AUTOMATIKA DE-MFK, Villamosmérnöki Szak Alapfogalmak

Átírás

1 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak.. Alapfogalmak Automatizálá: Az emberiég történetének gazdaági alapját megadó termeléi folyamat fejl déének azon zakaza, amely menteíti az embert nemcak a fizikai munkavégzé alól, hanem a termeléirányító tevékenyég végzée alól i. Az automatizálá alapja az információzerzé, információátvitel é az információfeldolgozá. Irányítá: Beavatkozunk Ezen folyamatokba, annak érdekében, hogy: Ez a termeléi folyamat létrejöjjön; Megfelel mederben folyjon; Befejez djön. Lehet kézi (manuáli): az irányítá valamelyik rézm veletét kezel zemély végzi; Lehet önm köd (automatiku): az irányítái rézm velet kezel zemély beavatkozáa nélkül megy végbe. Özefoglalva: Az automatizálá a m zaki tudományok egyik ága, amely az önm köd irányítá törvényzer égeivel é gyakorlati megvalóítáaival foglalkozik, tehát az irányítának egy önm köd vállfaja. Az irányítá pedig beavatkozá egy folyamatba, egy kívánt cél elérée érdekében. Irányítái rendzer: Információ az irányítái célról IRÁNYÍÓ BERENDEZÉS c FOLYAMA Kimen jel Hibá információ Folyamat mozgáa El zete információ Mért (real-time) információ (vizacatolá) A kimen jelt l elvárjuk, hogy az általunk kívánt módon alakuljon. A rendzer dinamikuan m ködik, id ben változik ez a folyamat mozgáa. Definíciók: Jelhordozó: Fizikai mennyiég (pl. áram vagy fezültég) ami ténylegeen közvetíti a hatát; Jel: Ennek a hatának az információtartalma, ez a fizikai állapothatározó (mennyiég) minden olyan értéke vagy értékváltozáa, amely egy egyértelm en hozzárendelt információ zerzéére, továbbítáára vagy tároláára alkalma; Jellemz : A jel, amely a folyamattal kapcolato. Jellemz nek nevezzük azokat az állapothatározókat, amelyek az irányított folyamat állapotát jellemzik, vagy befolyáolják. A jellemz értéke, illetve változáa i jel.

2 Jelek feloztáa: a) Értékkézlet zerint (x értékei): {Általában minden jel az id függvényében változik.} x AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Példák: Folytono jelek: Az értékkézletük özefügg tartomány, tehát meghatározott tartományban bármilyen értéket felvehetnek. Szakazo (dizkrét) jelek: A jel értéke cak dizkrét értékeket vehet fel, két zomzédo dizkrét érték között az értékkézlet hiányzik. b) Id beni lefolyá zerint, értelmezéi tartomány zerint (t értékei): Folyamato a jel (folytono idej ): Ha minden id pillanatban zolgáltat információt. Szaggatott a jel (dizkrét idej ): Ha cak adott id közönként zolgáltat információt. x t Folytono é folyamato jel t x Folytono é zaggatott jel t A zámítógépe irányítában mindig folytono é zaggatott a jel (ha elég gyor az analógdigitál átalakító). c) Az információ megjelenéi formája zerint: Analóg: A jelhordozó értéke vagy értékváltozáa közvetlenül zolgáltatja az információt. Digitáli: Az információ zámjegyet kifejez dizkrét értékben van jelen (kódolt). d) Az érték meghatározottága zerint: Determiniztiku: Az értéke id függvénnyel egyértelm en megadható. Sztochaztiku: Véletlen lefolyáú, id függvénnyel nem adható meg pontoan, cak valózín égi zámítái módzerekkel adható meg.

3 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak A hatálánc a zabályozái rendzer azon zerkezeti egyégeinek orozata, amelyek a zabályozó hatát közvetítik. A zabályozái (irányítái) rendzert meghatározott zerkezeti vázlattal, m ködéi vázlattal, hatávázlattal írhatjuk le. Szerkezeti vázlat: A zabályozái rendzer vázlato, vagy jelképe zerkezeti ábrázoláa, amely el orban a rendzer irányítái zempontból lényege rézeit tünteti fel. M ködéi vázlat: A hatálánc zerkezeti rézeinek ábrázolái módja, amely e rézek irányítátechnikai értelemben funkcionáli zerepének jelképi ábrázoláából áll. A zerkezeti rézeket téglalapok, a jelek útját pedig hatávonalak jelképezik. Hatávázlat: agokkal é jelekkel írunk le egy rendzert, ez a hatávázlat. A tagokban valamiféle matematikai özefüggé van leírva, ez jelképezi a tag dinamiku változáát. a) Özegzé, különbégképzé jelölée: y y3 y y y y3 y y y y y y3 y y y y y3 y y y b) Nyitott é zárt hatáláncú irányítá: - V S y 4 y y y3 y 4 y y y3 F F Vezérlé nyitott hatáláncú irányítá Ez akkor alkalmazható, ha tudom, hogy mit kell állítanom V-ben, hogy az eredmény megfelel legyen. Szabályozá zárt hatáláncú irányítá Ha nem imerem a zavarjelet ( y 4 ). Z y 4 Szabályozá zavarkompenzációval y - - S y F y 3 Ha ejtem, hogy mi a zavar hatáa, akkor annak a -zereét vizaküldve gyorítható a rendzer. Ez az egyik leggyorabb rendzer. 3

4 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak.. A zabályozá felépítée Példa: H mérékletzabályozá Szerkezeti vázlat Alapjel zabályozó U f=áll., gerjezt -fezültég H (termo)elem H méréklet (y 3) U U Kemence eljeítményer ít Potenciométer (y ) Egyenáramú zervomotor H mérékleti távadó Áttétel Gáz y Szabályozó zelep y h : A gáz min ége; Az oxigén mennyiége; A kül h méréklet; A f tend közeg. A zabályozó zelep zerkezete: ömzelence h be Záróülé q ki Zárótet M ködéi vázlat: Funkciókat leíró vázlat. Ha azt i megadjuk, hogyan hat, akkor hatávázlat. U U h q h AK J E M+Á Sz K - h 3 i H+ 4

5 AK alapjel-képz J jelformáló (arányo, differenciáló, integráló hatá) E teljeítmény-er ít M+Á motor + áttétel Sz zelep K kemence h méréklet q gáz H+ h elem + távadó AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak ávadó: Olyan egyenáramú er ít, amelynek ki driftje van (jó min ég), negatív vizacatoláa (így ponto), kimen jele egyége jeltartomány, pl. -ma. A zabályozá általáno felépítée: y z - y r y J v y V b y B m y F Vagy y b, ha ninc motor, ekkor ninc végrehajtó. J-nél a zaggatott terület V B F É y y m y z y e y a y r y v y b y e É Szabályozó Végrehajtó Beavatkozó Folyamat Érzékel Szabályozott jellemz Módoított jel Zavaró jel Ellen rz jel Alapjel Rendelkez jel Végrehajtó jel Beavatkozó jel: mindig mozgá jelleg A végrehajtó (zinte) mindig motor, ami mozgat. Ha ninc motor (pl. villamo f té eetén), akkor y v a beavatkozó jel. Ekkor ninc végrehajtó. Angol nyelv jelöléek: d r e u y C P P C r y e u d proce folyamat control ytem zabályozó reference ignal alapjel controlled ignal zab. jel error ignal hibajel actuating ignal irányítójel diturbance zavarjel 5

6 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak.3. A zabályozáok oztályozáa Alapjel zerint: Értéktartó zabályozá: Az alapjel (r) állandó, vagy legalább i hozú ideig nem változik. Feladata a zavaró hatáok ellenére a zabályozott jellemz megadott értéken tartáa. Követ zabályozá: Az alapjel az id függvénye (r(t)), ekkor vezet jelnek i hívják. Ha az id beni lefolyá imert tehát az id függvény imert, akkor programzabályozának i hívják. A tagok matematikai modellje zerint: Lineári zabályozá: Ha a rendzerben lév öze tagra érvénye a zuperpozíció elve. Ezek a folyamatok tatiku jelleggörbével írhatóak le. Nemlineári zabályozá: Ha nem érvénye a zuperpozíció elve, akár cak egyetlen egy tagra i érvénytelen, akkor a zabályozá nemlineári. A jelek értékeinek meghatározottága zerint: Determiniztiku: Minden jel determiniztiku, vagyi minden jel meghatározható, követhet. Sztochaztiku: A rendzerben van ztochaztiku jel i, amely nem követhet, változáa véletlenzer. Az id beni lefolyá zerint: Folytono idej : A zabályozá folytono, amelyet általában analóg elektronikai ezközökkel valóítanak meg. Dizkrét idej : Ilyen a mintavétele zabályozá, vagyi a zámítógéppel, PIC-kel, illetve PLC-vel tb. történ zabályozá. 6

