4. Egyéni és piaci kereslet. 4.1 Ár-ajánlati görbe (PCC)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "4. Egyéni és piaci kereslet. 4.1 Ár-ajánlati görbe (PCC)"

Átírás

1 4. Egéni és iaci kereslet z előző részben megvizsgáltuk azt, hog miként határozható meg eg fogasztó otimális fogasztási szerkezete, illetve azt is elemeztük, hog eg költségvetési egenes helzetére miként hatnak a termék árának és a fogasztó jövedelemének változásai. Most az előbbit az otimális fogasztói jószágkosár kérdésével kacsoljuk össze. 4. Ár-ajánlati görbe (PCC) Valamelik termék árának változásával módosul az otimális termékkombinációkhoz tartozó hasznossági szint, hiszen a termék árának emelkedése csökkenti a költségvetési halmazt, íg a költségvetési egenes csak eg alacsonabban fekvő közömbösségi görbét fog elérni; illetve a termék árának mérséklésével elérhetővé válik eg magasabb hasznossági szint eg magasabban fekvő közömbösségi görbe elérésén keresztül. Ha az íg kialakuló otimális ontokat egmással összekötjük, akkor megkajuk a PC-görbét (az ár-ajánlati görbét). PC görbe PCC tehát változatlan jövedelmet feltételezve és az egik termék árának rögzítése mellett (a fenti ábrán az Y termék ára változatlan) mutatja azt, hogan változnak az otimális jószágkosarak, ha az X termék árát változtatjuk. Ebből tehát azt kajuk meg, hog miként reagál az otimális menniség az X termékből, ha az X termék ára változik. 50

2 4. Egéni keresleti görbe PC görbe Keresleti görbe Íg megkatuk az otimális ontokat, ameleknél a közömbösségi görbét éen érinti a költségvetési egenes, vagis az egéni és iaci értékítélet egbeesik; azaz ezek azok a menniségek, ameleket a fogasztó kées (költségkorlát mellett) és hajlandó (egéni értékítélete révén) megvásárolni. Ezzel eljutottunk a közgazdaságtan egik legalavetőbb 5

3 fogalmához: az egéni keresleti görbéhez. z egéni keresleti görbe megmutatja, hog különböző árak mellett a fogasztó menni terméket kées és hajlandó megvásárolni. Itt emlékeztetnénk az első részben tárgalt esetre: amikor a iros női ciő iránti igént és annak árait analizáltuk. kkor azt mondtuk, hog a termék ára (ami ott a vízszintes tengelen volt) a független (magarázó)változó, a termék iránti igén, vagis a keresett menniség a függő (eredmén)változó. Tehát valójában ott is eg keresleti görbét ábrázoltunk. különbség a kettő között az, hog ott a vízszintes tengelen szereelt a termék ára, itt edig ez a függőleges tengelen van; vagis lénegében ez a PCC-ből levezetett keresleti görbe inverz alakban került ábrázolásra. Tisztában vagunk azzal azonban, hog eg termék keresletét nemcsak az ára befolásolja. Ha csak a költségvetési korlátra gondolunk, máris látszik emellett mindennai életünkből is tudjuk, hog a jövedelem is befolással van erre. jövedelem változása árhuzamosan tolja el a költségvetési egenest, és ezzel módosulnak az otimális jószágkosarak is. z előző ábrát elővéve, levezetve, hog a jövedelemváltozás mit eredménez, látszik, hog a PCC eltolódik, ami edig azt jelenti, hog a keresleti görbe is eltolódik; vagis változatlan termékárak mellett a jövedelem növekedése miatt nő a termék iránti kereslet: a keresleti görbe minden eges ontja jobbra csúszik. 5

4 PC görbe Keresleti görbe kereslet tehát az árnak és a jövedelemnek is függvéne, de ezzel sincs vége a sornak. z egének ízlése, referenciarendszere befolásolja a közömbösségi görbe alakját, ami természetesen a PCC-t is érinti, vagis a keresleti görbére is hatást gakorol a szubjektív értékítélet, mégedig a görbe meredekségét változtatja meg. marketingesek éen erre igekeznek hatást gakorolni, vagis az a céljuk, hog a különböző reklámokkal megváltoztassák a keresletünket. Persze bizonos szükségletkielégítésre több termék is alkalmas lehet. mikor valamel adott termék iránti keresletre hatással van más termék is, a többi termék ára befolásolja az adott termék keresett 5

5 menniségét. Ezek a termékek állhatnak helettesítő vag kiegészítő viszonban. Ha eg termék árának emelkedésére eg másik termék keresett mennisége csökken, akkor a két termék kiegészítő viszonban áll egmással, azaz csak egüttes fogasztásuknak van értelme. Ha grafikusan gondoljuk végig ezt mindkét termék keresleti görbéjére nézve, ez azt jelenti, hog annak a terméknek a keresleti görbéje, amelnek megváltozik az ára, az árváltozás nem változtat a görbe helzetén, csuán a görbe mentén az ontból a -be mozdulunk. Viszont a kiegészítőjének a keresleti görbéje eltolódik, most változatlan ár mellett a korábbinál kevesebb lesz a keresett menniség, tehát az inverz alakban felrajzolt keresleti görbe balra tolódik, amint ez az alábbi ábrán is látszik. D D Ha viszont helettesítő termékekről beszélünk, akkor a fordítottja történik: ha a termék ára nő, a másik termék iránti kereslet emelkedik, hiszen a drágább terméket a másikkal helettesítik, lévén uganannak a szükségletnek a kielégítésére szolgál a másik is, csak olcsóbb. Emellett bár az állam szereéről még nem tárgaltunk az állami szabálozás is hatást gakorol a keresletre. Gondoljunk csak éldául a kötelező germekülésre; ennek bevezetése miatt megemelkedett a gerekülések iránti igén, vagis ezen állami szabálozás hatására a termék iránti kereslet emelkedett. z alábbi táblázatban összefoglaltuk, mik befolásolják a termék iránti keresletet, azt is feltüntetve, hog melik milen hatást gakorol a keresleti görbére. 54

6 Keresletet ténező termék ára befolásoló z inverz alakú keresleti görbére gakorolt hatása görbe helzete nem változik, a görbe mentén mozdulunk el. fogasztó jövedelme Párhuzamosan tolja el a görbét. fogasztó referenciái (ízlése) görbe meredekségére gakorol hatást (ha a termék fontosabbá válik, akkor meredekebb lesz az inverz alakú keresleti görbe) reklám reklám jellegétől függ, jellemzően meredekséget róbálják megváltoztatni. helettesítő termék ára kiegészítő termék ára z állami szabálozás Párhuzamosan tolja el a görbét. Párhuzamosan tolja el a görbét. z intézkedés jellegétől függ, jellemzően árhuzamos változáshoz vezet. Ha a keresletet befolásoló ténezőket összefoglaljuk eg függvénnel, a keresleti függvént kajuk meg: ahol D Q a keresett menniség, P a termék ára, m a jövedelme, Í az ízlése, referenciái, R a reklám, Q D = f (P, m, Í,R, P, P, Á), P Y és P Z más termékek árai (helettesítőké, kiegészítőké), Á edig az állami szabálozás. 55 Y Z

