Mikroökonómia Elıadásvázlat szeptember 13.

Átírás

1 (C) tt://kgt.bme.u/ Mikroökonómia Elıadásvázlat. szetember 3. I. Marginalizmus és matematika Két vag több ténezı közötti kacsolat jellemzésére függvéneket asználunk, amelek a független (magarázó) és a függı (eredmén-) változó közötti összefüggést jelenítik meg. Mik a korábban megismert keresleti és kínálati függvéneknél a független, illetve a függı változók? Változik-e a független változók száma, a a keresleti, illetve kínálati görbék függvénszerő összefüggéseit vizsgáljuk? Ha mindkét változó értékei nagon (végtelen) kis menniségekben változ(at)nak, akkor = f függvén esetén: foltonos függvéneket asználatunk, l. az ( ) f ( ) Ha most a független változó értéke módosul, -ról -re, akkor a függı változó értéke - ról -re módosul. Ha a P = (, ) és a P = (, ) ontokat egmással összekötjük, akkor az S szelıt kajuk, amelnek meredekségét az α szöggel atározatjuk meg: tg( α ) = =. /3

2 (C) tt://kgt.bme.u/ P S f ( ) P α Ha most a i = i, i =,,3,..., távolságot egre kisebbé változtatjuk, akkor mind újabb szelıket kaunk, amelek meredekségét az αi szögek, i =,,3,..., atározzák meg. A következı ábrán ezt i =, esetét tüntettük fel. P S P S f ( ) P α α /3

3 (C) tt://kgt.bme.u/ A szelıkbıl íg elıbb-utóbb érintı lesz, az az E egenes, amel az = f ( ) a P = (, ) ontban érinti. függvén gráfját E P S f ( ) P α Az E egenes meredeksége uganazt fejezi ki, mint korábban az összes S,S,... szelık meredeksége a magarázó változó és az eredménváltozó értékmódosulásainak az aránát. Az egetlen különbség, og a magarázó (független) változó értéke most eg végtelen kis egséggel nıtt vag csökkent. = alakú keresleti függvén. a) Ábrázolja a fenti keresleti függvént a következı koordináta-rendszerben! Adott a ( ) 3 3 /3

4 (C) tt://kgt.bme.u/ b) Tegük fel, og az ár a kiinduló = 5 értékrıl a = 5 értékre csökken. Határozza meg a ozzátartozó termékmenniségeket, utána kösse össze a P = (, ) és P = (, ) ontokat egmással! Ábrázolja az árváltozást és a termékmenniség változását! Melik függvénnel fejezetjük ki az árváltozás és a termékmenniség-változás aránát? c) Ábrázolja a megadott keresleti függvént az alábbi koordináta-rendszerben! Kösse össze egmással a P = (, ) és P = (, ) ontokat és asonlítsa össze a kaott egenest a b) feladatrészben kaott egenessel! d) Tegük fel, og a = 5 árat nem a = 5 a = 4, 3 = 5, 4 =, 5 = termékmenniségeket és kösse össze a P = (, ) árból kiindulva érjük el, anem rendre árakból. Határozza meg az árakoz tartozó ontot rendre a kiszámított ontokkal! Értelmezze az eredmént grafikusan és a b) feladatrészben megatározott függvén segítségével is! e) Melik egenes fejezi ki legontosabban a kereslet alakulását, a az ár változik? Melik egenes fejezi ki legontosabban a kereslet alakulását? f) Fogalmazza meg, mit jelent a kaott egenesek meredeksége közgazdasági szemontból! g) Mi történik, a az árváltozás rendkívül szélsı esetben: végtelen kicsi? Valamelik görbéez úzott érintı meredeksége teát a) a függvén meredekségét mutatja az érintési ontban, b) azt fejezi ki, mennire változik a független változó értéke, a a függı változó értéke eg végtelen kis egséggel módosul. Kérdés: Mit jelent az érintı ozitív, illetve negatív meredeksége? Értelmezze ennek ismeretében a keresleti, illetve kínálati függvén meredekségét! A függvén valamel ontban vett meredekségét a függvén elsı deriváltjával atározatjuk meg. Ennek megértéséez menjünk vissza az egik korábbi ábránkoz. Ha most az különbséget -val jelöljük, akkor azt kajuk, og = f = f. Íg = és ( ) ( ) /3