7 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak.. A leírá alapja a modellalkotá Matematikai modellt kell építeni ahhoz, hogy a fizikai rendzert elméleti módzerekkel tudjuk vizgálni. Ezt meg lehet tenni: Elméleti módzerekkel; Kíérleti módzerekkel (méréek alapján, az eljárá neve identifikáció: a mért értékekb l matematikai truktúra közelítée). A modell mindig közelít! Az elméleti modellalkotá lépéei: A m ködé min égi képének meghatározáa. El dlege hatáok figyelembe vétele (a többi elhanyagolható). Változók kijelölée, melyik bemen, kimen, bel. Matematikai özefüggéek felíráa. Kíérleti modellalkotá (identifikáció): Struktúrafelvétel (feltételezé). Méréek (a folyamat mozgában legyen). Algoritmuok paraméterek. Ezek a rendzerek dinamiku rendzerek. Egy tag kimen jele nemcak a bemen jel pillanatnyi értékét l függ, hanem az el életét l i információtároló hatá van a rendzerekben, ez zoroan özefügg az energiatároló-hatáal (kondenzátor C, induktivitá L, mozgó tömeg m, h kapacitá c ). Rendzerjellemz függvények: a) A rendzer vielkedéét differenciálegyenlet írja le, amelynek egy bemenete é egy kimenete van. Ez a SISO: ingle input ingle output ( n) ( n ) ( m) ( m ) n y n y... n y n y m u m u... m u m u n n, m i m i R n n ( ezrealizálható) n b) Állapotegyenlet alak: Olyan bel változókat vezünk fel, hogy egyik a máiknak a deriváltja legyen. Ekkor az n-ed rend differenciálegyenlet helyett n db el rend differenciálegyenletet kapunk. Általáno alak: 7 n n

8 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak y C x D u A, B, C, D: paraméterek u: bemen jel y: kimen jel x: állapotváltozó x A x B u Állapotváltozó: Olyan bel változó, amelynek egy adott id pontbeli értékéb l a bemen - jelek é a paraméterek imeretében a következ id pontbeli értéke i meghatározható. Annyi állapotváltozó van, ahányad rend a differenciálegyenlet. x( t) x( t) u( t) vektorok y( t) A, B, C, D: paraméter-mátrixok. Ha nem id függ k, akkor invariának. Az állapotegyenlete leírá túllép a SISO leíráon MIMO (multiple input multiple output). Hatávázlat (állapotegyenlet): x() u x x y C B D y C x D A u x A x B u Ezek alapján megállapítható, hogy adott zámú bemenet é kimenet, illetve változó mellett mekkorák a paramétermátrixok. Például egy MIMO rendzernél (multiple input multiple output): u: j db y: k db n db változó, n-ed rend rendzer, n db energiatároló van benne. Mekkora az A mátrix? Mekkora a B mátrix? Mekkora a C mátrix? Mekkora a D mátrix? n x n n x j k x n k x j A kapott eredményhez a mátrix-zorzá eredményeit alkalmazva jutunk. : integrátor kontan lineárian változik kontan (értéke az el zményt l függ) 8

9 x, tehát integrálja x -et é hozzáadja a kez- Energiatároló, emlékzik az el életére. x deti feltételt (x()-t) c) Az átviteli függvény: y( ) SISO W ( ) u( ) y()y(t)-nek a Laplace-tranzformáltja (L) AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak n y(): Algebrai egyenlet (n-ed fokú, ). y(t): Differenciálegyenlet. A deriválá -el való zorzá, az integrálá -el való oztáal valóul meg. A differenciálegyenletb l: W ( ) m n m m n m n m n n m num( ) den( ) num: numerator (zámláló); den: denumerator (nevez ); z k : zéruhelyek; p j : póluhelyek. m( ) n( ) m m n ( ( p z j k ) ) Ha n()=, akkor karakteriztiku egyenletet (ez befolyáolja a rendzer m ködéét) kapunk. Ennek n db gyöke van (annyi ahány állapotváltozója a rendzernek), ezek vagy valóak, vagy konjugált komplexek. Azért kell, hogy konjugált komplex legyen, mert cak így lez való az eredmény: p a jb... p a jb így lez való az eredmény d) Súlyfüggvény: u(t)= (t) y(t)=w(t) Dirac-delta (t) Dirac-delta t Bemen jele: (t) Olyan id függvény, melynek zéleége, magaága. A úlyfüggvény jellemz a rendzerre. A tag úlyfüggvénye: y t, a rendzeré: wt. 9

10 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak e) Átmeneti függvény: A bemenetre egyégugrát adunk, é figyeljük a kimnetet. u(t)=(t) y(t)=v(t) (t) t f) Frekvenciafüggvény: y( j ) W( j ) u( j ) A bemenettel azono a kimenet, de az fáziban el van tolva. A kett t eloztva kapjuk a frekvenciafüggvényt. W()~W(j ), alakilag haonló Fonto áttéré: W () L w( x) ; w( x) d v( t) d t Az átviteli függvény Laplace-tranzformáltja a úlyfüggvénynek. A kimenetet deriválva megkapjuk a úlyfüggvényt.

11 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak.. Hatávázlatok átalakítáa W W W W W W + W W Vizacatolá: u +/- u W y W W W W y u W ( u yw ) W y( W W ) uw W W W Hurokátviteli függvény (felnyitott kör átviteli függvénye) Jelek áthelyezée: u W u W u W y u W W y u u W W y u W W y u W

12 Özegzé áthelyezée: AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak u - u W y u u - W y u - W u y u - W u y A vizacatolá általáno tárgyaláa: u - u y y r W y W y W 3 y u W W Bemenett l a kimenetig feltéve, hogy u = Mindig ez a nevez W W W W 3 A vizacatolt rendzerben bármelyik jelnek bármelyik jelre való hatáa: y r (ha u =) u W Az özeített hatá: W W u W y W u

13 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak.3. Az állapotegyenlet megoldáa Állapotegyenlet: x y A C x x B u D u. Megoldáa az id tartományban: x( t) e A t x() y( t) C x( t) B u( t) x(): a kezdeti feltétel. t e A ( t ) B u( t) d. Megoldáa az operátortartományban: (egédegyenlet: L xt () x x ) x x( ) x( ) x( ) I x() A x( ) A A x( ) x() x() B u( ) B u( ) B u( ) I: egyégmátrix x( ) y( ) C I A x( ) D x() u( ) B u( ) Ha x()=, akkor x( ) I A B u( ) y( ) C I A B D u( ) Az átviteli mátrix: I A adj( I A) det( I A) C adj I A B D det I A W() C I A B D det I A pl.: u u u 3 W y y y W W W 3 y W W W 3 u u u 3 De mindegyik Wij nevez je ugyanaz: det I A. Karakteriztiku polinom: n()= egyenlet (n() a nevez együtthatói). Gyökei a mátrix ajátértékei (a f átlóban lév elemek). y W u W u W u y W u W u 3 W 3 3 u 3 3

14 Hatávázlata: u W AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak y u W u 3 W 3 W y W W 3 Az állapot-trajektória: Ha az állapotegyenletet megoldjuk az id tartományban, akkor lez n db. (ahány állapotváltozója van) x i (t) id -függvényünk. Ezek ábrázolhatóak az úgynevezett állapottérben (ahány állapot van, annyi dimenzió teret kell elképzelnünk). Pl.: n=3, t t max x 3 x(t max ) x(t) x() t= x x Az állapotegyenlet megoldáainak özetev i: A kizámított id függvénynek ( x(t) ) van db komponene: At x ( t) e x() ( t) x() k x ( t) g t e A( t ) B u( ) d u: bemen jel, B: er íté x k a kezdeti feltételt l, x g a gerjeztét l függ. : állapot átmeneti, vagy alapmátrix. t ( t ) B u( ) d 4