7 Hangsúlozzuk mégegszer, hog a keresleti függvén tartalmazza a keresett menniségre gakorolt ténezőket, a keresleti görbe edig a termék ára és keresett mennisége közötti kacsolatot írja le a többi elemet adottnak tekintve. 4. Piaci keresleti görbe Többször hangsúloztuk, hog egéni otimumról, egéni keresletről van szó. Uganakkor egértelmű, hog nagon-nagon ritka az az eset, amikor eg vállalat eg fogasztónak termel, tehát nekik nem az az érdekes, hog Kis Pista vag Nag Jóska kereslete hogan alakul, hanem az, hog a termék iránti iaci kereslet hogan ragadható meg. Vagis az egéni keresleteket összegeznünk kell, hog megkajuk a iaci keresletet. Ez horizontális összegzéssel történik (tehát Q-ra kell rendezni a keresleti görbét), azaz adott árak mellett a különböző egének keresett menniségét adjuk össze. Tegük fel, hog a termék iránt két fogasztónak van kereslete. z alábbi ábrán az első két koordináta-rendszer tartalmazza az egéni keresleti görbéket, a harmadikban edig összeadtuk a két fogasztó keresletét, azaz a iaci keresleti görbét határoztuk meg. P P P 0 max I D max D ( ) ( ) I I II Piaci kereslet II I Látszik, hog P 0 ár fölött egik fogasztó sem kées és/vag hajlandó megvásárolni a terméket, 0 P és P között edig kizárólag az I-es fogasztónak van kereslete, azaz ebben az ártartománban az I-es fogasztó egéni keresleti görbéje megegezik a iaci keresleti görbével. P alatt edig már mindketten igénlik a terméket, ezért a keresleti görbe laosabb lesz. Értelemszerűen minél több fogasztó van, annál laosabb lesz a keresleti görbe. 56

8 Definíciók ár-ajánlati görbe (PCC) egéni keresleti görbe helettesítő termék kiegészítő termék keresleti függvén iaci kereslet horizontális összegzés Feladatok. dott a következő egéni keresleti görbe: Q D = 00 P. a) Írja fel és ábrázolja ennek a keresleti görbének az inverz alakját! b) Tegük fel, hog emellett a fogasztó mellett van eg másik fogasztói csoort is, amel eg tagjának az inverz alakú keresleti görbéje P = 800 0,Q. Ebben a fogasztói csoortnak 0 tagja van. csoort tagjai azonos kereslettel bírnak. dja meg a fogasztói csoort keresleti görbéjét inverz alakban! c) dja meg az előző két ont révén a iaci keresleti görbét! z összegzést grafikusan is végezze el!. Ábrázolja a 00 P = és a P = 00 Q inverz keresleti görbéket! dja meg a görbék Q meredekségét a P = 0 és a P = 5 ontokban! Fogalmazza meg a különbséget a két eset között! D PY m. Eg keresleti függvén Q X = alakú, ahol m a jövedelmet, P Y és P Z más termékek P P X Z árát jelöli. Milen viszonban áll egmással az adott (X) és Z termék? Válaszát indokolja! 57

9 4. Eg termék iránt három fogasztó (I., II., III.) támaszt keresletet, akiknek a keresleti görbéik rendre: P D I P D II P D III = 00 Q, = 400 Q, = 00 Q. Határozza meg analitikusan és grafikusan az iarág egészének keresletét leíró görbét! 5. Eg iarág kereslete két fogasztóval írható le, akik egéni keresleti görbéi: D P I = ,5Q és P D II = 4000 Q. Ábrázolja és adja meg az iarági keresleti görbét! 6. Eg termék iacán háromféle fogasztói csoort figelhető meg. z első fogasztói csoort inverz keresleti függvéne: = 50 Q, a másodiké: = 00 Q, a harmadik csoorté: P P = 90 Q. Hán terméket adhatnak el az eladók, ha P=00-as ár mellett? P 7. Eg termék iacán két fogasztói csoort figelhető meg. z fogasztói csoortban eg fő keresleti görbéje: P = 500 0,5Q, a csoortéban edig: P = 500 Q. z csoortba a megfigelések szerint 00 fő, a csoortba edig 50 fő tartozik. Írja fel és ábrázolja a iaci keresleti görbét! 8. Eg termék iacán többen megjelennek értékesítők. Két jól elkülöníthető csoortba sorolhatóak a vállalatok; a csoorton belül azonos feltételekkel bírnak a kínálók. V csoortban eg vállalat kínálati függvéne Q S V + = 00 P ; ebben a csoortban 0 vállalat van. V csoortban eg eladó inverz kínálati függvéne edig a egenlettel írható le, és ebben a társaságban 00-an vannak. a) Határozza meg a V csoort kínálati görbéjét! b) Írja fel és ábrázolja az össziaci kínálatot! S P V = 0 + 0,Q 58

10 Tesztfeladatok az I. RÉSZHEZ 8. E.H. egetemi hallgató az első zh révén ráébred, hog a második zh-ra többet kell tanulnia. Meddig fogja racionálisan növelni a tanulásra szánt időt a Hallgató? a) Még meg nem szereti a tárgat. b) Még mellette a családja és a barátai úg gondolják, hog velük is foglalkozik. c) Még a szabadidőről való lemondás alternatív költsége kisebb, mint a tanulásból származó hozam. d) Még meg nem oldotta az összes gakorló éldát.. iztos, hog racionális az a fogasztó, aki a) minden reggel beágaz, b) dohánzik, c) a legdrágább boltban vásárol élelmiszert. d) Egik sem feltétlen racionális. e) Mindegik magatartás racionális lehet a fogasztó szemontjából.. Kizárólag azok a gazdasági szerelők viselkednek racionálisan, akik a) a kérdések többségében uganúg döntenek, tehát van eg erős értékrend a háttérben, b) nem hagják magukat mások által befolásolni, c) minden körülmének között kizárólag saját egéni érdekeiket tartják szem előtt, d) semmilen káros szenvedéltől nem szenvednek. 4. hasznossági függvén a) meredeksége a helettesítési határrátával egezik meg, b) meredeksége az áraránokkal egezik meg, c) mentén nem változik a fogasztó jövedelme, d) maximumában a termék határhaszna zérus. 8 megjelölt válaszok tájékoztató jellegűek, előfordulhat hibás jelölés. Ha más eredménre jut, keresse Oktatóját a roblémával! 59