5 ( + ) f ( ) (C) tt://kgt.bme.u/ = f és =, vagis az S szelı meredekségét kifejezı kifejezés most f úg is leírató, og ( ) ( + ) f ( ) tg α = =. f ( + ) f ( ) P S f ( ) P α A P onton átaladó érintı meredekségét úg katuk meg, og értékét egre kisebbre ( + ) f ( ) f vettük. Feladatunk teát most az, og eg adott függvén esetén az értékét megadjuk, a egre kisebb lesz. Ezt a matematikában a atárérték (limes) fogalma segítségével fejezzük ki, kéletben: f lim ( + ) f ( ) amel még egszer megismételve - azt az utasítást jelenti, og keressük a szögletes zárójelekben lévı kifejezés értékét, miközben tart a -oz. Ezt az értéket nevezzük az f ( ) d df ( ) függvén elsı deriváltját az érték mellett és a = ánadossal jelöljük. A d = d = elett azért asználjuk most a d-t, og jelezzük a változások végtelen kis mértékét; ez az egetlen különbség. Tekintettel, og a szóban forgó kifejezést csak konkrétan megadott függvénekre tudjuk megadni, válasszuk most az = f ( ) = függvént. Valamel tetszıleges esetén teát, 5 5 /3

6 f (C) tt://kgt.bme.u/ ( + ) f ( ) ( + ) =. Az egenlet jobb oldalán szerelı kifejezést átalakítva azt kajuk, og ( + ) = + + = + = +, amel egre kisebb -értékek esetén szemmel látatóan a értékét veszi fel, azaz a fenti jelölést alkalmazva: d d = ( ) d = =. = d = Határozza meg az ( ) = f = függvén meredekségét, a = 5,,,,,, 4,! Ábrázolja az f ( ) = függvént, és tüntesse fel a meredekségét a megadott ontokban! Mit jelent az, og valamel függvén elsı deriváltja eg adott ontban zérus? Legen a megvizsgálandó függvén most az ( ) 3 f =. Ebben az esetben teát f ( + ) f ( ) ( + ) = = 3, amibıl 3 ( ) d d = = 3 = adódik. n A binomiális tétel segítségével megmutatató, og az ( ) df d ( ) n deriváltja n n =, aol n tetszıleges valós szám. f = alakú függvénnek elsı Mutassa meg, og az f ( ) a + b df = deriváltja b, azaz = b! d 6 6 /3

7 (C) tt://kgt.bme.u/ Határozza meg a fenti gakorló feladatban szerelı ( ) deriváltját! = keresleti függvén elsı = 3. S Valamel termék kínálati függvéne ( ) a) Ábrázolja a függvént az alábbi két koordináta-rendszerben! b) Mekkora kínálat-változás várató, a az ár a =, = 3, = értékeknél eg végtelen kis egséggel csökkenne? c) Határozza meg ogan változik a kínálat, a a megadott árak esetén végtelenül kis árváltozás következik be! Tüntesse fel az eredmént az a) feladatrészben ábrázolt függvéneknél! II. A rugalmasság. A deriválással a következı kérdésre egértelmő választ adatunk: Mennivel változik a termék iránti kereslet, a az ár z egséggel nı? Sokszor azonban nem az ár és a kereslet, illetve általánosságban megfogalmazva: két változó abszolút menniségben mért értékváltozásai fontosak, anem fıleg nem-lineáris összefüggéseknél azok százalékos változásuk arána érdekes, azaz a az egik független változó értéke százalékkal változik, akkor án százalékkal változik a másik függı változó értéke. Ennek elemzéséez a rugalmasság fogalmát asználjuk. 7 7 /3