15 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak El lépé: a Laplace-tranzformáltat kizámítani az operátor-tartományban adj I A () L e A t I A det I A Pl.: 3 A ; ( t) e 3 3 adj adj 3 3 ( ) ( 3) det det 3 3 Adjungált zámítá: tranzponálni az elem helyett az el jele aldeterminánt venni Speciáli eet: az A egy diagonáli mátrix p A ajátértékek p p p t p e ( t) e p t e A rendzer ajátmozgáa: u(t)=; x()=. A kezdeti feltételt l függ x x=x k A xk() t () t x Stabilitá (el bb-utóbb megáll egy értéken inga): Azimptotikuan tabili a rendzer, ha u(t)= é x() által létrehozott ajátmozgá t tag végtelen mozgáa t eetén az állapottér origójába tart, azaz xk ( ), lim xk ( t). Feltétele, hogy az alapmátrix [ (t)] ha t tart végtelenbe, tarton t -hoz, azaz lim ( t). t El rend rendzer: a> x k (t) A a () t at at x () t e x() k e x() a= a< t 5

16 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak A tabilitá feltétele, hogy az A mátrix ajátértékei, azaz a karakteriztiku egyenlet det I A gyökei negatív valóréz ek legyenek. Az állapot-trajektória kétféle lehet: x k Labili ( (t) ) Stabili ( (t) ) x k MALAB gyakorlat who kiírja, hogy milyen változókat haználok clear törli a változókat clear k törli a k változót x=[ 3]; y=4 5 6]; y=q*x yy=x*q yyy=x*q k=; yyyy=k*x; x*q error ize(k) a k mátrix mérete length(x) az x mátrix leghozabb mérete inv(y) invertálja a mátrixot v=:3; v=,,3 v=::; v=,3,5,7,9 6

17 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak A gerjeztett mozgá Ez eetben akkor mondjuk tabilinak a rendzert, ha a bemenetre korláto jelet adva a kimeneten korláto jelet kapunk. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u B u B A I x d u B e t x g t t A g El rend rendzer: az A é B mátrix x-e. Az állapotváltozók záma:. t t a g g d u b e t x u b a x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u(t)=(t) Ez az átmeneti függvény, ennek Laplace tranzformáltja: u ) (. Átviteli függvénye: a b a b W ) ( a b x g ) ( ) ( ha a=, akkor : ha a, akkor: ) ( ) ( ) ( t a g g e a b t x a b a a b x b a u x x=x g x g (t)=v(t) a> a= a< a b Meredekége: b () () g g b x x t bt at e a b tranzformáltja Laplace t a b ) (

18 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Két mozgákomponen: b a t xgt ( t) e ranzien (állandóult) özetev a b xgu ( t) ( t) u-tól függ tacionáriu özetev a Érdeme ket különválaztani. t xk ( t) x Ha a rendzer tabili: k (t): kezdeti feltételt l függ, ajátmozgá xgt ( t) x gt (t): ugyanúgy, mint x k eetében Ezért elég x()= kezdeti feltétellel vizgálni. ( t) cont. x gu Az állapot-trajektória ebben az eetben az x g (t) tengely (egy változó van). Mindig az origóból indul ki (ha ninc kezdeti feltétel), mert az integrátor kimen jele nem ugrik) é állandó értékhez tart. Ez mekkora? Ezt hívják úgy, hogy a rendzer egyenúlyi helyzete. A rendzer egyenúlyi helyzete Az integrátor(ok) akkor áll(nak) meg, ha a bemen jel, é ez a nyugalmi helyzet. A x( ) B u ( x) y( ) C x( ) D u ( y y( )) x( y( ) ) A C A B u B u D u u ( D C A B) y( u x=[ 5]; a=[3 ]; a=[- 4 7]; a3=[ -3 -]; b=a*x; b=a*x; b3=a3*x; A=[a; a; a3]; b=[b b b3]; x=inv(a)*b x= x= x3=5 ) k p arányo er r íté 3 fáziú zinuzjel rajzoláa: zöld - árga piro t=:.5:*pi; y=in(t); y=in(t+*pi/3); y3=in(t+4*pi/3); 8

19 plot(t,y); plot(t,y,t,y,t,y3); plot(t,y,g); AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Control Sytem oolbox num() m () W den() n () printy(m,n) az átviteli függvény m=[6 8]; n=[ 6 6]; tf(m,n) az átviteli függvényb l állapot-trajektória ranfer function State pace [A,B,C,D]=tf(m,n); printy(a,b,c,d) tfzp(m,n) zéru pólu er íté [z,p,k]=tfzp(m,n); [m;m]=zptf(z,p,k); Analízi függvények: tep(m,n) impule(m,v) lim(y,u,t) lim(y,u,t,x) initial(y,x) initial(y,x,t) initial(m,n,5) dcgain(m,n) dcgain(a,b,c,d) v(t) w(t) 9

20 Feladat: Állapottere alakban adott rendzer: A C B D AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak a) Stabili-e? p=eig(a) vagy p=root(poly(a)) Ha minden gyök negatív, akkor tabili! b) Ha tabili, akkor azt gerjeztve egy állandó értékre megy. Határozzuk meg egyégugráal! u=[ ]; yv=(-c*inv(a)*b+d)*u vagy dcgain(a,b,c,d)*u c) Sajátmozgá(a kezdeti feltétel hatáára hogy mozog)? x(t), x(t), x3(t) x=[ ]; t=:.:; [y,x]=initial(a,b,c,d,x,t); ize(y) plot(t,y(:,)) ubplot(), plot(t,y(:,)) ubplot(), plot(t,y(:,)) ubplot(), plot(t,y(:,)),grid ubplot(), plot(t,y(:,)),grid ubplot(3), plot(t,y(:,3)),grid x x A grafikonképerny feloztáa x 3 ubplot(4), plot(x(:,),(:,),(:,3)),grid d) Vizgálat tetz lege bemen jelre. x=[;;3]; t=:.:; u=one(,length(t)); u=-exp(-t); u=[u,u]; [y,x]=lim(a,b,c,d,u,t); ubplot(),plot(t,x),grid ubplot(),plot(t,y),grid

21 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak 3--9 Script íráa: *.m File -> New -> M-File paue a futó program megáll, majd egy billenty nyomá hatáára tovább fut % megjegyzé, ENER-ig tart e) Az átviteli mátrix meghatározáa. cript: y.m A=[- - -3; 4-5 6; 7 8-9]; B=[ ; 3; 4 5]; C=[6 7 8; 9 ]; D=[ 3; 4 5]; printy(a,b,c,d) W() C I A B D [m,n]=tf(a,b,c,d,); m=m(,:); m=m(,:); [m,n]=tf(a,b,c,d,); m=m(,:); m=m(,:); pl.: y =W u +W u u W y W y u W W

22 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak.4. Állapottranzformáció A=[ ; ; ]; B=[-; 4; -7]; C=[5-5/3-5/3]; D=; printy(a, B, C, D); Stabili-e? y eig(a) an = Mind negatív => Stabili! x A x B u y C x D u SISO 3 állapotváltozó Be: Ki: db db [m,n]=tf(a,b,c,d); Az átviteli függvény: W() [A,B,C,D]=tf(m,n); eig(a) mind negatív => Stabili! dcgain(a,b,c,d) =.333 Egyenáramú er íté. dcgain(a,b,c,d) =.333 Ugyanaz a folyamat végtelen ok formában felírható. Ennek oka az állapot-tranzformáció.