11 5. hasznossági függvén konkáv, mert a) a haszonélvezet minden újabb elfogasztott egséggel növekszik ugan, de kisebb mértékben, b) a fogasztó valamikor telítődik fogasztása során, c) a fogasztás növekedésével egre kevésbé éri meg ugananni énzt adni az adott termék egségéért, d) a fogasztás során minden újabb termékegségért többet kell fizetni, mint az előzőért, s erre előbb-utóbb nem lesz elég a jövedelem. 6. Eg közömbösségi görbe a) meredeksége állandó, b) mentén az elérhető hasznossági szint nem változik, c) és a hozzá tartozó hasznossági szint biztosan elérhető adott jövedelemből, d) nevét onnan kata, hog adott jövedelemből közömbös, melik jószágárt választjuk, mindegik megvehető. 7. Eg jól viselkedő közömbösségi görbe mentén lefelé haladva a) a helettesítési határráta csökkenő, b) a helettesítési határra változatlan, c) a reáljövedelem csökkenő, d) a hasznosság csökkenő. 8. helettesítési határráta a) a költségvetési egenes meredekségét adja meg, b) megmutatja, ha eg termék menniségét végtelen kis mértékben változtatjuk, mekkora lesz a másik termék menniségi változása feltéve, hog mindkét esetben azonos hasznosságot érünk el, du c), dx d) a iac termékítéletét mutatja. 60

12 9. z alábbi állítások közül melik fejezi ki azt, hog a hasznossági függvén konkáv? a) fogasztás során az összhaszon nő. b) határhaszon valahol felveszi a zérus értéket. c) z összhaszon-függvén meredeksége -nél kisebb. d) fogasztás során a határhaszon csökken. 0. dott az alábbi közömbösségi görbe. Melik állítás igaz a görbe minden ontjára? x a) helettesítési határráta egenlő a termékek áraránával. d MU x b) =. dx MU c) Eg ótlólagos termékbeli egségért mindig többet kell az x termék menniségéből feláldozni függetlenül attól, hog mekkora a közömbösségi görbe meredeksége az adott ontban. d) Ha az x termék eg egségéről lemondunk, akkor az összhaszon uganannival csökken, mintha ebben a ontban az termék eg egségéről mondtunk volna le.. határhaszon a) megmutatja a szükséglet-kielégítés mértékét, b) csak ordinális hasznosság esetén értelmezhető, c) megmutatja, hog eg termék újabb egsége mekkora hasznosságváltozást generál, d) otimális jószágkosár esetén az MRS-sel egenlő. 6

13 . Eg fogasztó hasznossági függvéne U = x +. Ebben az esetben a) a helettesítési határráta abszolút értékben, b) a helettesítési határráta -, c) a helettesítési határráta nem értelmezhető, d) a költségvetési egenes meredeksége.. Eg fogasztó két terméket fogaszt adott jövedelemből. Mindkét termék ára egszerre emelkedik meg 0%-kal. Ennek hatására a költségvetési egenes a) meredeksége,-szeresére változik, b) meredeksége csökken, c) árhuzamosan az origó felé tolódik, d) árhuzamosan tolódik az origótól kifelé. e) kérdés megválaszolásához kellene ismerni a termékek kiinduló árait, íg nem lehet egértelműen eldönteni a változás iránát. 4. Eg költségvetési egenes a) egenlete m P x =, P P x b) meredeksége P x, P c) meredeksége MU x. MU d) z összes eddigi válasz heles. 6

14 5. Tegük fel, hog valamelik fogasztó költségvetési egenese: 500 = 0x + 4, vagis a rendelkezésre álló jövedelem 500, az x termék egségára 0, az termék egségára edig 4. z alábbi állítások közül melik igaz? a) Ha a fogasztó az x = 0 és = 50 termékkombinációt vásárol, akkor nem költötte el hatékonan a énzét. b) z x = 0 és = 0 termékkombinációhoz tartozó hasznossági szint a fogasztó számára elérhetetlen. c) Ha a fogasztó az x termékből eg egséggel kevesebbet vásárol, akkor az íg felszabaduló énzért 5 db termékegséget tud megvásárolni. d) Minden eddigi válasz heles. 6. Ha a fogasztó nominális jövedelme 5%-kal nő, miközben az egik termék ára 0%-kal, a másiké 5%-kal nő, akkor a költségvetési egenes a) kifelé tolódik, de nem árhuzamosan, b) meredeksége, és mindkét tengelmetszete megváltozik, c) egik tengelmetszete kifelé, a másik befelé tolódik, miközben a meredeksége nem változik, d) mindkét tengelmetszete változik, miközben meredeksége változatlan marad. 7. Ha két fogasztói kosár (ami x és termékekből áll) eg költségvetési egenesen van, akkor a) mindkét kombináció uganakkora hasznosságot eredménez, b) a termékek árai megegeznek, c) mindkét kombinációnál uganakkora a helettesítési határráta, d) a termékek határhasznai egbeesnek. 6

15 8. dott eg fogasztó költségvetési egenese. Ha a két termék ára aránosan csökken, akkor a) az egenes laosabb lesz, b) az egenes meredekebb lesz, c) az egenes árhuzamosan kifelé tolódik, d) ennek uganaz a hatása, mintha a jövedelem csökkent volna. 9. költségvetési halmaz a) azon jószágkombinációk összessége, amelek a jövedelem teljes elköltése mellett elérhetőek, b) azon jószágkombinációk összessége, amelek adott jövedelemből elérhetőek, c) azon árkombinációk összessége, amelek mellett uganakkora hasznossági szintet érhetünk el, d) azon árkombinációk összessége, amelek esetén adott jószágkosárra ugananni költünk a jövedelemből. 0. z otimális fogasztási szerkezet feltétele, hog a) a termékárak megegezzenek a határhasznokkal, b) a helettesítési határráta egenlő legen a határhasznok aránával, c) minden fogasztó maximálisan kielégítse szükségleteit, d) a termékárak arána egenlő legen a helettesítési határrátával.. Otimális (x,) jószágkombináció esetén a) a hasznossági függvén maximumában vagunk, b) a két termék határhasznának arána zérus, c) az x termék határhaszna maximális, MU x d) MRS =. MU 64