8 (C) tt://kgt.bme.u/ Legen adva két változó és közötti kacsolat, amelet az = f ( ) függvénnel íratunk le. Az változónak az változóra vonatkozó rugalmasságán (jelölés: ε ) azt értjük, og án százalékkal változik az változó értéke, a az változó értéke eg egséggel változik. Mivel az változó százalékos változása, az változó százalékos változása edig, ezért ε = =, illetve végtelen d d kis változások esetében a deriváltat alkalmazva: ε = = ; az ε azt fejezi d d ki, og az változó végtelen kis százalékos változása milen szintén százalékban kifejezett változást eredménez az változóban, az elsı inde teát az eredménváltozóra vonatkozik, a második a magarázó változóra. - eriváltak asználatakor az ún. ontrugalmasságot számítunk. - d d Mivel ε = = :, azért azt mondatjuk, og a ontrugalmasság a d d atárváltozás és az átlagváltozás ánadosa. - Különbség ontrugalmasság és ívrugalmasság között: a diszkrét menniségeket figelembe vevı ívrugalmasság közelebb áll a valóságoz, de megállaodás kérdése az intervallum melik ontjára (vég- vag közéont) vetítjük a változásokat.. Adott legen a következı keresleti függvén: ( ) 3 5 árrugalmassága a fentiek alaján =. A kereslet d ε =. d d Tekintettel arra, og éldánkban = 5, azt kajuk, og d ε = 5 =. Látjuk, og a kereslet árrugalmasságának az értéke az ártól függ, azaz lineáris keresleti függvének esetén a kereslet árrugalmassága nem állandó. Ha az l. =, akkor ε = =, vagis ebben az esetben = 6 5 az ár egségni (végtelen kicsi) százalékos változása a keresletet -egséggel /3

9 (C) tt://kgt.bme.u/ változtatja az ellenkezı iránba (negatív elıjel!). Ha = 5, akkor ε = 5, = 5 vagis ebben az esetben az ár egségni (végtelen kicsi) százalékos növekedése (csökkenése) a keresletet 5 egséggel csökkenti (növeli). 3. A rugalmasság mértéke (a változás iránának a mellızése miatt abszolút értékben adjuk meg a rugalmasság atárait): ε = tökéletesen rugalmas < ε < ε = < ε < ε = rugalmas Egségni (vag aránosan) rugalmas Rugalmatlan teljesen rugalmatlan 4. A rugalmasság grafikus ábrázolása Adott a következı keresleti görbe: B P A C d A kereslet árrugalmassága ε =, azonban a fenti ábrán nem a ( ) keresleti d görbét látjuk, anem az inverz keresleti görbét. Mivel az inverz függvén kéét úg 9 9 /3

10 (C) tt://kgt.bme.u/ kajuk meg, og az eredeti görbét a 45 -os egenesen tükrözzük, ezért a görbék meredekségei is ennek megfelelıen változnak, íg végül ε =. A fenti görbe ε meredeksége a P ontban d, ami megegezik a szóban forgó onton átaladó érintı d meredekségével, vagis a C egenes meredekségével; ez viszont egenlı a C PA ánadossal. A arán edig egenlı a P egenes meredekségével, amel a A d PA ánadossal adató meg. Íg ε = =, ezért a kereslet d C A árrugalmassága ( ε = ε Adott az alábbi kínálati görbe: miatt) C A ε =. PA S E B C A öntse el, og az alábbi állítások közül melik igaz a kínálat B ontbeli árrugalmasságára! öntését indokolja meg! a) ε BC = AB b) ε = AB BC /3