23 Az állapot-tranzformáció háttere: x A x B u y C x D u AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak x x x x x A x B u y C x D u mxn-e, invertálható mátrix A B x A x B u y C x D u C D ranzformálá: [A,B,C,D]=tf(A,B,C,D,) p jó, ha A diagonáli x A x B u y C x D u p p 3 ranzformált. A rendzer ugyanaz, cak máok az állapotváltozók é a paraméterek, ekkor nincenek kereztcatoláok. Ha A ajátértékei egyzereek: [V,P] =eig(a); =inv(v); [A,B,C,D]=(A,B,C,D,); Ha cak a f átlóban vannak elemek az A-ban, akkor a kanoniku alak. Egyzer bben: [A,B,C,D]=canon(A,B,C,D,modal); Amikor a f átlóban a valórézek, mellettük a képzete rézek, az a MODAL alak. 3

24 A kanoniku alak hatávázlata (D=) AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak x p x x u B x C y p x 3 x 3 p 3 [A,B,C,D]=(A,B,C,D,companion) A 3... n 9 n MEGFIGYELHE SÉG KANONIKUS ALAK [m,n]=tf(a,b,c,d) 5 W() IRÁNYÍHAÓSÁGI KANONIKUS ALAK [AM,BM,CM,DM]=tf(m,n) n n... AM

25 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak.5. Irányíthatóág é megfigyelhet ég.5.. Állapotirányíthatóág (controllability) Ha a zakazonként folytono u vektorral az x(t ) állapot egy tetz lege x(t v ) állapotba vége id alatt átvihet : xt ( ) xt ( v) ( tv t ). Hatávázlatból meg lehet mondani, hogy az u juon e minden integrátor bemenetére. Kanoniku (zétcatolt) alakból megmondható: B mátrixnak ne legyen cupa nullából álló ora -> A-tól é B-t l függ az, hogy a folyamat állapotirányítható-e! Szükége é elégége feltétel: eztmátrix: n C BAB,, AB,..., A B Rangja n legyen! C=ctrb(A,B) rank(c) vagy rank(ctrb(a,b)) Az állapotirányíthatóágnak nem feltétele a tabilitá!.5.. Kimeneti irányíthatóág Ha a zakazoan folytono u bemen jelre y(t ) kimenet y(t v ) kimenetre átvihet ( tv t ) vége id alatt. Nem feltétel az állapotirányíthatóág! Függ: A, B, C-t l i. Szükége é elégége feltétel: n eztmátrix: C CB, CAB, CA B,..., CA B C C y A teztmátrix rangja k legyen (k db kimenet)! rank(c*c).5.3. Megfigyelhet ég (obervability) Az x(t ) állapot akkor megfigyelhet, ha egy (t,t v ) vége id intervallumban, vagy u(t), y(t) é A, B, C, D imerete elég az x(t ) meghatározáához. udom mérni a bemen jelet, tudom mérni a kimen jelet, akkor tudom a bel állapotokat i. ehát belül hogyan vannak elkötve az állapotváltozók. A-tól é C-t l függ. Különböz póluok Valamennyi állapotváltozótól függjön Kanoniku alak: C -nek ne legyen cupa -ból álló ozlopa. 5

26 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Ob C CA CA Ob=obv(A,C) rank(ob).. n rangja n legyen.5.4. A Kalman-féle 4 alrendzer a) irányítható é megfigyelhet b) irányítható, de nem megfigyelhet c) nem irányítható, de megfigyelhet d) nem irányítható é nem megfigyelhet x p i x p p i i A vizacatolt integrátor helyett. A hatávázlata: feltételezzük, hogy 4 pólua van ennek a rendzernek. b p i x C a) u b p b 3 = p 3 x x 3 C = C 3 b) c) y b 4 = p 4 x 4 C 4 = d) Ahány állapot van, annyi pólu. Pl.: A=[ ; -3 ; - -]; B=[; 3; ]; C=[ ]; D=; printy(a,b,c,d); 6

27 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Állapot-irányítható-e? N rank(ctrb(a,b)) (Akkor állapot-irányítható, ha a kapott eredmény egyenl B oraival.) Megfigyelhet -e? N rank(obv(a,c)) (Akkor megfigyelhet, ha a kapott eredmény egyenl C ozlopaival.) Kimenet-irányítható-e? Y rank(c*ctrb(a,b)) (Akkor kimenet-irányítható, ha a kapott eredmény egyenl C oraival.) x A x B u y C x D u A, B, C, D méreteit tudjuk. x é x méreteit tudjuk. Olyannak kell lennie, hogy m ködjön az egyenlet. Alakítuk át kanoniku alakra: [A,B,C,D]=canon(A,B,C,D) A B C D Póluok: -: irányítható é megfigyelhet -3: nem irányítható, de megfigyelhet -: irányítható, de nem megfigyelhet 3 póluból: irányítható megfigyelhet irányítható megfigyelhet Írjuk fel ennek a rendzernek az átviteli függvényét! 5 6 W() [m,n]=tf(a,b,c,d) [z,p,k]=zp(a,b,c,d) (Gyöktényez alak: zéru-pólu-er íté.) z=-3 - p= k= W() ( 3)( ) ( 3)( )( ) Az átviteli függvény a ki é bemenetekhez egyaránt kapcolódó irányítható é megfigyelhet alrendzer póluait tartalmazza. A többi vagy nem megfigyelhet, vagy nem irányítható. 7

28 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak 3--6 Kitekinté: Az állapotirányítá elve Szabályozá: a kimen jelet negatívan vizacatoljuk, ez klaziku megközelíté. Állapotirányítá: Az állapotváltozót catoljuk viza kontan tagokon kereztül. Matematikailag tetz legeen jó zabályozá tervezhet ezzel a módzerrel. De a valóágban nem helytálló! Hatávázlata: u u x x y k B C A D= F Állapotirányítá Feedback vizacatolá ételezzük fel, hogy ez egy SISO rendzer. F f, f,..., f f F x f, f,..., f n n x x... x n kalár Ahol det(i-a)= ott vannak póluok. A póluok zablyák meg a rendzer vielkedéét. Ezzel a módzerrel el lehet írni a zárt kör póluait. Majd meghatározható az F mátrix. Ha az állapotváltozók nem mérhet k, akkor állapot-megfigyel vel irányítunk (megaccoljuk az állapotváltozókat). u a k u A, B, C, D, x y k Állapot-megfigyel x Valójában egy zoftver x becült értéke Ehhez zükége: o A, B : irányíthatót adjon; o A, C : megfigyelhet éget adjon. 8

29 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak.6. Alaptagok jellemz függvényei SISO tagokat mérünk. A ki- é bemenetek közötti kapcolatok leíráára zolgáló függvények: w(t): úlyfüggvény, bemenetére Dirac-deltát adunk, (impule). Ennek a függvénynek az imeretében tetz lege bemen jelre kizámítható a kimenet. v(t): átmeneti-függvény, bemenetére egyégugrá, (tep). Gyakran ez haználato a úlyfüggvény helyett. W(): átviteli-függvény, ( m n, printy(m,n)). A frekvencia tartományban az y kimen, illetve az u bemen jel hányadoa. Ez a úlyfüggvény Laplace tranzformáltja. W(j ): frekvenciafüggvény, zinuz-jelet adva a bemenetre a kimenet i azono lez, cak fázizögben fog különbözni, (nyquit, bode) Nyquit: felrajzolja a komplex zámíkon -t é között. Sokzor között rajzolunk; Bode: két rézb l áll: a( ): amplitúdó, log-log tengelyekkel; ( ): fázi, lin-log tengelyekkel. Általánoan: ( z) ( z)...( zn) m () W() kzp ( p) ( p)...( pn) n () Ez az alak megkapható: tfzp Id állandó alak: r W ( ) ( )... () k p ( ) ( )... Lehet z i = é p i =, kiemelhet t i é i lehet komplex i A zámlálóban é a nevez ben i lehetnek komplex gyökök. A kimenet való, ekkor a komplex gyökök pároával fordulnak el é egymá konjugáltjai. A kéttároló leng alak: ( )( ) ajátfrekvencia cillapítái tényez két egyforma való gyök két konjugált komplex gyök Az, hogy kéttároló mindig igaz (máodfokú), azért leng, mert komplex alakban leng jelleg. q=[ ]; = =,5 root q=[ ]; = = q3=[ 3 ]; = =,5 9