16 . z alábbi grafikonon uganazon fogasztó két különböző időonthoz ( t és t ) tartozó költségvetési egenese látható. Mi okozhatta a változást? G ( t ) G ( t ) x a) fogasztó jövedelme csökkent, és mindkét termék egségára nőtt. b) Mind a fogasztó jövedelme, mind a termékek egségárai emelkedtek. c) fogasztó jövedelme nőtt, az x termék egségára változatlan maradt, az termék egségára edig nőtt. d) fogasztó jövedelme emelkedett, az termék egségára változatlan maradt, az x termék egségára edig csökkent.. költségvetési egenest a szokásos x- koordináta-rendszerben ábrázoljuk, rendelkezésünkre áll m nagságú jövedelem, az x termék ára P x, az -é P. Menni terméket tudunk fogasztani, ha jövedelmünk csak az jószágra fordítjuk? a) b) c) m. P x m P x x m. P. d) m. P 65

17 4. PC (árajánlati)-görbe abban különbözik az egéni keresleti görbétől, a) hog az előbbi az árváltozást az otimális termékkombinációval kacsolja össze, az utóbbi csak azon termék menniségével, amelnek ára változott, b) hog az utóbbinál nem vesszük figelembe a jövedelmet, c) hog a PC-görbe mindkét termék árának változását figelembe veszi, az egéni keresleti görbénél csak az egik termék árának változását. d) Nincs különbség a két görbe között. PX 5. z X termék iránti kereslet a Q X = függvénnel írható le, ahol P Y az Y termék ára, mpy m a jövedelem. függvén alaján látható, hog a) az X és Y termék egmás komlementerei, b) az X és Y termék egmás helettesítői, c) a függvén meredeksége minden ontban állandó. d) z összes válasz heles lehet. 6. iros női magas sarkú ciő iránti keresleti görbe helzetére mi nem hat az alábbiak közül? a) fekete latformos női ciő ára. b) iros női magas sarkú ciőkre szóló kuonok kibocsátása, amelek révén 50%-os kedvezménnel vásárolhatók meg. c) nők bérének megemelkedése. d) fekete koktélruha (kiegészítője a iros ciőnek) árának nag aránú emelkedése. 7. Mi nem változtatja meg az adott termék keresleti görbéjének helzetét? a) fogasztó jövedelmének változása. b) helettesítő termék árváltozása. c) fogasztó referenciarendezésének változása. d) termék saját árának változása. 66

18 8. Eg termék iacának keresletét nem befolásolja a) a termék ára, b) a kiegészítő termék ára, c) a fogasztó jövedelme, d) a kínálat. e) Minden eddigi elem a kereslet meghatározója. 9. Mindennara eg alma az orvost távol tartja szlogennel nészerűsítették az almafogasztást, a kamán nagon sikeres volt. Emellett a fogasztók jövedelme is nőtt. Ennek eredménekéen a) a keresleti görbe mentén mozdultunk el, jobbra, b) biztosan megváltozott a keresleti görbe meredeksége, c) biztosan árhuzamosan tolódott el a keresleti görbe, d) a meredeksége is változhatott a referencia megváltozása miatt, a jövedelem viszont árhuzamosan jobbra tolja a keresleti görbét. 0. Eg fogasztó lineáris keresleti görbéje a vízszintes tengelt 000-nél metszi. Emellett ismert, hog ha a termék ára eg egséggel nő, a termék iránti kereslet 0,5 egséggel csökken. Hog néz ki ennek a keresleti görbének az inverz alakban megadott egenlete? a) Q = 000 0,5P, b) P = 000 0,5Q, c) Q = 000 Q, d) P = 000 0,5Q. 67

19 . Tegük fel, hog x és termék egmás komlementerei. Ennek ismeretében elmondható, hog a) az x termék árának emelkedése az x termék keresleti görbéjét az origó felé, az termék keresleti görbéjét kifelé tolja, b) az x termék árának csökkenése az x termék keresleti görbéjét az origó felé, az termék keresleti görbéjét kifelé tolja, c) az x termék árának emelkedése az x termék keresleti görbéjét nem módosítja, az termék keresleti görbéjét kifelé tolja, d) az x termék kereslete az termék árára nem reagál.. Minél több különböző egéni keresleti görbét adunk össze, a) annál magasabb lesz a rezervációs ár, b) annál több törésontja lesz a görbének, c) annál meredekebb lesz a P-tengelhez közel eső szakasz, d) annál árrugalmatlanabb lesz a iaci kereslet.. dott termék iacának keresletét két fogasztó (I. és II.) alkotja. z egikőjük inverz alakú keresleti görbéje görbe D P I a) 00-nál metszi a függőleges tengelt, b) 600-nál metszi a vízszintes tengelt, c) meredeksége -,, d) meredeksége -5,5. = 00 0,Q, a másiké edig P D II = 00 Q. iaci keresleti 68

Mikroökonómia - 2. elıadás. Speciális közömbösségi görbék Az ICC és PCC

Mikroökonómia - 2. elıadás. Speciális közömbösségi görbék Az ICC és PCC Mikroökonómia - 2. elıadás Speciális közömbösségi görbék z I és P 1 FOGYSZTÓI DÖNTÉS TÉNYEZİI FOGYSZTÓ OPTIMÁLIS VÁLSZTÁS (ism.) Optimális választás: z U* és a költségvetési egenes érintési pontja (jól

Részletesebben

A jövedelem- és árváltozások hatása a fogyasztói döntésre. Az ICC görbe. Az Engel-görbe. 4-5. előadás

A jövedelem- és árváltozások hatása a fogyasztói döntésre. Az ICC görbe. Az Engel-görbe. 4-5. előadás 4-5. előadás A jövedelem- és árváltozások hatása a fogasztói döntésre ICC és Engel-görbe, PCC és egéni keresleti függvén. A iaci keresleti görbe származtatása. A fogasztói többlet. Kereslet-rugalmassági

Részletesebben

Mit jelent az optimalizálás?