11 (C) tt://kgt.bme.u/ c) ε = A 5. Különbözı rugalmasságok a) Kereslet vag kínálat árrugalmassága A kínálat árrugalmassága ozitív. A kereslet árrugalmassága általában negatív, de ozitivitása nincs kizárva, l. Sznobatás vag az áruiántól való félelem felvásárlás b) Kereslet jövedelemrugalmassága Jellemzıen ozitív (suerior javak), de elkézeletı, og negatív (inferior javak); Luusjavaknál -nél nagobb; Engel-törvén: növekvı jövedelem mellett a áztartások egre kevesebbet költenek élelmiszerekre élelmiszereknél a kereslet jövedelemrugalmassága -nél kisebb; c) Keresztár-rugalmasság Ha ozitív, akkor a két áru egmást elettesítı termék, Ha negatív akkor komlementerek (egmást kiegészítı termékek) Robert Triffin: a versen erısségének mértéke (itt: Triffin-féle egüttató jele: e) Ha e =, akkor nincs versen a A termelı által iacra vitt termék ára eg végtelen kis egséggel csökken, de ez nem at B termelı értékesítésére, akkor a két szerelı között nincs versen; Ha < e <, ún. eterogén versen; minél kisebb e, annál kisebb a versen; Ha e =, omogén versen a A termelı által iacra vitt termék ára eg végtelen kis egséggel csökken, akkor ez rendkívül erısen befolásolja B termelı értékesítését; nag a versen. 6. A rugalmasság és a keresleti (kínálati) görbe alakja - független (menniséget a vízszintes, árat a függıleges tengelen ábrázolva: függıleges egenes): teljesen rugalmatlan; - vízszintes: tökéletesen rugalmas; - az a görbe, amelnek meredeksége az adott ontban (abszolút értékben véve) kisebb, az rugalmasabb. 7. A rugalmasság alkalmazása. /3

12 (C) tt://kgt.bme.u/ a) A kereslet árrugalmassága és a vállalat bevétele Ld. Varian, 6.7. ont ( old.), ill. nagcsoortos foglalkozásokon. b) Adóbevételeknek az adóala szerinti rugalmassága A gazdasági szerelınek jövedelemtıl függı adót is és jövedelemtıl független adót is kell fizetni, azaz t = t + z, aol t a befizetésre kerülı adóösszeg, t a jövedelemtıl független adó (forgalmi adó, gékocsi súladója, stb.), z az adókulcs, amelet az nagságú jövedelemre vetítettek ki. Az adóbevétel jövedelem szerinti rugalmassága dt z =, a jövedelem eg végtelen kis százalékos növekedése ezek szerint d t t + z z az adóbevételeket t + százalékkal növeli. z Kérdés: Indokolt, a a kormán a költségvetés deficitjét csökkenteni kívánja, uganakkor gazdaságélénkítı, azaz jövedelemnövelı gazdaságolitikát kíván foltat, og ebben a elzetben a többnire jövedelemtıl független adónemeket megszünteti? c) A Laffer-görbe Az állam a jövedelemre vet ki adót, az adókulcs z, íg az ebbıl származó adóbevételek B = zy, aol Y a GP-nek megfelelı összgazdasági jövedelem. A termelésen alauló jövedelem viszont negatív kacsolatban áll az adókulccsal minél magasabb az adókulcs, annál jobban nınek a termelık terei, annál neezebben érik el az elvárt nereséget, annál többen nem foltatják a termelést, kevesebb lesz a jövedelem, azaz l. Y = a bz. Az adóbevételek ezek után B = zy = z( a bz). Teát: az adókulcs növelésével eg darabig nınek az adóbevételek, utána csökkennek: B z /3

13 (C) tt://kgt.bme.u/ Mikroökonómiai fejtörı. Keressen olan keresleti és olan kínálati függvént, ameleknek árrugalmasságai minden eges ontban állandók! Értelmezze a kaott eredmént közgazdasági szemontból! 3 3 /3