30 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak -,5+j,86 -,5-j, ,38 -,6 Kéttároló leng alak Általáno alak: e f r ( ) ( i i i ) ( r p) () () p g h p ( ) ( i i i ) W k k W r+e+f=m a zámláló fokzáma p+g+h=n a nevez fokzáma ha r>p akkor a zámlálóban van differenciáló tag; r<p a nevez ben van integráló tag; r=p ninc kiemelhet az egéz tag arányo. Lehet máféle id kéé i jelterjedé vége ebeége miatt NEM ÁLLAPOVÁLOZÓ MIA (ez a holtid ) Holtid : h ; yt () ut ( ) ha t h ha t L-tranzformálva (eltolái zabály): h y () e u () MALAB-ban cak közelíteni lehet h w () e Fonto kapcolat a tranzformált é az id tartomány között. Kezd érték tétel. Végérték tétel. W() v() lim lim W() Ez a deriváltakra i igaz: k ( k) W() k v () lim lim W() Jellegre nézve: k lim m lim k n n m m m... W() m n... W() lim vt () lim W() t h h Arányo id kéée tag Meg tudjuk mondani az átviteli függvény kezdeti meredekégét 3

31 a) Arányo tag (P): u v(t) k p y W()=k p AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak w(t) kp t k p t t N (Nyquit) Im B (Bode) a [db] log(a) k p k p Re log log b) Integráló tag (I): u y k () ( ) i W W j i j i i v(t) w(t) Ez v(t) deriváltja. k i i i t t N Im B a / i log Re -9 log 3

32 A zingularitá miatt a -át ki kell kerülni: AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak r e e r j j i=; m=; n=[ ]; tep(m,n) impule(m,n) nyquit(m,n) bode(m,n).7 Step Repone From: U().5 Impule Repone From: U() ime (ec.) ime (ec.) Bode Diagram 5 Nyquit Diagram From: U() From: U() Real Axi -9 - Frequency (rad/ec) 3

33 c) Differenciáló tag: u d y AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak W() d v(t) w(t): Ninc értelmezve. d t N Im B a / d log Re log d) Egytároló tag: állapotváltozó pólu u k p y W() k p v(t) w(t) k p k p 5 m=5; n=[ ]; t t N Im B a [db] A hiba: j, ha =/, akkor a hiba 3dB - - k p W W k p Re k p j i log log -9 33

34 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak e) Kéttároló tag: logpace(-,,): - - -ig elem halmaz W() ha ha k p, akkor való gyökök db egytároló oro ered je, akkor kéttároló leng tag, komplex gyökök vannak k p = = =,5 W() m=; n=[ ]; tep(m,n) impule(m,n) nyquit(m,n) bode(m,n).4 Step Repone From: U().6 Impule Repone From: U() ime (ec.) ime (ec.).5 Nyquit Diagram From: U() - Bode Diagram From: U() / függ.5 - k p Minél kiebb Real Axi rezonancia 34 Frequency (rad/ec)

35 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak hatáa: m=; y=zero(,); t=linpace(,,); 3--3 f) PD tag ( tükörképe) Proponcionáli é differenciáli tagok párhuzamoan kötve: W d v(t) d t w(t): Ninc értelme. N Im B a Re log 9 log Minimálfáziú (minimumfáziú) rendzer: A Bode-diagramban az a (er íté) é a (fázizög) között egyértelm kapcolat van.például: B a log log -9-8 A rendzer minimál-fáziú, ha az átviteli függvény zámlálójában é a nevez jében i cak pozitív id állandók vannak: 3 W 3 W

36 m=[3 ]; n=conv([ ], [ ]); printy(m,n); bode(m,n) AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Bode Diagram 5 From: U() m=[-3 ]; n=conv([ ], [ ]); bode(m,n) 5 Frequency (rad/ec) Bode Diagram From: U() Frequency (rad/ec) 36

37 g) PDD tag (a kéttároló tag tükörképe) W AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak h) Holtid A jelkélelteté egy peciáli formája. Nem köthet állapotváltozóhoz, nem pólu. Ez egy tranzcenden jelenég. u y h W() e e -.h v(t) w(t) h t h t N Im Re B a log / h W e W a e j h j a ; h Ha végtelenzer körbejár, akkor -57,3 log Ennek közelítéei:. Pade közelíté: Holtid [m,n]=pade(h,n); A közelíté fokzáma (hányadfokúpolinommmal közelíte?) pade(h,n); Pl.: pade(,3); (a pontoág ellen rzéére jó) Ponto: Közelíté:. Strejc közelíté: h e h k k h= k=3 m=; n=conv([/3 ], conv([/3 ], [/3 ])); 37

38 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak.7. Példák özetett tagokra a) Három tároló tag: W v(t) 3 w(t) t t N Im Re B a / / / log -6-9 log -8 b) Egytároló, integráló tag: W() ( ) v(t) i -7 w(t) i i t t N Im Re B a / i / log - -9 log -8 38

39 c) Egytároló differenciáló tag: W() d AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak v(t) d / w(t) t t d / N Im B a / d + / - log d / Re 9 log -9 d) Realizálható PD tag (fáziiettet ): d ( d) W() v(t) + d / w(t) t N Im B a / / log + d / Re 9 log -9 39

40 e) Fázikéleltet tag: W() v(t) AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak w(t) t t N Im B a / Re / / log 9 log -9 f) PI tag: i W() v(t) i i w(t) / i / i t t i N Im Re B a / i log 9 log -9 4

41 g) Egytároló holtid tag: W() e h v(t) h + AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak w(t) / h t h + h t N Im B a / / h log Re log Példa: W() e : Bode, Nyquit diagram 5. pontoan om=logpace(-,,3); m=; n=[5 ]; [at,ft]=bode(m,n,om); A tároló fázizöge A tároló amplitúdója ( ) h fh=-om*8/pi; fe=fh+ft; emilogx(om,ft,om,fh,om,fe) ampl=ab(./(+*i*om)); re=ampl.*co(fe*pi/8); im=ampl.*in(fe*pi/8); plot(re,im), grid. Pade-közelítéel [mh,nh]=pade(,5); mt=; nt=[5 ]; [m,n]=erie(mh,nh,mt,nt); (oro ered ) [m,n]=paraller(mh,nh,mt,nt); (párhuzamo ered ) mh nh oro (+ ) (+ ) (+ 3 ) (+ 4 ) mt nt párhuzamo 4

42 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak 3.. Alapjelköveté é zavarjel-elhárítá 3... Alapjelköveté állandóult állapotban y a =u a y r W W y ételezzünk fel, hogy tabili rendzer. Szabályozó folyamat A hibajel a felnyitott kör átviteli függvényét l é a bemen jelt l függ. W W W y u u () a() a() W W W W a felnyitott kör (hurok) átviteli függvénye k W Wp() Wp() i W () egy olyan többtároló tag, melyre =-nál: W p ()=. k huroker íté i a zabályozá típuzáma (,, ) Hibajel (y r ) y () u u () r W a k () a W i p Az alapjel az id hatványfüggvénye: t U A ua ua(); t ua(); t ua L: ua, n=,, 3 tb. n A tipiku vizgáló jelek: egyég-, egyég ebeég-, egyég gyoruláugrá. u ua() k i ua yr() i k k W () i n y() t lim y() lim u i t k p A 4

43 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak u a (). típuú. típuú. típuú U A U A k U A U A k U A udja követni u A k A lemaradá függ a huroker ítét l Az alapjel követée függ: ípuzámtól (i); Huroker ítét l (k). 3 U A k Fizikai magyarázat: u a y r k vagy k v. k y Bemenetre: ; ; 3--6 A. típuú kör az ugrá alakú alapjelet állandóult állapotban az alapjel amplitúdójától lineárian függ állandó hibával képe átvinni. Ezzel zemben az. é. típuú zabályozá az egyégugrát hiba nélkül képe követni. Ilyenkor a zárt rendzer állandóult karakteriztikája atatiku. A táblázat tanulága zerint a különböz típuzámú zabályozáok akkor képeek a bemen jelet állandó hibával követni, ha n=i+. Ennél kiebb kitev nél a tatiku hiba zéruá, nagyobbnál végtelenné válik. Az. típuú zabályozá (integrátor) k id ben változtatja a kimenetét. A vizacatoló jel akkora nem lez, hogy y r nulla legyen. Ha y r =, akkor megáll a zabályozó. Ekkor a hiba zéru. A hibajel ( y r ) tehát lehet nulla i. 43