Mit jelent az optimalizálás? Mikroökon konómiai optimumfeladatok megoldási módszereim Alapvetõ deriválási szabálok. Feltételes szélsõ érték feladatok megoldása. Mit jelent az optimalizálás? feltételes szélsõérték-feladat döntési helzet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

2013/2014. tanév, őszi félév távoktatási tagozat, e-learning képzés

2013/2014. tanév, őszi félév távoktatási tagozat, e-learning képzés Mikroökonómia 2013/2014. tanév, őszi félév távoktatási tagozat, e-learning kézés Az oktató/tutortutor adatai r. Koán Krisztián Ph egetemi adjunktus személes fogadóóra időontja és hele: keddenként 10:00,

Részletesebben

1. gyakorlat. Oktatási segédlet hallgatók számára

1. gyakorlat. Oktatási segédlet hallgatók számára másik termék mennisége. gakorlat Transzformációs görbe, mikroökonómiai optimumfeladatok megoldásának alapmódszere Oktatási segédlet hallgatók számára Eg fontos közgazdasági alapmodell TLH, alternatív költség,

Részletesebben

A FOGYASZTÓI MAGATARTÁS

A FOGYASZTÓI MAGATARTÁS A FOGYASZTÓI MAGATARTÁS Kiindulópont: a fogyasztó racionálisan viselkedik a termékek árai és a fogyasztó jövedelme mellett szükséglet-kielégítésének maximalizálására törekszik. A szükségletek kielégítéséhez

Részletesebben

tutor adatai távoktatási csomag távoktatási tagozat, e-learning képzés

tutor adatai távoktatási csomag távoktatási tagozat, e-learning képzés Mikroökon konómia 2010/2011. tanév, õszi félév távoktatási tagozat, e-learning kézés Az oktató/tutor tutor adatai r. Koán Krisztián Ph egetemi adjunktus személes fogadóóra idõontja és hele: keddenként

Részletesebben

x jószágkombinációk halmaza,

x jószágkombinációk halmaza, . Tegyük fel, hogy egy piacon a kereslet és a kínálat az alábbi összefüggésekkel adhatók meg: Q = 60 p és Q = p/2, ahol p az árat jelöli forintban! A kormány elrendeli, hogy a termelőknek a szóban forgó

Részletesebben

Közgazdaságtan I. 2015. február 18. 2. alkalom Tóth-Bozó Brigitta

Közgazdaságtan I. 2015. február 18. 2. alkalom Tóth-Bozó Brigitta Közgazdaságtan I. 2015. február 18. 2. alkalom Tóth-Bozó Brigitta Általános bevezető Fogalmak a mai alkalomra: - kereslet/keresleti függvény/keresleti görbe - kínálat/kínálati függvény/keresleti görbe

Részletesebben

Közgazdaságtan - 3. elıadás

Közgazdaságtan - 3. elıadás Közgazdaságtan - 3. elıadás A FOGYASZTÓI DÖNTÉS TÉNYEZİI 1 A FOGYASZTÓI DÖNTÉS ELEMEI Példa: Eg személ naponta 2000 Ft jövedelmet költhet el pogácsára és szendvicsre. Melikbıl mennit tud venni? 1 db pogácsa

Részletesebben

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Bevezetés s a piacgazdaságba. gba. Alapprobléma. Mikroökonómia: elkülönült piaci szereplık, egyéni érdekek alapvetı piaci törvények

Bevezetés s a piacgazdaságba. gba. Alapprobléma. Mikroökonómia: elkülönült piaci szereplık, egyéni érdekek alapvetı piaci törvények A mikroökonómia és makroökonómia eltérése: Bevezetés s a piacgazdaságba gba Alapfogalmak, piaci egyensúly Mikroökonómia: elkülönült piaci szereplık, egyéni érdekek alapvetı piaci törvények Makroökonómia:

Részletesebben

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június Vázlat 1

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

13. A zöldborsó piacra jellemző keresleti és kínálati függvények a következők P= 600 Q, és P=100+1,5Q, ahol P Ft/kg, és a mennyiség kg-ban értendő.

13. A zöldborsó piacra jellemző keresleti és kínálati függvények a következők P= 600 Q, és P=100+1,5Q, ahol P Ft/kg, és a mennyiség kg-ban értendő. 1. Minden olyan jószágkosarat, amely azonos szükségletkielégítési szintet (azonos hasznosságot) biztosít a fogyasztó számára,.. nevezzük a. költségvetési egyenesnek b. fogyasztói térnek c. közömbösségi

Részletesebben

Mikroökonómia 2009 őszi félév

Mikroökonómia 2009 őszi félév Mikroökonómia 2009 őszi félév Budapesti Corvinus Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar. 3. előadás Fogyasztás és kereslet Előadó: Berde Éva A jelen előadás fóliáiban többször felhasználtam a Hirshleifer Glazer

Részletesebben

Lepárlás. 8. Lepárlás

Lepárlás. 8. Lepárlás eárlás 8. eárlás csefolós elegek szétválasztására leggakrabban használt művelet a leárlás. Míg az egszeri leárlás desztilláció néven is ismerjük az ismételt leárlás vag ismételt desztillációt rektifikálásnak

Részletesebben

Szolnoki Főiskola. Detkiné Viola Erzsébet Fazekas Tamás. Mikroökonómia példatár- és feladatgyűjtemény

Szolnoki Főiskola. Detkiné Viola Erzsébet Fazekas Tamás. Mikroökonómia példatár- és feladatgyűjtemény Szolnoki Főiskola Detkiné Viola Erzsébet Fazekas Tamás Mikroökonómia példatár- és feladatgyűjtemény Mikroökonómia példatár- és feladatgyűjtemény Írta: Detkiné Viola Erzsébet Fazekas Tamás Lektorálta: Gödör

Részletesebben

A termelés technológiai feltételei rövid és hosszú távon

A termelés technológiai feltételei rövid és hosszú távon 1 /12 A termelés technológiai feltételei rövid és hosszú távon Varian 18. Rgisztrált gazdasági szervezetek száma 2009.12.31 (SH) Társas vállalkozás 579 821 Ebbıl: gazdasági társaság: 533 232 Egyéni vállalkozás

Részletesebben

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük. Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m

Részletesebben

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,

Részletesebben

Statika. Armuth Miklós, Karácsonyi Zsolt, Bodnár Miklós. Nyugat-magyarországi Egyetem TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0067

Statika. Armuth Miklós, Karácsonyi Zsolt, Bodnár Miklós. Nyugat-magyarországi Egyetem TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0067 ! Nugat-magarországi Egetem Armuth Miklós, Karácsoni Zsolt, Bodnár Miklós Statika Műszaki metaadatázis alapú fenntartható e-learning és tudástár létrehozása TÁMOP-4.1..A/1-11/1-011-0067 GSPulisherEngine

Részletesebben

A jövedelem- és árváltozások hatása a fogyasztói döntésre. Az ICC görbe. Az Engel-görbe. 4-5. előadás

A jövedelem- és árváltozások hatása a fogyasztói döntésre. Az ICC görbe. Az Engel-görbe. 4-5. előadás 4-5. előadás A jövedelem- és árváltozások hatása a fogasztói döntésre CC és Engel-görbe, PCC és egéni keresleti függvén. A iaci keresleti görbe származtatása. A fogasztói többlet. Kereslet-rugalmassági

Részletesebben

Mechanika II. Szilárdságtan

Mechanika II. Szilárdságtan echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt

Részletesebben

1. A modell formálisan

1. A modell formálisan 1. A modell formálisan Az általunk vázolt mesterséges gazdaság két szerepl vel reprezentatív fogyasztóval és vagyonkezel vel m ködik. A gazdasági szerepl k két id szakra vonatkozóan hoznak döntéseket,

Részletesebben

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája TARTALOM 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE... 7 5.. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája... 7 5.. Koordináta transzformációk... 5... Forgatás... 5... R-P-Y szögek... 5... Homogén transzformációk...

