytln (nmdigonális) komponnsét változttjuk kkor változik mgllő ntiszimmtrikus komponns is mi mg után vonj hirhikus és sok iklikus komponns változását. Grá rprzntáióbn:

19 négyél kölsönhtás dimnziój n strtégiánál.) Játékok mikor nyrménym sk másiktól ügg: n bázismátri n prmétr.) Játékok mikor nyrménym sk tőlm ügg: n bázismátri n prmétr d gy dimnzió közös z lőzővl 3.) Koordináiós kölsönhtás dimnzió: n(n-)/ (különböző strtégipárok szám) 4.) Ciklikus dominni dimnzió: (n-)(n-)/ z szám zonos Kirhho törvénykből szármztthtó üggtln és lénygs (nm triviálisn ltűnő) hurkok számávl n: nins iklikus dominni ( szimmtrikus játékoknál) n3: kő-ppír-olló játék képvisli z gytln dimnziót n4: 3 üggtln kő-ppír-olló

20 négyél kölsönhtás kövtkzmény térbli rndszrkbn n strtégiánál Játékok társüggő nyrménnyl: mindnki véltlnül válszt strtégiát Játékok önüggő nyrménnyl: lég gy játékos mgtrtását kiszámítni mrt többi ugynúgy vislkdik Koordináiós kölsönhtás: gy koordináiós vgy ntikoordináiós pár: Ising modll smlgs strtégiákkl több koordináiós komponns: rndztt-rndztln átmnt Potniáljáték: (z lőző három lináris kombináiój) mindig vn lglább gy tiszt Nsh gynsúly létzik gy lpállpotnk mgllő Nsh gynsúly [m(v ij ) htározz mg] rndztt-rndztln átmnt h logit szbálynál nő zj trmodinmiki vislkdés z ntiszimmtrikus hirhikus össztvő társdlmi dilmmát rdményzht z hiányzik iziki (részskékből álló) rndszrkbn sim

21 négyél kölsönhtás kövtkzmény (olyttás) Ciklikus dominni: mgkdályozz potniál létzését és trmodinmiki vislkdést áltlábn kvrt Nsh-gynsúly > sokélség mgőrzés biodivrzitás önszrvző mintáztok (élő rndszrk) sim Újdonságok iziki rndszrkhz képst: társdlmi dilmmák ( hirrhikus össztvők okozhtják) élő rndszrkr jllmző önszrvződés és sokélség mgőrzés Köszönöm igylmt