44 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak 44 Sebeégugrá: Kontan nem tudja követni Lemaradáal követi udja követni Parabola: Kontan nem tudja követni nem tudja követni lemaradáal tudja követni Általánoítá: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n m n n n m m n n n m n m u W y n m u n m W a a a a a a a r a a a () () n n : Zárt kör átv. függvényének nevez je karakt. egyenlet (neg. valóréz gyökök) () () a a m n :Az állandóult értéket adja A kvázi-tacionáriu hiba akkor t nik el, ha a bemen jel pólua a W () átviteli függvénynek i pólua. Ebb l az i következik, hogy a kör a kvázi-tacionáriu hibát cak adott típuú bemen jelre küzöböli ki. Az. típuú kör például egy exponenciálian cökken bemen jelet nem tud kvázi-tacionáriu hiba nélkül követni (a tatiku hiba zéru ugyan, mert hozú id múlva a bemen jel i elt nik, de addig lez követéi hiba). Vagyi a kvázi-tacionáriu hiba cak olyan bemen jelre zéru, amelynek pólua n ()-ben i megvan. n a () gyöktényez be, ha lehet egyzer íteni, jel: helyetteíthet, egyégugráal i közelíthet. Az alapjel Laplace-tranzformáltja

45 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak 3... Zavarelhárítá u a y r y z y z W W a) yr ( ) W yz ( ) Haználható az el z alapjelre vonatkozó táblázat. b) yr ( ) W W yz ( ) yz yz vagy vagy 3 Mi van W -ben? Ha van benne integrátor, akkor egyégugrá egyégebeég-ugrá. A zavarjelet i integrálja, mintha nagyobb típuú zavarát adnánk rá. Ha W ()=áll. -ó hatá, mint el bb a helyzet + belejátzik W () er ítée. W 5. típuú a hiba. (,5)(,5) k Maradó hiba (t) hatáára. u a (t)=i(t) egyégugrá yr ( ) átviteli függvény. u ( ) W. a y( ) u ( ) a W W. [mh,nh]=feedback(,,m,n) hívá vizacatolára. [m,n]=feedback(m,n,,) m=5 n=conv([. ], [.5 ]) tep((mh,nh),m,n) y=(tf(mh,nh)) tep(y,y) y3=tf(m,n) 45

46 W b (, )(,5) [ ]. típuú, kiemelhet integráló AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak egyégugrá hatáára m= n=conv([ ], conv([. ], [.5 ])) [mh,nh]=feedback(,,m,n) [m,n]=feedback(m,n,,) Feedback vizaható m n m n el re W ninc maradó hibája y kimen jel y hibajel feedback(m,n,m,n) viza Egyégugrá hatáára W W lim (linear imulation) t=(:.:) u=t -45 -o egyene lim(y,u,t) Step Gain - ranfer Fcn - ranfer Fcn Scope 46

47 Könyvtár - imulink - continuou (alaptagok) - matemetika (gain, ummator) - ignal & ytem (multiplexer) - ink (cope) - olve (kontan, tep, ramp) AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak tep zabályo jel hiba végérték kezd érték tep tep paraméterei:. típu t kezd érték végérték tep 47

48 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak 3.. Stabilitá A rendzer azon tulajdonága, hogy az egyenúlyi állapotában (mozgáából) kimozdítva képe-e újra egyenúlyba kerülni. A lineári rendzerben ez egy rendzertulajdonág. A nemlineári rendzerben vizont függ az alapjelt l é a munkaponttól i. Egyel re a lineári eettel foglalkozunk. A tabilitá feltétele a zárt kör, az átviteli függvény nevez jének póluai negatív valóréz ek legyenek. Az A mátrix ajátértékei, a det(i-a)= egyenlet gyökei, a zárt átviteli függvény póluai (a nevez gyökei) gyökei negatív valóréz ek Vizgálat: a) Zárt körb l kiindulva: W W W [m,n]=feedback(m,n,,) root(n) a nevez gyökei W (. )(.5 ) pzmap(m,n), grid komplex íkon: pólu, zéru alak az er ítét l függ a tabilitá i b) Felnyitott körb l kiindulva: +- W W W W W Nyquit kritérium:. Egyzer ített: Ha W () -nek nincenek jobboldali póluai, a zárt rendzer azimptotikuan tabili, ha W ( ) j, a telje Nyquit diagram nem vez körül a ( j ) pontot. Im N Re (-+j): a tabilitá határa Stabili Labili 48

49 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak. Általáno: Ha W ()-nek jobboldali póluai i vannak (labili a felnyitott kör). A zárt rendzer tabili, ha W ( ) j, a telje Nyquit diagram, annyizor fogja körül ( j ) pontot, az óra járáával ellentéte irányban, ahány jobboldali pólua van W ()-nek. Bode alapján a tabilitá: (minimálfáziú rendzert feltételezve) B a db : tabili D 4 db : nem tudjuk D megmondani cut: vágái frekvencia 6 db : labili D t t: fázitöbblet t 8 c tabili c Van algebrai kritérium i, ennek neve: Hurmitz kritérium. Stabilitá feltétele, hogy az átviteli függvény gyökei legyenek negatív valóréz ek ervezni általában nyitott körb l lehet kényelmeen. ha a felnyitott körnek nincenek jobboldali póluai, akkor a felnyitott kör önmagában tabili; ha vannak jobboldali póluai, akkor a felnyitott kör önmagában labili. A Bode diagramból i megállapítható a tabilitá: db D 4 db D 6 db D -nél metzi a tengelyt: tabili; -nél metzi a tengelyt: határeet; -nél metzi a tengelyt: labili. 49

50 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Mi van integráló tag eetén? W () ( )( ), ez egy integráló hurok. Póluai: p =-; p =-(?); p 3 = p 3 = eet ík W ík ** * - - j r e j - Ha balról kerüljük ki Ekkor a baloldali íkon van, mert jobbról kerültük ki W j W j r e * Ninc jobboldali pólua, é nem i vezi körbe a Nyquit diagram a (-+j) pontot, tehát a rendzer tabili. ** Az általáno Nyquit kritériumot kell alkalmazni: ha a felnyitott kör egyzer vezi körbe a (-+j) pontot, akkor a rendzer tabili. A háromtároló tag Nyquit diagramja, egyzer ítve: -+j Egy rendzer lehet: Strukturáltan tabili: minden pozitív paraméterre (er íté - k, id állandó - ) tabili; -+j k Feltételeen tabili: bizonyo paraméter értéknél már labili (k-ra zoká vizgálni). W k ( )( ) A görbe helyzete a k-tól függ 5

51 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Példa: Stabili-e a rendzer, ha ez a felnyitott kör átviteli függvénye? W 3 (, )(,5 )( ),,5,6 m=; n=conv([. ],conv([.5 ], [.5 ])); margin(m,n); 5 Bode Diagram Gm = 3.7 db (at 6.63 rad/ec), Pm =.5 deg (at 5.56 rad/ec) Frequency (rad/ec) Gm er ítéi tartalék (hány rad/ec-nál) Pm= t fázi többlet (milyen frekvencián a fázi, c) Gyök-helygörbe: rlocu(m,n) Ezzel lehet megkereni a zárt rendzer póluait a felnyitott körb l kiindulva, változó er - íté eetén a körer íté függvényében. 5

52 m=; n=[..5.6 ]; rlocu(m, n) AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Root Locu Real Axi rlocfind(m,n) Szálkerezt. Jobb gombbal rákattintva a pontra megmondja az ottani er ítét. Az a k kritiku, ahol a fázitöbblet pontoan zéró. Kereük meg pontoan: próbálgatáal! m=; cript: pr.m k=input('k='); (megáll a futó program értékkérére) margin(k*m,n); Ha túlmegyünk a kritiku er ítéen, akkor kiírja hogy a rendzer nem tabil. Példa: Labili nyitott körre. W k Labili, mert a nevez pozitív, így jobboldali gyöke van. 5 Lehet-e k-val tabilizálni? a) k> (negatív vizacatolá): 5

53 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak * -/5.k k ha = W =k ha W k 5 ha belülre kerül a (-), akkor tabili, ha kívülre, akkor labili Feltétel: k 5, ekkor tabili! 53