Részletesebben

Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról

Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról Néhán érdekes függvénről és alkalmazásukról Bevezetés Meglehet, a középiskola óta nem kedveltük az abszolútérték - függvént; most itt az ideje, hog változtassunk ezen. Erre az adhat okot, hog belátjuk:

Részletesebben

Közgazdaságtan műszaki menedzsereknek II. SGYMMEN227XXX SGYMMEN2073XA. Tantárgyfelelős: dr. Paget Gertrúd főiskolai docens

Közgazdaságtan műszaki menedzsereknek II. SGYMMEN227XXX SGYMMEN2073XA. Tantárgyfelelős: dr. Paget Gertrúd főiskolai docens Közgazdaságtan műszaki menedzsereknek II. SGYMMEN227XXX SGYMMEN2073XA Tantárgyfelelős: dr. Paget Gertrúd főiskolai docens Tárgyelőadó: dr. Paget Gertrúd főiskolai docens Gyakorlatvezető: dr. Paget Gertrúd

Részletesebben

Keresleti és kínálati függvény. Minden piacnak van egy keresleti és egy kínálati oldala, amelyeket a normatív közgazdaságtanban

Keresleti és kínálati függvény. Minden piacnak van egy keresleti és egy kínálati oldala, amelyeket a normatív közgazdaságtanban tehát attól függ, hogy x milyen értéket vesz fel. A függvényeket a közgazdaságtanban is a jól ismert derékszögû koordináta-rendszerben ábrázoljuk, ahol a változók nevének megfelelõen általában a vízszintes

Részletesebben

2. előadás. Gazdasági intézmények funkciói,

2. előadás. Gazdasági intézmények funkciói, 2. előadás Hogyan működik a iac? A iacelemzés alafogalmai. A keresleti, a kínálati oldal és az egyensúly. A mikroökonómiai iacmodell: a Marshallkereszt. A keresleti és kínálati görbék kezelése. Példák

Részletesebben

A gazdaság szerkezeti vázlata

A gazdaság szerkezeti vázlata 3. lecke Hogyan működik a iac? A iacelemzés alafogalmai. A keresleti, a kínálati oldal és az egyensúly. A mikroökonómiai iacmodell: a Marshallkereszt. A keresleti és kínálati görbék kezelése. Példák és

Részletesebben

Mikroökonómia. Vizsgafeladatok

Mikroökonómia. Vizsgafeladatok Mikroökonómia Vizsgafeladatok Bacsi, Mikro feladatok 1 1, Marshall- kereszt, piaci egyensúly Mennyi a savanyúcukorka egyensúlyi mennyisége, ha a cukorka iránti kereslet és kínálat függvénye a következı:

Részletesebben

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac Mikroökonómia szeminárium Bevezetés, a piac Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Tanszék 2011 szeptember 21. A témakör alapfogalmai Keresleti (kínálati) görbe - kereslet (kínálat) fogalma - kereslet

Részletesebben

Tartalom. Pénzügytan I. Általános tudnivalók, ismétlés. 2010/2011 tanév őszi félév 1. Hét

Tartalom. Pénzügytan I. Általános tudnivalók, ismétlés. 2010/2011 tanév őszi félév 1. Hét Pénzügytan I. Általános tudnivalók, ismétlés 2010/2011 tanév őszi félév 1. Hét 2010.09.07. 1 Tóth Árpád Ig. 617 e-mail: totha@sze.hu gyakorlatok letölthetősége: www.sze.hu/~totha Pénzügytan I. (könyvtár)

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN, ÍRÁSBELI FELVÉTELI FELADAT, 2004

KÖZGAZDASÁGTAN, ÍRÁSBELI FELVÉTELI FELADAT, 2004 KÖZGAZDASÁGTAN, ÍRÁSBELI FELVÉTELI FELADAT, 2004 Kedves Felvételiző! A feladatlap két részből áll. Az első rész mikroökonómiai ismereteire, a második rész a makroökonómiai tananyagra vonatkozik. Kövesse

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK 0512 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 20. KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM TESZT JELLEGŰ FELADATOK I. Feleletválasztós

Részletesebben

Levelező hallgatóknak pótzh lehetőség: a félév rendje szerinti pótlási napok egyikén

Levelező hallgatóknak pótzh lehetőség: a félév rendje szerinti pótlási napok egyikén Közgazdaságtan II. Mikroökonómia SGYMMEN202XXX Tantárgyfelelős: dr. Paget Gertrúd főiskolai docens Tárgyelőadó: dr. Paget Gertrúd főiskolai docens Gyakorlatvezető: dr. Paget Gertrúd Tantárgyi leírás építőmérnök

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 22. KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 22. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIAI GYAKORLATOK TÁVOKTATÁSI SEGÉDLET

MIKROÖKONÓMIAI GYAKORLATOK TÁVOKTATÁSI SEGÉDLET MIKROÖKONÓMIAI GYAKORLATOK TÁVOKTATÁSI SEGÉDLET II Mikroökonómiai gyakorlatok TÓTHNÉ, ÉRSEK ILDIKÓ - DR. BÓDI ERZSÉBET BEVEZETÉS A KÖZGAZDASÁGTANBA I. Mikroökonómiai gyakorlatok című könyvét távoktatási

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Kosztoláni József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönv 9 Tizenharmadik, átdolgozott kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 KOMBINATORIKA, HALMAZOK. Mi mit jelent a matematika nelvén? AKÁR

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN)

KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN) 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 22. KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN) KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK 0611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. május 18. KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM MIKROÖKONÓMIA I. FELELETVÁLASZTÓS KÉRDÉSEK

Részletesebben

Költségvetési korlát és költségvetési egyenes

Költségvetési korlát és költségvetési egyenes (C) htt://kgt.bme.hu/ ikroökonómia Elıadásvázlat. október 4. I. Rövid elmélettörténeti visszatekintés - Klasszikus közgazdaságtan (dam Smithtıl egészen a XIX. század második feléig) kínálatorientált közgazdaságtan

Részletesebben

szemináriumi A csoport Név: NEPTUN-kód: Szabó-Bakos Eszter

szemináriumi A csoport Név: NEPTUN-kód: Szabó-Bakos Eszter 3. szemináriumi ZH A csoport Név: NEPTUN-kód: A feladatlapra írja rá a nevét és a NEPTUN kódját! A dolgozat feladatainak megoldására maximálisan 90 perc áll rendelkezésre. A helyesnek vált válaszokat a

Részletesebben

VC c y. Összeállította: Dr. Karner Cecília PhD egyetemi docens, tantárgyfelelős

VC c y. Összeállította: Dr. Karner Cecília PhD egyetemi docens, tantárgyfelelős Mikroökonómia alapfogalmak. Állandó költség (FC): Az a költség, mely rövid távon nem függ a termelés nagyságától, tehát összege a termelés bármely időszakában ugyanannyi, és ha a vállalat nem termel semmit,

Részletesebben

A változó költségek azon folyó költségek, amelyek nagysága a termelés méretétől függ.

A változó költségek azon folyó költségek, amelyek nagysága a termelés méretétől függ. Termelői magatartás II. A költségfüggvények: A költségek és a termelés kapcsolatát mutatja, hogyan változnak a költségek a termelés változásával. A termelési függvényből vezethető le, megkülönböztetünk

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. május 25. KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK 2007. május 25. 8:00 KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI

Részletesebben

Azonosító jel: GAZDASÁGI ISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2006. február 22. 14:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc

Azonosító jel: GAZDASÁGI ISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2006. február 22. 14:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 22. GAZDASÁGI ISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. február 22. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

VASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, 2001. május hó

VASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, 2001. május hó BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke VASBETON LEMEZEK Oktatási segédlet v1.0 Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas Görg Budapest, 001. május

Részletesebben

Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 13. előadás Idősorok elemzése Előadó: Dr. Ertse Imre A társadalmi - gazdasági jelenségek időbeli alakulásának törvénszerűségeit kell vizsgálni a változás, a fejlődés tendenciáját. Ezek a

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gula Parócza József Szászné dr Simon Judit MATEMATIKA 9 Az érthetõ matematika tankönv feladatainak megoldásai A megoldások olvasásához Acrobat Reader program szükséges, amel ingenesen

Részletesebben

1. szemináriumi. feladatok. két időszakos fogyasztás/ megtakarítás

1. szemináriumi. feladatok. két időszakos fogyasztás/ megtakarítás 1. szemináriumi feladatok két időszakos fogyasztás/ megtakarítás 1. feladat Az általunk vizsgál gazdaság csupán két időszakig működik. A gazdaságban egy reprezentatív fogyasztó hoz döntéseket. A fogyasztó

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN ÉRETTSÉGI VIZSGA FELADATOK

KÖZGAZDASÁGTAN ÉRETTSÉGI VIZSGA FELADATOK KÖZGAZDASÁGTAN ÉRETTSÉGI VIZSGA FELADATOK I. TÉTEL A. Olvassa el figyelmesen a következő kijelentéseket. a) Az első öt (1-től 5-ig) kijelentésre vonatkozóan jelölje a kijelentésnek megfelelő számot, és

Részletesebben

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok

Részletesebben

A technológia és költség dualitása: termelési függvény és költségfüggvények. A vállalat optimális döntése

A technológia és költség dualitása: termelési függvény és költségfüggvények. A vállalat optimális döntése 1 /11 (C) http://kgt.bme.hu/ A technológia és költség dualitása: termelési függvény és költségfüggvények. A vállalat optimális döntése Varian 20.3-6. 21. fejezet Termelési és hasznossági függvény (ismétlés

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit. modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően

Részletesebben

A vám gazdasági hatásai NEMZETKZÖI GAZDASÁGTAN

A vám gazdasági hatásai NEMZETKZÖI GAZDASÁGTAN A vám gazdasági hatásai NEMZETKZÖI GAZDASÁGTAN Forrás: Krugman-Obstfeld-Melitz: International Economics Theory & Policy, 9th ed., Addison-Wesley, 2012 A vám típusai A vám az importált termékre kivetett

Részletesebben

Mikróökonómia feladatok

Mikróökonómia feladatok kidolgozva A feladatok még hiányosak, folyamatosan frissítem őket! Utolsó frissítés: 007-04-04 19:13:47 1. oldal, összesen 44 oldal Konzultáció 006-10-6 1. feladat (Cobb-Douglas függvény) Józsi bácsi 100

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. A közgazdaság-tudomány. A közgazdaságtan lényege:

MIKROÖKONÓMIA I. A közgazdaság-tudomány. A közgazdaságtan lényege: 1 MIKROÖKONÓMIA I. A közgazdaság-tudomány A közgazdaságtan lényege: Gazdálkodás - összehangolási folyamat A közgazdaságtan a termelési körfolyamattal foglalkozik: javak termelését, elosztását,cseréjét,és

Részletesebben

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3. Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................

Részletesebben

12.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK

12.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK KÖZÉPSZINTÛ FELADATSOROK. Feladatsor I. rész megoldások. ( + ).. A háromszög köré írható kör sugara,6 cm.. Körtébõl 9 kg-ot, almából 8 kg-ot, banánból

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irány és fázisfront szögdiszperzió mérése

Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irány és fázisfront szögdiszperzió mérése Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irán és fázisfront szögdiszperzió mérése I. Elméleti összefoglaló Napjainkban ultrarövid, azaz femtoszekundumos nagságrendbe eső fénimpulzusokat előállító

Részletesebben

KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium

KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium válaszolására iránuló, még folamatban lévô (a dekoherencia és a hullámcsomag kollapszusa tárgkörökbe esô) elméleti próbálkozások ismertetésétôl. Ehelett inkább a kísérletek elôfeltételét képezô kvantumhûtés

Részletesebben

Elméleti közgazdaságtan I.

Elméleti közgazdaságtan I. Elméleti közgazdaságtan I. lapfogalmak és Mikroökonómia FOGYSZTÓI MGTRTÁS (I. rész) fogasztói preferenciák Eg játék fogasztónak felkínálunk két kosarat azzal, hog bármelik az övé lehet minden egéb feltétel

Részletesebben

Felépítettünk egy modellt, amely dinamikus, megfelel a Lucas kritikának képes reprodukálni bizonyos makro aggregátumok alakulásában megfigyelhető szabályszerűségeket (üzleti ciklus, a fogyasztás simítottab

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. május 18. KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. május 18. 14:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Összeállította: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tanár A Kombinatorika, halmazok c. fejezetet szakmailag ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egetemi docens Tartalom

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Mikroökonómia (GTGKG601EGL) Egészségügyi szervező szakos levelező hallgatóknak

Mikroökonómia (GTGKG601EGL) Egészségügyi szervező szakos levelező hallgatóknak Mikroökonómia (GTGKG601EGL) Egészségügyi szervező szakos levelező hallgatóknak közgazdaságtan szükséglet mikroökonómia makroökonómia nemzetközi közgazdaságtan ceteris paribus elv piac kereslet kínálat