54 b) k< (pozitív vizacatolá): AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Akkor tabili, ha k=-! k = - /5.k W Algebrailag: W W W k 5 5 k( ) k k 5 SIMULINK Ennek a gyöke a rendzer pólua i A pólu. Akkor negatív a pólu, ha a zámlóló é a nevez i azono el jel, tehát k<- vagy k>5/ imulink Simulink Library Brower Step 3 Gain ranfer Fcn Scope gain: 3 Szabályo,,7-re áll. A hiba:,5( ) k (negatív vizacatolá) - Szabályo, -re áll. (pozitív vizacatolá) Hiba. LASSÚ! W W W Állandóult állapotban: W k k 54

55 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak 3.3. Min égi jellemz k Leng jelleg, van túllendülée v(t) 5% Aperiodiku t Fonto jellemz je a zabályozának a zabályozái id (t c ): ez az az id, amíg a rendzer beáll a várt érték 5% -ára. Mit l függ? A pontoágtól: típuzám, huroker íté; Stabilitától: huroker íté; Lengéi hajlamtól: t (fázi többlet), minél kiebb annál leng bb a rendzer, minél nagyobb, annál aperiodikuabb; Szabályozái id t l: c (vágái frekvencia), jó közelítéel 3 t A zabályozá vielkedée a zárt kör póluaitól függ (baloldali, jobboldali). t c Im Re c Ha cak az egyik van, akkor biztoan aperiodiku a rendzer c c Ezek elég meze vannak (3 ), így a rendzer kéttároló leng taggal helyetteíthet (átviteli függvénye: ) Dominán póluok co co úllendülé: -tól függ {kb. =,7 egy jó beállítá} 55

56 Példa:.5.5 W 3 (. )(.5 ).5.6 m=.5 n=[.5.6 ] [m,n]=feedback(m,n,,) pzmap(m,n).4 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Pole-Zero Map Real Axi 56

57 damp(tf(m,n)) rlocu(m,n), grid AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak 5.86 Root Locu Real Axi A zárt kör frekvencia átvitel felnyitott körb l. W W W ha W >>, akkor W= ha W <<, akkor W=W B a W c W határ c határ: amíg az er íté állandó 57

58 m=.5 n=[.5.6 ] [m,n]=feedback(m,n,,) y=(tf(m,n)) y=(tf(m,n)) bode(y, y) AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Bode Diagram Frequency (rad/ec) 58

59 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak 4.. Követelmények, módzerek A rendzertechnikai méretezének zintézinek a célja az adott követelmények megfelel zabályozái kör kialakítáa. Magában foglalja a zabályozái truktúra é a paraméterek alkalma kiválaztáát. A ténylege léteítmény tervezéének ezen kívül zámo nem kevébé fonto eleme van (ezközök, környezeti hatáok, üzembiztonág). Az ideáli zabályozá:. Stabili: megvalóítható ipari rendzerekben;. Statiku hiba zéru: adott típuú jelre eltüntethet, illetve korlátozható; 3. Alapjel, illetve zavarjel változákor a tranzienek id tartama tart nullához: ez nem lehetége, az id állandók (póluok) hatáa túlvezérléel cökkenthet. ENNEK ÁRA VAN (mind technológiai mind mechanikai zempontból)! A holtid nem küzöbölhet ki! ervezéi módzerek: a) Automatizált: a követelményeket matematikai formában megadjuk, pl. rögzítjük a póluokat. Ez a tervezéi eljárá az el íráok megadáa után önm köd en határozza meg a kívánt rendzert. b) Interaktív (frekvencia) módzer: lépér l lépére, próbálgatáal, tervez i döntéel dolgozzuk ki a rézeredményeket alapul véve általában m ködik. Id tartomány inkább automatizált Frekvencia tartomány inkább interaktív A tabilitát kell biztoítanunk, ezért alkalmazzuk a Nyquit (Bode) kritériumokat (kompenzálá, huroker íté). Statiku hiba típuzám, k. Szabályozái id c. úllendülé, aperiodiku vielkedé: t, illetve kéttároló helyetteítée ( ). Vizgálni kell a túlvezérlét! 59

60 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak 4.. Szabályozó típuok Figyeli, hogy mennyi az aktuáli hiba, é a zerint kompenzál: proporcionáli irányítá; Figyeli a múltat: integráló hatá; Gondol a jöv re: deriváló hatá. Ezeket megvalóítja: ipari PID zabályozó. Wc k d Helyette i Ez nem megvalóítható W c k i d v(t) k d d Jó, ha állandó i k A három hatá özege: t ( i ) i( d ) k Wc Ebb l nem ajánlott tervezni. ( ) i Kezel zervek (általáno zabályozó): P gomb k-t állítja ( PB % arányoági tartomány); k i gomb i -t állítja; d gomb d-t állítja. i Megvalóítható, ilyennel fogunk tervezni: Wc k i : Fáziiettet tag. 6

61 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Egy nagyon fonto egyenlet következik mot. Ezzel az egyenlettel könnyen tudunk körer ítét zámolni a továbbiakban, ha a méretezét papír-ceruza módzerrel végezzük. Bode diagram rézlet: B a B a a Egyene egyenlete (általánoan): y a x b loga k log log B loga k log log B a a k log log k k k=, k k : db D : db 4 D Az er íté körfrekvencia aránypár: a a 6

62 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak 4.3. Soro kompenzáció 3-- u a u y W c W p A kompenzálá orán tabili rendzert akarunk létrehozni! Feltételei lehetnek: Statiku pontoág: típuzámtól é a huroker ítét l függ. Szabályozái id : vágái frekvencia. Lengéi hajlam: t többletfázi. úlvezérlé (u max ) Szabályozó tervezée arányo zakazhoz (önbeálló folyamat). Kontan bemenetnél kontanhoz tart, ninc benne integrátor.. P kompenzálá Példa: W p ervezé: a) Papíron; b) MALABbal; ( )( )(, ) a) Papíron: k c a, 5 A tengelyre az id állandók (; ;,) reciprokjait mérjük. c Nem rajzoljuk újra a diagramot, még a körer íté meghatározáa után em. Az új db tengelyt eltoljuk lefelé k c -vel. A P kompenzálá azt jelenti, hogy W c cak egy kontan. W k c c W k W c p A felnyitott kör Bode diagramja. Ahol elmetzi az tengelyt, ott lez az c. Az itteni fázizögb l kivonjuk a 8 -ot, ez lez a fázitöbblet ( t ). Alkalmazzuk: a a 6

63 a a c,9 A logaritmu lépték miatt., k c a,9 a kc 9,9 ehát durva méretezéel: k c =9. Milyen zabályozái id várható? 3 t c 3,3 t tc 7 Mekkora a túlvezérlé? u max c c c AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak -tól, -ig: Wc u () kc u () W a kc W u u a (t)=(t) u() Wu kc b) MALAB-bal mp=; np=conv([ ], conv([ ], [. ])); kc=9; margin(kc*mp, np) 5 Bode Diagram Gm = 7.5 db (at.37 rad/ec), Pm = 54. deg (at.77 rad/ec) Frequency (rad/ec) 63

64 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak c=,7 t=54,53 Step 9 Gain + ranfer Fcn3 + ranfer Fcn + ranfer Fcn.+ ranfer Fcn Scope k c u a y (*) hibajel Maximáli túllendülé?,-,9=,3 *: amikor beáll 5%-ra az a zabályozái id (papíron ez 7 volt). mp=; np=conv([ ], conv([ ], [. ])); kc=9; [m,n]=feedback(kc*mp,np,,); [y,t]=tep(m,n); (ekkor nem rajzol diagramot) max(y).775 a túllendülé root(n) i A dominán pólupár i Mennyi a -ja? =co A cél legyen az, hogy t=6. Akkor addig kell változtatni k c -t, amíg t 6 nem lez. VAGY 64

65 c van megadva. VAGY A túlvezérlé van megadva pl. -zere k c =. A maradó hiba kiküzöböléére: integrátor.. PI kompenzálá a W p ( )( )(, ) i Wc kc kc i, 5 i AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak k c / i c A tervezé lényege mot, hogy hová tegyük az / i törépontot. i = k c =9 (mint el bb) mp=; np=conv([ ], conv([ ], [. ])); mc=[ ]; nc=[ ]; [m,n]=erie(mc,nc,mp,np); kc=input('kc='); ( t =6 -ra kereünk) margin(kc*m,n) k c =5 t=6,4 c=,45 Ha k c =9, akkor t =46, c =,7. SIMULINK: k c =5 Step 5 Gain + ranfer Fcn3 + ranfer Fcn + ranfer Fcn.+ ranfer Fcn Scope 65