Részletesebben

2. Koordináta-transzformációk

2. Koordináta-transzformációk Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,

Részletesebben

5. előadás KÖLTSÉGVETÉSI KORLÁT, PREFERENCIÁK (1)

5. előadás KÖLTSÉGVETÉSI KORLÁT, PREFERENCIÁK (1) 5. előadás KÖLTSÉGVETÉSI KORLÁT, PREFERENCIÁK (1) Kertesi Gábor Varian 2. fejezete, illetve 3. fejezetének 21-50. oldalai alapján 5.1 Bevezető megjegyzések A fogyasztó közgazdasági elmélete: a számunkra

Részletesebben

MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG

MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG Dr. Óvári Gula 1 - Dr. Urbán István 2 MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KILKÍTÁS 3 cikk(soroatban)ben a merev sárnú repülőgépek veérsík rendserinek terveését és építését követheti nomon lépésről

Részletesebben

3. Előadás 2013.09.24. Rugalmasság és használata. A kereslet rugalmassága. A kereslet rugalmassága. A kereslet rugalmassága. A kereslet rugalmassága

3. Előadás 2013.09.24. Rugalmasság és használata. A kereslet rugalmassága. A kereslet rugalmassága. A kereslet rugalmassága. A kereslet rugalmassága .9.. Chapter Chapter. Előadás Rugalmasság és használata Rugalmasság A keresett vagy a kínált valamely meghatározó elemére való érzékenységét méri i árrugalmasság Azt méri, hogy hogyan reagál egy jószág

Részletesebben

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: Kőhegyi Gergely, Horn Dániel. Szakmai felelős: Kőhegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: Kőhegyi Gergely, Horn Dániel. Szakmai felelős: Kőhegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében DIMENZIÓK 35 Matematikai Közlemének III. kötet, 5 doi:.3/dim.5.5 Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében Horváth-Szováti Erika NME EMK

Részletesebben

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül

Részletesebben

NÉHÁNY GONDOLAT AZ ÁRELFOGADÓ ÉS ÁRMEGHATÁROZÓ FOGALMAK JELENTÉSÉRİL

NÉHÁNY GONDOLAT AZ ÁRELFOGADÓ ÉS ÁRMEGHATÁROZÓ FOGALMAK JELENTÉSÉRİL Közgazdasági- és Regionális Tudománok Intézete Pécsi Tudománegetem, Közgazdaságtudománi Kar MŐHELYTANULMÁNYOK NÉHÁNY GONDOLAT AZ ÁRELFOGADÓ ÉS ÁRMEGHATÁROZÓ FOGALMAK JELENTÉSÉRİL Barancsuk János 2009/1

Részletesebben

2. szemináriumi. feladatok. Fogyasztás/ megtakarítás Több időszak Több szereplő

2. szemináriumi. feladatok. Fogyasztás/ megtakarítás Több időszak Több szereplő 2. szemináriumi feladatok Fogyasztás/ megtakarítás Több időszak Több szereplő 1. feladat Egy olyan gazdaságot vizsgálunk, ahol a fogyasztó exogén jövedelemfolyam és exogén kamat mellett hoz fogyasztási/megtakarítási

Részletesebben

FELVÉTELI DOLGOZAT MEGOLDÓKULCS KÖZGAZDASÁGI ELEMZŐ MESTERSZAK NEMZETKÖZI GAZDASÁG ÉS GAZDÁLKODÁS MESTERSZAK. 2012. május 22.

FELVÉTELI DOLGOZAT MEGOLDÓKULCS KÖZGAZDASÁGI ELEMZŐ MESTERSZAK NEMZETKÖZI GAZDASÁG ÉS GAZDÁLKODÁS MESTERSZAK. 2012. május 22. FELVÉTELI DOLGOZAT MEGOLDÓKULCS KÖZGAZDASÁGI ELEMZŐ MESTERSZAK NEMZETKÖZI GAZDASÁG ÉS GAZDÁLKODÁS MESTERSZAK 2012. május 22. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Gazdasági ismeretek emelt szint 0804 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. május 25. GAZASÁGI ISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM A javítás

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

A LED világítás jövője Becslések három öt évre előre

A LED világítás jövője Becslések három öt évre előre A LED világítás jövője Becslések három öt évre előre Budapest, 2010. december Készítette: Vass László a VTT és az Óbudai egyetem 2011 februári LED-es világítástechnikai szimpóziumára. Bevezető: Általános

Részletesebben

Specifikus termelési tényezők modellje. Ricardói modell. Alapmodell

Specifikus termelési tényezők modellje. Ricardói modell. Alapmodell Ricardói modell A kereskedelem hasznos, ha komparatív előnyök kihasználásán alapul. A gazdaság jól jár. Minden gazdasági szereplő jól jár. Specifikus termelési tényezők modellje A kereskedelem hasznos,

Részletesebben

11/1. Teljesítmény számítása szinuszos áramú hálózatokban. Hatásos, meddô és látszólagos teljesítmény.

11/1. Teljesítmény számítása szinuszos áramú hálózatokban. Hatásos, meddô és látszólagos teljesítmény. 11/1. Teljesítén száítása szinuszos áraú álózatokban. Hatásos, eddô és látszólagos teljesítén. Szinuszos áraú álózatban az ára és a feszültség idıben változik. Íg a pillanatni teljesítén is változik az

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Komplex elemzés tárgyhoz Témakör: Minőség

Gyakorló feladatok a Komplex elemzés tárgyhoz Témakör: Minőség Gyakorló feladatok a Komlex elemzés tárgyhoz. feladat Egy vállalkozás termelőfolyamatának minősége a következőkéen alakult: Megnevezés Termelés vezértermékben (db Selejt (db terv tény terv tény I. sz.

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logika, bizonítási módszerek. Logikai feladatok, kijelentések. Feltéve, hog a középsõ a kérdésre válaszolt:

Részletesebben

A piaci mechanizmus mőködése: elemzések a Marshall kereszt segítségével (adó, szubvenció, árrögzítés stb). Holtteherveszteség Varian 14. és 16.5-9.

A piaci mechanizmus mőködése: elemzések a Marshall kereszt segítségével (adó, szubvenció, árrögzítés stb). Holtteherveszteség Varian 14. és 16.5-9. 1 /11 3. hét A piaci mechanizmus mőködése: elemzések a Marshall kereszt segítségével (adó, szubvenció, árrögzítés stb). Holtteherveszteség Varian 14. és 16.5-9. PIACI GYNÚLY TÚLKRLT, TÚLKÍNÁLAT ha p =

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK

KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK Közgazdasági-marketing alapismeretek emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 4. KÖZGAZDASÁGI- MARKETING ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI

Részletesebben