66 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak k c =9 Step 9 Gain + ranfer Fcn3 + ranfer Fcn + ranfer Fcn.+ ranfer Fcn Scope PI tagnál a túlvezérlé maximuma nem t=-ban van! 66

67 3. PD kompenzálá Wp ( )( )(,) a W k k d c c c ; / /, 5 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Fázi iettet tag. Azt kell elérni hogy a -db/do zakaz hozabb legyen. c=4 = =,5 ( / lehet 5 ) Nagyágrendileg a máodik legnagyobb együtthatójút kell kil ni. c kc kc 4 SIMULINK Step 4 Gain +.5+ ranfer Fcn3 + ranfer Fcn + ranfer Fcn.+ ranfer Fcn Scope u max =6, ha k c =. 67

68 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak 4. PID kompenzálá Maradó hiba kiküzöböléére I hatá, gyorítáért D hatá. Wp ( )( )(,) W c k c i i Wc kc i d ; PIPD zabályozót alkalmazunk: a, 5 c=3 c c 3 ; ;, i k k c 3, 3, 3 umax 3 SIMULINK: Step 3 Gain +.+ ranfer Fcn3 + ranfer Fcn4 + ranfer Fcn + ranfer Fcn.+ ranfer Fcn Scope 68

69 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak A PI kompenzálát haználják a leginkább, mert a maradó hiba eltüntethet. A D hatát ritkán haználják, mert akkora lehet a túlvezérlé, hogy úgyem m ködik a valóágban. Cak nagyon ki értékekkel m ködik a D, tehát nem érdeme! 3 frekvencia tartomány: I II III I: Állandóult állapotra jellemz, megmondható az állandóult állapotbeni hiba. II: c környéke. A zabályozá gyoraágára jellemz, a zabályozái id re. III: Nagyfrekvenciá tartomány. Változatlan marad, nem kell vele foglalkozni. Nem lényege, hogy milyen id állandók vannak itt, azok már nem kellenek. Pólu kidobá: A legnagyobb id állandót a i -vel jelöljük. A máodik legnagyobbat -gyel jelöljük. A W -ban ezekkel lehet majd egyzer íteni. Ennek a hatáa: A kidobott pólu vagy nem irányítható, vagy nem megfigyelhet. De a rendzer kimenetileg irányítható. Létezik labili pólu: pl. W p 69 ( )( 5)( ) * Labili pólu, mert a gyökei jobboldalra enek. Ez már nem minimálfáziú rendzer. Ekkor nem zabad a tanult módon méretezni. Nem zabad pólukidobáal kiejteni. *

70 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Szabályozó tervezée integráló zakazhoz (folyamathoz) Wp (,5)(, ) * a log k c c. P kompenzáció W c =k c c * c kc kc c MALAB mp=; np=conv([ ], conv([.5 ], [. ])); kc=; margin(kc*mp, np) 5 Bode Diagram Gm = 5.6 db (at 4.47 rad/ec), Pm = 43. deg (at.56 rad/ec) t=43, c=,56 Frequency (rad/ec) 7

71 . PD kompenzáció Wc kc ; AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak a log k c c=8 k c,5,5 8 u max 8 3. PI kompenzáció i Wc kc ; Wp (,5)(, ) i Maradó hiba. W c W p () ()() 7

72 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak. típuú zabályozá. A zavarjel elhárító é alapjel követé javítáa érdekében: integrátor alkalmazáa. Probléma, hogy rögtön 4 db -o töréel indul 8 -o fázitolá. Mi lez a fázitöbblettel? D 9 / i -9 controller controller -8 Itt már van fázitöbblet Integrátor proce ered -7 Nem jó, mert ninc fázitöbblet proce p c -+j Im Re Az integrátort a -e id állandó elé kell tennünk ( i -t a legnagyobb id állandótól nagyobbra vezük), így lez fázitöbbletünk. Kb. D-dal tezük balra. Az c a fázitöbblet cúcánál legyen. Jelen eetben: a) i =5 (,5 ). a / i =. / / c k c logk c 7

73 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak MALAB: mp=; np=conv([ ], conv([.5 ], [. ])); mc=[5 ]; nc=[5 ]; kc=; [m, n]=erie(mp,np,mc,nc); margin(kc*m,n) Bode Diagram 5 Gm=.473 db (at 4.95 rad/ec), Pm= deg. (at.947 rad/ec) Frequency (rad/ec) Balra kell tolni c -t, hogy maximáli legyen a fázitöbblet. kc-vel kell variálni. kc=.55; Bode Diagram 5 Gm=5.666 db (at 4.95 rad/ec), Pm=5.499 deg. (at.567 rad/ec) Frequency (rad/ec) 73

74 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak t=5,5 ; c=,56. b) együk / i -t máfél nagyágrenddel balra. i=5 ( 3;3,5) mp=; np=conv([ ], conv([.5 ], [. ])); mc=[5 ]; nc=[5 ]; kc=; [m, n]=erie(mp,np,mc,nc); margin(kc*m,n) Bode Diagram Gm=.9 db (at rad/ec), Pm=56.68 deg. (at.997 rad/ec) kc=,35; Frequency (rad/ec) Bode Diagram Gm=3.348 db (at rad/ec), Pm=67.8 deg. (at.357 rad/ec) Frequency (rad/ec) 74

75 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak t=67 c=,35. SIMULINK-ben Step.3 Gain 5+ 5 ranfer Fcn ranfer Fcn.5+ ranfer Fcn.+ ranfer Fcn3 Scope Lehet-e találni olyan k c -t, ahol ninc túllendülé? A gyök-helygörbével: rlocu(m,n), grid rlocfind(m,n) 4. PIPD kompenzáció a PD / i =. / / 5,5 Wc 5,5 MALAB: mp=; np=conv([ ], conv([.5 ], [. ])); mc=conv([5 ], [.5 ]); nc=conv([5 ], [.5 ]); kc=.3; [m, n]=erie(mp,np,mc,nc); margin(kc*m,n) 75

76 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak Bode Diagram Gm=39.93 db (at 4.7 rad/ec), Pm=75.5 deg. (at.368 rad/ec) Frequency (rad/ec) 76

77 AUOMAIKA DE-MFK, Villamomérnöki Szak 4.4. Holtid zakaz kompenzáláa Az ideáli holtid taggal helyetteíthet zakaz zabályozáa a holtid tag két alaptulajdonága: A frekvencia átviteli függvényének amplitúdója a frekvenciától független. úlvezérléel nem gyorítható, mert a holtid t okozó vége jelterjedéi ebeég nem függ a bemen jel amplitúdójától. A holtid kezelée, az értéke zerint: Ha jóval kiebb, mint az id állandók: elhanyagolható (legalábbi az el lépében). Ekkor a kompenzáló algoritmu é a vágái körfrekvencia kiválaztáakor nem jut zerephez. Ekkor úgy tekinthet, mint az id állandó tagok egyike, amelyek a zárt kör átviteli függvényében i megjelennek. Ha özemérhet az id állandókkal: problémá eet. Ilyenkor h az, úgynevezett h holtid arokfrekvencia, amely elmozdíthatatlan, korlátozza a felnyitott kör vágái h frekvenciáját. Így ez a 6 -o fázitöbblet betartáával em növelhet fölé, ha a kör cupán egyetlen integráló, vagy nagy id állandó egytároló tagból áll. Ekkor a zárt kör m ködéét a holtid é az emiatt hozúra nyúló beállái id i laítja. Ha jóval nagyobb, mint az id állandók: az id állandókkal nem foglalkozunk kompenzálá az eddig megimert tagokkal Az ideáli holtid tag (tizta holtid ): h Wp kp e h Wp e k p N Im Re a p p ( ) ( ) h / h log. P zabályozó Ha k c, akkor a felnyitott kör Nyquit diagramja: N Im - Re Ha k c <, akkor a Nyquit diagram nem vezi körbe a (-+j) pontot: tabili! Ez eetben azonban túl nagy lez a hiba. Alkalmazva a tatiku hibára vonatkozó özefüggét: hiba : EZ NEM JÓ SZABÁLYOZÁS! k 77